沪科版轴对称与等腰三角形总复习
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形 活用“三线合一”巧解题
7．如图，已知 AB∥CD，AE 平分∠BAC，点 E 为 BD 的中点． 求证：(1)CE 平分∠ACD；
证明：延长 AE 交 CD 的延长线于点 F. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠EDF. ∵点 E 为 BD 的中点，∴BE＝DE，∴△ABE≌△FDE， ∴AE＝FE. ∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠F，∴AC＝CF. 又∵AE＝FE，∴CE 平分∠ACD.
(2)AC＝AB＋CD.
证明：由(1)知△ABE≌△FDE，∴AB＝FD. ∴AC＝CF＝CD＋DF＝AB＋CD.
证明：连接 ED，DF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
BE＝CD， 在△BED 和△CDF 中，∠B＝∠C，∴△BED≌△CDF，
BD＝CF，
∴DE＝DF.∵G 是 EF 的中点，∴DG⊥EF.
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D，求证： ∠DBC＝12∠BAC.
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠CAF＝∠BAF＝12∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝12∠BAC.
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3等腰三角形 第5课时 活用“三线合一”巧解题
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1．【马鞍山 12 中期中】如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点，AD＝AE，∠1＝30°，求∠EDC 的度数．
证明：连接 AD.∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∴∠BAD＝∠CAD. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴∠B＝∠CAD＝∠BAD＝45°.∴BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．∴DE＝DF.
沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷
1沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形单元测试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D .2．如图，在△ABC 中，D 是AB 的垂直平分线与BC 的交点，∠CAD ＝80°，∠C ＝50°，则∠B 的度数是( ) A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°(第2题) (第4题) (第5题) (第7题)3．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是( )A ．9B ．12C ．9或12D ．不确定4．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( ) A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠AD ．∠EBC ＝∠ABE5．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰长为6，EF 垂直平分AB ，P 为直线EF 上一动点，则BP ＋CP 的最小值为( ) A ．10B ．6C ．4D ．26．下列对△ABC 的判断，错误的是( )A ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是直角三角形 B ．若AB ＝BC ，∠C ＝50°，则∠B ＝50°C ．若AB ＝BC ，∠A ＝60°，则△ABC 是等边三角形D ．若∠A ＝20°，∠C ＝80°，则△ABC 是等腰三角形27．如图，在钝角三角形ABC 中，∠ABC 为钝角，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD ，BD ，CD ，CB 的延长线交AD 于点E .下列结论不一定正确的是( ) A ．CE 垂直平分AD B ．CE 平分∠ACD C ．△ABD 是等腰三角形D ．△ACD 是等边三角形8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD＝3 cm ，则AB 的长度是( ) A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm(第8题) (第9题) (第10题)9．如图，AI 、BI 、CI 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，ID ⊥BC ，△ABC 的周长为18，ID ＝3，则△ABC 的面积为( ) A ．18B ．30C ．24D ．2710．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BG 平分∠ABC ，交AC 于点G ，若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为( ) A ．1B.12C ．2D ．无法确定二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若(a －4)2＋|b －2|＝0，则有两边长为a 、b 的等腰三角形的周长为__________． 12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边上的中线，且BD ＝BE ，则∠ADE 是________°.(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，P ，Q 分别是边AC ，AB 上的点，且AP ＝PQ ＝QC ＝BC .则∠PCQ 的度数为________度．14．如图，AB ∥DE ，AB ⊥BC ，BD ＝BC ，且BD 是∠ABC 的平分线，则∠CDE的度数为__________．15．如图，点D是△ABC(∠C>90°)的三条角平分线的交点，延长AD交BC于点E.(1)若∠BAC＝36°，则∠BDC＝________°；(2)∠CDE与∠ABD的数量关系是______________．(第15题)三、解答题(本大题共8小题，共85分)16．(9分)如图，在边长为1个单位的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点)，l为过网格线的一条直线．(1)作△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)求△ABC的面积．(第16题)17．(9分)如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．(尺规作图，保留痕迹)3(第17题)18.(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC的长．(第18题)19．(9分)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED.(第19题) (1)求证：BD＝CD；4(2)若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．20．(11分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.(第20题)21．(11分)如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE.(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．(第21题)522．(13分)在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD.(1) 如图①，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；(2) 如图②，作∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N；连接BN.①补全图②；②若BN＝DN，求证：MB＝MN.(第22题)23．(14分)在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.6(1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．(第23题)78答案一、1.D 2.A 3.B4.C5.B6．B7.D 8.D9．D 点拨：过点I 作IE ⊥AB 于点E ，IF ⊥AC 于F ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID ＝IE ＝IF ，再根据三角形面积公式计算即可得解．10．A 点拨：过点G 作GH ⊥AB 于点H .根据角平分线的性质定理证明GH ＝GC ＝1，利用垂线段最短即可解决问题．二、11.10点拨：根据题意得，a －4＝0，b －2＝0，解得a ＝4，b ＝2，①若2是腰长，则底边长为4，三角形的三边长分别是2，2，4，不能组成三角形；②若4是腰长，则底边长为2，三角形的三边长分别是4，4，2，能组成三角形，周长＝4＋4＋2＝10.12．1513.360714．157.5°点拨：先利用垂直的定义以及角平分线的定义得出∠ABD ＝∠DBC＝12∠ABC ＝45°，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BDC ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°，然后利用平行线的性质得到∠BDE ＝180°－∠ABD ＝135°，最后根据周角的定义即可求出∠CDE .15．(1)108(2)∠CDE ＋∠ABD ＝90°点拨：(1)如图，由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用三角形内角和定理得到∠BDC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )，而∠ABC ＋∠ACB ＝144°，从而可计算出∠BDC 的度数；(2)利用三角形内角和定理及角平分线的定义得到∠1＋∠4＋∠CAE ＝90°，再根据三角形外角性质得到∠CDE ＝∠CAD ＋∠4，所以∠1＋∠CDE ＝90°.9(第15题)三、16.解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作．(第16题)(2)S △ABC ＝3×4－12×2×4－12×1×2－12×2×3＝4.17．解：如图所示．作∠NOM 的平分线和线段AB 的中垂线，它们的交点为C ，则点C就是英语角的位置．(第17题)18．解：(1)∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AB ＝AE .∵∠BAE ＝40°，∴∠AED ＝70°.∵EF 垂直平分AC ，∴AE ＝EC ，∴∠C ＝∠CAE .又∵∠AED ＝∠C ＋∠CAE ，∴∠C ＝12∠AED ＝35°.(2)由(1)知AB ＝AE ＝EC .∵△ABC 的周长为13cm ，AC ＝6cm ，∴AB ＋BE ＋EC ＝7cm ，即2DE ＋2EC ＝7cm ，∴DC＝DE＋EC＝3.5cm. 19．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC.在△ABD和△EDC中，1＝∠2，ABD＝∠EDC，＝ED，∴△ABD≌△EDC(AAS)，∴BD＝CD.(2)解：∵△ABD≌△EDC，∴∠DEC＝∠A＝120°.