第8课时函数的图像
第8课时：二次函数的图象与性质(7)
第六章 二次函数第8课时：二次函数的图象与性质（7）班级 姓名 学号学习目标：回顾§6.1、§6.2所学知识，加深对有关知识的理解。
知识回顾：1、二次函数的概念； 2、二次函数的图象与性质。
基础练习：1、对于2ax y =(0≠a )的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．a 越大开口越大，a 越小开口越小B ．a 越大开口越小，a 越小开口越大C ．|a |越大开口越小，|a |越小开口越大D ．|a |越大开口越大，|a |越小开口越小2、若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为_____________．3、若点P （1，a ）和Q （－1，b ）都在抛物线12+-=x y 上，则线段PQ 的长是________．4、二次函数m m x m y 2)1(2++--=的对称轴是y 轴，则m 的值是___________，抛物线的顶点坐标是______________．5、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为_____________．6、选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当2<x 时，y 随x 的增大而增大；当2>x 时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是_____________．7、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取_____________． 8、已知二次函数y=－12x 2－3x －52,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3,且－3<x 1<x 2<x 3, 则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 2<y 3；C ．y 2>y 3>y 1D ．y 2<y 3<y 19、如图，已知三角形的一边长为x cm ，这条边上的高为2x cm ，则它的面积)(2cm y 与)(cm x 的函数关系，可用下列图象表示为（ ）问题探索：问题1： (1)二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则b=________． (2)若点A(－2，a)和B （4，b ）在抛物线2)(2m x y -=上，且关于它的对称轴对称，则m ＝______．(3)若二次函数c ax y +=2,当x 取1x 、2x (1x ≠2x )时函数值相等,则当x 取1x +2x 时,函数值为（ ） A ．c a +B ．c a -C ．c -D ．c问题2：（1）一条抛物线的形状与23x y -=相同，但开口方向相反，其顶点与抛物线3)8(512-+-=x y 的顶点相同，写出这个抛物线的解析式．（2）已知二次函数c bx x y +-=2的图象的对称轴为y 轴，其图象在x 轴上截得的线段长为4，求这个二次函数的解析式．（3）根据图中给出的条件，求抛物线的解析式．问题3：如图，点P 是抛物线2x y =上第一象限内的一点，A 点的坐标是（3，0），设P （y x ,），△OPA 的面积为S ．（1）S 是y 的什么函数？ （2）S 是x 的什么函数？ （3）当S ＝6时，求点P 的坐标；（4）在抛物线2x y =上求一点P′，使△O P′A 的两边P′O ＝P′A ．课后作业：1、将抛物线1)4(22--=x y 平移得到抛物线22x y =的方法是（ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2、已知抛物线41)1(2--+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是___________．3、开口向下的抛物线12)2(22++-=mx x m y 的对称轴经过点(－1,3)，则m ＝__________．4、抛物线1422+--=x x y 的顶点关于x 轴对称的点的坐标是__________．5、抛物线c ax y -=2经过点（2，0）和（1，－1），则此抛物线解析式为________．6、抛物线2)(m x a y -=的顶点坐标为(—2,0)，与y 轴交点为(0,4),则此抛物线解析式为_______．7、已知二次函数642---=x x y ,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3,且x 1 <-3，-1< x 2 <0< x 3, 则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1<y 2<y 3；C ．y 2>y 3>y 1D ．y 2<y 3<y 18、已知二次函数y ＝2 x 2＋9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与 ( )A ．x ＝1时的函数值相等B ．x ＝0时的函数值相等C ．x ＝41时的函数值相等 D ．x ＝－49时的函数值相等9、已知抛物线2x y -=与直线m x y +=3都经过点（2，n ）．（1）试求m 、n 的值；（2）如果一条开口向下，且对称轴是y 轴的抛物线恰经过点（n m ,），你能确定此抛物线的表达式吗？不妨试试看．10、已知将二次函数c bx x y ++=2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数122+-=x x y 的图象，求b 和c 的值．11、一个长方体的一个面是一个边长的a 的正方形，它的高为1，则它的体积V 与a 之间的函数关系式是怎样的？并画出图象．12、如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝6，S □ABCD ＝12，求抛物线解析式．13、阅读下列文字材料，回答问题． 当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线12222-++-=m m mx x y ① 有12)(2-+-=m m x y②所以抛物线的顶点坐标为（12,-m m ），即⎩⎨⎧-==12m y m x当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化． 将③代入④，得12-=x y⑤可见，不论m 取得任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式12-=x y ．（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是_________，其中运用了________公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是____________；（2）根据阅读材料所提供的方法，确定抛物线132222--+-=m m mx x y 顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式．③④。
高三数学一轮复习2-8 幂函数
2 (2)函数 y＝x7＝7 x2，定义域为 R，值域为[0，＋∞)．因为
2
11
函数的定义域关于原点对称，且 f(－x)＝(－x)7＝[(－x)2]7＝(x2)7
2
2
＝x7＝f(x)，所以函数 y＝x7是偶函数．在(－∞，0)上是减函数，
在(0，＋∞)上是增函数，其图像如图 2.
