人教A版必修第二册《8.1 基本立体图形》练习卷(1)
人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形 第1课时 多面体 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形第1课时多面体同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列几何体中,顶点总数最多的是()A.三棱柱B.四面体C.六棱锥D.四棱柱2.下列说法正确的是()A.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱B.正四面体是特殊的正四棱锥C.有一个面是多边形,其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥D.正四棱柱是平行六面体3.下列说法正确的是()A.棱锥的各个面都是三角形B.棱柱的所有面都是四边形C.正棱锥的侧棱不一定相等D.—个棱柱至少有五个面4.棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都平行D.侧棱延长后都交于一点5.某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒,如图L8-1-1所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()图L8-1-1ABCD图L8-1-26.如图L8-1-3,若长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6,则该长方体中BD1的长是()图L8-1-3A.14B.27C.28D.327.在五棱柱中,不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线条数为()A.20B.15C.12D.108.如图L8-1-4所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1=()图L8-1-4A.1B.2C.2D.3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成个三棱锥.10.若棱台上、下底面的对应边长之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是.11.底面边长为6,侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为.12.一个正三棱锥的底面边长为3,高为6,则它的侧棱长为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-1-5,试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.图L8-1-514.(10分)如图L8-1-6所示,在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?图L8-1-615.(5分)若长方体的长、宽、高分别为5cm ,4cm ,3cm ,把这样的两个长方体全等的面重合在一起组成一个大长方体,则大长方体的体对角线最长为.16.(15分)给出两块正三角形纸片(如图L8-1-7所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.图L8-1-7参考答案与解析1.D[解析]三棱柱、四面体、六棱锥、四棱柱的顶点总数分别为6,4,7,8,因此,上述几种几何体中,顶点总数最多的是四棱柱,故选D.2.D[解析]当两个侧面是矩形且相邻时,四棱柱是直四棱柱,当两个侧面是矩形且不相邻时,四棱柱不一定是直四棱柱,故A错误;正四面体是三棱锥,故B错误;有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫作棱锥,故C错误;正四棱柱是平行六面体,故D正确.故选D.3.D[解析]棱锥的侧面都是三角形,底面不一定是三角形,故A错误;三棱柱的底面是三角形,故B错误;正棱锥的侧棱一定相等,故C错误;三棱柱的面最少,有三个侧面两个底面,共五个面,其他棱柱都多于五个面,故D正确.故选D.4.C[解析]根据棱台的定义可知棱台具有的性质是:上、下底面多边形相似,每个侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点.故选项A,B,D排除,故选C.5.A[解析]其展开图是沿盒子的棱剪开的,无论从哪条棱剪开,剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.因为相同的图案是盒子相对的面,所以相同的图案展开后绝不能相邻.故选A.6.A[解析]设长方体ABCD-A1B1C1D1从一个顶点出发的三条棱的长分别为a,b,c,且ab=2,ac=3,bc=6,则a=1,b=2,c=3,所以长方体ABCD-A1B1C1D1中BD1的长为12+22+32=14,故选A.7.D[解析]如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1.同理从点B,C,D,E出发的对角线均有两条,则共有2×5=10(条).8.B[解析]在长方体中,B12=AB2+AD2+A 12,则22=12+12+A 12,解得AA1=2,故选B.9.3[解析]如图,可分割为A1-ABC,B-A1CC1,C1-A1B1B,3个棱锥.10.1∶4[解析]由棱台的概念知,上、下两底面是相似的多边形,故它们的面积之比等于对应边长之比的平方.11.6[解析]如图,在正三棱锥P-ABC中,O为底面中心,∵侧面为等腰直角三角形,AC=6,∴PC=32,又OC=23,∴OP=18−12=6.12.3[解析]如图所示,在正三棱锥S-ABC中,点O为△ABC的中心,SO为正三棱锥的高,则SO=6,AB=3,易知OA=3,故在Rt△SOA中,SA= 2+ 2=3.13.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1符合题意(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1符合题意(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD符合题意(答案不唯一).14.解:(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水比较多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.15.55[解析]有以下三种组合方式:在第一种情况下,体对角线长l1=52+42+62=77;在第二种情况下,体对角线长l2=102+42+32=125=55;在第三种情况下,体对角线长l3=52+82+32=98=72.∴体对角线最长为55.16.解:如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.如图(2)所示,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的14,有一组对角为直角.余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.。
8.1 基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册练习
基本立体图形练习一、单选题1.将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A. 一个圆柱、一个圆锥B. 一个圆台、一个圆锥C. 两个圆锥D. 两个圆柱2.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )A. B. C. D.3.用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A. 32B. 32πC. 16πD. 8π4.如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=√5，BC=√7，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为()A. 83π B. 8√23π C. 163π D. 323π6.棱台不具备的特点是()A. 两底面相似B. 侧面都是梯形C. 侧棱都相等D. 侧棱延长后都交于一点7.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3√2，ΔA1DB与ΔA1DC1的重心分别为E,F，则该正方体外接球截EF所在直线所得的弦长为A. 2√13B. √13C. √39D. 6√28.在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A. 20B. 15C. 12D. 109.两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是()A. 1B. 7C. 3或4D. 1或710.正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为()A. √22a B. 12a C. √33a D. 13a11.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条异面直线AB，A1D1的中点P，Q作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为()A. √22B. √2−1C. √2D. 112.球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为()A. 4π3B. π C. 2π3D. π3二、单空题13.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为cm．14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，中心为M，则四棱锥M−ABCD的外接球被平面ABB1A1截得的截面面积为________．15.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O的表面上．若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为_______．16.把四个半径为1的小球装入一个大球内，则大球半径的最小值为________．17.底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为．三、解答题18.一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？19.如图所示，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1//AA1，CC1//BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．20.试从正方体ABCD−A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(做出其中一个即可)(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．答案和解析1.【答案】C【解答】解：将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是共用一个底面的两个圆锥．2.【答案】A【解答】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，跟正方体上下底面成一定夹角，但不是对角面的截面．3.【答案】B【解答】解：若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π．4.【答案】B【解答】解：(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)，5.【答案】B【解答】解：∵AB=√5，BC=√7，AC=2，则PA2+PB2=5，PB2+PC2=7，PA2+PC2=4，∴解得PA=1，PC=√3，PB=2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．∵长方体的对角线长为√1+3+4=2√2，∴球直径为2√2，半径R=√2，因此三棱锥P−ABC外接球的体积是43πR3=43π×(√2)3=8√23π，6.【答案】C【解答】解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．∴棱台的两底面是相似多边形;侧面的上下底边平行;侧棱延长后交于一点，故A、B、D成立，C不一定成立，7.【答案】A【解答】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，与的重心分别为E,F，则如下图所示，由正方体的性质可知，E 、F 在矩形D 1C 1BA 内，且D 1F =2OF,AE =2OE, ∴点O 到直线EF 的距离d =3√26=√22， 而球O 的半径为R =12√(3√2)2+(3√2)2+(3√2)2=3√62，正方体外接球被EF 所在直线截得的弦长为2√R 2−d 2=2(3√62)(√22)=2√13．8.【答案】D【解答】解：五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，9.【答案】D【解析】解：球的半径为R =5，设两个截面圆的半径别为r 1，r 2，球心到截面的距离分别为d 1，d 2；球的半径为R ，由πr 12=9π，得r 1=3； 由πr 22=16π，得r 2=4；如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即d 2−d 1=√R 2−r 12−√R 2−r 22=√52−32−√52−42=4−3=1； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即d 2+d 1=√R 2−r 12+√R 2−r 22=√52−32+√52−42 =4+3=7；所以这两个平面间的距离为1或7．10.【答案】A【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为a，∴E(a2,a2,a)，F(a2,a2,0)，M(a2,a，a2)，N(0,a2,a2)，P(a2,0，a2)，Q(a,a2,a2).这个几何体是正八面体，棱长|PQ|=√(a2−a)2+(0−a2)2+(a2−a2)2=√22a．∴这个几何体的棱长为√22a．11.【答案】C【解答】解：如图，MN为该直线被球面截在球内的线段，连接并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，∴OH//RQ，且OH=12RQ=√22，∴MH=√OM2−OH2=√1−12=√22，∴MN=2MH=√2．12.【答案】D【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面圆半径为r，由V O−ACM=V M−AOC，即13S△ACM⋅d=√23S△AOC，易知S△ACM=√6，S△AOC=√2，∴d=√63，又d 2+r 2=1， ∴r =√33，所以截面的面积为π3． 13.【答案】12【解答】解：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点， 那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60cm ， 可知每条侧棱长为12cm ．14.【答案】【解答】解：设四棱锥M −ABCD 的外接球半径为R ，球心为O ，直线OM 与平面ABCD 交于点N ，则(OM −MN)2+AN 2=OA 2，即(R −1)2+(√2)2=R 2，R =32， 又球心O 到平面ABB 1A 1的距离d =1，设四棱锥M −ABCD 的外接球被平面ABB 1A 1截得的圆的半径为r ． 则r =√R 2−d 2=√(32)2−12=√52，所以四棱锥M −ABCD 的外接球被平面ABB 1A 1截得的截面面积S =πr 2=．故答案为：．15.【答案】36【解答】 解：如图，∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O 的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为O ， 再设球的半径为r ，由球O 的表面积为28π，得4πr 2=28π， ∴r =√7．设三棱柱的底面边长为a ，则上底面所在圆的半径为√32a ×23=√33a ，且球心O 到上底面中心H 的距离OH =a2， 设直三棱柱高为h ，底面周长为L ， ∴r 2=(a2)2+(√33a)2，即r =√712a =√7，∴a =2√3=ℎ，L =3×a =6√3则三棱柱的侧面积为S =L ×ℎ=6√3×2√3=36．16.【答案】√62+1 【解答】解：设大球的半径为R ． 要使大球半径半径最小，则四个小球在大球内必两两相切，且都与大球都相切．又因为此时四个小球的球心构成一个棱长为2的正四面体的顶点， 所以正四面体的中心就是大球的球心，因此若正四面体的中心到其顶点的距离为a ，则R =a +1． 如图：三棱锥P −ABC 是棱长为2的正四面体，H 是底面正△ABC 的中心， 所以AH =2√33，PH =2√63． 设正四面体的中心为O ，则OP =OA =a ，OH =2√63−a ，因此OA 2=AH 2+OH 2，即a 2=(2√33)2+(2√63−a)2，解得a =√62，所以R=a+1=√62+1，即大球半径的最小值为√62+1．17.【答案】√6【解答】解：侧面是等腰直角三角形，则侧棱长为6×√22=3√2，设顶点在底面的射影为O，则O到底面顶点的距离为6×√32×23=2√3，则高为√(3√2)2−(2√3)2=√6．故答案为√6．18.【答案】解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面圆半径为r，由已知得5−x5=r3，所以r=3(5−x)5.所以S=2·3(5−x)5·x=−65(x2−5x)=−65(x−52)2+152，其中0<x<5．(2)当x=52时，S最大．19.【答案】解：因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．如图：在AA1上取点E，使AE=2;在BB1上取点F，使BF=2．连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分．其中一部分是三棱柱ABC−EFC1，其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1−EA1B1F.即截去的几何体是四棱锥．20.【答案】解：(1)如图所示，三棱锥A1−AB1D1．(2)如图所示，三棱锥B1−ACD1．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1−ABD．。
8.1基本立体图形 第2课时 旋转体、组合体 人教A版(2019)高中数学必修第二册同步练习
2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册8.1 基本立体图形第2课时旋转体、组合体同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一．选择题1.下列几何体中，不是旋转体的是()A. B. C. D.2.给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③3.如图所示的平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如下图所示的几何体的是()A. B.C. D.4.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水面可以呈现出的几何形状不可能是()A. 圆形B. 矩形C. 梯形D. 椭圆或部分椭圆5.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1上、下底面的中心分别为O1，O2，将该正方体绕直线O1O2旋转一周，则由线段BC1旋转所得的几何体是()A. B.C. D.6.圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上、下底面半径比为3:4，若圆台的高为14√2，则圆台的母线长为()A. 10√3B. 25C. 10√2D. 207.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是()A. 两个共底面的圆锥B. 半圆锥C. 圆锥D. 圆柱8.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A. 2B. 2πC. 2π或4πD. π2或π49.如图，圆锥的正视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2，假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是()A. 6B. 2√5C. 4D. √510.如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A. 一个棱柱中挖去一个棱柱B. 一个棱柱中挖去一个圆柱C. 一个圆柱中挖去一个棱锥D. 一个棱台中挖去一个圆柱11.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 以上都有可能12.下列说法中正确的个数是() ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台; ②圆锥、圆台的底面都是圆; ③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A. 0B. 1C. 2D. 313.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是()A. B.C. D.二．填空题14.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1被平面EGHF截去一部分，若FH//EG，但FH<EG，则截去的几何体EGB1−FHC1是________．15.如图所示的是一个茶几的实物图，它的结构特征是_______________________________________．16.关于如图所示几何体的结构特征，下列说法正确的有_________.(填序号)①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体②该几何体有12条棱、6个顶点③该几何体有8个面，并且各面均为三角形④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形17.将图(1)中的三角形绕直线l旋转一周，能得到图(2)所示的几何体的是．18.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是．三．解答题19.如图所示，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1//AA1，CC1//BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．20.指出下图中的组合体是由哪些简单的几何体构成的．21.一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查旋转体的定义，是基础题．利用旋转体的概念直接进行判断，可得答案．【解答】解：根据旋转体的概念可知：B，C，D中三个几何体均为旋转体，A中几何体为多面体．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆柱、圆锥和圆台的结构特征与应用问题，是基础题．根据旋转体的定义与性质，判断题目中的命题是否为真命题即可．【解答】解：对于①，圆柱的母线与它的轴是平行的，∴①错误；对于②，圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，∴②正确；对于③，在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，∴③错误；对于④，圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，∴④正确．综上知，以上正确的命题序号是②④．故选：B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查旋转体的结构特征，属于基础题．