江苏省2016届高三数学专题复习 回扣一 集合与常用逻辑用语 文
2016版优化方案高考数学(江苏专用,理科)二轮复习课件专题一第1讲 集合与常用逻辑用语
3．需要关注的易错易混点 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数 的集合问题时要根据互异性进行检验． (2)有些全称命题并不含有全称量词， 这时我们要根据命题涉及 的意义去判断．对命题的否定，首先弄清楚是全称命题还是存 在性命题，再针对不同形式加以否定． (“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的一个充分不必要条件 是 q”两者的不同， 前者是“p⇒ q 但 q p q” ． p” 而后者是“ q⇒ p，
考点一
集合间的关系及运算
(1)(2015· 高考江苏卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝ 5 {2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________ ．
(2)(2015· 高考安徽卷改编)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，
{1} A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝________ ．
专题一
集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第1讲 集合与常用逻辑用语
专题一
集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
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考向预测
1．集合间的 第1题 关系及运算 2．四种命题 及其关系 3．充分条件 与必要条件 4．逻辑联结 词、全称量词 和存在量词
[解析] (1)因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，所以A∪B＝
{1，2，3，4，5}， 所以A∪B中元素个数为5. (2)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，所以∁UB＝ {1，5，6}，所以A∩(∁UB)＝{1}．
方法归纳
解集合运算问题应注意以下两点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的
不为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角．
高考数学专项复习专题一集合与常用逻辑用语
专题一集合与常用逻辑用语01 集合的概念题型一判断元素与集合的关系题型二根据元素与集合的关系求参数题型三利用集合互异性求参数题型四集合的描述方法题型五元素个数的求解及参数问题02 集合间的基本关系题型一判断集合的子集（真子集）个数题型二判断两个集合的包含关系及参数问题题型三两个集合相等求参数题型四空集性质及应用题型五根据集合相等关系进行计算03 集合的基本运算题型一根据交集结果求集合或参数题型一根据交集结果求集合或参数题型三根据补集结果求集合或参数题型四交并补混合运算确定集合或参数题型五容斥原理的应用题型六集合新定义04 充分条件与必要条件题型一根据充分不必要条件求参数题型二根据必要不充分条件求参数题型三根据充要条件求参数题型四充要条件的证明05 全称量词与存在量词题型一根据全称命题的真假求参数题型二根据特称（存在性）命题的真假求参数题型三含有一个量词的命题的否定的应用专题1 集合的概念题型一 判断元素与集合的关系 1．下面有四个语句: ①集合N *中最小的数是0; ②-a ∉N ，则a ∈N ;③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2; ④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】因为N *是不含0的自然数，所以①错误; 取a =2，则-2∉N ，2 ∉N ，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N ，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，所以③不正确； ④当x 为正整数的倒数时，6x ∈N ，所以6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确；对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误； 对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确；对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈， 不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =，则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，,a b ∴属于同一“类”， ④正确； 综上所述：正确结论的个数为3个. 故选：C .4．已知集合{10}A x x =，23a =+，则a 与集合A 的关系是（ ） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈【答案】A【解析】解：{|10}A x x =，23224a =+<+=，10a <，a A ∴∈，故选：A ．5．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误；③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误. ∴正确命题的个数为0个故选：A6．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *，5________Z ；（2）23________{x |x ＜11}，32________{x |x ＞4}；（3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】（1）*0N ∉ 5∉Z ；（2）22(23)(11)>，2311∴>，∴23{|11}∉<x x ； 22(32)4>，即324>，∴32{|4}∈>x x ；（3）(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 题型二 根据元素与集合的关系求参数1．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．2019 C ．1 D ．0或2019【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019. 故选：C.2．若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则(a = )A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】解：集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素， 当0a =时，可得23x =，集合A 只有一个元素为：23．当0a ≠时：方程2320ax x -+=只有一个解：即980a ∆=-=， 可得：98a =． 故选：D ．3．已知集合A 是由a ﹣2，2a 2+5a ，12三个元素组成的，且﹣3∈A ，求a =________. 【答案】32-【解析】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a 2+5a ， 由﹣3=a ﹣2，解得a =﹣1，经过验证a =﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a 2+5a ，解得a =﹣1或32-，经过验证：a =﹣1不满足条件，舍去.∴a =32-.故答案为：﹣32.4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，∴2m =或2322m m -+=，即2m =或0m =或3m =，当2m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m =时，{}032A =，，满足题意，∴3m =，故答案是3. 5．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）89≤a ；（2）89≤a 或0=a 【解析】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是89≤a ． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ． 综上可得：a 的取值范围是89≤a 或0=a ． 题型三 利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}bb a，也可表示为{,,1}a a b +，则+a b 的值为____． 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}b b a a b a=+，可得0a ≠，根据集合相等和元素的互异性，可得0a b +=且1b =，解得1,1a b =-=， 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0.2．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________． 【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：1-或0.3．已知集合{}2411A a a a =+++，，{}2|0B x x px q =++=，若1A ∈.（1）求实数a 的值；（2）如果集合A 是集合B 的列举表示法，求实数p q ，的值. 【答案】（1）4a =-；（2）23p q ==-，.【解析】解：（1）∵1A ∈，∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =，验证当0a = 时，集合{}11A =，，集合内两个元素相同，故舍去0a = ∴4a =-（2）由上4a =-得{}13A =-，，故集合B 中，方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-，.4．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．【答案】1a =-【解析】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0； 若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值． 【答案】-1【解析】由题意得,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0ba=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1-题型四 集合的描述方法 1．给出下列说法：①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ；③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①由3x x =，即()210x x -=，得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ，所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：183．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈- ． （1）若2A ∈，试证明集合A 中有元素1-，12； （2）判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合A 中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意，因为2A ∈，可得1112A =-∈-． 因为1A -∈，则()11112A =-∈-．所以集合A 中有元素1-，12． （2）由题意，可知若x A ∈（1x ≠且0x ≠）， 则11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 故集合A 中至少有3个元素．（3）由集合A 中的元素个数不超过8，所以由（2）知A 中有6个元素． 设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，m x ≠，1x ≠且0x ≠，1m ≠且0m ≠， 因为集合A 中所有元素的积为1，不妨设21x =，或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当21x =时，1x =（舍去）或1x =-；若1x =-，则1,22A ∈．∵集合A 中所有元素的和为143，∴1111421213m m m m -+-+++=-， ∴3261960m m m -++=，即()32261860m m m m ----=， 即()()23620m m m ---=，即()()()321320m m m -+-=，∴12m =-或3或23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时，同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 综上，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．题型五 元素个数的求解及参数问题1．用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =． 故选：A ．2．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①12π+;②1162+;③122+;④2323-++A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】①当212a b π+=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾， ②()211623232+=+=+232a b ∴+=+ ，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，③122212222-==-+，2212a b ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④()22323426-++=+=而()2222222a b a b ab +=++ ，,a b Q ∈，()22a b ∴+是无理数，2323∴-++不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C3．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C 【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k ∈N }；（2）{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角形}或{三角形}. 【解析】（1）{|51,}x x k k N =+∈； （2）{(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈；（3）2(9)00x x x -=⇒=或3x =±，解集为{3,0,3}-， （4）{|x x 是三角形}或写成{三角形}． 5．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A，则11a- ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈.【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A=∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a Aa aa-==-∈---.专题2 集合间的基本关系题型一 判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈= 又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=． 故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__． 【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4． 因为P ⊊{1，2，3，4，5}， 当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}； 当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}； 当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意；综上所述得：则集合P 个数是：6． 故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}， 对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确； 对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确． 故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3}【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ＜2 B ．1≤a ≤2C ．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2，故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m xm =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系： （1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}． （4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }． 【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ． 【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…． 由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥． 【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21m m ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩． 得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥题型三 两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2 【解析】{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a -有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1ba -=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩ 所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-. 4．由a ，ba，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使ba有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a ⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩，即 20182019a b +=20182019(1)01-+=， 故20182019a b +=1.题型四 空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来. 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根， 当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解，此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五 根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-， 所以2b a -=. 故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值； （2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析 【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆， 则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去. 若2x x -=，则()()222x x-=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213ax -=.方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+. 由题意，得152213aa -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}. 4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值. 【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意；()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意；综上可知，1a =或1a =-.专题3 集合的基本运算题型一 根据交集结果求集合或参数1．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ） A ．3a > B ．3a C ．9a < D ．9a【答案】C【解析】因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ， 所以{|39}UA x x =<，又因为()U A B ⋂≠∅，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C2．已知集合A ={x |2<x <4}，B ={x |a <x <3a }．若A ∩B ={x |3<x <4}，则a 的值为_______．【答案】3【解析】由A ={x |2<x <4}，A ∩B ={x |3<x <4}， 如图，可知a =3，此时B ={x |3<x <9}，即a =3为所求． 答案：33．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣10x +9＜0}，C ＝{x |a ＜x ＜a +1}． （1）求A B ，()U A B ；（2）如果A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|19A B x x =<<，(){|12U A B x x =<<或}79x ≤<；（2）{|1a a ≤或}7a ≥．【解析】（1）{}|27A x x =≤<，{}|19B x x =<<， 所以{}|19A B x x =<<，{|2UA x x =<或}7x ≥，(){|12UA B x x =<<或}79x ≤<。
2016版高考数学二轮复习课件：专题一 集合与常用逻辑用语
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第七页，编辑于星期五：二十三点 五十一分。
考点一 集合的概念与运算
专题一 集合与常用逻辑用语
(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)已知集合A＝{－2，－1，
0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )A
A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－1，0，1}
D．{0，1，2}
栏目 导引
第十页，编辑于星期五：二十三点 五十一分。
专题一 集合与常用逻辑用语
2．已知M＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，N＝{x|－1<x<3}，则M∪N 为( C ) A．(－1，3) B．[－1，3] C．[－1，3) D．[－1，2] 解析：∵M＝{x|－1≤x≤2}，N＝{x|－1<x<3}， ∴M∪N＝{x|－1≤x<3}．
当 B⊆A 时，则有
－m≥－
m≤ 3
1 ∴ 0<m≤ 1.
综上所述 m 的范围为 m≤1.
栏目 导引
第十五页，编辑于星期五：二十三点 五十一分。
专题一 集合与常用逻辑用语
1．已知①1⊆{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2} ⊆{0，1，2}；④∅⊆{0}．上述4个关系中,错误的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由元素与集合、集合与集合的关系知①②错误，故 选B.