【答案】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0， ＋∞)，奇函数，减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
即 log219>log79>log89>1. 2
∵y＝12x在 R 上是减函数，
∴1>123>12π>0.又
log13<0， 2
综上：log2129>log79>log89>123>12π>log123.
【答案】 log2129>log79>log89>123>12π>log123
第8课时 幂函数及基本初等函数的 应用
…2019 考纲下载… 1．了解幂函数的概念．
1 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图像，了 解它们的变化情况． 请注意 从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低， 只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
课前自助餐
1.幂函数 (1)定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较
x∈(0，+∞）时，减 x∈（-∞，0)时，减
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
增
(1,1) (0,0)
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都通过点 _(_1_，_1_)_．
函数的图象(精品课件)
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
第8课 分段函数、函数零点、函数图像
分段函数、函数零点、函数图像例1.1.（1）用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]上的近似解，取区间中点0 2.5x =，那么下一个有解区间为 . 参考答案：[2,2.5]（2）二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数的零点个数是 .参考答案：2（3）函数2230()2ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为 . 参考答案：22.（1）方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k ∈Z ，则k = ． 参考答案：3（2）若方程lg 62x x =-解为0x ，则满足0k x ≤最大整数k = ． 参考答案：2（3）若()()2ln 1f x x x=+-零点在区间()(),1k k k N +∈ 上，则正整数k 的值为 ．参考答案：13.（1）若函数()(0,1)x f x a x a a a =-->≠有两个零点， 则实数a 的取值范围是 ．参考答案：1a >（2）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x >时，()931x f x x =--，则函数()f x 的零点个数是 ． 参考答案：3（3）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 由小到大的顺序是 ． 参考答案：acb例2.1．（1）函数|21|x y =-在区间(1,1)k k -+上不单调．．．，则k 的 取值范围___．参考答案：(1,1)-（2）已知t 为常数，()22f x x x t =--，在区间[]0,3上的 最大值是2，则t =_____．参考答案：12．若函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴 围成的图形的面积是________．参考答案：4分析：由f (x )＝x 2＋1＝1，得x ＝0；由f (x )＝x 2＋1＝5，得x 2＝4，即x ＝±2.如图所示，根据题意，得⎩⎨⎧ －2≤a ≤0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2，0≤b ≤2，所以点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4.3．（1）若方程243x x a -+=有四个不同的解，则实数a 的取值范围为________．参考答案：13a -<<（2）函数()f x 是定义在R 上偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0,1]x ∈时，()2f x x =.在区间[2,3]-上方程2()0a x a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____．参考答案：2253a << 解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2.由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)，所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23. （3）若函数2540()220x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩， 若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 范围为_____． 参考答案：12a <<分析：画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即y 1＝a |x |的图象与f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0)．当a ＝2时， f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎨⎧y ＝－ax y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1<a <2.（4）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，0.5l o g (1)01()131x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则关于x 的 函数()()(01F x f x a a =-<<所有零点之和_____．参考答案：12a -解析 当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图．函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )，即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0.由f (x )＝log 2(1－x )＝a ，解得x ＝1－2a ，因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .（5）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)． 若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为______．参考答案： [－66，66] 解析 因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2； 当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. （6）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称；②对x R ∀∈，33()()44f x f x -=+成立； ③当33(,]24x ∈--时，2()log (31)f x x =-+． 则f (2014)＝________.参考答案： －2解析 由①知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②知函数图象关于直线x ＝34对称，即f (－x )＝f (32＋x )，由奇函数可得f (x )＝－f (32＋x )，据此可推出f (32＋x )＝－f (3＋x )，则有f (x )＝f (x ＋3)，故函数以3为周期，因此f (2014)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 24＝－2.。
高中数学函数的图像ppt课件
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
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【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
第8课 一次函数的图象与性质(1)
19. 一等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长 为x cm. (1)求出底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式. (2)求出自变量x的取值范围.
解：(1)y＝20－2x (2)∵x－x＜y＜2x ∴x－x＜20－2x＜2x ∴5＜x＜10 ∴自变量x的取值范围为5＜x＜10
谢谢！
2. (例1)在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝2x＋1和
y＝2x－1的图象
解： x
－2 －1 0 1 2
y＝2x －4 －2 0 2 4
y＝2x＋1 －3 －1 1 3 5
y＝2x－1 －5 －3 －1 1 3
发现： y＝2x 的图象向___上____平移___1___个单位得到 y＝2x＋1 的 图象，向___下____平移_______个单位得到 y＝2x－1 的图象.