∵∠BDC＝2∠1，∠1＝∠2，∴∠BDC＝2∠2，∴∠BDC＋∠2＝2∠2＋∠2＝60°，∴∠2＝20°，∴∠BDC＝40°.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝12(180°－∠BDC)＝12×(180°－40°)＝70°. 20．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，＝BD，＝DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)在Rt△ADC和Rt△ADE＝DE，＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE，又∵CF＝EB，1011∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .21．解：(1)∵BD 是线段AE 的垂直平分线，∴AB ＝BE ，AD ＝DE .∵△ABC 的周长为18，△DEC 的周长为6，∴AB ＋BE ＋EC ＋CD ＋AD ＝18，CD ＋EC ＋DE ＝CD ＋CE ＋AD ＝6，∴AB ＋BE ＝18－6＝12，∴AB ＝6.(2)∵∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°－30°－45°＝105°.在△BAD 和△BED 中，＝BE ，＝BD ，＝DE ，∴△BAD ≌△BED (SSS )，∴∠BED ＝∠BAC ＝105°，∴∠CDE ＝∠BED －∠C ＝105°－45°＝60°.22．(1)解：∵△ACD 是等边三角形，∴∠CAD ＝∠ADC ＝60°，AD ＝AC .∵E 为AC 的中点，∴∠ADE ＝12∠ADC ＝30°.∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB .∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝160°，∴∠ADB ＝∠ABD ＝10°，∴∠BDF ＝∠ADE －∠ADB ＝20°.(2)①解：补全图形，如图所示．12(第22题)②证明：如图，连接AN .由CM 平分∠ACB ，可设∠ACM ＝∠BCM ＝α.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α.在等边三角形ACD 中，∵E 为AC 的中点，∴DN ⊥AC ，∴NA ＝NC ，∴∠NAC ＝∠NCA ＝α，∴∠DAN ＝60°＋α.在△ABN 和△ADN 中，＝AD ，＝DN ，＝AN ，∴△ABN ≌△ADN (SSS )，∴∠ABN ＝∠ADN ＝30°，∠BAN ＝∠DAN ＝60°＋α，∴∠BAC ＝∠BAN ＋∠NAC ＝60°＋2α.在△ABC 中，∵∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC ＝∠ABC －∠ABN ＝2×20°－30°＝10°，∴∠MNB ＝∠NBC ＋∠NCB ＝10°＋20°＝30°，∴∠MNB ＝∠MBN ，∴MB ＝MN .23．解：(1)猜想：AB ＝AC ＋CD .(2)猜想：AB ＋AC ＝CD .证明：如图，在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED.(第23题)∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△EAD与△CAD中，＝AC，EAD＝∠CAD，＝AD，∴△EAD≌△CAD(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.∴∠FED＝∠ACB.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B.又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.13。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形 含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，三组互相垂直的线段，已知AD=2，BC=8，BF=4，那么AC的长度等于（）A.2B.3C.4D.52、如图，在中，，，，，和的平分线交于点，于点，则的长为（）A.1B.2C.3D.43、如图，在△ABC中，AB＝AC=6，BC=4，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则DF的长度为（）.A.6B.C.D.84、已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A.7B.10C.11D.10或115、如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得＝6+ ，其中正确的有( ) 到；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD′A.2个B.3个C.4个D.5个6、如图，将沿翻折，使其顶点均落在点O处，若，则的度数为（）A. B. C. D.7、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP （P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A.78°B.75°C.60°D.45°8、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm10、如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°11、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C.D.12、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.13、自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.14、下列命题中，错误的是（）．A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直平分C.矩形的对角线相等且互相垂直平分D.角平分线上的点到角两边的距离相等15、将两个底边相等的等腰三角形按照如图所示的方式拼接在一起（隐藏互相重合的底边）的图形俗称为“筝形”.假如“筝形”下个定义，那么下面四种说法中，你认为最能够描述“筝形”特征的是（）A.有两组邻边相等的四边形称为“筝形”B.有两组对角分别相等的四边形称为“筝形”C.两条对角线互相垂直的四边形称为“筝形”D.以一条对角线所在直线为对称轴的四边形称为“筝形”二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平行四边形中，，.以点为圆心、为半径画弧交于点，若，则图中阴影部分的面积是________.17、如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，现将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，已知AP=4，则PP′长度为________．18、如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是________点.19、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为________．20、已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是________．21、如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是________.22、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是________．23、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为________．24、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为________．25、如图，在正方形ABCD 中，AC＝6 ，E是BC边的中点，F是AB边上一动点，则FB＋FE 的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．28、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．29、如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．30、如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、D4、D5、B6、B7、B8、D9、A10、B11、C12、A13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
八年级上册数学《轴对称》等腰三角形_知识点整理
等腰三角形一、知识要点1、等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质【重点】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
注：（1）等腰三角形是轴对称图形。
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等。
（3）在全等三角形中，相等的边对应的角相等，反之也成立。
3、等腰三角形的判定定理、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
4、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。
5、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°6、等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、常用结论【重点】（1）在直角三角形中，30°多对的边是斜边的一半。
（2）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
（3）等边三角形中三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
上图中一一用图形展现了上面的结论，希望能帮助同学们理解这些里结论。
（1）直角三角形ACB中，∠B=30°，所对的边AC=（1/2）AB（2）三角形ABC中，三个内角平分线交与点O，则有OE=OF=OD。
适用于任何三角形。
（3）在等边三角形中，三边的中垂线AD、BE、CF交于一点，并且三个顶点ABC到交点的距离相等。
