高中数学课时分层作业9事件的独立性含解析苏教版选修2_3
苏教版高中数学选修2-32.3.2 事件的独立性.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3.2 事件的独立性课时目标 理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．1．事件A 、B 独立：一般地，若事件A ，B 满足______________，则称事件A 、B 独立． 2．事件A 、B 独立的充要条件是____________．3．若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝________________.一、填空题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人同时解出此题的概率为______．4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是______．6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．二、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．能力提升11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：开关A 1 A 2 A 3B 1 B 2 闭合的概率0.6 0.5 0.80.70.9求在这段时间内下列事件发生的概率： (1)由于B 1，B 2不闭合而线路不通； (2)由于A 1，A 2，A 3不闭合而线路不通； (3)线路正常工作．1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P (A )＝1－P (A )计算．2．3.2 事件的独立性答案知识梳理1．P (A |B )＝P (A ) 2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 作业设计 1．0.56解析 设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，由题意知A 、B 相互独立， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 2.253．p (1－q ) 4.35解析 由题易知，全都是红球的概率为C 13C 15×C 12C 13＝25，故至少取到一个白球的概率是1－25＝35. 5.712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A 、B 中至少有一件发生的概率为1－P (A ·B )＝1－512＝712.6.13 23解析 设事件A ：“甲解决这道难题”，事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立．∴两人都未能解决的概率为P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.7．1－(1－p )n解析 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n .应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .8.35192解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A ，在乙处不用停车为事件B ，在丙处不用停车为事件C ，则由已知得P (A )＝2560＝512，P (B )＝3560＝712，P (C )＝4560＝34，所以所求概率为P (ABC )＝P (A )P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.9．解 记P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.(1)事件“这名同学得300分”可表示为A B C ＋A BC ，所以P (A B C ＋A BC )＝P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为A B C ＋A BC ＋ABC ，所以P (A B C ＋A BC ＋ABC )＝P (A B C ＋A BC )＋P (ABC )＝0.228＋P (A )P (B )P (C )＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.10．解 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝38. 11.370解析 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 12．解 (1)记“开关B 1闭合”为事件B 1，“开关B 2闭合”为事件B 2，所以所求概率为 1－P (B 1B 2)＝1－P (B 1)·P (B 2)＝1－0.7×0.9＝0.37.(2)设“开关A i 闭合”为事件A i (i ＝1,2,3)，所求概率为 P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.(3)所求概率为P (B 1B 2)[1－P (A 1A2A 3)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.。
2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3 独立性含解析
第1课时 条 件 概 率三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取． 问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示:相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P （A )＝23. 问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示:用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P (B ）＝错误!.问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?提示：用C 表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下,最后一名同学抽到中奖奖券"．事件C 可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P （C )＝错误!。
1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率,记为P（A|B)．2．条件概率的计算公式(1）一般地，若P（B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P（A｜B)＝错误!．(2）利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A｜B）P（B）．1．由条件概率的定义可知，P（A｜B)与P(B｜A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下,事件A发生的可能性大小不一定是P （A），即P（A｜B)与P(A）不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)〉0。
3．P（A｜B）＝错误!可变形为P（AB）＝P(A｜B)P（B）,即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1］抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P（A），P（B），P(AB);（2）当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析］(1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{（x,y）|x∈N，y ∈N，1≤x≤6，1≤y≤6｝，如图所示，由古典概型计算公式可知：P（A)＝错误!＝错误!，P（B)＝错误!＝错误!，P（AB)＝错误!.(2)P(B｜A)＝错误!＝错误!＝错误!.［一点通] 利用P(A｜B）＝错误!求条件概率的一般步骤：(1）计算P(B）；（2）计算P（AB）(A，B同时发生的概率);（3)利用公式P（A|B）＝错误!计算．其中(1)（2）可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球"，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝错误!，P(AB)＝错误!×错误!＝错误!，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P（B|A)＝错误!.答案：错误!2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩,问另一个小孩是男孩的概率是多少?解:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩}，｛第一个是女孩,第二个是男孩｝,{两个都是女孩｝．由题意知这4个事件是等可能的,A＝“其中一个女孩"，B＝“其中一个男孩”，则A＝｛（男,女)，(女，男），（女，女）｝,B ＝｛（男，男）,(男,女），（女，男）},AB＝｛（男，女)，（女，男）}．∴P（AB)＝错误!,P(A)＝错误!.∴P（B|A)＝错误!＝错误!＝错误!。
2.3.2 事件的独立性 学案(苏教版高中数学选修2-3)