(1)y＝12x＋3 和 y＝12x－5：__平__行____ (2)y＝－5x＋2 和 y＝4x＋1：__相__交____
11. (1)直线y＝8x－4和y＝8x＋3的位置关系是__平__行____.
(2)若直线y＝－4x＋5和y＝kx＋7平行，则k＝___－__4___.
三、过关检测
第1关 12.(1)一次函数y＝－ 1 x＋5中，y随x的增大而___减__小___；
PPT课程 第8课 一次函数的图象与性质(1) 主讲老师:
一、知识储备
1. (1)正比例函数y＝2x的图象从左到右__上__升____，即 y随x的增大而__增__大____. (2)正比例y＝－2x的图象从左到右__下__降____，即y 随x的增大而___减__小___．
二、新课学习
提出问题：正比例函数y＝kx的图象是一条经过____原____ 点的直线，且k决定直线的升降，那一般的一次函数y＝kx ＋b中的b有什么作用呢？一次函数y＝kx＋b的图象与正比 例函数y＝kx的图象有什么关系呢？
(江苏专用)高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用随堂检测(含解析)
（江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式；()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v ()x 的表达式为v ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13()200－x ， 20<x ≤200.()2依题意并由()1可得f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x ()200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f ()x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时，f ()x ＝13x ()200－x ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋()200－x 22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f ()x 在区间(]20，200上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f ()x 在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/时． 2．(2023·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )到达最小？并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0；当5<x ≤10时．f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用到达最小值70万元．[A 级 双基稳固]一、填空题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ；③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2. 解析：由表中数据可知，当t 越大时，v 递增的速度越快，而v ＝log 2t 递增速度较慢，v ＝log 12t 递减，v ＝2t －2匀速，只有v ＝t 2－12符合这一特征．答案：③2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备假设干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，假设超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购置应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，那么a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购置x 套(x ≤50)应付a 元，那么a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39， ∴39＜x ≤50，∴xy ＝(y －30)(x ＋11)， ∴3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，∴a ＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2023年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(准确到1万 m 2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，那么500×1＋1%10×7－500×610≈87(万 m 2)．答案：874．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，那么总利润L (Q )的最大值是______万元．答案：2500 5．(2023·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，且经讨论知x ＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：9万件6．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝________吨．解析：每年购置次数为400x，∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 答案：20 7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值a ”是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…，a n ，推出的a ＝________.解析：设近似值为x ，那么f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取最小值时的x 即为a ，由f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )知当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n时，f (x )最小．答案：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购置________元的商品．解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．故最多能购置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品． 答案：8760 二、解答题 9．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t0≤t ≤30－6t ＋24030<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件产品A 的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 0≤t ≤20，6020＜t ≤40.设这家公司的日销售利润为F (t )，那么F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋6t ＋2t ，0≤t ≤2060－320t 2＋6t ＋2t ，20<t ≤3060－320t 2＋6t －6t ＋240，30<t ≤40＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤2060－320t 2＋8t ，20＜t ≤3060－320t 2＋240.30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0， 故F (t )在[0,20]上单调递增，此时F (t )的最大值是F (20)＝6000＜6300；当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6300，解得703＜t ＜30；当30<t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300.