导数综合练习(2016年5月23)【教师】
(完整版)导数的综合大题及其分类.(可编辑修改word版)
a － a 2－4 2 a ＋ a 2－42导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．（1） 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．已知函数 f (x )＝x 1g (x )＝a ln x (a ∈R )．－ ， x(1) 当 a ≥－2 时，求 F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2) 设 h (x )＝f (x )＋g (x )，且 h (x )有两个极值点为 x ，x ，其中 x ∈ 1，求 h (x )－h (x)的最121(0，]1 2 2小值．[审题程序]第一步：在定义域内，依据 F ′(x )＝0 根的情况对 F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立 x 1、x 2 及 a 间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于 x 1(或 x 2)的函数，求出最小值．[规范解答] (1)由题意得 F (x )＝x 1a ln x ，－ － xx 2－ax ＋1其定义域为(0，＋∞)，则 F ′(x )＝ ，x 2令 m (x )＝x 2－ax ＋1，则 Δ＝a 2－4.①当－2≤a ≤2 时，Δ≤0，从而 F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当 a >2 时，Δ>0，设 F ′(x )＝0 的两根为 x 1＝ ，x 2＝ ，x∴F (x )的单调递增区间为( a － a 2－4) (a ＋ a 2－4)0， 2和 ，＋∞ ， 2F (x )(a － a 2－4 a ＋ a 2－4)的单调递减区间为 ，. 2 2综上，当－2≤a ≤2 时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当 a >2 时，F (x )的单调递增区间为(a － a 2－4) (a ＋ a 2－4)0， 2和 ，＋∞ ， 2F (x )(a － a 2－4 a ＋ a 2－4)的单调递减区间为 ，. 2 2(2)对 h (x )＝x 1a ln x ，x ∈(0，＋∞)－ ＋ x1 a x 2＋ax ＋1求导得，h ′(x )＝1＋ ＋ ＝ ，x 2 x x 2设 h ′(x )＝0 的两根分别为 x 1，x 2，则有 x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ， 1 1∴x 2＝ ，从而有 a ＝－x 1－ .x 1 x 1令 H (x )＝h (x )－h(1) 111 11＝x －x ＋(－x －x )ln x －[x －x ＋(－x －x )·ln x ]1 1 ＝2[(－x －x )ln x ＋x －x ]，1 2(1－x )(1＋x )ln x H ′(x )＝2(x 2－1)ln x ＝ x 2. 当 x ∈1 时，H ′(x )<0， (0，] 2 ∴H (x )在 1 上单调递减，(0， ]2 又 H (x 1)＝h (x 1)－h1 ＝h (x 1)－h (x 2)，(x 1)∴[h (x 1)－h (x 2)]min ＝H 1＝5ln2－3.(2)[解题反思] 本例(1)中求 F (x )的单调区间，需先求出 F (x )的定义域，同时在解不等式 F ′(x )>0 时需根据方程 x 2－ax ＋1＝0 的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“Δ”的取值作为分类讨论的依据．在(2)中求出 h (x 1)－h (x 2)的最小值，需先求出其解析式．由题可知 x 1，x 2 是 h ′(x )＝0 的两根，可得到 x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，从而将 h (x 1)－h (x 2)只用一个变量 x 1 导出．从而得到 H (x 1)＝ h (x )－h 1 ，这样将所求问题转化为研究新函数 H (x )＝h (x )－h 1 在 1上的最值问题，体现 1 (x 1) (x) (0， )2转为与化归数学思想．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：－ ＝ .－ ＝[题型专练]1．设函数 f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )．(1) 求 f (x )的单调区间；(2) 当 0<a <2 时，求函数 g (x )＝f (x )－x 2－ax －1 在区间[0,3]上的最小值．[解] (1)f (x )的定义域为(－1，＋∞)． ∵f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )，x ∈(－1，＋∞)，∴f ′(x )＝2(1＋x ) 2 2x (x ＋2)1＋x x ＋1 由 f ′(x )>0，得 x >0；由 f ′(x )<0，得－1<x <0.∴函数 f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)． (2)由题意可知 g (x )＝(2－a )x －2ln(1＋x )(x >－1)， 则 g ′(x )＝2－a 2 1＋x ∵0<a <2，∴2－a >0，(2－a )x －a＝. 1＋x 令 g ′(x )＝0，得 x a，2－a ∴函数 g (x )在(0， a )上为减函数，在( a，＋∞)上为增函数．2－a 2－a①当 0< a，即 0<a <3[0,3]上， 2－a 时，在区间 2 g (x )在(0， a )上为减函数，在( a，3)上为增函数，2－a 2－a ∴g (x ) ＝g ( a )＝a －2ln 2mina ②当 ≥3 2－a 32－aa <2 时，g (x )在区间[0,3]上为减函数， 2－a ，即 ≤2∴g (x )min ＝g (3)＝6－3a －2ln4.<3 .综上所述，当 0<a <3 2时， g (x ) ＝a －2ln ； min2 2－a3当 ≤a <2 时，g (x )min ＝6－3a －2ln4. 2北京卷（19）（本小题 13 分）已知函数 f （x ）=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线 y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f （x ）在区间[0， π]上的最大值和最小值.2[0, ] [0, ] 0（19）（共 13 分）解：（Ⅰ）因为 f (x ) = e x cos x - x ，所以 f '(x ) = e x (cos x - sin x ) -1, f '(0) = 0 .又因为 f (0) = 1，所以曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 y = 1.（Ⅱ）设 h (x ) = e x (cos x - sin x ) -1 ，则 h '(x ) = e x (cos x - sin x - sin x - cos x ) = -2e x sin x .当x ∈ π (0, ) 2时， h '(x ) < 0 ， 所以 h (x ) 在区间 π 2上单调递减.所以对任意 x ∈ π (0, ] 2有 h (x ) < h (0) = 0 ，即 f '(x ) < 0 . 所以函数 f (x ) 在区间 π 2上单调递减.因此 f (x ) 在区间[0, π] 上的最大值为 f (0) = 1，最小值为 f ( π) = - π.2 2 221.（12 分）已知函数 f (x ) = ax 3 - ax - x ln x , 且 f (x ) ≥ 0 .（1） 求 a ；（2） 证明： f (x ) 存在唯一的极大值点 x 0 ，且e -2 <f (x ) < 2-3.21.解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞)设 g (x ) = ax - a - lnx ，则 f (x ) = xg (x ) , f (x ) ≥ 0 等价于 g (x ) ≥ 0xx0 0因为 g (1) =0，g (x ) ≥ 0, 故g' (1) =0, 而g' (x ) = a - 1 , g' (1) =a - 1, 得a = 1若 a =1，则 g' (x ) = 1 - 1.当 0＜x ＜1 时， g' (x ) ＜0, g (x ) 单调递减；当 x ＞1 时， g' (x ) ＞0， g ( x ) 单调递增.所以 x=1 是g (x ) 的极小值点，故g (x ) ≥ g (1)=0综上，a=1（2）由（1）知f (x ) = x 2 - x - x l n x , f ' ( x ) = 2x - 2 - l n x设h (x )= 2x - 2 - l n x , 则 h ' ( x ) = 2 - 1x当x ∈ ⎛ 0, 1 ⎫ 时， h ' (x ) ＜0 ；当x ∈ ⎛ 1 , +∞⎫ 时， h ' (x ) ＞0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 单调递减，在⎛ 1 , +∞⎫ 单调递增 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 又h (e -2)＞⎛ 1 ⎫ ＜0, h (1) = 0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 有唯一零点 x 0，在⎡1 , +∞⎫ 有唯一零点 1，且当x ∈ (0, x ) 时， h (x ) ＞0 ；当x ∈ (x , 1) 时， 0, h 2 ⎪ 2 ⎪ ⎢ 2 ⎪ 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣ ⎭h (x ) ＜0 ，当x ∈ (1, +∞) 时， h (x ) ＞0 .因为f ' (x ) = h (x ) ，所以 x=x 0 是 f(x)的唯一极大值点由f ' (x 0 ) = 0得l n x 0 = 2( x 0 - 1) , 故f (x 0 ) =x (0 1 - x 0 )由x ∈ (0, 1) 得f ' (x ) ＜ 14因为 x=x 0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e -1∈ (0, 1) , f ' (e-1)≠ 0 得f (x ) ＞f (e-1)= e-2所以e -2＜f (x ) ＜2- 2题型二 利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e 是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1 时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2 的零点个数，并说明理由．[审题程序]第一步：利用导数求函数的单调区间；第二步：简化g(x)＝0，构造新函数；第三步：求新函数的单调性及最值；第四步：确定结果．[规范解答] (1)因为f(x)＝(x＋a)e x，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x 变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：x (－∞，－a－1) －a－1 (－a－1，＋∞)f′(x) －0 ＋f(x)故f((2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程x e x－a＝x2，显然x＝0 为此方程的一个实数解，所以x＝0 是函数g(x)的一个零点．当x≠0 时，方程可化简为e x－a＝x.设函数F(x)＝e x－a－x，则F′(x)＝e x－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.当x 变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：0 xx即 F (x )a )． 所以 F (x )的最小值 F (x )min ＝F (a )＝1－a . 因为 a <1，所以 F (x )min ＝F (a )＝1－a >0， 所以对于任意 x ∈R ，F (x )>0， 因此方程 e x －a ＝x 无实数解． 所以当 x ≠0 时，函数 g (x )不存在零点． 综上，函数 g (x )有且仅有一个零点．典例 321.（12 分）已知函数 f (x ) = ax 3 - ax - x ln x , 且 f (x ) ≥ 0 .（1） 求 a ；（2） 证明： f (x ) 存在唯一的极大值点 x 0 ，且e -2 <f (x ) < 2-3.21. 解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞)设 g (x ) = ax - a - lnx ，则 f (x ) = xg (x ) , f (x ) ≥ 0 等价于 g (x ) ≥ 0因为 g (1) =0，g (x ) ≥ 0, 故g' (1) =0, 而g' (x ) = a - 1 , g' (1) =a - 1, 得a = 1若 a =1，则 g' (x ) = 1 - 1.当 0＜x ＜1 时， g' (x ) ＜0, g (x ) 单调递减；当 x ＞1 时， g' (x ) ＞0， g ( x ) 单调递增.所以 x=1 是g (x ) 的极小值点，故g (x ) ≥ g (1)=0综上，a=1（2）由（1）知f (x ) = x 2 - x - x l n x , f ' ( x ) = 2x - 2 - l n x设h (x )= 2x - 2 - l n x , 则 h ' ( x ) = 2 - 1x当x ∈ ⎛ 0, 1 ⎫ 时， h ' (x ) ＜0 ；当x ∈ ⎛ 1 , +∞⎫ 时， h ' (x ) ＞0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 单调递减，在⎛ 1 , +∞⎫ 单调递增 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭0 0又h (e -2)＞⎛ 1 ⎫ ＜0, h (1) = 0 ，所以h (x ) 在⎛ 0, 1 ⎫ 有唯一零点 x 0，在⎡1 , +∞⎫有唯一零点 1，且当x ∈ (0, x ) 时， h (x ) ＞0 ；当x ∈ (x , 1) 时，0, h 2 ⎪ 2 ⎪ ⎢ 2 ⎪ 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣ ⎭h (x ) ＜0 ，当x ∈ (1, +∞) 时， h (x ) ＞0 .因为f ' (x ) = h (x ) ，所以 x=x 0 是 f(x)的唯一极大值点由f ' (x 0 ) = 0得l n x 0 = 2( x 0 - 1) , 故f (x 0 ) =x (0 1 - x 0 )由x ∈ (0, 1) 得f ' (x ) ＜ 14因为 x=x 0 是 f(x)在（0,1）的最大值点，由e -1 ∈ (0, 1) , f ' (e-1)≠ 0 得f (x ) ＞f (e-1)= e-2所以e -2＜f (x ) ＜2- 2[解题反思] 在本例(1)中求 f (x )的单调区间的关键是准确求出 f ′(x )，注意到 e x >0 即可．(2)中由 g (x )＝0 得 x e x －a ＝x 2，解此方程易将 x 约去，从而产生丢解情况．研究 e x －a ＝x 的解转化为研究函数 F (x )＝e x －a －x 的最值，从而确定 F (x )零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]2．(2017·浙江金华期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d 的图象如图所示．(1)求c，d 的值；(2)若函数f(x)在x＝2 处的切线方程为3x＋y－11＝0，求函数f(x)的解析式；1(3)在(2)的条件下，函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．3[解] 函数f(x)的导函数为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c－3a－2b.(1)由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0，得E rr o r!解得E rr o r!(2)由(1)得，f(x)＝ax3＋bx2－(3a＋2b)x＋3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx－(3a＋2b)．由函数f(x)在x＝2 处的切线方程为3x＋y－11＝0，得E rr o r!所以E rr o r!解得E rr o r!所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.(3)由(2)知f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，所以f′(x)＝3x2－12x＋9.1函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不同的交点，3等价于x3－6x2＋9x＋3＝(x2－4x＋3)＋5x＋m 有三个不等实根，等价于g(x)＝x3－7x2＋8x－m 的图象与x 轴有三个交点．因为g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，g(2)＝68－m，g(4)＝－16－m，3 27当且仅当E rr o r!时，g(x)图象与x 轴有三个交点，解得－16<m<68. 所以m 的取值范围为(－16，68).27 2721.（12 分）已知函数（f x)=a e2x+(a﹣2) e x﹣x.（1）讨论f (x) 的单调性；（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.21.解：（1）f (x) 的定义域为(-∞, +∞) ，f '(x) = 2ae2x+ (a - 2)e x-1 = (ae x-1)(2e x+1) ，(十字相乘法)（ⅰ）若a ≤ 0 ，则f '(x) < 0 ，所以f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减.（ⅱ）若 a > 0 ，则由 f '(x) = 0 得 x =-ln a .当x ∈(-∞, -ln a) 时，f '(x) < 0 ；当x ∈(-ln a, +∞) 时，f '(x) > 0 ，所以f (x) 在(-∞, -ln a) 单调递减，在(-ln a, +∞) 单调递增.110 0 0 0 3（2）（ⅰ）若 a ≤ 0 ，由（1）知， f (x ) 至多有一个零点.1 （ⅱ）若 a > 0 ，由（1）知，当 x = -ln a 时， f (x ) 取得最小值，最小值为 f (- ln a ) = 1- + ln a .（观察特殊值 1）a①当 a = 1 时，由于 f (-ln a ) = 0 ，故 f (x ) 只有一个零点；②当 a ∈ (1, +∞) 时，由于1-+ ln a > 0 ，即 f (-ln a ) > 0 ，故 f (x ) 没有零点； a③当 a ∈(0,1) 时，1- + ln a < 0 ，即 f (-ln a ) < 0 .a又 f (-2) = a e -4 + (a - 2)e -2 + 2 > -2e -2 + 2 > 0 ，故 f (x ) 在(-∞, -ln a ) 有一个零点.设正整数n 0 满足 n 0 > ln( a3-1) ，则 f (n ) = e n 0 (a e n 0 + a - 2) - n > e n 0 - n > 2n 0 - n > 0 .由于ln( a-1) > -ln a ，因此 f (x ) 在(-ln a , +∞) 有一个零点.综上， a 的取值范围为(0,1) .题型三 利用导数证明不等式题型概览：证明 f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以直接构造函数 F (x )＝f (x )－g (x )，如果 F ′(x )<0，则 F (x )在(a ，b )上是减函数， 同时若 F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有 F (x )<0，即证明了 f (x )<g (x )．有时需对不等式等价变形后间接构造．若上述方法通过导数不便于讨论 F ′(x )的符号，可考虑分别研究 f (x )、g (x )的单调性与最值情况，有时需对不等式进行等价转化．(2017·陕西西安三模)已知函数 f (x ) e x .(1) 求曲线 y ＝f (x )在点 P ( ＝ xe 2)处的切线方程；2， 2－ ＝ (x(2)证明：f (x )>2(x －ln x )． [审题程序]第一步：求 f ′(x )，写出在点 P 处的切线方程；第二步：直接构造 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )，利用导数证明 g (x )min >0. [规范解答] (1)因为 f (x ) e x f ′(x )＝e x ·x －e xe x (x －1)，f ′(2) e 2 e 2，所以切线方 程为 ye 2 e2 2 4 ＝ ，所以 x －2)，即 e 2x －4y ＝0. ＝ x 2 x 2＝ 4 ，又切点为(2， 2 )(2) 证明：设函数 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )e x2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x ) e x (x －1)－2 2＝ －x (e x －2x )(x －1)，x ∈(0，＋∞)．＝ ＋ ＝x 2 x x 2设 h (x )＝e x －2x ，x ∈(0，＋∞)，则 h ′(x )＝e x －2，令 h ′(x )＝0，则 x ＝ln2.当 x ∈(0，ln2)时，h ′(x )<0；当 x ∈(ln2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以 h (x )min ＝h (ln2)＝2－2ln2>0，故 h (x )＝e x －2x >0.令 g ′(x ) (e x－2x )(x －1)＝0，则 x ＝1.