2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 2 排列 第2课时 排列的应用 北师大版选修2-3(1)

跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44 种，而由高到低 有从左到右和从右到左的不同的站法， 所以共有 2·AA4477＝420(种)不同的站法.
解答
解答
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A25 种方法. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35 种方法. 根据分步乘法计数原理，共有A25·A35＝1 200(种)方法. (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解 用间接法.
解析 答案
5.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数 共_2_4_0_个. 解析 分为两类：当首位选 2 或 4 时，末位有 A12种选法，中间三位有 A34种 排法，故有 A12A12A34＝96(种)排法. 当首位选 3 或 5 时，末位有 A13种排法，中间位有 A34种排法，故有 A12A13A34 ＝144(种)排法. ∴比20 000大的五位偶数共有96＋144＝240(个).
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解析 答案
3.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，
排成一列陈列，要求同一种画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，
那么不同的陈列方式的种数为
√A.A22A44A55
B.A23A44A55
C.A44A55A33
D.A44A55
解析 先把每种品种的画看作一个整体，而水彩画只能放在中间，
第一章 §2 排 列
第2课时 排列的应用
学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简 单的实际问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点 排列及其应用
1.排列数公式
n！
Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (n，m∈N＋，m≤n)＝ n－m！ .
解答
反思与感悟
典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需 用分步乘法计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不 同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在 用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取.
跟踪训练1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上 表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的 信号，则一共可以表示多少种不同的信号？ 解 第1类：挂1面旗表示信号，有 A13种不同的方法； 第2类：挂2面旗表示信号，有A23 种不同的方法； 第3类：挂3面旗表示信号，有A33种不同的方法. 根据分类加法计数原理，得可以表示的信号共有 A13＋A23＋A33 ＝3＋3×2＋ 3×2×1＝15(种).
总的可能情况是 A57种，减去甲在首位的A46种，再减去乙在末位的A46种.注
意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需补回一次 A35
种，所以共有 A57－2A46＋A35 ＝1 860(种)排法.
解答
反思与感悟
“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素 入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先. (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在 其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置. 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一 会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.
跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ 解 先排歌唱节目有A55 种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选 4个放入舞蹈节目，共有 A46 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法 有 A55·A46 ＝43 200(种)方法. (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、 美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多 少种不同的排课程表的方法？ 解 6门课总的排法是 A66 ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节， 有 A55 种排法；数学排在最后一节，有 A55 种排法，但这两种方法，都包 括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 A44 种排法.因此符 合条件的排法有 A66－2A55＋A44 ＝504(种).
解答
(2)能被3整除的五位数； 解 能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有 {1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有 A55个和 A14A44个. 故能被 3 整除的五位数有 A55＋A14A44＝216(个).
解答
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第 几项. 解 由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A55个数，首位数 字为 2，万位上为 0,1,3 中的一个，有 3A44个数， ∴240 135 的项数是 A55＋3A44＋1＝193， 即240 135是数列的第193项.
的故排 有法AA3377种＝数84占0(全种体)不全同排的列排种法数. 的A133 .
解答
反思与感悟
这类问题的解法是采用分类法.n 个不同元素的全排列有 Ann种排法，m 个 不同元素的全排列有 Amm种排法.因此 Ann种排法中，关于 m 个元素的不同 分法有 Amm类，而且每一种分类的排法数是一样的.当这 m 个元素顺序确 定时，共有AAmmnn 种排法.
则油画与国画放在两端有 A22 种放法，再考虑4幅油画本身排放有 A44 种方 法，5幅国画本身排放有A55 种方法，故不同的陈列法有A22A44A55 种方法.
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解析 答案
4.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有_2_4_0_种参赛方案.
123演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，
则不同的演讲次序共有
A.240种
B.360种
√C.480种
D.720种
解析 第一步：排甲，共有A14 种不同的排法；
第二步：排其他人，共有 A55种不同的排法，因此不同的演讲次序共有 A14A55
＝480(种).
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Ann ＝ n(n－1)(n－2)…2·1 ＝ n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝ 1.
2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
题型探究
类型一 无限制条件的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ 解 从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元 素的一个排列，所以共有 A37 ＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？ 解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘 法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.
解答
反思与感悟
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限 制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有： (1)首位不能为0. (2)有无重复数字. (3)奇偶数. (4)某数的倍数. (5)大于(或小于)某数.
跟踪训练5 (1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数有多少个？
解答
反思与感悟
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原 则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆 绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元 素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元 素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插 入不相邻元素.
解答
类型二 排队问题
命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种 不同的站法. (1)男、女各站在一起；
解 (相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列， 有A33种排法， 女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A44 种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有A22种排法， 由分步乘法计数原理知共有A33·A44·A22 ＝288(种)排法.
命题角度3 特殊元素与特殊位置问题 例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求 解下列问题： (1)甲不在首位的排法有多少种？
解答
(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象，先满足特殊位置. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A26 种方法. 第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A35种方法. 根据分步乘法计数原理，有A26·A35 ＝1 800(种)方法.
解答
命题角度2 定序问题 例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 解 甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有AA2277＝2 520(种) 不同的排法. (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同
的排列方法？
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序
解答
(2)男生必须排在一起；
解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有 A33·A55 ＝720(种)不同的排法. (3)男生不能排在一起； 解 (不相邻问题插空法)先排女生有A44 种排法，把3名男生安排在4名女 生隔成的5个空中，有 A35 种排法，故有 A44·A35 ＝1 440(种)不同的排法. (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 解 先排男生有A33 种排法.让女生插空，有 A33A44 ＝144(种)不同的排法.