2.3.2 事件的独立性学案（苏教版高中数学选修2-3）23.2事件的独立性事件的独立性学习目标1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一事件的独立性甲箱里装有3个白球.2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，事件B“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗答案不影响思考2PA，PB，PAB的值为多少答案PA35，PB12，PAB3254310.思考3PAB与PA，PB有什么关系答案PABPAPB梳理事件独立的定义一般地，若事件A，B满足PA|BPA，则称事件A，B独立知识点二事件独立的性质思考1若A，B独立，PAB与PAPB相等吗答案相等因为PABPA|BPBPAPB思考2若A，B独立，那么A与B，A与B，A与B相互独立吗答案独立梳理事件独立的性质及PAB的计算公式性质1若A，B独立，且PA0，则B，A也独立，即A与B相互独立2约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是PABPAPB概率计算公式1若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即PABPAPB2推广若事件A1，A2，，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率PA1A2AnPA1PA2PAn结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A 与B，A与B也都相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立2必然事件与任何一个事件相互独立3如果事件A与事件B相互独立，则PB|APB4“PABPAPB”是“事件A，B相互独立”的充要条件类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件1甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲.乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；3掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解1“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件2“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件3记A出现偶数点，B出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以PA3612，PB2613，PAB16，所以PABPAPB，所以事件A与B相互独立反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性1定义法直接判定两个事件发生是否相互影响2公式法检验PABPAPB是否成立3条件概率法当PA0时，可用PB|APB判断跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性1家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解有两个小孩的家庭，男孩.女孩的可能情形为男，男，男，女，女，男，女，女，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A男，女，女，男，B男，男，男，女，女，男，AB 男，女，女，男，于是PA12，PB34，PAB12.由此可知PABPAPB，所以事件A，B不相互独立2有三个小孩的家庭，小孩为男孩.女孩的所有可能情形为男，男，男，男，男，女，男，女，男，男，女，女，女，男，男，女，男，女，女，女，男，女，女，女由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件于是PA6834，PB4812，PAB38，显然有PAB38PAPB成立，从而事件A与B是相互独立的类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求1这三列火车恰好有两列正点到达的概率；2这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则PA0.8，PB0.7，PC0.9，所以PA0.2，PB0.3，PC0.1.1由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.2三列火车至少有一列正点到达的概率为P21PABC1PAPBPC10.20.30.10.994.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解恰有一列火车正点到达的概率为P3PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火车正点到达计10分，用X表示三列火车的总得分，求PX20解事件“X20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以PX201PABC1PAPBPC10.80.70.90.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为PA，PB，那么1A，B中至少有一个发生为事件AB.2A，B都发生为事件AB.3A，B都不发生为事件AB.4A，B恰有一个发生为事件ABAB.5A，B中至多有一个发生为事件ABABAB.跟踪训练2甲.乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率1两人都能破译的概率；2恰有一人能破译的概率；3至多有一人能破译的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”1两个人都破译出密码的概率为PABPAPB1314112.2恰有一人破译出密码分为两类甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即ABAB，PABABPABPABPAPBPAPB131********12.3至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1PAB11121112.类型三相互独立事件的综合应用例3在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手1至5号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手1求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；2X表示3号歌手得到观众甲.乙.丙的票数之和，求X的概率分布考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与概率分布解1设事件A表示“观众甲选中3号歌手”，事件B表示“观众乙选中3号歌手”，则PAC12C2323，PBC24C3535.因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为PABPAPBPA1PB2325415.或PABC12C34C23C354152设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则PCC24C3535，因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为PX0PABC132525475，PX1PABCPABCPABC2325251335251325352075415，PX2PABCPABCPABC2335252325351335351125，PX3PABC233535625.所以X的概率分布如下表X0123P4754151125625反思与感悟概率问题中的数学思想1正难则反灵活应用对立事件的概率关系PAPA1简化问题，是求解概率问题最常用的方法2化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类考虑加法公式，转化为互斥事件还是分几步组成考虑乘法公式，转化为相互独立事件3方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程组，通过解方程组使问题获解跟踪训练3甲.乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格1分别求甲.乙两人考试合格的概率；2求甲.乙两人至少有一人考试合格的概率解1设甲.乙两人考试合格的事件分别为A，B，则PAC26C14C36C310602012023，PBC28C12C38C31056561202115.所以甲考试合格的概率为23，乙考试合格的概率为1415.2方法一因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人考试均不合格的概率为PABPAPB12311415145.则1PAB11454445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法二因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为PPABPABPABPAPBPAPBPAPB231151314152314154445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.1甲.乙两水文站同时做水文预报，若甲站.乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲.乙预报都准确的概率为________考点相互独立事件的定义题点独立事件与互斥事件的区别答案0.56解析PABPAPB0.80.70.56.2打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_________________________________________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率答案1425解析设事件A为“甲站预报准确”，事件B为“乙站预报准确”，P甲81045，P乙710，所以PP甲P乙1425.3甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________答案12解析设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B 为“从乙袋中任取一个球，取得白球”由题意得PA23，PA13，PB12，PB12，事件A与B相互独立，事件A与B相互独立从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为PABABPABPABPAPBPAPB2312131212.4在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率答案35192解析由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34，则在这段道路上三处都不停车的概率P5127123435192.5甲.乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是________答案p11p2p21p1解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决.甲没解决乙解决这两个事件显然是互斥的所以恰好有1人解决这个问题的概率为p11p2p21p11相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB概率公式A与B相互独立等价于PABPAPB若A与B互斥，则PABPAPB，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率PABPAPB，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.。
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第3章 3.1 独立性检验 学业分层测评 Word版含答案
学业分层测评
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、填空题
．为了检验两个事件与是否相关，经计算得χ＝，我们有的把握认为事件与相关．
【答案】
．为了考查高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某市在该辖区内的高中学生中随机地抽取名学生进行调查，得到表中数据：
【解析】由χ＝≈.
【答案】
．通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由χ
χ＝≈.
