化归方法在中学数学中地应用
数学中的化归思想
数学中的化归思想文章摘要：化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。
在中考中几乎都要用到化归思想。
化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。
总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。
关键词：未知熟悉化难为易化繁为简数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法。
化归思想是一种重要的数学思想，包括转化和归结。
所谓化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。
如将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将二元方程组化为一元方程，将四边形问题化为三角形问题等等。
实现这种转化和归结的方法有；换元法、待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到抽象等等方法。
化归思想是一种非常重要的数学思想，抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高和解决数学问题的根本所在，所谓化归思想，就是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易。
化归思想在于把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法。
在中考中几乎都要用到化归思想。
化归的目的在于通过不断的转化将不熟悉、不规范、复杂的问题化归为熟悉、规范、模式化、简单的问题。
总之，数学中的一切问题的解决都离不开化归思想。
从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。
因此，我们应始终“盯住目标”。
即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。
例如，怎样才能求出问题中的未知量？怎样才能证明问题中的结论？这就需要我们在确定化归的方向和方法时，既要保持一定的灵活性，多作些必要的尝试，又应有一定的韧性，即只要还有一线希望，就不要轻易放弃已有的工作。
知识的丰富和发展是离不开化归这一思想方法的，它使后继的知识找到发展的根基，找到解决问题的方向。
然而，化归意识并不是教给学生一个模式就能解决问题，而是需要通过长期的培养，逐渐形成的。
浅谈化归方法在中学数学中的应用
某些多项式转化为特殊方程等等 ， 这里就不全部列举 出来， 下面
只说一 下 利用 “ 补转 移 ” 割 的方 法 去解 决 问题 。 例 ２ 已知 △Ａ Ｃ的 中线 ＝ Ｓ ￣ｅ 口 ｓ ｎｒ ， 证明 ： Ｓ 把 、￣ ｃ ａ 化 归 到 与 Ｓ 的关 系 上 来 ， Ｓ ｅ都 ｃ △ 为
ｒ ＋３ｂ ＝ 一５ｃ ０
《 无穷的玩艺》 中曾经指出， 以下的推理过程对于数 学家 的思维
过 程来 说是 十分 典 型 的 ， “ 学 家 们 往 往 不 是 对 问题 进 行 正 即 数 面 的攻 击 ， 不 断地 将 它 变形 ， 到把 它 转变 成 能够 得 到解 决 而是 直
的问题 ” 。她还 以生动 的 比喻 对 这 种 思 维 方式 作 了 如下 风 趣 的 描述。
此 ， 结 Ｇ． 连 Ｃ 。
的“ 化归方法” 是指数学家们把待解决或未解决 的问题 ， ， 通过
某 种转 化过 程 ， 结 到一 类 已经 能 解 决 或 者 比较 容 易 解 决 的 问 归 题 中去 ， 终求 获 原 问题 之 解 答 的一 种 手 段 和 方 法 。化 归 方 法 最
贯穿于中学数学 ， 对于解题是十分重要的思想方法之一。 由于化归方法应用比较广 ， 按不同的应用 又有许多不同的 分类， 那么 ， 在实际应用 中怎样进行化 归呢？概括来 说， 主要有
同理 亦有 Ｓ 伽 １ ６ Ｓ ＾ △ ／ △
‘ ． ．
、
向基本 模型化归
Ｓ 形ｃ ｍ
＝ Ｓ△＾ｃ Ｂ
１ ３ Ｓｔ ｓ ／ ￣ｃ Ａ
我 们 已经 知 道 ， 型 法 是 数 学 反 映 现 实 世 界 的基 本 方 法 。 模
对 于数 学模 型 ， 们 已经 找 到 了模式 化 的解 决 方 法 ， 我 而化 归方 法
数学化归思想在中学数学中的应用案例-最新教育文档
数学化归思想在中学数学中的应用案例数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质，是培养学生学习能力的桥梁。
在数学中，我们通常采用化归思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
化归思想，是解决数学问题的一种重要思想，它贯穿于整个数学。
对初中学生来说，能熟练、灵活运用这一方法，可减轻不少负担，更会因此而爱上数学。
因此，化归思想为提升学生解决问题的能力，培养学生的数学素养发挥着重要的作用。
一、化归思想的特性（一）设计化归目标，确保化归实效化归作为一种思想方法，包含了化归的目标以及化归的方法和途径三个要素。
因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标，选择好方法。
而设计目标是问题的关键。
设计化归目标时，要把要解决的问题化归为规律问题，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。
（二）力求等价性，确保逻辑正确化归包括等价化归和非等价化归。
中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。
（三）注重多样性，研究转化方案在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。
因此研究设计合理、简单便捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都生搬硬套的方法，以免造成繁难不堪。
二、化归思想在数学教学中的应用案例（一）把新问题转化为旧问题把新的问题转化为熟悉的问题，运用学生熟悉的知识、经验和问题来解决。
同样，能将待解决的新问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以将已知的知识和经验用于面临的新问题，以此激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，那么就更有利于问题的解决。
例如，教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。
浅谈化归思想
浅谈化归思想数学思想方法是数学的灵魂所在，而化归思想不仅是一种重要数学思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种非常有效的数学思维方式和解题方法。
一、什么是化归从字面上来看，化归，可以理解为转化和归结。
数学方法论中提到的“化归”，是指把需要解决的问题，运用一些手段方法先把它转化（或再转化）然后归结到已经能解决（或容易解决）的问题中去，采用迂回的方式以先求转化后的问题答案再反过来，求未解决的问题，最终得到原问题答案的一种方法。
数学中的化归形成，还与数学本身的根源有关即公理化方法。
数学总是用已有的概念去定义新出现的概念，并且以此为据去处理解决各种新出现的未解决问题或者说把未知转化归结为已知，这就是化归思想。
化归有三个最基本的要素：化归对象（把什么进行转化），化归目标（化归对象转化成什么形式），化归途径（用什么方法进行转化）。
二、化归原则一般情况下，化归的时应遵循以下几个原则：1.熟悉化原则（也叫一般化原则），把我们所遇到的“陌生”问题转化成相对熟悉的问题以便于解答。
2.简单化原则，把复杂的问题转化为简单且容易解答的问题。
这里的简单与复杂是相对而言，简单也可以是解决问题的方案或处理方式简单。
3.直观化原则，把抽象的或内部关系模糊不清的问题转化为比较直观具体的问题。
有利于理清并把握问题涉及的各对象间的相互关系。
4.和谐化原则，指的是在对未知问题进行转化时应注意问题内部的和谐统一，便于制定解决问题的程序和选择处理方法。
5.寻找对立面原则，是指在解决问题时，如果从正面无法处理或很难处理，此时可以解决问题的反面从中找到处理原问题的灵感和方法。
化归的过程中这几个基本原则是相互联系、相互渗透和相互补充的，在解决实际性问题的过程中,常常需要把它们结合起来使用，这样可以让化归过程更加快速和简洁，会收到更好的效果。
三、化归方法进行化归时，选择适当的方法可以使转化处理问题更快捷。
化归有五种基本方法：分割法与组合法、一般化与特殊化法、恒等变形法、RMI方法和基本模型法。
高中数学解题教学中化归法的使用策略
中， 才能更好 的解 决难题。 因此教师 需要在具 体 的高 中数学 的解题 教学 中， 充 分 的展 现化 归法， 将 化 归思想和数 学语言 准确无 误 的传达 给学生 ， 并通过加 强训 练 ， 提 高学 生在解题 中， 使 用化 归法的能力。 ［ 关键词 ］高 中数学 化 归方 法
学 生对 于划归法 的把 握和运 用 ，能够 充分的调 动学生对 基础知识 ， 采 取坐标变换 ， 最终将 一般的二次 曲线 的探 讨化 归
学生的具体 实际情况 ， 注重对学 生化归能 力的培 养 ， 让他们 在 在 数学题 目的解 答 中运 用化 归法 ， 进行 迁移 ， 简化难 题 ， 从 而
高中数学解题 中更好 的理解 、 掌握 、 运 用化归法 。 ２ 在 高 中数学解 题教学 中化 归法使用策 略 做到轻 松答题 。
结经验 ， 将化 归思想发挥 最大的优势 。
在 中学数学教学 中 ，化归方法 渗透 到了整个 中学阶段 的
３ 结 语
在高 中的数学解题教 学 中， 学生的 主体 地位 不能 忽视 ， 教
代数 、几何教学 当中 ，可见其在 中学教材 中出现 的频率相 当 师对学 生的学习能 力的培养非常 重要 ，课堂 不是教师 一个 人 而教 学也不是一 味的灌输 ， 只有充 分的调 动学生 学习 大 。在几何 中 ， 化 归方 法在教材 中往往 采 用平移 、 作 截面 、 的空 间问题 转化为 简单 的几 的积极性 ，运用学生 学习的热情 和能力就 能够很 好的帮 助学
