平稳随机过程的功率谱密度

称
S XY
(
)
lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 的互谱密度 .
说明：
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数.
互谱密度的性质：
1. SXY () SY*X ()和SYX () 2.在互相关函数 RXY ( ) 绝对可积的条件下,
有如下维纳-辛钦公式
帕塞瓦尔资料
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 lim 1 T x2(t)dt 称为 x(t) 在 (, ) T 2T T
上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x(t) 构造一个截尾函数:
绝对可积
x(t), t T ,
2
这两个积分分别是ea 的傅立叶变换在－0 ， ＋0 处的值 ；所以
SX
( )
1 2
a 2
2a
(
0
)2
a2
2a
(
0 )2
a a 2
1
(
0
)2
a2
1
(
0
)2
.
例2
已知谱密度
SX
( )
4
2 4 10 2
9
,
求平稳过程 X (t ) 的自相关函数和均方值.
解 由公式知自相关函数
在应用上我们可以根据实际情形选择时间域 方法或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1 已知平稳过程 X (t) 的自相关函数为
RX ( ) ea cos0 , 求 X (t ) 的谱密度 S( ) .
解
SX ( )
e
a
cos0
ei d
e
a
( e i0
ei0
)ei d
2
1 ea ei(0 ) d ea ei(0 ) d
解决. 在这种情况下, 自相关函数为常数或正弦型函
数的平稳过程, 其谱密度都是离散的.
上面所说的 函数是单位冲激函数 (t ) 的简称 ,
它是一种广义函数.
狄拉克 (Dirac )最早给出了 (t) 的如下定义：
(t) 0, t 0,
(t)dt
1,
通常用单位有向线段来表示.
函数的基本性质是：
换存在或者说具有频谱
Fx ( )
x(t
)eit
dt
.
且同时有傅立叶逆变换
x(t) 1 2π
Fx
(
)eit
d
.
Fx () 一般是复数量，其共轭函数 Fx*() Fx ()
在 x(t) 和 Fx () 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
记为SXX ( )或SX ( ).
即
SX
( )
1 lim T 2T
E{
FX
(,T )
2 }.
也简称为自谱密度或谱密度, 它是从频率这个角度
描述 X (t ) 的统计规律的最主要的数字特征 .
2 X
1 2π
SX ( )d
称为平稳过程 X (t ) 的平均功率的谱表示式.
物理意义: 表示 X (t ) 的平均功率关于频率的分布 .
般总是先求出相关函数, 再进行FT (维纳-辛钦公式)
得到谱密度.
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
(
2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi (
3i )(
2 4 3i)(
i )(
ei i)
在 i, 3i 处的留数之和
1 (9e 5e3 ),
48
均方值为
X2
RX (0)
7. 24
SX ( ) S0 , (S0 0)
的平稳过程 X (t ) 称为白噪声过程，简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故.
2. 白噪声的自相关函数
RX
(
)
1 2π
S
X
(
)ei
d
S0 2π
ei d
S0 ( ).
说明
(1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程.此过程在 t1 t2 时 , X (t1) 和
维纳-辛钦公式成立.
2. SX ( )和R( ) 都是偶函数，所以维纳-辛钦 公式还可以写成如下的形式:
SX ( ) 2 RX ( )cos d ,
RX ( )
1 π
SX ( )cos d .
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函 数的谱表示式. 它揭示了从时间角度描述平稳过程 X (t ) 的统计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计 规律之间的联系.
SZZ ( ) SXX ( ) SXY ( ) SYX ( ) SYY ( ) SXX ( ) SYY ( ) 2 Re[SXY ( )].
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义, 引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个 平稳过程的相关性. 例如:
对具有零平均值的平稳过程 X (t ) 和 Y (t )，
二、谱密度的性质
性质1 SX ( )是的实的、非负的偶函数.
性质2 SX ( )和自相关函数 R( ) 是一傅立叶变
换对 .
即
SX ( )
RX
(
)
ei
d
,
维纳资料
RX
(
)
1 2π
S
X
(
)
ei
d
.
辛钦资料
它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khinchin)公式.