几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，由旋转体的性质能求出结果．【解答】解：因为该几何体是由两个圆锥与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体由B 选项的梯形围绕直线l旋转而成.故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆柱的结构特征，属于基础题，根据圆柱的结构特征，分别判断该圆柱桶竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面的几何形状，即可得出结果．【解答】解：将圆柱桶竖放时，水面为圆面；将圆柱桶斜放时，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置时，水面为矩形面；所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题给出正方体模型，求它的一条面对角线绕转轴旋转成的几何体的形状，着重考查了旋转体的形成过程的理解，考查了空间想象能力，属于中档题．首先根据BC1的中点到旋转轴的距离等于B、C1两点到旋转轴距离的一半，得到B项不符合题意．再由所得旋转体的侧面上有无数条直线且直线的方向与转轴不共面，可得A、C两项不符合题意．由此可得只有D项符合题意．【解答】解：设正方体的棱长等于a，∵BC1的中点到旋转轴的距离等于12a，而B、C1两点到旋转轴的距离等于√22a，∴BC1的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大．由此可得B项不符合题意，舍去．又∵在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面，∴A、C两项不符合题意，只有D项符合题意．故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查圆台的结构帖子，属于基础题．设圆台上下底面半径分别为3x、4x(x>0)，由圆台的对称性可知，圆台的轴截面是一个等腰梯形，由对角线互相垂直得高为上下底面半径之和，即可求出上下底面半径，进而求出母线长．【解答】解：由题意，设圆台上下底面半径分别为3x、4x(x>0)，又因为圆台的轴截面是一个等腰梯形，且对角线互相垂直，所以3x+4x=14√2，所以x=2√2，所以上下底面半径分别为6√2,8√2，所以圆台的母线长为√(8√2−6√2)2+(14√2)2=20，故选D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查旋转体的概念，属基础题，根据旋转体的概念进行判断即可．【解答】解：一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是一个圆锥．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图与底面的关系，注意分类讨论，属于简单题．分矩形的长和宽分别为圆柱底面的周长进行讨论，求解出圆柱底面半径即可．【解答】解：设底面半径为r，；若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr=8，所以r=4π，同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr=4，所以r=2π故选C．9.【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解．本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：由题意，圆锥底面半径为2，母线长为4，则展开后所得扇形的半径为4，弧长为4π，则展开后所得扇形的圆心角为π，如图：∵AB=4，AP=2，∴BP=√42+22=2√5．故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单组合体及其结构特征，属于基础题．根据所示的螺母，结合棱柱及圆柱的结构特征即可得出．【解答】解：易知所示的螺母的结构特征是一个棱柱中挖去一个圆柱．故选B．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是圆锥的几何特征，圆柱的几何特征，球的几何特征，其中熟练掌握相关旋转体的几何特征，培养良好的空间想像能力，是解答本题的关键．根据圆锥、圆柱、球的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．【解答】解：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形，不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故C不满足要求．故选B．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查旋转体(圆柱、圆台、圆锥)及其结构特征，属于基础题．根据概念，逐一排除即可求出结果．【解答】解： ①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故 ①说法错误;显然 ② ③说法正确.故说法正确的有2个．故选C．13.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征、截面问题，属于基础题．对截面分类讨论，得到A，C，D成立，而无论如何都不能截得B，由此即可得到答案．【解答】解：当截面平行于正方体的一个面时得C；当截面过正方体的两条相交体对角线时得D；当截面既不过体对角线又不平行于任一侧面时可能得A；无论如何都不能截得B．故选ACD．14.【答案】三棱台【解析】【分析】本题考查空间多面体的结构特征，考属于基础题.解题时根据条件判断EFGH 是梯形，腰延长线交于一点，由于此点在平面A1C1内，也在平面BC1内，两平面有唯一交线，故此点在交线上，几何体EGB1−FHC1是由三棱锥截得，再由截面与底面平行出结论．【解答】因为FH//EG，但FH<EG，所以EFGH是梯形，两腰EF，GH的延长后交于一点O，O点在EF上，必在平面A1C1内，同时O点在GH上，必在平面BC1内，平面A1C1⋂平面BC1=B1C1，所以O∈B1C1，由此可知，EGB1−FHC1是由三棱锥O−EGB1截去三棱锥O−HFC1得到的，又因为截面HFC1与底面GEB1平行，所以几何体EGB1−FHC1是三棱台．故答案是：三棱台．15.【答案】由三个圆柱组合而成的组合体【解析】【分析】本题考查组合体的结构特征，属于基础题．利用已知实物图，结合圆柱的结构特征即可解答．【解答】解：由题意，得该几何体是由三个圆柱组合而成的组合体，故答案为由三个圆柱组合而成的组合体．16.【答案】①②③【解析】【分析】本题考查组合体的结构特征；由几何体的直观图发现几何体是组合体，并且是由两个同底的四棱锥对接而成．【解答】解：由已知图形得知几何体是组合体，并且由两个同底的四棱锥拼接而成，所以①该几何体由两个同底的四棱锥组成；正确；②该几何体有12条棱、6个顶点；正确；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；正确；④该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形．因为几何体的面是指围成几何体的表面；故错误．故答案为①②③．17.【答案】 ②【解析】【分析】本题考查了旋转体的定义，利用定义即可选择正确答案．此题意在使学生掌握对概念的理解，属于基础题目．【解答】解：①经过旋转可得圆锥，②经过旋转可得有公共底面的两个圆锥，③经过旋转可得圆锥，④经过旋转可得圆柱，故答案为②．18.【答案】2π或4π【解析】【分析】本题考查圆柱的结构特征，分类讨论思想的应用，属于基础题．分类讨论圆柱底面的周长为8或4，列方程求出相应圆柱的底面半径．【解答】解：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr=8，所以r=4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr=4，所以r=2π．故答案为2π或4π．19.【答案】解：因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．如图：在AA1上取点E，使AE=2;在BB1上取点F，使BF=2．连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分．其中一部分是三棱柱ABC−EFC1，其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1−EA1B1F.即截去的几何体是四棱锥．【解析】【分析】本题考查简单的多面体，棱柱，棱锥的定义和几何特征，属于基础题．由棱柱的定已知，题中几何体不是棱柱．在AA1,BB1上取点E，F，使AE=2，BF=2.连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，一部分是三棱柱ABC−EFC1，另一部分为四棱锥C1−EA1B1F.20.【答案】解：图(1)是一个四棱柱截去一个小三棱锥而成;图(2)是半球、圆柱、圆锥拼接而成;图(3)是一个六棱柱内挖去一个圆柱而成．【解析】本题考查简单组合体的结构特征，属于基础题．分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．再根据几何体的结构特征进行解答即可．21.【答案】解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面圆半径为r，由已知得5−x5=r3，所以r=3(5−x)5.所以S=2·3(5−x)5·x=−65(x2−5x)=−65(x−52)2+152，其中0<x<5．(2)当x=52时，S最大．【解析】本题主要考查了旋转体的特点，应用二次函数求最值．(1)设内接圆柱的底面半径为r，则6−x6=r2，求出r，再根据S=2r⋅x，x表示圆柱的轴截面面积S；(2)利用二次函数求最值．。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (1)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题）1.如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．A1C1∥平面AB1ED．AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C12.长方体的表面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为( )A．2√3B．√14C．5D．6．则3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12下列结论中正确的个数为( )① AC⊥BE；② EF∥平面ABCD；③三棱锥A−BEF的体积为定值；④ △AEF的面积与△BEF的面积相等．A．4B．3C．2D．14.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为( )A．1B．2C．√6D．√625.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )A．4B．3C．2D．17.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线8.若一个长方体的长、宽、高分别为√3，√2，1，则它的外接球的表面积为( )πB．5πC．6πD．24πA．329.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于510.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A．6B．8C．12D．24二、填空题（共6题）11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.一条直线a上的3个点A，B，C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．14.侧棱长为3，底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为．15.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD=．16.如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，AB=1，BC=2．将矩形ABCD绕直线AD旋转所得到的几何体体积记为V1，将△MCD绕直线CD旋转所得到的几何体体积记为V2，则V1V2的值为．三、解答题（共6题）17.如图，四棱锥S−ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS的中点．(1) 求证：SD∥平面ACE；(2) 若平面ABS⊥平面ABCD，AB=4，∠ABC=120∘，求三棱锥E−ASD的体积．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F，Q分别为AD，AA1，BC的中点，求证：平面BEF∥平面A1DQ．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，Q为AD的中点，(1) 若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2) 点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB；(3) 在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2，求二面角M−BQ−C的大小．20.用符号表示下列语句，并画出图形．(1) 平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B．(2) 点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．AD=1，21.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAD=90∘，BC=CD=12 PA=2√2，M为PD的中点．(1) 求证：PA⊥AB；(2) 求证：CM∥平面PAB；(3) 求直线CM与平面PAD所成的角．22.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高（两底面圆心连线的长度）为4cm，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为3cm，画出此几何体的直观图．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系2. 【答案】C【解析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意可知，4(a+b+c)=24, ⋯⋯①2ab+2bc+2ac=11, ⋯⋯②联立①②可得a2+b2+c2=25，则这个长方体的一条体对角线长为5．【知识点】棱柱的结构特征3. 【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；② EF∥平面ABCD，由正方体ABCD−A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A−BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A−BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的性质、直线与平面平行关系的判定4. 【答案】D【解析】因为三棱柱内接于球，所以棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，所以棱柱的侧棱都垂直于底面，所以该三棱柱为直三棱柱．设底面三角形的两条直角边长为a，b，因为三棱柱ABC−A1B1C1的高为2，体积是1，所以12ab⋅2=1，即ab=1，将直三棱柱ABC−A1B1C1补成一个长方体，则直三棱柱ABC−A1B1C1与长方体有同一个外接球，所以球O的半径为√a2+b2+42≥√2ab+42=√62（当且仅当a=b=1时，等号成立）．【知识点】棱柱的结构特征、球的结构特征5. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征6. 【答案】A【解析】首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．【知识点】平面的概念与基本性质7. 【答案】B【解析】由题意，四点共面不共线分为图①和图②两种情况，只有选项B正确．【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】球的表面积与体积、组合体9. 【答案】B【解析】由正四面体的定义可知n=4能满足条件．当n≥5时，可设其中三个点为A，B，C，由直线与平面垂直的性质及点到点的距离定义可知到A，B，C三点距离相等的点必在过△ABC 的重心且与平面ABC垂直的直线上，从而易知到A，B，C的距离等于正三角形ABC边长的点有两个，分别在平面ABC的两侧．此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长，从而不可能有5个点满足条件．当然也不可能有多于5个的点满足条件．【知识点】空间线段的长度、直线与平面垂直关系的性质10. 【答案】B【知识点】由三视图还原空间几何体、棱锥的表面积与体积二、填空题（共6题）11. 【答案】2√6【解析】如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1．在△A1EF中，A1F=A1E=√5，EF=2√2，S△A1EF =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，从而所得截面面积为2S△A1EF=2√6．【知识点】平面与平面平行关系的判定12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】平行【解析】假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN．所以四边形AMNB是平行四边形，所以AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，所以AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．【知识点】直线与平面的位置关系14. 【答案】5【解析】正四棱柱的底面为正方形，设底面边长为a，侧棱长为b，则有a2=8，所以a=2√2，则四棱柱的体对角线为√a2+a2+b2=√8+8+9=5．故答案为：5．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】2【解析】如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC．又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．由已知可得DE=√3，CE=1，在Rt△DEC中，CD=√DE2+CE2=2．【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】6【知识点】圆柱的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 连接BD，设AC∩BD=O，连接OE，则点O是BD的中点．又因为E是BS的中点，所以SD∥OE，又因为SD⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，所以SD∥平面ACE．(2) 因为四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120∘，所以∠ABD=12∠ABC=60∘．又因为AB=AD，所以三角形ABD是正三角形．取AB的中点F，连接SF，则DF⊥AB，DF=2√3．又平面ABS⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，平面ABS∩平面ABCD=AB，所以DF⊥平面ABS，即DF是四棱锥D−AES的一条高，而S△ASE=12SA⋅SE⋅sin∠ASE=2√3，所以V E−ADS=V D−AES=13S△ASE⋅DF=13×2√3×2√3=4.综上，三棱锥E−ASD的体积为4．【知识点】直线与平面平行关系的判定、棱锥的表面积与体积18. 【答案】因为E是AD的中点，Q是BC的中点，所以ED=BQ，ED∥BQ，所以四边形BEDQ是平行四边形，所以BE∥DQ，又因为BE⊄平面A1DQ，DQ⊂平面A1DQ，所以BE∥平面A1DQ，又因为F是A1A的中点，所以EF∥A1D,因为EF⊄平面A1DQ，A1D⊂平面A1DQ，所以EF∥平面A1DQ，因为BE∩EF=E，EF⊂平面BEF，BE⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面A1DQ．【知识点】平面与平面平行关系的判定(1) 因为 PA =PD ，Q 为 AD 的中点，所以 PQ ⊥AD ．因为底面 ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，所以 △ABD 为正三角形，所以 BQ ⊥AD ．又 BQ ∩PQ =Q ，所以 AD ⊥平面PQB ．又 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PQB ⊥平面PAD ．(2) 当 t =13 时，PA ∥平面MQB ．下面证明：设 AC ∩BQ =N ，连接 MN ．因为 AQ ∥BC ，所以 AN NC =AQ BC =12．由 PM =13PC ，得 PM MC =12， 所以 AN NC =PM MC ，所以 PA ∥MN ．又 MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，所以 PA ∥平面MQB ．(3) 由(1)，得 BQ ⊥AD ，PQ ⊥AD ．因为平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面 PAD ∩平面ABCD =AD ，所以 PQ ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系，则 Q (0,0,0)，A (1,0,0)，B(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，P(0,0,√3)，则 QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0), 且 QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,√33,2√33)． 设平面 MQB 的一个法向量为 n ⃗ =(x,y,z )．由 {n ⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {√3y =0,−2x 3+√3y 3+2√3z 3=0, 取 z =1，则 n ⃗ =(√3,0,1)．又因为平面 ABCD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(0,0,1)，所以 cos 〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=12， 于是，二面角 M −BQ −C 的大小为 π3．【知识点】直线与平面平行关系的判定、二面角、平面与平面垂直关系的判定、空间向量的应用(1) 用符号表示a∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图．(2) 用符号表示A∈α，B∈α，a∩α=C，C∉AB，如图．【知识点】平面的概念与基本性质21. 【答案】(1) 因为∠PAD=90∘，所以PA⊥AD．又因为PA⊥CD，CD∩AD=D，所以PA⊥平面ABCD．又因为AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．(2) 取PA中点N，连接MN，BN．因为M，N分别是PA，PD的中点，所以MN∥AD且MN=12AD，又因为BC∥AD且BC=12AD，所以MN∥BC且MN=BC，所以四边形MNBC是平行四边形，所以CM∥BN，又因为CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB，所以CM∥平面PAB．(3) 因为CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．所以∠CMD为直线CM与平面PAD所成的角．在Rt△PAD中，因为PA=2√2，AD=2，所以PD=2√3，所以MD=√3．所以在Rt△CMD中，tan∠CMD=CDMD =√33．所以，直线CM与平面PAD所成的角为π6．【知识点】线面角、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的性质22. 【答案】（1）画轴．如图①所示，画x轴，z轴，使∠xOz=90∘．（2）画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB=3cm，且OA=OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面．（3）在Oz上截取OOʹ=4cm，过点Oʹ作平行于Ox轴的Oʹxʹ轴，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．（4）画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使POʹ=3cm．（5）成图．连接AʹA，BʹB，PAʹ，PBʹ，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到此几何体的直观图，如图②所示．【知识点】直观图。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷含答案解析 (1)