１ 解题教 学 中化归能 力培 养的理论 基础 十分重要 的方 面。教师需要 在教学 的方方面面 注重对 学生能
力的培养 ， 使学生 获得更多 的学习的能力 ， 而不 是单纯 的知 识
例谈化归思想在数学解题中的应用
学们比较两题 目的区别与联系： 显然 ， 在。 ＜ 要 的条件下 ， ｓ ｉ ｎ ｘ ＞ Ｏ ， １ 一
ｓ ｉ ｎ ｘ ＞ Ｏ 且 ｓ ｉ ｗ＋ （ １ － ｓ ｉ ｎ ｘ ） ＝ １ ．若令 ｓ ｉ ｎ ｘ ， ６ ＝ １ 一 ｓ ｉ ｎ ｘ 则两 问题本质上完 全相同 。 至此 。 同学们恍 然大悟 ， 感 叹道 ： “ 这真是 ： 山穷水 复凝无路 ， 柳 暗花明又一村” ——此化归之妙哉 １
图 １
分析 ： 因为 ｎ 棱 锥共有 ｎ ＋ １ 个顶点 ， 任 意两点 可连一直 线 ， 故所有 顶点所 确定的直线共 有 ＋ ， ＝ （ 条）
２ 学会逆 向思维 。 将 复杂 问题单化
对 于 ｎ ） 的计算 可将 问题化归为过 这 ｎ ＋ １ 个顶 点可构成 多少 个 复杂问题简单化是数学解题中运用最普遍的思考方法 ． 一个难 以 三棱锥 ． 因为一个 三棱锥 中共有 ３ 对异面直线——这是 我们所 熟悉的 直接解决 的问题通过对 问题深入观察和研究 ． 转化成简单的 问题迅 速 问题 而 ｎ 棱锥 的 ｎ ＋ １ 个顶点中 ． 任选 四个能构成三棱锥 的必 含棱 锥 求解。例如 ：
．
例 １已 知 ｏ 手 ‘ ， 则 ， （ ） ＝ ｉ 儿 １ ｌ ＋ １ — 等 ５ 儿 等的 Ｉ 最 小 值 — — 。
讲评 时． 我并没有直接就题讲题 ． 而是给 出了下面一道题 目：
【 变 式 】 已 知 ０ ＞ ｏ ， ６ ＞ ０ ￣ ａ ＋ ｂ ＝ １ ， 则 ｝ ＋ 的 最 小 值 为 — — 。
化归与转化思想在解题中地重要性
化归与转化思想在解中学数学习题时的重要性大理一中雷蕾摘要：“数学是使人变聪明的一门学科”.数学思想方法是数学的灵魂,是数学精神和科学世界观的重要组成部分,而化归与转化思想又是数学思想的核心和精髓,真正的数学高手过招,比拼的往往就是数学思想.本文根据前人的研究成果,首先概述了化归与转化思想的含义、联系、区别,使用化归与转化思想所遵循的原则、及化归与转化的几种常见形式；然后结合自己的实习经验探讨怎样实施化归与转化思想在教学中的渗透,最后通过例题分析浅谈自身学习化归与转化思想的经验.关键词：数学思想；化归与转化；化归与转化思想；化归思想；转化思想1引言数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程,是知识转化为能力的桥梁,是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式.数学思想和数学方法是密不可分的.化归与转化思想方法是最基本、最常用的两大数学思想方法之一.1.1化归与转化的含义转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想.转化有等价转化和非等价转化.化归是“转化归结”的简称,是转化的一种.简单的化归思想就是把那些陌生的或不易解决的问题转化成熟悉、易解决的问题的思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,遵循简单化、熟悉化、具体化、和谐化的原则选择恰当的方法进行变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题是上去,最终解决原问题的解决问题的思想,称为化归思想.两者基本上是同一个东西,只是侧重点有一些细微的差异而已.化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去,而转化一般是把较难解决的问题转化为相对比较容易解决的问题上去.化归是找到我们研究的问题是属于哪一类型,属于哪一个知识范围.转化是我们找到解题的思路之后所进行的有目的的一项工作.化归与转化思想是解决数学问题的基本且典型的数学思想.解题的过程实际上就是化归与转化的过程.几乎所有问题的解决都离不开化归与转化,我认为运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确：(1) 化归的对象：解题中需要变更的部分；(2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的问题；(3) 化归的途径[1]：从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维道低维,从复杂到简单.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.它不仅需要有敏锐的洞察力和观察力,更需要有丰富的知识储备.1.2化归与转化在解题时应遵循的原则(1)熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决待解决的问题[2]；(2)简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则 通过化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.和谐统一性原则是化归与转化思想的一项重要原则；(4)回归原则 无论怎么化归与转化,无论转化为什么新的问题,都是手段,不是目的.最终的目的是解决原始问题.因而,最后都要回归到原始问题上来；(5)具体化原则 化归的方向一般应由抽象到具体,即分析问题和解决问题时,应着力将问题向较具体的问题转化,以使其中的数量关系更易把握,如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示,以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确；(6)标准形式化原则 将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归,标准形式是指已经建立起来的数学模式；(7)低层次原则 解决数学问题时,应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题,高次数的问题化归成低次数的问题,多元问题化归为少元问题解决,这是因为低层次问题比高层次问题更直观,更简单.1.3化归与转化的几种常见策略1.3.1陌生向熟悉的转化[3]例1 函数()f x ＝11(1)x x --的最大值是( ). A 、 45 B 、 54 C 、 34 D 、 43分析 该题学生比较陌生,我们应该“化生为熟”.首先讨论分母1(1)x x --的取值范围221331(1)1244x x x x x ⎛⎫--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭.∴有1401(1)3x x <≤--, 所以 ()f x 的最大值是43,故应选（D ）.1.3.2数形结合 把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数以数论形.著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：数形结合百般好,两家分离万事休.这一句话道出了数形结合的重要性.例2 如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ,那么xy 的最大值是( ). A.21 B.33 C.23 D.3 分析 由于方程3)2(22=+-y x 表示的曲线以)0,2(A 为圆心,以3为半径的圆(如图1所示),满足方程的y x ,是圆上的点),(y x P ；而xy 是坐标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率,所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各点连线的斜率的最大值.结合图像,易知直线kx y =与圆3)2(22=+-y x 相切的时候,直线OP 的斜率 k 就是所求斜率的最大值.图1解 32||,3||π=∠⇒==POA OP AP ∴tan POA ∠=即所求x y 的最大值是3,故选D.1.3.3特殊和一般之间的转化例3 求证995099!<（一般到特殊）分析 本题直接证明显然不易,若将其看作特殊形式,观察可知,一般性的结论为：21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>,这个结论一旦证明了,原题自然获解. 证明 先证一般性的结论：当11,!2n n n n +⎛⎫>> ⎪⎝⎭时,有：()1122n n n n++=>= 即 21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>成立.所以,当99n =时,有995099!<. 1.3.4正难则反易原则（反证法） 当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解[3]；例4 设三个方程22x 4mx 4m 2m 30++++=,22x (2m 1)x m 0+++=,()2m 1x 2mx m 10-++-=,中至少有一个方程有实数根,求m 的取值范围.分析 题设中给了三个方程,并且其中至少有一个方程有实数根,要求m 的取值范围,可以根据题意将满足条件的情况分别讨论,以求出相应的m 的取值范围,最后加以归纳、总结.但是,通过进一步分析,我们却发现“三个方程中至少有一个方程有实数根”具体应分为七种情况加以讨论,其中步骤的烦琐可想而知,因此可否换一个角度来思考呢？如从“三个方程中至少有一个方程有实数根”的反面考虑,即“三个方程都没有实数根”时求出m 的取值范围,然后再从实数中排除它,就是所要求的取值范围.解 (1)当m 1=时,方程()2m 1x 2mx m 10-++-=化为一次方程20x =,它有一个实数根x 0=,故m 1=符合题意.(2)当m 1≠时,若三个方程都没有实数根,则有： △22116m 4(4m 2m 3)0=-++<△222(2m 1)4m 0=+-<△()2234m 4m 10=--<解得31<m<24--.从m 1≠的实数中除去31<m<24--,即得31m m 24≤-≥-或,且m 1≠.综上所述,得31m m 24≤-≥-或. 1.3.5空间向平面的转化[4] 在数学解题中,对立体几何问题常常需要化归到熟知的平面几何问题,化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等.