2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018模拟题：专题10 计算原理 概念 第78练 含解析 精品
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
一、选择题1.如图，直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，l 2与x 轴相交于点A ，l 2与l 1相交于点B ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．20°2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－143．已知直线的点斜式方程为y ＋3＝3(x －4)，则这条直线经过的已知点的坐标、倾斜角分别是( )A ．(4，－3)，π3B ．(－4,3)，π3C ．(4,3)，π6D ．(4，－3)，π64．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π25．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π46．若直线经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α<πB ．0≤α≤π4或π2<α<πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α<π2或π2<α<π 7．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 8．已知A (－2,0)，点P (x ，y )满足x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，则直线AP 的斜率的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－33，33 B ．[－3，3]C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．[－2,2] 二、填空题9．已知经过两点A (－1,1)，B (4，a )的直线的斜率为1，则a 的值为________．10．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．11．与直线x ＋3y ＋2＝0垂直的直线的倾斜角为_______．12．已知点A 在直线x ＋2y －1＝0上，点B 在直线x ＋2y ＋3＝0上，线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，且满足y 0>x 0＋2，则y 0x 0的取值范围为________．答案精析1．C 2.A 3.A 4.B 5.C6．B [直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1， 又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，所以π2<α<π或0≤α≤π4，故选B.] 7．D [设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12.故满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.]8．A [由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，x －y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ，y ＝cos θ，故x 2＋y 2＝1，即点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＝1，过A 向圆作切线，两切线的斜率分别为33，－33，由图可知，k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，故选A.] 9．6 解析 由题意可知a －14＋1＝1，解得a ＝6. 10．[0,1]解析 ∵y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1. ∴k 的取值范围是[0,1]．11.π3解析 直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为－33，所求直线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，故所求直线斜率为3，故倾斜角为π3.12.⎝⎛⎭⎫－12，－15 解析 因为直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋2y ＋3＝0平行， 所以|x 0＋2y 0－1|5＝|x 0＋2y 0＋3|5， 可得x 0＋2y 0＋1＝0.因为y 0>x 0＋2，所以－12(1＋x 0)>x 0＋2，解得x 0<－53. 设y 0x 0＝k ，则k ＝－12(x 0＋1)x 0＝－12－12x 0， 因为x 0<－53，所以0<－12x 0<310， 所以－12<y 0x 0<－15.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018模拟题：专题10 计算原理 概念 第72练 含解析 精品
一、选择题1．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为“凸数”(如120,343,275等)，那么所有“凸数”的个数为()A．240 B．204 C．729 D．9203．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有() A．250个B．249个C．48个D．24个4．从班委会5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法的种数为()A．36 B．30 C．12 D．65．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为()A．5 400 B．3 000 C．150 D．1 5006．(2017·温州适应性考试)若数列{a n}满足规律：a1>a2<a3>…<a2n－1>a2n<…，则称数列{a n}为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列，则不同的排法种数为()A．12 B．14 C．16 D．187．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种8.如图，某个城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个区域，现要栽种4种不同颜色的花，每个区域栽种1种且相邻区域不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法数为()A．110 B．115C．120 D．125二、填空题9．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．10．反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子，依次记录每一次落地时骰子向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷．若抛掷四次恰好停止，则记有这四次点数的所有不同结果的种数为________．(用数字作答)11．从集合{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任取三个不同的数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，能组成过原点且顶点在第一象限或第三象限的不同的抛物线的条数为________．12．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同字母，和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为________．答案精析1．C [由题意知有2门A 类选修课，3门B 类选修课，从中选出3门的选法有C 35＝10(种)．两类课程都有的对立事件是选了3门B 类选修课，这种情况只有1种．故满足题意的选法有10－1＝9(种)．]2．A [若a 2＝2，则“凸数”为120与121，共1×2＝2(个)．若a 2＝3，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．]3．C [先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数从剩余的4个数任选3个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理可得满足题设条件的四位数共有A 34＋A 34＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.]4．A [由题意先从甲、乙之外其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有C 13A 24＝36(种)，故选A.]5．D [分两步：第一步，从5个培训项目中选取三个，共C 35种情况；第二步，5位教师分成两类：一类：1人，1人，3人，共C 35C 11C 11种情况；一类：1人，2人，2人，共C 25C 23C 11A 22种情况． 故情况数为C 35⎝⎛⎭⎫C 35＋C 25C 23C 11A 22A 33＝1 500.故选D.]6．C [①将3,4,5排在中间和两侧，再将1,2插两空，共有A 33A 22＝12(种)排法；②将2,4,5排列，则结果必为21435；将2,5,4排列，则结果必为21534；将4,5,2排列，则结果必为43512；将5,4,2排列，则结果必为53412.综上，共有12＋4＝16(种)不同的排法，故选C.]7．A [根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6(种)安排方法，则此时有4×2×6＝48(种)编排方法；②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6(种)安排方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A 33＝6(种)安排方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法．综上符合要求的编排方法有36＋36＋48＝120(种)．故选A.]8．C [先确定1号区域，有4种栽种方法．然后对5,2,3区域进行分类：5,2,3区域颜色均不相同，有A 33种栽种方法；5,2区域颜色相同或5,3区域颜色相同，均有A 23种栽种方法．然后，再栽种4,6区域，于是，不同的栽种方法数有4×(A 33×1×1＋2A 23×2×1)＝120.]9．48解析 分两类，第一类仅有1名老队员，此时有2名新队员，一定可以保证1,2号中至少有1名新队员，此时有C 12C 23A 33＝36(种)排法；第二类有2名老队员，此时，要注意将新队员安排在1,2号中，有C 13C 12A 22＝12(种)排法．所以，不同的排法有36＋12＝48(种)．10．360解析 由题意知前三次中必有两次掷的点数是相同的，即有C 23种可能位置，这三个不同的数共有A 36种选法，由分步乘法计数原理可得，这四次点数的所有不同结果的种数为C 23A 36＝360. 11．24解析 由于过原点，所以c ＝0，此时，二次函数y ＝ax 2＋bx ，其顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a，－b 24a .若顶点在第一象限， 则a <0，b >0，因此有C 13C 14条；若顶点在第三象限， 则a >0，b >0，因此有A 24条．所以，共有C 13C 14＋A 24＝24(条)不同的抛物线．12．3 600解析 三个数字相邻，则共有A 35种情况，在A ，B ，C ，D ，E 中选两个不同的字母，共有A 25种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C 13种情况．综上所述，此人选择号牌的不同的方法种数为A 35A 25C 13＝60×20×3＝3 600.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1 3．(2017·丽水模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(－2)n －1＋1B ．2n －1＋1 C ．(－2)n －1 D ．(－2)n ＋1－1 4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n ＋25．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ a n ＋d ，n 2∉N *，qa n ，n 2∈N *(q 为非零常数)，若{a n }为等比数列，且首项为a (a ≠0)，公比为q ，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝a 或a n ＝q n －1 B ．a n ＝(－1)n －1a C ．a n ＝a 或a n ＝(－1)n －1a D ．a n ＝q n －1 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }中的a 12为( )A ．20 480B ．49 152C ．60 152D ．89 1507．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．118．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列二、填空题9．数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. 10．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1(n ∈N *)，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2，n 为偶数，12＋2a n －12，n 为奇数， n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．12．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案精析1．A 2.B 3.A 4.C 5.C6．