化归方法在中学数学中地应用

化归方法在中学数学中的应用

马晓青，任孚鲛

师学院数学系，晋中，030619

[摘要]：在求解中学数学问题时，通过化归方法，可以使原问题简单化。具有较强的方向性、目的性]3[。直接求解是比较困难的，通过分析、观察，用化归方法将庞大的问题转换成简易的问题，把不常见的或难以处理的问题转换成常见的或已经处理过的问题。通过化归方法，学会分析和处理题目，进而培养学生的思维能力和处理问题的技能]13[。[关键词]：转化；映射；解题策略

引言

研究数学史，就可以发现有很多的人通过不同的方面阐述了化归方法在数学中的思想，在《指导思维的法则》中笛卡尔提出了通用的法则：]8[

第一，把不同类别的问题转化成数学问题；

第二，把各种不同类别的数学问题转化成代数问题；

第三，把不同类别的代数问题转化成方程式的求解。

化归思想是运用转化或进一步转化，把待处理的问题转换成比较容易处理的问题，或转换成一个已经处理了的问题，进而转换成大家所熟悉的常识性的问题，其模式图如下图1：

图1

1 化归的基本思想]1[

1.1 含义

化归方法是分析、解决中学数学问题的关键，也是解决问题常用的策略。所谓的化归思想方法，就是把待处理或未处理的问题，通过不同的转换过程，就可以转换成已经处理或者比较容易处理的问题，进而是求解原问题的一中方法。

1.2 作用

我们求解问题时，通过发现、分析、讨论，将难以解决的问题转换成熟悉的、或能处理的问题。

（1）代数方面，在解一般方程或不等式时，把多元转化为一元、高次化为低次、分式化为整式、无理化为有理等；

（2）在解三角函数时，可以通过三角的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，把不同名的三角函数化成同名的三角函数；

（3）解立体几何时，把复杂的图形转化成简单的图形，把空间的复杂问题化为平面简易问题。 2 化归方法遵循的基本原则]7[

在数学学习中，为了能更好更快的掌握化归方法，我们需要遵循以下的化归原则：

2.1 具体化原则]13[

具体化的化归原则是指把抽象的转化成具体的，分析和解决问题时尽可能将原问题简单、具体，用具体的式子来表示抽象的语言描述，把握其中的数量关系，明确原问题中的不同概念间的联系。

例1.求函数131345x F 2424++-+--=x x x x x ）（的最大值。

分析：通过观察函数）

（x F ，此函数结构复杂，不能用常规方法求解，只能将其具体化。由函数中的根式联想到距离问题，此问题的关键是两个根式的被开放式通过拼凑化成平方和的形式。 由此222222)1()2()3(x F x x x x ++--+-=）（可转化为：求点）（2

,x x 到点）（3,2M 与点)10(-，N 距离之差的值最大，转化成求抛物线2y x =上的一点，使PN PM -的值最大化。

2.2 熟悉化原则

熟悉化是我们将不常见的问题转化成常见的问题，有一定的解题模式，也很容易把握。通常，我们通过已有知识和经验，从而解决原问题。如把不是等差和不是等比的数列通过一些转化，化成等差数列和等比数列。

例2.设复数1Z 和2Z 满足关系式0Z A Z A Z Z 2121=++，其中A 是复数且0A ≠，试证明

A

Z A Z |A Z A Z |2121++=++. 分析：本题运用熟悉的知识即实数a |a |=的充要条件是0a ≥，即可使原题目得到解决。

因为 0Z A A 2121=++Z Z Z ,0A ≠

()()()()

()222121222121A Z A A Z A Z A Z Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z ++++=++++=++ 0|

A Z ||A |0222

>++=. 2.3 和谐统一性原则]6[

和谐统一原则是指我们在解题时，应把待解决的问题根据数学问题的条件或结论以及数、式、

形等特征，使其和谐、匀称和恰当，在量形、关系方面进行统一，以达到数学的在美。

例3.已知c b a ,,均为实数，且1=++c b a ，证明3

1≤

++ca bc ab . 分析：观察题目，不妨将1=++c b a 左右两边平方。

证明： ()12=++c b a 1222222=+++++ca bc ab c b a

ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+

两边相加得 ca bc ab c b a ++≥++222

即 3

1≤++ca bc ab . 2.4 简单化原则

简单化是我们把比较难的问题转化为简单的容易处理的问题，把原问题中比较庞大的数据采用某种转化，化成比较简单的，从而去解决复杂的原问题。

例4.比较20142015与20152014的大小.

分析：观察发现，直接判断有点难度。可以先从简单的入手：2212>，

3223>，5445>，6556>，7667>…

可以找到一个关系式：当n 时，就有

()11+<+n n n n

从而就可以比较2014=n 时，2015201420142015<.

2.5 低层次原则

低层次是在求解数学中的问题时，考虑高维与低维、高次与低次、多元与少元的转化，通常是由高到低、由大到小、由多到少。

2.6 正难则反原则

正难则反原则即在数学问题的探索时，在正面分析遇到挫折时要思量从反面去尝试解决，当直接求解不了时要考虑从另一个方面去解决，在正向推导的过程中遇到挫折时可以进行反向推导，这就是所谓的正难则反。

3 化归的基本方法]4[

化归的目的是复杂问题简单化、含糊问题明朗化、未知问题常识化。于是映射法、参数法、转化法、分割法、消元法、变形法……均为化归常用的方法。

3.1 映射法

映射指的就是徐利治教授等概括的“关系映射反演方法”，实际上，它就是化归原则的数学化与形式化。其思维模式图如下图2