【2份】2016江苏高考数学(理科)大二轮总复习与增分策略：专题一 集合与常用逻辑用语
【2份】2016江苏高考数学（理科）大二轮总复习与增分策略专题一集合与常用逻辑用语目录专题一集合与常用逻辑用语 (1)第1讲集合与常用逻辑用语 (1)二轮专题强化练 (5)学生用书答案精析 (7)二轮专题强化练答案精析 (11)第2讲不等式与线性规划 (15)二轮专题强化练 (18)学生用书答案精析 (21)二轮专题强化练答案精析 (26)专题一集合与常用逻辑用语第1讲集合与常用逻辑用语1．(2013·江苏)集合{－1,0,1}共有________个子集．2．(2015·陕西改编)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________. 3．(2015·湖北改编)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则p是q的______条件．4．(2014·广东改编)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3);②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3);③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3);④z1*z2＝z2*z1.则真命题的个数是1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1(1)(2015·南京模拟)已知集合A＝{x|f(x)＝lg(x2－2x)}，B＝{x|－5<x<5}，则A∪B＝________________________________________________________________________.(2)对于非空集合A，B，定义运算：A B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M N等于________．思维升华(1)集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后可借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1(1)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是________．(2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)(2014·江西改编)下列命题中正确的是________(填正确命题的序号)．①若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”；②若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”；③命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”；④l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β.(2)(2015·无锡模拟)已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)下列五个命题：①log 2x 2＝2log 2x ；②A ∪B ＝A 的充要条件是B ⊆A ；③若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最小值为－k ＋1；④若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x <1)，log a x (x ≥1)对任意的x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是(17，13)． 其中正确命题的序号为________．(写出所有正确命题的序号)(2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是________． 热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知命题p ：关于x 的方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3 (1)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0，给出命题p ：l 1∥l 2的充要条件是a ＝－3或a ＝2；命题q ：l 1⊥l 2的充要条件是a ＝－35.则p ∧(綈q )为________命题(填“真”或“假”)．(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，e 0x －mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．1．已知集合E ＝{1,2,3,4,5}，集合F ＝{x |x (4－x )<0}，则E ∩(∁R F )等于________．2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}； ②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中所有“Ω集合”的序号是________．3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的________条件．4．下列命题是假命题的是________．(填序号)①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若0<x <π2，且x sin x <1，则x sin 2x <1； ③对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；④“x >2”是“3x ＋1－1≤0”的充要条件； ⑤若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题．提醒：完成作业 专题一 第1讲二轮专题强化练专题一 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语A 组 专题通关1．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－a ，－1}，若M ∩P 中有一个元素，则M ∪P ＝________.2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝________.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为________．4．(2015·江苏省名校期中)已知集合M ＝{x |y ＝lg1－x x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N ＝________.5．(2015·重庆改编)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的________条件．6．已知命题p ：2x x －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．7．给出下列命题：①若“p 或q ”是假命题，则“綈p 且綈q ”是真命题；②|x |>|y |⇔x 2>y 2；③若关于x 的实系数二次不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为∅，则必有a >0，且Δ≤0；④⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >4，xy >4. 其中真命题的个数是________．8．(2015·襄阳一中考试)已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．9．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________．10．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)11．已知命题p ：x －1x≤0，命题q ：(x －m )(x －m ＋2)≤0，m ∈R ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．12．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间[12，32]内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．B组能力提高13．已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是_____________________________________．14．已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若A⊆B，则实数m的取值范围是__________________．15．设命题p：关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是____________________．16．已知集合M为点集，记性质P为“对∀(x，y)∈M，k∈(0,1)，均有(kx，ky)∈M”．给出下列集合：①{(x，y)|x2≥y}，②{(x，y)|2x2＋y2<1}，③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性质P的点集序号是________．17．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围为________．学生用书答案精析专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语高考真题体验1．8【详细分析】由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．2．[0,1]【详细分析】由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]．3．充分不必要【详细分析】若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n－4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件．4．2【详细分析】由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2·z 3＝z 1*z 3＋z 2*z 3，故①正确; z 1*(z 2＋z 3)＝z 1·(z 2＋z 3)=z 1z 2＋z 1z 3=(z 1*z 2)+(z 1*z 3),故②正确；(z 1*z 2)*z 3＝z 1z 2z 3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 123z z ,故③错误；z 1*z 2=z 1z 2，而z 2*z 1=z 2z 1，故④不正确.热点分类突破例1 (1)R (2)(a ，c ]∪[d ，b )【详细分析】(1)∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，A ∪B ＝R .(2)由已知M ＝{x |a <x <b }，∴a <b ，又ab <0，∴a <0<b ，同理可得c <0<d ，由ab <cd <0，c <0，b >0，∴a c >d b， ∴a －c c >d －b b. 又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －b c >d －b b， 又∵c <0，b >0，∴d －b <0，因此，a －c <0，∴a <c <0<d <b ，∴M ∩N ＝N ，∴M N ＝{x |a <x ≤c 或d ≤x <b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．跟踪演练1 (1)2 (2)112【详细分析】(1)由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}或∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1， 即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧ n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝[0，34]，N ＝[23，1]． 所以M ∩N ＝[0，34]∩[23，1]＝[23，34]． 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112. 例2 (1)④ (2)[3,5]【详细分析】(1)由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，①错；因为ab 2>cb 2，且b 2>0，所以a >c .而a >c 时，若b 2＝0，则ab 2>cb 2不成立，由此知“ab 2>cb 2”是“a >c ”的充分不必要条件，②错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，③错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．(2)p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6；∵q 是p 的必要不充分条件，∴(m －1，m ＋1) (2,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥2，m ＋1<6，或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6，∴3≤m ≤5； ∴m 的取值范围为[3,5]．跟踪演练2 (1)② (2)[2，＋∞)【详细分析】(1)①log 2x 2＝2log 2x ，左边x ∈R ，右边x >0，错误；②A ∪B ＝A 的充要条件是B ⊆A ，正确；③若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，因为k 的符号不定，所以y 的最小值为－|k |＋1；④若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x <1)，log a x (x ≥1)对任意的x 1≠x 2都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，即函数为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，0<a <1，7a －1≥0，解得17≤a <13，错误；故只有②正确． (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.例3 (1){a |－1<a <0或0<a <1} (2)a >1【详细分析】(1)由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，所以x ＝－2a 或x ＝1a. 因为x ∈[－1,1]，故|－2a|≤1 或|1a|≤1，所以|a |≥1.“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0.所以a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a 的取值范围为{a |－1<a <0或0<a <1}．(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即綈p 真且q 真，即a >1.跟踪演练3 (1)假 (2)[0,2]【详细分析】(1)对于命题p ，因为当a ＝2时，l 1与l 2重合，故命题p 为假命题；当l 1⊥l 2时，2a ＋3a ＋3＝0，解得a ＝－35，当a ＝－35时，l 1⊥l 2，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，故命题p ∧(綈q )为假命题．(2)若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真，命题p 为假命题时，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.若要使p ∨(綈q )为假命题，则m 的取值范围是0≤m ≤2. 高考押题精练1．{1,2,3,4}【详细分析】因为集合F ＝{x |x (4－x )<0}，所以F ＝{x |x <0或x >4}，所以∁R F ＝{x |0≤x ≤4}，所以E∩(∁R F)＝{1,2,3,4}．2．②③【详细分析】对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋1x1·1x2＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．3．充分不必要【详细分析】当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数成立；但当f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数时，φ＝kπ，k∈Z，φ＝0不一定成立．4．④⑤【详细分析】①根据命题的四种形式，可知命题：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，故该命题正确；②因为0<x<π2，所以0<sin x<1，则x sin2x<x sin x，所以有x sin2x<x sin x<1，故该命题正确；③存在性命题的否定是全称命题，故命题正确；④解不等式3x＋1－1≤0，得x<－1或x≥2，所以“3x＋1－1≤0”的充要条件是“x<－1或x≥2”，而“x>2”是其充分不必要条件，该命题不正确；⑤p∧q为假命题时，只要p、q中至少有一个为假命题即可，不一定p、q均为假命题．二轮专题强化练答案精析专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语1．{－1,0,1}【详细分析】根据题意知，只能1＝－a或a2＝－a，解得a＝0或a＝－1，检验知只能a＝0，此时M∪P＝{－1,0,1}．2．{－1,0,1,2}【详细分析】因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}．3．13【详细分析】若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13. 4．{x |x ≥2}【详细分析】由1－xx >0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}． 5．充分不必要【详细分析】由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．6．(－∞，－1] 【详细分析】由p ：2xx －1<1得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1. 7．2【详细分析】由“p 或q ”是假命题，知p ，q 均为假命题，∴綈p ，綈q 均为真命题，故“綈p 且綈q ”是真命题，①正确；②显然成立；③忽略了a ＝0时的情况；④可从反例x ＝1，y ＝5验证知错误．故真命题的个数为2. 8．1≤m ≤4【详细分析】⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填1≤m ≤4.9．1【详细分析】根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1. 10．①④【详细分析】对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．11．解 对于命题p ：x －1x ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≤0，x ≠0，∴0<x ≤1；对于命题q ：(x －m )(x －m ＋2)≤0得m －2≤x ≤m ， 又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ≥1，∴1≤m ≤2.12．解 对于命题p ，由Δ＝4a 2－4≥0解得a ≤－1或a ≥1. 对于命题q ，∵x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在[12，32]内恒成立，∴3(a ＋1)≤－(x ＋2x )在[12，32]上恒成立．易知(x ＋2x )max ＝92，故只需3(a ＋1)≤－92即可．解得a ≤－52.∵命题“p 且q ”是假命题，∴命题p 和命题q 中一真一假或都为假． 当p 真q 假时，－52<a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时，a ∈∅； 当p 假q 假时，－1<a <1.综上所述，a 的取值范围为{a |a >－52}．13．[1，＋∞)【详细分析】∵p ∨q 为假命题， ∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题， ∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题， ∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 14．m ≥34或m ≤－34【详细分析】因为y ＝(x －34)2＋716，x ∈[34，2]，所以y ∈[716，2]．又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34.15.⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞) 【详细分析】根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}．由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}；当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)． 16．②④【详细分析】对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}， 故④是具有性质P 的点集． 综上，具有性质P 的点集是②④. 17．(12，1]【详细分析】若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0， ∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴命题p 、q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32， ∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为12<a ≤1.第2讲 不等式与线性规划1．(2014·大纲全国改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为________．2．(2015·广东改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为________．3．(2015·重庆)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．4．(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________．1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为____________．(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为________．思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝__________________.(2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．(2)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是________________________________________________________________________．热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，则实数a的值是________．1．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为________． 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x －2 (x >2)，log 2(2－x ) (x <2)，则不等式f (x )≤4的解集为____________．3．已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB →的最小值为________．4．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．提醒：完成作业 专题一 第2讲二轮专题强化练 第2讲 不等式与线性规划A 组 专题通关1．下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若ab >0，a >b ，则1a <1b ；③若a >b ，c <d ，则a c <bd ；④若a >b ，c >d ，则a －c >b －d .2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．3．(2015·山东改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(0)>0，且f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________________．7．(2015·泰州一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C 与产量q (q ∈N *)的函数关系式为C ＝100－4q ，销售单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－116q .要使每件产品的平均利润最大，则产量q ＝________.8．(2015·镇江测试)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是________．9．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．B 组 能力提高11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系为________．12．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 13．已知x >0，y >0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．学生用书答案精析第2讲 不等式与线性规划高考真题体验 1．{x |0<x <1}【详细分析】由⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－2，－1<x <1， 所以0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}． 2.235【详细分析】不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意知当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时，z 取得最小值即z min ＝3×1＋2×45＝235.3．3 2【详细分析】∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2. 4．[－2,0]【详细分析】函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时， |f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时， x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立， ∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. 热点分类突破例1 (1){x |x <－lg 2} (2){x |x <0或x >4} 【详细分析】(1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ， 则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0. f (2－x )>0即ax (x －4)>0， 解得x <0或x >4.跟踪演练1 (1)52 (2)(1e，e 2)【详细分析】(1)由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵|f (1＋ln x )|<1， ∴－1<f (1＋ln x )<1， ∴f (3)<f (1＋ln x )<f (0)， 又∵f (x )在R 上为减函数， ∴0<1＋ln x <3，∴－1<ln x <2， ∴1e <x <e 2. 例2 (1)8 (2)32【详细分析】(1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0， 即2x ＋3y ＝3. ∵x >0，y >0，∴3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·13(2x ＋3y ) ＝13(6＋6＋9y x ＋4x y )≥13(12＋2×6)＝8. 当且仅当3y ＝2x 时取等号． (2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥2·2(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7， 得a ≥32，即实数a 的最小值为32.跟踪演练2 (1)4 (2)4 【详细分析】(1)log 2a ·log 2(2b ) ＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝⎛⎭⎫log 2ab ＋122＝⎝⎛⎭⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.(2)易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当b a ＝ab ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立．例3 (1)2 (2)2或－1【详细分析】(1)可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 跟踪演练3 3【详细分析】依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为9，所以3a ＝9，解得a ＝3.高考押题精练1.18【详细分析】因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上， 所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．2．{x |－14≤x <2或x ≥113}【详细分析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋3x －2≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，log 2(2－x )≤4， 解得x ≥113或－14≤x <2，故不等式f (x )≤4的解集为{x |－14≤x <2或x ≥113}．3．－4【详细分析】画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2,6)，C (2,0)，D (0,2)．目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2,6)． 此时z 取得最小值， 且最小值z min ＝2－6＝－4. 4．[－1,2]【详细分析】设y ＝2x －1，y ′＝－2(x －1)2， 故y ＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25， 故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1,2]．二轮专题强化练答案精析第2讲 不等式与线性规划1．②【详细分析】1a －1b ＝b －a ab ，由ab >0，a >b 可得 1a －1b <0，∴1a <1b ，②对 其余命题利用反例证明错误． 2．(－2,1)【详细分析】根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <(a b ＋ba )min ， ∵ab ＋b a≥2a b ·ba＝2， ∴x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知其解集为(－2,1)． 3．2【详细分析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值，又2a ＝4，∴a ＝2. 4．7＋4 3【详细分析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba≥7＋23a b ·4ba＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4ba 时取等号．5．2【详细分析】f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b >0，函数f (x )的值域为[0，＋∞)，所以a >0，且b 2－4ac ＝0，即4ac ＝b 2，所以c >0.又f (1)＝a ＋b ＋c ，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋2ac b ＝1＋4ac b ＝1＋1＝2(当且仅当b ＝2a ＝2c 时取等号)，所以f (1)f ′(0)的最小值为2. 6．(－∞，0]∪[3，＋∞)【详细分析】当x >0时，由log 3x ≥1可得x ≥3， 当x ≤0时，由(13)x ≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 7．40【详细分析】每件产品的利润y ＝25－116q －100－4q q ＝29－(q 16＋100q)≤29－2q 16·100q＝24，当且仅当q 16＝100q 且q >0，即q ＝40时取等号．8．(－4,2)【详细分析】∵x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋x y ＋4yx≥4＋2x y ·4yx＝8，∴(x ＋2y )min ＝8， 令m 2＋2m <8， 得－4<m <2.9．解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3)．①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 10．解 (1)行车所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元． 11．p ＝r ＜q【详细分析】∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q . 12．3【详细分析】画出可行域如图阴影所示， ∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3.13．(－∞，376]【详细分析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )， 即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立． 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤(x ＋y 2)2，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0， 解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)． 设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是(－∞，376]．14．解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， (0≤x <20)，13(200－x )， (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x )(20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。
2016年高考数学二轮教材回扣1.集合与常用逻辑用语
定命题p的结论.
