平稳随机过程的功率谱密度
功率谱密度公式推导
功率谱密度公式推导功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是指一个信号的功率在频率域上的分布。
它在信号处理、通信系统、噪声分析等领域都有着重要的应用。
在本文中，将对功率谱密度的定义、性质以及推导进行详细讨论。
首先，我们来定义功率谱密度。
假设有一个零均值的随机过程（零均值是为了简化推导），我们用x(t)表示这个随机过程，并假设它的均方值为E[|x(t)|^2] = Rxx(0)。
为了分析这个随机过程在频率域上的特性，我们将其进行傅里叶变换。
傅里叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t) * e^(-j2πft) dt)其中，X(f)表示信号x(t)在频率f上的复振幅（振幅和相位）。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到信号在频率f上的功率P(f)的定义如下：P(f) = |X(f)|^2根据随机过程的定义，我们知道x(t)是一个随机变量，它的取值在每个时间点上都是随机的。
因此，X(f)也是一个随机变量。
我们只知道X(f)的均方值（即P(f)）是一个确定的量，但我们无法准确地知道X(f)在每个时刻上的取值。
为了能够更好地描述X(f)的统计性质，我们可以引入概率密度函数。
假设X(f)的实部和虚部分别为Xr(f)和Xi(f)，我们定义X(f)的概率密度函数为fX(x)。
根据概率密度函数的定义，我们可以得到X(f)的均方值为：E[|X(f)|^2] = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)然后，根据功率的定义，我们可以得到：E[|X(f)|^2] = P(f)综上所述，我们可以得到功率谱密度PSD的定义如下：PSD(f) = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)对于一个随机过程来说，我们可以通过计算其自相关函数Rxx(t)来得到其功率谱密度。
自相关函数定义如下：Rxx(t) = E[x(t) * x*(t-τ)]其中，E[•]表示对随机变量取均值的操作，τ表示一个时间延迟。
通信原理复习题及其答案.里面的每一道题都会-期末考试90分没问题。我期末卷面96分
填空题：1、语音基带信号的频率范围一般在（300）到（3400）Hz 之间。
2、按传输媒质的不同，通信可以分为两大类：一类称为（有线通信），另一类称为（无线通信）。
根据信道传输的信号种类的不同，通信系统可以分为（模拟通信系统）和（数字通信系统）。
通信系统按调制方式可分为（连续波调制）和（脉冲调制）。
3、根据香农公式，在信号平均功率受限的高斯白噪声信道中，通信系统的信道容量为（C=Blb(1+S/N)）。
4、一个连续信道的信道容量受（B ）、（n o ）、（S ）“三要素”的限制。
5、通信系统最主要的性能指标通常用（有效性）和（可靠性）来衡量。
6、信号的功率谱密度与自相关函数是一对（傅氏变换）变换。
7、广义平稳随机过程是其(数学期望)和(方差)与时间无关，而（自相关函数）只与时间差τ有关. 8、在AM 、DSB 、SSB 、FM 四个通信系统中，可靠性最好的是（FM ），有效性最好的是(SSB),有效性相同的是(DSB 、AM)，可靠性相同的是(SSB 、DSB)。
9、根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为（恒参信道）信道和（随参信道）信道两大类。
10、二进制数字调制系统有三种基本信号，分别为（2ASK ）、（2FSK ）和（2PSK ）。
11、按噪声对信号作用的方式可将噪声分成（加性）噪声和（乘性）噪声两种。
12、平稳窄带高斯噪声的同相分量和正交分量是（平稳高斯）过程。
13、PCM 过程包括(取样)、(量化)和(编码)三个步骤。
14、宽带调频信号产生的方法有（直接调频法）和（间接调频法（阿姆斯特朗法））。
15、模拟电话信号的频率范围为（300-3400Hz ），抽样频率的理论值为（6800Hz ），规定的抽样频率为（8000Hz ）。
16、数字基带传输系统一般由4部分组成，它们是(信道信号形成器),（信道），（接受滤波器）和(取样判决器和码元再生)。
书上还有（位定时提取电路）17、调制信号的最高频率为H f ，则常规调幅信号的带宽为（2H f ），单边带信号的带宽为（H f ），双边带信号的带宽为（2H f ）。
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。
自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。
2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。
例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
2.3 平稳随机过程的功率谱
2
16
例 : 下列函数哪些是功率谱密度的正确表达式? 为什么?
2 cos(3 ) (1) ; (2) ; (3) exp[ ( 1) 2 ] 6 3 2 3 1 2
1 2
1 2 1 d
10
1 1 2 例2.3 2 已知随机电报信号的自相关函数RX ( ) (1 e ) 4 4 求其功率谱密度.
RX () 0, 不满足条件, 可引入函数解决
1 1 2 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ e ] 4 16
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () S X ()
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
x(t ), w和X T ()取决于试验的结果, 都带有一定的随机性.