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.棱锥的侧面和底面可以都是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能3.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A．4cm,1cm,2cm,1.6cm B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm4.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱5.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．36.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的表面积是( )A．8π+16π2B．2π+4π2C．4π+16π2D．8π+4π27.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正方形，那么该几何体的表面积是( )A．32B．24C．4+12√2D．12√28.如图，下列表示该平面错误的是( )A．平面αB．平面AB C．平面AC D．平面ABCD9.半径为2的球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π10.下面空间图形的画法中错误的是( )A．B．C．D．二、填空题（共6题）11.棱柱的概念12.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周的．13.若圆锥的母线长l=5(cm)，高ℎ=4(cm)，则这个圆锥的体积等于(cm3)．14.空间两个平面的位置关系有．15.判断正误．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )16.思考辨析，判断正误．在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行．( )三、解答题（共6题）17.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．(1) 求证：AC⊥B1D；(2) 求三棱锥C−BDB1的体积．18.几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？19.请回答下列问题：(1) 已知：l⫋α，D∈α，A∈l，B∈l，C∈l，D∉l．求证：直线AD，BD，CD共面于α．(2) 将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，求x+y的值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．21.若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？22.观察（1），（2），（3）三个图形，说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】三棱锥的侧面和底面都是三角形．故选A ． 【知识点】棱锥的结构特征2. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能，可将两条直线放在长方体里进行研究．【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】C【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为 4cm ，1cm ，2cm 和 1.6cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为 4cm ，0.5cm ，2cm ，1.6cm ． 【知识点】直观图4. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征5. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征6. 【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ， 因为侧面展开图是一个边长为 4π 的正方形， 所以 2πr =l =4π，可得 r =2，l =4π，所以圆柱的表面积为 S =2πr 2+2πrl =8π+16π2． 【知识点】圆柱的表面积与体积7. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的长方体， 长方体的底面正方形的对角线长为 2，长方体的高是 3； 所以，底面正方形的边长为 √12+12=√2，该长方体的表面积为 2×(√2)2+4×3×√2=4+12√2． 【知识点】棱柱的表面积与体积、由三视图还原空间几何体8. 【答案】B【解析】该平面可用希腊字母 α，β，γ 表示，故A 正确；该平面可用平行四边形的对角线表示，故C正确；该平面可用平行四边形的四个顶点表示，故D正确；该平面不可用平行四边形的某条边表示，故B不正确．【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】D【解析】因为球的半径为r=2，所以该球的表面积为S=4πr2=16π．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】遮住的地方应该画成虚线或不画，故选项D中的图形画法有误．【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题（共6题）11. 【答案】平行；四边形；平行；平行；公共边；公共顶点【知识点】棱柱的结构特征12. 【答案】无限延展【知识点】平面的概念与基本性质13. 【答案】12π【解析】设圆锥底面的半径为r，则r=√52−42=3，×π×9×4=12π，填12π．故V=13【知识点】圆锥的表面积与体积14. 【答案】平行、相交、重合【知识点】平面与平面的位置关系15. 【答案】√【知识点】平面的概念与基本性质16. 【答案】√【知识点】直观图三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以BB1⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC．因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D．因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D．(2) 易知V C−BDB1=V B1−BDC．因为B1B⊥平面ABCD，所以B1B是三棱锥B1−BDC的高．因为V B1−BDC =13S△BDC⋅BB1=13×12×2×2×2=43，所以三棱锥C−BDB1的体积为43．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、棱锥的表面积与体积18. 【答案】没有，平行四边形．【知识点】平面的概念与基本性质19. 【答案】(1) 因为l⫋α，A∈l，B∈l，C∈l，所以A,B,C∈α又D∈α，D∉l，所以AD⫋α，BD⫋α，CD⫋α，则直线AD，BD，CD共面．(2) x=8，y=3，x+y=11．【知识点】平面的概念与基本性质20. 【答案】(1) 取PB的中点M，连接EM，CM，过点C作CN⊥AB，垂足为N，如图所示．因为CN⊥AB，DA⊥AB，所以CN∥DA，又AB∥CD，所以四边形CDAN为矩形，所以CN=AD=8，DC=AN=6．在Rt△BNC中，BN=√BC2−CN2=√102−82=6，所以AB=12．因为E，M分别为PA，PB的中点，所以EM∥AB且EM=6，又DC∥AB，且CD=6，所以 EM ∥CD 且 EM =CD ， 则四边形 CDEM 为平行四边形， 所以 DE ∥CM ．因为 CM ⊂平面BPC ，DE ⊄平面BPC ，所以 DE ∥平面BPC ．(2) 存在．理由如下：由题意可得 DA ，DC ，DP 两两互相垂直，故以 D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ． 则 D (0,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，所以 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)． 假设 AB 上存在一点 F 使 CF ⊥BD ，设点 F 坐标为 (8,t,0)(0≤t ≤12)， 则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)， 由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0， 所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题21. 【答案】不是．【知识点】平面与平面平行关系的性质22. 【答案】图（1）表示两个相交的半平面；图（2）表示开口向里的两个相交的半平面；图（3）表示开口向外的两个相交的半平面． 【知识点】平面的概念与基本性质。
8-1 基本立体图形——高一数学人教A版(2019)必修第二册课后习题及变式训练
8.1 基本立体图形——高一数学人教A 版（2019）必修第二册课后习题及变式训练【教材课后习题】1.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，指出经过顶点D 的棱和面.2.如图，下列几何体中为棱柱的是_______（填写序号）.3.如图，汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是( ).A. B. C. D.4.如图，判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.5.如图，说出图中两个几何体的结构特征.6.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）一个棱柱至少有5个面.( )（2）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.（）（3）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.（）（4）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.（）7.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是( )A. B.C. D.8.如图，长方体ABCD A B C D ''''-被一个平面截成两个几何体，其中////EH B C FG ''.请说出这两个几何体的名称.9.如图，以ABCD 的一边AB 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.10.下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.【定点变式训练】11.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥12.如图，在三棱台111ABC A B C -中，截去三棱锥1A ABC -，则剩余的部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.五棱锥13.如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )A.（1）是圆台B.（2）是圆台C.（3）是圆锥D.（4）是圆台14.下列结论中正确的是( )A.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥B.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台C.以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱D.圆面绕其一条直径所在直线旋转180 后得到的几何体是一个球15.下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( )A. B. C. D.16.关于如图所示几何体的正确说法的序号为___________.①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.17.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是___________（填序号）.18.描述下列几何体的结构特征.19.如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？20.在一个长方体的容器中，里面装有一定量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？答案以及解析1.答案：经过顶点D 的棱有DA ，DC ，，经过顶点D 的面有平面ABCD 、平面、平面11CDD C .解析：2.答案：（1）（3）（5）.解析：3.答案：C解析：内胎厚度不考虑。
高中数学人教A版2019必修第二册 8 1 1《棱柱 棱锥 棱台》同步练习(解析版)
棱柱、棱锥、棱台基础巩固1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个2．下列图形中，是棱台的是()3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥4．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等5．下列图形中，不能折成三棱柱的是()6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.8．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．能力提升9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.11．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C 重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？素养达成12.(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体?请在(图乙)棱长为6 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.棱柱、棱锥、棱台基础巩固答案1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下列图形中，是棱台的是()【答案】C【解析】选C由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】选D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．4．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【答案】B【解析】选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.5．下列图形中，不能折成三棱柱的是()【答案】C【解析】选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．【答案】4 8【解析】四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【答案】(1)四棱柱．(2)六棱锥．(3)三棱台．【解析】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．能力提升9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()【答案】D【解析】选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.【答案】13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.11．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C 重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【答案】(1)三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝32a2.【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.素养达成12.(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6 cm 的正方体?请在(图乙)棱长为6 cm 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中指出这几个几何体的名称.【答案】(1)见图．(2)3个.【解析】(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面,且底面为正方形的四棱锥,其中垂直于底面的棱长为6 cm,底面正方形的边长为6 cm,如图甲所示.(2)需要3个(1)中的几何体,如图乙所示,分别为四棱锥A 1-CDD 1C 1,A 1-ABCD,A 1-BCC 1B 1(答案不惟一).。
人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形 第2课时 旋转体、组合体 同步练习(含答案)
人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形第2课时旋转体、组合体同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是()A.两个共底面的圆锥B.半圆锥C.圆锥D.圆柱2.如图L8-1-8所示的几何体可以由选项中某个平面图形旋转而成,这个图形是()图L8-1-8ABCD图L8-1-93.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆柱、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D.一个圆台、两个圆锥4.(多选题)下列说法中正确的是()A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫圆台B.棱台的侧棱延长后一定相交于一点C.以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台D.球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段5.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是()A.2B.2πC.2π或4πD.π2或π46.如图L8-1-10所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面(且与底面不重合),则截面图形为()图L8-1-10ABCD图L8-1-117.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的()ABCD图L8-1-128.如图L8-1-13,圆锥的正视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2,假如点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是()图L8-1-13A.6B.25C.4D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是.10.如图L8-1-14所示的几何体的结构特征是.图L8-1-1411.关于如图L8-1-15所示几何体的结构特征,下列说法正确的有.(填序号)①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体②该几何体有12条棱、6个顶点③该几何体有8个面,并且各面均为三角形④该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形图L8-1-1512.我国古代某著作中有如下记载:“今有木长三丈五尺,围之四尺.葛生其下,缠木三周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为:圆木长3丈5尺,圆周为4尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木三周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长尺.(注:1丈等于10尺)三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)指出图L8-1-16中的两个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.图L8-1-1614.(10分)如图L8-1-17所示,四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.图L8-1-1715.(5分)如图L8-1-18,某圆锥形物体的母线长为3m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为33m,则圆锥底面圆的半径等于()图L8-1-18A.1mB.32mC.43mD.2m16.(15分)如图L8-1-19所示,四边形AA1B1B为矩形,AA1=3,CC1=2,CC1∥AA1,CC1∥BB1,这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出是几棱柱;若不是棱柱,作出一个过点C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的名称.图L8-1-19参考答案与解析1.C[解析]等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是圆锥.故选C.2.A[解析]因为该几何体由一个圆台和一个圆锥组成,所以平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形(与底边垂直的腰在旋转轴上)构成,可排除B,C,D,故选A.3.A[解析]将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,如图所示.矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱,直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥.因此,将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,可得一个圆柱和两个圆锥组合而成的几何体.