＝x 2当 x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当 x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.所以 g (x )min ＝g (1)＝e －2>0，故 g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0，从而有 f (x )>2(x －ln x )．[解题反思] 本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数 g (x )．求 g (x ) 的最值来完成．在求 g (x )的最值过程中，需要探讨 g ′(x )的正负，而此时 g ′(x )的式子中有一项 e x －2x 的符号不易确定，这时可以单独拿出 e x －2x 这一项，再重新构造新函数 h (x )＝e x －2x (x >0)，考虑 h (x )的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：＝[题型专练]3．(2017·福建漳州质检)已知函数 f (x )＝a e x －b ln x ，曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y ＝(1)x ＋1.(1)求 a ，b ； (2)证明：f (x )>0.[解] (1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．e－1 f ′(x )＝a e x bf (1) 1f ′(1) 1 1，－ ，由题意得 ＝ ， ＝ － x e e所以E rr o r !解得E rr o r !(2)由(1)知 f (x ) 1 ·e x－ln x . e 2 因为 f ′(x )＝e x －2 1(0，＋∞)上单调递增，又 f ′(1)<0，f ′(2)>0，－ 在x＝ ＋ 2 20 0 0所以 f ′(x )＝0 在(0，＋∞)上有唯一实根 x 0，且 x 0∈(1,2)． 当 x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，当 x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当 x ＝x 0 时，f (x )取极小值，也是最小值．由 f ′(x )＝0，得 e x 0－2 1x －2＝－ln x .0 ＝ ， 则 0 0 x 0故 f (x )≥f (x )＝e x 0－2－ln x 1 x －2>2 1 ·x 0－2＝0，所以 f (x )>0. x 0 x 04、【2017 高考三卷】21．（12 分）已知函数 f (x ) =x ﹣1﹣a ln x ．（1）若 f (x ) ≥ 0 ，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，(1+ 1) ( 1+ 1) (1+ 2221) ﹤m ，求 m 的最小值． 2n 21.解：（1） f ( x ) 的定义域为(0，+∞) .f ⎛ 1 ⎫1①若a ≤ 0 ，因为 ⎪ =- +a ln 2＜0，所以不满足题意；⎝ ⎭ ②若a ＞0，由 f ' ( x ) = 1- a = x - a知，当x ∈(0,a ) 时， f ' ( x )＜0 ；当 x ∈(a ，+∞) 时， f ' ( x )＞0 ，所以 f ( x ) 在(0,a ) 单调递减，x x在(a ，+∞) 单调递增，故 x=a 是 f ( x ) 在 x ∈(0，+∞) 的唯一最小值点. 由于 f (1) = 0 ，所以当且仅当 a =1 时， f ( x ) ≥ 0.故 a =1（2）由（1）知当 x ∈(1，+∞) 时， x -1- ln x ＞0令 x =1+ 1 得ln ⎛1+ 1 ⎫＜ 1，从而 2n 2n ⎪ 2n ⎝⎭ln ⎛1+ 1 ⎫+ln ⎛1+ 1 ⎫+⋅⋅⋅+ln ⎛1+ 1 ⎫＜1 + 1 +⋅⋅⋅+ 1 =1-1＜12 ⎪ 22 ⎪ 2n ⎪ 2 22 2n 2n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫ ⋅⋅⋅⎛1+ 1 ⎫＜e2 ⎪ 22 ⎪ 2n⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭而⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫⎛1+ 1 ⎫＞2 ，所以 m 的最小值为 3. 2 ⎪ 22 ⎪ 23 ⎪ ⎝⎭⎝ ⎭⎝ ⎭21．（12 分）已知函数f (x) =ln x+ax2+(2a+1)x．（1）讨论f (x) 的单调性；（2）当 a﹤0 时，证明 f (x) ≤-34a- 2 ．【答案】（1）当a ≥ 0 时， f (x) 在(0,+∞) 单调递增；当 a < 0 时，则 f (x) 在(0,-1) 单调递增，在(-2a1,+∞) 单调递减；（2）详见解析2a题型四利用导数研究恒成立问题题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．，对∀ ＝ 0<x < ；由E rr o r !得 x > .，则 ln x1 2 1 2已知函数 f (x ) 1ln x －mx ，g (x )＝x a(a >0)．＝ － 2 x(1) 求函数 f (x )的单调区间； (2) 若 m ＝1x ，x ∈[2,2e 2]都有 g (x )≥f (x )成立，求实数 a 的取值范围． 2e 2[审题程序]第一步：利用导数判断 f (x )的单调性，对 m 分类讨论；第二步：对不等式进行等价转化，将 g (x 1)≥f (x 2)转化为 g (x )min ≥f (x )max ； 第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值)； 第四步：确定结果．[规范解答] (1)f (x ) 1ln x －mx ，x >0，所以f ′(x ) 1m ，＝ ＝ － 2 2x当 m ≤0 时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当 m >0 时，由 f ′(0)＝0 得 x 1 ；由E rr o r !得 1 12m 2m 2m 综上所述，当 m ≤0 时，f ′(x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当 m >0 时，f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为( 1，＋∞).2m 2m(2)若 m ＝1f (x )＝1 － 1x . 2e 2 2 2e 2对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有 g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有 g (x )min ≥f (x )max ，由(1)知在[2,2e 2]上 f (x )的最大值为 f (e 2) 1＝ ， 2＋g ′(x )＝1 a >0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数 g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x ) ＝g (2)＝2 a2 a 1 a ≤3，min － ， 由 － ≥ ， 得 x2 又 a >0，所以 a ∈(0,3]，所以实数 a 的取值范围为(0,3]．2 2 2[解题反思] 本例(1)的解答中要注意 f (x )的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数 f (x )、g (x )的最值问题．本题中，∀x 1，x 2 有 g (x 1)≥f (x 2)⇔g (x )min ≥f (x )max .若改为：∃x 1，∀x 2 都有 g (x 1)≥f (x 2)，则有 g (x )max ≥f (x )max .若改为：∀x 1，∃x 2 都有 g (x 1)≥g (x 2)，则有 g (x )min ≥f (x )min 要仔细体会，转化准确．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]4．已知 f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1) 对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x ∈(0，＋∞)，ln x > 1 e x 2－ 恒成立．e x[解] (1)由题意知 2x ln x ≥－x 2＋ax －3 对一切 x ∈(0，＋∞)恒成立， 则 a ≤2ln x ＋x 3，x 设 h (x )＝2ln x ＋x ＋3，(x >0) x＋e＝ － (x则 h ′(x ) (x ＋3)(x －1)，＝x 2①当 x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当 x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以 h (x )min ＝h (1)＝4，对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以 a ≤h (x )min ＝4.即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．(2) 证明：问题等价于证明 x ln x > x －2∈(0，＋∞))．e x e 又f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，当 x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当 x ∈(1 )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以 f (x ) ＝f (1)1.，＋∞emin ＝－ e e设 m (x ) x 2∈(0，＋∞))，e x则 m ′(x ) e1－x ，＝易知 m (x ) e x＝m (1) 1max ＝－ ，e从而对一切 x ∈(0，＋∞)，ln x > 1 e x 2－ 恒成立．e x②当 x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以 h (x )min ＝h (1)＝4，对一切 x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以 a ≤h (x )min ＝4.即实数 a 的取值范围是(－∞，4]．题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23．(12 分)已知函数 f （x ）=（x+1）lnx ﹣a （x ﹣1）．(x（I）当a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率 k=f′（1）=﹣2，则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程为 y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在 x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数 f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由 f（1）=0，可得存在 x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．23．(12 分)已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）= ，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参在求出参数取值范围。
导数综合练习题(详细解答)
导数练习题（B ）1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分） 已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围； （II ）若(1,](2.71828a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题（B ）答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f解得 6,1-==b a所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分）当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f（2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m（12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值， 所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ； …………（4分）（II依题意得：9)32(272-=+a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分）4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分）∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）ax a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得2a x =，列表当2x )222( …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ，∴22a e a>，∴22a e a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当122>a，即2>a 时若0)2ln 1(2>-aa ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-aa ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-aa ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)ae 上，我们有结论： 当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；解：（I ）当1k =时，2()1xf x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k '∈++∞<时， ∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)xf x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分） （II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=- ∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x xf ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4， 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-=所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221a x -<；令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得221a -221ax +<<. ①若221a +≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， 所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=. ③若221a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=； 当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min 14分8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x'=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0， 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分）∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->，∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827 ∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->- ∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->1242x x >+ ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t << ()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分） 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-=由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f 10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,](2.71828a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+， ……………（2分）∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分） 即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x<-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a x x--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分）11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e =-，没有极小值； …………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x x x x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分） （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，①②③200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分） 方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-，当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分）方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分） （III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时，).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）。
导数练习及答案
题目：求函数 f(x) = cos(x) 的导数。 答案：f'(x) = -sin(x)
答案：f'(x) = -sin(x)
题目：求函数 f(x) = x^2 的导数。 答案：f'(x) = 2x
答案：f'(x) = 2x
题目：求函数 f(x) = x^3 的导数。 答案：f'(x) = 3x^2
答案：f'(x) = 3x^2
链式法则：对于复合函数 y = f(g(x))，其导数为 (dy/dx) = (dy/dg) * (dg/dx)
乘法法则：对于两个函数的乘积，其导数为 (uv)' = u'v + uv'
除法法则：对于两个函数的商，其导数为 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
复合函数的导数
链式法则：对于复合函数，求导时需要将内层函数对自变量的导数与外层函数对中间变量的导数相乘
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导数练习及答案
目录
01
导数的基本概念
02
导数的计算方法
03
导数的应用
04
导数练习题及答案
01
导数的基本概念
导数的定义
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
导数的基本性质包括：可加性、可减性、可乘性、可除性等
导数在物理学中的应用：在物理学中，导数可以用来描述速度、加速度、温度等物理量的变化率，以及分析物体的运动状态和变化规律。
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导数在工程学中的应用：在工程学中，导数可以用来分析机械运动、电路电流、流体动力学等领域的物理现象，优化设计并解决实际问题。
(完整版)导数专题练习汇总非常全面(可编辑修改word版)