4
样本函数x(t)的平均功率：
1 w lim T 2T
T
T
1 x(t ) dt 2
2
1 2 [Tlim 2T X T ( ) ] d
随机过程X(t)的平均功率：
1 1 2 E[ w] E{ [Tlim 2T X T ( ) ] d} 2 1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( ) ] d 2 1 T lim E[ X 2 (t )] dt T 2T T
根据功率谱密度的性质来判断
第四章 平稳随机过程的谱分析
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
功率谱密度的性质
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
CXY ( ) RXY ( ) mX mY
RXY ( ) RYX ( ) mX mY
S XY () FT[ RXY ( )] FT[mX mY ] 2mX mY ()
5、 互谱密度的幅度平方满足 : S XY ( ) S X ( ) SY ( )
根据功率谱密度的性质来判断
(1) 该函数非负的实函数且 为偶函数, 故它是功率 谱密度的正确表达式 .
(2) 该函数虽为实偶函数 , 但它可为负数 , 故不可能 成为功率谱密度的正确 表达式.
(3) 该函数虽满足非负的实 函数, 但它不是偶函数 , 故它不能成为功率谱密 度的正确表达式 .
2
2 2 例2.3.1 已知平稳随机过程的功 率谱密度为S X ( ) 4 3 2 2 求自相关函数 RX ( )和平均功率W .
16
如果平稳过程N (t )的数学期望为零, 并在整个频率 N0 范围内的功率谱为常数S N ( ) ( ) 2 则称它是白噪声过程, 简称白噪声.
N0 白噪声的自相关函数为 : RN ( ) ( ) 2
1 0 白噪声的相关系数为 : rN ( ) 0 0
f X ( x1 , x2 , )
1 1 r ( )
2
e
功率谱密度
功率谱密度[编辑本段]简介在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribu tion, SPD）。
功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
[编辑本段]详细说明尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(oh m)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。
如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。
f(t) 的谱密度和f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。
通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。
傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：：上面的定理在离散情况下也是成立的。
随机过程的功率谱密度
K XY
( )
2
2 2
XY
若 X (t)与Y (t)是联合平稳的，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳的。
互相关系数：rXY ( )
KXY ( ) RXY ( ) mX mY
KX (0)KY (0)
XY
例1、设 X (t) sin(0t ) Y (t) cos(0t )
第五讲：小 结
平稳随机过程
严格平稳随机过程
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
广义平稳随机过程
mX (t) mX RX (t1,t2 ) RX ( ), t1 t2
平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
RX ( )
其中 0 为常数， 在( , )上均匀分布，求互协方差函数。
复习
频谱： S() s(t)e jtdt s(t) 1 S()e jtd 2
s(t) dt
s2(t)dt
s(t)
1
S()e jtddt
若 K XY (t1,t2 ) 0 ，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义： 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
性质：
RXY (t1,t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
E[ 1 2
lim 1 T 2T
XT () 2 d]
号的平均功率按 频率分布的情况
1
E[ lim T 2T
第三章随机过程的功率谱密度
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
将时间范围扩展至 ，即
设
互功 率谱密度
则
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为
对自相关函数取时间平均
则 的功率谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
谱线；
零带宽上有限
平稳随机过程的功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
定义为平稳过程
T
X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(
t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
SX
( )
4
2 4 10 2
9
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
( 2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi(
3i)(
2 4 3i)(
1)(
ei 1)
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.
且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π
Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
Байду номын сангаас
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
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xT (t) 0
t T.
xT (t )的傅立叶变换为
傅立叶资料
Fx (,T )
xT
(t
)eitdt
T x(t )eitdt
T
它的帕塞瓦尔等式
xT2
(
t
)dt
1 2π
Fx
(
,T
)
2
d
.
变形得
1 2T
T x2(t )dt 1
T
2π
Fx
(
,T
)
2
d
.
lim 1
T 2T
T x2(t )dt 1
SXY ( ) 0 与 X (t ) 和 Y (t ) 不相关是等价的.
补充例题
四、小结
平稳过程X(t)的功率谱密度
SX
(
)
lim
T
1 2T
E
FX ( ,T ) 2
.
平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度
S XY
(
)
lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为了计算平稳过程的谱密度(或互谱密度)，一
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z(t) X (t) Y (t),
其中 X (t ) 和 Y (t ) 是平稳相关的.
Z (t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
根据维纳-辛钦公式, Z(t) 的自谱密度为
换存在或者说具有频谱
Fx ( )
x(t
)eit
dt
.
且同时有傅立叶逆变换
x(t) 1 2π
ห้องสมุดไป่ตู้
Fx
(
)eit
d
.
Fx () 一般是复数量，其共轭函数 Fx*() Fx ()
在 x(t) 和 Fx () 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
在应用上我们可以根据实际情形选择时间域 方法或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1 已知平稳过程 X (t) 的自相关函数为
RX ( ) ea cos0 , 求 X (t ) 的谱密度 S( ) .