B [由S 2＝4a 1＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4， 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项， 2为公比的等比数列，则a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1， 于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1， 因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n 2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n ·2n (n ∈N *)， 所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.]7．B [∵{b n }为等差数列且b 3＝－2，b 10＝12， ∴b 10－b 3＝7d ＝14，∴d ＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴a n ＋1－a n ＝2n －8.∴a 8－a 7＝6，a 7－a 6＝4，…，a 2－a 1＝－6，累加得a 8－a 1＝7×(6－6)2＝0，∴a 8＝a 1＝3，故选B.] 8．A [若c n ∥b n ，可得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，a n ＋1a n ＝n ＋1n. 即a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1＝n n －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21.所以a n ＝na 1， 所以数列{a n }是等差数列．易判断当c n ⊥b n 时，数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列，故选A.]9．－ 3解析 由a n ＋1＝a n －33a n ＋1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3， a 3＝a 2－33a 2＋1＝－3－3－3＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝3－33＋1＝0， 所以数列{a n }的循环周期为3.故a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－ 3. 10．4n －1 11.b n ＝2n12．[0，＋∞)解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，得a n ＋2n ＋2－a n n＝λ，令b n ＝a n n ， 则{b n }的奇数项和偶数项分别成首项为1，且公差为λ的等差数列， 所以b 2k －1＝1＋(k －1)λ，b 2k ＝1＋(k －1)λ，k ∈N *， 故a 2k －1＝2k －1＋(2k －1)(k －1)λ，a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ，k ∈N *，因为a n <a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，所以a 2k －1＝2k －1＋(2k －1)(k －1)λ<a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ恒成立， 同时a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ<a 2k ＋1＝2k ＋1＋(2k ＋1)kλ恒成立， 故－1<(k －1)λ且－3kλ<1恒成立，当k >1时，－1k －1<λ，而k →＋∞时，－1k －1→0， 所以λ≥0即可，当k ＝1时，－1<(k －1)λ恒成立．由－3kλ<1得－13k <λ，当k →＋∞时，－13k→0， 所以λ≥0即可．综上可知，λ≥0.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018模拟题：专题1 集合与命题 第1练 含解析 精品
一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}2．(2017·浙江嘉兴一中适应性考试)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4>0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．33．(2017·杭州高级中学模拟)已知集合M ＝{}x |x 2－1≤0，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈N ，则M ∩N 等于( )A.{}－1，0B.{}1C.{}－1，0，1D.{}04．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1或－1或35．已知全集U ＝R ，则下列图中能正确表示集合M ＝{x ∈R |0≤x ≤2}和集合N ＝{x ∈R |x 2－x ＝0}关系的是( )6．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }的子集只有两个，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－17．已知集合M ＝{x ||x |≥3}，N ＝{y ∈Z |y 2≤16}，那么(∁R M )∩N 等于( )A ．[－3,3]B．(－3,3)C．{－3，－2，－1,0,1,2,3}D．{x|－3<x<3，x∈Z}8．(2018届浙江“七彩阳光”联盟联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{y|y＝－3x2＋1，x∈R}，则A∩B等于()A．{x|－3<x≤1} B．{x|1≤x<2}C．{x|－1<x≤1} D．{x|1<x<3}二、填空题9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________. 10．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．11．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2 018＝________. 12．(2018届浙江温州中学模拟)由5个元素构成的集合M＝{4，3，－1,0,1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，M31，每一个M i(i＝1,2，…，31)中所有元素的积为m i，则m1＋m2＋…＋m31＝________.答案精析1．B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C9．{(0,1)，(－1,2)}10．(－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上①②可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．11．1或0解析 由M ＝N 知，⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2，故(m －n )2 018＝1或0. 12．－1解析 首先考虑取出的元素中含0，则无论子集中有多少元素，其积都为0，其积的和也为零；当取出的元素不为0时，即只在集合{－1,1,3,4}中取元素，则所得的子集分别是{－1}，{1}，{3}，{4}，{－1,1}，{－1,3}，{－1,4}，{3,4}，{1,3}，{1,4}，{－1,1,3}，{－1,1,4}，{－1,3,4}，{1,3,4}，{－1,1,3,4}，所以m 1＋m 2＋…＋m 31＝(－1)＋1＋3＋4－1－3－4＋12＋3＋4－3－4－12＋12－12＝－1.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018模拟题：专题5 平面向量 复数 第31练 含解析 精品
一、选择题1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，若BC →＝(2,0)，AC →＝(1,4)，则AD →等于( )A ．(－2,4)B ．(0，－4)C ．(2,4)D ．(0,4)2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(1,0)，c ＝(1，－2)，若a 与m b －c 平行，则m 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．33．设D 为线段BC 的中点，且AB →＋AC →＝－6AE →，则( )A.AD →＝2AE →B.AD →＝3AE →C.AD →＝2EA →D.AD →＝3EA → 4．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为( )A.12B ．1C ．2D ．35.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则 λμ的值为( ) A ．－3B ．3C ．2D ．－26.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( ) A.2a －⎝⎛⎭⎫1＋22b B ．－2a ＋⎝⎛⎭⎫1＋22b C ．－2a ＋⎝⎛⎭⎫1－22b D.2a ＋⎝⎛⎭⎫1－22b 7．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．(2017·舟山模拟)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C. 1m ＋1n是定值，定值为2 D. 2m ＋1n是定值，定值为3二、填空题9．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB→的坐标是________．10．已知△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD →＝xAB →＋yAC →，则x －y ＝________.11．P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________. 12.如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．答案精析1．D 2.A 3.D 4.A 5.B6．B [作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥DE 于F ，由题意，得∠ACD ＝90°，CF ＝BE ＝FD ＝22， ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴AD →＝AE →＋ED →＝⎝⎛⎭⎫1－22a ＋⎝⎛⎭⎫1＋22BC → ＝⎝⎛⎭⎫1－22a ＋⎝⎛⎭⎫1＋22(b －a ) ＝－2a ＋⎝⎛⎭⎫1＋22b ，故选B.] 7．D [依题意，由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得BC 垂直于BC 边上的中线，可知△ABC 为等腰三角形，AB ，AC 为腰，再由AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，得A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形，故选D.] 8．D [方法一 过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →，可得AC AN ＝1n， ∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1， 由BD ＝12DC ，可得BM ME ＝12， ∴AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1， 整理可得2m ＋1n＝3. 方法二 ∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →.①又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →.② 由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n＝3，故选D.] 9．(4,7) 10.－1311.{(－13，－23)} 12.83解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →. 设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD →＝xλAB →＋yμAC →，则⎩⎨⎧ xλ＝23，yμ＝13，即⎩⎨⎧ λ＝23x ，μ＝13y ，故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1≥ 23⎝⎛⎭⎫2＋2 y x ·x y ＝83. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练(含最新2018模拟题)：专题2 函数概念和基本初等函数1 第11练
8．如图所示，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2 之间，l∥l1，l 与 半圆相交于 F，G 两点，与△ABC 两边相交于 E，D 两点．设弧 FG 的长为 x(0<x<π)， y＝EB＋BC＋CD，若 l 从 l1 平行移动到 l2，则 y＝f(x)的图象大致是( )
4．(2017·台州调研)已知函数 f(x)＝x(1＋a|x|)(a∈R)，则在同一个坐标系下函数 f(x＋a)与 f(x) 的图象不可能是( )
5．函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)与函数 y＝(a－1)x2－2x 在同一坐标系内的图象可能是( )
6．函数 f(x)＝xecos x(x∈[－π，π])的图象大致是( )
A．0
B．2
C．3
D．1
2.函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝2x＋lg x＋2 B．f(x)＝2x＋lg x－2 C．f(x)＝2x－lg x＋2 D．f(x)＝2x－lg x－2
2x2＋3x 3．(2018 届浙江“七彩阳光”联盟联考)函数 f(x)＝ 2ex 的大致图象是( )
3 ＝ 9 >2 3－2.