附表：
①有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
②有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”；
③在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
④在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．
【解析】由附表可得知当χ≥时，有＝－＝，当χ≥时，有＝－＝，而此时的χ≈.显然有<<，故可以得到有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
【答案】①
．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了名电视观众，相关的数据如下表所示：
“否”)
【解析】因为在至岁的名观众中有名观众收看新闻节目，而大于岁的名观众中有名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
【答案】是
．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从某居民点抽取了位居民进行调查，经过计算得χ≈，根据这一数据分析，下列说法正确的是．
①有的人认为该栏目优秀；
②有的人认为该栏目是否优秀与改革有关系；
③
在犯错误的概率不超过的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系；
④没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系．
参考数据如表：。
2020-2021学年高二下学期数学苏教版选修2-3同步课时作业2.3 独立性
2020-2021学年高二数学苏教版选修2-3同步课时作业2.3独立性1.甲、乙两人进行围棋比赛，若其中一人连续赢两局，则比赛结束.已知每局比赛结果相互独立，且每局甲胜的概率为0.6(没有平局)，若比赛在第三局结束，则甲获胜的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.36D.0.1442.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A.18 B.14 C.25 D.123.重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是45，连续两天为优良的概率是35，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.45 B.35 C.34 D.12254.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.55.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( ) A.2144 B.1522 C.2150 D.9256.某学校甲、乙等10位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该服务队中的4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.25 B.1225 C.1625 D.457.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率和B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率()P A 等于( )A.29B.118C.13D.238.已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是( ) A.13 B.37 C.16 D.129.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是( ) A.920 B.925 C.380 D.1940010.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( ) A.2324 B.524 C.1124 D.12411.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人.从中任选3名班干部参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()|P B A =_____________.12.已知,A B 独立，且()()33,84P AB P B ==，则()|P A B =___________. 13.据气象台统计，某地区下雨的概率为415，刮四级以上的风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设事件A 为“下雨”，事件B 为“刮四级以上的风”，则()|P B A =________，()|P A B =______________.14.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为_____________.15.某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.答案以及解析1.答案：A解析：“比赛在第三局结束”记为事件A ，“甲获胜”记为事件B ，则()0.40.60.6()0.6()0.40.60.60.60.40.4P AB P B A P A ⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯∣. 2.答案：B 解析：依题意知2223222255C C C 421(),()C 105C 10P A P AB +=====，故1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选B.3.答案：C解析：设某天的空气质量为优良的概率是()P A ，则4()5P A =，设连续两天的空气质量为优良的概率是()P AB ，则3()5P AB =，所以所求的概率为3()35(|)4()45P AB P B A P A ===，故选C.4.答案：D解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，则()0.4,()0.5P A P B ==，()0.2P A B ⋂=，所以()0.2(|)0.5()0.4P A B P B A P A ⋂===，故选D.5.答案：A解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A ，“乙击中目标”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则()1()()1(10.6)(10.7)0.88P C P A P B =-=--⨯-=.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为()0.60.721(|)()0.8844P A B C P A B C P C ⋂⋂⨯⋂===.故选A. 6.答案：C解析：设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，事件,A B 相互独立.易知42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1[1()][1()]15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 7.答案：D解析：由题意知，1()()9P A P B =， ()()()()P A P B P B P A =.设(),()P A x P B y ==， 则1(1)(1),9(1)(1),x y x y x y ⎧--=⎪⎨⎪-=-⎩所以23x =， 即2()3P A =.故选D. 8.答案：D解析：记“第一次抽到红球”为事件A ，记“第二次抽到红球”为事件B .111434111776C C C 42(),()C 7C C 7P A P A B ==⋂==，2()17(|)4()27P A B P B A P A ⋂∴===，故选D. 9.答案：D解析：击中目标时甲射击了两次包括甲、乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以所求概率为11311143119454454580100400P =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选D.10.答案：C解析：设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则111(),(),()234P A P B P C ===，则111213()1()1,()1()1,()1()1223344P A P A P B P B P C P C =-=-==-=-==-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ，则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 11.答案：25解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为1436C 1()C 5P A B ⋂==，事件“男生甲被选中”发生的概率为2536C 1()C 2P A ==.()2(|)()5P A B P B A P A ⋂∴==. 12.答案：12解析：因为,A B 独立，所以3()()()8P AB P A P B =⋅=，又3()4P B =，所以1()2P A =，所以11(|)()122P A B P A ==-=. 13.答案：38；34解析：由题意知421(),(),()151510P A P B P AB ===，所以()3()3(|),(|)()8()4P AB P AB P B A P A B P A P B ====. 14.答案：415 解析：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以()()()()|46410915P C P A B P A P B A =⋂=⨯=⋅=. 15.答案：(1)设事件A 为“该续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生，即一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.(2)设事件B 为“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生，即一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15P B =+=.又()()P AB P B =，故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====. 因此所求概率为311.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
高中数学2.3.2《事件的独立性》课件(苏教版选修2-3)
【解】 记“从甲机床抽到正品”为事件 A， “从乙机床抽到正品”为事件 B，“抽取的两 件产品中恰有一件正品”为事件 C，由题意知 A、B 是相互独立事件， (1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72； (2)P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝0.10×0.20＝0.02；
问题探究
1．互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 提示：两个事件相互独立与互斥的区别：两个事 件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件 相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响． 2．若事件A、B互斥，且A、B不是必然事件，也 不是不可能事件，则A、B相互独立吗？反之成立 吗？ 提 示 ： 若 A 、 B 互 斥 ， 则 P(AB) ＝ 0 ， P(AB)≠P(A)P(B)， 故A、B不是相互独立事件，反之也不成立．
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003.
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.6分
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用：(－A
BC)＋(A－B C)＋(AB－C )表示．
由于事件－A BC，A－B C 和 AB－C 两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法
公式，所求的概率为
P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C )
＝
P(
－ A
)P(B)P(C)
＋
P(A)P(
－ B
)P(C)
＋
－ P(A)P(B)P( C )10
分
＝ [1 － P(A)]P(B)P(C) ＋ P(A)[1 － P(B)]P(C) ＋ P(A)P(B)[1－P(C)] ＝ (1 － 0.9)×0.8×0.85 ＋ 0.9×(1 － 0.8)×0.85 ＋ 0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329.13分
苏教版高中数学选修2-3全册同步课时分层作业
