方程的根与函数零点评课
高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
§3.1.1 方程的根与函数的零点一、导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。
1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象：①方程2230x x --=与函数223y x x =--；②方程2210x x -+=与函数221y x x =-+；③方程2230x x -+=与函数223y x x =-+；教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x 轴交点坐标的关系。
容易知道，①中方程的两个根为121;3x x =-=，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为121x x ==，函数图象与x 轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。
在上面的三个例子中，我们发现：方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。
2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表）0>V0=V0<V方程12b x a -+=V ，22b x a--=V122b x x a==-无根函数（2b a-+V ，0）（2b a--V，0）（2b a-，0）无交点学生自行验证上述结论，结论成立。
3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？ 函数y=f(x)与x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。
若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。
结论依然成立。
二、构建概念 由上述结论可知，函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。
那么，怎样用数学语言来描述零点呢？ 请看课本第87页的定义： 定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
【高中数学公开课专家点评范例】《函数的零点与方程的根》教学设计点评
《函数的零点与方程的根》教学设计点评杨XX（昆明市数学骨干教师）《函数的零点与方程的根》是解释方程与函数的联系，用函数的观点来研究方程，将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，为后面二分法求方程近似解与解不等式等其他知识奠定基础，起着承上启下的作用。
本节内容以函数图象为主要载体，通过本节课的学习研究，使学生从“数”“形”两个层面理解函数零点这个概念，突出“数形结合”的数学思想。
田红月老师这节课的教学教学设计和实施教学中体现了以下几个方面的特点：一、紧扣教材和大纲要求，围绕教学目标，采用“问题—探究—应用”的教学模式，通过问题串引出研究对象，通过合作探究生成新知，通过应用巩固新知，以函数图象为主要载体，运用信息技术手段，并用几何画板作出了部分超越函数的图象，通过观察加深对定理的理解，使学生构建一个从具体到抽象的过程，提高了课堂效率，有效达成教学目标。
二、充分体现以学生为主体的教学理念，学生在小组合作中不仅获得了知识，还在学习体验中学会合作和分享，符合新课程理念的新要求，教学设计贴近学生，从学生熟悉的函数建构概念，进而引发学生对知识的应有和理解。
精心设置问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，有效突破了重点难点。
三、揭示数学的本质，在实施教学过程中指导学生学习方法，注重数形结合，化归与转化等数学思想的渗透，使学生对知识的掌握不仅仅停留在浅表，还在深层次的问题上有独立思考的时间和空间。
总之，这节课比较准确地把握了学生的认知规律，数学的本质属性和数学教学的内在联系，理解准确，思路流畅，层次分明，设计紧凑，问题引领，关注过程，注重思维，是一节教学有效度很高的课。
建议在后期的教学中继续探索，并能适当降低语速，以期使每一个学生都能完全参与到教学体验中来。
方程的根与函数的零点 评课稿
方程的根与函数的零点评课稿方程的根与函数的零点评课稿“方程的根与函数的零点”评课稿（屯溪一中陈志斌）又是一次省级优质课大赛，我作为一名参赛选手亲身经历了参赛的全过程，通过学习、交流、听课以及专家的点评，让我获益颇多，它激励并指导我在今后的教学中扬长避短，争取更大的进步。
这次活动中有这么一位参赛选手，先是在备课之前自告奋勇提出上这次教学活动的第一节课，再是面对全场爆满（甚至还有十多位老师站在后面）场面的从容和淡定，给我留下了深刻的印象，他就是亳州一中的陈飞老师，课题是“方程的根与函数的零点”。
本节内容就是人教版高中新课程数学必修课程1第三章“函数与方程”的第一节，彰显函数与方程及数形融合的关键思想，阐明方程与函数之间的本质联系，同时为下节“用二分法谋方程的对数求解”和时程的“算法”等自学内容打下基础，起至着承上启下的促进作用。