π
故当 x＝3时，对应的点(x，y)在 A 图中线段的下方，对照选项，D 正确．]
9．左 下 1 10．①④ 解析 取 x＝1，得 f(1－4)＝－f(1)＝－log22＝－1， 所以 f(3)＝－f(－3)＝1，①正确； 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， 则 f(x－4)＝f(－x)，故 f(x－2)＝f(－x－2)， 所以函数 f(x)的图象关于直线 x＝－2 对称，故③不正确； 对于奇函数 f(x)，当 x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 所以 x∈[－2,2]时，函数为单调递增函数． 因为函数 f(x)的图象关于直线 x＝－2 对称， 所以函数 f(x)在[－6，－2]上是减函数，故②不正确； 若 m∈(0,1)，则关于 x 的方程 f(x)－m＝0 在[－8,8]上有 4 个根，其中两根的和为 －6×2＝－12，另两根的和为 2×2＝4，所以所有根之和为－8，故④正确． 11．5
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
一、选择题1．下列语句中是命题的个数为()①若x∈R，则x2＋4x＋7>0；②小明有可能生病了；③6＋1＝5；④垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？A．1 B．2C．3 D．42．命题“若a>b，则a－8≤b－8”的否命题是()A．若a<b，则a－8<b－8B．若a－8>b－8，则a>bC．若a≤b，则a－8>b－8D．若a－8≤b－8，则a≤b3．(2017·杭州高级中学模拟)设原命题为“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题4．命题“任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>15．(2017·宁波质检)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真、假、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假6．(2018届温州适应性考试)已知α，β∈R，则“α>β”是“cos α>cos β”的()A．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r >0}，若“点(x ，y )∈A ”是“点(x ，y )∈B ”的必要不充分条件，则r 的最大值是( ) A.22 B ．1 C.12D. 2 8．对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“－1<x －y <1”是“[x ]＝[y ]”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．命题“若a ＝1，则a 2＝1”的逆命题是________．10．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为“________________________________”．11．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“若a >b ，则ac 2>bc 2”的逆否命题．其中真命题的序号为________．12．(2017·浙江嘉兴一中适应性考试)已知p ：－2≤x ≤10，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案精析1．B 2.C 3.A 4.B5．B [设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其逆否命题为真；当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假，故其否命题也为假．]6．D [因为当α＝π3>β＝π6时，cos α>cos β不成立； 当cos π6>cos π3时，α>β不成立， 所以“α>β”是“cos α>cos β”的既不充分也不必要条件，故选D.]7．A8．B [取x ＝0.5，y ＝1.2，－1<x －y <1，但不满足“[x ]＝[y ]”，故“－1<x －y <1”不能推出“[x ]＝[y ]”．反之，若“[x ]＝[y ]”，则有“－1<x －y <1”，故为必要不充分条件．]9．若a 2＝1，则a ＝110．在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角11．①③12．(－∞，－3)∪(10，＋∞)解析 由(x －a )(x －a －1)>0，得x >a ＋1或x <a .由题意得，{x |－2≤x ≤10}{x |x >a ＋1或x <a }，所以a ＋1<－2或a >10，解得a <－3或a >10.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
一、选择题1．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．(2018届温州一模)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|AB →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( ) A ．3 B.32 C. 3D.323．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →5．已知△ABC 内接于圆O ，且∠A ＝60°，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋2y 的最大值是( ) A.23 B ．1 C.12D ．2－2236．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →，且||OA →＝||AB →，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( ) A.12 B ．－32C ．－12D.327．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式： ①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →； ③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0. 则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23 C.56 D.712二、填空题9．若向量a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，c ＝(x,1)满足(3a －b )⊥c ，则x ＝________.10．(2018届浙江名校协作体考试)已知在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，且O 是△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________，AO →·BC →＝________.11．(2018届温州一模)设向量a ，b ，且|a ＋b |＝2|a －b |，|a |＝3，则|b |的最大值是________，最小值是________．12．在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝2π3，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB ，M ，N分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM →·PN →的最大值为________．答案精析1．C 2.B 3.A 4.D5．D [设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .由AO →＝xAB →＋yAC →，可得AB →·AO→＝xAB →2＋yAC →·AB →，AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2，所以⎩⎨⎧12c 2＝c 2·x ＋12bc ·y ，12b 2＝12bc ·x ＋b 2·y ，解得⎩⎨⎧x ＝23－b 3c，y ＝23－c3b ，所以x ＋2y ＝2－13⎝⎛⎭⎫b c ＋2c b ≤2－13×22＝2－223(当且仅当b ＝2c 时取等号)，故选D.] 6．D [由题意可得()AB →－AO →＋()AC →－AO →＝0， 即OB →＋OC →＝0，OB →＝－OC →，即外接圆的圆心O 为边BC 的中点，则△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形， 结合||OA →＝||AB →＝1，得∠ACB ＝π6，||C A→＝3， 则向量CA →在向量CB →方向上的投影为||CA→cos π6＝3×32＝32.] 7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心，故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3(λ－1)，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3(1－μ)，即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1， CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，两式相减，得λ＋μ＝56.]9．1 10．2 －52解析 设外接圆半径为R ，∵AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，AO ＝CO ＝R ，cos ∠OAC ＝R 2＋4－R 22R ·2＝1R ，cos ∠OAB ＝9＋R 2－R 22×3×R ＝32R ，则AO →·AC →＝|AO →|·|AC →|cos ∠CAO ＝R ×2×1R ＝2.AO →·AB →＝|AO →||AB →|cos ∠OAB ＝92，AO →·BC →＝AO →(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →＝－52.11．9 1解析 设|b |＝t ，a ，b 的夹角为θ，由|a ＋b |＝2|a －b |，可得|a ＋b |2＝4|a －b |2，即9＋t 2＋6t cos θ＝4(9＋t 2－6t cos θ)，化简得t 2－10t cos θ＋9＝0，可得t 2－10t ＋9≤0,1≤t ≤9，即|b |的最大值是9，最小值是1. 12．1解析 ∵扇形AOB 的半径为1，∴||OP →＝1. ∵OP ⊥OB ，∴OP →·OB →＝0. ∵∠AOB ＝2π3，∴∠AOP ＝π6，∴PM →·PN →＝()PO →＋OM →·()PO →＋ON→ ＝PO →2＋ON →·PO →＋OM →·PO →＋OM →·ON →＝1＋||OM →cos 5π6＋||OM →·||ON →cos 2π3≤1＋0×⎝⎛⎭⎫－32＋0×⎝⎛⎭⎫－12＝1.。
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一、选择题1．已知集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1－1x ≥0，则A ∩B 等于( ) A ．{x |1≤x <2}B ．{x |0<x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0<x <1}2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7)3．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 34．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－45．已知t ＝－u 2＋7u －7u －1(u >1)，且关于t 的不等式t 2－8t ＋m ＋18<0有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)二、填空题6．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －8|≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值为________．7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (年数，x ∈N *)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则当每台机器运转时间为______年时，年平均利润最大，最大值是________万元/年．8．(2017·温州质检)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≥0，x －3y ＋11≥0，则x ，y 所表示的区域的面积为________，若x ，y 同时满足(t ＋1)x ＋(t ＋2)y ＋t ＝0，则实数t 的取值范围为________．9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x ＋m x＋2(m 为实数)． (1)若函数f (x )图象上动点P 到定点Q (0,2)的距离的最小值为2，求实数m 的值；(2)设m <0，若不等式f (x )≤kx 在⎣⎡⎦⎤12，1上有解，求k 的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.C 5.A6．6解析 |x －2|＋|x －8|≥|(x －2)－(x －8)|＝6，即a ≤6，a 的最大值为6.7．5 8解析 y x ＝－x ＋18－25x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤8. 当且仅当x ＝5时，等号成立，当x ＝5时，⎝⎛⎭⎫y x max ＝8，即机器运转5年时，年平均利润最大为8万元/年．8.52 ⎣⎡⎦⎤－2，－43 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示△ABC 的面积，所以x ，y 所表示的区域的面积为S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫113－2×(1＋2)＝52； 由(t ＋1)x ＋(t ＋2)y ＋t ＝0，得t (x ＋y ＋1)＋x ＋2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x ＋2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即(t ＋1)x ＋(t ＋2)y ＋t ＝0过定点M (－2,1)， 则由图象知A ，B 两点在直线两侧和直线上即可，即[2(t ＋2)＋t ][－2(t ＋1)＋3(t ＋2)＋t ]≤0， 即(3t ＋4)(2t ＋4)≤0，解得－2≤t ≤－43. 9. 2解析 由题意，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．10．解 (1)设P (x ，y )，则y ＝x ＋m x＋2， PQ 2＝x 2＋(y －2)2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋m x 2 ＝2x 2＋m 2x 2＋2m ≥22|m |＋2m ＝2，当m >0时，解得m ＝2－1；当m <0时，解得m ＝－2－1. 所以m ＝2－1或m ＝－2－1.(2)由f (x )≤kx ，得x ＋m x＋2≤kx . 因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以k ≥m x 2＋2x＋1. 令t ＝1x，则t ∈[1,2]，所以k ≥mt 2＋2t ＋1. 令g (t )＝mt 2＋2t ＋1，t ∈[1,2]，于是，要使原不等式在⎣⎡⎦⎤12，1上有解，当且仅当k ≥[g (t )]min (t ∈[1,2])．因为m <0，所以g (t )＝m ⎝⎛⎭⎫t ＋1m 2＋1－1m的图象开口向下， 对称轴为直线t ＝－1m>0. 因为t ∈[1,2]，所以当0<－1m ≤32， 即m ≤－23时，g (t )min ＝g (2)＝4m ＋5； 当－1m >32，即－23<m <0时，g (t )min ＝g (1)＝m ＋3. 综上，当m ≤－23时，k ∈[4m ＋5，＋∞)； 当－23<m <0时，k ∈[m ＋3，＋∞)．。