ln x 1.导数应用之函数单调性题组 1：1.求函数f ( x) =x3 - 3x2 - 9x +12 的单调区间.2.求函数f ( x) =x2 - 3x + ln x 的单调区间.3.求函数f ( x) =x2 + 3x - ln x 的单调区间.4.求函数f ( x) =1x ln x的单调区间.5.求函数f (x) =- ln x + ln(x +1) 的单调区间.1+x题组 2：1.讨论函数f (x) =1x4+1ax3-a2x2+a4 (a > 0) 的单调区间.4 32.讨论函数f ( x) =x3+ 3ax2- 9x -12 的单调区间.3.求函数f ( x) =1mx3 - (2 +m)x2 + 4x + 1 (m > 0) 的单调递增区间.3 24.讨论函数f (x) = (a +1) ln x +ax 2+1的单调性.5.讨论函数f (x) = ln x -ax +1-a-1 的单调性. x题组 3：1.设函数f (x) =x3+ax2+x +1.(1)讨论函数f (x) 的单调区间；2 1(2)设函数f (x) 在区间(- ，-)内是减函数,求a 的取值范围．3 32.(1)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9)(2)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1)3.已知函数f (x) = (x3+ 3x2+ax +b)e-x.(1)若a =b =-3 ,求f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 在(-∞,),(2,) 单调递增,在(, 2),(, +∞) 单调递减,证明: -< 6 .4.设函数f (x) =x3+ax2-a2x +1 , g(x) =ax2- 2x +1 ,(1)若a > 0 ,求函数f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 与g(x) 在区间(a, a + 2) 内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数f (x) =x2e x-1+ax3+bx2,且x =-2 和x =1 均为f (x) 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论f (x) 的单调性；(2)设g(x) =2x3-x2,试比较f (x) 与g(x) 的大小．32.设函数f (x) =x2 (x -a) .(1)若f '(1) = 3 ,求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；(2)求函数y = f (x) 在区间[0,2]上的最大值.3.设函数f (x) =ax3- 3x 2．(1)若x = 2 是函数y = f (x) 的极值点,求a 的值；(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0，2],在x=0处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数f (x) =1x3+x2- 2 . 3(1)设S 是正项数列{a }的前n 项和, a = 3,且点(a , a2-2a ) 在函数y = f '(x) 的图象上,求证:点n(n, Sn ) 也在y =n 1f '(x) 的图象上；n n+1 n+1(2)求函数f (x) 在区间(a -1, a) 内的极值.5.设函数f (x) =ax3+bx2- 3a2x +1在x =x ,x =x 处取得极值,且x -x = 2 ．1 2 1 2(1)若a =1 ,求b 的值,及函数f (x) 的单调区间；(2)若a > 0 ,求实数b 的取值范围．6.设函数f (x) =1ax3-bx2+ (2 -b)x +1 在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,且0 <x <1 <x < 2 .3 1 2 1 2证明: a > 0 ,并求a + 2b 的取值范围.7.已知x =1 是函数f (x) =1ax3-3x2+ (a +1)x + 5 的一个极值点, 3 2(1)求函数f (x) 的解析式；(2)若y =f (x) 的图像与直线y = 2x +m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知x = 3 是函数f (x) =a ln(1+x) +x2-10x 的一个极值点.(1)求f (x) 的解析式及其单调区间；(2)若直线y =b 与曲线y = f (x) 有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数f (x) =x4+ax3+ 2x2+b(x ∈R) ．(1)若函数f (x) 仅在x = 0 处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的a∈[-2，2],不等式f (x) ≤1在[-1，1]上恒成立,求b的取值范围．10.设x = 3 是函数f (x) = (x2+ax +b)e3-x的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数f (x) 的单调区间；(2)设a > 0 ,g(x) = (a2+25)e x.若存在x , x ∈[0, 4],使f (x ) -g(x ) < 1总成立,求a 的取值范围.4 1 2 1 211.已知函数f (x) = kx +1x2+c(c > 0 且c ≠ 1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x =-c ．(1)求函数f (x) 的另一个极值点；(2)求函数f (x) 的极大值M 和极小值m ,并求M -m ≥1 时k 的取值范围．12.设函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图像∏上有两个极值点P, Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1, 2) 时,求f (x) 的解析式；(2)当点Q 在线段x +y - 5 = 0 (1 ≤x ≤ 3) 上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.13.导数应用之函数的零点题组 1：1. 函数 f (x ) = 3x - x 2 在区间[-1, 0] 内有没有零点？为什么？2. 函数 f (x ) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是【】.A. (-2, -1)B. (-1, 0)C. (0,1)D. (1, 2)3. 函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过0.25 ,则 f (x ) 可以是【】.A. f (x ) = e x -1C. f (x ) = (x -1)2B. f (x ) = 4x -1D. f (x ) = ln(x - )24. 若2 < a < 3 < b < 4 ,且函数 f (x ) = log a x + x - b 的零点 x 0 ∈(n , n +1) (n ∈ Z ) ,则 n = 【】.A.1B. 2C. 3D. 4题组2：5. 设函数 y =f (x ) 的图像在[a , b ] 上连续,若满足,则方程 f (x ) = 0 在[a , b ] 上有实根.6. 已知 x 是函数 f (x ) = 2x +1的一个零点.若 x ∈(1, x ) , x ∈(x , +∞) ,则【 】.1- x1 02 0A. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) < 0C. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) < 01B. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) > 0D. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) > 0 7. 函数 f ( x ) = x +的零点个数为.x8.求证:函数 f (x ) = x 2 - 2 -题组 3：3x -1在区间(0, 2) 内没有零点.9. 函数 f ( x ) = x + log 2 x 在区间(0,1) 内是否有零点？为什么？10. 求证:函数 f (x ) = x 4 - 2x -1在区间[-1, 2] 内至少有两个零点.11. 求证:函数 f (x ) = (x - 3)(x - 8) -1有且只有两个零点.12. 求证:函数 f (x ) = ln x - x 2 + x +1有且只有两个零点.13. 设函数 f (x ) = ax 2+ bx + c ,若 f (1) > 0 , f (2) < 0 ,则 f (x ) 在区间(1,2) 上的零点个数为【 】.n1 A.至多有一个 B.有且只有一个 C.有一个或两个 D.一个也没有14.设 m ∈(1, +∞) ,求证:函数 f (x ) = x - ln(x + m ) 有且只有两个零点.15.判断函数 f (x ) = x 2 - lg x 在区间(0,10) 内的零点个数,并说明理由.题组 4：16.设函数 f (x ) = x n + x -1 (n ∈ N *, n ≥ 2) . 1(1)证明: f n (x ) 在区间( 2 ,1) 内存在唯一的零点；1(2) 设 x n 是 f n (x ) 在( 2,1) 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , , x n 的增减性．17. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．218. 设函数 f (x ) = 2 l n x + mx - x 2有两个零点 x , x ,求证: f '( x 1 + x 2 ) < 0 .219. 设函数 f (x ) = ln x - ax 有两个零点 x , x ,求证: x x> e 2 .121 220. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；n11! 2!n ! +nn当 n 为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n21.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.24.导数应用之图像的切线题组 1：1.求平行于直线9x -y +1= 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.2.求垂直于直线x - 3y + 2 = 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.3.求与直线3x -y + 2 = 0 夹角为45︒,且与抛物线y = 2x2相切的直线方程.4.设函数f(x)=sin x图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围.题组 2：5.求函数f ( x) = 2x3的图像C 在点P(1, 2) 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, 2) 的切线方程.7.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1,10) 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数f (x) = x +9x +5的图像相切的直线方程.9.设函数f (x) =ax -bx,曲线C : y = f (x) 在点(2，f (2)) 处的切线为7x - 4 y -12 = 0 ．(1)求函数f (x) 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y =x ,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线2x +y - 3 + ln 2 = 0 是函数f (x) = ln x +(1)求f (x) 的解析式；m的图像C 的一条切线. x(2)若P(s, t) 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值.题组 3：11.已知直线y =x 是函数f ( x) =x3 - 3x2 +ax -1图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知a > 0 ,且过点P(a, b) 可作函数f (x) =x3-x 图像的三条切线,证明: -a <b < f (a) .13.设函数f (x) =1x3-1ax2+bx +c (a > 0) 的图像C 在点P(0, f (0)) 处的切线为y =1.3 2(1)确定b, c 的值；(2)设曲线C 在A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过Q(0, 2) ,证明:若x1 ≠x2 ,则f '(x1 ) ≠f '(x2 ) ；(3)若过点Q(0, 2) 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数f (x) =1x3+1ax2+bx 在区间[-1，1),(1，3]内各有一个极值点．3 2(1)求a2- 4b 的最大值；(2)当a2-4b =8 时,设曲线C :y = f (x) 在点A(1，f (1)) 处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求f (x) 的表达式．15.由坐标原点O(0,0) 向曲线y =x3- 3x 2+x 引切线,切于不同于点O 的点P ( x , y ) ,再由P 引切1 1 1 1线切于不同于P1的点P2( x2, y2) ,如此继续下去……,得到点Pn( xn, yn) ,求xn+1与xn的关系,及xn的表达式.巩固练习：1.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, -8) 的切线方程.2.求函数f (x) = x +3x2+31的图像经过点P(3, ) 的切线方程.23. 如图,从点 P (0, 0) 作 x 轴的垂线交于曲线 y = e x于点Q (0, 1) ,11曲线在Q 1 点处的切线与 x 轴交与点 P 2 ；再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点Q 2 ,依次重复上述过程得到一系列的点: P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 ,…, P n , Q n ,记点 P k 的坐标为 P k ( x k , 0) (k = 1, 2,3, , n ) . (1)求 x k +1 与 x k 之间的等量关系；(2) 求 P 1Q 1 + P 2Q 2 + P 3Q 3 +... + P n Q n .5.导数应用之存在与任意a 1.已知函数 f (x ) = x + +b (x ≠ 0) ,其中 a , b ∈ R ．x(1) 若曲线 f (x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y = 3x +1,求函数 f (x ) 的解析式；1 1(2) 若对于任意的 a ∈[ , 2] ,不等式 f (x ) ≤ 10 在 x ∈[ ,1] 恒成立,求b 的取值范围．2 42.已知函数 f (x ) = (1+ x )2 - 2ln(1+ x ).(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 f (x ) < m 对 x ∈[e -1 -1,e -1]恒成立,求m 的取值范围；3. 设函数 f (x ) =1 .x ln x1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 2 x> x a 对 x ∈(0,1) 恒成立,求 a 的取值范围.4. 已知函数 f (x ) = ln 2(x +1) -x 2. x +1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若(1+ 1)n +α ≤ e 对n ∈ N n+都成立,求α 的最大值.5. 设函数 f (x ) = x (e x -1) - ax 2 .1(1)若 a =,求 f (x ) 的单调区间； (2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.26. 设函数 f (x ) = e x - ax 2 - x .(1)若 a = 0 ,求 f (x ) 的最小值；(2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 1恒成立,求 a 的取值范围.7. 设函数 f ( x ) = e x - ax 的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y = f ( x ) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1) 求 f ( x ) 的极值；(2) 证明:当 x > 0 时, x 2 < e x ；(3) 证明:对任意给定的正数c ,总存在 x ,使得当 x ∈(x ，+∞) ,恒有 x 2 < ce x . 8.设函数 f ( x ) = ax + cos x ,(1) 讨论函数 f (x ) 在区间[0,] 内的单调性；(2) 若 f (x ) ≤ 1+ sin x 对 x ∈[0,]恒成立,求实数 a 的取值范围.9. 设函数 f (x ) = x cos x - sin x , x ∈[0, ].2(1)求证: f (x ) ≤ 0 ；sin x(2)若 a < < b 对 x ∈(0, ) 恒成立,求 a 的最大值与b 的最小值.x 210. 已知函数 f (x ) = (a + 1) ln x + ax 2+ 1,(1)讨论函数 f (x ) 的单调性；(2)设 a < -1,且对任意的 x 1 , x 2 ∈ (0,+∞) ,都有| f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 | x 1 - x 2 | ,求 a 的取值范围.11. 已知 x = 3 是函数 f (x ) = (x 2 + ax + b )e 3-x 的一个极值点.(1)求 a 与b 的关系式(用 a 表示b ),并求函数 f (x ) 的单调区间；(2)设 a > 0 , g (x ) = (a 2 +25)e x.若存在 x , x ∈[0, 4],使得 f (x ) - g (x ) < 1成立,求 a 的取值范围.41 2 1 212.已知函数 f (x ) = ax 3 + 1x 2 cos - 2x + c 的图像过点(1,37) ,且在[-2,1] 上递减,在[1, +∞) 上递增. 26(1) 求 f (x ) 的解析式；45 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) 若对任意的 x , x ∈[m , m + 3] 都有 f (x ) - f (x ) ≤ 成立,求正实数 m 的取值范围.1212213.设函数 f (x ) = 1 mx 3 - (2 +m )x 2 + 4x + 1, g (x ) = mx + 5 .32(1) 当m > 0 时,求函数 f (x ) 的递增区间；(2) 是否存在负实数 m ,使得对任意的 x 1, x 2 ∈[1, 2],都有 g (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ 1？若存在,求 m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ( abc ≠ 0 )的图像上,记直线 AB的斜率为 k ,求证: k =f '(x 1 + x 2) ； 2(2)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在“伪二次函数” g (x ) = ax 2+ bx + c ln x (abc ≠ 0 )的图像上,记 直线 AB 的斜率为 k ,试问: k = g '(x 1 + x 2 ) 还成立吗？22.设函数 f (x ) = ax 2 + (1 - 2a )x - ln x (a ∈ R ) ．(1) 当 a > 0 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间；(2) 记函数 y = f (x ) 的图像为曲线C ,设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 是曲线C 上不同的两点, M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线C 于点 N ．试问:曲线C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB ？3. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．24.设函数f (x) = 2 ln x +mx -x2.(1)若曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = 2x +n ,求实数m, n 的值；f (a) -f (b)>-2 ；(2)若m >-4 ,求证:当a >b > 0 时,有a2-b2(3)若函数f (x) 有两个零点x1 , x2 (x1 <x2 ) ,且x0 是x1 , x2 的等差中项,求证: f '(x0 ) < 0 .5.设函数f (x) = ln x -ax 有两个零点x ,x ,求证: x x >e2.1 2 1 26.设函数f ( x) =e x-ax +a 的两个零点为x ,x ,求证: x x <x +x .1 2 1 2 1 27.设函数f (x) =e x-ax ,其中a >e ,(1)求证:函数f (x) 有且仅有两个零点x1 ,x2 ,且0 <x1 < 1 <x2 ；(2)对于(1)中的x1 , x2 ,求证: f '(x1 ) +f '(x2 ) > 0 .1 8. 设函数 f (x ) = e x + mx 的图像在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 2x - y +1 = 0 ,求证:对满足 a < b < c 的实数 a , b , c ,都有 f (b ) - f (a ) < f (c ) - f (b )成立.b - ac - b7.导数应用之不等式证明(1)1 1 11.证明:对任意的n ∈ N + ,都有ln( n + 1) > n 2 - n3 .2.已知 m , n ∈ N + ,且1 < m < n ,求证: (1+ m )n > (1+ n )m .3. 设函数 f (x ) =+ a ln(x -1), （1- x )n(1) 当 n = 2 时,求函数 f (x ) 的极值；(2) 当 a = 1 时,证明:对任意的n ∈ N + ,当 x ≥ 2 时,都有 f (x ) ≤ x -1.4. 