本节课我深入细致听讲和自学，并详尽地记录了他的非政府教学过程，现就这堂课刊登一些本人的观点：一、好的方面1．“问题一”开门见山地明确提出用函数思想化解方程根的问题，代普雷本节课的教学目标。
从学生的心智冲突中，引起学生的好奇心和求知欲，通过直观的鼓励，促进问题进一步的探究。
“问题二”和“问题三”以学生熟识的二次函数图象和二次方程为平台，观测方程与函数形式上的联系，从而成功推展至一般方程f(x)=0的实数根与适当函数y=f(x)图像之间的关系。
T5800堂课的教学设计：逐层铺垫，由特定至通常，恰当地采用多媒体和计算器，使学生直观形象地认知问题，介绍科学知识的构成过程。
2．渗透了化归与转换、数形结合的数学思想，采用“启发―探究―讨论”教学模式，精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现的机会，开拓了学生的数学思维。
另外，通过讲解例题与练习训练归纳出函数零点存在性定理，将抽象的问题转化为直观形象的图形，更利于学生理解定理的本质，从而突出本节的重点，突破难点。
3．陈老师本节课准备工作比较充份，教态自然大方，语言、表情平易近人，面部表情很多样，擅于煽动学生，营造了随心所欲、活跃的课堂氛围，他的非政府教学引起了学生较低的自学兴趣，基本充分发挥出来学生的自学主体作用。
高中数学_【课堂实录】方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
多媒体，教材五、教师导学过程（一）新知探究如图为函数()f x在[]4,4-上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程()0f x=的实根的个数？问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？1、函数的零点对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
引申：三个等价问题：函数f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点练习1.下列图象表示的函数中没有零点的是：( A )该问题由学生自主探究完成.体现数学中的转化思想练习1考察函数零点等价于函数图象与x轴交点横坐标练习2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.2、函数零点存在性定理 （1）定理探究思考1：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A 地到B 地是否一定要渡过这条小河？思考2：练习2考察函数零点等价于对应方程的根.()()()()()()()()2331;224;323;41log .xx f x f x x x xf x f x x +==++=-=-()()0f a f b ⋅<将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。
请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？A、B两点在x轴的两侧思考3：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？()()0f a f b<思考4：A，B间的函数图象连续不断,且()()0f a f b<，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？（2）定理生成函数零点的存在性定理:如果函数()y f x=在区间[],a b上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b<，那么，函数()y f x=在区间(),a b内有零点，即存在(),c a b∈,使得()0f c=，这个c 也就是方程的根。
思考：判断下列结论是否成立.（3）例题解析结合思考问题引导学生给出定理总结：定理使用中注意的问题方法一：零点存在性定理练习：函数的零点所在的一个区间是（B ）．A （-2，-1）B（-1，0) C ( 0,1 ) D (1,2)变式训练：判断函数()23xf x x=+的零点个数．由于函数f(x)在R上单调递增，且f(-1)f(0)<0,故只有一个零点.方法二：图象法()23xf x x=+通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。
“方程的根与函数的零点”教学设计、教学反思与点评
①／ １ ＞ ， ２ ＞ ；② ｆ １ ＞ ， （ ） ０ ③＿ １ ＜ ， （ ） ｆ（） ０ Ｏ （） ０ｆ ２ ＜ ； 厂 ） ０ （
／（ ） ；④ ＿（ ） ， ２ ＞０ ２ ＜０ 厂 １ ＜０ ｆ（ ） ． 思考 ４ ：一般地 ，如果函数 Ｙ＝ （ ） 厂 在区间［ ，６ 上 的图象 ｏ ］
是连续不断 的一条曲线 ，那么在什么条件下 ，函数 Ｙ 厂 ） 区 ＝ （ 在
．
教师 ：我们把使方程ｆ ｘ ＝ （ ） ０成立的实数 称作函数 Ｙ 厂 间（ ，６ 内一定有零点？ ＝ （） 。 ）
的零点 ． 这是我们本节课的第 一个知识点．
‘
教师 ：我们看到 ，当函数值 从正 到负 ，从负到正 ，必然经
我们开始学 习第 三章 “ 函数 的应用 ” 本 章我们将 运用 函数 的思 ．