[回扣问题5] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该
命 题 的 否 命 题 是 ____________ ， 命 题 的 否 定 是 ______________________________________________. 答案 已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b
A.R C.[2，＋∞)
B.(－∞，0]∪[2，＋∞) D.(－∞，0]
3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B
＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不
要忽略A＝∅的情况. [回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝
0}，且A∪B＝B，则实数a＝________. 1 答案 0，1，2
的否定应该是“a，b 不都是偶数”，而不应该是“a ， b 都是奇数”. [回扣问题8] 命题“∂k0∈R，使函数f(x)＝x2＋k0x(x∈R) )
是偶函数”的否定是(
A.∀k∈R，函数f(x)＝x2＋kx(x∈R)不是偶函数 B.∀k∉R，函数f(x)＝x2＋k0x(x∈R)都是奇函数
C.∀k∈R，函数f(x)＝x2＋k0x(x∈R)不是奇函数
已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
6.在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、 “或”改成“且”. [ 回 扣 问 题 6] 命 题 “ 若 x ＋ y≤0 ， 则 x≤0 或
y≤0”的否命题为________.
答案 若x＋y＞0，则x＞0且y＞0
7.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能 推出 A ，且 A 不能推出 B ；而“A 是 B 的充分不必要条件”
4.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非 空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1， 2n－2. [ 回扣问题 4] 集合 A ＝ {1 ， 2 ， 3} 的非空子集个数为
(江苏专版)高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合讲义-人教版高三全册数学试题
§1.1 集 合命题探究考纲解读考点 内容解读要求 五年高考统计常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.集合的含义与表示 1.表示集合2.元素个数问题 A填空题 ★☆☆2.集合的关系 1.集合关系判断2.集合关系的运用A4题5分填空题 ★★★3.集合的运算 集合的交并补运算A1题5分1题5分 填空题 ★★☆分析解读 高考考查集合的试题可以分为两大类:一类是集合概念题,另一类是集合运算题,考查重点为集合的运算.为容易题,若以集合为载体与其他知识交汇考查,则可能为中档题.五年高考考点一 集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ理改编,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=. 答案 {1,3}2.(2016某某改编,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=. 答案 {1,3}3.(2016,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.答案①16②29考点二集合的关系(2013某某,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的运算1.(2017某某理改编,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=.答案{1,2,4}2.(2016某某,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}3.(2016改编,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=.答案{x|2<x<3}4.(2016课标全国Ⅱ改编,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=.答案{1,2}5.(2016课标全国Ⅲ改编,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=.答案{0,2,6,10}6.(2016课标全国Ⅱ理改编,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=.答案{0,1,2,3}7.(2016某某改编,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=.答案{2,6}8.(2015课标Ⅱ改编,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=.答案{-1,0}9.(2015某某改编,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=.答案{2,5}10.(2015某某改编,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=.答案(1,2)11.(2015某某改编,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=.答案[0,1]12.(2015某某改编,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=.答案{x|-1<x<3}13.(2015某某改编,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于.答案{1,-1}14.(2015某某改编,9,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为.答案4515.(2014某某改编,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=.答案{x|0<x<1}16.(2014某某改编,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=.答案[0,1)教师用书专用(17—22)17.(2014某某改编,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=.答案{2}18.(2014某某改编,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=.答案[1,3)19.(2014某某,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.答案{7,9}20.(2013某某理改编,2,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁R S)∪T=.答案(-∞,1]21.(2013某某理改编,2,5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=.答案(1,2]22.(2013某某理改编,2,5分)已知全集为R,集合A=,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁R B=.答案{x|0≤x<2或x>4}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(苏教必1,一,1,变式)有下列四个集合:①{x2-1};②{x2-1=0};③{x|x2-1=0};④{x∈N|x2-1=0}.其中恰有2个元素的是.答案③2.(苏教必1,一,1,变式)下列各组中M,P表示同一集合的序号是.①M={3,-1},P={(3,-1)};②M={(3,1)},P={(1,3)};③M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=t2-1,t∈R};④M={y|y=x-1,x∈R},P={(x,y)|y=x-1,x∈R}.答案③3.(苏教必1,一,1,变式)集合A=的元素个数为.答案 34.(苏教必1,一,1,变式)已知集合A=, 则集合A用列举法表示为.答案{0,2,3,4,5}5.(2018某某某某中学月考)已知集合A={x|x2-2x-a<0},且1∉A,则实数a的取值X围是.答案a≤-1考点二集合的关系6.(苏教必1,一,2,变式)已知全集为R,集合A={x|x<1或x≥5},则∁R A=.答案{x|1≤x<5}7.(苏教必1,一,2,变式)已知⌀⫋{x|x2-x+a=0},则实数a的取值X围是.答案a≤8.(2018某某某某期中)已知集合A={0,1,2},集合B=,且B⊆A,则实数x=.答案9.(2017某某某某运河中学开学考试,1)设集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N⊆M,则x=.答案 1考点三集合的运算10.(苏教必1,一,3,变式)已知集合M={0,2,4},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=.答案{0,4}11.(苏教必1,一,3,变式)若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},且满足A∩B={2},则实数a=.答案 212.(2018某某金陵中学月考)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=.答案{4}13.(2018某某海安测试)设集合A={1,2,3,4},B={x|x2-2x-3=0},则A∩B=.答案{3}14.(2017某某某某中学摸底,1)已知集合A={x|x>0},B={-1,0,1,2},则A∩B等于.答案{1,2}15.(2017某某某某高淳模拟,1)已知集合A={x|y=lg(x+1)},B={x|x≥2},则A∪B=.答案{x|x>-1}16.(2017某某某某学情调研,1)已知集合A={0,1,2},B={x|x2-x≤0},则A∩B=.答案{0,1}17.(2017某某某某自测,1)设集合M={-1,0,1},N={x|x2+x≤0},则M∩N=.答案{-1,0}18.(2017苏锡常镇四市调研)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z},则∁U M=. 答案{6,7}B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(2017某某某某期中)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=.答案{1,4}二、解答题(共20分)2.(2018某某金陵中学月考)已知A=,B={x|x2-4x+4-m2≤0,m>0}.(1)若m=3,求A∩B;(2)若A∪B=B,某某数m的取值X围.解析(1)易知A=(2,7),若m=3,则B=[-1,5],∴A∩B=(2,5].(2)∵m>0,∴B=[2-m,2+m].又A∪B=B,∴A⊆B,∴∴m≥5,故实数m的取值X围为[5,+∞).3.(2016某某启东中学阶段检测,15)已知集合A={x||2x-1|<3},B={x|x2-(a+2)x+2a≤0}.(1)若a=1,求A∩B;(2)若A∩B=A,某某数a的取值X围.解析(1)A={x||2x-1|<3}=(-1,2).当a=1时,B=[1,2],∴A∩B=[1,2).(2)B={x|x2-(a+2)x+2a≤0}={x|(x-a)·(x-2)≤0},∵A∩B=A,∴A⊆B.①当a=2时,B={2},不符合题意;②当a<2时,B=[a,2],由A⊆B得a≤-1;③当a>2时,B=[2,a],此时A⊈B,不符合题意.综上所述,实数a的取值X围为(-∞,-1].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 集合中的参数问题1.(2016某某某某、某某、某某二调,3)设集合A={-1,0,1},B=,A∩B={0},则实数a的值为.答案 1方法2 集合的基本关系及应用2.(2016某某四地六校联考,5)已知集合A=,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为.答案8方法3 集合中综合运算问题3.(2016某某如东中学阶段检测,9)已知函数f(x)=x2+2x-3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N表示的区域的面积是.答案4π方法4 集合中的新概念、新运算问题4.设A是自然数集的一个非空子集,如果k∈A,k2∉A,且∉A,那么k是A的一个“酷元”.给定集合S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,且集合M中的两个元素都是集合M的“酷元”,那么这样的集合M有个.答案 5。
江苏高考数学总复习--集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语知识网络考纲要求其中A（了解）：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.B（理解）：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.C（掌握）：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.复习策略在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质.逻辑知识重点考查充要条件，考查方式都是出现在解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、命题和新增加的量词近几年没有在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义.从上述考纲要求及分析可知，集合每年都以小题形式考查，涉及集合关系和运算，常与其他知识交汇，要学会化简、转化集合.对于充要条件,要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断.其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求.第1课 集合的概念与运算课前热身激活思维1．用“∈”或“∉”填空：3.14___________ Q ；π___________ R ；0___________ N ；-1____________{-2，0}；1.5___________{x |-2<x <3,x ∈Z }. [答案]: ∈,∈,∈,∉, ∉2．（2010·南京市学情分析）设集合A ={x |x ≤1|},B ={x |x ≥-2}，则A ∩B =___________. [答案]: {x |－2≤x ≤1-}3．（2009·全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=___________.[答案]: {2，4，8} [解析]M N ={1,3,5,6,7}.4.（2009·浙江卷理改编）设U =R ，A ={x |x >0}，B ={x |x >1}，则()U A B ð=___________.[答案]: {x |0<x ≤1}[解析]因为ðU B ={}1x x ≤,所以A (ðU B )={}01.x x <≤5．（2009·上海卷理）已知集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ≥a }，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是___________. [答案] (-≦,1］[解析]因为A B =R ,画数轴可知,实数a 必须在点1上或在1的左边,所以,a 1≤.知识梳理1．集合的概念(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法等.(3) 集合按所含元素个数可分为:有限集、无限集；按元素特征可分为：数集、点集.(4) 常用数集符号：N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. 2. 两类关系（1） 元素与集合的关系，用∈或()∉∈或表示.（2） 集合与集合的关系，用⊆，或=表示.当A B ⊆时，称A 是B 的子集；当AB 子时，称A 是B 的真子集；当A =B 时，称A是与B 相等的集合，两集合的元素完全相同.3． 集合的运算(1) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.（2） 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ={}x x A x B ∈∈且.(3) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ={}x x A x B ∈∈或.(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集（或余集），记作A S ð，即A S ð={},x x S x A ∈∉但.4． 常见结论与等价关系(1) 若集合A 中有n （n ∈N +）个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n -2个. (2) A ∩B =A A B ⇔⊆;A ∪B =A A B ⇔⊇.(3)ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧，ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧.课堂导学知识点1 集合中元素的性质【例1】设a ，b ∈R ，集合{1,a +b ,a }=0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎭⎩，求b -a . ［思维引导］ 本题通过集合相等，考查集合中元素的关系.由于集合中元素性质的无序性,必须分别对应讨论，但从特殊观察上要能抓住关键的元素0进行分析. ［解答］∵a ≠0,∴a +b =0.∴ba=-1. ∴a =-1,b =1.∴b -a =2.［精要点评］本题利用集合元素的互异性与无序性，先找到特殊的元素0及a 处于分母位置作为突破口，从而逐个求出a ,b .因此，我们在处理问题时要注意观察题目的特点. 集合之间的关系2 知识点2 集合之间的关系【例2】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅.若B A ⊆，求m 的取值范围.［思维引导］本题考查集合之间的关系，所给集合是用不等式表示的关于集合的包含关系，从而得知集合之间的元素关系，然后利用数轴来处理.［解答］∵B ⊆A ，且B ≠∅，∴(]12,217,24,2,4.121,m m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤∈⎨⎪+<-⎩得即 ［精要点评］学会利用数轴来处理有关不等式表示的集合关系问题，要注意端点是否取到.【变式拓展】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}.若A ∪B =A ，求m 的取值范围. ［解答］∵A ∪B=A ，∴B ⊆A .（1） 若B=∅，则m+1≥2m-1，即m ≤2；（2） 若B ≠∅，则12217,2 4.121,m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤⎨⎪+<-⎩得综上所述,(],4.m ∈-∞.知识点3 集合的运算【例3】已知全集U ={x |-1≤x ≤4}，A ={x |x 2-1≤0}，B ={x |0<x ≤3}，求A ∩B ，A ∪B ，ðU A ，(ðU B )∩A .［思维引导］本题主要考查集合的各种运算，首先要把集合A 化成最简单的集合形式，由于都是不等式形式，所以我们可以用数轴的方式进行处理，要注意端点的取舍.［解答］∵A ＝{x |x 2-1≤0}={ x |-1≤x ≤1}， ∴A ∩B={x |0<x ≤1}，A ∪B={x |-1≤x ≤3}，U A ð={x |1<x ≤4}，U B ð={x |-1≤x ≤0或3<x ≤4}.∴()UB ð A ={x |-1≤x ≤0}.［精要点评］对集合进行运算，首先要化简集合，再根据集合的类型选择数轴，或韦恩图，或转化为函数来处理.【变式拓展】（2009·苏、锡、常、镇二模）已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R }，B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }．(1) 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值； (2) 若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．