故第一批产品A 上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．10．某隧道长2150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据平安和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×55－1x ＝3780x，当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋16x 2＋13x×55－1x＝2700x＋9x ＋18，所以，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3780x 0＜x ≤102700x ＋9x ＋18 10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ·2700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4(s)．[B 级 能力提升]一、填空题1．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．假设该工程总时间为9天，那么完成工序C 需要的天数x 最大是________．解析：分析题意可知，B 、D 工序不能同时进展， ∴B 、D 工序共需5＋4＝9天， 而完成总工序的时间为9天，说明A 、B 同时开工，A 完成后C 开工且5≥2＋x ， ∴x ≤3，故x 最大值为3. 答案：3 2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如下图．根据图中提供的信息，答复以下问题：(1)从药物释放开场，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤110)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 0≤t ≤110116t －0.1t ＞110.(2)由(116)t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t0≤t ≤110116t －0.1t ＞110(2)0.63．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x，那么这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．解析：该函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为 a 、b 、c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3bab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大． 答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江苏卷)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，那么s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x .那么s ＝3－x 234－34x 2＝433·3－x21－x 2(0＜x ＜1)， s ′＝433·－6x 2＋20x －61－x 22＝－833·3x －1x －31－x22， 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．即x ＝13是s 的极小值点且是最小值点．∴s min ＝433·3－1321－19＝3233.答案：3233二、解答题5．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期的获利为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件可知，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12).x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘故x ＝12时，f (x )取极大值，因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．6．(2023·高考湖南卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。
【初中数学精品PPT】【二次函数】8通过图像判断abc代数式的正负
总结
判断 a b c 组成的式子的正负,一共有三种办法：
1
2
由 a 、b 、c 各自的正负判断组合式的正
负，需要利用不等式的性质“正+正=正、
负+负=负、正–负=正、负–正=负”
找特殊的 x 值代入，产生需要判断的式子， 然后在图像找到 x 值对应的位置，就知道 这时的函数值是正是负了
总结
判断 a b c 组成的式子的正负,一共有三种办法：
3
通过交点 x1 x2 的范围，来确定 a b 或 a
x1 x2 b c 组合的式子。用对称轴公式 2 2a
判断 a 和 b 的不等关系，得到 a、b 组合
式的正负。而对于 a c 组合的式子，要利
用韦达定理 。
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例5 y=ax²+bx+c (a≠0) 的图像如下，请判断 4a-c 的正负 解析 因为 0<x1<2，x2=2，故 它们的积 0<x1x2 <4 ，由韦达 c 0 4 得 ，开口向上a>0， 定理 a 直接去分母乘 a，不等号不改变， 0<c<4a，得：0<4a–c。 解答 4a-c>0
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标即可
O
1
x
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方法二：特殊值法 刚才我们利用的就是特殊值法。
像 a+b+c、4a–2b+c 这种 a、b、c 组合的式子，
可以分别看作当 x=1 、 x=–2 时 y 的值。
只要看图象中横坐标为 1、–2 的点是在 x 轴上方 还是下方，如果在上方，则 y>0；如果在下方，则 y<0；如果刚好在 x 轴上，则 y=0。 比如 a–b+c、4a+2b+c、9a+3b+c 等式子也类似
高中函数(五个课时)
第二章 函数概念与基本初等函数第7课时 第一节 函数及其表示教学目标：理解并掌握函数的概念及其三要素；了解分段函数以及映射的概念 教学重点：理解和掌握函数的基本概念 y=f （x ）表示函数一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有 、 、 。