苏教版高中数学选修2-3全册同步课时分层作业课时分层作业(一) 两个基本计数原理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成通路的条数为( )A．8条B．6条C．5条D．3条B[从A到B接通，分两步：第一步有2种方法，第二步有3种方法，所以可构成通路的条数为2×3＝6条．选B.]3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10C[分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]4．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )A．8本B．9本C．12本D．18本D[完成这件事可以分为三步，第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.]5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )A．18条B．20条C．25条D．10条A[第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B ＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]二、填空题6．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．8 [建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，故由分步计数原理得映射有2×2×2＝8(个)．]7．用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有______种．72 [按A，B，C，D种方法．]8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．20 [分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．]三、解答题9．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？[解] (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得知P可表示平面上的点数是6×6＝36(个)．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)得，不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．10．由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个？(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？[解] (1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个)．(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个)．[能力提升练]1．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A．6种B．8种C．36种D．48种D[由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．]2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )A．180种B．360种C．720种D．960种D[分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．]3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有___________种．12 [假设第一行为1,2,3或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．]4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．48 [与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有962＝48对．]5．(1)从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．(2)从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．[解] (1)如图，由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 必须颜色相同，B ，D 必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60(种)．(2)法一 由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，则A ，C 可以颜色相同，B ，D 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法(如：B ，D 颜色相同)；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S ，A ，B ，C 四个顶点上，有5×4×3×2＝120(种)涂法．根据分步计数原理，共有2×120＝240(种)不同的涂法．法二 分两类．第一类，C 与A 颜色相同．由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×1×2＝120(种)方法；第二类，C 与A 颜色不同．由题意知，四棱锥SABCD 的顶点S ，A ，B 所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．共有5×4×3×2×1＝120(种)方法．由分类计数原理，共有120＋120＝240(种)不同的方法．课时分层作业(二) 排列(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④A[根据排列的概念知①④是排列问题．]2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) A．8 B．12C．16 D．24B[设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.]3．下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n－1n－m＋1D．A1n A m－1n－1D[A m n＝n！(n－m)！，而A1n A m－1n－1＝n×(n－1)！(n－m)！＝n！(n－m)！，∴A1n A m－1n－1＝Amn.]4．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A．180种B．360种C．15种D．30种B[问题为6选4的排列，即A46＝360.]5．不等式A2n－1－n<7的解集为( )A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}C[由A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n ＝3,4.故选C.]二、填空题6．若n∈N*且n＜20，则(20－n)(21－n)…(100－n)用排列数表示为________．A 81100－n [∵100－n ＞99－n ＞…＞20－n ，且共有81个数，故用排列数表示为A 81100－n .] 7.A 88－A 592A 58＋4A 48＝________. 54 [原式＝A 48·A 44－9A 482×(8－5＋1)·A 48＋4A 48 ＝(24－9)A 48(8＋4)A 48＝54.] 8．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同的地上，即从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]三、解答题9．四个人A ，B ，C ，D 坐成一排，其中A 不坐排头，写出所有的坐法． [解]由“树形图”可知，所有坐法为BACD ，BADC ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CADB ，CBAD ，CBDA ，CDAB ，CDBA ，DACB ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCAB ，DCBA .10．解不等式：A x 9>6A x －29.[解] 原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.但2≤x ≤9，x ∈N *，故x ＝2,3,4,5,6,7.[能力提升练]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0C [因为当n ≥5时，A nn 的个位数是0，故S 的个位数取决于前四个排列数，又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33.]2．若a ∈N *，且a <20，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－a C ．A 734－aD ．A 834－aD [A 834－a ＝(27－a )(28－a )…(34－a )．] 3．A n ＋32n －A n ＋14(n ∈N *)的值为________． 696 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2n ≥n ＋3，4≥n ＋1，∴n ＝3.n ∈N *，∴A 66－A 44＝6！－4！＝24×29＝696.]4．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．576 [司机、售票员各有A 44种安排方法，由分步计数原理知共有A 44A 44种不同的安排方法．] 5．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？[解] 对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A 26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．课时分层作业(三) 组合(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64C [由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．] 3．组合数C rn (n >r ≥1，n ，r ∈N )恒等于( ) A ．r ＋1n ＋1C r －1n －1 B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1 C ．nr C r －1n －1D ．n rC r －1n －1D [n r C r －1n －1＝n r ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n ！r ！(n －r )！＝C rn .]4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．]二、填空题6．下列等式中，正确的有________(填序号)． ①C mn ＝n ！m ！(n －m )！；②C m n ＝C n －m n ；③C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1；④C m n ＝C m ＋1n ＋1.①②③ [①②显然正确． 对于③，m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，故③正确，④错误．] 7．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________． 252 [所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有C 19A 29＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.]8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商．则m ∶n ＝________.1∶2 [∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.] 三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ；(2)解不等式C m －18>3C m8. [解] (1)原式可化为：x ！(5－x )！5！－x ！(6－x )！6！＝7·x ！(7－x )！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解． (2)由8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！，得19－m >3m，∴m >27－3m ， ∴m >274＝7－14.又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ， 即7≤m ≤8，∴m ＝7或8.[能力提升练]1．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同选法的种数为( )A ．16B ．15C ．17D ．18A [按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24，有2位女生参加有C 22C 14种．故共有C 12C 24＋C 22C 14＝2×6＋4＝16(种)，故选A.]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________.35 [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，Cm nCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35.]4．设x ∈N *，则C x －12x －3＋C 2x －3x ＋1的值为________．4,7或11 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4. ∵x ∈N *，∴x ＝2，x ＝3或x ＝4.当x ＝2时，原式值为4；当x ＝3时，原式值为7；当x ＝4时，原式值为11. ∴所求值为4,7或11.] 5．规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n ，m是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，请写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由．[解] (1)C 5－15＝(－15)(－16)(－17)(－18)(－19)5！＝－C 519＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是C mx ＋C m －1x ＝C mx ＋1，x ∈R ，m 为正整数． 