［解答］由已知得：A ={x |-1≤x ≤3}，B={x |m-2≤x ≤m+2}． (1) ∵A ∩B=［0,3］，∴20,23,m m -=⎧⎨+≥⎩∴2,2.1,m m =⎧=⎨≥⎩即m (2) R B ð={x |x <m -2或x >m +2}．∴R A B ⊆ð,∴m -2>3或m +2<-1.∴m >5或m <-3,即∈(),3-∞-()5,.+∞【备讲例题】设A ={x |x 2+4x =0}，B={x |x 2-ax -6a <0}.若A ∩B=A ，求a 的取值范围.［解答］由A ∩B =A ，知A ⊆B . 而A ={0,-4}，令f （x ）=x 2-a x -6a , 得()(0)60,8,8,.(4)16460,f a a f a a =-<⎧>∈+∞⎨-=+-<⎩所以即a规范答题赏析（2009·淄博一模）（本小题满分12分）已知集合A ={x ||x -2|≤a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}.若A ∩B =∅，求实数a 的取范围.［规范解答］① 当a <0时，A =∅，显然A ∩B =∅成立.………………………………2分 ② 当a ≥0时，A ≠∅.A ={x |2-a ≤x ≤2+a },……………………………………………4分B ={x |x ≤1或x ≥4},……………………………………………………………………………6分由A ∩B =∅，得21,24,0,a a a ->⎧⎪+<⎨⎪≥⎩……………………………………………………………10分解得0≤a <1.…………………………………………………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围为（-∞，1）. …………………………………………………12分［要点反思］ (1) 空集是一种不含任何元素的特殊集合，在解题中很容易被忽视，应引起足够的重视.(2) 分类讨论是一种重要的数学思想，它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中，要从简单的讨论着手，并注意讨论的完整性，最后更不要忘记总结结论.总结规律1．准确把握集合的有关概念与关系，能熟练地将集合语言、数学语言和图形语言进行转化.在分类讨论时要注意空集的情况，以及在集合关系转化时要特别注意端点.2. 解决集合问题时，一般经历化简、找关系、列式子、解答四个过程，主要思想方法是数形结合思想（利用数轴和韦恩图）、转化思想（转化集合的表达形式或化简问题）和分类讨论思想（把问题分成几个层次来处理）.3. 高考考查本课内容时，往往会涉及其他章节的内容,因此，我们在处理问题时,一定要及时提取其他章节处理问题的方法. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第1课时.第2课四种命题与充要条件课前热身激活思维1．(2009·淮安调研)已知集合A={3，m2},B={-1,3,2m-1}.若A B，则实数m的值为___________.[答案]1[解析]由m2=2m-1,得m=1.经验证,满足互异性.2．(2009·重庆卷文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“___________”.[答案]若一个数的平方是正数，则它是负数[解析]因为一个命题的逆命题是将原命题怕条件与结论进行交换,所以逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.3．命题“若a>1,则a2>1”的逆否命题是“___________”.[答案]若a2≤1,则a≤1[解析]因为一全命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换并否定，所以其逆命题为“若a2≤1,则a≤1”4．(2009·天津卷文改编)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的___________条件.[答案]充分不必要[解析]因为x3=x,解得x=0,1或-1.显然条件表示的集合小，结论表示的集合大，所以由集合的包含关系，我们不难得出结论. 5．(2009·安徽卷文)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的___________条件.[答案]必要不充分[解析]当a>b且c>d时，必有a+c>b+d；当a+c>b+d时，可能有a>d且c>b.故填“必要不充分”知识梳理1． 记“若p 则q ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p ”，逆否命题为“若非q 则非p ”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数个.2． 对命题“若p 则q ”而言，当它是真命题时，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当它是假命题时，即pq ，p 是q 的非充分条件，q 是p 的非必要条件.3． ① 若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；② 若pq ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；③ 若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件；④ 若pq ，且qp ，则p 是q 的即不充分也不必要条件.4． 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).课堂导学知识点1 四种命题及其关系【例１】 写出“若x =3且y =2，则x +y =5”的逆命题、否命题和逆否命题. [思维引导]本题考查四种命题之间的转换，抓住条件与结论时行改写.[解答]逆命题:“若x +y =5，则x =3且y =2”;否命题:“若x ≠3或y ≠2，则x +y ≠5”;逆否命题:“若x +y ≠5，则x ≠3或y ≠2”. [精要点评]四种命题的转换，要抓住“若p ,则q ”的结构时行转换，先写成“若q ,则p ”，其次要注意常见的否定转换. 【变式拓展】写出“有一组对边平行且相等的四边形是菱形”的逆命题、否命题和逆否命题. [解答]将原命题改写成“若一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是菱形”. 逆命题:“若一个四边形是菱形，则这个四边形有一组对边平行且相等”； 否命题:“若一个四边形有一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是菱形”； 逆否命题:“若一个四边形不是菱形，则这个四边形有一组对边不平行或不相等”. 【备讲例题】写出“若x 2<1,则-1<x <1”的逆命题、否命题和逆否命题；［解答］逆命题:“若-1<x <1，则x 2<1”；否命题:“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤-1”；逆否命题:“若x ≥1或x ≤-1，则x 2≥1”. 知识点2 充要条件的判定与运用【例2】已知20,:100x p x x ⎧+≥⎧⎫⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩,q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}. (1) 若m =1,则p 是q 的什么条件?(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.［思维引导］问题(1)考查充要条件的判定,我们需要从“充分”和“必要”两个方面考查,并且用集合方法处理；问题（2）考查充要条件的应用,根据“若p 是q 的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m 的取值范围.[解答］(1) 因为{20,:210},100x p xx x x ⎧+≥⎧⎫⎪=-≤≤⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}={x |0≤x ≤2},显然{x |0≤x ≤2}{x |-2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件. (2) 由(1)知,p:{x |-2≤x ≤10}. 因为p 是q 的充分不必要条件,所以01211012110m m m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-+=⎩与不同时相等,解得m ≥9，即m [)9,.∈+∞［精要点评］处理充要性问题，要先化简，再把充要性转化为集合的包含关系，然后再列关系式解之.【变式拓展】 把(2)中“若p 是q 的充分不必要条件”改为“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”，求m 的取值范围. ［解答一］直接法求出p ⌝={x |x >10或x <-2}，q ⌝={x |x >m+1或x <1-m}.由“⌝p 是q ⌝的必要不充分条件”，01211012x m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-⎩得与1+m=10不同时相等解得m ≥9，即[)9,.∈+∞［解答二］先根据互为逆否命题同真假把“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”转化为“若p 是q 的充分不必要条件”，再用上面的过程解答.【备讲例题】在△A BC 中,“∠A =∠B ”是“cos A =cosB ”的什么条件? ［解答］∠A =∠B ⇒cos A =cosB,反之也成立,所以是充要条件. 知识点3 充要条件的证明【例3】 已知函数f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ,求证：f (a )+f (b)≥f (-a )+f (-b )的充要条件是a +b ≥0. ［思维引导］本题考查充要条件的证明，涉及到函数的单调性，对充分性与必要性的证明要灵活变化命题. ［解答］(1) 充分性，即已知a +b ≥0，求证:f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）. ∵a +b ≥0, ∴a ≥-b ,b ≥-a .∴f （a ）≥f （-b ）,f （b ）≥f （-a ）. ∴f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）.（2） 必要性，即已知f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ），求证:a +b ≥0. 由于直接证明比较困难，所以可以用反证法. 假设a +b <0, ∴a <-b ,b <-a .∴f （a ）<f （-b ）,f （b ）<f （-a ） ∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b )， 与已知矛盾， 所以必要性成立.综合（1）（2），可得f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）的充要条件是a +b ≥0.［精要点评］充要条件的证明需要注意三个方面:（1） 从两个方面来证明，即充分性和必要性;（2） 注意充分、必要的方向;（3） 当直接解答较困难时，可以考虑命题的转化和反证法.规范答题赏析 (2008·江苏卷)(本小题满分12分)若f 1(x )=13x p -，f 2（x ）=2·23x p -，x ∈R ,p 1,p 2为常数，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1） 求f （x ）=f 1（x ）对所有实数成立的充要条件（用p 1,p 2表示）；（2） 略. ［规范解答］ （1） f （x ）=f 1（x ）恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔13x p -≤2·23x p -⇔123x p x p ---≤3log 23………………………………………………2分⇔|x -p 1|-|x -p 2|≤log 32.………………………………………………………………………3分因为|x -p 1|-|x -p 2|≤|（x -p 1）-（x -p 2）|=|p 1-p 2|,所以，只需| p 1-p 2|≤log 32恒成立.………5分 综上所述，f （x ）=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是| p 1-p 2|≤log 32.…………………6分 (2)略.［要点反思］ 求充要条件即是求其等价条件，注意等价转化.总结规律(1) 写一个命题的其他三个命题时,首先要注意转化为标准的“若p 则q ”的结构，再进行转换;其次要注意否定中的“或”与“且”的转化. (2) 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论;其次，要从两个方面即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题可以从集合观点看，如p ,q 对应的范围为集合A ，B ，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(3) 充要条件的证明要注意从两个方面来证明，即充分性和必要性.如果是证不必要，或是不充分，只需要举出特殊例子否定即可. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第2课时.第3课 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词课前热身激活思维1． 已知命题p :a ∈M ={x |x 2-x <0}；命题q :a ∈N ={x ||x |<2},则p 是q 的___________条件． ［答案］充分不必要［解析］a ∈M ={x |x 2-x <0}={x |0<x <1}，a ∈N ={x ||x |<2}={x |-2<x <2},所以p 是q 的充分不必要条件.2． (2009·天津卷理改编)命题“0x ∃∈R ,使2x 0≤0”的否定是___________. ［答案］∀x ∈R ，2x >03． 下列是全称命题的有___________.① 末位是0的整数，可以被2整除；② 有些三角形不是等腰三角形； ③ 正四面体中两侧面的夹角相等；④ 有的菱形是正方形. ［答案］①③4． 若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列各结论中正确的是___________. ① 命题“p 且q ”是真命题；② 命题“p 且q ”是假命题； ③ 命题“p 或q ”是真命题；④ 命题“p 或q ”是假命题. ［答案］①③［解析］命题“⌝p 或⌝q ”是假命题，则⌝p 、⌝q 都是假命题，所以p 、q 都是真命题，所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”也是真命题.5． (2009·金陵中学三模）若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是___________． ［答案］［1,2)［解析］x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}={x |x ≥2或x <1},而“x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，所以x 的取值范围是［1,2). 知识梳理1. 全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称命题.如“对任意实数x ∈M ,都有p （x ）成立”简记成“,()x M p x ∀∈”.2. 存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在性命题.“存在实数x 0∈M ，使p （x 0）成立”简记成“00,()x M p x ∃∈”.3． 简单逻辑联结词有或（符号为∨），且（符号为∧），非（符号为⌝）. 4． 命题的否定：“,()x M p x ∀∈”与“,()x M p x ∃∈⌝”互否定.5. 复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 均为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时,p ⌝为假；当p 为假时,p ⌝为真.6． 常见词语的否定如下表所示：课堂导学知识点1 含逻辑联结词命题的判定【例1】已知命题p :对任意实数a ，都有|a |>0;命题q:存在数列{a n }既是等差数列，又是等比数列.试判定“p 或q ”“p 且q ”“p ⌝”“p ⌝”的真假.［思维引导］本题考查复合命题的真假，对于复合命题的真假判定，首先要判定每一个命题的真假，再根据真值表判定复合命题的真假. ［解答］由于当a =0时，命题“对任意实数a ，有|a |>0”是假命题，所以命题p 是假命题.因为数列a n =1既是等差数列，又是等比数列，所以命题q 是真命题.所以“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题、“⌝p ”为真命题、“⌝q ”为假命题.［精要点评］判断命题的真假要注意：全称命题为真要证明，为假时要举反例；存在性命题为真时要举一个例子，为假要证明全称为假.【变式拓展】写出由下述各命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假. (1) p ：连续的三个整数的乘积能被2整除，q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. (2) p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形. ［解答］（1）p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或3整除; p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2和3整除;⌝p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三个整数中有一个（或两个）是偶数，且有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真.∴“p 或q ”与“p 且q ”均为真，而“⌝p ”为假.（2） 根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式. p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形; p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形;⌝p ：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.∵p 假,q 假，∴“p 或q ”与“p 且q ”均为假，而“⌝p ”为真. 【备讲例题】（2009·辽宁卷文改编）有下列4个命题:（1） p 1:∃x ∈（0,+∞）,11;23x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） p 2: ∃x ∈（0,1）,12log x >13log x ;(3) p 3:∀ x ∈（0,+∞）,121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭;(4) p 4: ∀x ∈0,13, 131log 3xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭.其中，真命题有_________. ［答案］(2)(4)知识点2 含量词的命题的否定【例2】 写出下列命题的否定形式，并判定其真假. （1） p :不论m 取何实数，方程x 2+x -m =0必有实数根； （2） q :存在一个实数x ，使得x 2+x +1≤0； （3） r :等圆的面积相等，周长相等； （4） s :对任意角α，都有sin 2α+cos 2α=1.［思维引导］ 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假. ［解答］（1） 否定为“∃m ∈R ，使方程x 2+x -m =0没有实数根”，由于Δ=1+4m <0有解，所以 ⌝p 为真；（2） 否定为“∀x ∈R ，有x 2+x +1>0”，由于x 2+x +1=213024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以⌝q 为真；（3） 否定为“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识得知，⌝r 为假； （4） 否定为“∃α∈R ，使sin 2α+cos 2α≠1”，由三角知识，显然错误，所以⌝s 为假.［精要点评］要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意与否命题区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定. 知识点3 命题的真假问题【例3】 已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负数根；命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．