说明: 1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,
xT (t) 0
t T.
xT (t )的傅立叶变换为
傅立叶资料
Fx (,T )
xT
(t
)eitdt
T x(t )eitdt
T
它的帕塞瓦尔等式
xT2
(
t
)dt
1 2π
Fx
(
,T
)
2
d
.
变形得
1 2T
T x2(t )dt 1
T
2π
Fx
(
,T
)
2
d
.
lim 1
T 2T
T x2(t )dt 1
SXY ( ) 0 与 X (t ) 和 Y (t ) 不相关是等价的.
补充例题
四、小结
平稳过程X(t)的功率谱密度
SX
(
)
lim
T
1 2T
E
FX ( ,T ) 2
.
平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度
S XY
(
)
lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为了计算平稳过程的谱密度(或互谱密度)，一
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z(t) X (t) Y (t),
其中 X (t ) 和 Y (t ) 是平稳相关的.
Z (t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
根据维纳-辛钦公式, Z(t) 的自谱密度为
RV
(
)
a2 2
cos1
b2e
所对
应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
SV
( )
π 2
a 2 [
(
0 )
(
0
)]
2b2 2 2
.
相应的谱密度如图所示: 此图说明了谱密度 是如何表明噪声以 外的周期信号的.
sv ( ) 2b2 / a
π a2 2
0 o 0
白噪声 1.定义 均值为零而谱密度为正常数,即
X(t2) 是不相关的. (2)白噪声是一种理想化的数学模型. 它的平均功 率是无限的. 白噪声在数学处理上具有简单、方便 优点. 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用 频带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理.
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X (t ) 和 Y (t ) 是两个平稳相关的随机过程 .
说明
SX
( )
2n S0 2m
a 2n2 2n2
a0
b2m2 2m2 b0
,
其中(S0 0), m n, 分母无实根 . 有理谱密度
在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, 它
们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶 变换或逆变换不存在, 此时如果允许谱密度和自相
关函数含有 函数 ，有关实际问题仍能得到圆满
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
lim
T
1 2T
T E[ X 2(t )]dt
T
Leabharlann Baidu
Ψ
2 x
即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或RX (0).
2 X
1 2π
lim
T
1 2T
{
E
FX
(
,T
)
2
}d
.
上式中的被积式称为平稳过程 X (t ) 的功率谱密度,
对任一在＝0 的连续函数 f ( ) , 有
( ) f ( )d f (0)
若函数 f ( ) 在＝0 连续, 就有
(
0 ) f ( )d
f ( 0 )
据此可以写出以下傅立叶变换对：
(
)e
i
d
1
( ) 1 1 ei d 2π
1 1 ei d ( )
2π
11
(
T
2π
lim 1 T 2T
Fx ( ,T ) 2d .
x(t) 在(, )上的平均功率 称为 x(t) 的平均功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T X 2(t )dt 定义为平稳过程
T
X (t ) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注
意到平稳过程的均方值是常数 Ψ 2 ， 于是
第四节 平稳随机过程的功率谱密度
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质 四、小结
一、平稳过程的功率谱密度
1. 平均功率和能量谱密度
狄利克雷资料
设有时间函数 x(t), t ,
假如 x(t) 满足狄利克雷(Dirichlet ) 条件, 且
绝对可积, 即 x(t)dt ,那么 x(t ) 的傅立叶变
)e
i
d
2π 2π
上式表明：当自相关函数 RX ( ) 1时， 谱密度 SX ( ) 2π ( ) 正弦型自相关函数R( ) acos 0 的谱密度为
SX ( ) aπ[ ( 0 ) ( 0 )]
由此可见，自相关函数为常数或正弦型函数的平
稳过程，其谱密度都是离散的.
例3
求自相关函数
SXY ( )
RXY
(
)
ei
d
,
RXY
(
)
1 2π
S
XY
(
)
ei
d
.
3. Re[SXY ( )] 和 Re[SYX ( )] 是 的偶函数,
Im[ SXY ( )] 和 Im[ SYX ( )] 是 的奇函数.
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
SXY ( ) 2 SX ( )SY ( ).