通 过表格与 图象 ，从 具体 的二次 函数 上升到一般 的二次 函
想， 建立 函数模 型 ，去解决现实生活 中的一些简单 问题 ． 为此 ， 数 ，剖析一元 二次方程 的根 与对应的二次 函数 图象 与 轴交点 的横坐标之 间的关系． 从而得出结论． 今天 的课 ，我们就是要准备必需要的工具．
ｊ
激发 求知欲 ，从 而进入课题——利 用函数 的性质 、图象去探 究
方程 的根的情形． 出 “ 给 函数 零点”的定义 ，得到 等价 关系，探
究零 点存在 的条件 ，引 出 “ 零点存在性定理 ” ．对定理辨析 ，利 它可 以用十字相乘法或求根公式求解． 方程 （ ） ，它是一个 一元五次方程．次数越高 ，方程越复 ２呢 用定 理 解 决教 材例 １ 实 战 演练 ， 归纳提 升 ，一 气呵 成 ． ．再 数学史上 ，人们总希望像低次方程那样去求解 ，但经 过长期 关键 词 ：函数零 点 ；零点存在性 定理 ；数形 结合 ；函数与 杂． 努 力 ，都无 果而终 ，事实上不可能．１２ ，２ 的挪威天 才 ８ ４年 ２岁 方程 数学家阿贝尔 （． ．ｂｌ ８ ２ １２ ）成功地证明了五次及 以 Ｎ ＨＡ ｅ，１０ － ８９ 上的一般方程没有根式解． 方程 （ ） ３ 呢？有实数根吗？它不是一元二次方程 ，没有 ，没
教学设计与反思优化——方程的根与函数的零点
教学设计与反思优化——方程的根与函数的零点数学组封荣旭函数是中学数学中的核心概念，其核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，给出函数零点的概念，目的是要用函数的观点把所有的中学代数问题都统到函数的思想指导之下。
方程的根与函数的零点这节课是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识后，学习方程的根与零点之间的关系，并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，在浸入函数与方程的思想同时，也为下节二分法求方程的近似解和后续学习的算法提供了基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要，也是现在教学和多媒体结合的良好素材。
综合考虑到本节课的地位和知识点导向性，现将教学设计准备和课后反思优化过程呈现以进一步优化教学质量。
一、课前设计准备1.学情分析在两个月的教学中，学习者已系统地掌握了函数的概念及性质、基本初等函数知识，对数形结合、分类讨论和转化思想已能够理解和运用，基本功相对比较扎实，并具有一定的自主学习能力和勇攀科学高峰的探究精神。
2.重点难点本节课重点是方程的根与函数零点的关系及零点的存在性定理的深入理解与应用，难点在于发现与理解方程的根与函数零点的关心，探究发现函数存在零点的方法。
3.目标制定本节课在知识技能方面，应注重理解函数零点的概念，能够结合具体方程说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系。
理解函数零点存在性定理，了解图象不间断的意义及作用；在过程与方法方面，经历类比归纳应用的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力。
初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；在情感态度方面，体会函数与方程的形与数、动与静、整体与局部的内在联系，体验发现规律的快乐与体会事物间相互转化以及特殊到一般的辩证思想。
4.教学策略遵循由浅入深、循序渐进的原则，采用启发探究讨论归纳总结探究式教学模式，引导学生分析问题由数到形、由形到理，为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是函数与方程思想的理论基础。
《方程的根与函数的零点》教学设计及反思
《方程的根与函数的零点》教学设计及反思一、教材内容的本质、地位、作用《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章函数的应用第一部分的内容。
普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。
第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。
本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。
本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。
由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。
二、教学目标分析（一）知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法. （二）过程与方法：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
（三）情感与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生自主学习、合作探究的良好学习品质；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