例5 设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱1,A A a =11,A B b =11A D c =,,,M N ,P Q 分别是1111,,,A B A D BC CD 的中点.求AMN ∆和CPQ ∆的重心间的距离.1D1HG1C1图2(a) 图2(b)分析这是一个空间距离问题,直接求解可能有一些困难,我们试图把空间距离转化为平面距离.解设长方体的对角面1AC分别与平面AMN∆,CPQ∆交于1,AE C F,则,AE 1C F分别是AMN∆和CPQ∆的中线,如图2(a).设AMN∆,CPQ∆的重心分别为,G H.于是空间的问题转化为平面1AC的问题.如图2(b),只要求出矩形11AAC C中, ,G H的距离即可.设,G H在1,AC C C上的射影是1122,,,G H G H,则2211133G H A A a==,111143G H AC CH G A AC CF=--=-.因为AC14CF AC=.于是11412333G H AC CF AC AC AC=-=-==所以GH==.1.3.6高次与低次的转化（因式分解）在解高次方程时,一般都是设法将未知数的次数降低,以达到便于求解的目的.1.3.7命题的等价转化例7 已知f(x)为定义在实数R 上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数.当02πθ≤≤时,是否存在这样的实数m,使(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的[0,]2πθ∈均成立？若存在,求出所有适合条件的实数m ；若不存在,请说明理由.分析 由奇偶性及单调性→f(x)单调性→关于cos θ的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m 的范围.解 由f(x)是R 上的奇函数可得f(0)=0.又在[0,+∞)上是增函数,故f(x)在R 上为增函数.由题设条件可得(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->.又由f(x)为奇函数,可得(cos 23)(2cos 4)f f m m θθ->-.∵f(x)在R 上为增函数,∴cos232cos 4m m θθ->-,即2cos cos 220m m θθ-+->.令cos t θ=,∵02πθ≤≤,∴01t ≤≤.于是问题转化为:对一切0≤t ≤1,不等式t 2-mt+2m-2＞0恒成立.又∵222(2)4422t t t t -=-++≤---∴4m >-.∴存在实数m 满足题设的条件4m >-1.3.8函数与方程例8 （1997年理科24题）设二次函数()f x ＝a 2x 十bx 十c （a >0）,方程()f x －x =0的两个根满足0<1x <2x <a1.(1)当1(0,)x x ∈时,证明：1()x f x x <<；(2) 设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明102x x <. 分析 本例要分清函数()f x 与方程()0f x x -=是两个不同的条件,0x x =是函数()f x 的对称轴,1x ,2x 则是方程()0f x x -=的根,它们之间的联系通过a ,b ,c 隐蔽地给出,因而充分利用二次函数的性质,引进辅助函数()()g x f x x =-,凸现已知条件的联系,是解题的关键.证明 (1)令()()g x f x x =-,因为1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,所以不妨设 12()()()g x a x x x x =--.当(0,)x a ∈时,由于12x x <,∴ 12()()0x x x x -->.又0a >, ∴12()()()0g x a x x x x =-->,即()x f x <,而：111()()()x f x x x x f x x x g x -=-+-=--112()()x x a x x x x =----12()[1()]x x a x x =-+- 又∵1210x x x a<<<< ∴ 10x x ->, 2221()110a x x ax ax ax +-=+->->, 得1()0x f x ->. ∴ 1()f x x <即1()x f x x <<；(2)由题意知 0x =－ab 2.∵ 1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,即 1x ,2x 是方程2(1)20ax b x +-+=的根.则：121b x x a-+=,12012()1111()2222a x x b x x x a a a +-=-==+-. ∵ 21x a <, ∴ 102x x <. 1.3.9多元向一元的转化（消元法）例9 已知123,,a a a 成等差数列()10a ≠,234,,a a a 成等比数列,345,,a a a 的倒数也成等差数列,问135,,a a a 之间有什么关系？分析 题目中有5个元素12345,,,,a a a a a ,而解题目标是探讨135,,a a a 之间有什么关系,因此24,a a 对求解目标是多余的,需要从多元向少元化归,即在解题时,设法把24,a a 消去.解 由题设1322324435,2,211.a a a a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 为消去24,a a ,从方程组中解出1322a a a +=和354352a a a a a =+,代入2324a a a =得2133533522a a a a a a a +=⋅+.因为30a ≠,则()135335a a a a a a +=+, 整理得2315a a a =.因此135,,a a a 成等比数列. 1.3.10语言的转化例10 对任意函数()f x , x D ∈,可按右图构造一个数列发生器,其工作原理如下：①输入数据0x D ∈,经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉,则数列发生器结束工作；若1x D ∈,则将1x 反馈回输入端,再输出21()x f x =,并依此规律继续下去.现定义 42()1x f x x -=+,(1)若输入04965x =,则由数列发生器产生数列{}n x ,请写出{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据0x 的值；(3)若输入0x 时,产生的无穷数列{}n x ,满足对任意正整数n 均 图3 有1n n x x +<；求0x 的取值范围.分析 本题主要考查学生的阅读审题,综合理解及逻辑推理的能力.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言,函数求值的简单运算、方程思想的应用,解不等式及化归转化思想的应用.解 (1)∵()f x 的定义域为(,1)(1,)D =-∞-⋃-+∞∴数列{}n x 只有三项, 123111,,1195x x x ===-. (2)∵42()1x f x x x -==+,即2320X X -+=.∴1X =或2X =.即01x =或2时,有1421n n n n x x x x +-==+.故当01x =时,1n x =；当02x =时,2n x =*()n N ∈. (3)解不等式421x x x -<+,得1X <-或12X <<.要使12X X <,则21X <-或 112X <<.对于函数426()411x f x x x -==-++, 若11X <-,21()4x f x =>,322()X f X X =<；若112X <<时,211()X f X X =>且112X <<.依次类推可得数列{}n x 的所有项均满足：1n n x x +<*()n N ∈.综上所述,1(1,2)X ∈,由10()X f X =,得0(1,2)X ∈.1.3.11合与分的转化（分论讨论）例11 已知集合2{,1,3},M a a =+-2{3,21,1},N a a a =--+ 若{3}M N ⋂=-,则a 的值为（ ）.分析 该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性.解 ∵{3}M N ⋂=-,∴23{3,21,1}N a a a -∈=--+.若33a -=-, 则a=0,此时{0,1,3}M =-,{3,1,1}N =--,则：{3,1}M N ⋂=-,故不符合集合元素的互异性.若213a -=-,则1a =-,此时{0,1,3}M =-,{4,3,2}N =--.若213a +=-,此方程无实数解.1.3.12复数与实数的转化例12 已知复数z ,解方程_313z i z i -⋅=+.分析 设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件,建立实数方程,化虚为实,解方程组,可以求出复数.解 设(,)z x yi x y R =+∈,则方程可化为(3)(3)13x y y x i i -+-=+.由复数相等,有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩,解得5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴z=－54－34i . 1.3.13常量与变量的转化例13 已知2()log f t t =,t ∈.对于()f t 值域内的所有实数m ,不等式2424x mx m x ++>+恒成立,x 的取值范围是________.分析 根据已知条件,建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想,通过转化就可利用一次函数()g m 的单调性通过数形结合解决问题,体现了函数与不等式之间的转化关系.解 ∵t ∈,∴1()[,3]2f t ∈,原题转化为：(2)(2)0m x x -+->恒成立,为m 的一次函数.当2x =时,不等式不成立.∴2x ≠.令2()(2)(2)g m m x x =-+-,1[,3]2m ∈,问题转化为： ()g m 在1[,3]2m ∈上恒大于0,则1()0,(3)02g g >>,解得2x >或1x <-. 