证明：当m ＝1时， 有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1； 当x ≥2时， C mx ＋C m －1x＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)(x －2)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1＝(x ＋1)x (x －1)…(x －m ＋2)m ！＝C mx ＋1.综上，性质②的推广得证．课时分层作业(四) 二项式定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3C [S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3.]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A ．17B ．－17C ．7D ．－7B [T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17.]3．(1－x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3展开式中常数项是( )A ．－20B ．18C ．20D ．0C [(1－x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3＝－(1－x )6x 3，要求原式的常数项，即求－(1－x )6中x 3的系数，T r ＋1＝－C r 6(－x )r ，所以r ＝3，所以C 36＝20.]4．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [T r ＋1＝C rn (3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．]5．若二项式(x ＋2)n的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为( )A.12B.14C.28D.18B [由二项式(x ＋2)n的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知C 2n ＝15,23C 3n xn －3＝52，可得n ＝6，x ＝14，选B.] 二、填空题6．在(1＋x )6·(1－x )4的展开式中，x 3的系数是________．－8 [(1＋x )6·(1－x )4＝(1＋x )2·(1＋x )4·(1－x )4＝(1＋2x ＋x 2)(1－x 2)4. ∴x 3的系数为2·C 14·(－1)＝－8.]7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．56 [因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56.]8．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．2 [对于T r ＋1＝C r 6x6－r(－ax )r ＝C r 6(－a )r·x，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.]三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．[解] (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数的最小值．[解] (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ， ∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n .∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612＝16⎝⎛⎭⎪⎫n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.[能力提升练]1．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5C [C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．]2．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20C [⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C rn x ，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.]3.⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项是________．－20 [⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23＝(1－|x |)6|x |3，在(1－|x |)6中，|x |3的系数A ＝C 36(－1)3＝－20.即所求展开式中常数项是－20.]4．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 2 [T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r·b r x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.]5．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．[解] ∵T r ＋1＝C rn ·x·2r·x＝C r n ·2r·x，据题意，C 0n ＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129，解得n ＝8，∴T r ＋1＝C r8·2r·x，且0≤r ≤8.由于24－5r6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又24－5r 6＝4－5r 6，∴当r ＝0或r ＝6时，24－5r6∈Z ， 即展开式中存在有理项，它们是：T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1＝1 792x.课时分层作业(五) 二项式系数的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项D ．第九项C [展开式中共有14项，中间两项(第七、八项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数，故系数最小的项为第八项，系数最大的项为第七项．]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40C [根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r， 令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C.]3．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式的各项系数和是( ) A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2D [令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋ (2)＝2n ＋1－2.]4．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n－12C ．2n ＋1D.3n＋12D [令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ， ① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ， ② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.]5．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( ) A.1285B.2567C.5125D.1287A [由题意得a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.] 二、填空题6．233除以9的余数是________．8 [233＝811＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21198－…－1， ∴233除以9的余数是8.]7.如图，在“杨辉三角”中，斜线l 的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{a n }，则a 21＝________.66 [此数列依次为C 22；C 13，C 23；C 14，C 24；C 15，C 25；…；C 112，C 212；…；a 21＝C 212＝12×112＝66.] 8．设(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2的值为________．1 [令(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1得A ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1得B ＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2＋1)10，所以(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝A ·B ＝[(2＋1)(2－1)]10＝[(2)2－1]10＝1.]三、解答题9．已知(1＋2x )100＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 100(x －1)100，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值．[解] 令x ＝2，可以得到5100＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100， ① 令x ＝0，可以得到1＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 100， ② 由①—②得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12(5100－1)．10．已知⎝⎛⎭⎪⎫41x＋3x2n 的展开式中的倒数第三项的系数是45. (1)求含x 3的项； (2)求系数最大的项．[解] 已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，所以n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(不合题意，舍去)或n ＝10.(1)即求⎝⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210展开式中含x 3的项．由通项T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x )r ＝C r10x，得－10－r 4＋2r3＝3，－30＋3r ＋8r ＝36,11r ＝66，得r ＝6.故含有x 3的项是第7项T 7＝C 610x 3＝210x 3. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫41x ＋3x 210的展开式共有11项，系数最大项是第6项．∴T 6＝ C 510(x)5·(x )5＝252x .[能力提升练]1．已知(1－2x )n 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x )n(1＋x )展开式中含x 2项的系数为( )A ．71B ．70C ．21D ．49B [因为奇数项的二项式系数之和为2n －1，所以2n －1＝64，n ＝7，因此(1－2x )n(1＋x )的展开式中含x 2项的系数为C 27(－2)2＋C 17(－2)＝70，故选B.]2．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x2 019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2C [令x ＝12，可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－a 0，再令x ＝0得a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－a 0＝－1.] 3．设m 是正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________.6 [由题意可知13C m2m ＝7C m ＋12m ＋1， ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！， ∴m ＝6.]4．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.62 [根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．]5．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和． [解] (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m2＋(11－m )·⎝⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116.因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60， 故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.课时分层作业(六) 随机变量及其概率分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数X 是一个随机变量；②一个沿直线y ＝x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y 是一个随机变量；③某人1小时内接到的电话次数X 是一个随机变量；④1天内的温度Y 是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④C [①中经过的车辆数和③中接到的电话次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的X 是一个离散型随机变量．]