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 变式训练1：下列函数中，与函数y=x 相同的函数是 （ ）A.y=B.y=()2C.y=lg10xD.y=例2.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.变式训练2：（1）已知f （）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （）=3x ，求f （x ）.1,xy y x ==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==xx 2x x2log 2x x 12+xx1典型例题基础过关例3：已知函数f(x)=（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f 的值.总结1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．第7课时 第二节 函数的定义域和值域教学目标：1.掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域.2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．教学重点：掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域 教学难点：握求函数值域的常用方法的技巧，弄清函数的值域和函数最值的关系 一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x [])1(-f例如：① 形如y ＝，可采用 法；② y ＝，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －，可采用 法；⑤ y ＝x －，可采用 法；⑥ y ＝可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=; (2)y=; (3)y=.变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(;(4)y=f(x+a)+f(x-a).变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜）的定义域是 （ ） A. B.［a ，1-a ］ C.［-a ，1+a ］ D.［0，1］例3. 求下列函数的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=; (2)y=|x|.例4．若函数f （x ）=x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. 变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；f(a)=2-a|a+3|的值域.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.221x +)32(2312-≠++x x x x -121x -xxcos 2sin -xx x -+||)1(0232531x x -+-1·1-+x x 212)2lg(xx x -+-)34lg(2+x x 225x -x1)31()31-++x f x 21∅;122+--x x xx x 21-1e 1e +-x x 521+-x x21x -21典型例题 小结归纳第8课时 第一节 函数的单调性教学目标：1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数.pdf
函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2) (对应学生用书(文)、(理)22～23页) 考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温重点是指数函数的图象和性质以及指数函数的实际应用问题在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用． ① 了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型. 1. (必修1复习9改编)函数y＝a－3＋3恒过定点________．答案：(3) 解析：当x＝3时(3)＝a－3＋3＝4(x)必过定点(3)．(必修1复习3改函数y＝的定义域是________．答案：解析：由8－16所以2即4x≤3定义域是(必修1练习3)函数f(x)＝(a1)x是R上的减函数则a的取值范围是________________．答案：(－－1)∪(1) 解析：由0＜a－1＜1得＜a＜2所以1＜|a|＜即－＜a＜－1或＜a＜(必修1习题13改编)已知函数f(x)＝a＋是奇函数则常数a＝________.答案：－解析：由f(－x)＋f(x)＝0得a＝－(原创)函数y＝1＋－1|的值域为__________. 答案：(1] 解析：设y′＝＝|x－1|.由于且y′＝是减函数故00，a≠1)叫做指数函数函数的定义域是R．指数函数的图象与性质 a>101；x＜0时(x)<1(2) 当x＞0时(x)1(3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞＋∞)上是减函数 [备课札记] 题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝＋[－3], ∴ ≤2－x则当2－x＝即x＝1时(x)有最小值；当2－x＝8即x＝－3时(x)有最大值57. 已知9－103x＋9≤0求函数y＝－4＋2的最大值和最小值．解：由9－10·3＋9≤0得(3－1)(3－9)≤0解得1≤3令()＝t则＝4t－4t＋2＝4(t－)＋1当t＝即x＝1时＝1；当t＝1即x＝0时＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2－1－1|.1) 作出函数y＝f(x)的图象；(2) 若af(c)求证：2＋2(1) 解：f(x)＝其图象如图所示． (2) 证明：由图知(x)在(－∞]上是减函数在[1＋∞)上是增函数故结合条件知必有a1则由f(a)>f(c)得1－2－1－1－1即2－1＋2－1所以2＋2综上知总有2＋2 画出函数y＝的图象并利用图象回答：k为何值时方程＝k无解？有一个解？有两个解？解： 由图知当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一个解；当0<k0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a的取值范围使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于ax－1≠0则a所以x≠0所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．(2) 对于定义域内任意的x有(－x)＝(＋)(－x)＝－＝－＝＝(x)， 所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时对x>0所以a即a－1>0所以＋又x>0时所以x>0， 即当x>0时(x)>0. 由(2)知(x)是偶函数即f(－x)＝f(x)则当x0有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知当a>1时(x)>0在定义域上恒成立．当00时此时f(x)<0不满足题意；当x0有f(－x)＝f(x)1. 设a＞0(x)＝＋是R上的偶函数．(1) 求a的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0＋∞)上的单调性；(3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为f(1)＝(－1)于是＋＝＋3a即＝因为＞0故a＝1.(2) 设x＞x(x1)－f(x)＝(3－)(－1)．因为3为增函数且x＞x故3－3＞0.因为x＞0故x＋x＞0于是＜1即－1＜0所以f(x)－(x2)＜0所以(x)在[0＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数且f(x)在[0＋∞)上为增函数故f(0)＝2为函数的最小值于是函数的值域为[2＋∞)． 1. (2013·西安一检)函数y＝a－(a>0)的图象可能是________．(填序号) 答案：④解析：当a>1时＝a－为增函数且在y轴上的截距－故①②不正确；当时＝a－为y轴上的截距1－故④正确．(2013·温州二模)以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)(x)＝；② f(x)＝；③ f(x)＝－x；④f(x)＝＋x.答案：④解析：若f(x)＝＋x则f(x＋1)＝＋1＋x＋1＝x＋1>＋x＋1＝f(x)＋1.