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选一．选择题（共35小题）1．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°2．（2019秋•义安区期末）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（）A．a22020B．a22019C．4040a D．4038a3．（2019秋•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2018秋•义安区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是14cm，则BC的长是（）A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm5．（2018秋•宣城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．（2018秋•怀宁县期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△P AB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A ．80°B ．90°C ．110°D ．120°7．（2018秋•瑶海区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．BC ＝BEB ．EC ＝BE C ．BC ＝ECD ．AE ＝EC8．（2018秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（ ）A ．6和8B ．7和7C ．6和8或7和7D ．3和119．（2018秋•宣城期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，下列结论中不正确的是（ ）A ．D 是BC 中点B ．AD 平分∠BACC ．AB ＝2BD D ．∠B ＝∠C10．（2018秋•庐江县期末）如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）A ．四处B ．三处C ．两处D ．一处11．（2019秋•宿松县校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，点O 是底边BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE +OF 的值为（ ）A ．5B ．7.5C ．9D ．1012．（2019秋•宿松县校级期末）已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程a −32+a 8=1的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．10B ．11C ．10或11D ．7或813．（2019秋•宿松县校级期末）如图所示的平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，2），点B 坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P 使P A +PB 的值最小，则点P 坐标为（ ）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）14．（2020春•当涂县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足√a−6+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（）A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．以c为底边的等腰三角形15．（2020春•蜀山区期末）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（）A．c=√3b B．c＝2a C．b2＝3a2D．a2+b2＝c216．（2020春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°17．（2019秋•石台县期末）如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．（2019秋•当涂县期末）已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为8，则其它两边的长度分别是（）A．3和11 B．7和7C．6和8或7和7 D．3和11或7和719．（2019秋•宣城期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为（）A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.520．（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm21．（2019秋•濉溪县期末）如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF的值是（）A．12 B．8 C．4 D．322．（2019秋•无为县期末）长方形按如图所示折叠，点D折叠到点D′的位置，已知∠D′FC＝60°，则∠EFD等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°23．（2019秋•潜山市期末）一个等腰三角形的周长为8，且三条边长均为整数，则腰长为（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2019秋•瑶海区期末）如图，在△ABC中，点D、E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD 翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：①∠BAC＝90°，②DE＝EF，③∠B＝2∠C，④AB＝EC，正确的有（）A．①②③④B．③④C．①②④D．①②③25．（2019秋•瑶海区期末）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．（2019秋•瑶海区期末）如图所示的钢架中，∠A＝18°，P1A＝P1P2，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．∠P5P4B的度数是（）A．80°B．85°C．90°D．100°27．（2019秋•瑶海区期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm28．（2019秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（）个．A．5 B．6 C．7 D．829．（2019秋•义安区期末）若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A．16 B．23 C．16或23 D．1330．（2019秋•芜湖期末）如图，∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E．若OD＝4，则PE的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．431．（2019秋•蚌埠期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°32．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN 的周长是7cm，则BC的长为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm33．（2019秋•蜀山区期末）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm34．（2019秋•长丰县期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处35．（2018秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（）A．AD＞CE B．AD＜CE C．AD＝CE D．不能确定2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》选择题精选参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．【解答】解：∠A ＝180°﹣130°＝50°．当AB ＝AC 时，∠B ＝∠C =12（180°﹣50°）＝65°；当BC ＝BA 时，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°﹣50°﹣50°＝80°；当CA ＝CB 时，∠A ＝∠B ＝50°．∠B 的度数为50°或65°或80°，故选：D ．2．【解答】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O =12α，同理∠A 3B 3O =12∠A 2B 2O =122α， ∠A 4B 4O =123α， ∴∠A n B n O =12a −1α， ∴∠A 2020B 2020O =a 22019， 故选：B ．3．【解答】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M 作MN ′⊥BC 于N ′，∵BD 平分∠ABC ，M ′E ⊥AB 于点E ，M ′N ′⊥BC 于N∴M ′N ′＝M ′E ，∴CE ＝CM ′+M ′E∴当点M 与M ′重合，点N 与N ′重合时，CM +MN 的最小值．∵三角形ABC 的面积为8，AB ＝4，∴12×4•CE ＝8，∴CE ＝4．即CM +MN 的最小值为4．故选：B ．4．【解答】解：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，∴AD ＝BD ，∵AB ＝AC ＝8cm ，△DBC 的周长是14cm ，∴BC +CD +BD ＝BC +CD +AD ＝BC +AC ＝14cm ，∴BC ＝6cm ．故选：B ．5．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝40°，∠ADC ＝90°，又∵AD ＝AE ，∴∠ADE =12（180°﹣∠CAD ）＝70°，∴∠CDE ＝90°﹣70°＝20°，故选：B ．6．【解答】解：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△P AB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1P A+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选：A．8．【解答】解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．9．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．∴AD平分∠BAC，无法确定AB＝2BD．故A、B、D正确，C错误．故选：C．10．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．11．【解答】解：连接AO，如图，∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC=12AB•OE+12AC•OF＝15，∴12AB （OE +OF ）＝15，∴OE +OF ＝5．故选：A ． 12．【解答】解：a −32+a8=1，4（x ﹣3）+x ＝8，4x ﹣12+x ＝8，4x +x ＝8+12，5x ＝20，x ＝4，当等腰三角形的腰为4，底边为3时，这个三角形的周长＝4+4+3＝11，当等腰三角形的腰为3，底边为4时，这个三角形的周长＝4+3+3＝10．所以这个三角形的周长是10或11．故选：C ．13．【解答】解：如图所示：作B 点关于y 轴对称点B ′点，连接AB ′，交y 轴于点P ，则此时AP +PB ＝AP +PB ′＝AB ′的值最小，∵点B 坐标为（1，﹣3），∴B ′（﹣1，﹣3），∴B ′C ＝AC ＝5，∴∠AB ′C ＝45°，∴PD ＝B ′D ＝1，∵OD ＝|﹣3|＝3，∴OP ＝2，∴P （0，﹣2），故选：D ．14．【解答】解：由题意得，a ﹣6＝0，b ﹣8＝0，c ﹣10＝0，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10，∵62+82＝100＝102，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠ACB ＝90°，故选：C ．15．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∵BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， ∴a 2+b 2＝c 2，c ＝2a ，a a =tan60°=√3，a a =sin60°=√32， ∴b =√3a ，c =2√33b故B、C、D均正确，A错误．故选：A．16．