［解答］240,: 2.0,m p m m ⎧∆=->∴>⎨-<⎩ q:Δ=16（m -2）2-16=16（m 2-4m +3）<0，∴1<m <3． ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 真，q 假或p 假，q 真．∴21m m >⎧⎨≤≥⎩或1<m 3,或2,13,m m ≤⎧⎨<<⎩故m ≥3或1<m ≤2．即(][)1,23,.m ∈+∞【变式拓展】（2009·通州一模）若命题“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题，求实数a的取值范围. ［解答］令f（x）=x2+2x+a.先求其否定命题：∀x∈［1,2］,有x2+2x+a<0.即(1)0,3,8.(2)08f aaf a<<-⎧⎧⇒⇒<-⎨⎨<<-⎩⎩所以，所求实数a的取值范围为［-8，+∞）.【备讲例题】若命题“∃a∈［1,3］,使a x2+(a-2)x-2>0”是真命题，求实数x的取值范围. ［解答］令f(a)=a x2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2.先求其否定命题：∀a∈［1,3］,有(x2+x)a-2x-2≤0，即12,(1)0,21.2(3)0313xfxf x-≤≤⎧≤⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎩所以，所求实数x的取值范围为（-∞,-1）2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭总结规律1. 判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分，一般我们学过的定理都是全称命题.2．要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称为假.3．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假.4．简易逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简易逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第3课时.第4课性集合与常用逻辑用语的综合应用课前热身激活思维1．(2009·广州二模)命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是___________.［答案］∀x ∈R ，x 2-2x +1≥02． 已知如图，其中A ，B 为全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合（用含有A 、B 、U 的式子表示）为___________.［答案］U ð（A ∪B ）或U UA B痧3． (2009·浙江卷文)“x >0”是“x ≠0”的___________. ［答案］充分而不必要条件［解析］对于“x >0”⇒“x ≠0”,反之不一定成立，因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件． 4． (2009·广州调研)命题“若a >b ，则a -1>b -1”的否命题是___________. ［答案］若a ≤b,则a -1≤b-15． （2009·北京卷文）设A 是整数集的一个非空子集.对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个___________.［答案］6［解析］依题意可知，“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”3个元素的集合一定是相邻的3个数, 因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.课堂导学知识点1 集合关系与运算综合【例１】 设A ={x |x 2+4x =0}.若B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1=0},A ∩B =B ,求实数a 的值. [思维引导]本题的关键是把A B =B 转化为B ⊆A . ［解答］A ={x |x 2+4x =0}={0，－4}. ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A .（1） 若B =∅，则Δ=4［（a +1）2-（a 2-1）］<0,∴a <-1.（2） 若B ={0}，则把x =0代入方程得a =±1. 当a =1时，B ={0,-4}≠{0};∴当a =-1时,B ={0}. ∴a =-1.（3） 若B ={-4}，则把x =-4代入方程得a =1或a =7. 当a =1时，B ={0，-4}≠{-4},∴a ≠1; 当a =7时，B ={-4，-12}≠{-4},∴a ≠7. （4） 若B ={0，-4}，则a =1. 综上所述,a ≤-1或a =1.［精要点评］不要忘记B =∅，B =A 的情况【变式拓展】 设A ={x |x 2+4x <0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1<0}.若A ∩B =A ,求实数a 的值. ［解答］A ={x |x 2+4x <0}={x |-4<x <0}. ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B .令f （x ）=x 2+2(a +1)x +a 2－1, ∴(0)0,1.(4)0,f a f ≤⎧∴=⎨-≤⎩知识点2 常用逻辑关系的综合【例2】（2009·广州一模改编）已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.试判定p 是q 的什么条件. ［思维引导］ 本题考查充要条件问题，要先化简命题p,再从充分性与必要性两个方面判断. ［解答］∵关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ， ∴Δ=（2a ）2-4（-a ）<0，解得-1<a <0， 即p ：-1<a <0. ∴p 是q 的充要条件.【变式拓展】已知p ：关于x 的不等式x 2+a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.若“p 或q ”为真“p 且q ”为假，求a 的取值范围. ［解答］由关于x 的不等式x 2+ax -a >0的解集是R ，得Δ=a 2-4（-a ）<0，解得-4<a <0.即p ：-4<a <0. 若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 、q 中有且仅有一个为真. （1） p 真、q 假40,4 1.10a a a a -<<⎧⇒-<≤-⎨≤-≥⎩或（2）q 真、p 假10,.40a a a a -<<⎧⇒∈∅⎨≤-≥⎩或 所以a ∈（-4,-1］.【备讲例题】已知p ：关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解集为{x ｜-3a ＜x ＜a }，q ：-1<x <0.若p 是q 必要不充分条件，求正数a 的取值范围. ［解答］关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解为-3a <x <a . ∵p 是q 必要不充分条件，∴0,1313031a a a a a >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪≥-≤-⎩与等号不能同时成立（取等号时满足条件）. ∴正数a 的取值范围为1,.3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭知识点3 集合与逻辑关系的综合【例3】设A ={x |-2≤x ≤a }，B ={y |y =2x +3,x ∈A }，C ={z |z =x 2,x ∈A }，求使C ⊆B 的充要条件.［思维引导］ 先化简集合B ，C ，注意集合是值域，再根据子集关系利用数轴来处理，求充要条件就是找等价关系. ［解答］B ={y |y =2x +3,x ∈A }={y |-1≤y ≤2a +3}.（1） 当-2≤a <0时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,.20a a a +≥⎧⇒∈∅⎨-≤<⎩（2）当0≤a ≤2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,12.022a a a +≥⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩（3）当a >2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤a 2}.由C ⊆B ，得22,2 3.23a a a a >⎧⇒<≤⎨≤+⎩综上所述,使C⊆B的充要条件是13. 2a≤≤［精要点评］对集合问题要分清集合元素是什么，如不清楚，则先根据所涉及的知识化简、讨论，然后根据条件列关系式解答.总结规律本章内容处理的问题多数是以其他章节知识为核心内容，因此在解答时要联想对应章节的知识和方法.一般解题思路为：(1）认识是什么知识；（2）要不要化简转化，使命题或集合清晰化；（3）根据提供的条件列出关系式；（4）处理关系式.此外，本章知识有许多需要注意的地方：（1）集合中的空集；（2）利用互为逆否命题进行等价转化；（3）充要条件要注意两种说法和两种方法；（4）注意量词定义的理解.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第4课时.。
(江苏专版)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案文
（江苏专版）高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语学案文第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，并且集合A与集合B不相等A⊆B，且A≠BA B或B A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁U A(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[小题体验]1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)＝________.答案：{1,6}2．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝________.答案：{x|0≤x<2}3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，则A∩Z＝________.答案：{－1,0,1}4．设全集U＝N*，集合A＝{2,3,6,8,9}，集合B＝{x|x>3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．答案：{2,3}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他形式)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法注意端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0,1,2}的集合B 的个数为________． 解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．因为A ∪B ＝{0,1,2}，所以B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：82．已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为________．解析：因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．答案：43．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：依题意得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <76； B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <76.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，76 4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为________．解析：法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0,1)，(－1,0)}，即A ∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.法二：在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝x ＋1和圆x 2＋y 2＝1的图象，可知，直线和圆有两个交点，即A ∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.答案：4考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 018＋b 2 018＝________.解析：由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 018＋b2 018＝(－1)2 018＋02 018＝1.答案：13．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.答案：0或984．(易错题)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3， 故m ＝－32.答案：－32[谨记通法]与集合中元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(如“题组练透”第1题) (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．(如“题组练透”第4题)考点二 集合间的基本关系 重点保分型考点——师生共研对应学生用书P2[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有________个． 解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：42．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则集合A ，B 之间的关系为________．解析：由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .答案：BA[由题悟法]判断集合间关系的3种方法 列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系[即时应用]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， 所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故所求集合C 的个数为4.答案：42．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．(2018·海门中学测试)已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{2－x,1}． (1)记集合M ＝{1,4，y }，若集合A ＝M ，求实数x ＋y 的值；(2)是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝3，故x ＋y ＝19.(2)假设存在实数x ，使得B ⊆A ，则2－x ＝3，或2－x ＝x . 若2－x ＝3，则x ＝－1，不合题意；若2－x ＝x ，则x ＋x －2＝0，解得x ＝1，不合题意． 故不存在实数x ，使得B ⊆A .考点三 集合的基本运算 题点多变型考点——多角探明对应学生用书P2[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2017·北京高考改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝________.解析：由已知可得，∁U A＝[－2,2]．答案：[－2,2]2．(2017·天津高考改编)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C ＝________.解析：由题意知A∪B＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．答案：{1,2,4}角度二：利用集合运算求参数3．(2018·苏州模拟)已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁U A＝{5}，则实数a＝________.解析：由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9∉U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3,3∈U，满足题意．故实数a 的值为2.答案：2角度三：新定义集合问题4.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A B＝________.解析：因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，结合Venn图可知A B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}．答案：{x|0≤x≤1或x>2}[通法在握]解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决数形结合 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图新定义型 问题 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2018·南京高三年级学情调研)若集合P ＝{－1,0,1,2}，Q ＝{0,2,3}，则P ∩Q ＝________.解析：由已知可得，P ∩Q ＝{0,2}． 答案：{0,2}2．已知m ∈R ，集合M ＝{m ，－3}，N ＝{x |2x 2＋7x ＋3<0，x ∈Z}，如果M ∩N ≠∅，那么m 的值为________．解析：N ＝{x |2x 2＋7x ＋3<0，x ∈Z}＝x －3<x <－12，x ∈Z ＝{－2，－1}，因为M ∩N ≠∅，所以m ＝－1或m ＝－2.答案：－1或－23．对任意两个集合X ，Y ，定义X －Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }，X ΔY ＝(X －Y )∪(Y －X )．设A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}，则A ΔB ＝________.解析：由已知得A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}＝[0，＋∞)．B ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R}＝[－3,3]，于是A －B ＝(3，＋∞)，B －A ＝[－3,0)，故A ΔB ＝[－3,0)∪(3，＋∞)．答案：[－3,0)∪(3，＋∞)4．(2018·泰州中学高三学情调研)已知全集I ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,3,5}，B ＝{2,3,6}，则(∁I A )∩B ＝________.解析：因为全集I ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,3,5}，所以∁I A ＝{2,4,6}，又因为B ＝{2,3,6}，所以(∁I A )∩B ＝{2,6}．答案：{2,6}一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4}． 答案：{1,2,3,4}2．(2018·启东一中测试)定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝{1，a,7}是优集，则实数a的值为________．解析：依题意，当x＝1时，|4－x|＝3∈A，当x＝7时，|4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|0<x<5}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集，B＝{x|0<x<5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：{1,3}4．(2017·盐城三模)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C 的子集的个数为________．