2015-2016学年高中数学 第2章 3.1数乘向量课时作业 北师大版必修4

2015-2016学年高中数学 第2章 3.1数乘向量课时作业 北师大版必
修4
一、选择题
1.13[1
2(2a －8b )－(4a ＋2b )]等于( ) A ．2a －b B ．－a －2b C ．－a ＋2b D ．a －b
[答案] B
[解析] 原式＝1
3
(a －4b －4a －2b )＝－a －2B ．
2．已知向量a ，b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1
[答案] C
[解析] ∵向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反， ∴(a ＋λb )∥(b ＋λa )．
由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m ， 使得a ＋λb ＝m (b ＋λa )， 即(1－m λ)a ＝(m －λ)B ． ∵a 与b 不共线，
∴1－m λ＝m －λ＝0，可得m ＝λ. ∴1－λ2
＝0，λ＝±1.
当λ＝1时，向量a ＋b 与b ＋a 是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去． ∴λ＝－1.
3．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则 AD →
等于( ) A ．13(AC →＋2AB →
) B ．13(AB →＋2AC →) C ．14(AC →＋3AB →) D ．14
(AC →＋2AB →) [答案] A
[解析] 如图所示，由已知得D 点在BC →
上，且D 为BC 的三等分
点，由加法的三角形法则可得AD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13
(AC →＋2AB →
)．应选A ．
4．若x 为未知向量，满足方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A ．6
5a B ．6a C ．－6a D ．－65
a
[答案] B
[解析] 由已知得－x ＝－6a ， ∴x ＝6A ． 5．给出以下命题：
①若两非零向量a ，b ，使得a ＝λb (λ∈R )，那么a ∥b ； ②若两非零向量a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )； ③若λ∈R ，则λa ∥a ；
④若λ，μ∈R ，λ≠μ，则(λ＋μ)a 与a 共线． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D
[解析] a ∥b (b ≠0)⇔存在实数λ使得a ＝λb ， ∴①②③④正确．
6．在四边形ABCD 中，若AB →
＝－13CD →，则四边形ABCD 是( )
A ．平行四边形
B ．梯形
C ．菱形
D ．矩形 [答案] B
[解析] ∵AB →
＝－13CD →，
∴AB ∥CD 且|AB →
|＝13|CD →|，
∴四边形ABCD 是梯形． 二、填空题
7．若a ＝e 1＋2e 2，b ＝e 1－2e 2，则2a －3b ＝________. [答案] －e 1＋10e 2
[解析] 2a －3b ＝2(e 1＋2e 2)－3(e 1－2e 2)＝－e 1＋10e 2.
8．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝________BC →
.
[答案] －3
2
[解析] 因为CB →＝25AB →，所以BC →＝－25AB →.又AC →＝35AB →，故AC →＝35AB →＝3
5×(－52)BC →＝－32BC →.
三、解答题 9．计算下列各式： (1)3(2a －b )－2(4a －3b )； (2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－3
2b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )．
[解析] (1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b ； (2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b
＝(43－32)a ＋(1＋12－32)b ＝－1
6
a ； (3)原式＝6a －8
b ＋2
c －6a －3b ＋9c ＝(6－6)a －(8＋3)b ＋(2＋9)c ＝－11b ＋11C ． 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →
(用a ，b 表示)． [解析] 由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →
＝3(a ＋b )， AM →
＝a ＋12
b ，
所以MN →＝3
4(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14
B ．
一、选择题
1．已知向量e 1≠0，e 2≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若a 与b 共线，则下列关系
一定成立的是( )
A ．e 1∥e 2
B ．e 1＝e 2
C ．λ＝0
D ．e 1∥e 2或λ＝0
[答案] D
[解析] ∵a 与b 共线， ∴存在实数μ，使a ＝μb ， ∴e 1＋λe 2＝μ·2e 1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＝2μ，λ＝0.∴λ＝0或e 1∥e 2.
2．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．AC 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上 D ．△ABC 的内部 [答案] A
[解析] 由CB →＝λPA →＋PB →， 得CB →＋BP →＝λPA →，即CP →＝λPA →.
根据共线向量的判定定理知，C ，P ，A 三点共线． 二、填空题
3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________．
[答案] 梯形
[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2BC →
. ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC ． ∴四边形ABCD 是梯形．
4．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上的任一点，则OP →
＝________.
[答案] OA →＋λOB
→1＋λ
[解析] 由AP →＝λPB →
(λ≠－1)， 得OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →
. ∴OP →＝OA →＋λOB →1＋λ.
三、解答题 5．解答下列问题．
(1)化简23(a －b )－13(2a ＋4b )＋1
2(2a ＋6b )；
(2)已知2b －3(b －2a )＝0，求B ．
[解析] (1)原式＝23a －23b －23a －43b ＋a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－43＋3b ＝a ＋b ． (2)由已知，得2b －3b ＋6a ＝0， ∴－b ＋6a ＝0，∴b ＝6a ．
6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋m e 2，CB →
＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．
[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与CB →
共线． ∴存在实数λ，使AB →＝λCB →
成立， 即2e 1＋m e 2＝λ(e 1＋3e 2)， 即(2－λ)e 1＋(m －3λ)e 2＝0.
∵e 1，e 2是两个不共线的向量，∴2－λ＝m －3λ＝0. ∴λ＝2，m ＝6，故所求的m 的值为6.
7.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB
→
＝a ，AC →
＝B ．
(1)用a ，b 表示AD →，AE →，AF →，BE →，BF →
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．
[解析] (1)如右图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →
，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，
则AG →
＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12
(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13
(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，
BE →＝AE →－AB →
＝13
(a ＋b )－a ＝13
(b －2a )， BF →
＝AF →－AB →
＝12
b －a ＝12
(b －2a )．
(2)证明：由(1)知，BE →＝23BF →，∴BE →，BF →
共线．
又BE →，BF →
有公共点，∴B ，E ，F 三点共线．。