【解答】解：∵△PDC为等边三角形；∴∠PCD＝∠DPC＝∠CDP＝60°，且PC＝CD＝PD，∵AB＝BC＝CD，∴AB＝CP，∵∠BCD＝80°，∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝80°﹣60°＝20°，∵∠ABC＝160°，∴∠ABC+∠BCP＝180°，∴PC∥AB，∵AB＝CP，∴四边形ABCP为平行四边形，∴∠APC＝∠ABC＝160°，AP＝BC，∴AP＝DP，∠APD＝360°﹣∠CPD﹣∠APC＝140°，∴∠PDA＝∠P AD=180°−aaaa2=20°，∴∠ADC＝∠CDP+∠ADP＝60°+20°＝80°，故选：C．17．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD＝12，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+12BC＝6+12×4＝6+2＝8．故选：B．18．【解答】解：当腰为8时，另一腰也为8，则底为22﹣2×8＝6，∵6+8＝14＞8，∴三边能构成三角形．当底为8时，腰为（22﹣8）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．19．【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为12×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．20．【解答】解：∵当腰是4cm时，则另两边是4cm，6cm；当底边是4cm时，另两边长是5cm，5cm．∴该等腰三角形的腰长为4cm或5cm．故选：C．21．【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC=13×12＝4，故选：C．22．【解答】解：根据翻折不变性得∠EFD＝∠EFD′，∵∠D′FC＝60°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC＝180°，∴2∠EFD＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝60°．故选：D．23．【解答】解：设腰长为x，则底边为8﹣2x．∵8﹣2x﹣x＜x＜8﹣2x+x，∴2＜x＜4，∵三边长均为整数，∴x可取的值为：3．故选：C．24．【解答】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴④正确；∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故③正确；故选：B．25．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、是轴对称图形，本选项符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．26．【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠A＝18°，∴∠P3P5P4＝72°，∴∠P5P4B＝90°．故选：C．27．【解答】解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．故选：D．28．【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：C．29．【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和10，∴应分为两种情况：①3为底，10为腰，则3+10+10＝23；②10为底，3腰，而3+3＜10，应舍去，∴三角形的周长是23．故选：B．30．【解答】解：过P点作PF⊥OD，∵∠AOB＝150°，OC平分∠AOB，∴∠DOP＝∠POE＝75°，∵DP∥OA，∴∠DPO＝∠POE＝75°，∴∠DOP＝∠DPO﹣75°，∴DP＝OD＝4，∴∠PDO＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵PF⊥OD，∴∠PFD＝90°，∴PF=12DP＝2，∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，∴PE＝PF＝2，故选：A．31．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC=12×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED=180°−aaaa2=75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故选：D．32．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故选：C．33．【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17cm；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17cm．故选：B．34．【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．35．【解答】解：AD＝CE，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠DFE＝120°，∴∠EFC＝60°，∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，∴∠BDC＝∠AEB，∴∠ADE＝∠BEC，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE．故选：C．。
沪科版八年级上册数学第15章 轴对称图形和等腰三角形 含答案
沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.80°2、如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A.2周B.3周C.4周D.5周3、如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法确定4、已知等腰三角形的两边分别为5cm、10cm，则第三边长为（）A.5cmB.10cmC.5cm或10cmD.12cm5、下面的图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.6、如图，在△ABC中，△ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（）A.4B.6C.8D.167、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.平行四边形B.矩形C.正三角形D.正五边形8、下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.9、如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是( )A.(－1，)B.(－1，)或(1，－)C.(－1，－) D.(－1，)或(－，－1)10、在如图1所示的图案中，轴对称的图形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a和南北向的交通主干道b，若他希望租住的小区到主干道a和主干道b的直线距离之和最小，则图中符合他要求的小区是（）A.甲B.乙C.丙D.丁12、如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）A.115°B.130°C.120°D.65°13、在平面直角坐标中，已知点A（2，1），O为坐标原点，在y轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（）A.3B.4C.5D.614、下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（）A.轴对称图形B.中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形15、等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A.4cm，10cmB.7cm，7cmC.4cm，10cm或7cm，7cmD.无法确定二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知是等边三角形，，，则________.17、如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°，顶点A恰好转到AB边上点E的位置，则∠DBC=________．18、如图，将半径为6的圆形纸片，分别沿AB、BC折叠，若弧AB和弧BC折后都经过圆心O，则阴影部分的面积是________（结果保留π）19、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是________．20、如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，DE= DC，连接AE，将△ADE沿AE翻折，点D落在点F处，点O是对角线BD的中点，连接OF并延长OF交CD于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是________．21、如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝________°．22、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为________.23、如图，在中，点E是AD边上的一点，CD=CE，将沿CE 翻折得到，若∠B=55°.那么的度数为________.24、点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ=________.25、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝4，BC＝3，点E是劣弧上的一点，连接AE，DE．过点C作⊙O的切线交线段AE的延长线于点F，若∠CDE＝30°，求CF的长．27、铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.28、已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形．29、如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．30、若等腰三角形一腰上的中线把三角形分为两个周长为 15cm和 18cm的三角形，且该中线长6cm，请画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的底边长.</p>参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、B5、A6、C7、B8、C9、B10、C12、A13、B14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
第15章轴对称与等腰三角形期末复习PPT课件(沪科版)(1)
(1)请在图中画出轴x、y轴， 并标出原点O.
(2)画出△ABC关于直线 m 对称的△A1B1C1.
(3)若点P(a，b)在△ABC内，
C A
B
m y C1
A1
B1
O
x
其关于直线m的对称点为P1，
则点P1的坐标是 (－a－4，b.)
A．
B．
C． D．
2.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( C ) .
A．
B．
C．
D．
3. 下列图形中是轴对称图形的是( D ).
①
②
③
④
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
4.下列“制止行人通行，注意危险，制止非机动车通行，
限速60”四个交通标志图中，为轴对称图形的是( B ).
A.
B.
C.
D.
(2)画出△ABC关于 y轴对称的△A2B2C2 ，并写出
△A2B2C2三个顶点的坐标.
y
解：(2)
A2
A
A2(－2，4)，
4
A1
B2(－1，1) C2(－3，0)
C2－3
B2 B O－ B12
3 Cx C1
20.如图，在正方形网格中，△ABC是格点三角形，
点B的坐标为(－5，1)，点C的坐标为(－4，5).
4.如果把两个成轴对称的图形看作一个整体，那么 它就是一个轴对称图形.