故选A.4.ABD[解析]根据圆台的定义可知A正确;根据棱台的定义可知B正确;以直角梯形垂直于底边的一条腰所在直线为轴旋转一周可以得到圆台,故C错误;根据球的半径的定义可知D 正确.故选ABD.5.C[解析]设底面半径为r,若矩形的长为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,解得r=4π;若矩形的宽为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,解得r=2π.故选C.6.C[解析]截面图形应为图C所示的圆环面.7.B[解析]由组合体的结构特征知,球与正方体各面相切,与各棱相离,故选B.8.B[解析]如图,圆锥的底面半径为2,故底面周长为4π.由圆锥的正视图是等边三角形,可知圆锥的母线长为4.设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为α,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=4α,解得α=π,故侧面展开图为半圆,记点B在展开图中对应的点为B',连接AB',PB',则∠CAB'=π2,蚂蚁沿表面爬行到P处的最短路程为B'P= 2+ '2=22+42=25,故选B.9.两个圆锥[解析]连接正方形的两条对角线,可知对角线互相垂直,故绕对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥,且这两个圆锥的底面重合.10.由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接,并在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的组合体[解析]由图可知,该组合体是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接,并在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的.11.①②③[解析]根据题意得,该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体,共有12条棱、6个顶点、8个面,且每个面都是三角形.故①②③正确.12.37[解析]圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即圆木的高)长为3×10+5=35(尺),另一条直角边长为3×4=12(尺),因此葛藤长为352+122=37(尺).13.解:(1)该几何体由两个四棱锥和一个三棱柱拼接而成.(2)该几何体是从一个四棱柱中挖去一个圆柱与一个半球得到的.14.解:当AD>BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体;当AD=BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是圆柱;当AD<BC时,四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.15.A[解析]作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,则该小虫爬行的最短路程为PP'.由余弦定理可得cos∠POP'= 2+ '2- '22 · '=-12,所以∠POP'=2 3.设底面圆的半径为r,则2πr=2π3×3,解得r=1,故选A.16.解:因为这个几何体中没有两个互相平行的面,所以这个几何体不是棱柱.如图,在AA1上取点E,使AE=2,在BB1上取点F,使BF=2,连接C1E,EF,C1F,则过点C1,E,F的截面将原几何体分成两部分.其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1-EA1B1F,即截去的几何体是四棱锥.。
8.1基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专题训练
高一数学人教版（2019）必修第二册【8.1基本立体图形专题训练】【基础巩固】1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB=AC=2，∠BAC= 90°，AA1=4√2，则该球的表面积为（）A.40πB.21πC.10πD.8π3.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A.8B.16C.24D.284.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A.10B.10√3C.10√2D.5√35.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=√2，点P是线段BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是（）A.√26B.5√2C.√37+1D.6+√26.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）1与B1E是异面直线1与AE是共面直线C.AE与B1C1是异面直线D.AE与BB1是共面直线7.在三棱锥P−ABC中，M，N，R，Q分别是PA，AB，BC，PC的中点，若PB=AC=m，且PB与AC所成的角为60°，则四边形MNRQ的面积为（）A.√38m2 B.√34m2 C.√32m2 D.√3m28.3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10√2cm，母线与底面所成角的正切值为√2．打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取π=3.14，精确到0.1）A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g9.圆台的两个底面面积之比为1:4，母线与底面的夹角是60∘，轴截面的面积是12√3，则圆台母线长l=（）A.2B.2√3C.3D.410.下列命题正确的是（）A.直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1//l2的充分条件是a=12；B.平面截圆锥所得的截面是圆；C.设x，y∈R，则“ x≥2且y≥2”是“ x2+y2≥4”的必要而不充分条件；D.棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等.【培优提升】11.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A、B距离之比λ(λ>0,λ≠1)是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方体的表面ADD1A1(包括边界)上的动点，若动点P满足PA=2PD，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若E是CD的中点，且满足∠APB=∠EPD，则三棱锥P−ACD体积的最大值是________.阿波罗尼奥斯12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角，则三棱锥P−AOD的外接线AC与BD的交点，若PD=2，∠APD=∠BAD=π3球表面积为________．13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．14.已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45∘，则该正四棱锥外接球的表面积为________.15.长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，其外接球的表面积为5π.（1）求该长方体的表面积；（2）求异面直线BD与B1C所成角的余弦值.16.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，N为棱CC1的中点，分别以AB,AD,AA1，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.（1）求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标；（2）求点N的坐标.17.一个圆锥的母线长为20cm，底面面积为100πcm2.（1）求圆锥的高；（2）用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的截面面积为4πcm2，求截得的圆台的母线长.18.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC和NC的长．【参考答案】1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】 C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】 C7.【答案】 A8.【答案】 C9.【答案】 D 10.【答案】 A 11.【答案】 43；4√3912.【答案】 16π 13.【答案】 61π 14.【答案】 36π15.【答案】 （1）解：设外接球的半径为 R ，则 4πR 2=5π ，解得 R =√52.设 AA 1=x ，则 x 2+12+12=(2R)2=5 ，解得 x =√3 ， 所以该长方体的表面积为 2×(1×√3+1×√3+1×1)=4√3+2 .（2）解：连接 A 1D ， A 1B ，因为 A 1D//B 1C ，所以 ∠A 1DB 是异面直线 BD 与 B 1C 所成的角或补角.又 BD =√2 ， A 1B =2 ， A 1D =2 ， 所以在 △A 1BD 中， cos ∠A 1DB =2√2)222×2×√2=√24.即异面直线 BD 与 B 1C 所成角的余弦值为√24.16.【答案】 （1）解：由已知，得 A(0,0,0) 由于点 B 在 x 轴的正半轴上， |AB|=4 ，故 B(4,0,0) .同理可得， D(0,3,0) ， A 1(0,0,5) .由于点 C 在坐标平面 xOy 内， BC ⊥AB ， CD ⊥AD ，故 C(4,3,0) . 同理可得， B 1(4,0,5) ， D 1(0,3,5) .与点 C 的坐标相比，点 C 1 的坐标中只有竖坐标不同， |CC 1|=|AA 1|=5 ，则 C 1(4,3,5) .（2）解：由（1）知，知 C(4,3,0) ， C 1(4,3,5) ，则C1C的中点为(4+42,3+32,0+52)，即N(4,3,52).17.【答案】（1）解：设圆锥的高为ℎ，圆锥的母线长为l，底面半径为r，则l=20，πr2=100π⇒r=10，则圆锥的高ℎ=√l2−r2=10√3，故圆锥的高为10√3cm2（2）解：设截得的圆台的母线长为l′，由截得的截面面积为4πcm2，得截得的截面直径为4cm，底面直径为20cm，由图得：20−l ′20=420⇒l′=16.所以截得的圆台的母线长为16cm18.【答案】（1）解: 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为√92+42=√97．（2）解:如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC=x，则P1C=x．在Rt△MAP1中，在勾股定理得(3+x)2+22=29，求得x=2．△PC=P1C=2．△ NCMA =P1CP1A= 25，△NC= 45。
2021-2022学年新教材人教A版必修第二册 8.1-8.2 基本立体图形立体图形的直观图 作业
六根本立体图形立体图形的直观图(30分钟60分)一、选择题(每题5分，共20分)1. (2021·朝阳高一检测)连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α(0°＜α＜360°)，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内．那么这个八面体的旋转轴共有()A．7条B．9条C．13条D．14条【解析】选C.由对称性结合题意可知，过EF，AC，BD的直线为旋转轴，此时旋转角α最小为90°；过正方形ABCD，AECF，BEDF对边中点的直线为旋转轴，共6条，此时旋转角α最小为180°；过八面体相对面中心的连线为旋转轴，共4条，此时旋转角α最小为120°.综上，这个八面体的旋转轴共有13条．2．(2021·白城高一检测)一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，那么原图形的周长为()A．6 B．8C．2＋3 2 D．2＋2 3【解析】选B.由斜二测画法的规那么知，与x′轴平行的线段其长度不变以及与x轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为 2 ，所以在平面图中一条对角线在y轴上，且其长度变为原来的2倍，是2 2 ，其原来的图形如下图所以原图形的周长是：2(OA＋AB)＝2×(1＋〔22〕2＋12)＝8.【加固训练】(2021·诸暨高一检测)假设边长为2的正△A1B1C1是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的面积是()A． 3 B． 6 C．2 3 D．2 6【解析】选D.由于原几何图形的面积：直观图的面积＝2 2 ∶1. 又因为正△A1B1C1的边长为2，所以S直观图＝12×2×2×sin 60°＝ 3 .原图形的面积S＝2 2 ×3 ＝2 6 .3．如下图，△A′B′C′是水平放置的三角形ABC的直观图，其中D′是A′C′的中点，且A′，B′，C′，D′与A，B，C，D分别对应，那么在原三角形ABC中，与线段BD的长相等的线段至少有()A．0条B．1条C．2条D．3条【解析】选C.先按照斜二测画法把直观图复原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′复原后为直角三角形，且D为斜边AC的中点，所以AD ＝DC＝BD.4．如下图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，那么△ABC在边AB上的高为()A．6 2 B．3 3 C．3 2 D．3【解析】选A.如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，那么2C′D′是△ABC 在边AB上的高．由于△B′C′D′是等腰直角三角形，那么C′D′＝ 2 B′C′＝3 2 .所以△ABC在边AB上的高等于2×3 2 ＝6 2 .二、填空题(每题5分，共10分)5．如下图，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，那么由图形可知以下结论中正确的选项是________．(填序号)①AB＝BC＝AC；②AD⊥BC；③AC>AD>AB>BC；④AC>AD>AB ＝BC.【解析】由直观图画出△ABC如下图，其中AB＝2BC，①错误；∠ABC＝90°，②错误；AC>AD>AB>BC，③正确，④错误．答案：③6．如下图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长为________．【解析】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如下图．那么△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.答案：9 cm三、解答题(每题10分，共30分)7．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．【解析】四边形ABCD的真实图形如下图，因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ 2 ，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2 .8．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如下图的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．【解析】轴截面如图．被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，那么CD＝BC.故x＝l.所以截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)(l<R).9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解析】(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如下图).由可得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－〔5－2〕2＝315 (cm).(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，那么由△SAO1∽△SBO可得l－12l＝25，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.关闭Word文档返回原板块。
基本立体图形 同步练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
8.1基本立体图形同步练习一一、单选题1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A．3B．3C．2D32．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（）A3B．1cm C3D333．在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为2）A．4B．42C2D．24．如图，已知正三棱柱111ABC A B C的底面边长为lcm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A点的最短路线的长为（）A．12B．13C．D．155．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为A．1B．2C．3D．06．如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45︒，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB A''为矩形，若沿AA'将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）A．B．C．D．7．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥-P ABC放置在平而α上，已知它的底面边长为2，高h，该正三棱锥绕BC边在平面α上转动（翻转），某个时刻它在平面α上的射影是等腰直角三角形，则h的取值范围是（）A．6⎛⎝⎦B．66,13⎛⎡⎤⎢⎥⎝⎦⎣⎦C．6⎛⎝⎦D．66,12⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎦⎝⎭8．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D-''''中，点P是线段AD'上的动点，E是A C''上的动点，F是BD上的动点，则PE PF+长度的最小值为（）A．1B2C6D．31二、多选题9．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是A ．2πB ．2π C ．4π D ．4π10．如图在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AC BD ==5AD BC ==E 、F 分别是AD ，BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体每个面都相交的平面a 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下列说法正确的是（ ）A ．EF AD ⊥且EF BC ⊥B ．四面体ABCD 6C ．多边形截面为矩形D 611．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则（ ） A 2B ．该棱台的表面积为203+C ．该棱台的体积为282D ．该棱台外接球的表面积为40π12．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别是AD ，1CC 的中点，P 是线段AB 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 与A ，B 两点不重合时，平面PMN 截正方体所得的截面是五边形 B ．平面PMN 截正方体所得的截面可能是三角形C ．MPN △一定是锐角三角形D ．MPN △21 三、填空题13．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的母线长为______．14．若圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB （点A 在下底面圆周上，点B 在上底面圆周上）长为20cm ，从AB 中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A ，则绳子最短的长度___________．15．如图，四面体ABCD 中，DA =DB =DC =1，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面上与点A 23的点形成一条曲线，这条曲线的长度是____________．16．“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点O 为四边形ABCD 的中心，点P 为“四脚帐篷”的“上顶点”，1OP =.用平行于平面ABCD 的平面α去截“四脚帐篷”，当平面α经过OP 的中点时，截面图形的面积为___________.四、解答题17．如图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱1CC ⊥底面ABC ，13CC =．有一只小虫从点A 沿三个侧面爬到点1A ，求小虫爬行的最短路程．18．如图，已知ABC 各顶点均在球O 的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面ABC 的距离．(1)ABC 是边长为3的正三角形；(2)ABC 是边长分别为8AB =，7AC =，6BC =的三角形． （以上结果均保留2位小数）19．三角形ABC 中，AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，各边都与半径为2的球O 相切.(1)求球心O 到三角形各边的距离；(2)求球心O 到三角形ABC 所在平面的距离； (3)求球心O 到三角形各顶点的距离.20．已知圆锥SO 的底面半径5R =，高12H =． (1)求圆锥SO 的母线长；(2)圆锥SO 的内接圆柱'OO 的高为h ，当h 为何值时，内接圆柱'OO 的轴截面面积最大，并求出最大值．21．已知圆锥的底面半径为8，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点（1）若母线长为10，求圆锥的体积;（2）若PQ 与SO 所成角为arctan 2，求,P Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.22．已知棱长为2cm 的正方体容器内盛满水，把半径为1cm 的钢球放入水中，刚好被淹没；然后放入一个铁球，使它也淹没于水中．要使流出的水量最多，这个铁球的半径应为多少？参考答案1--8BDCCC ABC9．AD 10．ABD 11．ABD 12．AD 13．3 14．50 cm 153π16．317．解：沿1AA 将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形11AA D D ，如下图所示：且326AD =⨯=，13DD =，所以，小虫爬行的最短路程为1AD 的长， 且221135AD AD DD + 18．（1）记ABC 所在小圆的半径为1r ，球心到平面ABC 的距离为1d ，则有22211d R r =-，因为ABC 是边长为3的正三角形，利用正弦定理1223sin 603AB r ==︒13r 所以221197d R r =-=19.85d ≈． （2）记ABC 所在小圆的半径为2r ，球心到平面ABC 的距离为2d ，则有22222d R r =-，因为ABC 是边长分别为8AB =，7AC =，6BC =，所以由余弦定理得22222287611cos 228716AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，又0A π<<，所以2315sin 1cos A A =- 再由正弦定理得22sin 31515BC r A ===215r =， 所以2222246659.1115d R r =-=≈． 19．（1）由各边都与半径为2的球O 相切可得球心O 到三角形各边的距离为球的半径2； （2）过三角形的平面截此球所得截面为小圆1O ，在Rt ABC △中，设l 为ABC 的周长，r 为ABC 内切圆的半径， 则12ABCSl r =⋅，得1r =，则球心O 到圆心1O 的距离为221213OO -O 到三角形ABC 3 （3）连接111,,O A O B O C ，由（2）得ABC 内切圆的半径为1，则1112OC =+()211315O A =+-()2114110O B =+-=O 到顶点A 的距离3522OA =+=O 到顶点B 的距离31013OB =+=球心O 到顶点C 的距离325OC=+=20．（1）∵圆锥SO 的底面半径5R =，高12H =， ∵圆锥SO 的母线长2213L H R =+； （2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中12SO =，5OA OB ==，()012OK h h =<<． 设圆柱底面半径为r ，则12512r h -=，即()51212h r -=．设圆柱的轴截面面积为()()()2255'21263601266S r h h h h h ⎡⎤=⋅=-=--+<<⎣⎦．∵当6h =时，'S 有最大值为30．21．（1）圆锥的底面半径为8, 母线长为10,根据勾股定理得到： 222SO AO SA += 解得6SO =22118612833V R h πππ==⨯=（2）如图所示：M 为AO 中点，连接,PM QMP 为母线SA 的中点，M 为AO 中点，则PM SO ‖，PQ 与SO 所成角为QPM ∠tan 2,452545QMQPM QM PM SO PM∠=====故22214412SA SO AO SA =+=∴=将圆锥沿SA 展开得到侧面平面图：对应圆心角为β 42812343ASQ πβππββ⨯=∴=∴∠==在SPQ ∆中，利用余弦定理得到：2222cos 1083PQ SP SQ SP SQ ASQ PQ =+-⋅∠=∴=故最短距离为322．解:过正方体对角面的截面图如图所示,设两球的交点为S123AC =3,31AO AS AO OS =-=设铁球的半径r ,12tan C AC ∠= 在1AO D 中,13AO r , 11AS AO O S ∴=+, 313r r =+.计算得出:23(cm)r =为所求要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为23.。