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一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N )”的过程中，第二步当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1 B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1 C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1 D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1 2．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N *，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法为( )A ．假设当n ＝k 时，命题成立B ．假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立C ．假设当n ＝k (k ≥5)时，命题成立D ．假设当n ＝k (k >5)时，命题成立3．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项5．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n 3＝n 6＋n 32，n ∈N *”，则当n ＝k ＋1时，应当在n ＝k 时对应的等式的左边加上( )A ．(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋…＋(k ＋1)3B ．k 3＋1C ．(k ＋1)3D.(k ＋1)6＋(k ＋1)32二、填空题6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式是________．7．当n 为正奇数时，求证：x n ＋y n 被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________时命题为真．8．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n ∈N *)9．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *)三、解答题10．(2017·浙江“超级全能生”联考)已知每一项都是正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋112a n(n ∈N *)．(1)用数学归纳法证明：a 2n ＋1<a 2n －1；(2)证明：16≤a n ≤1； (3)记S n 为数列{|a n ＋1－a n |}的前n 项和，证明：S n <6 (n ∈N *)．答案精析1．D [将式子1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1中n 用k ＋1替换得当n ＝k ＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，故选D.] 2．C [因为命题中条件是n ≥5，因此假设为：假设当n ＝k (k ≥5)时，命题成立，故选C.]3．C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．]4．D [当n ＝k 时左边为1＋12＋13＋…＋12k －1，当n ＝k ＋1时左边为1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1，所以增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k .] 5．A [当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 3，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 3＋(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋(k 3＋3)＋…＋(k ＋1)3， 所以应加上(k 3＋1)＋(k 3＋2)＋…＋(k ＋1)3，故选A.]6．1＋12＋13<2 解析 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式是1＋12＋13<2. 7．2k ＋1解析 题中是用数学归纳法证明关于所有正奇数的命题，2k －1之后的正奇数为2k ＋1， 由此可得第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝2k ＋1时命题为真． 8.16n (n ＋1)(2n ＋1) 解析 根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)， 下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．9．4 n 2－n ＋2解析 2个圆周最多把平面分成4片，n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.10．证明 (1)由题意知，a 1＝1>0，a n ＋1＝a n ＋112a n>0 (n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝a 1＋112a 1＝16， a 3＝a 2＋112a 2＝712，a 3<a 1成立； ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a 2k ＋1<a 2k －1， 当n ＝k ＋1时，因为a 2n ＋1＝a 2n ＋112a 2n ＝13a 2n －1＋112(a 2n －1＋1)， 所以a 2k ＋3－a 2k ＋1＝13a 2k ＋1＋112(a 2k ＋1＋1)－13a 2k －1＋112(a 2k －1＋1)＝a 2k ＋1－a 2k －1(a 2k ＋1＋1)(a 2k －1＋1)<0， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立， 由①②可知对于n ∈N *，都有a 2n ＋1<a 2n －1成立．(2)由(1)知，a 2n ＋1<a 2n －1，所以1＝a 1>…>a 2n －1>a 2n ＋1，同理由数学归纳法可证a 2n <a 2n ＋2，a 2n >a 2n －2>…>a 2＝16. 猜测：a 2n <13<a 2n －1，下证这个结论． 因为a n ＋1－13＝－⎝⎛⎭⎫a n －134a n ，所以a n ＋1－13与a n －13异号． 由a 1－13>0，知a 2n －1－13>0，a 2n －13<0， 即a 2n <13<a 2n －1. 所以有a 1>…>a 2n －1>a 2n ＋1>13>a 2n >a 2n －2>…>a 2， 从而可知16≤a n ≤1. (3)|a n ＋2－a n ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋112a n ＋1－a n ＋112a n ＝|a n ＋1－a n |12a n a n ＋1 ＝|a n ＋1－a n |a n ＋1≤|a n ＋1－a n |a 2＋1＝67|a n ＋1－a n |， 所以|a n ＋1－a n |≤67|a n －a n －1|≤⎝⎛⎭⎫672|a n －1－a n －2| ≤…≤⎝⎛⎭⎫67n －1|a 2－a 1|＝56⎝⎛⎭⎫67n －1，所以S n＝|a2－a1|＋|a3－a2|＋|a4－a3|＋…＋|a n＋1－a n|≤56⎣⎡⎦⎤1＋67＋⎝⎛⎭⎫672＋…＋⎝⎛⎭⎫67n－1＝56×1－⎝⎛⎭⎫67n1－67<356<366＝6.。
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一、选择题1．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图象可能是图中的哪一个( )2．若AB >0，BC >0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0经过的象限是( )A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限3．已知P (3，m )在过点M (2，－1)和N (－3,4)的直线上，则m 的值为( )A ．5B ．2C ．－2D ．－64．与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋2y ＋7＝0B ．3x ＋2y －7＝0C ．－3x ＋2y －7＝0D ．－3x ＋2y ＋7＝05．已知经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝06．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，则所得到的直线方程为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1 7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.3238．直线2x ＋3y －6＝0分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 是直线y ＝－x 上的一点，要使|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－1,1)B ．(0,0)C ．(1，－1)D.⎝⎛⎭⎫12，－12 二、填空题9．(2017·宁波诊断)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为__________________________；(2)若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为________________．11．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．12．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．答案精析1．B [设m >0，n <0可得B 正确．]2．B [直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B， 因为AB >0，BC >0，所以斜率k ＝－A B<0， 在y 轴上的截距－C B<0， 所以Ax ＋By ＋C ＝0经过第二、三、四象限．]3．C [k MN ＝－1－42－(－3)＝－1，k PM ＝－1－m 2－3＝m ＋1， ∵P ，M ，N 共线，∴k MN ＝k PM ，∴m ＝－2.]4．B [由题意知，与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程是3(－x )－2y ＋7＝0，即3x ＋2y －7＝0.]5．B [设方程为x a ＋y b ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1， 则a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y 6＝1，即2x ＋y －6＝0.] 6．A [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.] 7．A [由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.] 8．B [由题意知A (3,0)，B (0,2)，点B 关于y ＝－x 的对称点为B 1(－2,0)，直线AB 1(即x 轴)交y ＝－x 于点(0,0)，即P 点坐标是(0,0)时，|PA |＋|PB |最小．]9．6x －y －6＝0解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 10．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0 (2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2.此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )， 因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 (a ＋1)·1a ＋1＋2＝2. 当且仅当a ＋1＝1a ＋1， 即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.11．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.12．①③⑤解析 对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1,0)，⑤正确．故答案为①③⑤.。
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一、选择题1．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －12．数列{a n }的通项公式为a n ＝cos n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 2 017等于( ) A ．1 008B ．－1 008C ．－1D ．03．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1＋n 的前2 017项的和为( ) A. 2 018＋1B. 2 018－1C. 2 017＋1D. 2 017－14．1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( ) A ．18＋129 B ．20＋1210 C ．22＋1211 D ．18＋12105．已知函数f ()x ＝a x ＋b ()a >0，a ≠1的图象经过点P ()1，3，Q ()2，5，当n ∈N *时，a n ＝f ()n －1f ()n ·f ()n ＋1，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝1033时，n 的值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．已知数列{}a n 的前n 项和S n ，a 1<0且a 2a n ＝S 2＋S n ，对一切正整数n 都成立，记⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n －1T n 中的最大值为( )A.22 B ．－22 C. 2 D ．－ 27．(2017·温州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n (n ∈N *)，数列{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n n的最小值是( ) A ．62－6 B.135 C.52 D ．38．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫12，34D.⎣⎡⎦⎤12，34 二、填空题9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝－1，且对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m＋n ＝p ＋q 时，都有a m －b n ＝a p －b q ，则12 018∑i ＝12 018 (a i －b i )的值是________． 