4.已知点关于x 轴或 y 轴的对称点的规律
关于x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 关于y 轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标为(_x__，_－__y_)； 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标为( －___x ，_y__)．
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选一．解答题（共25小题）1．（2019秋•宿松县校级期末）已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．2．（2019秋•宿松县校级期末）根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，．求证：．3．（2019秋•宿松县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标为：．（2）作出点A关于x轴的对称点A'．若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的a的取值范围．（3）在x轴上画出点P，使P A+PB的值最小，并直接写出点P坐标：．4．（2019秋•石台县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为．5．（2019秋•东至县期末）在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、点B的坐标分别为（2，1），（5，0）．（1）画出△OAB关于x轴对称图形；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合），使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D的坐标．6．（2019秋•全椒县期末）如图：在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）（3）请写出A1，A2的坐标．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，点O是线段AB的中点，C、D是直线AB同侧的两点，且∠COD＝120°，△DEO与△DAO关于直线DO对称．（1）在图中作出点F，使点F与点B关于直线CO对称（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的图中连接EF、OF，判断△EOF的形状并证明．8．（2019秋•肥东县期末）如图，△ABC的三个顶点都在网格的交点处．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对称点A1的坐标；（2）若△ABC内一点P（m，n）与△A1B1C1内的点Q是对称点，请写出点Q的坐标．9．（2019秋•临泉县期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）作出△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣3）．（3）写出直线l的函数解析式为．10．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点G在边BC上，EG 交AD于点F，BE＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，EF＝2cm．（1）求∠DFG的度数．（2）求BC的长度．11．（2019秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+12∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝（直接写出结果）．12．（2019秋•包河区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，﹣1）（1）直接写出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称△A1B1C1；（3）将△ABC向右平移5个单位，向上平移一个单位，得到△A2B2C2，并写出B2的坐标．13．（2019秋•瑶海区期末）（1）如图1，已知△DEF，用直尺和圆规在△DEF内作出点P，使点P到△DEF 三边距离相等不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图在图示的网格中，作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？14．（2019秋•庐阳区期末）如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）（1）请你画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）尺规作图：∠A的角平分线AD，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）15．（2019秋•肥西县期末）在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C分别和点A1，B1，C1对应；（2）平移△ABC，使得点A在x轴上，点B在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中点A，B，C分别和点A2，B2，C2对应；（3）直接写出△ABC的面积．16．（2019秋•东至县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N 是BD的中点．17．（2019秋•安庆期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上．（1）建立适当的平面直角坐标系后，使点A的坐标为（1，2），点C的坐标为（4，3），并写出B点坐标；（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．18．（2019秋•田家庵区期末）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：P A＝PM．19．（2019秋•蚌埠期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为；（2）将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为．20．（2019秋•无为县期末）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1（不写画法）；点A1的坐标为；点B1的坐标为；点C1的坐标为．（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是．21．（2019秋•长丰县期末）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，BC＝15cm，求：△BDC的面积．22．（2019秋•颍州区期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标；（2）将△ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的△A2B2C2并写出A2、B2、C2的坐标．23．（2019秋•长丰县期末）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．（3）计算△ABC的面积．24．（2018秋•庐江县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，写出△A1B1C1三个顶点坐标：A1＝；B1＝；C1＝；（2）画出△A1B1C1，并求△A1B1C1面积．25．（2018秋•临泉县期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线L．（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形；（2）画出△DEF关于直线L对称的三角形；（3）四边形ABFC的面积为平方单位．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第15章《轴对称图形与等腰三角形》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求；（3）点B 2的坐标为（﹣4，﹣3）．2．【解答】解：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD ＝CE ，证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵BD ，CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD =12∠ABC ，∠ACE =12∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE ， ∵AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ≌△ACE （ASA ），∴BD ＝CE ．故答案为：△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线，BD ＝CE ．3．【解答】解：（1）如图所示：C 1点的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（2）满足条件的a 的取值范围是3＜a ＜5，故答案为：3＜a ＜5；（3）设A ′B 所在直线解析式为y ＝kx +b ，∵A ′（﹣2，2），B （﹣4，﹣1），∴{2=−2k +k−1=−4k +k，解得：{k =32k =5，∴A ′B 所在直线解析式为y =32x +5，当y ＝0时，x =−103，∴P（−103，0）．故答案为：（−103，0）．4．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）点P（m，n）经过第一次变换后的点P1的坐标为（m，﹣n），经过第二次变换后的对应点P2的坐标为（m﹣4，﹣n+2）．故答案为：（m﹣4，﹣n+2）．5．【解答】解：（1）如图所示，△OA′B即为所求；（2）如图所示，△OAD′，△OAD″，△OAD′″即为所求，其中点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，4）或（﹣3，1）．6．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2．即为所求；（3）由图可看出，A1（1，3），A2（﹣2，﹣1）．7．【解答】解：（1）如图所示，点F即为所求；（2）△EOF是等边三角形．证明：∵△DEO与△DAO关于直线DO对称，∴OA＝OE，∵点F与点B关于直线CO对称，∴OF＝OB，∵O是线段AB中点，∴OA＝OB，∴OF＝OE，∵∠COD＝120°，∴∠DOA+∠COB＝60°，∴∠EOD+∠FOC＝60°，∴∠EOF＝60°，∴△EOF是等边三角形．8．【解答】解：（1）如图即为△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标为（2，2）；（2）∵△ABC内一点P（m，n）与△A1B1C1内的点Q是对称点，点Q的坐标为（﹣m，n）．9．【解答】解：（1）如图，△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的△A1B1C1，C1（﹣1，1）；（2）如图即为△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，使点C的对应点为C2（﹣2，﹣3）；（3）直线l的函数解析式为y＝﹣x．故答案为y＝﹣x．10．【解答】解：（1）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴∠FGD＝60°，∵AB＝AC．AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠DFG＝90°﹣60°＝30°，（2）∵EB＝BG＝6cm，∠BEG＝60°，∴△EBG是等边三角形，∴EG＝BE＝6（cm），∵EF＝2cm，∴FG＝4（cm）在Rt△DFG中，∵FG＝4cm，∠DFG＝30°，∴DG=12GF＝2（cm），∴BD＝BG﹣DG＝4（cm），∴BC＝2BD＝8（cm）．11．【解答】证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴∠OAB＝∠OAE=12∠BAC，∠kkk=∠kkk=12kkkk，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA=180°−12kkkk−12kkkk=180°−12(kkkk+kkkk)=180°−12(180°−kk)=90°+12kk （2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF 又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF=12（CE+CF）•OD=12•2b•a＝ab，故答案为：ab．12．【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×5−12×2×3−12×2×3−12×1×5＝15﹣3﹣3﹣2.5＝6.5；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求，其中B2（1，2）．13．【解答】解：（1）如图1所示：点P即为所求作的点；（2）如图2所示：△A1B1C1即为所求作的图形；△A2B2C2是由△A1B1C1经过向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到的、14．【解答】解：（1）如图所示，△ABC和△A1B1C1为所作图形，A1（3，2）（2）线段AD为所作图形．15．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．（3）△ABC 的面积为3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=72．16．【解答】解：（1）①∵CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠CAB ＝∠CED ＝α， ∴∠ACB ＝180°﹣2α，∠DCE ＝180°﹣2α，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB ﹣∠DCB ＝∠DCE ﹣∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，{kk =kkkkkk =kkkk kk =kk，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴BE ＝AD ；②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ＝α+∠BAO ，∵∠ABE ＝∠BOA +∠BAO ，∴∠CBE +α＝∠BOA +∠BAO ，∴∠BAO +α+α＝∠BOA +∠BAO ，∴∠BOA ＝2α；（2）如图2，作BP ⊥MN 交MN 的延长线于P ，作DQ ⊥MN 于Q ， ∵∠BCP +∠BCA ＝∠CAM +∠AMC ，∵∠BCA ＝∠AMC ，∴∠BCP ＝∠CAM ，在△CBP 与△ACM 中，{kk =kkkkkk =kkkk kkkk =kkkk，∴△CBP ≌△ACM （AAS ）， ∴MC ＝BP ，同理，CM ＝DQ ，∴DQ ＝BP ，在△BPN 与△DQN 中，{kk =kkkkkk =kkkk kkkk =kkkk，∴△BPN ≌△DQN （AAS ）， ∴BN ＝ND ，∴N 是BD 的中点．17．【解答】解：（1）如图所示：B点坐标为：（3，5）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求．18．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠B＝60°∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°∵AP＝AQ∴∠AQB＝∠APC＝80°，（2）①补全图形如图所示，②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得∠P AB＝∠QAC，∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM∴∠MAC+∠P AC＝∠P AB+∠P AC＝60°，∵AP＝AM，∴△APM为等边三角形∴P A＝PM．19．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为（﹣1，2）；故答案为（﹣1，2）；（2）△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2（﹣2，﹣1）；故答案为（﹣2，﹣1）20．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（1，3）；点B1的坐标为：（﹣2，0）；点C1的坐标为：（3，﹣1）；故答案为：（1，3），（﹣2，0），（3，﹣1）；（2）△ABC的面积是：4×5−12×3×3−12×2×4−12×1×5＝9．故答案为：9．21．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD＝6cm，∴△BDC的面积=12×BC×DE=12×15×6＝45cm2．22．【解答】解：（1）所作图形如图所示：点A1（2，3），B1（3，2），C1（1，1）；（2）所作图形如图所示：点A2（﹣2，0），B2（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣2）．23．【解答】解：（1）如图； （2）A ′（2，3），B ′（3，1），C ′（﹣1，﹣2）；（3分）（3）S △ABC ＝5×4−12×1×2−12×3×4−12×5×3，＝20﹣1﹣6﹣7.5， ＝5.5． （2分）24．【解答】解：（1）A 1（﹣1，1）；B 1（﹣4，2）；C 1（﹣3，4）；（2）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求，△A 1B 1C 1面积为：9−12×2×3−12×3×1−12×1×2=72．25．【解答】解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）如图所示：△DEF 关于直线L 对称的△B ′GC ′即为所求；（3）四边形ABFC 的面积为：S △ABC +S △BFC =12×1×3+12×3×4＝7.5．故答案为：7.5．。
八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版
第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是（A）A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称［关于坐标轴对称］点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是（）A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论,互帮互学）5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为（）A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图（1）所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图（2）所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计
沪科版八年级上数学第15章《轴对称图形与等腰三角形》教学设计一. 教材分析本章主要内容是轴对称图形与等腰三角形。
学生通过学习本章内容，了解了轴对称图形的概念，学会寻找轴对称图形的对称轴，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。
同时，学生还能够理解等腰三角形的性质，并能应用等腰三角形的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。
但部分学生对于抽象的数学概念和几何图形的理解还有待提高。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对概念的理解，提高空间想象能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，找出常见图形的对称轴，了解等腰三角形的性质，并能运用这些性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功解决问题的喜悦，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的概念，等腰三角形的性质。
2.难点：寻找轴对称图形的对称轴，运用轴对称和等腰三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现轴对称图形的性质和等腰三角形的性质。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用轴对称和等腰三角形的性质解决问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，帮助学生直观地理解轴对称图形和等腰三角形的性质。
2.教学素材：准备一些关于轴对称图形和等腰三角形的图片和例题，用于引导学生观察和分析。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如三角形、正方形等，方便学生操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形，如剪刀、飞机等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？学生通过观察，发现这些图形都有一条对称轴，使得图形两部分完全重合。
2020年沪科版数学中考专题复习《轴对称图形与等腰三角形》过关检测(Word版附答案)