高一数学培训辅导(人教A版2019必修第二册)8.1 基本立体图形(精练)(原卷版)
8.1 基本立体图形（精练）【题组一多面体】1．（2020·广西崇左市·崇左高中）下列几何体中是棱锥的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（2020·广西桂林市·桂林十八中）下列命题正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱3．（2020·全国高三专题练习）一个棱锥所有的棱长都相等,则该棱锥一定不是（）A．正三棱锥B．正四棱锥C．正五棱锥D．正六棱锥4．（2021·江苏高一课时练习）棱台不具备的特点是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点5．（2021·河南焦作市）某几何体有6个顶点,则该几何体不可能是（）A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台6．（2020·全国高三专题练习（文））下列说法中正确的是（）A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫棱台D．有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥7．（2020·朝阳县柳城高级中学）下列说法正确的是（）A．棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B．用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是等腰梯形8．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥;②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥;③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥;④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥;⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.9．（2020·全国高三专题练习）给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.10．（2020·全国高三专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法中,正确说法的序号是________①用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③棱锥的侧面只能是三角形;④棱台的各侧棱延长后必交于一点;⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.11．（2021·江苏高一课时练习）如图,下列几何体中,_______是棱柱,_______是棱锥,_______是棱台(仅填相应序号).【题组二旋转体】1．（2020·浙江）以下空间几何体是旋转体的是（）A．圆台B．棱台C．正方体D．三棱锥2．（2020·东台创新高级中学高一月考）给出下列命题:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③3．（2020·全国高一课时练习）如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是（）A．①是圆台B．②是圆台C．③是圆锥D．④是圆台4．（2032·上海市）有下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点连线的长度是母线的长度;②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度;③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行;④过球上任意两点有且只有一个大圆;其中正确命题的序号是_____【题组三组合体】1．（2020·全国高一课时练习）说出图中物体的主要结构特征.2．（2020·全国高一课时练习）如图,以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,说出这个几何体的结构特征.3．（2020·全国高一课时练习）如图,说出图中两个几何体的结构特征.4．（2020·全国高一课时练习）试指出图中组成各几何体的基本元素.【题组四截面问题】1．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））如图是一个正方体的表面展开图,则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2 B．1 C．高D．考2．（2021·江苏高一课时练习）如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,截去三棱锥A′－ABC,则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体3．（2020·唐山市第十一中学高二期中）用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形面,这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆锥C．圆柱D．正方体4．（2021·江苏高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是（）A．①②B．①③C．①④D．①⑤。
高中数学必修二 8 1 基本立体图形(精练)(含答案)
8.1 基本立体图形(精练)【题组一多面体】1．(2021·福建三明·高一期中)下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为( ) A．B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中正确的是( )A．棱锥的侧面不一定是三角形B．棱锥的各侧棱长一定相等C．棱台的各侧棱的延长线交于一点D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台【答案】C【解析】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故A，B不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，C正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确.故选；C.3．(2021·全国·高一课时练习)下面图形中，为棱锥的是( )A．①③B．①③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C 4．(2021·全国·高一课时练习)一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l，由正六棱锥的高h、底面的半径r、侧棱长l构成直角三角形得，222+=，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选：D.h r l5．(2021·安徽·六安一中高一月考)给出下列命题∶①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为棱柱的侧面不一定全等，所以①错，用不平行与棱锥底面的平面解棱锥时，截面与底面之间的部分不是棱台，②错，棱台的侧面不一定是等腰梯形，③错，所以正确的命题个数为0，故选：A.6．(2021·山西柳林·高一期中)下列关于棱台的说法中错误的是( )A．所有的侧棱所在直线交于一点B．只有两个面互相平行C．上下两个底面全等D．所有的侧面不存在两个面互相平行【答案】C【解析】由棱台的定义可知：A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.7．(2021·山西高平·高一期中)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数是( )A．48 B．32 C．24 D．8【答案】A【解析】在正八棱柱的下底面中，根据正八边形的性质，其内接矩形共有6个，AHBG ADBC AFBE HDGC HFGE DFCE.分别为矩形,,,,,而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以这样的阳马个数是24，同理，以上底面中的矩形为底面的也有24个阳马，因此共48个不同的阳马．故选：A8．(2021·山西高平·高一期中)有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台其中的正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误；对于②：棱台的两个底面一定是相似多边形，所以②正确；对于③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的．故选：B9．(2021·山西高平·高一期中)下面四个几何体中，是棱台的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A是圆台，D是棱锥，C侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B是三棱台．故选：B 10．(2021·全国·高一课时练习)(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：故选:AB.【题组二旋转体】1．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的有( )①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；②圆柱不是旋转体；③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；④圆台的轴截面是等腰梯形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；③半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故③错误；④圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，④正确.综上所述：正确的为①④故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中错误的是( )A ．圆柱的母线与轴平行B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形D ．圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面【答案】B【解析】A ：圆柱的母线即为圆柱的高线，与轴平行，即A 正确；B ：因为轴截面的顶角为α时，截面面积为21sin 2S l α=，当90α︒≤时，S 为最大的；当90α︒>时，S 不是最大的，因为存在不过定点的截面θ等于90︒，sin sin θα>，B 错误；C ：圆锥所有截面的顶角相等且两腰长均为母线，C 正确；D ：根据圆柱的性质可判断D 正确.故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.故选：D.4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱【答案】B【解析】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，故选：B.5．(2021·广西百色·高一期末)将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180，所得的几何体为( ) A．一个圆锥B．两个圆锥C．一个圆台D．一个圆柱【答案】C【解析】由题意根据旋转体的定义，可得将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180得到一个圆台.故选：C.6．(2021·安徽·高一月考)有以下命题：①以半圆直径所在的直线为旋转轴旋转一周，其形成的面围成的旋转体是球；②用任意平面去截圆锥，所得的截面图形为圆；③若某圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的表面积为)(r r l π+；④以直角三角形的任意一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余两边形成的面围成的旋转体是圆锥． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由基本概念可知，①正确；用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得的截面图形不是圆，②错误；根据圆锥的表面积公式可知③正确；以斜边所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥，④错误， 故选B ．7．(2021·广东·西樵高中高一月考)(多选)下列关于圆柱的说法中正确的是( )A ．圆柱的所有母线长都相等B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180︒所形成的几何体是圆柱【答案】ABD【解析】对于A ，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A 正确，对于B，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确，对于C，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，对于D，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180 所形成的几何体是圆柱，所以D正确，故选：ABD【题组三简单的组合体】1．(2021·全国·高一课时练习)如图的组合体是由( )组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C．圆柱和棱台D．圆锥和棱柱【答案】B【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B2(2021·全国·高一课时练习)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( )A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成【答案】D【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．3．(2021·全国·高一课时练习)如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.【题组四立体图形的截面】1．(2021·山西灵丘·高一期中)如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．故选：A．2．(2021·全国·高一课时练习)如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B，C，D中,经过折叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.故选：A3．(2021·全国·高一课时练习)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．1 B．9 C．快D．乐【答案】B【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9故选：B4．(2021·全国·高一课时练习)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】A【解析】由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形， 再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”， 因此标“△”的面的方位是南. 故选：A5．(2021·贵州黔西·高一期末)在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为正方形11AA D D 和1111D C B A 的中心，3AB =，则平面CMN 截正方体所得截面的周长是( )A ．10B ．40CD ．【答案】D【解析】如图所示，延长CM ，11B A 交于点P ，连接PN 并延长，分别交11A D ，11B C 于E ，F ，连接CF ，连接EM 并延长，交AD 于点G ，连接CG ，则四边形CGEF 为所求截面，因为M 是正方形11AA D D 的中心，所以12ME EG =， 由题意易证四边形CGEF 为菱形，所以//EG CF ，EG CF =，所以//ME CF ，12ME CF =，则E 为PF 的中点，则111A E C F ==，从而CF = 故选：D.6．(2021·山西·高一月考)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是( )A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】当10A F =，即F 与1A 重合时，如图1，取11B C 的中点，截面为矩形1AEGA ； 当101A F <时，如图2，截面为平行四边形AEGF ； 当112A F <<时，如图3，截面为五边形AEGHF ，当12A F =，即F 与1D 重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF ．故选：D7．(2021·河北·高一期中)如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过E ，F ，G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为( )A ．4B ．CD ．【答案】D【解析】如图，分别取BC 的中点H ，CD 的中点I ,1DD 的中点K ，连接,,,GH HI IK KE ，因为该几何体为正方体，所以EF ∥HI ,FG ∥IK ,GH ∥KE ,且EF HI FG IK GH KE =====所以E ，F ，G 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为正六边形EFGHIK ，所以该正六边形的面积为26=故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截直三棱柱111ABC A B C -，交1111,,,AC B C BC AC 分别于点,,,E F G H .若111A A A C >，则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形. 【答案】②⑤【解析】由面111//A B C 面ABC 且111ABC A B C -为直三棱柱，易知截面中//EF HG ， 当1//FG B B 时，此时//EH FG ，四边形EFGH 为矩形； 当FG 不与1B B 平行时，四边形EFGH 为梯形. 故答案为：②⑤9．(2021·全国·高一课时练习)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号) ①三角形；②四边形；③五边形． 【答案】①②【解析】如图：按图1所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形； 按图2所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为四边形； 截面形状不可能为五边形， 所以①②正确， 故答案为：①②10．(2021·福建·高一期中)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为111,CC B C 的中点，则过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为________．【答案】92【解析】如图所示：过D ，P ，Q 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1AQPD ，因为11AQ PD PQ AD ===所以1,A D PQ 之间的距离为h所以梯形1AQPD 的面积为()(1119222S A D PQ h =⨯+⨯=⨯=， 故答案为；92．11(2021·全国·高一课时练习)一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_______．(只填写序号)【答案】① ② ③【解析】当截面与正方体的一个面平行时，截面图形如①，当截面不与正方体的一面平行时，截面图形可以为②③，对于④，四个顶点在球面上，且通过球心的截面只能为矩形，由于④中四边形为正方形，故④错误；故答案为：① ② ③【题组五 两点距离最短】1．(2021·河北张家口·高一期末)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )A B C ．1D ．3【答案】B【解析】连接1BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥. 当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：cos 2AC AB BC B ===,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，AB =12A B ===,且160AA B ∠=︒. 