解
SX ( )
e
a
cos0
ei d
e
a
( e i0
ei0
)ei d
2
1 ea ei(0 ) d ea ei(0 ) d
RV
(
)
a2 2
cos1
b2e
所对
应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
SV
( )
π 2
a 2 [
(
0 )
(
0
)]
2b2 2 2
.
相应的谱密度如图所示: 此图说明了谱密度 是如何表明噪声以 外的周期信号的.
sv ( ) 2b2 / a
π a2 2
0 o 0
白噪声 1.定义 均值为零而谱密度为正常数,即
维纳-辛钦公式成立.
2. SX ( )和R( ) 都是偶函数，所以维纳-辛钦 公式还可以写成如下的形式:
SX ( ) 2 RX ( )cos d ,
RX ( )
1 π
SX ( )cos d .
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函 数的谱表示式. 它揭示了从时间角度描述平稳过程 X (t ) 的统计规律和从频率角度描述 X (t ) 的统计 规律之间的联系.
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
lim
T
1 2T
T E[ X 2(t )]dt
T
Ψ
2 x
即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或RX (0).
2 X
1 2π
lim
T
1 2T
{
E
FX
(
,T
)
2
}d
.
上式中的被积式称为平稳过程 X (t ) 的功率谱密度,
T
2π
lim 1 T 2T
Fx ( ,T ) 2d .
x(t) 在(, )上的平均功率 称为 x(t) 的平均功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T X 2(t )dt 定义为平稳过程
T
X (t ) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注
意到平稳过程的均方值是常数 Ψ 2 ， 于是
对任一在＝0 的连续函数 f ( ) , 有
( ) f ( )d f (0)
若函数 f ( ) 在＝0 连续, 就有
(
0 ) f ( )d
f ( 0 )
据此可以写出以下傅立叶变换对：
(
)e
i
d
1
( ) 1 1 ei d 2π
1 1 ei d ( )
2π
11
(
说明
SX
( )
2n S0 2m
a 2n2 2n2
a0
b2m2 2m2 b0
,
其中(S0 0), m n, 分母无实根 . 有理谱密度
在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, 它
们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶 变换或逆变换不存在, 此时如果允许谱密度和自相
关函数含有 函数 ，有关实际问题仍能得到圆满
称
S XY
(
)
lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 的互谱密度 .
说明：
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数.
互谱密度的性质：
1. SXY () SY*X ()和SYX () 2.在互相关函数 RXY ( ) 绝对可积的条件下,
有如下维纳-辛钦公式
记为SXX ( )或SX ( ).
即
SX
( )
1 lim T 2T
E{
FX
(,T )
2 }.
也简称为自谱密度或谱密度, 它是从频率这个角度
描述 X (t ) 的统计规律的最主要的数字特征 .
2 X
1 2π
SX ( )d
称为平稳过程 X (t ) 的平均功率的谱表示式.
物理意义: 表示 X (t ) 的平均功率关于频率的分布 .
SZZ ( ) SXX ( ) SXY ( ) SYX ( ) SYY ( ) SXX ( ) SYY ( ) 2 Re[SXY ( )].
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义, 引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个 平稳过程的相关性. 例如:
对具有零平均值的平稳过程 X (t ) 和 Y (t )，
SX ( ) S0 , (S0 0)
的平稳过程 X (t ) 称为白噪声过程，简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故.
2. 白噪声的自相关函数
RX
(
)
1 2π
S
X
(
)ei
d
S0 2π
ei d
S0 ( ).
说明
(1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程.此过程在 t1 t2 时 , X (t1) 和
二、谱密度的性质
性质1 SX ( )是的实的、非负的偶函数.
性质2 SX ( )和自相关函数 R( ) 是一傅立叶变
换对 .
即
SX ( )
RX
(
)
ei
d
,
维纳资料
RX
(
)
1 2π
S
X
(
)
ei
d
.
辛钦资料
它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khinchin)公式.
说明: 1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
(
2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi (
3i )(
2 4 3i)(
i )(
ei i)
在 i, 3i 处的留数之和
1 (9e 5e3 ),
48
均方值为
X2
RX (0)
7. 24
第四节 平稳随机过程的功率谱密度
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质 四、小结
一、平稳过程的功率谱密度
1. 平均功率和能量谱密度
狄利克雷资料
设有时间函数 x(t), t ,
假如 x(t) 满足狄利克雷(Dirichlet ) 条件, 且
绝对可积, 即 x(t)dt ,那么 x(t ) 的傅立叶变
般总是先求出相关函数, 再进行FT (维纳-辛钦公式)
得到谱密度.
2
这两个积分分别是ea 的傅立叶变换在－0 ， ＋0 处的值 ；所以
SX
( )
1 2
a 2
2a
(
0
)2
a2
2a
(
0 )2
a a 2
1
(
0