1.3.14 等与不等的转化 相等与不等是数学解题中矛盾的两方面,但是它们在一定的条件下可以互相转化,例如有些题目,表面看来似乎只具有相等的数量关系,根据这些相等关系又难以解决问题,但若能挖掘其中的不等关系,建立不等式（组）去转化,往往能获得简捷求解的效果.例14 已知b a ,都是实数,且11122=-+-a b b a ,求证：122=+b a .分析 利用均值不等式先得到一个不等关系,再结合已知中的相等关系寻求a 与b 之间的关系.利用等与不等之间的辩证关系,相互转化,往往可以使问题得到有效解决.解 ∵,2)1(1222b a b a -+≤-2)1(1222a b a b -+≤-, ∴11122≤-+-a b b a .又11122=-+-a b b a ,21b a -=且21a b -=,即122=+b a .1.3.15 整体与局部的转化例15 函数()f x 满足对任意x ,y 都有()()()1x y f x f y f xy++=+,且当x <0时,都有()f x >0,求证211()()232f f n n >++. 分析 观察对应法则的结构特征,局部对通项变形.整体把握不等式左端数列和“裂项相消法求和”化简,创造使用题设完成证明.解 赋值易知f(x)为奇函数,且当x >0时,都有()f x <0. 由于211(1)(2)32n n n n =++++且()()()1x y f x f y f xy ++=+,故有： 211111211(1)(2)321()12n n n n n n n n -++==+++++-++. 所以局部处理通项逆用对应法则有2111()()()1232f f f n n n n =-++++,整体处理 不等式左端数列和有：2111()()()51132f f f n n ++⋅⋅⋅+++ 111111(()())(()())(()())233512f f f f f f n n =-+-+⋅⋅⋅+-++ 11()()22f f n =-+. 由题设102n >+, 恒有1()02f n <+,则111()()()222f f f n ->+. 故所证不等式211()()232f f n n >++成立.2运用化归思想的经验(1)熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是化归与转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙[5].(2)有目的的实施有效的化归与转化思想,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.(3)注意紧盯化归与转化目标,保证化归与转化的有效性、规范性.化归与转化作为一种思想方法,应包括化归与转化的对象、目标、途径三个要素.因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键.在解题过程中,必须始终紧紧盯住化归的目标,即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.(4)转化的等价性,确保逻辑上的正确.转化包括等价转化和非等价转化,等价转化后的新问题与原问题实质是一样的,不等价转化则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正.高中数学中的转化大多要求等价转化,等价转化要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果.如果在解题过程中没有注意转化的等价性,就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误.数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的,化归与转化也不例外.学生在解题过程中,必须根据问题本身提供的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程,分析解题思维,回味解题中所使用的思想,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法.3结束语数学思想方法是数学的精髓,在中学数学中,化归与转化不仅是一种重要的解题思想,也是一种最基本的思维策略.知道了什么是化归与转化,了解化归与转化的实质,掌握如何进行化归与转化,那么,很多数学问题就迎刃而解了.对于即将毕业走上讲台的我来说,重要的不单是教授学生知识,而且要教会学生透过现象看本质,掌握了数学的思想方法,那么万变不离其宗,在教与学的过程中教师才能很好的把握教材,引导学生灵活处理数学问题,使学生轻松学习.参考文献[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M](1991年版).上海：东北师范大学出版社,1991,79～86.[2]张志淼.数学学习与数学思想方法[M](2006年版).郑州：郑州大学出版社,2006,21～35.[3]赵小云,叶立军.数学化归思维论[M](2001年版).北京：科学出版社,2006,91～100.[4]张青.谈中学数学中的构造性思维[J].邯郸师专学报,1996,1 (2):35-39.[5]黄文斐,徐凡等.思维点拔与能力训练[M](2000年版).辽宁：辽宁大学出版社 2000,16～28.。
中学数学教学中化归思想方法应用研究
中学数学教学中化归思想方法的应用研究摘要：中学数学教学中，最基础的数学教学思想就是化归思想，虽然是基础教学思想，但它却渗透在教学思想的方方面面，重要程度不言而喻。
化归思想对学生中学数学学习具有引导作用，可以激发学生的创新学习思想，更为初中以后的数学学习奠定了基础。
关键词：初中数学思想；化归理论；实践应用新时代的数学课改方向，着力于培养学生学习数学的思想和方法，尤其是新课程越来越普及，方法的归纳总结更成为了中学数学研究的重点，此时，各个中学数学教育中对于解题思想的研究越来越成为教育者共同关注的焦点。
对解题方法有效的归纳总结有利于数学思维的形成，对数学学习的方法应用上有很大好处。
初中学习数学的主要思想归纳为分类讨论、化归以及数形结合等。
而几种数学思想当中最重要也最基础的就是化归思想，这种思想方法在学生整个初中阶段的学习都有涉及，可以有效帮助学生打通数学思想道路上的阻碍，帮助学生建立良好通畅的数学学习思想。
一、认识化归思想1.1化归思想概念在对初中数学进行教授过程中，将正在研究的数学课题或题目运用转化法将其简单化既是化归方法。
这种转化法巧妙地将一道题目中的瓶颈问题得以转移，问题迎刃而解。
直白地讲，就是将复杂的问题简单化，繁琐的步骤明了化，找到数学解题方法的捷径，归纳总结加以应用。
数学解题过程中时刻保持这种解题思想的应用，就会常常有柳暗花明又一村的感觉，久而久之，自身的数学解题能力加强了，解题思想深化了，解题方法更好了。
具体应用比如：很多数学问题往往题目复杂特殊，而且考察的知识点众多，越具有综合性，但利用化归的思想，就可以将题目拆分为几个点，使较综合的题目变得清晰明了，这样在解题时就不会偏离解题方向。
由此可知，化归的思想方法并不像以往的解题方案直接看到题目不管三七二十一就开始解，而是首先对题目有一个宏观的把控，进而将其拆分、变形，使其变成几个小题目，解决起来更加得心应手。
虽然化归本身是一种数学解题思想方法，但运用化归方法时也有细的划分如：构造法、分解组合法、坐标法、消元法、图形变换法、换元法等等。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学中非常重要的一种解题思想，它可以将已知的问题转化为不同但等价的形式，使问题更加简单易懂，从而有助于提高解题的效率和质量。
针对不同的中学数学题型，化归思想都有其相应的应用方法，下面就分别进行讨论。
1. 代数式求值问题代数式求值问题是中学数学中较为基础的题型之一，通过对已知代数式进行化归，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
例如，对于求$A+B$、$A-B$、$A\times B$及$A\div B$的值给定$A=3$，$B=4$，可以分别将其化归为如下形式：$A+B=3+4=7$,$A\times B=3\times4=12$$A\div B=\frac{3}{4}$。
化归后的代数式只需简单计算即可得到答案，相比于直接计算，这种方法更加简便。
2. 几何问题通过化归思想，可以将几何问题转化为代数问题，以达到解题的目的。
例如，已知等腰三角形底角的度数为$60^\circ$，求其顶角的度数。
可以将此问题化归为求等腰三角形底角度数的问题，由于已知底角的度数为$60^\circ$，根据等腰三角形的性质，可得顶角的度数为$180^\circ-2\times60^\circ=60^\circ$。
这种化归方法不仅简化了计算过程，而且能够使复杂的几何问题更加清晰直观，易于解决。
3. 数列问题对于数列问题，化归思想可以通过寻找数列的通项公式来解决。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10个数的值。
可以利用等差数列通项公式$an=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示数列中第n项的值，$a_1$表示首项的值，$d$表示公差，将问题化归为代数问题，计算得到第10个数的值为$3+(10-1)4=39$。
通过化归方法，可以将数列问题转化为代数问题，更加直观，易于解决。
综上所述，化归思想在中学数学解题中有着广泛的应用，可以帮助我们将问题转化为易于理解和计算的形式，提高解题效率和质量。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用化归思想是数学中常见且重要的思想方法之一，它在高中数学函数学习中有着广泛的运用。
化归思想通过将复杂的问题转化为简单的问题，从而更好地理解和解决函数的性质和应用。
本文将从函数的基本性质、函数图像和函数的应用三个方面介绍化归思想在高中数学函数学习中的具体的运用。
化归思想在函数的基本性质中的运用。
函数的基本性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等，这些性质是研究函数的重要基础。