2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈ZD [两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X ∈[－5,5](X ∈Z )．] 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球，0，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量XA [A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A.]4．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A ．－0.2 C ．0.1D ．－0.1B [由随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.]5．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16B.13C.12D.23A [根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.] 二、填空题6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．[答案]7．若随机变量X ～01分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝2a ，则a ＝________.25[∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.]8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得316[由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.]三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X ； (2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X . [解] (1)X 可取0,1,2,3.X ＝i 表示取出i 支白粉笔，(3－i )支红粉笔，其中i ＝0,1,2,3. (2)X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为(1)求η1＝2ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布． [解] (1)η1＝12ξ的概率分布为(2)η2＝1．随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c A.13 B.23 C.34D.45B [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c＝23.] 2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 为( ) A ．1 B ．1±22 C ．1＋22D ．1－22D [由分布列性质知12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又由分布列性质知1－2q ≥0， ∴q ≤12，∴q ＝1－22，故选D.]3．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________.0．8 [由Y ＝－2，得3X －2＝－2，X ＝0. ∴P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.]4．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 [设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.]5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4，求：(1)P (ξ＝1或ξ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72.[解] (1)∵P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝210，∴P (ξ＝1或ξ＝2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝110＋210＝310＝0.3.(2)ξ＝1,2,3,4，又12<ξ<72，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝110＋210＋310＝0.6.课时分层作业(七) 超几何分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④B [由超几何分布的概念知③④符合，故选B.]2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )A.C 615A 615 B.C 310C 35C 615 C.C 410C 25C 615D.C 410A 25A 615C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 410C 25C 615.]3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( ) A ．P (0<X ≤2) B ．P (X ≤1) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)B [结合题意，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 122C 14C 226，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 222C 226，故P (X ≤1)＝C 122C 14＋C 222C 226.] 4．从含2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为X ，则X 的分布列为( )A [X 的所有可能取值为0,1,2，“X ＝0”表示入选3人全是男生， 则P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，“X ＝1”表示入选3人中恰有1名女生， 则P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生， 则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的分布列为5．10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好取1名女生的概率为1645，则a ＝( ) A ．1 B ．2或8 C ．2D ．8B [由题意，得1645＝C 110－a C 1aC 210，解得a ＝2或a ＝8.]二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．47245[设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.]7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．15 [用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15.]8．某班班委会由5名女生和4名男生组成，现要从中任选3人参加一项公益活动，所选3人中男生人数ξ的分布列为________．[ξ的可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝5C 39＝42，P (ξ＝1)＝54C 39＝21，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.所以ξ的分布列为三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，X ～H (3,6,10)． 则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k4C 310(k ＝0,1,2,3)，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝3.10．袋中有形状大小完全相同的4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率．[解] (1)从袋中随机取4个球有1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.∴P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求概率分布为(2)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.[能力提升练]1．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125C [因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X ＝4，即旧球的个数增加一个，所以取出的3个球中必有一个新球，即取出的3个球必为2个旧球1个新球，所以P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.]2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本有( )A ．2本B ．3本C ．4本D ．5本C [设语文课本有n 本，则数学课本有(7－n )本(n ≥2)，则2本都是语文课本的概率是C 2n C 07－n C 27＝27.所以n 2－n －12＝0，所以n ＝4或n ＝－3，所以n ＝4.] 3．在六个数字1,2,3,4,5,7中，若随机取出三个数字，则剩下三个数字都是奇数的概率是________．0．2 [剩下三个数字都是奇数，则取出的三个数字为两偶一奇．故P ＝C 22·C 14C 36＝420＝0.2.]4．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2名，则恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为________．35 [由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X 表示20至40岁的人数，则X 服从超几何分布H (2,2,5)，故P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35.]。
高中数学 2.3.2 事件的独立性配套课件 苏教版选修23
事件的独立性
【问题导思】 1．怎样判断两个事件 A，B 相互独立？ 【提示】 (1)直接判断：如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，或者事件 B 的发生不影响事件 A 发生的概率， 则事件 A 与 B 相互独立． (2) 从 概 率 公 式 判 断 ： 若 P(B|A) ＝ P(B) 或 P(AB) ＝ P(A)P(B)，则 A，B 相互独立．
事件独立性判断
判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组有 3 名男生、2 名女生，乙组有 2 名男生、3 名女 生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组 中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；
(2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个 球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中 任意取出 1 个，取出的还是白球”；
2．两两独立的 n 个随机事件之间是相互独立吗？
【提示】 两两独立的 n 个随机事件之间不一定是相互 独立的．
例如，一个均匀的四面体，其第一面染成红色，第二面 染成白色，第三面染成黑色，而第四面染成红、白、黑三种 颜色．现以 A，B，C 分别表示投掷一次四面体底面出现红色、 白色、黑色的事件，则由于四面体的四个面中有两面是红色，
2．3.2 事件的独立性
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)正确理解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断 某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件． (2)掌握相互独立事件都发生的概率的乘法公式，会运用 此公式计算一些简单的概率问题．
2．过程与方法 (1)通过概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生 观察、分析、类比、归纳的能力，并渗透逆向思维的数学思 想方法．(2)提高学生自主学习的能力与探究问题的能力． 3．情感、态度与价值观 创设适宜的教学情境，激发学生学习数学的兴趣，发展 数学应用意识，认识数学的应用价值，培养学生的爱国精神 与合作意识．
高中数学(苏教版 选修2-3)文档第2章 2.3.2 事件的独立性 Word版含答案