《轴对称图形与等腰三角形》过关检测时间:90分钟满分:150分一、选择题(每题4分,共40分)1.江永女书是现在世界上唯一存在的一种女性专用文字,一般书写在精制手写本、扇面、布帕等物品上.下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字,基本是轴对称图形的是()A B C D2.将点A(2,3)向左平移2个单位长度得到点A',点A'关于x轴的对称点是A″,则点A″的坐标为()A.(0,-3)B.(4,-3)C.(4,3)D.(0,3)3.三角形中,到三个顶点距离相等的点是 ()A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点4.如图,AB∥CD,∠A=70°,OC=OE,则∠C的度数为()A.25°B.35°C.45°D.55°5.将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应是()A B C D6.如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.若AC=5 cm,△ADC的周长为14 cm,则BC的长为 ()A.9 cmB.12 cmC.14 cmD.22 cm第6题图第7题图7.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=8,DE=4,则△BCE的面积等于()A.32B.16C.8D.48.已知△ABC的三边长分别为4,4,6,顶点为A,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条9.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB 边于E,F两点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12第9题图第10题图10.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.给出下列结论:①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④∠AOB=60°;⑤DE=DP.其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(每题5分,共20分)11.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.第11题图第13题图第14题图12.等腰三角形的一个内角为50°,另外两个内角的度数为.13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC= 36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则△ABC的周长为.(用含a,b的代数式表示)14.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为.三、解答题(共90分)15.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3),直线m的函数表达式为x=2.(1)作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;(2)直接写出A1,B1,C1的坐标;(3)求出△A1B1C1的面积.16.(8分)如图,两个班的学生分别在C,D两处参加植树劳动,现要在道路AO,OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M,要求M到两条道路的距离相等,且MC=MD,这个茶水供应点的位置应建在何处?请作出图形.(保留作图痕迹,不写作法)17.(8分)如图,在△ABC中,点D在边AC上,点E在边AB上,且AB=AC,BD=BC,AD=DE=BE.求∠A 的度数.18.(8分)如图,已知△ABC是边长为 3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发(点P 不与点A,B重合,点Q不与点B,C重合),分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t s,则当t为何值时,△PBQ是直角三角形?19.(10分)如图,四边形ABCD中,AD=2,∠A=∠D=90°,∠B=60°,BC=2CD.(1)在AD上找到点P,使PB+PC的值最小,保留作图痕迹,并简述作法;(2)求出PB+PC的最小值.20.(10分)如图,已知AD垂直平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠ABD=∠ACD;(2)DE=DF.21.(12分)如图,已知∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD,AC交DE于点G.求证:(1)BE=AD;(2)AC是线段ED的垂直平分线.22.(12分)如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED交于点D,过点D 分别作DM⊥AB于点M,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:(1)CF=BM;(2)AB-AC=2CF.23.(14分)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与点B,C重合),以AD为一边在AD 的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)如图1,当点D在线段BC上运动时.①若∠BAC=48°,则∠BCE=度;②猜想∠BAC与∠BCE之间的数量关系,并证明你的结论.(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,(2)②中的结论是否仍然成立?若成立,试加以证明;若不成立,请你直接写出正确的数量关系.(不要求说明理由)图1备用图参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A A D B A A B B C C11.512.65°,65°或50°,80°13.2a+3b 14.615. (1)△A1B1C1如图所示.(2)A1(5,5),B1(5,0),C1(8,3).(3)由图,可得△A1B1C1的面积为12×5×3=152.16. 如图,点M即所求.17. ∠A=45°.18.当t=1或t=2时,△PBQ是直角三角形.19. (1)如图,延长CD 到点E 使DE=CD ,连接BE 交AD 于点P ,点P 即所求.(2) PB+PC 的最小值为4. 20.略 21. 略 22. 略 23. (1)略 (2)①132②∠BAC+∠BCE=180°(3)∠BAC=∠BCE.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
沪科版轴对称与等腰三角形总复习
一对一辅导教案学生姓名性别年级初二学科数学授课教师上课时间年月日寒假一对一课程课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习教学目标1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。
2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。
3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。
教学重点及难点熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧教学过程知识点一：轴对称（一）轴对称图形和轴对称1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
例如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够及另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
（2）成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.3、轴对称图形及轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．（二）线段的垂直平分线1．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点及这条线段两个端点的距离相等。
第15章轴对称与等腰三角形期末复习PPT课件(沪科版)
线段垂直平分线与角平分线
复习要点 1.线段的垂直平分线的定义 经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫
做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线. 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等. 3.线段垂直平分线的判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.
求证：PH=PG.
GC
要证：PH=PG △PHE≌△PGF
F P
PE=PF
A
E HB
PE⊥AB，FF⊥AC 点P是∠BAC平分线上一点
例2.如图，点P是∠BAC平分线上一点，
PE⊥AB，FF⊥AC，垂足分别为点E，F．点H，
G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.
若∠ AOB=30°，DC=5cm，则OE= 10 cm .
B C
D
O
E
A
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线
与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则
∠B的度数为 65°或25°． ∠AED＝40°
A
∠EAB＝50°
50° D
40° E
E ∠B＝25° A
B
C
∠B＝65°
B
C
D
10.如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
D
E
C D
C
B
A
A
B
F
F
6.如图，在△ABC中， ∠A=33°， ∠C=68°，
AB的垂直平分线DE交AC于点E， 则∠1= 35°.
A
沪科版八年级数学上册《轴对称与等腰三角形》专题强化测试卷(无答案)
沪科版八年级数学上册《轴对称与等腰三角形》专题强化测试卷时间：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中错误的是（ ）A ．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B ．关于某条直线对称的两个图形全等C ．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称D ．全等的三角形一定关于某条直线对称2．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是（ ） A ．1个B ．2 个 C ．3 个 D ．4个3．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．如图，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE ＝4 cm ，则△ABD 的周长是( )A ．22 cmB ．20 cmC ．18 cmD ．15 cm5．如图，OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B .下列结论中不一定成立的是( ) A ．P A ＝PB B ．PO 平分∠APB C ．OA ＝OB D ．AB 垂直平分OP6．如图，P ，Q 是△ABC 边BC 上的两点，且QC ＝AP ＝AQ ＝BP ＝PQ ，则∠BAC ＝( )A ．125°B ．130°C ．90°D ．120°7．如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm8．如图，坐标平面内有一点A (2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．59．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西48º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西12º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里10．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE =BD +CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF =CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
八年级数学轴对称与等腰三角形复习上海科技版知识精讲
初二数学轴对称与等腰三角形复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容： 轴对称与等腰三角形复习【教学目标】1、掌握等腰三角形的性质定理，及两个推论，并能熟练运用于解题。
2、掌握等腰三角形的判定，明白判定等腰三角形可从“边相等”“角相等”两方面入手。
3、能熟练应用判定定理的两个推论进行等边三角形的判定。
4、了解三角形中不等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系。
【知识讲解与典型例题】 1、线段的垂直平分线垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或中垂线）。