在求解函数的基本性质中，化归思想可以通过等价变形、代入等方法将问题转化为简单的形式。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，要求该函数的顶点，可以先通过求导的办法得到导函数y'=2ax+b，令y'=0，解得x=-\frac{b}{2a}，即可得到x坐标，再将x代入原方程求得对应的y坐标，从而得到顶点。
这里通过将问题转化为代数方程求解的方式，简化了求解的过程，提高了求解的效率。
化归思想在函数图像的研究中的运用。
对于函数的图像研究，化归方法可以将复杂的曲线转化为简单的曲线，从而更好地进行分析和研究。
对于一元高次函数y=x^n (n>0)，为了研究其图像特点，可以先将x的取值范围限制在正数或负数上，然后通过变换坐标轴的方式，得到相应的图像。
在具体研究时，可以通过改变n的值，比较不同情况下曲线的图像特点，从而深入理解函数的性质和特点。
由于一元高次函数的图像较为复杂，通过化归思想可以提取其重要特征，从而更好地进行分析和讨论。
化归思想在函数的应用中的运用。
函数的应用是数学学科的重要组成部分，通过将实际问题抽象为数学问题，然后通过函数的性质和方法进行求解，从而得到问题的解答。
在函数的应用中，化归思想可以将复杂的实际问题转化为简单的数学问题，从而更好地进行求解。
在函数的最值问题中，可以通过化归思想将问题转化为函数的极值问题，然后通过求导和讨论函数的单调性，得到函数的最值点。
这种化归思想的运用，既减小了问题的复杂度，又提高了求解的效率和准确性。
化归方法在数学教学中的应用
评注 ： 了正 切 、 切 的倒 数关 系 以及 万能公 式 用 余 归结 为特殊 角 的正弦值 。
证 ：１ ＋ ｔ５ ｔ５ 赤 一 法５ｇｏ ｃｌ ｇ。 ｔ５ ｇ。 ｌ ＋
ｔ ５盟 一 ！ ： １。 一—— １ 一一一 一
ｔ ５ ｇｌ 。 ｔ ５ ｇ１ 。 ｔ ５Ｃ Ｓ １ 。 ｇｌ 。 Ｏ ５
一
１ 一一 一
ｓｎｌ 。 ｏ ｌ 。 ｉ ５ｃ ｓ ５
下面 就本题 的常规证 明方法进 行探讨 并评 注 。
证法 １ ｇ５ ．ｔ １ 。＋ ｃｇ ５ ｔ １ 。一 ＋ 一
评注 ： 了正 切 、 切的倒 数关 系 ， 切 、 用 余 正 正割 的 平方 关 系 ， 割 、 弦倒 数关 系 ， 弦 、 弦 、 切 的 正 余 正 余 正 评 注 ： 了角 的正 弦 、 弦 、 用 余 正切 、 余切 的商数关 系 ， 弦 、 弦的平 方关 系 ， 正 余 二倍 角公 式 ， 而归结 为 从
问题 ， 归 的方 向是 由未 知 到 已知 、 化 由难 到 易 、 由繁
。－ Ｉ －
２
（ 一ｔ３。。 １ ｇ０ １ ｇ０）±（ ＋ｔ３。 ‘３一 一 ———Ｔ ｒ一 ～Ｔ 一４
评注 ： 了两 角和与 差 的正 切公 式 ， 分后归 的原则 是 熟悉 化 原 则 、 化 简
一 一
为特殊 角 的正 切值 。
证 法 ３：ｇ ５ ＋ ｃｇ ５ 一 ｔ ｌ ｏ ｔ１ 。 ＋
评注 ： 了正切 、 切 的半 角 公 式 ， 分归 结 为 用 余 通 特殊角 的正 弦值 ， 即得 结果 。
高 中代 数教材 上有 这样 一道题 目 ： 证 ｔｌ 。 求 ｇ ５ ＋
关 键 词 ： 法研 究 ； 归 方 法 ； 学 风 格 ； 实 证 化 教 朴
中学数学化归方法及应用
中学数学化归方法及应用化归在数学中是一种常用的方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而便于解决。
在中学数学中，化归方法经常出现在代数和几何的各个领域，并且有着广泛的应用。
下面我将介绍几个常见的中学数学化归方法及其应用。
一、代数中的化归方法1. 同底数幂的合并在代数中，同底数幂的合并是一个很常见的化归方法。
当我们遇到形如2^a\cdot 2^b的乘法时，可以利用同底数幂的合并，化简为2^{a+b}，从而简化计算。
例如，2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7。
2. 分式的通分当遇到分式相加减的情况时，通分是一个常用的化归方法。
通常我们通过找到一个公共的分母，将分子化为通分后的形式，便于计算和比较。
例如，\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}。
3. 二次方程的配方法在解二次方程时，有时候可以利用配方法将二次方程转化为一个完全平方。
例如，对于方程x^2-6x+9=0，我们可以将其化为(x-3)^2=0，从而解得x=3。
二、几何中的化归方法1. 相似三角形的边比例关系在几何中，相似三角形的边比例关系是一个常用的化归方法。
当遇到两个相似三角形，我们可以利用边比例关系来确定它们各个边的关系。
例如，若\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}，则可以利用这个比例关系来求解未知边的长度。
2. 平行线的性质平行线的性质也是几何中常用的化归方法之一。
当遇到平行线与其它直线相交时，我们可以利用平行线的性质来求解所需的角度或长度。
例如，垂直平行线之间的交角均为直角。
利用这一性质，我们可以通过求出与平行线相交的角度，从而解决问题。
三、化归方法的应用1. 方程求解在数学中，方程求解是一个常见的应用场景。
通过采用化归方法，我们可以将方程进行化简，从而得到更简单的形式，进而解方程。
浅谈化归思想在数学教学中的应用
浅谈化归思想在数学教学中的应用在研究和解决数学问题时，借助已知条件将问题转变进而达到解决问题的一种思想——化归思想。
化归思想在中学数学中的应用极其广泛，因此是一种最基本的思维策略。
作为一种有效的数学思维模式，其原则是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知，化综合为基本，这也是人们认识问题的基本规律。
标签：化归思想;数学教学;化归原则;化归方法;教学策略如果说知识是“鱼”，那思想方法便是“渔”，“授之以鱼，不如授之以渔”，这句名言体现了思想方法在学习中的重要性，学生毕业走出校门，不管他们是从事科学工作者，技术人员，还是教育工作者，唯有深深地铭刻于脑中的数学思维方法随时随地的发生作用，而受益终生。
所以数学思想方法相对于数学知识而言，对我们的影响更大。
初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归的涵义“化归”是转化和归结的简称，化就是变化原问题，转化原问题，变化原问题;归说的是变化、转化，变换原问题是有目的、有方向的。
把待解决的问题，通过某种转化过程归结到已解决或较容易解决的问题，最终求得解答的数学思想。
所以，作为一名教育工作者，在平时教学过程中要把这种思想渗透进去，让学生体会其中的精髓。
二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单;化抽象为具体;化生疏为熟悉;化难为易;化一般为特殊;化特殊为一般;化“综合”为“单一”;化“高维”为“低维”等。
为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则，简单化原则，直观化原则，和谐化原则。
1.熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，将新知识转化为旧知识，以便于我们运用熟悉的经验来解决。
在初中阶段的数学知识几乎都是将新问题转化为旧知识而得到的。
如：二元一次方程组转化为一元一次方程;一元二次方程化为一元一次方程;函数问题化为方程问题;方程问题转化为函数图像等等。
一桥飞架南北 天堑变通途——解决数学问题的一般方法：化归
身 的特点决定的 。 首先 ， 数学科学的演绎性 ， 决定 了数学论证大多是使 用 演绎逻辑推理论证 ， 这离不开转化归结 。 其 次 ，数学的形式化特征也 为化归方法 的使用 提供 了 便利条件 。 再 次 ，数学证明的实质从一 定意义上讲就是指 明化归 的方向和 目标 。数学证 明一般要归结为某些 中间定理上去 ， 其实质是一 种化 归过程 。 第四， 客观事物 的普遍 联系性 ， 矛盾 的对立统一 相互转 化性为化归方法提供 了哲学基础 ， 而数学 内部的逻辑联 系 ， 包 括数学知识 的纵 向横 向联 系 ，条件与结论之 间的必然联 系及方 法与方法之 间的联系等 ， 为数学化归提供 了可能 。
ｒ ｓ ｉｎ ａ ｄ ｉ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｉ ｒ ｃｉ ａ ｉ ａｉ ｎ ｅ ｓｏ ｎ ｔ ａ ｐ ｉ ｔ ｎ ｐ ａ ｔ ｌ ｔ ｔ ． ｓ ｃ ｏ ｃ ｓｕ ｏ
Ｋｅ ｒ ｓｂ ｓｃｔ ｉ ｋ ｎ ；０ ｙ ｗｏ ｄ ａ ｉ ｈ ｎ ｉ ｇｃ ｍｍｏ ｒｎ ｉ ｌ ；ｐ ｌ ａｉｎ ｎ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅａ ｐ ｉ ｔ ｃ ｏ Ａｕ ｈｏ ’ ａ ｄ ｅ ｓ Ｆ ｉｉｎ Ｂ ａ ｃ ｆＬ ｎ ｉＵｎ ｖ ｒｉ ， ７ ４ ０ ｔ ｒＳ ｄ ｒ ｓ ｅｘ ａ ｒ ｎ ｈ ｏ ｉ ｙ ｉｅ ｓｔ ２ ３ ０ ， ｙ
文献标识码 ： Ａ
摘 要 化 归是 解 决 数 学 问题 的一 般 方 法 ， 本 篇 主 要 论 述 化 归 的基 本 思想 与原 则及 其 在 中学 数 学 中 几 类 具 体 形 式 的
中学划归思想及其运用
教学交流 Jiao Xue Jiao Liu …………………………………………82FAXIAN JIAOYU 2018/08数学思想是人们从具体数学内容中提炼出来的对数学知识的本质，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想。
数学方法是在实施数学思想、研究数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式，是数学思想的具体体现。
数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽层次不同，但没有绝对的界限，因此常统称为数学思想方法。
化归思想方法是最基本、最常用的思想方法，其他各种思想方法大多渗透有化归思想。
比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体之间的相互转化；各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法都是转化的手段。
化归思想方法是中学数学中一个非常基本的思想方法，在平时的基础知识教学和解题教学中几乎每节课都离不开化归思想。