已知函数 f (x ) = e x - a ln(x +1) -1 在点 P (0, f (0)) 处的切线垂直于 y 轴,(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2)当 m > n > 0 时,求证: e m -n -1 > ln(m +1) - ln(n +1) .n n +2 n n +15. 设函数 f (x ) = xex,且 f 1 (x ) =f '(x ) , fn +1 (x ) = f n '(x ) (n ∈ N + ) .(1)求 f 1 (x ) , f 2 (x ) , f 3 (x ) , f n (x ) 的解析式；(2)求证:对任意的实数 a , b ,以及任意的正整数 n ,都有 f 2n (a ) - f 2n -1 (b ) <f (n ) .6. 设函数 f (x ) = mx - x ln x 在 x = 1 处取得极值,数列{a }满足e -1 < a < 1 , a= f (a ) (n ∈ N + ) .n1n +1n(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有e -1 < a <1；(3) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有 a + a < 2a .7. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；当n11! 2!n !+nnn为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n8.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.8.导数应用之不等式证明(2)1. 设函数 f (x ) =1- x + ln x .ax(1) 若函数 f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围； (2) 当 a = 1 时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有ln n >1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 .234 n2. 设函数 f (x ) = x - ln(x + a ) 的最小值为0 ,其中 a >0 .(1) 若对任意的 x ∈[0,+∞) ,有 f (x ) ≤ kx 2 成立,求实数 k 的最小值； (2) 证明:对大于1的任意正整数 n ,都有1 + 3 1+ + 51 < 2n -1 1 ln(2n +1) .23. 设函数 f (x ) = kx 2 , g (x ) = ln x ,(1) 讨论关于 x 的方程 f (x ) = g (x ) 在区间[e -1, e ] 内的实数根的个数；ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有 14 + + 24 34 + 44 + + n 4 < 2e.e 1 1 1 14. 设函数 f ( x ) = x - a ln(1 + x 2 ) ,1 2(1) 若函数 f ( x ) 在区间( , ) 上递增,求实数a 的取值范围；3 3(2)证明:当 x > 0 时, ln(1+ x 2 ) < x ；(3)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有(1 +14 )(1 + 24 )(1 + 34 ) (1 + n4 ) < 2e .5.设函数 f (x ) =2x,其中 f (1) = 1 , f ( 1 ) = 2 .在数列{x }中, x = 1,且 x= f (x ) .ax + b(1) 求数列{x n }的通项 x n .2 3n1 12n +1n(2) 求证:对任意的正整数n ,都有 x 1x 2 x 3 x n >2e.6. 设函数 f (x ) = e x - ax -1 ,(1) 若 f (x ) ≥ 0 对 x ∈ R 均成立,求正实数 a 的取值集合；(2)求证:对任意的正整数 n ,都有( 1 )n + ( 2)n + ( 3)n + + ( n )n <e.nn n n e -17. 设函数 f ( x ) = e x - x - 1 ,(1) 求证:函数 f (x ) 有且只有一个零点；1 n 3 n 5 n 2n - 1 n(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有( ) 2n + ( ) 2n + ( ) 2n + + ( 2n) < .e - 1k k 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 n8.(1)设函数 f (x ) = rx - x r +1- r (x > 0) ,其中0 < r < 1.求函数 f (x ) 的最小值；(2) 用(1)的结果证明命题:设 a ≥ 0 , a ≥ 0 , b , b 为正实数,若b + b = 1,则 a b 1 a b 2 ≤ a b + a b ；121212121 12 2(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数 f (x ) = ln x - x + 1的最大值；(2) 设a , b 均为正实数,证明:若a b + a b+ + a b ≤ b + b + + b ,则a b 1 a b 2 a b n ≤ 1 ；(3) 设a , b 均为正实数,证明:若b + b + + b = 1 ,则 1 ≤ b b b b b b ≤ b 2 + b 2 + + b 2 . k k 1 2 1 2 n n1 2 nn 1 2 nn。
导数综合练习题.docx
导数练习题（ B）1．（本题满分 12 分）已知函数 f ( x)ax3bx2(c3a2b) x d 的图象如图所示．（ I）求c, d的值；（ II ）若函数 f (x)在x 2处的切线方程为3x y110 ，求函数 f (x) 的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数y f (x) 与 y 1f ( x)5x m 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围．32．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) a ln x ax3(a R) ．（ I）求函数f (x)的单调区间；（ II ）函数f (x)的图象的在x4处切线的斜率为3若函数132m23）上不是单调函数，求m 的取值范围．323．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x3ax2bx c 的图象经过坐标原点，且在x 1 处取得极大值．（ I）求实数a的取值范围；（ II ）若方程 f ( x)(2a3)2恰好有两个不同的根，求 f ( x) 的解析式；9（ III ）对于（ II ）中的函数 f (x) ，对任意、R ，求证： | f ( 2sin ) f ( 2sin ) | 81 ．4．（本小题满分 12 分）已知常数 a0 ，e为自然对数的底数，函数 f ( x) e x x ， g( x) x 2aln x ．（ I）写出 f (x) 的单调递增区间，并证明 e a a ；（ II ）讨论函数y g (x) 在区间 (1,e a ) 上零点的个数．5．（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) ln( x 1) k( x 1) 1 ．（I）当k 1时，求函数 f (x)的最大值；（II ）若函数 f ( x)没有零点，求实数k的取值范围；6．（本小题满分 12 分）( x2ax 2a 3)e x的一个极值点（ e 2.718已知 x 2 是函数 f ( x)）．（ I）求实数a的值；（ II ）求函数f ( x)在x[ 3,3] 的最大值和最小值．27．（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) x24x (2 a) ln x,( a R, a 0)（I）当 a=18 时，求函数f ( x)的单调区间；（I I ）求函数f (x)在区间[e,e2]上的最小值．8．（本小题满分 12 分）已知函数f ( x) x( x6)aln x 在x (2,)上不具有单调性．．．．（ I）求实数a的取值范围；（ II ）若f( x) 是 f (x)的导函数，设g( x)f(x) 62x1、 x2，x2，试证明：对任意两个不相等正数不等式 | g (x1 )g (x2 ) | 38| x1x2 | 恒成立．279．（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) 1 x2ax ( a 1) ln x, a 1.2（I ）讨论函数f ( x)的单调性；（II ）证明：若a5, 则对任意 x1 , x2 (0,), x1x2f ( x1 ) f ( x2 ),有 1.x1x210．（本小题满分14 分）已知函数 f (x)1x2 a ln x, g( x)(a 1)x, a1．2（ I ）若函数f ( x),g ( x) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；（ II ）若a(1, e] (e 2.71828L ) ，设 F ( x) f ( x)g( x) ，求证：当 x1 ,x2[1,a] 时，不等式| F (x1 ) F (x2 ) |1成立．11．（本小题满分12 分）设曲线 C ：f (x)ln x ex （e 2.71828），f ( x)表示 f ( x)导函数．（ I）求函数 f (x) 的极值；（ II ）对于曲线C 上的不同两点A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， x1x2，求证：存在唯一的x0(x1, x2 ) ，使直线 AB的斜率等于 f ( x0 ) ．12．（本小题满分14 分）定义 F (x, y) (1 x) y , x, y (0,) ，（ I）令函数 f (x) F (3,log 2 (2 x x24)) ，写出函数 f ( x) 的定义域；（ II ）令函数g( x) F (1,log2( x3ax2bx 1))的图象为曲线 C ，若存在实数 b 使得曲线 C 在x0 ( 4 x0 1) 处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；（ III ）当x, y N * 且 x y 时，求证 F ( x, y) F ( y, x) ．导数练习题（ B ）答案1．（本 分 12 分）已知函数 f ( x) ax 3bx 2(c3a 2b) xd 的 象如 所示．（ I ）求 c, d 的 ；（ II ）若函数 f (x) 在 x2 的切 方程 3xy 11 0 ，求函数 f (x) 的解析式；（ III ）在（ II ）的条件下，函数yf (x) 与 y1f ( x) 5x m 的 象有三m 的取 范 ．3个不同的交点，求解：函数 f (x) 的 函数 f ' ( x) 3ax 22bx c 3a 2b⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）（ I ）由 可知函数 f (x) 的 象 点（0， 3），且 f ' (1)得d 3d 3⋯⋯⋯⋯ （4 分）3a 2b c3a 2bc（ II ）依 意f ' ( 2)3 且 f ( 2)512a 4b 3a 2b 3 8a 4b 6a 4b3 5解得 a 1, b 6 所以 f ( x) x 3 6x 2 9x 3⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）（ III ） f(x)3x 212x9 ．可 化 ： x 36x 29x 3x 24x 35x m 有三个不等 根，即： g xx 37 x 2 8xm 与 x 有三个交点；g x 3x 214 x 8 3x 2 x 4 ，x22 2，4 4， ,3433g x+-+g x增极大减极小增268 m,g 416m ．⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）g273当且 当 g2 68 m 0且g 416 m0 ，有三个交点，327故而，16m 68⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）所求．272．（本小 分 12 分）已知函数 f ( x)a ln x ax 3(a R) ．（ I ）求函数 f (x) 的 区 ；（ II ）函数f (x)的 象的在x 4 切 的斜率3 若函数 1 32m2323）上不是 函数，求 m 的取 范 ．解：（I ） f '( x)a(1 x)( x 0) （2 分）x当 a 0时 , f ( x)的单调增区间为 0,1 ,减区间为 1,当 a 0时, f ( x)的单调增区间为 1, , 减区间为 0,1 ;当 a=1 ， f ( x) 不是 函数（5 分）（II ） f ' (4)3a 3 2, f ( x)2 ln x 2x 34得 a2g( x)1 x 3 ( m2)x 2 2x, g' (x) x 2 (m 4)x 2 （ 6 分）3 2g( x)在区间 (1,3)上不是单调函数 , 且 g' (0) 2g' (1) 0,m3,19 ,（8 分）19 （ 10 分） m( 3)（12分）g' (3)0.m, 333．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x)x 3 ax 2bx c 的 象 坐 原点，且在x 1 取得极大 ．（ I ）求 数 a 的取 范 ；（ II ）若方程 f ( x)(2a 3)2恰好有两个不同的根，求f ( x) 的解析式；9（ III ） 于（ II ）中的函数f (x) ， 任意 、 R ，求 ： | f ( 2sin ) f ( 2sin ) | 81 ．解：（I ） f (0) 0 c 0,f ( x ) 3 x 2 2 ax ,(1) 0 b 2a 3b f f ( x)3x 2 2ax (2a 3) ( x 1)(3x 2a 3),由 f ( x)0 x 1或x 2a 3 1 取得极大 ，3 ，因 当 x2a 3所以1 a3 ，所以 a 的取值范围是 : (, 3)；3⋯⋯⋯⋯ （4分）（ II ）由下表：x(,1)1(1, 2a 3) 2a 3( 2a 3, )f (x)3 33+- 0-f ( x)极大值极小值递增递减a 6(2a 3)2递增a227依 意得：a6( 2a 3) 2(2a 3)2 ，解得： a 9279 所以函数 f ( x) 的解析式是：f ( x) x 3 9x 2 15x,22sin2, 2 2 sin2,⋯⋯⋯⋯ （10分）（ III ） 任意的 数都有在区 [-2， 2]有： f (2)8 36 30 74, f (1) 7, f (2) 8 36 30 2f ( x)的最大值是 f (1) 7, f (x)的最小值是 f ( 2) 8 36 3074函数 f ( x)在区间 [ 2,2] 上的最大 与最小 的差等于 81，所以 | f ( 2sin) f ( 2sin ) | 81 ．⋯⋯⋯⋯ （14分）4．（本小 分 12 分）已知常数 a0 ， e 自然 数的底数，函数f ( x) e xx ， g( x) x 2aln x ．（ I ）写出 f (x) 的 增区 ，并 明e a a ；（ II ） 函数y g (x) 在区 (1,e a ) 上零点的个数．解：（I ） f ( x)e x 1 0 ，得f (x) 的 增区 是(0, ) ， ⋯⋯⋯⋯ （2分）∵ a0 ，∴ f (a) f (0) 1 ，∴ e a a 1 a ，即 e a a ． ⋯⋯⋯⋯ （4 分）a 2( x2a)( x2a )2a2 2（ II ） g ( x)2x，由 g ( x)0 ，得 xxx，列表2x ( 0,2a ) 2a (2a , )222g ( x)-0 +g( x)减极小增当 x2a ，函数 y g(x) 取极小 g(2a ) a(1 ln a) ，无极大 ．2222⋯⋯⋯⋯ （ 6分）e 2 ae aa，∴ e a2a由（ I ） e aa ，∵a ，∴ e 2 aa222g(1) 1 0 ， g(e a ) e 2 aa 2 ( e a a)(e aa) 0 ⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）（ i ）当2a 1，即 0 a 2 ，函数 yg (x) 在区 (1,e a ) 不存在零点2（ ii ）当2a1 ，即 a22若 a(1 ln a)0，即 2a 2e ，函数 yg(x) 在区 (1,e a ) 不存在零点22若 a(1 ln a ) 0 ，即 a 2e ，函数 yg (x) 在区 (1,e a ) 存在一个零点 xe ；22若 a(1 ln a )0 ，即 a2e ，函数 yg(x) 在区 (1,e a ) 存在两个零点；22上所述， yg (x) 在 (1, a)上，我 有 ：e当 0a 2e ，函数 f (x) 无零点；当 a 2e ，函数 f ( x) 有一个零点；当 a 2e ，函数 f (x) 有两个零点．⋯⋯⋯⋯ （ 12分）5．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) ln( x 1)k( x 1) 1 ．（ I ）当 k 1 ，求函数f (x) 的最大 ；（ II ）若函数 f ( x) 没有零点，求 数k 的取 范 ；解：（I ）当 k 1 ， f(x)2 xx 1f ( x)1+2），令 f ( x) 0,得 x 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （分）定 域 （ ，∵当 x (1,2)时 , f ( x) 0 ，当 x(2, )时, f ( x) 0 ，∴ f ( x) 在(1,2) 内是增函数， 在(2,) 上是减函数∴当 x2 ， f ( x) 取最大 f (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）（ II ）①当 k0时 ，函数 yln( x 1) 象与函数 yk( x 1) 1 象有公共点，∴函数 f ( x) 有零点，不合要求；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）②当 k0时 ， f ( x)1k1 k kxk ( x 1 kk )⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）x 1x 1x 1令 f (x)0,得 xk 1 ，∵ x (1,k1)时, f ( x) 0, x(1 1 ,)时, f ( x)0 ，k kk∴ f ( x) 在(1,11) 内是增函数， 在[11 , ) 上是减函数，kk∴ f ( x) 的最大 是 f (1 1 ) ln k ，k∵函数 f ( x) 没有零点，∴ ln k 0 ， k1 ，因此，若函数f ( x) 没有零点， 数k 的取 范 k(1, ) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）6．（本小 分 12 分）已知 x2 是函数 f ( x) ( x 2 ax 2a 3)e x 的一个极 点（ e2.718 ）．（ I ）求 数 a 的 ；（ II ）求函数f ( x) 在 x [ 3,3] 的最大 和最小 ．(x 223)e x 可得解：（I ）由 f ( x)ax 2af (x)(2 x a)e x (x 2 ax 2a3)e x [ x 2 (2 a)x a 3]e x ⋯⋯ （ 4 分） ∵ x2 是函数 f ( x) 的一个极 点，∴ f (2) 0∴ (a 5)e 20 ，解得 a5⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（ II ）由 f( x) ( x 2)( x1) e x0 ，得 f ( x) 在 ( ,1) 增，在 (2,) 增，由 f (x) 0 ，得 f ( x) 在在 (1,2) 减∴ f ( 2)e 2是 f ( x) 在 x[ 3,3] 的最小 ；7 e 232e 37 e 23f ( 3)， f (3) e 3 ∵ f (3) f ( 3) 2 4 3,3] 的最大 是 2 4∴ f ( x) 在 x [ f (3) e 3 ．2 7．（本小 分 14 分）已知函数 f ( x) x 2 4x (2 a) ln x,( a R, a 0)（ I ）当 a=18 ，求函数 f ( x) 的 区 ；（ II ）求函数 f (x) 在区 [e,e 2 ] 上的最小 ．解：（Ⅰ） f ( x)x 2 4x 16 ln x ，f ' (x) 2 x416 2(x 2)( x 4)x x⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）1e 23( 4e e 7) 0, f ( 3) f ( 3)42⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）2 分由 f ' ( x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 x 4 或 x 2注意到 x 0，所以函数 f (x) 的 增区 是（ 4， +∞） 由 f '( x) 0 得 ( x 2)( x 4) 0 ，解得 -2＜ x ＜ 4，注意到 x 0，所以函数f (x) 的 减区 是 (0,4] .上所述，函数f (x) 的 增区 是（4， +∞）， 减区 是 (0,4]6 分（Ⅱ）在 x[e, e 2 ] ， f ( x) x 2 4 x (2 a) ln x所以 f ' ( x) 2x 2 a 2x 2 4x 2 a4 x ，2x 2 xg( x) 4x 2 a当 a 0 ，有 △ =16+4 ×2 (2 a)8a 0 ，此g(x)0 ，所以 f ' (x)0 ， f (x) 在 [e, e 2 ] 上 增，所以 f ( x) min f (e)e 2 4e 2 a 8 分当 a0 ， △=164 2(2a)8a0 ，令 f ' ( x)0 ，即 2x 24x2 a 0 ，解得 x 12a 或 x 12a ；22令 f '( x)0 ，即 2 x 24x 2 a 0 ，解得 12a x 12a .22①若 12a ≥ 2，即 a ≥2(e 21)2 ，2ef (x) 在区 [e,e 2] 减，所以f ( x) minf (e 2 )e 4 4e 24 2a .