同理可求：12C B =因为11112A B BC AC ===，所以11A BC 为等边三角形，所以1160BAC ∠=︒， 所以在三角形1AA C '中，111120AAC AA B BAC ''∠=∠+∠=︒,111,2AA AC '==,由余弦定理得：AC '=故选B.2．(2021·上海中学高一期末)在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且DA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为( )A B C D 【答案】A【解析】因为,DA AB DA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=，所以DA ⊥平面ABC ，所以平面DAC ⊥平面ABC ，将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面DAC 与平面ABC 共面，如图，此时OD 的直线距离即为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则13==d ==OD . 故选：A3．(2021·河北·博野县实验中学高一期中)两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是( ) A ．7 B ．17 C ．5或12 D ．7或17【答案】D【解析】球的半径为13R =，设两个截面圆的半径别为1r ，2r ，球心到截面的距离分别为1d ，2d ； 球的半径为R ，由2125r ππ=，得15r =； 由22144r ππ=，得212r =；如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即211257d d --=； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即2112517d d ++=； 所以这两个平面间的距离为7或17． 故选：D ．4．(2021·贵州师大附中高一月考)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 2PA PB PC PD ====．若点E 、F 、G 分别为棱PB 、PC 、PD 上的动点(不包含端点P )，则AE EF FG GA +++的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】把四棱锥P ABCD -沿PA 展开，得到如图所示图形：AE EF FG GA +++的最小时，点,,E F G 与,A A '共线时，所以求AE EF FG GA +++的最小值即求AA '的长度，因为2PA PB ==，AB ，所以在ABP △中，结合余弦定理得222cos 222AP BP AB APB +-==⨯⨯6APB π∠=，因为ABP BCP CDP DA P '≅≅≅，所以23APA π'∠=，在APA '中，AA '==故选：C.5．(2021·湖北黄冈·高一期末)如图，正三棱锥A BCD -中，20BAD ∠=，侧棱长为2，过点C 的平面与侧棱,AB AD 相交于11,B D ，则△11CB D 的周长的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．2【答案】D【解析】将正三棱锥A BCD -沿AC 剪开可得如下图形，∵20BAD ∠=，即3CAC π'∠=，又△11CB D 的周长为1111CD D B B C '++，∴要使△11CB D 的周长的最小，则11,,,C D B C '共线，即1111CD D B B C CC ''++=， 又正三棱锥A BCD -侧棱长为2，△CAC'是等边三角形， ∴1111min ()2CD D B B C '++=. 故选：D6．(2021·湖南·高一期末)已知，如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 为1A B 上的动点，则1AP PD +的最小值为__________.【解析】如图，将11D A P 沿1A P 翻转，使点1D 转到的对应点2D 在平面1ABB 内．则211190D A B D A B ∠=∠=︒．故121124590135AA D AA B BA D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．从而，122AP D P AP D P AD +=+≥==当且仅当P 为2AD 与1A B 的交点时，上式等号成立．7(2021·全国·高一课时练习)如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)【答案】．【解析】如图所示，根据题意可得ABC 为边长为6的正三角形，所以6BC =，所以圆锥底面周长236(m)ππ=⨯=， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得66180n ππ⨯=，故180n ，则90B AC '∠=︒，所以B P =='，所以小猫所经过的最短路程是．8．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，圆台母线AB 长为20cm ，上、下底面半径分别为5cm 和10cm ，从母线AB 的中点M 拉条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值．【答案】50cm ．【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，由轴截面中t R OPA 与t R OQB 相似，得510OA OA AB =+，可求得20cm OA =． 设BOB α∠'=，由于BB '的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为210cm π⨯,扇形OBB '的半径为202040cm OA AB +=+=，扇形OBB '所在圆的周长为24080cm ππ⨯=．所以BB '的长度20cm π为所在圆周长的14，所以OB OB ⊥'． 所以在Rt B OM '△中，2224030B M ='+，所以50cm B M '=，即所求绳长的最小值为50cm ．9．(2021·山西·岢岚县中学校高一月考)如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：(1)蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．【答案】；(2)30cm ．【解析】(1)将长方体与顶点,A B 相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示：则AB 的长就为最短路线．若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿侧面爬行，如图2，则经过的最短路程为)cm AB =，若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3，则经过的最短路程为)cm AB =，74<；(2)最长的路线应该是依次经过棱长为5,4,5,4,3,4,5的路线，由()545434530cm ++++++=，所以最长路程是30cm ．。
人教A版(2019)数学必修第二册 8
人教A版（2019）数学必修第二册 8.1基本立体图形一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）下列几何体中是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2分）下列几何体是组合体的是（）A．B．C．D．3．（2分）下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．4．（2分）下列说法中正确的是()A．圆锥的轴截面是等边三角形B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱5．（2分）下列命题中，真命题的个数是（）①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④相邻两个面垂直于底面的棱柱是直棱柱；⑤各侧面是全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥；⑥三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则这个棱锥的三条侧棱长相等.A．0B．1C．2D．36．（2分）在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行7．（2分）下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A．B．C．D．8．（2分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由()A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成9．（2分）如图是日常生活中常用到的螺母，它可以看成一个组合体，其结构特征是（）A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱10．（2分）以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥11．（2分）图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（1）（5）12．（2分）五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条13．（2分）下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是()A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥14．（2分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线15．（2分）一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥二、填空题(共4题；共4分)16．（1分）直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是．17．（1分）下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.18．（1分）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.19．（1分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，则其中判断正确的个数是.三、解答题(共5题；共40分)20．（10分）根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.（1）（5分）由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.（2）（5分）由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形. 21．（5分）如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．22．（15分）如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：（1）（5分）折起后形成的几何体是什么几何体？（2）（5分）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？（3）（5分）每个面的三角形面积为多少？23．（5分）如下图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？24．（5分）直角梯形ABCD如图所示，分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个．故答案为：C．【分析】根据棱柱的定义进行判断即可．2．【答案】D【解析】【解答】A，B，C分别是圆锥、圆柱、球，都为简单几何体；D为圆台去掉一个圆锥，为组合体，故答案为：D.【分析】利用组合体的概念进行判断，即可得结果.3．【答案】A【解析】【解答】根据下面是圆台，上方是圆锥，可知应选A.故答案为：A【分析】利用旋转体的构成平面找出正确的选项。
人教A版必修第二册《8.2 立体图形的直观图》练习卷(1)
人教A版必修第二册《8.2 立体图形的直观图》练习卷（1）一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是()A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是()A. 等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B. 梯形的直观图可能不是梯形C. 正方形的直观图为平行四边形D. 正三角形的直观图一定为等腰三角形3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=√3，那么原△ABC中∠ABC的大小是()2A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘4.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A′B′//y′轴，O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A. 2√2B. √2C. 16√2D. 15.三角形ABC的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABC的面积为()A. 1B. 2C. √2D. √226.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形为()A. B. C. D.7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是()A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）8.水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）9.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD−A′B′C′D′的直观图．10.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．11.一个四边形的直观图是一个底角为450，腰和上底均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查对斜二测画法的理解，属基础知识的考查．由斜二测画法规则直接判断即可．解：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．故选A．2.答案：C解析：本题考查的知识点是斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键．根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可得：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图是一个钝角三角形，进而得到答案．解：根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可得：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图是一个钝角三角形，故选C．3.答案：C解析：本题考查的知识点是斜二侧画法，三角形形状的判断，解答的关键是斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，属于基础题．根据斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，进而分析出△ABC的形状，可得结论．解：根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2，AO=2A′O′=√3．故原△ABC是一个等边三角形．故选：C．4.答案：A解析：本题考查平面图形与直观图的关系，注意斜二测画法中的线线关系以及角的关系，考查计算能力．利用面积公式，求出直观图的高，求出A′B′，然后求出A′O′的长．解：因为A′B′//y′轴，所以在△ABC中，AB⊥OB，又三角形的面积为16，AB⋅OB=16．所以12∴AB=8，所以A′B′=4．如图作A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′=A′C′，所以A′C′的长为：4⋅sin45°=2√2．故选A．5.答案：B解析：解：∵OA=1，OB=2，∠ACB=45°∴原图形中两直角边长分别为2，2，×2×2=2．因此，Rt△ACB的面积为S=12故选：B．用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积．本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查了空间几何体的斜二测画法，属于基础题．先求出直观图中正方形对角线的长度，进一步可得原图形位于y轴上的对角线长，由此可得答案．解：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为√2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2√2．故选A．7.答案：C解析：本题考查平面图形的直观图，属于基础题．根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状．解：将矩形O′A′B′C′还原后，得到平行四边形OABC，如图所示，则OD=2O′D′=2×2√2=4√2，CD=C′D′=2，∴OC=√OD2+CD2=√(4√2)2+22=6，∴OA=OC，∴平行四边形OABC是菱形．故选C．8.答案：√2解析：本题考查了平面图形的直观图，属于基础题．OA=2，O′C′=OC=4，由斜二测画法画出的该正方形的直观图，由斜二测法的规则，得O′A′=12∠A′O′C′=45°，四边形A′B′C′O′是平行四边形，由此能求出顶点B′到x′轴的距离．解：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′=2，∠B′C′E=45∘，=√2．所以B′E=B′C′sin45∘=2×√229.答案：解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD．(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．解析：本题主要考查直观图的画法，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，依照画轴−画底面−画侧棱−成图四步依次作图即可．10.答案：解：如图，在正六边形ABCDEF中，以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设正六边形交y轴于G，H，画相应的x′，y′轴，使得∠x′O′y′=45°(或135°)，在x′轴上截取F′C′=FC，且使O′为F′C′的中点，HG，使O′为H′G′的中点，在y′轴上截取H′G′，且=12分别过H′，G′作E′D′//x′，A′B′//x′，且E′D′=ED，A′B′=AB，H′为E′D′的中点，G′为A′B′的中点．连接A′F′、F′E′、D′C′、B′C′，则六边形A′B′C′D′E′F′为正六边形ABCDEF的水平放置的直观图．解析：直接利用斜二测画法的原则画直观图即可．本题主要考查直观图的画法，熟记斜二测画法的原则是解决本题的关键，是基础题．11.答案：2+√2解析：解法一：如图中(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴.因为∠A′B′C′=450，所以B′A′所在直线为y′轴.过点D′作D′E′//A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′=A′D′=1.又因为梯形为等腰梯形，所以ΔE′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′=√2.在建立一个直角坐标系xBy，如图(2)，在x轴上截取线段BC=B′C′=1+√2，在y轴上截取线段，BA=2B′A′=2.过A作AD//BC，截取AD=A′D′=1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的原平面图形.四边形ABCD为直角梯形，上底AD=1，下底BC=1+√2，高AB=2，所以梯形ABCD的面积为S=12AB⋅(AD+BC)=12×2×(1+1+√2)=2+√2.解法二：四边形的直观图是一个底角为450，腰和上底均为1的等腰梯形的面积为S′=(1+1+√2)×√222=√2+12.所以原四边形的面积为√2+12√24=√2×(√2+1)=2+√2．。
人教A版高中数学必修第二册8.1基本立体图形 经典例题及课后练习题
变式练习题 14. 下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)
【答案】③ 【分析】根据棱台的定义和性质判定. 【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图① 中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台. 图③符合棱台的定义与结构特征. 故答案为：③ 15. 下列说法中正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B. 在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一 定可当作它的底面 C. 棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 D. 在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 【答案】D 【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于 A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误； 对于 B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误； 对于 C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误； 对于 D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.
拓广探索 13. 下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例. （1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱； （2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台. 【答案】（1）错误，反例见解析，（2）错误，反例见解析 【分析】 根据棱柱和棱台的定义进行判断. 【详解】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①. （2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②.
【答案】（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四梭柱和四棱锥组合而成的简单 组合体.
【分析】
根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理，即可得出结论.
人教A版(2019)必修第二册《基本立体图形》同步练习