本文根据前人的研究成果，主要研究了化归思想方法的含义，化归的几种方法，以及化归思想与思维能力的培养。
一、化归思想方法的含义所谓化归，是指在解决数学问题时，常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经能解决或比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答，返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想。
二、化归的几种基本方法实现化归的方法是多种多样的，它涉及中学数学常用的各种思维模式，既运用于代数、几何、三角等初等数学的各个分支，又适用于高等数学的各个学科。
概括起来，常用的化归方法有如下四种：分割法、恒等变形法、特殊化方法、基本模型法。
1.分割法分割法是把一个复杂的数学问题分割成若干个简单易解的问题链，通过对链中的每一个问题的解决，达到整个问题的解决。
2.恒等变形法即把原问题化归为一个与之相“等价”的问题。
例如，利用因式分解法解一元二次方程，利用三角函数恒等变形解三角方程等。
3.特殊化方法化归为特殊情形是数学中一个重要的思想方法，这是因为特殊通常总是比较简单的和容易把握的。
化归方法及在中学数学教学中的应用
㊀㊀㊀㊀㊀化归方法及在中学数学教学中的应用化归方法及在中学数学教学中的应用Һ高㊀超㊀（山东省青岛市即墨区第五中学，山东㊀青岛㊀２６６２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ中学数学离不开化归思想．在数学的解题方法中，化归思想对于提高解题效率㊁提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要的作用．本文将结合数学教法，通过案例分析化归思想在教学中的应用，讨论在教学中如何加强化归思想方法的渗透以及在渗透化归方法时应注意哪些问题等，并提出加强化归思想的教学对策，从而培养学生的化归意识和学习能力．ʌ关键词ɔ化归方法；中学数学；教学；应用一㊁化归思想在数学新知识学习中的应用化归思想在数学新知识学习中的应用很广，我们对新概念的学习往往是建立在旧知识的基础上的．例如，我们对代数的学习是从研究简单的数㊁式开始的，对于复杂的数㊁式，也是通过变换，将其归结为简单的数㊁式，进而解决问题的．在解一元一次方程组和一元二次方程时，仍离不开解一元一次方程，其解决问题的方法就是将问题转化为一元一次方程，然后解一元一次方程，从而得到问题的解．新知识与旧知识之间的联系，关键的一步就是转化．在数学中有一种重要的证明方法：数学归纳法，它也离不开化归法．二㊁化归思想在教学中的渗透数学教材体系的灵魂是数学思想，数学思想能够将数学概念㊁数学命题以及数学问题解决结合在一起，从而形成一个比较完善的体系．在高中数学教材中，化归思想方法出现的频率也比较高，并且渗透到了各个环节中．有些教师教学的时候非常重视做题量，自己做题比较多，也要求学生做大量的题目，为了做题而做题，对于学生解题能力的培养不够重视．做题不是没必要，深厚的解题功底是掌握数学知识的基础，但是我们不能只停留在这个初级阶段，还要理解这些操作背后的思想方法．一般情况下，数学问题的解答往往是通过已知条件来转化问题，从而达到解决问题的目的．教师在引导学生利用化归思想解答问题的时候，需要先对题目解答的过程和步骤进行分析，找到每一步的主要内容和作用，将其组织成为一个整体，然后对学生进行引导，帮助学生找到解答问题的办法和实质，在这种情况下，化归思想的作用便会比较明显．教师以此为基础将化归方法讲解给学生，然后通过化归方法来解答题目，这样能够帮助学生更好地掌握这种方法．学生在学习数学的时候，知识的深化是逐步进行的，这也导致知识发展的不同阶段所反映出的数学思想也各不相同，这也能够将数学思想方法所具有的层次性体现出来．在解答问题的时候，我们经常会遇到需要多次化归的情况，并且有时候化归的方向是不一样的．这便要求我们在应用化归方法的时候，必须重视不同阶段知识再现的情况，和学生一起研究在不同阶段中化归方法形成的整个过程，这样能够启发学生的思维，帮助学生更好地认识化归思想．化归思想方法本身便是在学生思维启发的过程中慢慢形成的．所以，教师在教学的时候，首先需要重视问题解决之后的反思，通过这个过程来进行化归方法的提炼．在这种情况下，学生很容易了解㊁接受和掌握化归方法．并且在这个过程中，我们还需要认识到化归思想方法渗透需要较长的时间，其无法在短期内帮助学生提高能力．学生想要真正掌握化归思想方法必须不断训练，循序渐进地进行．三㊁化归思想在解题中的应用化归思想在数学解题中的应用比比皆是．立体几何中相关的证明题㊁计算题，我们多将其转化到平面几何中来解决，或者将其转化到向量空间中去解决；多数三角函数的计算题或证明题，我们若直接解决会感到很吃力，若换个角度，运用数形结合的思想，将抽象的问题转化到直观的图形中，解决起来就容易多了；对复杂㊁非特殊的数列的求和问题，我们也是将其转化为较为简单㊁特殊的数列进行求和．多数数学问题的解决都离不开化归思想方法，只是所体现的形式不同罢了．总体来说，我们在解数学题时，计算题是利用规定的法则进行化归，证明题是利用公式㊁定理或已经证明了的命题化归，从而使问题得以解决．（１）将未知的问题转化归结为已知的知识把不知道的问题转化成为已经掌握的知识，并将二者结合在一起，然后通过较为熟悉的方法和知识进行新问题的解答，这种转化方式起到的效果比较好．比如，要求空间两条异面直线所成的角，在这种情况下，我们只需利用平行线进行转化，将其转化成为我们比较熟悉的两相交直线所成的角即可．例１㊀如图１所示，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤʊＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于Ｏ点，且ＡＣʅＢＤ，ＡＤ＝３，ＢＣ＝５，求ＡＣ的长．㊀图１分析㊀此题是根据梯形对角线互相垂直的特点，通过㊀㊀㊀㊀㊀㊀平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．解㊀过点Ｄ作ＤＥʊＡＣ交ＢＣ的延长线于点Ｅ，则得ＡＤ＝ＣＥ，ＡＣ＝ＤＥ，所以ＢＥ＝ＢＣ＋ＣＥ＝８．ȵＡＣʅＢＤʑＢＤʅＤＥ又ȵＡＢ＝ＣＤʑＡＣ＝ＢＤʑＢＤ＝ＤＥ在ＲｔәＢＤＥ中，ＢＤ２＋ＤＥ２＝ＢＥ２ʑＢＤ＝４２，即ＡＣ＝４２．（２）将复杂问题转化归结为简单问题在数学问题解答中，将较为复杂的问题简单化是非常普遍的一种方法．若一个问题很难直接解决，那么，我们可以对其进行深入的研究和观察，将其转变成为比较简单的问题，然后再进行求解．特别是将正向思维转变成为逆向思维很有意义，若教师经常对学生进行引导，让其注意问题的分析，并让其逆向思考问题，这样不但能够帮助学生更好地理解相关的逆向知识，还能让学生的思维更加灵活．例２㊀已知ｘ２＋ｘ－１＝０，求ｘ３＋２ｘ２＋２００９的值．分析㊀此题通过 化零散为整体 或利用降次来转化，可使问题得以解决．解法一㊀ȵｘ２＋ｘ－１＝０ʑｘ２＝１－ｘʑｘ３＋２ｘ２＋２００９＝ｘ（１－ｘ）＋２（１－ｘ）＋２００９＝－ｘ２－ｘ＋２０１１＝－（ｘ２＋ｘ－１）＋２０１０＝２０１０解法二㊀ｘ３＋２ｘ２＋２００９＝ｘ（ｘ２＋ｘ－１）＋（ｘ２＋ｘ－１）＋１＋２００９＝２０１０（３）数形之间的转化在数学中，数形转化是非常重要的内容．数形相互转化能够让数形实现和谐统一，这样能够让数学内涵更加形象和直观，能够帮助学生更好地发现和解决存在的问题．比如在有些三角问题和代数问题中，潜在的几何背景比较多，通过图形，学生能更好地了解比较复杂的数量关系和抽象的概念，这样能够让数量关系更加直观，也能够帮助学生找到解决问题的方法．在数学中， 数 与 形 是两种不同的表现形式， 形 能够直观地表现 数 ， 数 则是 形 深刻的描述．二者之间是不可分割的，需要相互进行验证．所以，在转化的时候，我们可以将 数 的问题化归成为 形 的问题来研究， 形 的问题也可以化归成为 数 的问题来解答．例３㊀求ｆ（ｘ）＝２ｘ３－３ｘ＋１零点的个数（㊀㊀）．解法一㊀ｆ（ｘ）的图像如图２所示，所以有３个零点．㊀图２解法二㊀令ｙ１＝２ｘ３，ｙ２＝３ｘ－１，再画出ｙ１和ｙ２的图像（此处图略），我们就很容易看出有３个零点．对于这种问题，如果我们用因式分解的方法直接对其求解，很难找到解决问题的突破口，有时甚至会陷入困境．如果我们改变方向，将抽象的问题转化为与之等价的图像，问题就会变得相对简单明了．（４）实际问题向数学问题的转化归结在数学学习中，我们若是能够将实际的问题转化成数学问题，便能够通过数学理论来实现实际问题的解决．我们需要对应用题中的题型结构以及条件关系进行调整，这样能够让问题的解答变得更加容易，也更能够做到化繁为简．若是有些问题本身便比较复杂，转化比较困难，那么，我们可以采用间接设置未知数的办法来转化，或许这样能够找到问题解答的新办法．例４㊀李伟从家里骑摩托车到火车站，若速度是３０千米每小时，那么其能够在火车开前１５分钟到达，若速度是１８千米每小时，那么其能够在火车开后１５分钟到达．若李伟希望在火车开之前１０分钟到达，那么其应该骑行的速度是多少？分析㊀若直接设未知数，即李伟在火车开车前１０分钟到达火车站，骑行的速度为ｘ千米／时，列方程相当困难．但若设火车开车的时间为ｙ小时，则由距离相等可十分方便地列出方程３０ˑｙ－１５６０()＝１８ˑｙ＋１５６０()，解得ｙ＝１．则ｘ＝３０ˑｙ－１５６０()ｙ－１０６０＝２７（千米／时）．（５）变更问题的结论有时候，我们若能将结论进行转换，那么进行问题的解答也会更加容易．例５㊀设Ａ，Ｂ，Ｃ是әＡＢＣ的三个内角，求证：ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２的最小值为１．分析㊀由正切半角的恒等式可知：ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＢ２ｔａｎＣ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２＝１．则：原题结论可转化为求证：ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＢ２ｔａｎＣ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２．这样，利用转换结论的思想，原题就不难求证．证明：对于任意实数ａ，ｂ有ａ２＋ｂ２ȡ２ａｂ（下转６９页）㊀㊀㊀㊀㊀三㊁分数知识的教学建议１．凸显共同点，重视分数单位的教学依据数系扩张理论，我们可以把整数看成特殊的分数．