10．若数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 11．设S ＝ 1＋112＋ 122＋ 1＋122＋132＋ 1＋132＋142＋…＋ 1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]＝________.12．已知递增数列{}a n 共有2 017项，且各项均不为零，a 2 017＝1，如果从{}a n 中任取两项a i ，a j ，当i <j 时，a j －a i 仍是数列{}a n 中的项，则数列{}a n 的各项和S 2 017＝________.答案精析1．B [当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1， 所以a n ＝2n －1，则a 2n ＝4n －1，a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝13(4n －1)，故选B.] 2．D [∵a n ＋4＝a n ，∴T ＝4，S T ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0， ∴S 2 017＝504S T ＋a 1＝0.]3．B [由已知条件，得1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， 裂项累加得S 2 017＝ 2 017＋1－ 2 017＋ 2 016＋1－ 2 016＋…＋2－1＝ 2 018－1.]4．B [设a n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1 ＝1－12n 1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1(n ∈N *)， ∴S n ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n －2＋12n －1(n ∈N *)， ∴S 11＝20＋1210，故选B.] 5．D [由题意结合函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，a 2＋b ＝5，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 则函数的解析式为f ()x ＝2x ＋1，当x ∈N *时，a n ＝f ()n －1f ()n ·f ()n ＋1＝2n()2n ＋1()2n ＋1＋1 ＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 则S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－122＋1＋⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋ ⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1， 由13－12n ＋1＋1＝1033，可得n ＝4.] 6．A [由作差法可得a n ＝()1－2()－2n －1 ，T n ＝－2＋2⎝⎛⎭⎫－22n ， 即T n ＝⎩⎨⎧ －2－2⎝⎛⎭⎫22n ，n 是奇数，－2＋2⎝⎛⎭⎫22n ，n 是偶数，当n 为奇数时，T n 随n 的增大而增大，所以T 1＝－2－1≤T n <－2，∴－2≤T n －1T n <－22； 当n 为偶数时，T n 随n 的增大而减小，所以－2<T n ≤T 2＝－22，∴－22<T n －1T n ≤22. 综上，当n ∈N *时，总有－2≤T n －1T n ≤22.] 7．C [S n ＝n 2－6n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，也符合，∴a n ＝2n －7.当n ≤3，n ∈N *时，a n <0；当n ≥4，n ∈N *时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n ∈N *，n 2－6n ＋18，n ≥4，n ∈N *. ∴T n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－n ，n ≤3，n ∈N *，－6＋⎝⎛⎭⎫n ＋18n ，n ≥4，n ∈N *. 当n ＝4时，⎝⎛⎭⎫T n n min ＝172－6＝52.] 8．A [由已知可得a 1＝f (1)＝12， a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝⎛⎭⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝⎛⎭⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， 因为n ∈N *，所以12≤S n <1.] 9．2 019解析 由题意可得a 2－b 1＝a 1－b 2，b 2＝－2，a 3－b 1＝a 2－b 2，得a 3＝3， 又a n ＋1－b n ＝a n －b n ＋1，a n ＋1＋b n ＋1＝a n ＋b n ＝…＝a 1＋b 1＝0， 即a n ＝－b n ，a n －b n ＝2a n ，原式可化为当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q ，即{a n }为等差数列，a n ＝n ，12 018∑i ＝12 018 (a i －b i )＝12 018∑i ＝12 018 (2a i )＝2 019. 10．3 018解析 由于f (n )＝cos n π2的值具有周期性， 所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决． 当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)·cos4k ＋12π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)·cos4k ＋22π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1，当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)cos4k ＋32π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)cos4k ＋42π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6.∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝6×503＝3 018. 11．2 014解析 ∵ 1＋1n 2＋1(1＋n )2＝ (n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1n 2(1＋n )2 ＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S ＝1＋⎝⎛⎭⎫11－12＋1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋1＋⎝⎛⎭⎫12 014－12 015＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014. 12．1 009解析 ∵当i <j 时，a j －a i 仍是数列{}a n 中的项，而数列{}a n 是递增数列， ∴a n －a n －1<a n －a n －2<a n －a n －3<…<a n －a 1<a n ， 所以必有a n －a n －1＝a 1，a n －a n －2＝a 2，…，a n －a 1＝a n －1， 利用累加法可得()n －1a n ＝2()a 1＋a 2＋…＋a n －1， 故S n ＝()n ＋1a n 2，得S 2 017＝2 018×12＝1 009.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－433．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|<π2的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中不正确的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)成中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)．若α，β满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－4π3，2k π－5π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋2π3(k ∈Z ) 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( )A. 3B.32C.34D.12二、填空题9．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.10．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心．若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________． 11．函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的最小值是________． 12．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________.答案精析1．C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.] 2．C [∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.] 3．A [由题意得A ＝1，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， 故ω＝2πT＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z . 又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×x 2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，故选A.] 4．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C .在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin A cos B ＝cos A sin B ，∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B .∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．] 5．B [由题意可得2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，所以cos B ＝12，即B ＝60°.] 6．C [对于A ，因为f (π＋x )＝cos(π＋x )sin 2(π＋x )＝－cos x sin 2x ，则f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ，所以f (π＋x )＋f (π－x )＝0，可得y ＝f (x )的图象关于点(π，0)成中心对称，故A 正确；对于B ，因为f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝－sin x (－sin 2x )＝sin x sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x sin 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x sin 2x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ， 可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确； 对于C ，化简得f (x )＝cos x sin 2x ＝2cos 2x sin x＝2sin x (1－sin 2x )，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，f (x )＝g (t )＝2t (1－t 2)，－1≤t ≤1， 因为g (t )＝2t (1－t 2)的导数g ′(t )＝2－6t 2＝2(1＋3t )·(1－3t )， 所以当t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－33或t ∈⎝⎛⎭⎫33，1时，g ′(t )<0，函数g (t )为减函数； 当t ∈⎝⎛⎭⎫－33，33时，g ′(t )>0，函数g (t )为增函数， 因此函数g (t )的最大值为t ＝－1或t ＝33时的函数值， 结合g (－1)＝0<g ⎝⎛⎭⎫33＝439，可得g (t )的最大值为439，由此可得f (x )的最大值为439，而不是32，故C 不正确； 对于D ，f (x )的定义域为R .因为f (－x )＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，因为f (2π＋x )＝cos(2π＋x )sin(4π＋2x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，所以2π为函数的一个周期，得f (x )为周期函数，可得f (x )既是奇函数，又是周期函数，故D 正确，故选C.]7．B [f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. 因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2， 所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)， 故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 令2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )．] 8．A [根据正弦定理和a ＝2，可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 故b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3. 根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2， 即bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.] 9．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2， ∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1， ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.10．π11．－1解析 f (x )＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 化简得f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋sin x ＋cos x －1，设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 那么函数化简为g (t )＝t 2＋t －1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤t ≤ 2. ∵函数g (t )＝t 2＋t －1的图象开口向上，对称轴为t ＝－12， ∴当0≤t ≤2时，g (t )单调递增．当t ＝0时，g (t )取得最小值－1.12.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝437. 又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β∈(0，π)，∴β＝π3.。