解析：因为A∩B＝{1,3,5}，所以C＝{1,3,5}，故集合C的子集的个数为23＝8.答案：85．设集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，则实数m的值是________．解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，则m＝0.答案：06．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1<x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}⊆B，所以a≥2.答案：[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·全国卷Ⅱ改编)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．答案：{1,3}2.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．解析：由题图可知阴影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x ＝2k－1，k＝1,2，…}，得M∩N＝{1,3}，有2个．答案：23．(2018·启东中学高三测试)已知a≤1时，集合{x|a≤x≤2－a}中有且只有3个整数，则实数a的取值范围是________．解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0,1,2三个整数，所以a ＝0符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a <4，解得－1<a <0，此时，集合中有0,1,2三个整数，所以－1<a <0符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－1,0]. 答案：(－1,0]4．(2018·杭州模拟)已知集合A ＝{x |1≤x <5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32.②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]5．(2018·通州中学高三测试)设U ＝R ，A ＝(a ，a ＋1)，B ＝[0,5)，若A ⊆∁U B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∁U B ＝(－∞，0)∪[5，＋∞)，又A ⊆∁U B ，所以a ＋1≤0或a ≥5，解得a ≤－1或a ≥5.答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)6.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．答案：{x |0≤x <6}7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， 因为B ＝{x |－1＜x ≤5}，所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}9．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 解析：因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}． 答案：{5,6,7,8,9}10．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．(2018·启东检测)已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x 2＋x －6≤0}， (1)当a ＝0时，求A ∪B ，A ∩∁R B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝{x |0≤x ≤3}，又B ＝{x |－3≤x ≤2}， 所以∁R B ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，所以A ∪B ＝{x |－3≤x ≤3}，A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}． (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3，a ＋3≤2，解得－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围为[－3，－1]．12．(2018·南京高三部分学校联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R}，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1,5]． 由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)． 所以M ＝[3,5]．(2)因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2.故实数a 的取值范围为(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若 A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018，故A ＝{x |1<x <2 018}．由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB ＝________.解析：由题意知，要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12}3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为Bp 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇒/ p A 是B 的真子集集合与 充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒p B 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔qA ＝B p 是q 的既不充分又不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/ pA ，B 互不包含1．给出命题：“若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有________个．答案：32．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案：充要3．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是________． 答案：“若x ≤y ，则x 2≤y 2”4．“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的________条件．解析：若x >0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x ≥1是x ＋1x≥2的充分不必要条件．答案：充分不必要1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．设a ，b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 的方向相同”的________条件． 答案：必要不充分2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°， 结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角考点一 四种命题相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的________命题．解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：否2．(2018·常州一中测试)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．解析：命题的条件是p ：α＝π4，结论是q ：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，显然非q ：tan α≠1，非p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：若tan α≠1，则α≠π43．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．考点二 充分、必要条件的判定重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2018·泰州中学高三学情调研)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的________条件．解析：当a ＝0时，f (x )＝x 3，所以函数f (x )是奇函数，当函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数时，f (－x )＝－x 3＋ax 2＝－f (x )＝－x 3－ax 2，所以2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．答案：充要2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的____________条件． 解析：因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2， 綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/ 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要[由题悟法]充分、必要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC 中，“A ≠60°”是“cos A ≠12”的________条件．解析：当A ＝60°时，可以推得cos A ＝12；当cos A ＝12时，由于A ∈(0，π)，也可以推得A ＝60°，故“A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件. 即“A ≠60°”是“cos A ≠12”的充要条件．答案：充要2．(2018·启东中学检测)设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则p 是q 的________条件．解析：因为x 2－x －20>0，所以x >5或x <－4，所以p ：x >5或x <－4.因为log 2(x －5)<2，所以0<x －5<4，即5<x <9，所以q ：5<x <9，因为{x |5<x <9}{x |x >5或x <－4}，所以p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2017·北京高考改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________________条件．解析：因为m ＝λn ，所以m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. 当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要考点三 充分、必要条件的应用 重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·启东中学高三检测)已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知A ＝{x |x ＜4}，且A B ，所以a ＞4. 答案：(4，＋∞)2．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根，当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2，综上知n ＝3或4.答案：3或4[由题悟法]根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}，因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞)2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018·海门中学高三测试)已知命题p ：“若|a |＝|b |，则a ≠b ”，命题q ：“若a ＝b ，则|a |≠|b |”，则p 是q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”)答案：逆否命题2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x－1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的________条件． 解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，所以m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2018·南京模拟)有下列命题： ①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题． 答案：②③5．若x >5是x >a 的充分条件，则实数a 的取值范围为__________________________． 解析：由x >5是x >a 的充分条件知，{x |x >5}⊆{x |x >a }，所以a ≤5. 答案：(－∞，5]6．(2018·苏州中学检测)已知集合A ＝{x |x (x －3)<0}，B ＝{x ||x －1|<2}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．解析：因为集合A ＝(0,3)，集合B ＝(－1,3)，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________． 解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”2．(2018·南通中学高三测试)已知a ，b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的________条件．解析：圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的圆心为(a ，b )，半径r ＝2，直线x ＋y ＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d ＝|a ＋b |1＋1＝2，解得|a ＋b |＝2.即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·南通模拟)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的________条件．解析：因为3a>3b>3，所以a >b >1，此时log a 3<log b 3；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．答案：充分不必要 4．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是________(填序号)．解析：①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1. 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真． 答案：①③④5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.答案：(0,3)6．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的________条件．解析：p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2018·常熟中学测试)给定下列命题： ①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①因为Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”是真命题．答案：①②④ 9．下列命题：①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a >b ⇒/ a 2>b 2，且a 2>b 2⇒/ a >b ，故①不正确；②a 2>b 2⇔|a |>|b |，故②正确；③a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故③正确． 答案：②③10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件．解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2，所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以716≤y ≤2，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.12．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xmx －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：因为命题p 是真命题， 所以0<m <6，m ∈N ，①所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xmx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <1m . 由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 12x >1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12. 因为命题q ，r 都是真命题，所以A B ，C A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1m ≤4，1m >12.②由①②得m ＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的________条件． 解析：当等比数列{a n }的首项a 1<0，公比q >1时，如a n ＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；反之，若等比数列{a n }为递增数列， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1，所以必要性不成立，即“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0，综上，实数a 的取值范围为[－3,0]．答案：[－3,0]3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． 解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意． 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2.当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎨⎧3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }， 则a ≤2或a ≥43，即a <0.当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)． 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词对应学生用书P51．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和存在性命题名称形式全称命题存在性命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)[小题体验]1．命题p：∃x∈R，x2－x＋1≤0的否定是_____________________________________．答案：∀x∈R，x2－x＋1>02．(教材习题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为______________________________．答案：存在两个等边三角形，它们不相似3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题：①p∨q；②綈p∧綈q；③綈p∨q；④p∧綈q.其中为真命题的序号是________．解析：由题设可知：p是真命题，q是假命题；所以綈p是假命题，綈q是真命题；所以p∨q是真命题，綈p∧綈q是假命题，綈p∨q是假命题，p∧綈q是真命题，故①④正确．答案：①④1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]1．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”，其否定为_______________________________． 答案：若ab ＝0，则a ≠0且b ≠02．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等． 答案：存在两个全等三角形的面积不相等考点一 全称命题与存在性命题基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则命题p 的否定是“________”． 答案：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>02．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是“________________”． 答案：∃x ≥2，x 2＜43．(2018·启东高三测试)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )＝x ＋4x ，所以f ′(x )＝1－4x 2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，又因为g (x )在[2,3]上的最小值为g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.答案：(－∞，1]4．(2018·南通中学调研)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”为真命题，则a ≥e；若命题q ：“∃x ∈R ，x2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．答案：[e,4][谨记通法]1．全称命题与存在性命题的否定。