②若 e 12a e 2 ，即 2(e 1)2a2(e 2 1) 2 ，2f (x) 在区 [e,12a [12a , e 2 ] 上 增， 2 ] 上 减，在区2所以 f (x) minf (12a ) a2a 3 ( 2 a) ln(12a) .222③若 12a ≤e ，即 0a ≤2(e1) 2， f ( x) 在区 [ e, e 2 ] 增，2e 2所以 f ( x) min f (e)4e 2 a上所述，当 a ≥2(e 2 1) 2 ， f (x)min a 4 4e 24 2a ；当 2(e 1) 2a2( e 2 1) 2 ， f ( x) mina 2a 3 ( 2 a) ln(12a ) ；1) 2， f ( x) min e 22 2当 a ≤2(e 4e 2a14 分8．（本小 分 12 分）已知函数 f ( x) x( x 6)aln x 在 x (2, ) 上不具有 性．．．．（ I ）求 数 a 的取 范 ；（ II ）若 f( x) 是 f (x) 的 函数， g( x)f (x) 62 ， 明： 任意两个不相等正数 x 1、 x 2 ，x 2不等式 | g (x 1 ) g (x 2 ) |38| x 1 x 2 | 恒成立．27 2x 2解：（I ） f ( x)2x 6a6xa，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）xx∵ f ( x) 在 x(2,) 上不具有 性，∴在x (2,) 上 f (x) 有正也有 也有0，．．．即二次函数 y 2x26x a 在 x (2, ) 上有零点⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）∵ y2x 2 6x a 是 称 是 x3 ，开口向上的抛物 ，∴ y2 22 6 2a 0的 数 a 的取 范 (,4) 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（II ）由（ I ）g( x) 2xa2xx2 ，方法 1： g( x)f ( x)2 6a 2(x 0) ，x22xx2x2x 3∵ a4 ，∴ g (x)2 a4 2 4 4 4x 4 ，⋯⋯⋯⋯ （8 分）x 2 x 3x 2x 3x 3h( x) 24 48 12 4(2 x 3)x 2x 3 ， h (x)x 3 x 4x 4h( x) 在 (0, 3) 是减函数，在 (3,) 增函数，当 x3， h( x) 取最小382 2227∴从而 g ( x)38 ，∴ ( g( x) 38 x) 0 ，函数 y g( x) 38x 是增函数，2727 38 27 38x 1、 x 2 是两个不相等正数，不妨x 1x 2 ， g( x 2 ) x 2 g ( x 1 ) x 127 27 ∴ g( x 2 ) g( x 1 )38(x 2 x 1 ) ，∵ x 2 x 10 ，∴ g (x 1 ) g( x 2 ) 3827x 1 x 227∴ g( x 1 ) g (x 2 ) 38 ，即 | g( x 1 ) g( x 2 ) | 38 | x 1 x 2 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （12 分）x 1 x 2 2727方法 2： M ( x 1 ,g (x 1)) 、 N (x 2 , g( x 2 )) 是曲 yg( x) 上任意两相异点，g (x 1 ) g( x 2 )2( x 1 x 2 )a ， Q x 1x 2 2 x 1 x 2 ，x 1 x 22x 1 x 2 a 4x 12 x 222( x 1 x 2 )a4a44 2x 12 x 222( x 1 x 2 )3 x 1 x 22⋯⋯⋯ （8 分）x 1 x 2( x 1 x 2 )3x 1 x 2t1 , t 0 ，令 k MN u(t)2 4t 34t 2 ， u (t ) 4t(3t 2) ，x 1x 2由 u (t)0 ，得 t2, 由 u (t) 0 得 0 t2 ,33u(t) 在 (0, 2) 上是减函数，在( 2, ) 上是增函数，33u(t) 在 t2 取极小 38 ， u(t )38 ，∴所以 g( x 1 ) g( x 2 )3832727x 1 x 2 27即 | g( x 1 ) g( x 2 ) |38 x 2 |⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）| x 1279．（本小 分12 分）已知函数 f ( x)1 x2 ax ( a 1) ln x, a 1.2（I ） 函数 f ( x) 的 性；（II ） 明：若 a5, 则对任意 x 1 , x 2(0, ), x 1f ( x 1 ) f ( x 2 )x 2 ,有x 2x 1 （ 1） f ( x) 的定 域 (0,) ， f '( x)x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)( x xxx2 分（ i ）若 a1 1,即 a 2，f ' (x)( x 1)2 . 故 f ( x) 在 (0,) 增加．x（ ii ）若 a1 1, 而 a 1, 故1 a 2,则当 x (a 1,1)时 , f ' (x) 0.当 x (0, a 1)及 x (1, )时, f '( x) 0,故 f ( x)在 (a 1,1) 减少，在（ (1, ) 增加． （ iii ）若 a 1 1,即 a 2,同理可得 f ( x)在 (1,a 1)单调减少 , 在 (0,1), (a 1,增加．1.1 a)0， a-1），)（ II ）考 函数 g (x) f ( x)x1 x2 ax (a 1) ln x x.2由 g ' ( x) x (a 1)a 1 2 x a1( a 1) 1 ( a 1 1)2 .x x由于 a a5,故 g' (x)0,即 g(x)在 (0,)单调增加 ，从而当 x 1g( x 1 ) g ( x 2 ) 0,即 f ( x 1 ) f (x 2 ) x 1 x 2 0, f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1，当 0f (x 1 ) f (x 2 ) 故 x 2x 1 x 2 ，有 x 2 x 1x 1 10．（本小 分14 分）x 2 0 有f (x 2 ) f ( x 1 )x 2x 11已知函数 f (x) 1 x 2 a ln x, g( x) (a 1)x , a 1 ．2（ I ）若函数 f ( x), g ( x) 在区 [1,3] 上都是 函数且它 的 性相同，求 数a 的取 范 ；（ II ）若 a(1, e] (e 2.71828L ) ， F ( x)f ( x) g( x) ，求 ：当 x 1 ,x 2[1,a] ，不等式| F (x 1 ) F (x 2 ) | 1成立．解：（I ）f ( ) x a ,g ( x ) a 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）x x∵函数 f (x), g( x) 在区 [1,3] 上都是 函数且它 的 性相同，∴当 x[1,3] ， f ( x)g (x)(a 1)(x 2a)0 恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）x即 ( a 1)(x 2a) 0 恒成立，a 1x [1,3] a1 在 x [1,3] 恒成立，∴a在 恒成立，或x 2x 2a∵ 9x1 ，∴ a1 或 a9⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）（ II ） F ( x)1 x2 a ln x, (a 1)x ， F ( x) x a ( a 1) ( x a)( x 1)2 xx ∵ F ( x) 定 域是 (0, ) ， a (1, e ] ，即 a 1∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数，在 (1,a) 减函数，在 ( a, ) 是增函数∴当 x1 ， F ( x) 取极大 MF(1)a 1 ，2当 xa ， F ( x) 取极小 mF ( a)a ln a 1 a 2 a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）2∵ x 1 , x 2 [1,a] ，∴ | F ( x 1 ) F ( x 2 ) | | M m | M m⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）G (a) Mm 1 a 2 aln a1， G ( a) a ln a 1 ，1 2 2∴ [ G (a)] 1 ，∵ a (1, e] ，∴ [ G (a)] 0a∴ G (a) a ln a 1 在 a (1, e] 是增函数，∴ G (a) G (1) 0∴ G (a)1 a2 a ln a 1 在 a (1, e] 也是增函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12 分）2 2∴ G (a) G (e) ，即 G (a)1 e2 e 1 (e 1)21，2 2 2而 1e 2e 1 (e 1)21 (3 1)21 1，∴ G (a) M m 122 22∴当 x 1 ,x 2[1,a] ，不等式 | F (x 1)F (x 2 ) |1成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 14 分）11．（本小 分12 分）ex （ e2.71828曲 C ： f (x) ln x ）， f ( x) 表示 f ( x) 函数．（ I ）求函数 f (x) 的极 ；（ II ） 于曲 C 上的不同两点A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， x 1 x 2 ，求 ：存在唯一的 x 0(x 1, x 2 ) ，使直 AB 的斜率等于 f ( x 0 ) ．解：（I ） f( x) 1 1 ex，得 x1xe0 ex当 x 化 ， f( x) 与 f ( x) 化情况如下表：x(0, 11 1)e( , )eef (x)＋ 0 －f (x)增极大减∴当 x1 ， f ( x) 取得极大 f ( 1)2 ，没有极小 ；⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）ee（ II ）（方法 1）∵ f (x 0 )即 x 0lnx2(x 2 x 1 )x 1g( x 1 ) x 1 lnx 2(x 2x 1∵ x 1x 2 ，∴ g( x 1 )k AB ，∴ 1e ln x 2 ln x 1 e( x 2x 1 )，∴x 2x1lnx2x 0 x 2 x 1x 0x 10 ， g (x) x lnx 2(x 2 x 1 )x 1x 1) ， g( x 1 )/ ln x 21 0 ， g (x 1) 是 x 1 的增函数，x 1x 1g( x 2 ) x 2 lnx 2(x 2 x 2 ) 0；x 2x 2 lnx 2/lnx 2g( x 2 )( x 2x 1 ) ，g (x 2 )x 21 0 ， g( x2 ) 是 x 2 的增函数，x 1x 1∵ x 1x 2 ，∴ g( x 2 ) g( x 1 ) x 1 lnx 1(x 1 x 1) 0 ，x 1∴函数 g (x)x lnx 2( x 2 x 1 ) 在 ( x 1, x 2 ) 内有零点 x 0 ，⋯⋯⋯⋯ （ 10 分）x 1又∵x21, ln x20 ，函数 g (x)x lnx 2( x 2 x 1 ) 在 (x 1, x 2 ) 是增函数，x 1x 1x 1∴函数 g (x)x 2 x 1 lnx2在 (x 1, x 2 ) 内有唯一零点 x 0 ，命 成立 ⋯⋯⋯⋯ （12 分）xx 1（方法2）∵ f ( x 0 )k AB ，∴ 1 e ln x 2 ln x 1 e( x 2 x 1) ，x 0 x 2 x 1即 x 0 ln x 2x 0 ln x 1 x 1 x 2 0 ， x 0 ( x 1 , x 2 ) ，且 x 0 唯一g( x) xln x 2x ln x 1 x 1 x 2 ， g (x 1) x 1 ln x 2 x 1 ln x 1x 1 x 2 ， 再 h(x) xln x 2 x ln x x x 2 ， 0 xx 2 ，∴ h (x) ln x 2 ln x 0∴ h( x)x ln x 2 x ln x x x 2 在 0 xx 2 是增函数∴ g( x 1 ) h( x 1 ) h(x 2 ) 0 ，同理 g( x 2 ) 0∴方程 x ln x 2x ln x 1x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有解⋯⋯⋯⋯ （10 分）∵一次函数在 (x 1 , x 2 ) g( x)(ln x 2 ln x 1) x x 1 x 2 是增函数∴方程 x ln x 2 x ln x 1x 1 x 2 0 在 x 0 ( x 1 , x 2 ) 有唯一解，命 成立 ⋯⋯⋯ （ 12 分）注： 用函数 性 明，没有去 明曲C 不存在拐点，不 分．12．（本小 分 14 分）定 F (x, y)(1 x) y , x, y(0, ) ，（ I ）令函数 f (x)F (3,log 2 (2 x x 24)) ，写出函数 f ( x) 的定 域；（ II ）令函数g( x)F (1,log 2 ( x 3 ax 2 bx 1)) 的 象 曲C ，若存在 数b 使得曲C 在x 0 ( 4 x 01) 有斜率 －8 的切 ，求 数 a 的取 范 ；（ III ）当 x, yN * 且 x y ，求 F ( x, y)F ( y, x) ．解：（I ） log 2 (2 xx 24) 0 ，即2 x x 2 4 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）得函数 f ( x) 的定 域是 ( 1,3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 4 分）（ II ） g ( x) F (1,log 2 ( x 2ax 2 bx 1)) x 3 ax 2bx 1,曲 C 在x 0 ( 4 x 0 1)有斜率 － 8 的切 ，又由 log2 ( x3 ax2bx1) 0,g ( x ) 3 x 22 ax,b3x 02 2ax 0b 8①∴存在 数 b 使得4x 01② 有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 6 分）x 03ax 02bx 01 1 ③由①得b8 3x2 2,代入③得 2ax 08 0 ，ax 02x 0由 2x 02ax 0 8 0有解，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8 分）4 x 0 1方法 1： a 2( x 0 ) 8 ，因 4 x 01 ，所以 2(x 0 )8 ( x 0 )[8,10) ，( x 0 )当 a 10 ，存在 数 b ，使得曲 C 在 x 0 (4x 01) 有斜率 － 8 的切方法 2：得 2 ( 4)20或2 ( 1)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）a (4) 8a ( 1) 80 ，a 10或a 10, a 10.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 10 分） 方法 3：是2 ( 4)2a ( 4) 8 0的 集，即 a 10⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （10 分）2 ( 1)2 a( 1) 8 0（ III ）令 h(x)ln(1 x) , xx又令 p(x)xln(1 1 xp( x)在[ 0, ) 减当 x 0时有 p( x) p(0)xx)ln(11,由 h (x)1 x2x11 xx), x 0,p ( x)0 ，(1 x)21 x(1 x)2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12）分0, 当x1时有 h( x)0,h( x)在[1, ) 减，1 xy 时,有 ln(1 x)ln(1y), y ln(1 x)x ln(1 y), (1 x) y(1 y) x ，xy当 x, y N 且 x y 时 F ( x, y) F ( y, x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （14 分）。
导数的综合应用练习题及答案word精品文档16页
导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 21(2)()[2,2]1f x x =-+；(3)()[0,3]f x =； 2(4)()1[1,1]x f x e =--解：2(1)()23[1,1.5]f x x x =---该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14ξ=。
解：21(2)()[2,2]1f x x =-+该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1(2)5f =，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使222()0(1)f ξξξ-'==+，解出0ξ=。
解：(3)()[0,3]f x =该函数在给定闭区间上连续，其导数为()f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0f ξ'==，解出2ξ=。
解：2(4)()e 1[1,1]x f x =--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。
2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。
3(1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2]f x x=；32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--解：3(1)()[0,](0)f x xa a =>该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3203(0)a a ξ-=-，解出ξ=。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
导数的运算——综合练习(解析版)
导数的运算——综合练习一．选择题（共40小题）1．若f′（x）是函数f（x）=x3+2x+1的导函数，则f′（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．42．若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±23．下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3eC．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx4．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知函数f（x）=，若f′（1）=，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣17．已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣9．已知，则f'（2）=（）A．B．C．2 D．﹣210．下列求导运算正确的是（）A．（log2x）′=B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=11．若f（x）=，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）=（）A．f'（x）= B．f'（x）=C．f'（x）= D．f'（x）=12．已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（）A．2016 B．﹣2016 C．2017 D．﹣201713．已知f'（x）是f（x）=sinx+acosx的导函数，且f'（）=，则实数a的值为（）A．B．C．D．114．已知函数f（x）的导函数f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣1 B．﹣e C．1 D．e15．下列函数在点x=0处没有切线的是（）A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．D．16．f'（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）=﹣x2+2x f'（2017）+2017㏑x，则f'（1）=（）A．2016 B．6045 C．2017 D．604817．已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1 C．1 D．018．函数y=sin（lnx）的导数y′=（）A．ln（cosx）B．cos（lnx）C．﹣cos（lnx）D．cos（lnx）19．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．120．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2017（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx21．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx22．函数（x＞0），若x0满足f'（x0）=0，设m∈（0，x0），n∈（x0，+∞），则（）A．f'（m）＜0，f'（n）＜0 B．f'（m）＞0，f'（n）＞0 C．f'（m）＜0，f'（n）＞0 D．f'（m）＞0，f'（n）＜023．若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（）A．，B．（3，+∞）C．，D．，24．设函数f（x）=x3﹣ax2+2bx+1的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象关于直线x=对称，且当x∈[1，π]时，恒有f（x）≥1，则实数b的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）25．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）26．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有，则的最小值为（）A．