因此，分数同样既能表示实际事物量的绝对大小，也能表示实际事物量的相对大小，即具有 量 与 分率 的双重性．自然数的计数单位是 １ ，任何自然数都是由若干个１组成的．分数把计数单位向小于１的方向扩展，且不再恒定．但同样，任何分数都是由若干个分数单位组成的．分数的大小比较与四则运算法则基于整数的计数基本原理，相同计算单位量的叠加与比较．所以，很多民族在认识分数时都是先认识 分数单位 （史料上称作 单分数 ）．由此可知，分数单位在分数概念教学中具有重要地位．２．聚焦生长点，夯实对单位 １ 的理解单位１ 是一个重要而又神秘的概念，有时具体，有时抽象，学生是否能灵活地使用它，就反映出了他们对分数的理解程度．我们在比较分数（抽象的）大小及进行分数运算时，都是在一致的单位 １ 之下进行的，但从不去追究这个抽象的单位 １ 到底有多大．因此，对单位 １ 的理解是一个早期蕴伏㊁长期渗透㊁逐步建构的过程．３．用好联结点，发挥各知识间的关联转换作用认识分数是小学生对数系扩张的首次体验．探索数学各知识间的联系，串联成线，形成体系，是学习数学的本质．分数源于人类计量活动经验，既是运算的过程，又是运算的结果，是直观经验与理论构建的桥梁．抓住分数㊁除法㊁比之间的内在关联，搞清 单位１ ㊁对应分率㊁对应量间的关系，重视分数与小数㊁整数间的转换，是掌握分数㊁学好数学的有效举措．坚持和发扬我国在分数教学中的经验和优良传统，有助于提高教学质量．ʌ参考文献ɔ［１］刘京莉，王倩，李佳，张亚婷．多元表征视域下揭示数学运算本质［Ｊ］．中小学教师培训，２０１７（７）：６３－６６．［２］殷显华．理论算术［Ｍ］．南京：南京大学出版社，１９９０．［３］曹一鸣．十三国数学课程标准评介（小学㊁初中卷）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［４］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．㊀（上接６６页）ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２ȡ２ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡ２ｔａｎＢ２ｔａｎＣ２ｔａｎ２Ｃ２＋ｔａｎ２Ａ２ȡ２ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２三式相加，即得：ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２ȡｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋ｔａｎＢ２ｔａｎＣ２＋ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２＝１等号仅当ｔａｎＡ２＝ｔａｎＢ２＝ｔａｎＣ２，即Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ时成立．因此，当Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎ时，ｔａｎ２Ａ２＋ｔａｎ２Ｂ２＋ｔａｎ２Ｃ２的最小值为１．（６）反证化归有些数学问题要求的结论很难通过一般的方法来推出．但是在比较特殊的情况下却比较容易处理．因而我们在处理问题时，若能注意到问题的特殊性，将待解决的问题转化为特例，便能寻求到问题的答案．例６㊀证明ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ不是周期函数．分析㊀设ｓｉｎｘ是周期函数．我们求证它的一个特殊值 零点，若ｓｉｎｘ是周期函数，则零点也应该周期出现．证明㊀ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ的零点是ｘ＝ｋ２π２（ｋɪＺ），然后随着｜ｋ｜的增大，ｋ２则更快地增大，ｆ（ｘ）的零点分布越来越疏，这就导致了矛盾，ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ的零点不是周期出现的，所以原命题成立．例７㊀设方程ｘ２＋ｙ２＋２（２－ｃｏｓ２θ）ｘ－２（１＋ｓｉｎ２θ）ｙ－４ｃｏｓ２θ＋２ｓｉｎ２θ＋５＝０，求证：不论θ取何实数值，方程的曲线总经过两点Ｐ１，Ｐ２，并求Ｐ１，Ｐ２两点的坐标．分析㊀这是圆系方程，若θ取特殊值，则方程对应两个具体的方程，这两个具体的方程必经过Ｐ１，Ｐ２两点．我们再把这两点代回原方程，这两点都在曲线上，且与θ的取值无关．故上述两点即为所求的定点Ｐ１，Ｐ２．解㊀令θ＝０，θ＝π２，得：ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－２ｙ＋１＝０，（１）ｘ２＋ｙ２＋４ｘ－４ｙ＋７＝０，（２）由（１），（２）得：ｘ＝－１，ｙ＝２或ｘ＝－２，ｙ＝１．总之，就广义而言，求解数学问题本身就是通过已知条件来转化归结相关的问题，从而更好地进行题目的探索和解答，若是转化得熟练恰当，那么能够比较准确和迅速地将问题解决，若是转化得灵活还能够提高解题的效率．将化归思想运用到数学问题中的例子比较多，几种比较简单的类型很难将其概括．在教学的时候，教师要重视化归思想的运用，这样能够帮助学生更好地解决和思考问题，提高学生的解题能力和解题灵活性．。
中学数学中的化归思想
学法教法研究中学数学中的化归思想姚成宝(皖安庆市大观区皖河中学安徽安庆246009)【摘要】化归不仅是一种基本的思维策略,还是一种重要的解题思想,可以有效的运用在数学解题方法中。
数学教育应该培养学生的理性思维,运用数学思想方法来分析并解决问题。
化归思想就是在面对问题时,通过观察、分析、类比、联想等思想过程,将未知的难以解决的问题,化归成自己已知范围内容易解决或已经解决的问题。
而数学内部之间的知识点也存在着各种联系与转化,运用化归思想来解决数学中的问题也成为中学思想方法教学的热点之一。
【关键词】化归思想数学思想方法解题能力【中图分类号】G633.6【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)20-0098-01一、化归思想的含义及作用“化归”是转化和归结的总称。
化归思想,又名转化思想。
是运用某种转化过程把一些待解决、或难以解决的问题划分到一类比较容易解决的问题中去。
就是把一些复杂的,未知的、难以理解的问题,通过仔细的观察,分析,把问题简单化,熟悉化、具体化。
使得问题等到解决。
化归方法包括简单化、熟悉化、具体化、正难则反等原则。
二、数学化归思想教学的优势想要学好数学,死记硬背是不行的。
学好数学的基础就是学会数学思想方法,在实施数学素质教育中,加强对学生的数学思想方法的教学是至关重要的。
学生不仅仅要学会课本上的知识,还要培养自己的解题能力,发展自己的思维。
而化归思想教学可以帮助学生更加快速的接受新知识,更有利于学生理解并掌握知识,提高学生的解题能力。
化归思想贯穿整个中学教材始终,可以帮助学生形成完整的知识结构,促进学生的认知能力。
化归思想引领着众多思想方法,它是中学教学的最基本思想。
运用化归方法学生可以将学到的知识进行总结,提炼,然后灵活地运用起来。
化归思想有三大特征:(1)多向性:为了解决问题,可以从多方面变更问题进行化归。
如变更问题的外部形势、变更问题的内部结构、变更问题的结论等;(2)重复性:有时为了解决问题一次化归可能还是不能很好地解决,这时我们可以对问题进行多次化归,使问题逐渐规范到我们所熟悉的知识中;(3)层次性:化归既能实现学科宏观上的转化,又能运作各种技术活方法,从微观上解决很多细小具体的问题。
在中学数学教学中运用“化归”策略
在中学数学教学中运用“化归”策略摘要:化归思想是中学数学思想中最常见、最基本的一种思想，而化归方法是中学数学学习中经常运用的一种有效手段。
在实际操作过程中，我们应如何渗透化归思想呢？本文将对此进行阐述。
关键词：化归思想；化归方法；化归策略作者简介：黄均涛，任教于广东省云浮市郁南县西江中学。
化归思想是中学数学思想中最常见、最基本的一种数学思想，而化归方法是中学数学学习过程中经常运用的一种有效手段。
所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。
具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题等。
善于化归的学生不仅经常会“逢凶化吉”、“柳暗花明又一村”，而且学习起点和总体认识水平比其他同学往往略高一筹。
因此，化归策略是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施化归数学思想的技术手段。
我们可以作一个比喻，化归数学思想相当于建筑的一张蓝图，化归策略则相当于建筑施工的手段，化归思想比化归方法更深刻，更抽象地反映数学对象间的内在关系，是化归方法的进一步的概括和升华。
下面，就来谈谈如何在解决数学问题过程中的化归策略的问题。
什么是化归策略呢？一般地说，它是在解决数学问题的过程中，有意识地对问题进行分析、联想，把未知的问题化归为已有知识范围内可解的一种思维策略，其目的是：化繁为简，化隐为显，化难为易，化未知为已知，化一般为特殊，化抽象为具体等，掌握这种策略，应注意以下几点：一、明确化归原理，把握化归策略数学是一个有机的整体。
它的各部分之间的相互联系，相互依存、相互渗透，使之构成一个互相交错的立体空间，其中，每一个相对独立的知识系统构成一个知识块。
由数学知识的连续性，决定了相邻两个知识块之间具有相关性和相容性；由数学知识的对称性，决定了某些不同知识板块之间具有相似性，合同性。
所有这些都反映了不同的数学知识之间的内在联系。
所谓“化归策略”就是我们在研究数学问题的过程中，充分运用这些联系，对问题的情景进行适当转化，使之达到“思想明朗化，方法简单化”的目的一种思维策略。
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化归方法在中学数学中的应用马晓青，任孚鲛师学院数学系，晋中，030619[摘要]：在求解中学数学问题时，通过化归方法，可以使原问题简单化。
具有较强的方向性、目的性]3[。
直接求解是比较困难的，通过分析、观察，用化归方法将庞大的问题转换成简易的问题，把不常见的或难以处理的问题转换成常见的或已经处理过的问题。
通过化归方法，学会分析和处理题目，进而培养学生的思维能力和处理问题的技能]13[。