高中数学_方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
<<方程的根与函数的零点>>教学设计（一）启发引导，初步探究1.已知二次函数：（1）322--=x x y （2）122+-=x x y （3）322+-=x x y 试问x 取哪些值时，？0=y 并画出相应函数图象设计意图: 结合二次函数图象，判断方程根的存在性及根的个数，为理解函数的零点，了解函数的零点与方程根的联系作准备，充分发挥学生的主观能动性。
2. 【思考】使0=y 的x 的值在作图过程中的作用？设计意图：把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．由此的出结论: 二次函数图象与x 轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
（二）归纳总结，形成概念归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)图象与x 轴交点的横坐标。
定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
由此引出课题：等价关系设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，并与原有的知识形成联系，利用方程与函数的联系，培养学生观察、归纳的能力，并渗透数形结合的数学思想。
辨析练习：练习1、（1） 函数12+=x y 的零点为（ ) A.21- B.(21-,0 ) （2）求出复习回顾中三个函数的零点.设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.例.判定下列函数零点的个数并求出函数的零点（1））（0)(≠+=k b kx x f （2）)0()(2≠++=a c bx ax x f（3）x x x f 1)(-= （4）设计意图：培养学生的知识转化应用能力，并给学生实践动手的机会，为下面函数零点存在性判定作铺垫。
（三）讨论探究，揭示性质观察例中第（4）题图象探究：函数在零点两侧的函数值符号有何规律？ 相邻两个零点之间符号有何规律？ 设计意图：在学生尚缺乏一定数学知识的提前下，为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利得条件，这个问题以学生的经验为基础，并带有一定的趣味性和开放性，留给学生充分的空间，试图催生学生的深层思维，通过学生自身思维碰撞揭示结论，对突破教材的难点又重要的意义。
高一数学《方程的根与函数的零点》公开课教案(教学反思、点评)
方程的根与函数的零点一、教学内容分析函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。
在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。
之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二、学生学习情况分析地理位置：学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。
再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。
这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。
全国高中数学 青年教师展评课 方程的根与函数的零点(云南楚雄东兴中学)
达标训练
1、若函数f ( x)在区间[1, 4]上连续，且f (1) 0, f (4) 0， 则函数f ( x)在区间(1, 4)上（ A、至少有一个零点 C、一定没有零点
A
）
B、至多有一个零点 D、必有唯一零点
2、函数y 2 x x的零点所在的区间是（ B ） A、 (2， 1) B、 (1 ， 0) C、 (0， 1) D、， (1 2)
（ 2， 3） 这个零点所在的区间为_________.
小结
－、本节课完成的两个主要任务：
1、引入函数零点的概念，得到判断函数有无零点的两种 方法：几何法、代数法。
2、用零点存在性定理判断连续函数y = f ( x)有没有零点, 若有,如何确定该零点所在的大致的区间
二、本节课强调的数学思想和方法：
2
知识升华
1、方程f ( x) = 0有实数根 Û 函数y = f ( x)的图象 与x轴有交点 Û 函数y = f ( x)有零点
达标训练
1 . 1、函数y = log 2 x的零点是 _____ －2 2、函数y = 2 x + 4的零点是 ________ .
0 3、函数y =3x 的零点个数是 ________ .
3.1.1方程的根与函数的零点
情景创设
探本寻源
求下列一元二次方程的根,并迅速作相应的二次函数的图象. 1.方程x 2 - 2 x - 3 =0 与函数 y＝x 2 - 2 x - 3 2.方程x 2 - 2 x + 1 = 0与函数 y＝x 2 - 2 x + 1 3.方程x 2 - 2 x + 3 = 0与函数 y＝x 2 - 2 x + 3 请回答下列问题： 上述一元二次方程有没有根？有几个根？ 相应的二次函数图象与x轴有没有交点？有几个交点？ 这些根和图像与x轴的交点的横坐标之间有什么关系?