2 B．C．3 D．27．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．428．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=（）A．0 B．1 C．2 D．201751129．[x]表示不超过x的最大整数，若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f′（x），则函数f=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}30．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m＜x1＜x2＜n）满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，3） C．（，1） D．（，1）31．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=（）A．2017 B．2016 C．2 D．032．已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）33．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1]B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣，]34．已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx35．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x3﹣1，h（x）=2x，φ（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α36．设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f（x）=f n′（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，则cosA的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣37．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则x0称为f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）①f（x）=x2；②f（x）=e﹣x；③f（x）=lnx；④f（x）=tanx；⑤f（x）=．A．①③⑤B．①③④C．②③④D．②⑤38．设函数f n′（x）是f n（x）的导函数，f0（x）=e x（cosx+sinx），f1（x）=，f2（x）=，…，（n∈N），则f2016（x）=（）A．e x（cosx+sinx）B．e x（cosx﹣sinx）C．﹣e x（cosx+sinx）D．e x（sinx﹣cosx）39．已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3]D．[﹣6，0]40．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）二．填空题（共6小题）41．已知在R上可导，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F′（1）=．42．已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．43．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=．44．已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是．45．已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是．（1）f（）＞﹣1；（2）f（）＞；（3）f（）＜；（4）f（）＜f（）46．若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则f n（x）=；根据上述性质推断：当x1+x2+x3=π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx1+sinx2+sinx3的最大值为．导数的运算——综合练习参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．若f′（x）是函数f（x）=x3+2x+1的导函数，则f′（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．4【分析】先求函数f（x）的导函数，然后在导函数解析式中把x代﹣1求值．【解答】解：因为函数f（x）=x3+2x+1，所以其导函数f′（x）=x2+2，所以f′（﹣1）=（﹣1）2+2=3．故选B．2．若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2【分析】根据函数的导数公式解方程即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．3．下列求导运算正确的是（）A．（cosx）'=sinx B．（3x）'=3x log3eC．D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【分析】根据函数的导数公式进行判断即可．【解答】解：（cosx）'=﹣sinx，A不正确；（3x）'=3x ln3，B不正确（lgx）′=，C正确；（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，D不正确故选：C．4．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】求出f（x）的导函数，根据f′（x）=2f（x）列出关系式，计算即可求出tan2x的值．【解答】解：求导得：f′（x）=cosx+sinx，∵f′（x）=2f（x），∴cosx+sinx=2（sinx﹣cosx），即3cosx=sinx，∴tanx=3，则tan2x===﹣．故选C5．已知函数f（x）=，若f′（1）=，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据导数的公式即可得到结论【解答】解：函数f（x）=，则f′（x）=∵f′（1）=，即f′（1）==，∴a=4．故选：B6．已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=e x，故选：C7．已知f（x）=lnx，则f′（e）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选D．8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，x=2代入求解即可．【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，∴f′（2）=2f′（1）+=﹣2+=﹣．故选D．9．已知，则f'（2）=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．【解答】解：∵f′（x）=﹣+3f′（2），∴f′（2）=﹣+3f′（2），解得：f′（2）=，故选：A．10．下列求导运算正确的是（）A．（log2x）′=B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：=，=1﹣，（cosx）′=﹣sinx，=，可知：只有A正确．故选：A．11．若f（x）=，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（x）=（）A．f'（x）= B．f'（x）=C．f'（x）= D．f'（x）=【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=，故选：B12．已知函数f（x）=x2+2xf′（2017）﹣2017lnx，则f′（2017）=（）A．2016 B．﹣2016 C．2017 D．﹣2017【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=2017代入导函数中，列出关于f'（2017）的方程，进而得到f'（2017）的值【解答】解：求导得：f′（x）=x+2f′（2017）﹣令x=2017，得到f′（2017）=2017+2f′（2017）﹣1，解得：f′（2017）=﹣2016，故选：B13．已知f'（x）是f（x）=sinx+acosx的导函数，且f'（）=，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【分析】求出f（x）的导数，由条件解方程，即可得到所求a的值．【解答】解：由题意可得f'（x）=cosx﹣asinx，由可得，解之得．故选：B．14．已知函数f（x）的导函数f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣1 B．﹣e C．1 D．e【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0），∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选A15．下列函数在点x=0处没有切线的是（）A．y=3x2+cosx B．y=xsinx C．D．【分析】根据导数的定义可得答案．【解答】解：∵在x=0处不可导．故选D．16．f'（x）是函数f（x）的导函数，且f（x）=﹣x2+2x f'（2017）+2017㏑x，则f'（1）=（）A．2016 B．6045 C．2017 D．6048【分析】根据导数的运算法则求导，代值计算即可．【解答】解：∵f′（x）=﹣x+2f'（2017）+，∴f′（2017）=﹣2017+2f'（2017）+1，解得f′（2017）=2016，∴f′（1）=﹣1+2×2016+2017=6048，故选：D．17．已知函数f（x）=f´（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．﹣1 C．1 D．0【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=f´（）cosx+sinx，∴f′（x）=﹣f´（）sinx+cosx，∴f′（）=﹣f´（）×+，∴f′（）=﹣1，∴f（π）=（﹣1）×（﹣）+=﹣1，故选：B18．函数y=sin（lnx）的导数y′=（）A．ln（cosx）B．cos（lnx）C．﹣cos（lnx）D．cos（lnx）【分析】根据题意，令t=lnx，则y=sint，根据复合函数的导数公式进行求导即可答案．【解答】解：根据题意，令t=lnx，则y=sint，则其导数y′=cos（t）•（lnx）′=cos（lnx）•（lnx）′=cos（lnx），故选：D．19．已知函数f（x）=ln（ax﹣1）的导函数是f'（x），且f'（2）=2，则实数a的值为（）A．B．C．D．1【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：由f（x）=ln（ax﹣1）可得，由f'（2）=2，可得，解之得．故选：B．20．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2017（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【分析】由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f2010（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．【解答】解：由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2017=4×504+1，f2010（x）是一周中的第三个函数，故f2017（x）=cosx．故选：C．21．已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，f n（x）=f n﹣1′（x），则f2015（x）等于（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【分析】对函数连续求导研究其变化规律，可以看到函数解析式呈周期性出现，以此规律判断求出f2015（x）【解答】解：由题意f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=﹣cosx故选：D22．函数（x＞0），若x0满足f'（x0）=0，设m∈（0，x0），n∈（x0，+∞），则（）A．f'（m）＜0，f'（n）＜0 B．f'（m）＞0，f'（n）＞0 C．f'（m）＜0，f'（n）＞0 D．f'（m）＞0，f'（n）＜0【分析】根据题意，对f（x）求导可得f′（x），若f'（x0）=0，则有=1，将m、n的值代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数（x＞0），其导数f′（x）=e x﹣=，若f'（x0）=0，则有=1，当m∈（0，x0），即m＜x0，f'（m）=＜0，n∈（x0，+∞），即n＞x0，f'（n）=＞0，故选：C．23．若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（）A．，B．（3，+∞）C．，D．，【分析】根据新定义得到x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设=b2﹣b，由已知可得x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则＞＞＞＞，解得＜b＜3，故选：C24．设函数f（x）=x3﹣ax2+2bx+1的导函数为f′（x），若函数f′（x）的图象关于直线x=对称，且当x∈[1，π]时，恒有f（x）≥1，则实数b的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【分析】根据f′（x）的图象判断f（x）在[1，π]上的单调性，列出不等式解出．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2ax+2b，∵函数f′（x）的图象关于直线x=对称，∴=，即a=2．∴f（x）=x3﹣2x2+2bx+1，f′（x）=3x2﹣4x+2b，△=16﹣24b，（1）若△=16﹣24b≤0，即b时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，π]上是增函数，∴f min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥，∴b≥．排除B，C．（2）若△=16﹣24b＞0，即b＜时，令f′（x）=0，解得x=．①若1≥，即b＜时，f′（x）在[1，π]上恒大于或等于0，∴f（x）在[1，π]上是增函数，∴f min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥，∴≤b＜．排除A．故选：D．25．已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f （x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．26．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有，则的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知＞，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．27．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；则f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，则f′（x）=，若lnx=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tanx，则f′（x）=（）′=，即sinxcosx=1，变形可sin2x=2，无解，④不符合要求；故选：B．28．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=（）A．0 B．1 C．2 D．2017511【分析】先求导，再判断导函数f'（x）的奇偶性，f（x）=1+，设g（x）=，判断其奇偶性，即可求出答案．【解答】解：f（x）=1+，∴f′（x）=，∴f′（﹣x）==f′（x），∴f′（x）为偶函数，∴f'（2017511）﹣f'（﹣2017511）=0，设g（x）=，则g（﹣x）=﹣=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴f（2017511）+f（﹣2017511）=1+g（2017511）+1+g（﹣2017511）=2，∴f（2017511）+f'（2017511）+f（﹣2017511）﹣f'（﹣2017511）=2，故选：C29．[x]表示不超过x的最大整数，若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）f′（x），则函数f=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{0}D．{偶数}【分析】先对函数g（x）进行化简，根据[x]表示不超过x的最大整数，针对x进行分类讨论，发现规律，问题得以解决．【解答】解：由题意可知g（x）=f（x）•f′（x）=，＞，＜，不妨设x＞0，则y=[g（x）]+[g（﹣x）]=[]+[]当∈（0，1），则∈（﹣1，0），[]=0，[]=﹣1，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=﹣1当=0，则=0，[]=0，[]=0，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=0依此类推可得y=[g（x）]+[g（﹣x）]的值域是{﹣1，0}，故选A．30．定义：如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m＜x1＜x2＜n）满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数f（x）是[m，n]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，3） C．（，1） D．（，1）【分析】令f′（x）=3x2﹣2x==a2﹣a，a2﹣a=3x2﹣2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，根据函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，可得方程3x2﹣2x﹣a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．必须满足：g（0）＞0，＜0，g（a）＞0．解出即可得出．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣2x==a2﹣a，∴a2﹣a=3x2﹣2x，x∈[0，a]．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，∵函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，∴方程3x2﹣2x﹣a2+a=0在x∈（0，a）有两个不等实数根．∴g（0）＞0，＜0，g（a）＞0．解得＜＜1．∴实数a的取值范围是，．故选：C．31．已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=acosx+3bx2，则f′（x）为偶函数，则f′（2017）﹣f′（﹣2017）=f′（2017）﹣f′（2017）=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f（2016）=asin2016+b•20163+1，f（2016）=asin2016+b•20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b•20163+1，则f（2016）+f（﹣2016）=2，则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2017）﹣f′（﹣2017）=2+0=2，故选：C32．已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）【分析】根据题意，对函数f（x）求导，计算可得f′（x），将x=0代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．33．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1]B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣，]【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．34．已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得f n（x）+4=f n（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n（x）+4（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；∴f2017（x）=f504×4+1故选：A35．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x3﹣1，h（x）=2x，φ（x）=ln（x+1）的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项【解答】解：①∵g（x）=x3﹣1，∴g′（x）=3x2，由g（x）=g′（x），得x3﹣1=2x2，∵2x2＞0，（x=0时不成立），∴x3﹣1＞0，∴x＞1，∴α＞1．②∵h（x）=2x，∴h′（x）=2，由h（x）=h′（x），解得x=1，∴β=1．