事件的独立性．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)[基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材～，完成下列问题．．事件的独立性的概念()概念：若事件，满足()＝()，则称事件，独立．()含义：()＝()说明事件的发生不影响事件发生的概率．．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么()两个事件，相互独立的充要条件是()＝()()．()若事件，，…，相互独立，那么这个事件同时发生的概率(…)＝()()…()．．相互独立事件的性质如果事件与相互独立，那么与，与，与也相互独立．．下列说法正确的有．(填序号)①对事件和，若()＝()，则事件与相互独立；②若事件，相互独立，则()＝()×()；③如果事件与事件相互独立，则()＝()；④若事件与相互独立，则与相互独立．【解析】若()＝()，则()＝()·()，故，相互独立，所以①正确；若事件，相互独立，则，也相互独立，故②正确；若事件，相互独立，则发生与否不影响的发生，故③正确；④与相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为. 【导学号：】【解析】事件“甲投球一次命中”记为，“乙投球一次命中”记为，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件，则＝∪且与互斥，()＝(∪)＝()()＋()()＝×＋×＝＝.【答案】．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是．【解析】三人都达标的概率为××＝.三人都不达标的概率为(－)×(－)×(－)＝××＝.三人中至少有一人达标的概率为－＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。
数学苏教版选修2-3 独立性
独立性教学目标：了解两个事件相互独立的概念教学重点：了解两个事件相互独立的概念教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）二、讲解新课：1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设,,,,A B ==第一次抽取取到绿球第二次抽取取到绿球 则3()()5P B A P B == 2、两个事件的独立性事件B 发生与否可能对事件A 发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有 (|)()P A B P A =. (1)这时，()()(|)()()P AB P B P A B P A P B ==⋅. 反过来，若()()()P AB P A P B =⋅, (2)则 ()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===.这种情况称A 与B 独立. 当()0P B >时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(2)式，因为在形式上它关于A 与B 对称，且便于推广到n 个事件.(2)式也取消了()0P B >的条件. 事实上，若B =∅, 则()0P B =, 同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与∅独立. 同理任何事件也与必然事件Ω独立.注：1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。
例如，在放回摸球（袋中有白球和红球）试验中，表示“第一次摸得白球”， 表示“第二次摸得白球”。
苏教版高中数学选修2-3知识讲解_独立性 (1)
独立性： ：【学习目标】1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.通过实例探究条件概率计算公式的推导过程和事件独立性的概念，学会判断事件独立性的方法.3.通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发展数学的应用意识.【要点梳理】要点一：条件概率1.概念设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。
要点诠释：我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。
2.公式.要点诠释：（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即()()card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B =的测度的测度. （2）公式()(|)()P AB P A B P B =揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式．（3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()|=P AB P B A P A .3. 性质（1）非负性：()|0P A B ≥；（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =.4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别：联系：事件A ，B 都发生了。
苏教版高中数学选修2-3 2.3.2 事件的独立性 作业
课下能力提升(十三)事件的独立性一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．二、解答题6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率；(2)甲、乙两地都不降雨的概率；(3)其中至少一个地方降雨的概率．7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．答案1．解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件．答案：相互独立2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725. 答案：7253．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 答案：344．解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝56.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．P (B )＝1－P (B )＝1－636＝56. 所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝2536. 答案：25366．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.(3)至少一个地方降雨的概率为P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，于是P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.8．解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1，2)．∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)，一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)．由事件的独立性得P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。
数学苏教选修优化训练：事件的独立性 含解析
2.3.2 事件的独立性5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.12581 B.12554 C.12536 D.12527 答案:A 解析：两次击中的概率P 1=23C 0.62·(1-0.6)=12554，三次击中的概率P 2=0.63=12527,P 1+P 2=12581. 2.已知P(B)>0，A 1∩A 2=∅，则有( )A.P(A 1｜B)>0B.P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B)C.P(A 12A ｜B)≠0D.P(21A A ｜B)=1答案:B解析：A 1∩A 2=∅,∴A 1与A 2互斥.∴P(A 1∪A 2｜B)=P(A 1｜B)+P(A 2｜B).3.对于事件A 、B,正确命题是( )A.如果A 、B 互不相容,则A 、B 不相容B.如果A ⊂B,则A ⊂BC.如果A 、B 对立,则A 、B 也对立D.如果A 、B 互不相容,则A 、B 对立答案:C解析：∵A 、B 对立,则A=B ,B=A . ∴A 与B 也对立.4.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,它能活到25岁的概率是_______________.答案:0.5解析：设A=“能活到20岁”，B ＝“能活到25岁”，则P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率为P(B ｜A).由于B ⊆A,故A∩B ＝B.于是P(B ｜A)=8.04.0)()()()(==A P B P A P AB P =0.5,所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.从应届高中生中选出飞行员,已知这批学生体型合格的概率为31,视力合格的概率为61,其他几项标准合格的概率为51,从中任选一学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)（ ） A.94 B.901 C.54 D.95 答案:B解析：P=901516131=⨯⨯. 2.某台机器上安装甲,乙两个元件,这两个元件的使用寿命互不影响,已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9,则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为（ ）A.0.3B.0.6C.0.75D.0.9 答案:C解析：设乙元件的使用寿命超过1年的概率为x,则两个元件中至少有一个使用寿命超过1年的概率为:1-(1-0.6)·（1-x ）≥0.9.解之得：x≥0.75,选C.3.两人同时向一敌机射击,甲的命中率为51,乙的命中率为41,则两人中恰有一人击中敌机的概率为( ) A.207 B.2012 C.211 D.101 答案:A解析：恰有一人击中敌机可分为两种情况:甲击中乙没击中,甲没击中乙击中.利用独立事件的概率可知.P=P(A ·B )+P(A ·B)=51×43+54×41=207. 4.甲盒中有200个螺杆,其中有160个A 型的,乙盒中有240个螺母,其中有180个A 型的,现从甲,乙两盒中各任取一个,则能配成A 型螺栓的概率为________________.答案:53 解析：从甲中取一个A 型螺杆的概率为P(A)=54, 从乙中取一个A 型螺母的概率为P(B)=43. ∵两者相互独立,∴P=P(A)·P(B)=53. 5.设有100个圆柱形零件,其中95个长度合格,92个直径合格,87个长度,直径都合格,现从中任取1件.求:(1)该产品是合格品的概率;(2)若已知该产品直径合格,求是合格品的概率;(3)若已知该产品长度合格,求是合格品的概率.解:(1)100个中有87个合格,故P=0.87.设事件A 为合格品,B 为长度合格,C 为直径合格,则有(2)P(A ｜B)=95.087.0)()(=B P A P ≈0.915 9. (3)P(A ｜C)=92.087.0)()(=C P A P ≈0.945 7. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1个人解决这个问题的概率是( )A.p 1·p 2B.p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1)C.1-p 1·p 2D.1-(1-p 1)(1-p 2) 答案:B解析：甲解决该问题的概率为p 1(1-p 2),乙解决该问题的概率为p 2(1-p 1),两事件互为独立事件.∴P=p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).故选B.2.若P(A ·B)=0,则事件A 与事件B 的关系是( )A.互斥事件B.A 、B 中至少有一个为不可能事件C.互斥事件或至少有一个是不可能事件D.以上都不对答案:C3.事件A 与B 独立,则下列结论正确的是( )A.P(A)=0B.P(A)=1-P(B)C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(AB)=P(A)·P(B)答案:D解析：选项A 为不可能事件,选项B 为对立事件,选项C 为互斥事件同时发生的概率,所以D 正确.4.某机械零件加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为a,第二道工序的废品率为b,假定这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为( )A.ab-a-b+1B.1-a-bC.1-abD.1-2ab答案:A解析：出现合格品需两道工序均出现合格品,利用独立事件的概率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.5.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞机目标的概率分别为0.9和0.85,则有且仅有一台雷达发现目标的概率为___________,至少有一台雷达发现目标的概率为___________. 答案:0.22 0.985 仅有一台发现目标;第一台发现:p 1=0.9×0.15=0.135,第二台发现:p 2=0.1×0.85=0.085,∴P=0.135+0.085=0.22.至少有一台对立事件为全都不发现目标,则有P=1-0.1×0.15=0.985.6.有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,按装潢可分精装、平装两种,精装书70本,某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书,这一事件的概率是___________.答案:257 解析：设“任取一书是文科书”的事件为A,“任取一书是精装书”的事件为B,则A,B 是相互独立的事件,所求概率为P(A ·B).据题意可知P(A)=5210040=,P(B)10710070= ∴P(A ·B)=P(A)·(B)=25710752=⨯. 7.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率是80%.若用A,A 分别表示甲,乙两厂的产品,B 表示产品为合格品,B 表示产品为不合格品,试写出有关事件的概率.解:P(A)=70%,P(A )=30%,P(B ｜A)=95%,P(B ｜A )=80%,故得P(B ｜A)=5%,P(B ｜A )=20%.8.如图,电路由电池A,B,C 并联组成，电池A,B,C 损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2,求电路断电的概率.解:设A=“电池A 损坏”，P （A ）＝0.3;B=“电池B 损坏”，P （B ）=0.2;C=“电池C 损坏”，则P （C ）＝0.2.