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一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是( ) A ．(2，＋∞)∪(－∞，0]B ．RC ．[0,2)D ．(－∞，0)2．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)3．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a >－2C ．a >－6D ．a <－64．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶15．已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)6．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)7．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－2,2]8．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)二、填空题9．不等式2x 2－9x ＋9>0的解集为________．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，则方程[x 2]－[x ]－2＝0的解集为________．11．(2017·浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若存在实数a ∈[1,2]，对任意x ∈[1,2]，都有f (x )≤1，则7b ＋5c 的最大值是________．12．(2017·浙江五校联考)设实数x >0，y >0且满足x ＋y ＝k ，则使不等式⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ≥⎝⎛⎭⎫k 2＋2k 2恒成立的k 的最大值为________．答案精析1．A 2.D 3.A4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝3a 2，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3.] 5．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，故只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.]6．A [∵x －1x <0，∴x 2－1x<0，解得x <－1或0<x <1， 由x 2－1x>0，解得x <0或x >1.故x <－1.] 7．D [当a ＝2时，－4<0恒成立；当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， 解得－2<a <2.故－2<a ≤2.]8．D [由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立．设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.] 9.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞)解析 因为2x 2－9x ＋9>0，所以x <32或x >3，即解集为⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞)． 10．[－1,0)∪[2,3)解析 由[x ]2－[x ]－2＝0，得[x ]＝－1或[x ]＝2，即－1≤x <0或2≤x <3.11．－6解析 因为x ∈[1,2]，所以ax 2＋bx ＋c ≤1等价于a ≤1－bx －c x 2， 因为存在a ∈[1,2]，使得不等式a ≤1－bx －c x 2成立， 所以1－bx －c x 2≥1，即x 2＋bx ＋c －1≤0对x ∈[1,2]恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c －1≤0，4＋2b ＋c －1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ≤0，2b ＋c ≤－3， 所以7b ＋5c ＝3(b ＋c )＋2(2b ＋c )≤－6，即7b ＋5c 的最大值为－6.12．22＋ 5解析 不妨设x ≥y ，令m ＝k 2，x ＝m ＋t ，y ＝m －t,0≤t <m ，则原不等式化为⎝⎛⎭⎫m ＋t ＋1m ＋t ⎝⎛⎭⎫m －t ＋1m －t ≥⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2，即t 2≥m 4－4m 2－1m 2恒成立，由m 4－4m 2－1m 2≤0，得m 2≤2＋5， ∴k ＝2m ≤22＋ 5.。
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一、选择题1．(2018届温州适应性考试)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，b n ＝2a n ，数列{b n }的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( )A ．A ＋B ＝CB ．B 2＝AC C ．(A ＋B )－C ＝B 2D ．(B －A )2＝A (C －B ) 2．(2017·浙江嘉兴一中适应性考试)已知数列{a n }中的任意一项都为正实数，且对任意m ，n ∈N *，有a m ·a n ＝a m ＋n ，若a 10＝32，则a 1的值为( )A ．－2B ．2 C. 2 D ．－ 23．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 3＋a 4＝42，a 3＋a 4＋a 5＝84，则S 3等于( )A ．12B ．21C ．36D ．484．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，则S 4等于( ) A ．63或120B ．256C ．120D ．635．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能值为( ) A.12B.35C.58D.536．在正数组成的等比数列{a n }中，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在7．已知函数y ＝16－(x －5)2的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )A.7B.11C. 3D. 58．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则下列说法正确的个数为( )①数列{a n }是等差数列；②a n ＝3n －2；③S n ＝3n －1－32. A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.10．在平面直角坐标系中，定义⎩⎪⎨⎪⎧x n ＋1＝x n －y n ，y n ＋1＝x n ＋y n (n ∈N *)为点P n (x n ，y n )到点P n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)的一个变换，我们把它称为点变换．已知P 1(1,0)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，…，是经过点变换得到的一个无穷点列，则P 3的坐标为________；设a n ＝P n P n ＋1·P n ＋1P n ＋2，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >1 000的最小正整数n ＝________.11．设在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{}b n 的通项公式为________．12．(2017·台州质检)设数列{a n }满足a 1＝38，且对任意的n ∈N *，满足a n ＋2－a n ≤3n ，a n ＋4－a n ≥10×3n ，则a 2 017＝________.答案精析1．D 2.C 3.B4．C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n <1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4. 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14， 因为数列为正项数列，故q ＝12，从而a 1＝64， 所以S 4＝64×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝120，故选C.] 5．C [设三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋aq >aq 2， ①a ＋aq 2>aq ， ②aq ＋aq 2>a ， ③解①得1－52<q <1＋52，解②得q ∈R ， 解③得q <－5－12或q >5－12. 综上可知5－12<q <1＋52，故选C.] 6．A [∵{a n }为正数组成的等比数列，a 1a 20＝100，∴a 1a 20＝a 7a 14＝100，∴a 7＋a 14≥2a 7a 14＝2a 1a 20＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14时，a 7＋a 14取最小值20.故选A.]7．B [由题可知数列各项均为正数，不妨设等比数列为递增数列，则首项的最小值为半圆(x －5)2＋y 2＝16(y ≥0)上的点到原点的最小距离，易知最小距离为圆心到原点的距离减半径，即(a 1)min ＝5－4＝1，同理第三项的最大值为(a 3)max ＝5＋4＝9，故等比数列的公比的最大值满足q 2max ＝a 3a 1＝9，∴q max ＝3<11，因此只有B 项不满足条件，故选B.] 8．B [a 2＝|1－a 1|＋2a 1＋1＝1，所以当n ≥2时，a n ≥1，因此a n ＋1＝3a n ，故①②错；当n ≥2时，S n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32， 当n ＝1时，S 1＝－1，符合上式，因此③对，故选B.]9．5010．(0,2) 10解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，y 2＝1，P 2(1,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝0，y 3＝2， 即P 3(0,2).P 1P 2→＝(0,1)，P 2P 3→＝(－1,1)，a 1＝P 1P 2→·P 2P 3→＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x n ＋1＝x n －y n ，y n ＋1＝x n ＋y n ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x n ＋1－x n ＝－y n ，y n ＋1－y n ＝x n ，⎩⎪⎨⎪⎧x n ＋2－x n ＋1＝－y n ＋1，y n ＋2－y n ＋1＝x n ＋1，则a n ＝P n P n ＋1·P n ＋1P n ＋2＝(x n ＋1－x n )(x n ＋2－x n ＋1)＋(y n ＋1－y n )(y n ＋2－y n ＋1)＝－y n (－y n ＋1)＋x n x n ＋1＝x n x n ＋1＋y n y n ＋1＝x n (x n －y n )＋y n (x n ＋y n )＝x 2n ＋y 2n . 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x n ＋1＝x n －y n ，y n ＋1＝x n ＋y n ，得⎩⎪⎨⎪⎧x n ＝x n －1－y n －1，y n ＝x n －1＋y n －1， 则⎩⎨⎧ xn －1＝x n ＋y n 2，y n －1＝y n －x n 2，所以a n －1＝P n －1P n ·P n P n ＋1＝(x n －x n －1)(x n ＋1－x n )＋(y n －y n －1)(y n ＋1－y n )＝x n －y n 2·(－y n )＋x n ＋y n 2·x n ＝12(x 2n ＋y 2n )＝12a n ， 所以a n a n －1＝2，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，于是由a 1＋a 2＋…＋a n >1 000，得1－2n1－2>1 000，即2n >1 001，而29＝512,210＝1 024，所以最小正整数n ＝10. 11．2n ＋1 解析 b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n＋4－a n＋1 ＝2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝2b n ，所以q ＝2，b 1＝4，所以b n ＝2n ＋1. 12.32 0178解析 ∵对任意的n ∈N *，满足a n ＋2－a n ≤3n ，a n ＋4－a n ≥10×3n ， ∴10×3n ≤(a n ＋4－a n ＋2)＋(a n ＋2－a n )≤3n ＋2＋3n ＝10×3n ，∴a n ＋4－a n ＝10×3n ，∴a 2 017＝(a 2 017－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 009)＋…＋(a 5－a 1)＋a 1＝10×(32 013＋32 009＋…＋3)＋38＝10×3×(81504－1)81－1＋38＝32 0178.。