2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题01 集合与常用逻辑用语 (含解析)
第 一 章 集合与常用逻辑用语集合的基本运算【背一背重点知识】 1.集合的基本概念指定的某些对象的全体称为一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.a 是集合A 的元素记作: a A ∈ a 不是集合A 的元素记作: a A ∉(1) 集合的性质 确定性 无序性 互异性 (2) 集合的表示：列举法、描述法、韦恩图法、区间法(3) 常见的数集：N （ 自然数集 ）、 *N 或+N （ 正整数集 ）、Z （ 整数集 ）、Q （ 有理数集 ）R （ 实数集 ） 2.集合与集合的关系：交集，并集，补集A B ⋂={}x x A x B ∈∈且A B ⋃={}x x A x B ∈∈或{}U x A x x A C U ∉∈=且|3.真子集：集合A 是集合B 的真子集，记作 A ≠⊂B 【讲一讲提高技能】1. 必备技能：集合的表示，集合的概念，集合的运算.2. 典型例题：例1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N = （ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3] 【答案】A【分析】：通过数轴表示可求两个集合的公共部分.例2.集合{}24,031x y x Q x x xP -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=，则=⋂Q P （ ）A ．(12]，B ．[12]，C ．),1()3,(+∞⋃--∞D ．[12)， 【答案】A【练一练提升能力】1. 已知集合已知集合{}{}22,0,2,20A B x x x =-=--=，则A B = （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}0D ．{}2- 【答案】B【分析】：分别求出集合A 和集合B ，最后求交集.【解析】：由题意知{}{}2,0,2,21A B =-=-，，因此{}{}{}2,0,221=2A B =-⋂- ， 2. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，集合{}3,4B =，则()U C A B =（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}4 【答案】D【解析】由题()U C A B {}{}{}2,43,44=⋂=，选D .利用关系或条件求解参数范围问题【背一背重点知识】 1.A B B A ⊆⊆⇒且A B = 2.A B A ⋂=⇒A B ⊆ A B A ⋃=⇒B A ⊆【讲一讲提高技能】1.必备技能：借助数轴，将集合间的相互关系在数轴上表示出来，先作出不变的集合，再在数轴上将变动的集合作出，使之满足条件.2.典型例题：例1.集合}{{}20,,A x x B x x a =+<=<若A B A = ,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2--，∞ B ．[)∞+，2- C ．(]2-，∞ D ．[)∞+，2 【答案】B【解析】由题意得，}{{}2,,A x x B x x a =<-=<要使得A B A = ，即A B ⊆，则2a ≥-，故选B ．例2已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22,B x m x m m R =-≤≤+∈．(Ⅰ)若A B A ⋃=，求实数m 的取值；(Ⅱ)若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的取值范围. 【答案】：(Ⅰ) 1m =；(Ⅱ) 12m ≤≤【练一练提升能力】1.已知集合{}{}11,1A x x B x x a =-≤≤=-≤≤，且()()A B A B ⋃⊆⋂，则实数a =（ ）A .0B .1C .2D . 3【答案】B【解析】由(A ∪B )⊆(A ∩B )易得A ∪B ＝A ∩B ，则A ＝B ，∴a ＝12.已知全集U R =，集合{|13}A x x =-≤≤，2{|log ()1,}B x x a a R =-<∈． （Ⅰ）若2a =，求；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(){}21|≤≤-=x x B C A U ；（Ⅱ）11≤≤-a考点：集合的交运算；子集；补集；利用逻辑联结词探求参数问题【背一背重点知识】 1.命题的四种形式与相互关系原命题：若P 则Q ； 逆命题：若Q 则P 否命题： 若P ⌝则Q ⌝ 逆否命题：若Q ⌝则P ⌝2.命题的条件与结论间的属性：若P Q ⇒，则P 是Q 的 充分条件 ，Q 是P 的 必要条件 . 3.全称量词与存在量词全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个， 每一个等； 存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；全称命题P :,()x M p x ∀∈ 否定为:,()p x M p x ⌝∃∈⌝ 特称命题P :(),x M p x ∃∈ 否定为():,p x M p x ⌝∀∈⌝. 【讲一讲提高技能】1必备技能：四种命题以及相互关系；充分条件与必要条件的理解；全称命题与特称命题. 2典型例题：例1.在ABC △ 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c . 若1,30,a A == 则“60B =”是“b =”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件. 【答案】A例2：已知两个关于x 的一元二次方程2440mx x -+=和2244450x mx m m -+--=，求两方程的根都是整数的充要条件． 【答案】1=m试题分析：由两方程都有实数解得到120∆>⎧⎨∆>⎩，得到m 的取值范围，由方程的根为整数可结合根与系数的关系可知两根和，两根之积为整数，从而得到m 的限定条件，从而求得m 的值试题解析：∵2440mx x -+=是一元二次方程，∴m ≠0． 又另一方程为2244450x mx m m -+--=，且两方程都要有实根，∴21222(4)160164(445)0m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴244445Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴m 为4的约数． 又∵⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5,14m ，∴m ＝－1或1． 当m ＝－1时，第一个方程0442=-+x x 的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， ∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【练一练提升能力】1.命题p ：实数x 满足22430x ax a -+< (其中0a >)，命题q ：实数x 满足12302x x x ⎧-≤⎪⎨+≥⎪-⎩.（Ⅰ）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()2,3；（Ⅱ）(]1,2（Ⅱ）由(Ⅰ)知p ：3a x a <<则:3p x a x a ⌝≤≥或，:23q x <≤，则:23q x x ⌝≤>或，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则,p q q p ⌝⇒⌝⌝≠>⌝且∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,2． 2.已知a R ∈，命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.. 【答案】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.（一） 选择题（12*5=60分）1. 已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】,a b 是实数，∴“0a > 且0b >”⇒“0a b +>且0ab >”；“0a b +>且0ab >”则0ab >得a 与b 同号，又0a b +>，所以必有“0a > 且0b >”，∴“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >” 的充要条件，故选C ．2.已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1A B ⋂=，则A B ⋃=( )A .{}0,1,3B ．{}1,2,4C .{}0,1,2,3D ．{}0,1,2,3,4【答案】C3. 设集合{}2320M x x x =++<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 M N =（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}1x x <- D ．{}2x x ≤-【答案】A 【解析】试题分析：{}21M x x =-<<-，{}2N x x =≥-，故{}2M N x x =≥- ，选A ．.4．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A5.命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A .4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤【答案】C【解析】原命题等价于“2a x ≥对于任意[]1,2x ∈恒成立”，其充要条件是4a ≥，所以C正确．6.设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,3,5M =，{}2,5N =，则Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）【答案】B【解析】Venn 图中阴影部分表示的集合是(){}{}{}1,3,41,3,51,3U C M N ⋂=⋂=,故选B7.已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=，则m =（ ）A .0B ．03或C .1D ．13或【答案】B【解析】由A B A ⋃=得B A ⊆，有m A ∈，所以有3m m ==，即3m =或1m =或0m =，又由集合中元素互异性知1m ≠，故选B .8．已知x 为实数，条件2:p x x <，条件1:2q x>，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B9．以下说法错误的是 ( )A .命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.D .若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥.【答案】C【解析】若p q ∧为假命题，则只需,p q 至少有一个为假命题即可．10. “222a b ab+≤-”是“0a >且0b <”的( )A .必要不充分条件B .充要条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要 【答案】A【解析】()22220a b a b ab ab +++=≤00000a a ab b b <>⎧⎧⇔<⇔⎨⎨><⎩⎩或，则选A. 11.已知命题:p R ϕ∃∈，使(x )s i n f ϕ=+为偶函数；命题:,cos 24sin 30q x R x x ∀∈+-<，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C【解析】当2k πϕπ=+时，函数()f x 是偶函数，故命题p 是真命题；2cos 24sin 32sin 4sin 2x x x x +-=-+-22(sin 1)0x =--≤，故命题q 是假命题，故选C ．12.已知命题1:22x x p y R -=-函数在上为增函数，2:22x x p y -=+函数在R 上为减函数，则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:q p p ∧⌝中，真命题的是（ ）A .13,q qB .23,q qC .14,q qD .24,q q【答案】C【解析】因为1p 为真命题，2p 为假命题，因此12p p ∨、()12p p ∧⌝为真，其余为假命题. （二） 填空题（4*5=20分）13.若命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]3,0-14..已知集合()()(){}0,1,1,1,1,2A =-，(){},10,,B x y x y x y Z =+-=∈，则A B ⋂=______.【答案】{}|1x x >- 【解析】因为{}{}{}211|3|12,log 01|93|x A x x x B x x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<=-<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩⎭>>，所以A B = {}|1x x >-． 15. 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是____ ____．【答案】①②④【解析】由题意知，∴s q ⇔，①正确；p r s q ⇒⇒⇒，∴p q ⇒，但q p ≠>，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．16.下列说法中①命题“21,1x x ==若则”的否命题为“21,1x x =≠若则”②“1x >”是“0x >”的充分不必要条件③对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件 ④“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件其中说法正确的有 （写出所有真命题的编号）．【答案】②③17. 下列命题中真命题为 ．（1）命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是“20,0x x x ∃≤->”（2）在三角形ABC 中，A>B,则B A sin sin >．（3）已知数列{n a }，则“12,,n n n a a a ++成等比数列”是“212n n n a a a ++=”的充要条件（4）已知函数()1lg lg f x x x=+，则函数()f x 的最小值为2 【答案】（2）。
(江苏专用)高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语《第1讲 集合的概念和运算》课件 理 苏教版
在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的 运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函 数的性质．常用逻辑用语重点考查四种命题及其相互关系、充 要条件，主要出现在填空题、解答题的证明或求解的语言叙述 中，简单逻辑联结词、新增加的量词近几年没有在小题中出 现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解 性知识只是考查其最基本的含义． 从考纲要求及近几年的试卷分析，特提出以下几点备考策略：
1．集合主要以小题形式考查，涉及集合的表示方法、集合之 间的关系和运算，常与其他知识交汇(如方程、不等式、函数 等)，要学会不同数学语言之间的转换． 2．对于充要条件，要理解其概念，要会从“充分”和“必 要”两个方面判断，对于充要条件，复习时要给已足够的重 视． 3．其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需 提高要求．
2n－1 2n
个，A 的非空子
个．
(5)集合相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B.
3．集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B (2)交集：A∩B＝ {x|x∈A，且x∈B} (3)补集：∁UA＝{x| }． ． }，U为全集，∁UA表示A
x∈U，且x∉A
第1讲 集合的概念和运算
基础梳理
1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性 、 互异性 、 无序性 ． (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系， 用符号∈ 或 ∉ 表示． (3)集合的表示法：列举法 、 描述法 、 图示法 、区间法．
(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N＋)；整数集 Z；有 理数集 Q；实数集 R. (5) 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 个 数 划 分 ， 集 合 可 以 分 为有限集 、 空集 、 无限集 ．
高三数学集合与常用逻辑用语
C
)
解析 借助数轴求解． ∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或 x≥2}， 又∵A＝{x|x<a}， 且 A∪(∁RB)＝R， 利用数轴易知应有 a≥2，故选 C.
y＋2 6．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝{(x，y)| ＝1}， x－2
－2)} N＝{(x，y)|y≠x－4}，那么(∁UM)∩(∁UN)＝{(2, __________.
－
(B B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x∈R，tan x＝2
)
C．∃x∈R，lg x<1
解析 对于 A，正确；对于 B，当 x＝1 时，(x－1)2＝0， 错误；对于 C，当 x∈(0,1)时，lg x＜0＜1，正确；对于 D，∃x∈R，tan x＝2，正确．
5．已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且 A∪(∁ RB)＝R， 则实数 a 的取值范围是 A．a≤1 C．a≥2 B．a<1 D．a>2 (
1 1 {－2，0，3} BA，则实数m的取值集合是 ________________ ．
解析
A＝{－3,2}
∵BA ∴B＝{－3}或{2}或∅. 1 若B＝{－3}，则m＝ ； 3 1 若B＝{2}，则m＝－ 2； 若B＝∅，则m＝0， 1 1 故所求集合为{－2，0， 3}．
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x ＋b}，则b＝________. 2
，3}，B＝{2 ，4} {4}， (∁ UA)∩ (∁ UB)＝ {1,5},则 A＝{2 ______ ______.