(2013·天津)设函数f(x)＝＋x－2(x)＝＋x－3.若实数a、b满足f(a)＝0(b)＝0则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数(x)在(0＋∞)上也是增函数由于f(a)＝0而(0)＝－10所以0<；又g(1)＝－20所以1<b0(a)<0，故g(a)<0a>0(1) 记集合M＝{(a)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长且a＝b}则(a)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a、b、c是△ABC的三条边长则下列结论正确的是________．(填序号)(－∞)，f(x)>0；使a、b、c不能构成一个三角形的三条边长；若△ABC为钝角三角形则(1，2)，使f(x)＝0.答案：(1) {x|0a>0＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长所以0<2a≤c所以令f(x)＝0得2a＝c即＝2即x＝2，＝≥1， 所以0c因为c>所以0<cx＝>0，①正确；令a＝2＝3＝4则a、b、c可以构成三角形而a＝4＝9＝16不能构成三角形正确；由c>a且△ABC为钝角三角形则a＋b－c因为(1)＝a＋b－c>0(2)＝a＋b－c所以f(x)在(1)上存在零点正确． 1. 已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞－1]∪[1＋∞)上的奇函数则f(x)的值域是________．答案： 解析：因为f(x)是奇函数1)＋f(1)＝0解得a＝－所以f(x)＝－－易知f(x)在(－∞－1]上为增函数在[1＋∞)上也是增函数．当x∈[1＋∞)时(x)∈.又f(x)是奇函数所以f(x)的值域是. 2. 已知f(x)＝(－1)＋(－x－1)则f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(＋－x)－2(＋－x)－2令t＝＋－x则g(t)＝t－2t－2＝(t－1)－3[2，＋∞)所以最小值为－2.设函数y＝f(x)在(－∞＋∞)内有定义对于给定的正数K定义函数f(x)＝取函数f(x)＝2－|x|当K＝时函数f(x)的单调递增区间为________答案：(－∞－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝作图易知f(x)≤K＝(－∞－1]∪[1＋∞)故在(－∞－1)上是单调递增的．若函数f(x)＝a(a>1)的定义域和值域均为[m]，求实数a的取值范围．解：由题意即方程a＝x有两个不同的解设(x)＝a－x(x)＝a－1令f′(x)＝0得x＝＝－na，分析得f(－)0，a≠1)的图象进行平移、翻折可作出y－y＝f(x－x)，y＝|f(x)|＝f(|x|)等函数的图象要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．对可转化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式常借助 [备课札记]。
第8课时 整式函数与分式函数
函 数 一次函数 二次函数 对应关系 a>0 a<0 图 象
反比例函数
定义域 值 域 单调性 与最值 奇偶性
2.二次函数的解析表达式有 ①一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式 f(x)=a(x-k)2+m(a≠0) ③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2
⑵ 是否存在实数m,n(m<n)，使 得f(x)的定义域为[m,n] ，值域为 [3m,3n]？如果存在，求出m,n的 值；如果不存在，说明理由。
12.已知二次函数
f ( x) ax bx c(a 0)
2
的图象与x轴有两个不同的公共点， 若f(c)=0，且0<x<c时，f(x)>0. （1）试比较1/a与c的大小； （2）求证：-2<b<-1 （3）当c>1,t>0时，求证： a b c 0 t 2 t 1 t
9、若函数：
y lg[(a 1) x (a 1) x 1]
2 2
的定义域为R，求实数a的取 值范围. 10、若不等式 x ax 1 0 1 对于一切 x (0, ] 恒成立， 2 求实数a的取值范围.
2
11.已知二次函数 f ( x) ax bx(a 0) 满足条件： f (5 x) f ( x 3) 且方程 f ( x) x 有等根. ⑴ 求 f ( x) 的解析式；
1.二次函数f(x)满足 f(3+x)=f(3-x) 且 f(x)=0有两个实根x1, x2，则x1+x2=___.
2.函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1] 时是减函数，当x∈(-1,+∞)时是增函 数，则f(2)= _______.
第8课 一次函数的图象和性质(1)
10. 已知，函数 y＝(1－3k)x＋2k－1，试回答： (1)k 为何值时，图象过原点？ (2)k 为何值时，y 随 x 增大而增大？
1 (1)由 2k－1＝0 得 k＝ 2 1 (2)由 1－3k>0 得 k＜ 3
11. 已知某函数的全部图象如图所示，根据图象回答下列问 题： － 4≤x≤4； (1)确定自变量 x 的取值范围： ________ (2)当 x＝－4 时，y 的值是________ ； 2 (3)当 y＝0 时，x 的值是______________ －3，－1，4 ； 1.5 －2 时， 2≤x≤1.5 时， (4)当 x＝________ y 的值最大， 当 x＝－ ___________ y 的值最小；
(2)d(O，P)＝ 0－x ＋ 0－y ＝ x ＋ y ＝2 ∴图形如图所示
PPT课程 第8课 一次函数的图象和性质(1) 主讲老师:
1. 将函数 y＝2x 的图象向上平移 3 个单位后，所得图象对 应的函数表达式是( A ) A .y＝2x＋3 B .y＝2(x＋3) C ．y＝2x－3 D ．y＝2(x－3)
1 y＝ x 1 2. 直线 y ＝ x ＋ 4 可由一条经过原点的直线 ________ 向 2 2 4 上 ________ 平移________ 个单位得到． 减小 ． 3. 函数 y＝ax＋b 的图象如图， 则 y 随 x 的增大而________
(6)当 x 的值在什么范围内时 y＜0？答________________ ． －3<x<－1
1．两个一次函数 y1＝ax＋b 与 y2＝bx＋a，它们在同一直角 坐标系中的图象可能是( ．如图，平面直角坐标系中，点 P 的坐标是(3，4)，直线 l 经过点 P 且平行于 y 轴，点 Q 从点 A(3，10)出发，以每 秒 1 个单位长度的速度沿 AP 方向匀速运动．回答下列问 题：
新人教版数学初中八年级下册19.1.2《函数的图像》教案
《19.1.2函数的图象》◆ 教材分析本课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习从函数图象上获取信息，初步讨论函数的变化规律和变化趋势．学习用描点法画函数的图象．体会函数的三种表示方法的特点，学习综合运用三种表示方法表示函数关系．◆教学目标1.了解函数图象的意义；2.会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函数的对应关系和变化规律；3.经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值．4.会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤；5.会判断一个点是否在函数的图象上；6.了解函数的三种表示法及其优缺点；7.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；8.能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步分析．◆教学重难点◆1.函数图象的意义，从图象中获取信息．2.描点法画出函数图象．3.综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化过程．