1）如何作出已知线段AB 的中垂线呢？如图，分别以A 、B 为圆心，大于AB 21长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，过C 、D 两点的直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。
2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
该定理的逆命题是：到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
例1、如图，已知直线MN 及直线外两点AB ，在直线MN 上求一点P ，使PA ＝PB 。
分析：连结AB ，到A 、B 距离相等的点在线段AB 的中垂线上，同时又要求在直线MN 上。
所以该点为AB 中垂线与直线MN 的交点。
作图过程请自己完成。
2、轴对称和轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么我们说这两个图形关于这条直线对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。
所以两个图形关于一直线对称也称两个图形成轴对称。
例2、如图，∠ABM ＝15°，AB 的垂直平分线DC 交BM 于C ，AE ⊥BM 于E ，BC ＝6cm ，则AE ＝ 。
分析：由DC 垂直平分AB 想到连结AC ，则AC ＝BC ＝6cm ，且∠B ＝∠CAB ＝15°，所以∠ACE ＝30°，则在Rt △ACE 中，cm 3AC 21AE ==。
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一对一辅导教案学生姓名性别年级初二学科数学授课教师上课时间年月日寒假一对一课程课时：课时教学课题轴对称知识点的回顾巩固复习教学目标1、回顾轴对称的相关知识概念和性质特点。
2、掌握轴对称的性质和判定，以及运用。
3、熟练解决有关轴对称的综合运用问题。
教学重点与难点熟练掌握轴对称的相关性质运用和技巧教学过程知识点一：轴对称（一）轴对称图形和轴对称1、轴对称图形（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
例如，等腰三角形是轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴．其它如等边三角形、矩形、圆、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形．如图1．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、轴对称（1）定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，也可以说这两个图形关于这条直线成轴对称。
如上右图。
（2）成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.3、轴对称图形与轴对称的区别和联系（1）区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
（2）联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．（二）线段的垂直平分线1．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2．线段的垂直平分线的作法：①分别以点 A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；②作直线 CD；则直线CD即为线段AB的垂直平分线。
知识点二：作轴对称图形1．作轴对称图形：（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2．用坐标表示轴对称：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.知识点三：等腰三角形（一）等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。
2、等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；注意：常结合三角形内角和定理及推论解决角度的计算问题。
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°。
3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。
（二）等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
2、等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形。
4、直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
规律方法指导：1、要注意轴对称图形与轴对称概念的区别与联系。
2、线段的垂直平分线的两个性质是定理和逆定理的关系。
3、点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）。
程度较好的学生可以考虑再拓展：点关于直线y=a,x=b，y=x等的对称。
4、等腰三角形“三线合一”的性质可以这么理解：①等腰三角形；②顶角的平分线；③底边上的中线；④底边上的高，以其中任意两个作为条件，就能推出其他两个结论。
5、推理证明是本章的难点，要克服这个难点，可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮助我们克服这一困难。
重点考点：1.垂直平分线、角平分线的定义以及性质运用：练一练：（1）用直尺和圆规作已知线段的中垂线。
（2）用直尺和圆规作已知角的角平分线。
经典练习选讲：1．如图，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．求证：BP为∠MBN的平分线．2.如右图所示，已知AB＝AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB＝12cm，BC＝l0cm，∠A＝49°，求∠DBC度数。
2、轴对称变换：定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换；利用坐标表示轴对称：利用平面直角坐标系中与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴与y轴对称的图形。
（由点到线，到面）*点（x，y）关于x轴对称的点是（x，－y），关于y轴对称的点是（－x，y）,关于原点对称的点是（－x，－y）, 关于y=x对称的点是（y，x）。
例题：1、如图:(1)求点A关于y轴对称的点的坐标；(2)求点B关于x轴对称的点的坐标；2、3、轴对称作图，找点，使得距离之和最短问题相应经典练习选讲：（1）.如图：D，E为V ABC两边AB，AC的中点，将V ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B ＝50o，则∠BDF=________________（2）.把一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B’M或B’M 的延长线上，那么∠EMF的度数为_____。
（3）.如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B＝60o，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。
（4）在正方形ABCD中，M，N为AD和BC中点，将点C沿直线BE对折，使C落在MN上为F，求∠EBC。
5、已知直线l为x+y=8，点P（x，y）在l上，且x＞0，y＞0，点A的坐标为（6，0）．（1）设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当S=9时，求点P的坐标；（3）在直线l上有一点M，使OM+MA的和最小，求点M的坐标．6、如图：在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为个单位长度．（在图形中标出点P）4、等腰三角形：（1）等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角；（2）等腰三角形的性质：a：两腰相等；b：两底角相等；c：顶角平分线，底边上的中线，高三线重合（三线合一），d：对称性；（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（“等角对等边”）；（4）等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；*等边三角形是一种特殊的等腰三角形等边三角形的性质：a：等边三角形的三个内角相等，并且每个角都等于60度；b：等边三角形每一条边上都是三线合一；（5）等边三角形的判定：a：三个角都相等的三角形是等边三角形；b：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
经典练习选讲：题型一：等腰三角形的性质∆中，AB＝AC，D为AC边上一点，（1）如图：在ABC且BD=BC=AD，则∠A等于________________。
（2）等腰三角形两边长为5cm和9cm，周长为______________；等腰三角形两边长为4cm和9cm 时，周长为____________________；若等腰三角形周长为40cm，一边长为14cm，其他两边长为__________________。
AB CEFKA BCDE F（3）等腰三角形中一个角为40°，则另外两个角为_______________,如果一个角为100°，那另外两个角为______________.（4）如图所示：在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，△ABC为等边三角形，求∠BEC的度数（5）如图,△ABC中,AD平分∠CAB交BC于D，且CD=2，∠C=900，∠DEF=900，∠B=∠FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的长.（6）如图,△ABC中,AB=AC,E 在CA的延长线上,∠AEF=∠AFE,求证:EF⊥BC。
（7）如图所示：在△ABC 中，BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数。
（8）如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，P是AD上一点，连接CP,BP,并分别将它们延长，交AB于点F,交AC于点E(1)说出点E关于AD的对称点，并说明理由；(2)找出图中与△CPE全等的三角形，并说明理由；(3)若AD=6,BC=4,求图中阴影部分的面积。
题型二：等腰三角形的三线合一（1）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．第（4）题图第5题图第6题图第（7）题第（8）题（2）如图，AC=BC,AC⊥BC,AE⊥BE,BD=2AE,求证：BE平分∠ABC(3)如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB 相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．等边三角形和等腰直角三角形的性质应用及判定（1）如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.求证：(1)AD=CE;(2)求∠DFC的度数。
（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D是BC延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=（3）已知，如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是∠A的平分线，求证：AC+CD=AB（4）两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,CAFB CEDBADCAB CDDE CBMA第（1）题第2题图第3题图三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC的形状，并说明理由。