方程的根与函数的零点点评
课例点评
听了吴老师的《方程的根与函数的零点》一节课，感觉亮点颇多：
1、目标明确，重点突出、难点突破。
2、整节课充分体现了学生学习的主体地位，从提出问题、探究发现、解决问题、结论归纳到运用结论，基本都由学生完成，充分培养了学生的数学思维、数学发现、数学运用、数学表达等多方面的综合能力。
3、整节课的引入，从国家一级保护动——物藏羚羊的迁徙开始，十分新颖和独特。
一方面能培养学生热爱祖国、热爱大自然的情操，培养他们的环保意识，另一方面还能让学生体会到“数学源于生活而又高于生活”、“数学服务于生活”的学科精神。
4、整节课以“问题解决”为主线，设计了一系列紧扣目标、紧扣学情、有梯度、递进高效的数学问题，让学生在“问题解决”中形成数学知识、思想和方法，再在反过来用形成的数学知识、思想和方法解决相关的数学问题，学以致用。
5、整节课充分体现了数形结合的数学思想方法，数学学科的理性特点定十分突出，充分体现了“感性出发、理性回归”的数学学习规律。
6、整节课遵循从特殊到一般、再从一般到特殊的数学思维方法，不断地温故知新、吐故纳新，达成了学生有效的同化学习与顺应学习。
总之，这节课总体来说相当成功，堪称为一节数学精品课。
2014年11月8日。
高中数学教师备课必备系列(函数的应用)：专题四 《方程的根与函数的零点》教学设计与反思
教学环节教师活动
预设学生行
为设计意图
设置思考，引导学生归纳总结结论
教师：设置思考，引导学生解方程，画函数图象，
分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点
的概念．
思考：一元二次方程0
2=
+
+c
bx
ax)0
(≠
a的
根与二次函数)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y的图像有什么
关系？
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应
的二次函数的图象：
○1方程0
3
2
2=
-
-x
x与函数3
2
2-
-
=x
x
y
○2方程0
1
2
2=
+
-x
x与函数1
2
2+
-
=x
x
y
○3方程0
3
2
2=
+
-x
x与函数3
2
2+
-
=x
x
y
学生：独立思
考完成解答，
观察、思考、
总结、概括得
出结论，并进
行交流．
情境设
置应符
合认知
规律：
从具体
到抽
象，从
特殊到
一般，
从学生
熟悉的
经验和
有兴趣
的问题
开始。
教师：根据学生由特殊情况归纳出来的结论推广到
一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
提问个
别学生回答，
其他同学进
行补充。
全国高中数学 青年教师展评课 方程的根与函数的零点教
方程的根与函数的零点教学设计一、教学内容解析《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.二、教学目标设置1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.3. 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感受学习、探索、发现的乐趣.教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.教学难点：理解函数零点存在的判定条件.三、学生学情分析：通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数=()y f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过x 轴（次数不限），即曲线与x 轴一定有公共点（个数不限），可以用()()<0f a f b 来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.四、教学策略分析1.教学方法的选定在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.在零点概念的教学上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理 解.2.突破重、难点的策略 对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）的变式引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数)(=x f y ，],[∈b a x ，若在开区间(,)a b 内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.五、教学过程六、板书设计。
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课题：方程的根与函数零点课型：新授课
讲课人：岳老师高一数学
学校：邹城市实验中学
采用五环四维教学模式：
学习目标自主学习合作探究解惑提高练习检测
一课堂开始展示了学习目标，
二自主学习，引例简洁，学生易于理解接受
求下列方程的根．X-2=0 画出下列函数的图象y=x-2
三零点定义的推出水到渠成
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
三合作探究数形结合得到零点的存在性定理，以填空形式出现有创意
若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是，且，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b)内，函数f(x)有零点 函数y=f(x)的图像方程f(x)=0 .
四解惑提高不空洞说教，利用图像实例说明连续不断的重要性，进
而提出问题：1有零点时，什么情况下有一个，（单调时）什么情况下有多个？（函数不单调时）2定理可逆吗？画二次函数图像进行说明，学生易于接受，3进而分析f(a) f(b)>0时零点的情况，对定理进行了透彻的剖析。
五练习检测，以课中案出现，练习题目有层次，有深度。
例如零点
性质的应用，若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；六课堂小结：知识点，题型总结详细，并以一首诗结束新课，给学生美的享受。
诗歌如下：
函数零点方程根，形数本是同根生。
函数零点端点判，图象连续不能忘。