③∵φ（x）=ln（x+1），∴φ′（x）=，由φ（x）=φ′（x），得到ln（x+1）=，令m（x）=ln（x+1）﹣，则m′（x）=+，因此函数m（x）在（﹣1，+∞）单调递增．∵m（0）=﹣1＜0，m（1）=ln2﹣＞0，∴0＜γ＜1．综上可知：α＞β＞γ．故选：A．36．设f1（x）=sinx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f（x）=f n′（x），n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，则cosA的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数f n（x）具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．（x）=f′n（x），【解答】解：∵f1（x）=sinx，f n+1∴f2（x）=f′1（x）=cosx，f3（x）=f′2（x）=﹣sinx，f4（x）=f'3（x）=﹣cosx，f5（x）=f′4（x）=sinx，f6（x）=f′5（x）=cosx，（x）=f′n（x），具备周期性，周期性为4．∴f n+1且f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=cosx﹣sinx+sinx﹣cosx=0，∵f1（A）+f2（A）+…+f2018（A）=0，∴f1（A）+f2（A）=sinA+cosA=0，∴A=135°，故cosA=﹣，故选：D．37．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f（x0）=f′（x0），则x0称为f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（）①f（x）=x2；②f（x）=e﹣x；③f（x）=lnx；④f（x）=tanx；⑤f（x）=．A．①③⑤B．①③④C．②③④D．②⑤【分析】求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．【解答】解：①中的函数f（x）=x2，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e﹣x=﹣e﹣x，由对任意的x，有e﹣x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=，由函数f（x）=lnx与y=的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；对于④中的函数，f （x）=tanx，f′（x）=，要使f（x）=f′（x），则tanx=，即sinxcosx=1，即sin2x=2，无解，∴原函数没有巧值点，故④错误；对于⑤中的函数，要使f（x）=f′（x），则=﹣，解得x=﹣1，原函数有巧值点；故有“巧值点”的函数为①③⑤．故选：A．38．设函数f n′（x）是f n（x）的导函数，f0（x）=e x（cosx+sinx），f1（x）=，f2（x）=，…，（n∈N），则f2016（x）=（）A．e x（cosx+sinx）B．e x（cosx﹣sinx）C．﹣e x（cosx+sinx）D．e x（sinx﹣cosx）【分析】我们易得到f n（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2016÷8余0，故f2008（x）=f0（x），进而得到答案【解答】解：∵f0（x）=e x（cosx+sinx），∴f0′（x）=e x（cosx+sinx）+e x（﹣sinx+cosx）=2e x cosx，∴f1（x）==e x cosx，∴f1′（x）=e x（cosx﹣sinx），∴f2（x）==e x（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=e x（cosx﹣sinx）+e x（﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x sinx，∴f3（x）=﹣e x sinx，∴f3′（x）=﹣e x（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣e x（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2e x cosx，∴f5（x）=﹣e x cosx，∴f6（x）=﹣e x（cosx﹣sinx），∴f7（x）=e x sinx，∴f8（x）=e x（cosx+sinx），…，∴f2016（x）=f（0）=e x（cosx+sinx），故选：A．39．已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3]D．[﹣6，0]【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2，∴f′（x）=e x﹣2a＞﹣2a，g′（x）=﹣3x2﹣2ax=﹣3（x+）2+≤，∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），∴﹣2a≥，解得﹣6≤a≤0，故选：D．40．已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．（，）D．（0，）【分析】由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+tan α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．【解答】解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A．二．填空题（共6小题）41．已知在R上可导，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F′（1）=0．【分析】根据题意，由F（x）的解析式对其求导可得F'（x），将x=0代入，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，F（x）=f（x3﹣1）+f（1﹣x3），则F'（x）=3x2f'（x3﹣1）﹣3x2f'（1﹣x3），则F'（1）=3f'（0）﹣3f'（0）=0．故答案为：0．42．已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【分析】由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，则f（3）=f（1），f′（3）=﹣f′（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．43．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=1．【分析】由题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=，又x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，所以x0是函数F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4=log2x﹣的零点，分析易得F（1）=﹣＜0，F（2）=1﹣=1﹣＞0，故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，故答案为：144．已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx﹣5，且f（0）=0，如果f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣8，0] ．【分析】由题意函数的导函数f'（x）=cosx﹣5＜0恒成立，故函数是减函数，再由函数是奇函数将不等式f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0转化为f（1﹣ax）＜f（ax2﹣1），由单调性及定义转化为不等式，再分类讨论即可求出a的取值范围【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴f'（x）=cosx﹣5＜0，∴函数f（x）在R上单调递减，∵f′（x）=cosx﹣5为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数由f（1﹣ax）+f（1﹣ax2）＜0可得，f（1﹣ax）＜﹣f（1﹣ax2）=f（ax2﹣1）即1﹣ax＞ax2﹣1∴a（x2+x）＜2，当x＜﹣1或x＞0时，x2+x＞0，则a＜=∵＞0，∴a≤0，当﹣1＜x＜0时，x2+x＜0，则a＞=当x=﹣时，（x+）2﹣有最小值，则有最大值﹣8，∴a＞﹣8，当x2+x=0时，恒成立，综上所述a的取值范围为（﹣8，0]，故答案为（﹣8，0]．45．已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是（1），（2），（4）．（1）f（）＞﹣1；（2）f（）＞；（3）f（）＜；（4）f（）＜f（）【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，（1），（2）分别取x=，x=判断即可，（4）根据函数的单调性判断即可．【解答】解：∵f′（x）=，且f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，对于（1），令x=，即有f（）+1＞•k=1，即为f（）＞0，故（1）正确；对于（2），当x=时，f（）+1＞•k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故（2）正确；对于（3），由（2）可得f（）＞＞﹣1=，故（3）不正确，对于（4），函数递增，故（4）正确．故正确个数为3，故选；（1）（2）（4）46．若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为f n（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有f n（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：f（）≥．其中n∈N*，x1，x2，…，x n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则f n（x）=﹣sinx；根据上述性质推断：当x1+x2+x3=π且x1，x2，x3∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx1+sinx2+sinx3的最大值为．【分析】构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）=﹣sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，根据函数的性质sinx1+sinx2+sinx3≤3sin（），即可求得sinx1+sinx2+sinx3的最大值．【解答】解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）=﹣sinx，x∈（0，π），f（x）有如下性质：f（）≥．则sinx1+sinx2+sinx3≤3sin（）=3×sin=，∴sinA+sinB+sinC的最大值为，故答案为：﹣sinx，。
导数练习题及答案
导数练习题及答案导数练习题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。
一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。
导数与函数的最值问题的综合练习题
导数与函数的最值问题的综合练习题在微积分学中，导数和函数的最值问题是非常重要的内容。
通过求解导数和应用极值理论，我们可以找到函数的最大值和最小值，从而解决各种实际问题。
本文将为大家提供一系列综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用导数与函数的最值问题。
题目一：求函数f(x)=x^3-3x^2的极值点及极值。
题目二：求函数g(x)=x^2e^x在定义域[-1,2]上的最大值和最小值。
题目三：函数h(x)在开区间(0,2π)上连续。
当x∈(0,2π)时，h(x)满足h'(x)=4sin2x-2sinx，且h(π/6)=0。
求h(x)在(0,2π)上的最大值和最小值。
解答一：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对f(x)进行求导得到f'(x)=3x^2-6x。
要确定极值点，我们需要找出f'(x)=0的解。
将f'(x)置零，我们得到3x^2-6x=0，简化得到x(x-2)=0。
解这个方程可得x=0或x=2。
接下来，我们可以通过求解二阶导数来判断极值的类型。
f''(x)=6x-6，当x=0时f''(x)=-6，当x=2时f''(x)=6。
当f''(x)<0时，函数在该处取得极大值；当f''(x)>0时，函数在该处取得极小值。
所以，当x=0时，函数取得极大值；当x=2时，函数取得极小值。
代入f(x)得到f(0)=0和f(2)=-4。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2在x=0处取得极大值0，在x=2处取得极小值-4。
解答二：首先，我们需要求函数g(x)在定义域内的导数。
对g(x)进行求导得到g'(x)=(2x+1)e^x。
要找到定义域[-1,2]上的最大值和最小值，我们需要判断极值点。
首先，我们需要找到g'(x)=0的解。
将g'(x)置零，我们得到(2x+1)e^x=0。
导数及其应用综合练习(含详解答案)
第1课 导数的概念及运算一、热身训练1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 ____________．2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f ____________． 3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x xxy ,则当2'=y 时,=x ____________．4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f ____________．5．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为____________． （1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1） （3）f （x ）=2（x －1）2 （4）f （x ）=x －16．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为____________． 7．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是____________．8．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a , b , c 值。
二、范例导析例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。
从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式223q t t =+表示。
（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？例2．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y = ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例3． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．例3变式．求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。
导数综合练习(一)
【课题】导数综合练习（一）一、前置作业1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值为_________最小值为_________2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内,)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内)(x f 为增函数3．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ ）()A ()B ()C ()D 4、将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记梯形的面积梯形的周长）2(=S ，则S 的最小值是__________________ 5．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．（1）二．例题分析：例1．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．例3．若函数c x bx ax x f +-+=3)(23为奇函数，且在)1,(--∞上单调递增，在)1,1(-上单调递减。
导数练习题及答案
导数练习题及答案为了帮助学习者更好地理解与掌握导数的概念与计算方法，以下是一些导数练习题及其详细答案解析。
通过解题的过程，读者可以加深对导数的理解，并熟练掌握导数的计算技巧。
题目一：计算函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数。
解答一：对 f(x) = x^3 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 3x^2计算 f'(2) 得到导数的值。
代入 x = 2：f'(2) = 3(2)^2 = 12因此，函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数为 12。
题目二：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数。
解答二：对 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 4x + 3计算 f'(-1) 得到导数的值。
代入 x = -1：f'(-1) = 4(-1) + 3 = -1因此，函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数为 -1。
题目三：计算函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数。
解答三：对 f(x) = e^x 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = e^x计算 f'(1) 得到导数的值。
代入 x = 1：f'(1) = e^1 = e因此，函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数为 e。
题目四：计算函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数。
解答四：对 f(x) = ln(x) 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 1/x计算 f'(3) 得到导数的值。
代入 x = 3：f'(3) = 1/3因此，函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数为 1/3。
通过以上导数练习题的解答，读者可以进一步掌握导数的概念与计算方法。
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类.导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。
命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。
这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。
1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。
如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。
2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点。
3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的。
在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。
例题：已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。
x1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。
审题程序]1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论；2.整合讨论结果，确定单调区间；3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围；4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。
规范解答]1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。
则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1)2.令m(x)＝x2－ax＋1，则Δ＝a2－4.①当－2≤a≤2时，Δ≤0，从而F′(x)≥0，所以F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a>2时，Δ>0，设F′(x)＝0的两根为x1＝(a＋√(a2－4))/2，x2＝(a－√(a2－4))/2，求h(x1)－h(x2)的最小值。
综合算式专项练习题导数计算