人教A版（2019）必修第二册《8.1 基本立体图形》同步练习一、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为()A. 49π2B. 49π C. 81π2D. 81π2.（5分）一个长方体底面为正方形且边长为4，高为ℎ，若这个长方体能装下8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则ℎ的最小值为()A. 8B. 2+2√7C. 2+2√5D. 63.（5分）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为()A. 5B.C. 9D. 34.（5分）已知正方体的外接球O的半径为√3，则过该正方体的三个顶点的平面截球O 所得的截面的面积为()A. 2π或8π3B. 3π或8π3C. 2π或3πD. 2π或3π或8π3 5.（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()A. √524πR3 B. √58πR3C. √324πR3 D. √38πR36.（5分）用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的()A. 重心B. 外心C. 内心D. 垂心7.（5分）如图，在正四面体P−ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论不成立的是()A. BC//平面PDFB. DF⊥平面PAEC. 平面PDE⊥平面ABCD. 平面PDF⊥平面PAE8.（5分）由曲线x2=4y，x2=−4y，x=4，x=−4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2⩽16，x2+(y−2)2⩾4，x2+(y+2)2⩾4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则()A. V1=12V2 B. V1=23V2 C. V1=V2 D. V1=2V29.（5分）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为()A. 7√33π B. 7√36π C. 7√1512π D. 7√1524π10.（5分）下列结论正确的是()①正棱柱的侧面均为全等的矩形；②棱台侧棱所在的直线必交于一点；③矩形旋转一周一定形成一个圆柱；④用平面截圆锥，截面图形均为等腰三角形．A. ①②B. ①④C. ③④D. ①②③11.（5分）碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：312.（5分）已知侧棱长为2a的正三棱锥(底面为等边三角形)其底面周长为9a，则棱锥的高为()A. aB. 2aC. √32a D. √327a13.（5分）已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB=BC=CD=DA=BD= 2，二面角A−BD−C的大小为120∘，则球O的表面积为()A. 8πB. 12πC. 28π3D. 32π314.（5分）已知三棱台ABC−A1B1C1中，三棱锥A−A1B1C1的体积为4，三棱锥A1−ABC的体积为8，则四面体的体积为()A. 3√3B. 4√2C. 4√3D. 4√715.（5分）一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水(图一)，将容器歪倒放在水平放置的桌面上，设水面截底面得到的弦AB所对的圆心角为θ，则()A. θ=π3B. θ=2π3C. π3=θ−sinθ D. 2π3=θ−sinθ二、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）已知三棱柱ABC−A1B1C1的高等于2，侧棱垂直于底面，侧面BC C1B1的中心是三棱柱ABC−A1B1C1外接球的球心，若该外接球的体积为323π，则三棱柱ABC−A1B1C1的体积的最大值是___________.17.（5分）已知一个空心密闭(表面厚度忽略不计)的正四面体工艺品的棱长为3√6，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为______ ．18.（5分）为提高学生的动手能力，学校的学科拓展中心建立了3D打印中心和陶瓷DIY工作坊.一名同学在3D打印中心用橡胶打印了如图(1)所示的模具，该模具是棱长为2的正方体截去两个三棱锥后剩下的部分.该同学又在陶瓷DIY工作坊做了5个异形瓶，其瓶口形状如图(2)中①②③④⑤所示，则此橡胶七面体模具能作为图(2)中哪种异形瓶的瓶塞？答： ______ (写出所有满足条件的编号).19.（5分）已知ΔABC的三边长分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PA丄平面ABC，则三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形；②若PM丄平面ABC，且M是AB边中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC丄平面ABC，则ΔPCM面积的最小值为152；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是ΔABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为√23．其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)20.（5分）已知三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=1，SB=SC=2，若点P为三棱锥S−ABC的外接球的球心，则这个外接球的半径是________.三、多选题（本大题共5小题，共20分）21.（4分）若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为√2，A，B是直线l1上的点，且AB=2，C，D分别是直线l2，l3上的点，则()A. △ABC的面积是定值B. △ACD面积的最小值是12C. 三棱锥D−ABC的体积是23D. 4CD→2−(AB→·CD→)2=822.（4分）已知正方形ABCD的边长为2，将ΔACD沿AC翻折到ΔAC D′的位置，得到四面体D′−ABC，在翻折过程中，点D′始终位于ΔABC所在平面的同一侧，且BD′的最小值为√2，则下列结论正确的是()A. 四面体D′−ABC的外接球的表面积为B. 四面体D′−ABC体积的最大值为√63C. 点D的运动轨迹的长度为D. 边AD旋转所形成的曲面的面积为23.（4分）正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，点P在线段BC1上运动，点Q在线段AA1上运动，则下列说法中正确的有()A. 三棱锥A−D1PC的体积为定值B. 线段PQ长度的最小值为2C. 当P为BC1的中点时，三棱锥P−AB B1的外接球表面积为2πD. 平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形24.（4分）如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是AD，CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是()A. 平面PMN截正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六边形B. 当点P与A，B两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形C. ΔMPN是锐角三角形D. ΔMPN面积的最大值是√21225.（4分）已知圆锥的底面半径为1，高为2√2，S为顶点，A，B为底面圆周上两个动点，则().A. 圆锥的体积为2√2ππB. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为23C. 圆锥截面SAB的面积的最大值为2√2D. 从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3√3四、解答题（本大题共6小题，共30分）26.（5分）已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，异面直线PB与CD所成的角θ满足tanθ=2，求此圆柱的体积．27.（5分）如图，边长为4的正方形AB B1A1为圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上一点.(1)求证：AC⊥平面BB1C.(2)求圆柱的表面积和体积.28.（5分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的组合体．(1)求该组合体的表面积．(2)求该组合体的体积．29.（5分）某圆台上、下底面半径和母线的长度比为1:4:5，高为8cm.附公式：圆台的表面积S=π(r′2+r2+r′l+rl)，其中r′，r分别为上、下底面圆的半径，l为母线长．(1)求圆台的母线长；(2)求圆台的表面积．30.（5分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：(1)三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)求该最短路线的长及A1M的值；AM(3)三棱锥C1−ABM体积.31.（5分）如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：画出该几何体的轴截面，如图所示：由题意得，该圆柱底面圆的半径为R =92，圆柱的高为ℎ=2×92=9， 所以该圆柱的侧面积为S 侧=2π×92×9=81π.故选：D.由题意得出该圆柱底面圆的半径和高，由此计算圆柱的侧面积． 此题主要考查了圆柱与球的结构特征应用问题，是基础题．2.【答案】B;【解析】由题意得，当球如图所示的装入长方体时，ℎ最小，设中间大球的球心为O ，下面四小球的球心分别为A,B,C,D ，则O 到平面ABCD 的距离均为√7，所以ℎ的最小值为2√7+2，故选B.3.【答案】B; 【解析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得答案． 解：∵圆锥的底面半径r =4，高ℎ=3， ∴圆锥的母线l =5， ∴圆锥侧面积S =πrl =20π，设球的半径为r ，则4πr 2=20π，∴r =√5 故选B.4.【答案】D;【解析】解：设正方形的棱长为a ，外接球的半径R ，则(2R )2=3a 2，而R =√3，所以a 2=4，该正方体的三个顶点的平面由3中情况，对角截面，对角线顶点和底面，①当截面为对角截面：ACC ′A′时，为矩形，外接圆的直径为矩形的对角线即(2r )2=a 2+(√2a)2，所以r 2=34a 2=3，所以外接圆的面积S =πr 2=3π；②当截面为对角线顶点：A′BD 为等边三角形边长为√2a ，所以外接圆半径r ，2r =√2asin60°，所以r =√2a√3，所以外接圆的面积S =πr 2=π.23a 2=8π3；③当截面为正方形的底面时，外接圆的半径r ，2r =√2a ，所以r 2=12a 2=2，所以外接圆的面积S =πr 2=2π；综上所述，截面的面积为：2π或3π或8π3； 故选：D ．分别讨论过该正方体的三个顶点的平面3种情况，再求由多边形的外接圆的半径，进而求出截面的面积．考查多边形的外接圆的半径的求法及球内接多面体的棱长与外接球的半径之间的关系，属于中档题．5.【答案】C; 【解析】此题主要考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查扇形的弧长公式，考查计算能力，属于基础题．求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．解：设卷成的圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为ℎ， 则2πr =πR ，所以r =R2， 则ℎ=√R 2−r 2=√3R2， 所以V =13πr 2ℎ=√324πR 3，故选C.6.【答案】D;【解析】解：用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方形的那个顶点作为三棱锥的顶点，则三棱锥的三条侧棱中，每两条之间的夹角都是90°，则三条侧棱两两垂直，即SB⊥SA，SB⊥SC，∵SA∩SC=S，∴SB⊥面SAC，∵AC⊂面SAC，∴SB⊥AC，过S向底面做垂线，垂足为O，连接BO，并延长交AC于D，由三垂线定理知BD⊥AC，即BD是三角形的高线，∴三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，故选：D．一条侧棱就垂直于另外两条侧棱所组成的面，即垂直于在面上的底面的一条边，过顶点向底面做垂线，连接底面的顶点和垂足，根据三垂线定理得到连线是高线，得到三条高线的交点是垂心．该题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力和空间思维能力，是基础题．7.【答案】C;【解析】解：∵在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF//BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC//平面PDF，故A正确；∵AB=AB=PB=PC，E是BC中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，∵DF//BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，∵平面PAE∩平面PDE=PE，且PE与平面ABC不垂直，∴平面PDE与平面ABC不垂直，故C错误；∵DF⊥平面PAE，且DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故D正确．故选：C.由DF//BC，能证明BC//平面PDF；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC 不垂直；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE.此题主要考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.【答案】C;【解析】解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π(42−4|y|)，S2=π(42−y2)−π[4−(2−|y|)2]=π(42−4|y|)∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C．由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．这道题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9.【答案】D;【解析】解：圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为α， 则其面积为12×α×42−12×α×22=3π，得α=π2，所以扇环的两个圆弧长分别为π和2π，设圆台的上底半径，下底半径分别为r 1，r 2，圆台的高为ℎ， 则2πr 1=π，2πr 2=2π，所以r 1=12,r 2=1，又圆台的母线长l =4−2=2， 所以圆台的高为ℎ=√22−(1−12)2=√152， 所以圆台的体积为V =13π[(12)2+12+12×1]×√152=7√1524π.故选：D.由条件结合扇形面积公式可求圆台的上下底面的半径，结合圆台的轴截面图形可求圆台的高，利用圆台体积公式求其体积．此题主要考查圆台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．10.【答案】D;【解析】解：对于①，正棱柱的底面是正多边形，且侧棱于底面垂直，所以侧面均为全等的矩形，即①正确；对于②，棱台的每条侧棱延长后，均相交于一点，即②正确； 对于③，矩形旋转一周，得到圆柱，即③正确；对于④，用平行于底面的平面截圆锥，截面图形是圆，即④错误， 所以正确的是①②③． 故选：D.①由正棱柱的性质，可判断； ②由棱台的结构特征，可判断； ③矩形旋转一周得到圆柱；④举反例，用平行于底面的平面截圆锥，截面图形不是等腰三角形．此题主要考查几种常见旋转体和多面体的结构特征，考查空间立体感，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解：由题意，人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈， 因为圆的周长为c =2πr ，所以圆盘与碌碡的半径之比为3：1，所以圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为3：2， 所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1：3. 故选：B.由题意结合圆的周长公式，得到它们的半径之比，从而求得答案．此题主要考查了空间几何体的结构特与应用问题，解答该题的关键是正确理解木柄绕圆盘转动1周与碌碡恰好滚动了3圈之间的关系，是基础题．12.【答案】A; 【解析】该题考查正棱锥的结构特征，及正三棱锥高的求法，属于基础题．根据正三棱锥的结构特征，先求出底面中心到顶点的距离，再利用侧棱长求高．解：如图示：∵正三棱锥底面周长为9a ，∴底面边长为3a ， ∵正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心O ， ∴OA =23AD =23×3a×√32=√3a ，在Rt ΔPOA 中，高PO =√PA 2−OA 2=√4a 2−3a 2=a ， 故选：A ．13.【答案】C; 【解析】此题主要考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径是解答该题的关键，是中档题．求出底面三角形ABC 的外接圆的半径，进一步求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．解：二面角A −BD −C 的大小为120∘，取BD 的中点E ，则∠AEC =120°，得AC 2=AE 2+EC 2−2AE ⋅EC ⋅cos 120°=(√3)2+(√3)2−2×(√3)2×(√3)2×(−12)=9. ∴AC =3.设ΔABC 的外接圆的半径为r ，则2r =2sin 60∘=4√33，则r =2√33. ∴球O 的半径R =(2√33)=√73.∴球O 的表面积为4π×(√73)2=28π3.故选C.14.【答案】B; 【解析】此题主要考查了棱台的结构特征和棱锥的体积，属于基础题.先得出上底面与下底面的面积比，可得底面边长比，则S ΔB 1CC 1:S ΔB 1BC =1:√2，所以V A−B 1CC 1=√22V A−B 1BC，计算可得.解：由三棱锥A −A 1B 1C 1的体积为4，三棱锥A 1−ABC 的体积为8，所以上底面与下底面的面积比为1：2，则B 1C 1:BC =1:√2， 所以S ΔB 1CC 1:S ΔB 1BC =1:√2， 所以V A−B 1CC 1=√22V A−B 1BC=√22V B 1−ABC =√22V A 1−ABC =√22×8=4√2，故选B.15.【答案】D;【解析】解：设圆柱体底面半径为r ，高为ℎ， 则水的体积为13πr 2ℎ，水平放置后，水的体积为(θ2π.πr 2−12r 2.sinθ)ℎ，所以13πr 2ℎ=(θ2π.πr 2−12r 2.sinθ)ℎ，解得2π3=θ−sinθ. 故选：D.根据水平放置前后的水的体积相等，列出方程，化简即可求解．此题主要考查了圆柱体的理解和应用，主要考查了圆柱体体积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．16.【答案】6;【解析】抓住当直角ΔABC是等腰三角形时其面积最大，进行求解；解：设外接球球心为O，∵外接球的体积是223π，∴外接球半径是2，取BC的中点D，连接OD，∵BB1⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，∵三棱柱的高是2，∴OD=1，∴AD−BD=CD=√3，∴∠BAC=90°当直角ΔABC是等腰三角形时其面积最大，此时AB=AC=√22BC=√22×2√3=√6，∴最大面积是S=12×√6×√6=3，所以V=3×2=6.故答案是6.17.【答案】√3;【解析】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4×13×r×√34×(3√6)2=13×√34×(3√6)2×√(3√6)2−(23.√32.3√6)2，所以r=32，设正方体的最大棱长为a，∴3a2=9，∴a=√3．故答案为：√3．在一个棱长为3√6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．18.【答案】①②⑤;【解析】解：由题意，只需在图(1)的七面体中找到截面与图(2)的瓶口对应，即可将其作为对应异形瓶的瓶塞，通过作图可知，①②⑤均可以在图(1)中找到对应的截面，入下图的1、2、3，而③④无法找到对应的截面．故答案为：①②⑤．根据题意，只需在图(1)的七面体中找到截面与图(2)的瓶口对应，即可将其作为对应异形瓶的瓶塞，由此分析判断即可．此题主要考查了空间几何体结构特征的理解和应用，解答该题的关键是熟练掌握常见空间几何体的定义以及结构特征，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．19.【答案】①②④;【解析】解：对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形，故①正确；对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2=PM2+MA2，PB2=PM2+BM2，PC2=PM2+CM2，因为M是RtΔABC斜边AB的中点，所以BM=AM=CM，故PA=PB=PC，故②正确；对于③，当PC⊥平面ABC时，SΔPCM=12PC⋅CM=12×5×CM．CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为125，所以SΔPCM的最小值是12×5×125=6，故③错误；对于④，设ΔABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2= PC2，又内切圆半径r=12(3+4−5)=1，所以OC=√2，PO2=PC2−OC2=25−2=23，故PO=√23，故④正确．综上，正确的命题有①①①．故答案为：①①①．由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，从而得到四个面都是直角三角形；连接CM，当PM⊥平面ABC时，得到BM=AM=CM，从而得到PA=PB=PC；当PC⊥平面ABC时，CM⊥AB时，CM取得最小值，由此求出SΔPCM的最小值是6；设ΔABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2=PC2，从而能求出PO=√23．该题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】32;【解析】此题主要考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题．三棱锥扩展为正四棱柱(长方体)，两个几何体的外接球是同一个球，求出正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．∵三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且P为三棱锥外接球的球心，∴可以把三棱锥S−ABC看为长方体的一部分，P为长方体的对角线的中点．所以外接球的半径为√12+22+222=32.故答案为32.21.【答案】ABD;【解析】此题主要考查三棱柱中的定值问题，涉及三棱锥的体积和向量的数量积，属于较难题. 根据题设构造三棱柱AE1F1−BEF，再结合三棱柱的结构特征及锥体的体积公式和向量的数量积逐一判断即可.解：构造如图所示的直三棱柱AE1F1−BEF，由题设得BE=BF=AE1=AF1=1,EF=E1F1=√2，选项A ，△ABC 中，点C 到直线l 1的距离为定值1， 则△ABC 的面积为12×2×1=1是定值，故A 正确；选项B ，要使得△ACD 面积最小，则边CD 要最小，且点A 到CD 的距离最小，从而当CD 为图中的边E 1F 1时，满足要求，此时CD =E 1F 1=√2， 又AE 12+AF 12=E 1F 12，所以AE 1⊥AF 1， 故点A 到E 1F 1的距离为12E 1F 1=√22，从而△ACD 面积的最小值是12×√2×√22=12，故B 正确；选项C ，由题设知点D 到平面ABC 的距离为1， 则三棱锥D −ABC 的体积是13×1×1=13，故C 错误； 选项D ，设向量AB →与CD →的夹角为θ，则4CD →2−(AB →⋅CD →)2=4CD →2−(|AB →||CD →|cosθ)2=4|CD →|2(1−cos 2θ)=4(|CD →|sinθ)2， 又∵AB//EE 1，∴直线EE 1与CD 所成的角为θ或π−θ， 则|CD →|sinθ=EF =√2，故4CD →2−(AB →⋅CD →)2=4(|CD →|sinθ)2=4×(√2)2=8，D 正确.22.