5．研究集合问题，一定要理解集合的意义 ——抓住集合 的代表元素． 如 {x|y＝ lg x}—函数的定义域；{y|y＝ lg x}—函数的值 域； {(x， y)|y＝ lg x}—函数图象上的点集． 如 (1)设集合 M＝{x|y＝ x－ 2}，集合 N＝{y|y＝ x2，
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书 理 苏教版
第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书理苏教版1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果A⊆B，并且A≠BA B (或B A)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}补集设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}【知识拓展】1.若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ×)(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1.(教材改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B＝__________.答案{－1，1，5}解析∵A＝{－1，5}，B＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}.2.已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝x－3}，则A∩B＝__________.答案{x|3≤x≤5}3.(教材改编)设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x≥m}.若A∩B＝∅，A∪B＝R，则m＝________. 答案 1解析∵A∩B＝∅，A∪B＝R，∴B＝∁U A，故m＝1.4.(2016·某某改编)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________. 答案{1，4}解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10；即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值X 围是____________. 答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2016·某某模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)8 (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1，2，6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3，4，8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6，7，11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8个元素.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·某某模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________. ①－1∉A ②－11∈A③3k 2－1∈A (k ∈Z ) ④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________. (2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是__________________.答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值X 围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为____________.(2)(2016·某某模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值X 围是____________.答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值X 围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·某某前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案 (1){7，9} (2){x |－2≤x ＜1}解析 (1)U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值X 围是____________. (2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________. 答案 (1)(－1，＋∞) (2)4解析 (1)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)由题意可得{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x >5}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围为__________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值X 围为________.答案 (1)a ≤2或a >3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值X 围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为________. 答案 45解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故AB 中元素的个数为45.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值X 围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所某某数a 的取值X 围是(－∞，－1]∪{1}. 答案 (1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·某某某某暑期检测)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，则A ∪B ＝________. 答案 {0，－1，1}解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{0，－1，1}.2.(2017·某某月考)已知集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝__________. 答案 {1}解析 因为A ＝{x |0<x <2}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1}.3.(2016·某某模拟)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________. 答案 8解析 因为A ∩B ＝{1，3，5}，所以C ＝{1，3，5}，故集合C 的子集的个数为23＝8.4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.答案{1}解析因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值X围为__________.答案[0，＋∞)解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.6.(2016·某某模拟)已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁U A)＝______________.答案{x|2<x≤3}解析∵A＝{x<－1或x>3}，∴∁U A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，∴B∩(∁U A)＝{x|2<x≤3}.7.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值X围是__________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.8.(2015·某某改编)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝__________.答案{x|1<x<2}解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}.9.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.答案 4解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1，2}. 由题意知B ＝{1，2，3，4}.∴满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________. 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.12.(2016·某某模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·某某某某新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________.答案 3word解析按P*Q的定义，P*Q中元素为2，－2，0，共3个.*14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案 6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.*15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.11 / 11。
(完整word版)高三总复习 集合与常用逻辑用语---讲义
第一章集合与常用逻辑用语1.集合与元素(1) 概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2）集合中元素的特征：1 确定性：作为一个集合，必须是确定的2 互异性：集合中的元素必须是互异的3 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3）元素与集合的两种关系：∈（属于）∉（不属于）（4）集合的分类：有限集，无限集，空集（5）常用的数集及其表示符号（6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示图示子集集合A中的任意一个元素都在集合B中（即x∈A，则x∈B）A⊆B（或B⊇A）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B等集集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集A=B交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B={x｜x∈A，且x ∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B={x｜x∈A，或x∈B}名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号N N+N＊Z Q RBAB AA（B）A BA B补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合U A={x ｜x ∈U ，且x ≠A}．3.集合间基本关系的几个结论（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集（2）任何一个集合都是它本身的子集，A ⊆A 。
空集只有一个子集，即它本身。
（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； 若A B ，B C ，则A C（4）含有n 个元素的集合有n 2个子集，有n 2-1真子集，有n 2-1非空子集，有n 2-2个非空真子集。
4.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫命题。
正确的叫真命题，错误的叫假命题。
（2）复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
(江苏专用)高考数学总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语《第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存
3．(2011· 镇江统考)已知命题p：“∀x∈R，x2＋2x－3≥0”， 请写出命题p的否定：________. 解析 全称命题的否定形式是“任意”改“存在”，结论对 立，所以为“∃x∈R，x2＋2x－3＜0”． 答案 ∃x∈R，x2＋2x－3＜0 4．(2011· 宿迁联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜ 0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析 由题意，得“∀x∈R，x2＋(1－a)x＋1≥0是真命题”， 所以Δ＝(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3. 答案 [－1,3]
逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义 相同，如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x ∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词 “或”时，要注意分析三种情况．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语，都是表示 事物的个体或部分的词叫做存在量词．并用符号“∃”表 示．含有存在量词的命题叫做存在性命题 ．特称命题“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x) ．
3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x)
④
判断含有逻辑联结词的命题真假，主要是把其中单个命题的 真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑联结词的命题真假 判断的准则进行．
【训练1】 (2010· 新课标全国改编)已知命题p1：函数y＝2x－2
x
－
－
在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2 x在R上为减函数，则在命
题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2) 中，真命题是________． 解析 因为y＝2x与y＝－2－x是R上的增函数，所以y＝2x－2－x 在R上为增函数，因为y＝2x＋2－x是偶函数，它在R上不具有单 调性，所以p1真p2假，从而p1∨p2与p1∧(綈p2)为真命题，即 q1，q4正确． 答案 q1，q4
2016高三数学一轮复习专题——-集合与常用逻辑用语
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
第36页，共166页。
【解题提示】先简化集合A,再求交集.
【规范解答】选A.由已知得A={x|x≤-1或x≥3},
故A∩B={x|-2≤x≤-1}.
第37页，共166页。
命题角度2:求并集
【典例4】(2015·南阳模拟)设全集U=R,集合A={x|2x-x2>0},
(1)忽视B=∅的情况导致解析不完整.
(2)当B≠∅列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.
第28页，共166页。
【规律方Байду номын сангаас】
1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点
(1)根据两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而 转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且 常要对参数进行讨论.
合是
.
【解析】由A=B,且0∈B,故集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0, 那么集合A中只能是x+y=0,此时就是在条件x+y=0下,{x,y}={x2,xy},
即
x x
或y 2 x,
0,
解得xx2yy, 0或,
答案:{x(1y,-1y),,(-1,1)}xy x.
x 1, y 1,
第9页，共166页。
【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x≠0,即x≠0且x≠-1.
(2)错误.∅只有一个子集.
(3)错误.{x|y=
}={x|x≥1}, x 1
{y|y=
}={y|y≥0}.
x 1
(4)错误.集合A是数集,集合B是点集.
高中数学复习课件-回扣一 集合与常用逻辑用语
环节一
环节二
环节三
环节四
策略(四) 回扣一 集合与常用逻辑用语 结 束
4．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能 推出 A，且 A 不能推出 B；而“A 是 B 的充分不必要条件”则是 指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.
环节一
环节二
环节三
环节四
x－1＜－3，即 x＞4 或 x＜－2，所以 B＝{x|x＜－2 或 x＞4}，∁RB
＝{x|－2≤x≤4}，A∩∁RB＝{－1，2}．
环节一
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策略(四) 回扣一 集合与常用逻辑用语 结 束
2．(2016·河北三市联考)若命题“∃x∈R，使得 sin xcos x＞m”
是真命题，则 m 的值可以是( )
策略(四) 回扣一 集合与常用逻辑用语 结 束
策略（四）∣考前回归主干基础知识──考场解题气定神闲
考前几天，此时应开启“静养心态”模式．在适当保温训练的 同时，应回归基础，归纳方法，查缺补漏，以简单、平和的心态 迎接人生大考．每天温故一个知识板块，在快乐学习中将状态调 整到最佳．
环节一
环节二
环节三
环节四
5．对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量 词，变为特称命题，特别要注意的是，由于有的命题的全称量 词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易将全称命题只 否定判断词，而不否定省略了的全称量词．
环节一
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环节三
环节四
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环节四：适当保温训练，树立必胜信念
高三数学专题复习 回扣一 集合与常用逻辑用语 理
教学资料范本高三数学专题复习回扣一集合与常用逻辑用语理编辑：__________________时间：__________________回扣一集合与常用逻辑用语陷阱盘点1混淆集合中代表元素的含义描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．[回扣问题1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________．陷阱盘点2集合运算时，忽视空集∅的特殊性遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A ∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．[回扣问题2]集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．陷阱盘点3集合问题中易忽视端点值取舍注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[回扣问题3]已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁U A)∪B等于()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)陷阱盘点4混淆“否命题”与“命题的否定”“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．[回扣问题4]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________．陷阱盘点5分不清“充分条件”与“必要条件”的推出关系要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[回扣问题5]“cos α＝12”是“α＝π3”的________条件．陷阱盘点6含有“量词的命题”的否定忽视“量词的改变”要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题，如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．[回扣问题6]设命题p：∀x∈R，e x－x＞0，则綈p为________．陷阱盘点7命题中“参数取值”问题，忽视转化思想的活用求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[回扣问题7]若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2＞0成立，则实数x 的取值范围是________．回扣一集合与常用逻辑用语1．∅[集合A表示实数集R，B表示直线x－y＝1上的点集，因此A∩B＝∅.]2．0或1或1 2[∵B＝{1，2}，且A∪B＝B，∴A⊆B，则A＝∅，A＝{1}或A＝{2}，因此a＝0，a＝1或a＝12 .]3．C [由A ＝(－∞，1]，得∁U A ＝(1，＋∞)，又B ＝[0，2]，∴(∁U A )∪B ＝[0，＋∞)．]4．否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b .5．必要不充分 [当α＝π3时，cos α＝12，但cos α＝12⇒/ α＝π3， ∴“cos α＝12”是“α＝π3”的必要不充分条件．] 6．∃x 0∈R ，e x 0－x 0≤0 7．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞[原命题化为，存在a ∈[1，3]时，使(x 2＋x )a －2x －2＞0成立．设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2，a ∈[1，3]． 若f (a )≤0恒成立，则⎩⎨⎧f（1）≤0，f（3）≤0，解之得－1≤x ≤23，因此存在a ∈[1，3]时，f (a )＞0时，x 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.]。
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回扣一集合与常用逻辑用语
陷阱盘点1 混淆集合中代表元素的含义
描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
[回扣问题1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________．
陷阱盘点2 集合运算时，忽视空集的特殊性
遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A ∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
[回扣问题2]集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．
陷阱盘点3 集合问题中易忽视端点值取舍
注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[回扣问题3]已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁U A)∪B ＝________．
陷阱盘点4 混淆“否命题”与“命题的否定”
“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[回扣问题4]已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________．
陷阱盘点5 分不清“充分条件”与“必要条件”的推出关系
要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .
[回扣问题5]“cos α＝12”是“α＝π3
”的________条件．
陷阱盘点6 含有“量词的命题”的否定忽视“量词的改变”
要注意全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．
[回扣问题6]设命题p ：∀x ∈R ，e x
－x ＞0，则綈p 为______．
陷阱盘点7 命题中“参数取值”问题，忽视转化思想的活用
求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[回扣问题7]若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________．
回扣一 集合与常用逻辑用语
1．∅ [集合A 表示实数集R ，B 表示直线x －y ＝1上的点集，因此A ∩B ＝∅.]
2．0或1或12
[∵B ＝{1，2}，且A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，则A ＝∅，A ＝{1}或A ＝{2}，因此a ＝0，a ＝1或a ＝12
.]
3．[0，＋∞) [由A ＝(－∞，1]，得∁U A ＝(1，＋∞)，
∴(∁U A )∪B ＝[0，＋∞)．]
4．否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；
命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b .
5．必要不充分 [当α＝π3时，cos α＝12，但cos α＝12⇒/ α＝π3
， ∴“cos α＝12”是“α＝π3
”的必要不充分条件．] 6．∃x 0∈R ，e x
0－x 0≤0 7．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ [原命题化为，存在a ∈[1，3]时，使(x 2＋x )a －2x －2＞0成立．设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2，a ∈[1，3]．
若f (a )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解之得－1≤x ≤23，因此存在a ∈[1，3]时，f (a )＞0
时，x 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞.]。