[关键词]：转化；映射；解题策略引言研究数学史，就可以发现有很多的人通过不同的方面阐述了化归方法在数学中的思想，在《指导思维的法则》中笛卡尔提出了通用的法则：]8[第一，把不同类别的问题转化成数学问题；第二，把各种不同类别的数学问题转化成代数问题；第三，把不同类别的代数问题转化成方程式的求解。
化归思想是运用转化或进一步转化，把待处理的问题转换成比较容易处理的问题，或转换成一个已经处理了的问题，进而转换成大家所熟悉的常识性的问题，其模式图如下图1：图11 化归的基本思想]1[1.1 含义化归方法是分析、解决中学数学问题的关键，也是解决问题常用的策略。
所谓的化归思想方法，就是把待处理或未处理的问题，通过不同的转换过程，就可以转换成已经处理或者比较容易处理的问题，进而是求解原问题的一中方法。
1.2 作用我们求解问题时，通过发现、分析、讨论，将难以解决的问题转换成熟悉的、或能处理的问题。
（1）代数方面，在解一般方程或不等式时，把多元转化为一元、高次化为低次、分式化为整式、无理化为有理等；（2）在解三角函数时，可以通过三角的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，把不同名的三角函数化成同名的三角函数；（3）解立体几何时，把复杂的图形转化成简单的图形，把空间的复杂问题化为平面简易问题。
2 化归方法遵循的基本原则]7[在数学学习中，为了能更好更快的掌握化归方法，我们需要遵循以下的化归原则：2.1 具体化原则]13[具体化的化归原则是指把抽象的转化成具体的，分析和解决问题时尽可能将原问题简单、具体，用具体的式子来表示抽象的语言描述，把握其中的数量关系，明确原问题中的不同概念间的联系。
例1.求函数131345x F 2424++-+--=x x x x x ）（的最大值。
分析：通过观察函数）（x F ，此函数结构复杂，不能用常规方法求解，只能将其具体化。
由函数中的根式联想到距离问题，此问题的关键是两个根式的被开放式通过拼凑化成平方和的形式。
由此222222)1()2()3(x F x x x x ++--+-=）（可转化为：求点）（2,x x 到点）（3,2M 与点)10(-，N 距离之差的值最大，转化成求抛物线2y x =上的一点，使PN PM -的值最大化。
2.2 熟悉化原则熟悉化是我们将不常见的问题转化成常见的问题，有一定的解题模式，也很容易把握。
通常，我们通过已有知识和经验，从而解决原问题。
如把不是等差和不是等比的数列通过一些转化，化成等差数列和等比数列。
例2.设复数1Z 和2Z 满足关系式0Z A Z A Z Z 2121=++，其中A 是复数且0A ≠，试证明AZ A Z |A Z A Z |2121++=++. 分析：本题运用熟悉的知识即实数a |a |=的充要条件是0a ≥，即可使原题目得到解决。
因为 0Z A A 2121=++Z Z Z ,0A ≠()()()()()222121222121A Z A A Z A Z A Z Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z ++++=++++=++ 0|A Z ||A |0222>++=. 2.3 和谐统一性原则]6[和谐统一原则是指我们在解题时，应把待解决的问题根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等特征，使其和谐、匀称和恰当，在量形、关系方面进行统一，以达到数学的在美。
例3.已知c b a ,,均为实数，且1=++c b a ，证明31≤++ca bc ab . 分析：观察题目，不妨将1=++c b a 左右两边平方。
证明： ()12=++c b a 1222222=+++++ca bc ab c b aab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+两边相加得 ca bc ab c b a ++≥++222即 31≤++ca bc ab . 2.4 简单化原则简单化是我们把比较难的问题转化为简单的容易处理的问题，把原问题中比较庞大的数据采用某种转化，化成比较简单的，从而去解决复杂的原问题。
例4.比较20142015与20152014的大小.分析：观察发现，直接判断有点难度。
可以先从简单的入手：2212>，3223>，5445>，6556>，7667>…可以找到一个关系式：当n 时，就有()11+<+n n n n从而就可以比较2014=n 时，2015201420142015<.2.5 低层次原则低层次是在求解数学中的问题时，考虑高维与低维、高次与低次、多元与少元的转化，通常是由高到低、由大到小、由多到少。
2.6 正难则反原则正难则反原则即在数学问题的探索时，在正面分析遇到挫折时要思量从反面去尝试解决，当直接求解不了时要考虑从另一个方面去解决，在正向推导的过程中遇到挫折时可以进行反向推导，这就是所谓的正难则反。
3 化归的基本方法]4[化归的目的是复杂问题简单化、含糊问题明朗化、未知问题常识化。
于是映射法、参数法、转化法、分割法、消元法、变形法……均为化归常用的方法。
3.1 映射法映射指的就是徐利治教授等概括的“关系映射反演方法”，实际上，它就是化归原则的数学化与形式化。
其思维模式图如下图2图23.2 命题转化法例5.解不等式：2|222610|22<+--+-xxxx分析：我们通过“命题转化法”将不等式的未知量由一元转化成二元的特殊情况。
即有()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--+-=2|15|12222yxyxy()⎪⎩⎪⎨⎧<--=⇒133122yxy33233323+<<-⇒x3.3 分割法]13[在解决几何问题时通常采用分割法，在遇到一个复杂的图形时，把这个图形分割成一个或几个简单的图形，方便于我们求解和运用。
同样适用于其他数学问题，分析一个大问题时运用分割法转化成与原问题等价的几个小问题，进而使原问题的求解简便化，其模式如下图3图3例 6.在如图4的三棱锥ABCP-中，BCPA⊥且lBCPA==，PA，BC的公垂线段hED=，求证hlVABCP261=-.分析：如果直接求ABC P V -则不容易求出，注意到BC PA ⊥，BC ED ⊥则⊥BC 平面PAD ，⊥BC 平面PAD可用局部法，将原棱锥分割为PAD C PAD B --,，则PAD C PAD B ABC P V V V ---+=()h l CD BD lh 26161=+= 图43.4 消元法由于求解一元一次方程的问题十分容易，在求两元一次方程组（或n 元一次方程组）时，我们采取消元，这等价于把解两元（n 元）一次方程组的问题化归成求一元一次方程的问题。
例7.求解方程组⎩⎨⎧=-=+31824y x y x解：本题采取“消元”法，通过“加减”、“代入”来解方程组，即：①+②2* 得246=x 4=x ； 再把4=x 代入①化简可得1=y所以原方程组的解为⎩⎨⎧==14y x . 3.5 变形法]11[（1）恒等变形法恒等变形化归法是等价转化思想的体现，表现形式有很多种。
如多项式的恒等变形（即把一个多项式用一个与它恒等的多项式替换）、三角式的恒等变形（即把这个三角式用一个恒等与它的三角式代换）、分式的恒等变形、有理式的恒等变形等。
恒等变形的目的是把一个复杂的问题通过适当的变化，可以化未知为已知、化暗为明、化繁琐为简便。
例8.已知b =9log 18，518=a ，求45log 36.分析：此题采取对对数恒等式的化归，可以把未知的运算化成。
因为518=a ，所以a =5log 18所以 918log 59log 36log 45log 45log 21818181836⨯== ba b -+=-+=29log 18log 5log 9log 182181818 （2）放缩变形法在不等式的证明中，经常通过“舍掉一些正（负）项”而使得不等式的和变大或减小，或者在分式中把分子和分母通过扩大或减小。
这种化归方法是根据不等式的传递性()c a c b b a ≤⇒≤≤,,而研究的，是不等价转化思想的体现。
例9.求证ππ25532log 1log 119log 119log 219log 3+<++ . 分析：本题通过放缩变形法，使得不等式的值变大或缩小。
左边 5log 3log 22log 3191919++2361log 360log 1919=<=（放大）右边 2log 10log 2log 5log 2=>=+πππππ（缩小）所以 ππ25532log 1log 119log 119log 219log 3+<++ 4 用化归法解题的常用策略4.1 一般化与特殊化相互转化策略]14[一般化与特殊化是经常使用的解题策略，在求解数学问题时，正确运用二者之间彼此转化的技巧。
（1）特殊化]13[特殊化是在求解某个一般性的数学问题碰到挫折时，特殊的情形是我们解题的关键所在，进一步把求解特殊情形的思路借鉴和使用与一般问题中，从而使原问题得到解决。
（2）一般化一般化是特殊化的相反过程，把一般的题型分解成若干个简单的题型，或者把一般的题型转化成简单的题型，即要想求解问题A ，先求解一般的问题B ，通过两者间的联系使问题特殊化，进一步求得问题A 。
例10.计算 20162015201520132015220152323-+-⨯- . 分析：观察这道题目我们发现数字较大，运算繁琐。
通过转化使原题目一般化，减少其运算量，进而设2015=a ，则原式 ()()()()1122122222323+-+---=--++--=a a a a a a a a a a a a()()()()2016201312111222=+-=-+--=a a a a a a 4.2 数形结合策略]14[数形结合策略是分析问题的关键所在，也是求解问题重要的思路，把数转化成形，把形转化成数，使命题转换，解题方向、解题目标、解题方法都发生了变化，从而为解题带来了很大方便。
例11.R x ∈，求证1|11|22<+--++x x x x分析：观察不等式的左边就可以转化成平面上两个点之间的距离公式。
左边 |11|22+--++=x x x x|23212321|2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 可以转化为点()0,x P 到点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321，A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21B 的距离之差，因此问题可以转化为证明线段AB 外一点P 到两端点的距离之差的绝对值小于1。