◆课前准备◆多媒体：PPT课件、电子白板第一课时一、情景导入引起兴趣：你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中(如图19－1－)，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是( B )[说明与建议] 说明：利用学生非常熟悉的故事创设问题情境，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法.建议：通过探究函数图象的一系列问题，使学生充分认识图象，从图象中获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解决函数图象问题作好铺垫.二、初步认识学会画图1.观察北京某天的气温图，这个图反应了哪两个变量之间的函数关系？你知道是如何画出来的吗？[设计意图]这个图在前面已研究过，学生回答第一个问题并不难，紧接着提出第二个问题，引出本节课知识点——画函数图像.2．思考：一个正方形的边长为x，面积用S表示.（1）请写出面积S与边长x之间的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？解：S=x²（x＞0）（2）计算并填写下表：x S 00.50.2111.52.2242.56.2393.512.241 55556（3）在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后用光滑曲线连接这些点.解：3.定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.三、认真观察学会识图：1.思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？解：气温T是时间t的函数，上图是函数图象，此函数不能用解析式表示.由图象可知：（1）这一天中凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高（8℃）；（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14 时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态.（3）从图象可以看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.2.例2如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象回答下列问题：(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2)小明吃早餐用了多少时间？(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？(4)小明读报用了多少时间？(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？分析：小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.解：（1）从纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8min.（2）从横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min.（3）从纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；从横坐标看出，28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min；（4）从横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min；（5）从纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min.3.练习：(1)汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.(1)汽车从出发到最后停止共经过了多长时间？它的最高速度是多少？(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？(4)请你描述汽车行驶的整个过程.解：(1)汽车从出发到最后停止共经历了24分钟，它的最高速度是90千米/时.(2)在2 分钟到6 分钟，18分钟到22 分钟之间汽车匀速行驶，速度分别是30千米/时和90千米/时.(3)此时汽车处于静止状态，可能是遇到红灯等情况(回答只要合理即可).(4)汽车在0～2分钟开始发动加速行驶；2～6分钟以30千米/时的速度匀速行驶；6～8 分钟，由于某些状况，开始减速慢行；8～10 分钟，汽车静止；10～18分钟，又开始加速行驶；18～22 分钟以90千米/时的速度匀速行驶；22～24 分钟减速行驶到达目的地.(2)下面的图像反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图像回答下列问题：(1)体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？(2)体育场离文具店多远？(3)张强在文具店停留了多少时间？(4)张强从文具店回家的平均速度是多少？答案：(1)体育场离张强家2.5 km，张强从家到体育场用了15 min；(2)体育场离文具店：2.5－1.5＝1(km)；(3)张强在文具店逗留了：65－45＝20(min)；(4)回家速度：1.5÷四、课堂小结：100－6518＝(km/h)．60第二课时一、例题讲解：例3在下列式子中，对于x 的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x 的函数.画出这些函数的图象.(1)y=x+0.5;解：（1）列表：（2）y= (x＞0).7描点，连线.（2）列表：X y……0.512161.54232.52.4323.5 41.551.261……描点，连线.二、方法归纳：描点法画函数图象一般步骤如下：（1）列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；（2）描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；（3）连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.三、巩固练习：1.(1)画出函数y＝2x－1的图像；(2)判断点A(－2.5，－4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函数y＝2x－1的图像上．解：(1)如图所示；(2)A(－2.5，－4)，B(1，3)不在函数y＝2x－1的图像上，C(2.5，4)在函数y＝2x－1的图像上．22.(1)画出函数y＝x 的图像．(2)从图像中观察，当x<0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？解：(1)如图所示；(2)当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．四、课堂小结:（1）函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么？（2）画函数图象时，怎样体现函数的自变量取值范围？（3）用描点法画函数图象按照哪些步骤进行？（4）怎样从图象上看出当自变量增大时，对应的函数值是增大还是减小？第三课时一、问题引入：问题：如图19－1－，要做一个面积为12 m长为y m.2的小花坛，该花坛的一边长为x m，周(1)变量y是变量x的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；(2)能求出这个问题的函数解析式吗？(3)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请列表表示变量之间的对应关系；(4)能画出函数的图象吗？