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一、选择题1．已知函数f (x )＝lg(1－x 2)的定义域为P ，不等式|x －1|<1的解集为Q ，则P ∪Q 等于( )A ．(0,1)B ．(－1,2)C ．(－1,0)D ．(1,2)2．设f (x )＝|x －a |，a ∈R .若对任意x ∈R ，f (x －a )＋f (x ＋a )≥1－2a 都成立，则实数a 的最小值是( )A ．0B.14C.12 D ．13．若|x －s |<t ，|y －s |<t ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．|x －y |<2tB ．|x －y |<tC ．|x －y |>2tD ．|x －y |>t4．设f (x )＝|ax ＋b |＋|cx ＋d |(x ∈R )，g (x )＝|ax ＋b |－|cx ＋d |(x ∈R )且都满足b a ≠d c，则下列说法错误的是( )A ．f (x )有最小值而无最大值B ．当|a |>|c |时，g (x )有最小值而无最大值C ．当|a |<|c |时，g (x )有最小值而无最大值D ．当|a |＝|c |时，g (x )既有最小值又有最大值二、填空题5．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋4|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是________．6．存在x ∈R ，使不等式|x －1|－|x －2|≤a 成立，则a 的取值范围是________．7．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －c |<1无解，则实数c 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，则实数a 的取值范围为________．9．(2018届嘉兴市第一中学测试)当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |·⎝⎛⎭⎫x ＋m x ＋1对任意实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤2；(2)若f (x )＝|x －1＋a |，求x 的取值范围．答案精析1．B 2.B 3.A 4.C 5.(－∞，5]6．[－1，＋∞)解析 由题意得a ≥[]||x －1－||x －2min ，∵||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1.∴[]|x －1|－|x －2|min ＝－1，∴a ≥－1，7．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析 |x －1|＋|x －c |表示数轴上的x 对应点到1和c 对应点的距离之和，它的最小值等于|c －1|，由关于x 的不等式|x －1|＋|x －c |<1无解可得，|c －1|≥1，可得c 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．8．[－3,0]解析 f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．9.⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤x ＋m x＋1， 而⎪⎪⎪⎪3＋2b a －⎪⎪⎪⎪1－2b a ≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫1－2b a ＝4， ∴x ＋m x＋1≥4，即m ≥3x －x 2， 当1≤x ≤3时，3x －x 2≤3×32－94＝94，∴m ≥94. 10．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－3x ，x ≤12，x ，12<x <1，3x －2，x ≥1，当x ≤12时，2－3x ≤2，解得x ≥0，∴0≤x ≤12； 当12<x <1时，x ≤2，∴12<x <1；当x ≥1时，3x －2≤2，解得x ≤43，∴1≤x ≤43. 综上所述，不等式的解集为⎣⎡⎦⎤0，43. (2)∵f (x )＝|2x －1|＋|x －a |≥|(2x －1)－(x －a )| ＝|x －1＋a |，∴f (x )＝|x －1＋a |⇔(2x －1)(x －a )≤0，①当a <12时，x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤a ，12； ②当a ＝12时，x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12； ③当a >12时，x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，a .。
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1.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则点M ，N 分别为A 1C 1，A 1B 的中点．(1)证明：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若CM ⊥MN ，求三棱锥M －NAC 的体积．2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，P A 的中点，点Q 是BC 上一个动点．(1)当Q 是BC 的中点时，求证：平面BEF ∥平面PDQ ；(2)当BD ⊥FQ 时，求BQ QC的值．3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，且BC ＝2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE ＝2ED .(1)求证：平面PCD ⊥平面PBC ；(2)求证：PB ∥平面AEC .4．如图(1)，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ，如图(2)．(1)当BE ＝1时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP →＝λPD →，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A －CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．答案精析1．(1)证明 连接A 1B ，BC 1，则点M ，N 分别为A 1C 1，A 1B 的中点，所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线，MN ∥BC 1，MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 设点D ，E 分别为AB ，AA 1的中点，AA 1＝a ，则CM 2＝a 2＋1，MN 2＝1＋a 2＋44＝a 2＋84，CN 2＝a 24＋5＝a 2＋204，由CM ⊥MN ，得CM 2＋MN 2＝CN 2，解得a ＝2，又NE ⊥平面AA 1C 1C ，NE ＝1，∴V 三棱锥M －NAC ＝V 三棱锥N －AMC ＝13S △AMC ·NE ＝13×12×2×2×1＝23.所以三棱锥M －NAC 的体积为23.2．(1)证明 ∵E ，Q 分别是矩形ABCD 的对边AD ，BC 的中点， ∴ED ＝BQ ，ED ∥BQ ，∴四边形BEDQ 是平行四边形，∴BE ∥DQ .又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ，∴BE ∥平面PDQ ，又点F 是P A 的中点，∴EF ∥PD ，∵EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ，∴EF ∥平面PDQ ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ∥平面PDQ .(2)解 连接AQ ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∵BD ⊥FQ ，P A ∩FQ ＝F ，P A ，FQ ⊂平面P AQ ，∴BD ⊥平面P AQ ， ∵AQ ⊂平面P AQ ，∴AQ ⊥BD ，在矩形ABCD 中，由AQ ⊥BD ，得△AQB 与△DBA 相似，∴AB 2＝AD ·BQ ，又AB ＝1，AD ＝2，∴BQ ＝12，QC ＝32，∴BQ QC ＝13.3．证明 (1)因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以CD ⊥BC ，又PB ⊥CD ，PB ∩BC ＝B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PBC .(2)连接BD 交AC 于点O ，连接OE .因为AD ∥BC ，所以△ADO ∽△CBO ，所以DO ∶OB ＝AD ∶BC ＝1∶2，又PE ＝2ED ，所以OE ∥PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .4．解 (1)存在P 使得CP ∥平面ABEF ，且此时λ＝32. 证明如下：当λ＝32，即AP →＝32PD →时，可知AP AD ＝35.过点P 作MP ∥FD ，与AF 交于点M ，连接ME ，PC ，如图所示，则有MP FD ＝35. 又FD ＝5，故MP ＝3.又因为EC ＝3，所以MP ＝EC ，MP ∥FD ∥EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以PC ∥ME .又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，所以CP ∥平面ABEF .(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC .平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC .由BE ＝x ，得AF ＝x (0<x <4)，FD ＝6－x .故V 三棱锥A －CDF ＝13×12×2·(6－x )·x ＝13(6x －x 2)＝13[－(x－3)2＋9]＝－13(x－3)2＋3.所以当x＝3时，V三棱锥A－CDF有最大值，最大值为3.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练含最新2018
一、选择题1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．8个2．设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 4．给出下列命题，正确命题的个数是( ) ①若a >b ，则2a >2b ； ②若a >b >0，则1a <1b；③若a >0，b >0，c >0，则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ≥3；④若a >0，b >0，则不等式a ＋2b ab ≥92a ＋b 恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．45．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＝8，且S n ＋1＝p S n ＋1，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.34 D ．47．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为( ) A.1574B.1572C.574D.5729．(2017·台州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－32 B ．－16 C ．16 D ．32 二、填空题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，(∁U A )∩B ＝________.12．(2017·台州调研)已知a ＝2x ，b ＝423，则log 2b ＝________，满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是____________．13．已知α∈R,2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016________.15．设n 是正整数，由数列1,2,3，…，n 分别求相邻两项的和，得到一个有n －1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，(n －1)＋n ，即3,5,7，…，2n －1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________．17．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，DC ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，点E 在线段BD 上，点F 在线段AC 上，且BE →＝λBD →，CF →＝μCA →，AE →·DF →＝4，则λ＋μ的最小值为________． 三、解答题18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋a －1x .(1)若a ＝4，求f (x )的极值；(2)若f (x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．20．已知f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足：a 1＝2，a n ≠1，且(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}是等比数列； (2)若数列{b n }满足b n ＝2n －14n －1(a n －1)，求数列{b n }的前n 项和T n .21．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0,2]恒成立，求函数f (x )的解析式； (2)若c <0，且函数f (x )在[－1,1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围．22．(2018届嘉兴一中基础测试)已知数列{x n }满足x 1＝1，x n ＋1＝2x n ＋3，求证： (1)0<x n <9； (2)x n <x n ＋1；(3)x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.答案精析1．A [B ＝{(2,1)}，则子集为∅，{(2,1)}，共2个，故选A.] 2．B [由题意可得f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，导数零点为x ＝12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝－ln 2＋5>0，f (e 2)＝8－2e 2<0， 由f ⎝⎛⎭⎫1e 10f ⎝⎛⎭⎫12<0，f ⎝⎛⎭⎫12f (e 2)<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一零点， 所以零点的个数为2，故选B.]3．D [y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得T ＝π.] 4．D [①显然由指数函数单调性可知其正确． ②∵a >b >0，∴a ab >b ab ，∴1b >1a .③若a >0，b >0，c >0， 则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a －1＋a b ＋c b －1＋a c ＋b c －1 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3， ∵b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2， ∴⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3 ≥2＋2＋2－3＝3，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，∴原不等式成立． ④要证a ＋2b ab ≥92a ＋b，即证(a ＋2b )(2a ＋b )≥9ab ，即证2a 2＋5ab ＋2b 2≥9ab ， 即证a 2＋b 2≥2ab ，显然成立．]5．C [当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点A (－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.]6．B [因为数列{a n }是等比数列，由S n ＋1＝p S n ＋1，得S n ＋2＝p S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2a n ＋1＝p ，所以公比q ＝p ，由S n ＋1＝p S n ＋1，得a 1＋a 2＝pa 1＋1， 所以a 1＋pa 1＝pa 1＋1，即a 1＝1，由a 4＝8＝a 1p 3，得p 3＝8，所以p ＝2，故选B.]7．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32.]8．A [cos A ＝34，cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ， BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解得BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.]9．C [由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2， 且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域(图略)，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易3≤f (－1)≤12，故选C.]10．