综合算式专项练习题导数计算1. 题目：计算函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数。
解析：根据导数的定义，函数f(x)的导数可以通过求各项的幂次以及系数的导数来得到。
首先，对于多项式函数来说，幂次降低1，并且求导时将幂次与系数相乘，所以我们可以将每一项按照这个规则求导。
f'(x) = d/dx (3x^4) + d/dx (2x^3) + d/dx (-5x^2) + d/dx (x) + d/dx (-1)计算每一项的导数：d/dx (3x^4) = 4 * 3x^(4-1) = 12x^3d/dx (2x^3) = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2d/dx (-5x^2) = 2 * -5x^(2-1) = -10xd/dx (x) = 1d/dx (-1) = 0将导数合并起来：f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1因此，函数f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 5x^2 + x - 1的导数为f'(x) = 12x^3 + 6x^2 - 10x + 1。
2. 题目：计算函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数。
解析：对于这个函数来说，我们可以使用求商法来计算导数，即对于分子和分母分别求导，然后利用导数的性质进行计算。
首先，我们计算分子和分母的导数：分子：d/dx (2x^2 - 3x + 1) = 2 * 2x^(2-1) - 3 * 1x^(1-1) + 0 = 4x - 3分母：d/dx (x^2 - 4) = 2x^2 - 0 = 2x利用导数的性质，我们进行计算：g'(x) = (分子的导数 * 分母 - 分子 * 分母的导数) / (分母)^2= (4x - 3) * (x^2 - 4) - (2x) * (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)^2= (4x^3 - 8x - 3x^2 + 12x - 3x + 12 - 4x^3 + 6x^2 - 2x) / (x^2 - 4)^2 = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2因此，函数g(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x^2 - 4)的导数为g'(x) = (x^3 + 3x^2 - x + 12) / (x^2 - 4)^2。
导数的综合练习试题
专题 导数的综合练习一、目标要求：1、熟练掌握导数的求导公式；2、能利用导数解决函数的最值、极值问题；3、能把导数和数学的思想方法（函数与方程、分类讨论思想、数形结合思想、构造函数法、）结合起来；4、掌握数学的思想方法并能用它解决较为复杂的导数问题；5、熟练掌握函数单调性与导数的关系；二、例题讲解：例题1、设()()10xx f x ae b a ae=++〉；（1）求()f x 在[)0,+∞上的最小值； （2）设曲线()y f x =在点()()2,2f 的切线方程为32y x =，求,a b 的值；例题2、设0a 〉，讨论函数()()()2ln 121f x x a a x a x =+---的单调性；例题3、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈；（1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e 〉〉-时，证明：()()ln 1ln 1x y x ey -+〉+；例题4、已知函数()1x ax f x e -=；（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f t t 〉恒成立，求实数a 的取值范围；例题5、已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈；（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的图象在点()()2,2f 处的切线倾斜角为45，问：m 在什么范围取值时，对任意的[]1,2t ∈，函数()()32'2m g x x x f x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦在区间(),3t 上总存在极值？三、巩固练习：1、若函数()()2f x x x c =-在2x =处取得极大值，则常数c 的值为 ；2、设()3221f x x ax bx =+++的导数为()'f x ，若函数()'y f x =的图象关于直线12x =-对称，且()'10f =；（1）求实数,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值；3、已知函数()22ln f x x x =-，求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；4、设函数()()ln 0f x x x x =〉；（1）求函数()f x 的最小值；（2）设()()()2'F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；5、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--；（1）求导数()'f x ； （2）若()'10f -=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；6、设函数()()21,0f x x x x =-〉；（1）求()f x 的极值；（2）设01a 〈≤，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a =的最小值； （3）设函数()2ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()()g x x m f x ≤+≤在()0,+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值；。
高三导数综合练习题
高三导数综合练习题导数是微积分中的重要概念，经常用于描述函数的变化率、切线和曲线的性质等。
在高三阶段，导数的学习也变得更加深入和全面。
为了帮助高三学生巩固和应用导数的知识，本文将提供一些综合性的导数练习题，以帮助学生提高对导数的理解和运用能力。
1. 某物体在时间 t 秒时的位移函数为 s(t) = 3t^2 - 4t + 2。
求物体在 t = 1 秒时的速度和加速度。
解析：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。
根据函数求导法则，对 s(t) 分别求导即可得到速度和加速度。
s'(t) = 6t - 4 （速度）s''(t) = 6 （加速度）所以，在 t = 1 秒时，物体的速度为 s'(1) = 6(1) - 4 = 2 m/s，加速度为 s''(1) = 6 m/s²。
2. 函数 f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 有几个驻点？哪些是极小值点，哪些是极大值点？解析：驻点是函数导数为零的点，极小值点是驻点周围函数值最小的点，极大值点是驻点周围函数值最大的点。
根据函数求导法则，对f(x) 求导并令导数为零，可以求得驻点的横坐标。
f'(x) = 6x^2 + 10x - 4令 f'(x) = 0，得到方程 6x^2 + 10x - 4 = 0求解这个二次方程，可以得到两个解 x = -1 和 x = 2/3。
所以函数f(x) 有两个驻点，分别是 x = -1 和 x = 2/3。
为了判断这两个驻点是极小值点还是极大值点，可以使用二阶导数检验法。
计算 f''(x) 并代入驻点的横坐标。
f''(x) = 12x + 10当 x = -1 时，f''(-1) = 12(-1) + 10 = -2，小于零，所以 x = -1 是极大值点。
当 x = 2/3 时，f''(2/3) = 12(2/3) + 10 = 18，大于零，所以 x = 2/3 是极小值点。
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导数综合练习（2016/5/23）1．函数()32392f x x x x =--+在[]2,2-最大值是（ ）A ．-25B ．7C ．0D ．-20 【答案】B 试题分析：()()322392'369fx x x x f x x x =--+∴=--Q ，[]2,2x ∈-，令()0'f x >，得[)2,1--单调递增，(]1,2-单调递减，所以()()max 113927f x f =---++==.2．函数2()xe f x x=的导函数为（ ）A.2()2xf x e '= B.22(21)()x x e f x x -'= C.22()x e f x x '= D.22(1)()xx e f x x -'= 【答案】B试题分析：=-=-=2222'2'2'2)()()(xe x e x x e x e xf x x x x 22(21)xx e x -，故选B. 3．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点（a ，b ）为（ ） A ．（3，﹣3） B ．（﹣4，11） C ．（3，﹣3）或（﹣4，11） D ．不存在【答案】C 试题分析：由题意知,1011101213,10)1(0)1(2232'=+⨯-⨯-=-⨯-⨯∴==a b a b a f f 且且解得11,43,3=-=-==b a b a 或，故选C.4．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <-或2b > B ．12b -≤≤ C ．12b -<< D ．1b ≤-或2b ≥【答案】B试题分析：()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数,则()2'220y x bx b =+++≥恒成立,即()()22420b b ∆=-+≤,解得12b -≤≤.故B 正确.5．若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使得函数()1f x - 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C试题分析：()()2'()4313f x x x x x =-+=--，所以()f x 在区间[]1,3上单调递减，()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递减.用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，范围比[]2,4小的选项为C ． 6．()f x 是定义在()0+∞，上的非负可导函数，且满足()()'0xf x f x -≤，对任意正数a b 、，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 【答案】A试题分析：设()()(0);f x g x x x =>则2()()();xf x f x g x x '-'=因为0x >时，()()0x f x f x '-<；所以0x >时，()0,g x '<则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上是减函数；所以对任意正数a b ，，若a b <，则必有()()()(),f a f b g a g b a b=>=即()().bf a af b >故选A ．7．设函()f x 在定数义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）【答案】D试题分析：由题意得()f x 的图象判断出()f x 在区间(,0)-∞上递增；在区间(0,)+∞上先减后增，所以在区间(,0)-∞上()0f x '>，在(0,)+∞上先有()0f x '>再由()0f x '<再有()0f x '>，导函数()y f x '=可能为选项D ，故选D ．8．下图是函数()y f x =的导函数()'y fx =的图象，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极小值点； ②1-是函数()y f x =的极小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间()3,1-上单调增。
则正确命题的序号是（ ）A ． ①④B ．①②C ．②③D ．③④ 【答案】A试题分析：根据导函数图象可知当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，f'（x ）≤0∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故④正确，则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确，∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确9．已知函数()f x 的定义域为()()0,,f x '+∞为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()21(1)(1)f x x f x +>--的解集是( )A ． ()1,+∞B ．()2,+∞C ．(1,2)D ． ()0,1 【答案】B试题分析：()()()()()'00f x xf x f x xf x xf x ''<-∴+<∴<⎡⎤⎣⎦，设()()g x xf x =，所以函数()g x 单调递减，()21(1)(1)f x x f x +>--变形为()()2211(1)(1)x f x x f x ++>-- 22101011x x x x +>⎧⎪∴->⎨⎪+<-⎩，解不等式得解集为()2,+∞10．函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足()()'20xf x f x +>，则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}|2011x x >-B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<-D ．{}|20110x x -<< 【答案】C 试题分析：由()()'20xfx f x +>，则当()0,x ∈+∞时，()()2'20x f x xf x +>，即()()2'[()]20xf x x f x xf x '=+>，所以函数()xf x 为单调递增函数，由()()()201620165552016x f x f x ++<+，即()()()222016201655x f x f ++<，所以020165x <+<，所以不等式的解集为{}|20162011x x -<<-，故选C.11．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 . 试题分析：由题意得，()()221f x x f ''=+，令1x =，得()()()122112f f f '''=+⇒=-，令0x =，则()()020214f f ''=⨯+=-12．函数xxx f +=1cos )(在(0,1)处的切线方程是 . 试题分析：由题意得，22(cos )(1)cos (1)sin (1)cos ()(1)(1)x x x x x x xf x x x ''+-⋅++-'==++，则2sin 0(10)cos0(0)1(10)f +-'==-+，即切线的斜率1k =-，所以切线方程为01y x -=-，即01=-+y x ．13．求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．14．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2（a ＞0）在x=1处有极值10．（1）求a 、b 的值；（2）求f （x ）的单调区间；（3）求f （x ）在[0，4]上的最大值与最小值．解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f （1）=1+a+b+a 2=10，得a=4，或a=﹣3 ∵a ＞0，∴a=4，b=﹣11（经检验符合）（2）f （x ）=x 3+4x 2﹣11x+16，f'（x ）=3x 2+8x ﹣11， 由f′（x ）=0得所以令f′（x ）＞0得；令所以f （x ）在上单调递增，上单调递减．（3）由（2）知：f （x ）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增， 又因为f （0）=16，f （1）=10，f （4）=100， 所以f （x ）的最大值为100，最小值为1020．15．已知函数()e ln 1xf x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >.试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-． 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--．即()e 1y x =-.（Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x x f x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.以下给出三种思路证明e ln 20x x -->.思路1：设()e ln 2x g x x =--，则1()e xg x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>， 所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增 因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =- 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ． 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号）． 所以要证明e ln 20x x -->， 只需证明()1ln 20x x +-->． 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．由于取等号的条件不同， 所以e ln 20x x -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.（若考生先放缩ln x ，或e x 、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e ln 2xx ->.因为曲线e xy =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x =的距离分别为1d ，2d ，则)12AB d d +． 其中1t d =2d ()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以1t d =>．②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t-'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d =+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.思路1：设()e ln 2xg x m x =--，则1()e x g x m x'=-. 设1()e xh x m x =-，则21()e 0xh x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e xg x m x'=-在()0+∞，上单调递增．因为11221e 2e 202m mg m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->， 所以函数1()e xg x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--． 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>. 所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．思路2：先证明e 1()x x x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>． 设()e 1x F x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e x x -≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）． 再证明e ln 20x m x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1x x ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号， 所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >． 16．已知函数)()(R a e ax x f x∈-=，xxx g ln )(=. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）),0(0+∞∈∃x ，使不等式xe x g xf -≤)()(成立，求a 的取值范围. 试题解析：（1）∵R x e a x f x∈-=,)('， 由0)('>x f 得)(x f 的单调递增区间为)0,(-∞； 由0)('<x f 得)(x f 的单调递减区间为),0(+∞.（2）∵),0(0+∞∈∃x ，使不等式xe x g xf -≤)()(成立，则x x ax ln ≤，即2ln xxa ≤. 设2ln )(x x x h =，则问题转化为max 2)ln (x xa ≤ 由3ln 21)('x xx h -=，令0)('=x h ，则e x =.当x 在区间),0(+∞内变化时，)('x h 、)(x h 变化情况如下表：由上表可知，当e x =时，函数)(x h 有极大值，即最大值e21. ∴≤a e21.。