“电路断电”＝“A 、B 、C 三个电池同时损坏”=A ·B ·C ，由实际意义,知A 、B 、C 三个事件相互独立，于是P （电路断电）＝P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0.3×0.2×0.2=0.012.9.有三批种子，其发芽率分别为0.9,0.8和0.7，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率.解:设第一批种子发芽为事件A ，第二、三批种子发芽分别为事件B 、C.设至少有一粒种子发芽为事件D ，则D=A+B+C.又A ·B ·C 表示事件A 、B 、C 都不发生，故A ＋B ＋C 与A B ·C 是两对立事件.又A 、B 、C 为相互独立事件,∴P(D)=P(A+B+C)=1-P(A ·B ·C )=1-P(A )P(B )P(C )=1-0.1×0.2×0.3=0.994.10.甲、乙、丙三部机床独立工作,由一个工人照管,且不能同时照管两部和两部以上机床,某段时间内,它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8和0.85,求在这段时间内,(1)三部机床都不需要人照管的概率;(2)有机床需要人照管的概率;(3)至少有两部机床需要人照管,而一人根本照管不过来而造成停工的概率.解:设“甲机床不需要人照管”为事件A，“乙机床不需要人照管”为事件B，“丙机床不需要人照管”为事件C，则P（A）=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)三部机床都不需要人照管的事件用A·B·C表示，∵A、B、C相互独立，∴P（A·B·C）=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.8×0.85=0.612.（2）“有机床需要人照管”事件，即“至少有一部需要人照管”的事件，它的对立事件是“三部机床都不需要人看管”，故所求概率为1-P(A·B·C)＝1-0.612=0.388.（3）“停工”事件即为“至少有两部需人照管”的事件，用A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C表示，得P(A·B·C·A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.059.。
苏教版高中数学选修2-3§2.3 独立性.docx
§2.3 独立性2．3.1 条件概率课时目标1.在具体情境下，了解条件概率的概念.2.利用条件概率解一些简单的实际问题．1．条件概率：一般地，对于两个事件A 和B ，在________________________下事件A 发生的概率，称为______________________________________，记为P (A |B )．2．公式P (A |B )＝____________.一、填空题1．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )＝______.2．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，事件B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.3．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．4．设A ，B 是两个事件，且B 发生则A 必定发生，0<P (A )<1,0<P (B )<1，则下列各式中正确的是________．(填序号)①P (A ＋B )＝P (A )； ②P (B |A )＝P (B )； ③P (A |B )＝P (A )； ④P (AB )＝P (B )．5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是________．6．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．7．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．8．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，第2次也抽到A的概率为________．二、解答题9．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．10．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．能力提升11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，既刮东风又下雨的概率是730.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．12．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．2．已知事件A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，求P (B |A )时，除按公式外，还可把A 看做新的基本事件空间来计算B 发生的概率．2．3 独立性 2．3.1 条件概率答案知识梳理1．已知事件B 发生的条件 事件B 发生的条件下事件A 的条件概率 2.P (AB )P (B ) 作业设计 1.12解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.2.12解析 P (AB )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.3.59 解析 设第一次摸出红球为事件A ，第二次摸出红球为事件B ，则P (A )＝35，P (AB )＝C 26C 210＝13.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59. 4．①④ 5.23解析 记事件A ：“用满3 000小时不坏”，P (A )＝34；记事件B ：“用满8 000小时不坏”，P (B )＝12.因为B ⊂A ，所以P (AB )＝P (B )＝12，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1234＝12×43＝23.6.95997.23解析 一个家庭有两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩子，第二个是女孩子}，{第一个是女孩子，第二个是男孩子}，{两个都是女孩子}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，事件A 表示“其中一个是女孩”，事件B 表示“其中一个是男孩”，则Ω为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A 为{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B 为{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB 为{(男，女)，(女，男)}．所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2434＝23.8.1179．解 记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B .P (A )＝C 25C 36＝1020＝12，P (BA )＝C 14C 36＝15，P (B |A )＝P (BA )P (A )＝25.10．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26＝30，根据分步乘法计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，于是P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35.11.78解析 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P (A )＝830，P (AB )＝730，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝78.12．解 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13，P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B )＝38＋1＝13，从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127.。
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课时分层作业(九) 事件的独立性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个C [①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12.即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (M ∩N )＝14，P (M ∩N )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．]2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49 B.29 C.23D.13A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝46＝23，事件A 、B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.]4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是( )A ．0.49B ．0.42C ．0.7D ．0.91B [由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事件A ，则P (A )＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]5．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14C [记A ，B ，C ，D 这4个开关闭合分别为事件A ，B ，C ，D ，又记A 与B 至少有一个不闭合为事件E ，则P (E )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝34，则灯亮的概率为P ＝1－P (E C D )＝1－P (E )P (C )P (D )＝1－316＝1316.]二、填空题6．如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．0．864 [可知K ，A 1，A 2三类元件是否正常工作相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．12 [从甲袋中任取一球是白球的概率为812＝23，是红球的概率为412＝13；从乙袋中任取一球是白球的概率为612＝12，是红球的概率为612＝12，故所求事件的概率为23×12＋13×12＝12.]8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．0．902 [设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．∴至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．[解] 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P (ξ＝3)＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3) ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P (ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.23D [由P (A ∩B )＝P (B ∩A )，得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19，∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.]2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25D [设体型合格为事件A ，身体关节构造合格为事件B ，A 与B 为独立事件，且P (A )＝15，P (B )＝14，所以两项中至少一项合格的概率为P ＝1－P (AB )＝1－P (A )·P (B )＝1－45×34＝25.] 3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是________．13 [由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.通过分析跳三次停在A 荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.]4．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0．18 [记事件M 为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M )＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]5．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的概率分布． [解] 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.(1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝16. (2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3) ＝16＋56×15＋56×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝12. (3)X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以，X 的概率分布为。