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查空间直线与平面的位置关系，球体表面积，考查折叠前后的变化及最值和运用平面几何知识解决的方法，同时考查棱锥体积的计算，属于中档题.如图，取AC 中点为E.连接BE ，D′E ，故AC 的中点E 为三棱锥D ′−ABC 外接球的球心，半径为BE =√2，经过计算即可求解A ，B 正误.因为BD ′的最小值为√2，所以面AD ′C 与面ABC 夹角为60°，经过计算即可得到C ，D 正误.解：如图，取AC 中点为E.连接BE ，D′E ，对于A ，正方形ABCD 翻折后，AD ′⊥D′C ，AB ⊥BC ， 故AC 的中点E 为三棱锥D ′−ABC 外接球的球心，半径为BE=√2.故四面体D′−ABC的外接球的表面积为4π×(√2)2=8π，故正确;对于B，当面AD′C⊥面ABC时，四面体D′−ABC的体积最大，最大值为13×12×2×2×√2=2√23，故错误;因为BD′的最小值为√2，且D′E=BE=√2所以面AD′C与面ABC夹角为60°，所以点D翻折了120°，且是半径为√2的弧长，所以点D的运动轨迹的长度为120°180°π.√2=2√23π，C正确；边AD旋转所形成的曲面的面积为12×2×2√23π=2√23π，故选ACD，23.【答案】ABD;【解析】考查三棱锥的体积，球体表面积，空间几何体的结构特征，是中档题. 对各项逐一判断即可.解：V A−D1PC =V C−AD1P=13×12×2×2√2×√2=43，A正确；当Q与A，P与B分别重合时，线段PQ的长度最小，值为2，B正确；当P为BC1中点时，三棱锥P−AB B1的外接球半径R=√12+12=√2，表面积为S=4πR2=8π，C错误；由题意平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形，D正确.故选ABD.24.【答案】BD;【解析】此题主要考查了几何体中的截面问题，属于中档题.需在不同的平面内构造平行线，将平面PMN进行扩展，发现其与正方体各个面上的交线，从而获得截面的形状.解：如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长，分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交DD1，BB1于R，S两点，连接RM，SP，此时截面为五边形MPSNR，故B正确;当点P与点A或点B重合时，截面为四边形，不可能为六边形，故A错误;考虑ΔPMN，当点P与点A重合时，MN=√6，PM=1，PN=3，此时因为MN2+PM2<PN2，故∠PMN为钝角，所以C错误;当点P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值，此时ΔMPN的面积取到最大值，最大值为√212，故D正确.故答案选：BD.25.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积，旋转体上的最短距离问题，属于中档题.对四个选项，根据圆锥的结构特征利用已知条件逐一判断即可．解：圆锥的体积V=13πr2ℎ=2√23π，故选项A错误；由已知求得圆锥的母线长为√12+(2√2)2=3，如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，则3θ=2πr，所以θ=2π3，故B正确；由于A和B为底面圆周上两个动点，由于满足SA=SB，所以△SAB为等腰三角形，由条件得圆锥的轴截面三角形SAC的顶角∠ASC是一个锐角，0<∠ASB⩽∠ASC，S△SAB=12×3×3×sin∠ASB，当∠ASB=∠ASC时，sin∠ASB最大，三角形SAB面积的最大值为12×2r×ℎ=2√2，故C正确；把圆锥侧面展开，则细绳的最短长度即为AC=2×3×sinπ3=3√3，故D正确．故选：BCD.26.【答案】解：设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，由矩形ABCD内接于圆O，可知AC是圆O的直径，∴2r=AC=√62+82=10，得r=5，由AB//CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即tan∠PBA=2，在直角三角形PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，∴圆柱的体积V=πr2⋅PA=π×52×12=300π．;【解析】该题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB与CD所成的角θ满足tanθ=2”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．27.【答案】证明：（1）∵长为4的正方形ABB1A1为圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上一点．∴AB是底面圆直径，C是底面圆上一点，∴AC⊥BC，∵BB1⊥底面圆，AC⊂底面圆，∴AC⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1C．解：（2）∵边长为4的正方形ABB1A1为圆柱的轴截面，∴圆柱的底面半径r=2，高h=4，∴圆柱的表面积S=2πr2+2πh=2π×22+2π×4=16π．圆柱的体积V=πr2h=π×22×4=16π．;【解析】(1)推导出AC⊥BC，AC⊥BB1，由此能证明AC⊥平面BB1C.(2)圆柱的底面半径r=2，高ℎ=4，由此能求出圆柱的表面积和体积．此题主要考查线面垂直的证明，考查圆柱的体积的求法，考查圆柱及其轴截面性质等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是中档题．28.【答案】解：（1）该组合体的表面积为S组合体=S长方体+S圆柱侧=2×（8×8+4×8+4×8）+2π×2×8=256+32π；（2）该组合体的体积为V组合体=V长方体+V圆柱=4×8×8+π×22×8=256+32π．;【解析】(1)根据组合体的表面积为S组合体=S长方体+S圆柱侧，计算即可；(2)根据组合体的体积为V组合体=V长方体+V圆柱，计算即可．该题考查了简单组合体的表面积与体积计算问题，是基础题．29.【答案】解：(1)由题意可设圆台上、下底面半径和母线长分别为xcm，4xcm，5xcm，其轴截面如下图：由勾股定理得(5x)2=(4x−x)2+82，解得x=2，故圆台的母线长l=5x=10cm.(2)由(1)可知，圆台的上底面半径r′=2cm，下底面半径r=8cm，圆台的母线长为l= 10cm，故圆台的表面积为S=π(r′2+r2+r′l+rl)=168πc m2.;【解析】此题主要考查圆台的底面半径、高、母线之间的关系，以及圆台的表面积，属于中档题.(1)由已知，可设圆台上、下底面半径和母线长分别为xcm，4xcm，5xcm，由轴截面可解得x，进而求得母线l；(2)由圆台的表面积公式直接求得.30.【答案】解：(1)因为正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，所以其对角线长为√62+22=2√10；(2)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120∘使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交于M，则DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为DC1=√DC2+CC12=√42+22=2√5，∵ΔDMA≌ΔC1MA1，∴AM=A1M，=1；故A1MAM(3)∵CC1//平面ABM，∴V C1−ABM =V C−ABM=V M−ABC，=13SΔABC⋅AM=1 3×12×2×√3=√33.;【解析】此题主要考查了棱锥的体积和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，是基础题.(1)根据题中数据，可得侧面展开图长和宽，可得其对角线长；(2)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120∘使其与侧面AA1C1C在同一平面上，DC1是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，计算可得结果；(2)由V C1−ABM=V C−ABM=V M−ABC，计算即可.31.【答案】解：圆柱的母线长ℎ=6，底面半径r=2，∴圆锥的母线长为√62+22=2√10，∴圆锥的侧面积为：πrl=4√10π，圆柱的底面面积为：πr2=4π，圆柱的侧面面积为：2πrh=24π，故该几何体的表面积为：(28+4√10)π.;【解析】根据圆柱的母线及底面半径，求出圆锥的母线，求出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，圆柱的底面面积，相加可得答案．此题主要考查的知识点是旋转体，圆柱和圆锥的表面积公式，难度不大，属于基础题．。
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人教A版必修第二册《8.1 基本立体图形》练习卷（1）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.如图所示的四个几何体，其中判断正确的是()(1)(2)(3)(4)A. (1)不是棱柱B. (2)是棱柱C. (3)是圆台D. (4)是棱锥2.设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体②棱长都相等的直四棱柱是正方体③底面是矩形的平行六面体是直平行六面体，其中真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33.下列命题，其中说法错误的是()A. 命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0”B. “x=4”是“x2−3x−4=0.”的充分条件C. 命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为真命题D. 命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”4.在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于36.现有下列三种叙述，其中正确的个数是()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A. 0B. 1C. 2D. 37.下列说法正确的是()A. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D. 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台8.有下列四个命题①“若b=3，则b2=9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”；④“若A∪B=A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 49.下列说法正确的是()A. 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线10.下列说法正确的是()A. 经过三个点有且仅有一个平面B. 四边形一定是平面图形C. 梯形一定是平面图形D. 经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．12.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.(本题第一空2分，第二空3分.)13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2√2，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF//平面ACB1，则EF=______．14.给定下列四个命题：①连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③经过圆锥任意两条母线的截面是一个等腰三角形；④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆的半径.其中不正确的命题的序号为__________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知球的表面积为1680cm2，求与球心的距离为9cm的截面的面积。
16.已知圆台的一个底面半径是另一个底面半径的3倍，轴截面的面积等于288cm2，母线与轴的夹角是45º，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．17.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2cm和5cm，圆台的母线长是12cm，求圆锥SO的母线长．18.如图所示，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD//AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．解：(1)满足前后面互相平行，其余的面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，∴(1)是棱柱，故A错误；(2)中不满足相邻四边形的公共边互相平行，∴(2)不是棱柱，故B错误；(3)中上下两个圆面不平行，不符合圆台的结构特征，∴(3)不是圆台，故C错误；(4)符合棱锥的结构特征，∴(4)是棱锥，故D正确．故选D．2.答案：A解析：本题考查了棱柱的有关概念，涉及的几何体有：长方体，正方体，直平行六面体，属于基础题．解题的关键是熟悉这些几何体的结构特征．解：①.底面是矩形的平行六面体侧棱和底面不一定垂直，故①错；②.棱长都相等的直四棱柱底面不一定是正方形，故②错；③.底面是矩形的平行六面体侧棱和底面不一定垂直，故③错．故选A．3.答案：C解析：试题分析：命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0；“x=4”是“x2−3x−4=0”的充分条件；命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．命题“若x2−3x−4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2−3x−4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2−3x−4=0”，“x2−3x−4=0”⇒“x=4，或x=−1”，∴“x=4”是“x2−3x−4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m>0，则方程x2+x−m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x−m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m≥−1，4∴“若方程x2+x−m=0有实根，则m>0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D 正确．故选C．4.答案：D解析：本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查学生的探究能力，属于基础题．一个三棱锥V−ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角，则可知三棱锥四个面都是直角三角形，从而可得结论．解：如果一个三棱锥V−ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角，易得三角形VAB、VAC、ABC都是直角三角形，因为VA⊥平面ABC，所以VA⊥BC，又因为AB⊥BC，且VA∩AB=A，所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VB，所以三角形VBC也是直角三角形．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选：D．5.答案：C解析：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．解：若n>4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n>5，不成立．在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立，故选C．6.答案：A解析：本题考查棱台的定义和结构特征，通过举反例额说明某个命题不正确是一种简单有效的方法．利用棱台的定义和结构特征知，棱台的两个底面互相平行，而且侧棱延长线交于一点．解：①不正确，因为根据棱台的定义，要求棱锥底面和截面平行．②不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点．③不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．综上，三个命题全部不正确，故选：A．7.答案：C解析：本题考查了旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征和旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征，根据题意逐一判定即可．解：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，C正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错．故选C．8.答案：A解析：解：①“若b=3，则b2=9”的逆命题是“若b2=9，则b=3”，显然错的；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等的三角形，其面积不相等”，比如同底等高的三角形，面积相等，故②错；③方程x2+2x+c=0的判别式为△=4−4c，若c≤1，则△≥0，故③对；④若A∪B=A，则B⊆A，则命题“若A∪B=A，则A⊆B”为假命题，由逆否命题的等价性，可知其逆否命题也为假命题．故选A9.答案：C解析：本题考查简单多面体和旋转体的结构特征，考查推理能力和空间想象能力，属于简单题．利用旋转体的结构特征即可求解．解：A、因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体不是圆锥，故错误；B、夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误；C、正确；D、通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误，故选C．10.答案：C解析：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意平面的公理及其推论的灵活运用．解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故A不正确；四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故B不正确；梯形中两条平行线确定一个平面，则梯形一定是平面图形，故C正确；正方体存在异面的两条棱，故D不正确．故选C．11.答案：(2)解析：本题主要考查棱柱的有关概念，属于基础题．解：(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但是这个几何体不是棱柱，∴(1)不正确．(2)五棱柱的底面是五边形，六棱柱的底面是六边形，∴(2)正确；(3)棱锥被过顶点的平面分成的两部分有可能都是棱锥，∴(3)不正确；故答案为(2)．12.答案：26；√2−1解析：本题考查了球内接多面体，属中档题．中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的倍．解：该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为x，则x+√22x+√22x=1，解得x=√2−1．故答案为26；√2−1．13.答案：2解析：本题考查线面平行的性质，是基础题．利用面面平行的判定定理推导出平面AB1C//平面A1C1D，再利用面面平行的性质定理得出EF//平面A1C1D，再利用线面平行的性质定理得出EF//A1C1，进而EF=12A1C1，由此能求出结果．解：∵AA1=//CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC//A 1C1，又平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴A1C1//平面AB1C，同理A1D//B1C，A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D//平面AB1C，又A1D∩A1C1=A1，A1D,A1C1⊂平面A1C1D，∴平面AB1C//平面A1C1D，又EF//平面ACB1，∴EF//平面A1C1D，又EF⊂平面A1B1C1D1，平面A1C1D∩平面A1B1C1D1=A1C1，∴EF//A1C1，∵点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，∴F为C1D1的中点，∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2√2，∴EF=12A1C1=12√(2√2)2+(2√2)2=2．故答案为：2．14.答案：①解析：本题主要考查圆锥和圆柱体的应用，属于中档题．解：由题意得，∴对于①，连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段就是圆柱的母线，故①不正确；对于②，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形，故②正确；对于③，经过圆锥任意两条母线的截面是一个等腰三角形，故③正确；对于④，圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆的半径，故④正确，故答案为①．15.答案：(420−81π)cm2．解析：∵球的表面积为1680cm2，∴4πR2=1680，∴R2=420π，设与球心的距离为9cm的截面圆的半径为r，则r2=R2−81=420π−81，∴截面的面积为(420−81π)cm2．16.答案：解：设圆台的轴截面如图：并设圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为xcm，3xcm，延长AA1交OO1 延长线于点S，在Rt△SOA中，∠ASO=45° 则∠SAO=45° ∴OO1 =2x，又S轴截面=12(6x+2x)=288，∴x=6，∴圆台的高OO1=12cm，母线长l=√2OO1=12√2cm，两底面半径分别为6cm，18cm．解析：本题考查圆台的结构特征，是一个计算题，解题时应用初中平面几何的知识点，本题考查圆台的轴截面，这是从立体变化为平面的方法，画出圆台的轴截面，设出上底半径和下底半径，根据母线与轴的夹角写出BE和EC的边长，根据轴截面的面积的大小，列出关于r的方程，解方程即可．17.答案：解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A=2cm，下底半径OB=5cm，且腰长AB=12cm．设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l−12l =25，所以l=20cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm．解析：本题考查了旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l−12l =25，从而得出结果．18.答案：解：由题意，将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．所以：将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由圆锥、圆台、圆柱以及半球构成的．解析：本题考查旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征，属于基础题．根据题意，即可得解．。