解：(1)y是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0.12(2)y＝2(x＋).(3)x/m y/m 1262163144145 614.8 16(4)【小结】在上题中我们亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一个函数.这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.思考一下，从这个例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要研究的内容.二、例题探究：例4一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.xt/时y/米……313.323.633.944.254.5（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你们能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y 是否为时间t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位变化规律吗？（3）据估计这种上涨还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米.分析：记录表中已经通过6 组数值反映了时间t与水位y 之间的对应关系.我们现在需要从这些数值中找出这两个量之间的一般规律，由它写出函数解析式，再画出函数图象，从而预测水位.解：（1）如下图，描出表中数据对应的点.可以看出这6 个点在一条直线上.在结合数据，可以发现每小时水位上升0.3m.（2）由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y 都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数.开始的水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.故函数y=0.3t+3（0≤t≤5）他表示经过th水位上升0.3t m，即水位y为(0.3t+3) m，其图象为点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB.（3）如果水位的变化规律不变，当t=5+2=7(h)时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).三、课堂小结：1.合作探究：说说函数的三种表示方法各有什么优点和不足，分小组讨论一下.【引导探究】列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系.解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系.图象法形象、直观地表示出函数中两个变量的关系.相比较而言，列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象；而解析式法却不如列表法直观，不如图象法形象；图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面.从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点.表示方法列表法解析式法图象法全面性×√×准确性√√×直观性√×√形象性××√从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点.在遇到实际问题时，要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用.◆教学反思略。
2017-2018学年高中数学 第一章 基本初等函(Ⅱ)第8课时 正弦函数的图象与性质 新人教B版必修4
第8课时 正弦函数的图象与性质
1 说基础·名师导读 知识点 1 正弦函数的图象 正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象叫做正弦曲线．我们用“五 点法”作出 y＝sinx，x∈R 的图象如下图．
其中在 x∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)．
知关于点π3，0对称． 答案：A
答案：A 点评
判断函数对称轴(对称中心)的方法 (1)代入法：由 y＝sinx 的图象知，函数对称轴处的 x 满足 sinx ＝±1，函数对称中心处的 x 满足 sinx＝0.故在判断 x0((x0，y0))是 否为 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴(对称中心)时，也可以采用代入法． (2)求解法：函数 y＝sinx 的对称轴为 x＝kπ＋π2(k∈Z)，对称 中心为(kπ，0)(k∈Z)或 ωx＋φ＝kπ＋π2或 ωx＋φ＝kπ，解出 x，因 k∈Z，再对 k 取值即可求出对称轴或对称中心.
知识点 2 正弦函数的性质 (1)定义域：R. (2)值域：[－1,1]，当且仅当 x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，正弦函数 取得最大值 1；当且仅当 x＝2kπ－π2(k∈Z)时，正弦函数取得最 小值－1.
(3)周期性：最小正周期为 2π. (4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k ∈ Z)上 ， 都 从 － 1 增 大 到 1 ，是 增 函 数 ； 在 每 一 个 闭 区 间
()
A．x＝－1π2
B．x＝0
C．x＝π6
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第8课 函数的图象
一：考察识图、用图能力
1. 下列四个图象中,是函数图象的是 .(填序号)
2. (2014·浙江卷) 在同一平面直角坐标系中,函数)2()(0)f x x x =>,()log a g x x =的图象可能是 .(填序号)
3. (2014·湖北卷)如图,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若对任意的x ∈R ,都有f(x)>f(x-1),则正实数a 的取值范围是 .
(第3题)
4.作出函数y=21
-1x x 的图象,并根据函数的图象直接判断其单调区间
5 .已知函数()1(22)2
x x f x x -=+-<?. (1) 用分段函数的形式表示该函数;(2) 画出该函数的图象;(3) 写出该函数的值域
二 图像的变换
1. 为了得到函数3lg 10
x y +=的图象,可以把函数y=lg x 的图象上所有的点先向左平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度.
2. 为了得到函数2log 1y x =-的图象,可将函数2log y x =的图象上所有的点的 .(填序号) ①纵坐标缩短到原来的
12
,横坐标不变,再向右平移1个单位长度; ②纵坐标缩短到原来的12,横坐标不变,再向左平移1个单位长度; ③横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度;
④横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度.
3. 若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度所得图象与x y e =的图象关于y 轴对称,则f(x)= .
4. (2014·泰州模拟)设函数f(x)=(x-a)|x-a|+b(a,b 都是实数),则下列叙述中,正确的是 .(填序号)
①对任意实数a,b,函数y=f(x)在R 上是单调函数;
②存在实数a,b,使函数y=f(x)在R 上不是单调函数;
③对任意实数a,b,函数y=f(x)的图象都是中心对称图形;
④存在实数a,b,使函数y=f(x)的图象不是中心对称图形.
三：综合题：
1. (2014·苏北四市模拟)已知函数f(x)=x|x-2|,那么不等式f(2-x)≤f(1)的解集为 .。