D [由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6＋π3＝0，可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝6k －2，k ∈Z .∵－2<x <10，∴k ＝1，x ＝4，即A (4,0)． ∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点， ∴B ，C 两点关于A 对称，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.故选D.]11．{x |x ≥0} {x |0≤x <2}解析 由题意可得A ∪B ＝{x |x ≥0}．(∁U A )∩B ＝{x |x <2}∩{x |0≤x <5}＝{x |0≤x <2}． 12.43(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 b ＝423＝243，所以log 2b ＝log 2243＝43log 22＝43.log a b ≤1等价于log 2x 243＝43x ≤1，即3x －43x ≥0，解得x ≥43或x <0，故x 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 13.2553解析 由同角三角函数的基本关系，得sin 2α＋(2sin α－5)2＝1，解得sin α＝255，cos α＝－55， ∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝3. 14．3 －2 100解析 因为a 1＝2，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，…，由此可推出数列{a n }的项是以4为周期出现的， 且a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1a 2a 3…a 15＝(a 1a 2a 3a 4)3·a 1a 2a 3＝a 1a 2a 3＝3. 因为b n ＝(－1)n a n ，所以b 1＝－2，b 2＝－3，b 3＝12，b 4＝13，b 5＝－2，…，所以数列{b n }的项也是以4为周期出现的， 所以S 2 016＝504(b 1＋b 2＋b 3＋b 4) ＝504⎝⎛⎭⎫－2－3＋12＋13＝－2 100. 15．2n －2(n ＋1)解析 设数列{a n }为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得a n ＝2a n －1＋2n －2(n ≥2，n ∈N *)，所以a n 2n －a n －12n －1＝14，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为14的等差数列，则a n 2n ＝12＋14(n －1)＝n ＋14，可得a n ＝2n －2(n ＋1)，即最后一个数列的项是a n ＝2n －2(n ＋1)． 16．(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析 如图，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或k <－2.17.11＋463解析 AB →·AD →＝4×2×12＝4，AE →·DF →＝(AB →＋BE →)·(DA →＋AF →) ＝(AB →＋λBD →)·[－AD →＋(1－μ)AC →]＝[AB →＋λ(AD →－AB →)]·[－AD →＋(1－μ)(AD →＋DC →)] ＝[(1－λ)AB →＋λAD →]·⎣⎡⎦⎤(1－μ)4AB →－μAD →＝(1－λ)(1－μ)4×42＋λ(1－μ)4×4－4(1－λ)μ－4λμ＝4，所以8λ＋3μ＝3，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫8λ＋3μ＝13⎝⎛⎭⎫11＋8μλ＋3λμ ≥13⎝⎛⎭⎫11＋2 8μλ·3λμ＝11＋463， 当且仅当8μλ＝3λμ时等号成立．18．解 (1)根据二倍角公式得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理 得b ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．19．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝4ln x －x ＋3x(x >0)，f ′(x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当0<x <1或x >3时，f ′(x )<0，当1<x <3时，f ′(x )>0，f (1)＝2，f (3)＝4ln 3－2， 所以f (x )的极小值为2，极大值为4ln 3－2. (2)f (x )＝a ln x －x ＋a －1x(x >0)，f ′(x )＝ax －1－a －1x 2＝－x 2＋ax －(a －1)x 2，f (x )在定义域内无极值，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域上恒成立． 即方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上无变号零点． 设g (x )＝－x 2＋ax －(a －1)， 则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g (0)≤0，解得a ＝2，所以实数a 的取值范围为{2}．20．(1)证明 由(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)，得 4(a n －a n ＋1)(a n －1)＝(a n －1)2(n ∈N *)．由题意知a n ≠1，所以4(a n －a n ＋1)＝a n －1(n ∈N *)，即3(a n －1)＝4(a n ＋1－1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－1a n －1＝34. 又a 1＝2，所以a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是以1为首项，34为公比的等比数列． (2)解 由(1)得a n －1＝⎝⎛⎭⎫34n －1，b n ＝2n －14n －1(a n －1)＝2n －13n －1. 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n. 所以T n ＝3－n ＋13n －1. 21．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，即1－b ＋c ＝4＋2b ＋c ，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为f (x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2， 故2b ＋c 的取值范围为(－2,2)．22．证明 (1)①当n ＝1时，因为x 1＝1，所以0<x 1<9成立． ②假设当n ＝k 时，0<x k <9成立， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2x k ＋3. 因为x k ＋1＝2x k ＋3≥3>0， 且x k ＋1－9＝2x k －6＝2(x k －3)<0，得x k ＋1<9， 所以当n ＝k ＋1时，0<x n <9亦成立． 综上，由①②可知，0<x n <9.(2)因为0<x n <9，所以x n ＋1－x n ＝－x n ＋2x n ＋3 ＝－(x n －3)(x n ＋1)>0，所以x n <x n ＋1.(3)因为0<x n <9，所以x n >x n 3. 从而x n ＋1＝2x n ＋3>23x n ＋3. 所以x n ＋1－9>23(x n －9)，即9－x n ＋1<23(9－x n )． 所以9－x n ≤⎝⎛⎭⎫23n －1(9－x 1)．故x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.。
2019版高考数学一轮复习浙江专版精选提分练(含最新2018模拟题)：专题2 函数概念和基本初等函数1 第10练
20
又 n∈N*，所以 n≤4，故 n ≥5，所以 4≤m≤5；
m
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当 0< n <1，即 0<m<n 时，有 n －m≤0，
20
20
所以 m≥ n ，即 n>m≥ n ，故 n2>20，
20
又 n∈N*，所以 n≥5，故 n ≤4，所以 4≤m<5.
综上可知，实数 m 的取值范围为[4,5)．
训练目标
(1)对数的运算性质；(2)对数函数.
(1)对数运算时，要将对数式变形，尽量化成同底数形式；(2)注意在函数定义
解题策略 域内讨论函数性质，底数若含参要进行讨论；(3)复合函数问题求解要弄清复
合的层次.
一、选择题
1．lg25＋lg 2·lg 50＋5log53 等于( )
A．1
B．log53
C．4
D．3
2．设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>c>b
D．a>b>c
3．(2017·嘉兴质检)设 f(n)＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积 f(1)f(2)…f(n)为整数的 n 叫
做“贺数”，则在区间(1,2015)内所有“贺数”的个数是( )
[ )1 ，1 D. 4
1 7．已知函数 f(x)＝ex－2(x<0)与 g(x)＝ln(x＋a)的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的
取值范围是( )
( )1
－∞，
A.
e
B．(－∞， e)
( ) 1
－ ，e C. e
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1.袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球． (1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与均值．
2．现有四枚不同的金属纪念币A ，B ，C ，D ，投掷时，A ，B 两枚正面向上的概率均为12，另
两枚C ，D 正面向上的概率均为a (0<a <1)，这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
(1)若A ，B 出现一正一反与C ，D 出现两正的概率相等，求a 的值； (2)求ξ的分布列及均值(用字母a 表示)；
(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数a 的取值范围．
3．某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：
(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量X，求X的分布列及均值E(X)．
4．某印刷厂每5年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨150元，优惠0元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠2元，…，依此类推，每台新机最多可随新机购买25盒墨．平时购买墨盒按零售每盒200元．
公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：
以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记ξ表示两台打印机5年消耗的墨盒数．
(1)求ξ的分布列；
(2)若在购买两台新机时，每台打印机随机购买23个盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的均值．
答案精析
1．解 (1)两个球颜色不同的情况共有C 24·42＝96(种)． (2)随机变量X 所有可能的值为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝4C 2496＝14，P (X ＝1)＝3C 14C 1
3
96＝38，
P (X ＝2)＝2C 14C 1396＝14，P (X ＝3)＝C 14C 13
96＝18
.
所以随机变量X 的分布列为
所以E (X )＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝5
4
.
2．解 (1)由条件得C 12×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝a 2
，所以a ＝22. (2)ξ所有可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝0)＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝1
2(1－a )，
P (ξ＝2)＝14(1＋2a －2a 2)，P (ξ＝3)＝1
2a ，
P (ξ＝4)＝1
4a 2，
所以ξ的分布列为
所以E (ξ)＝2a ＋1. (3)因为0<a <1，
所以P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，P (ξ＝2)≥P (ξ＝1)，P (ξ＝2)≥P (ξ＝3)，解得2－22≤a ≤22
，
所以a 的取值范围为⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2－2
2
，22.
3．解 (1)由题意得13＋4x ＝1，∴x ＝1
6，
16＋13＋y ＝1，∴y ＝1
2
. 记甲、乙两人所付停车费相同为事件A ， 则P (A )＝13×16＋16×13＋13×12＝518，
∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为5
18
.
(2)设甲、乙两人所付的费用之和为X ，X 的可能取值为0,1,2,3,4,5， P (X ＝0)＝1
18
，
P (X ＝1)＝13×13＋16×16＝5
36，
P (X ＝2)＝13×16＋16×13＋13×12＝5
18，
P (X ＝3)＝16×16＋13×13＋16×12＝2
9，
P (X ＝4)＝13×12＋16×13＝2
9，
P (X ＝5)＝16×12＝1
12，
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×118＋1×536＋2×518＋3×29＋4×29＋5×1
12
＝8
3
. 4．解 (1)ξ＝44,45,46,47,48,49,50.
由题设可知，一台打印机在5年内消耗墨盒数为22,23,24,25的概率分别为110，25，25，1
10，
且每台打印机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件，故 P (ξ＝44)＝110×110＝1100，P (ξ＝45)＝2×110×25＝2
25，
P (ξ＝46)＝2×110×25＋25×25＝6
25，
P (ξ＝47)＝2×110×110＋2×25×25＝17
50
，
P (ξ＝48)＝2×110×25＋25×25＝6
25，
P (ξ＝49)＝2×25×110＝2
25.
P (ξ＝50)＝110×110＝1
100.
故ξ的分布列为
(2)记y 表示在题设条件下，购买2台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用(单位：元)． 若在购买两台新机时，每台机随机购买23盒墨，则需付款 150×46－2×⎝⎛⎭
⎫
23×0＋22×232×1＝6 394.
则E (y )＝6 394×⎝⎛⎭⎫1100＋225＋625＋(6 394＋200)×1750＋(6 394＋2×200)×6
25＋(6 394＋3×200)×225＋(6 394＋4×200)×1
100
＝6 614.
答 这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的均值为6 614元．。