福建省福州一中高三数学5月质量检测试卷 理 (2)
福建省福州一中高考数学5月质检试卷 理(含解析)
福建省福州一中2015届高考数学质检试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，M={x|x（x+3）＜0}，N={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|x≤﹣3| D．{x|﹣1≤x＜0}2．（5分）若=（i为虚数单位），则a的值为（）A．i B．﹣i C．﹣2i D．2i3．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A．5 B．C．D．4．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣35．（5分）下列判断不正确的是（）A．若ξ﹣B（4，0.25），则Eξ=1B．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等6．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称7．（5分）设点（a ，b ）是区域内的随机点，函数f （x ）=ax 2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）在棱长均为2的正四棱锥P ﹣ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是（）A ． BE∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为B ． BE∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为C ． BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ． BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°9．（5分）称d （）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t ∈R ，恒有d （，t ）≥d（，），则（）A ．B ． ⊥（）C ． ⊥（）D ． （）⊥（10．（5分）已知抛物线M ：y 2=4x ，圆N ：（x ﹣1）2+y 2=r 2（其中r 为常数，r ＞0）．过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足|AC|=|BD|的直线l 只有三条的必要条件是（）A ． r ∈（0，1]B ． r ∈（1，2]C ．D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）若=．12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．13．（4分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ 的值为．14．（4分）在（x﹣2）2015的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，则当x=2时，S等于．15．（4分）已知a为[0，1]上的任意实数，函数f1（x）=x﹣a，f2（x）=﹣x2+1，f3（x）=﹣x3+x2，则以下结论：①对于任意x0∈R，总存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≥0；②对于任意x0∈R，总存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≤0；③对于任意的函数f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），总存在x0∈R，使得；f i（x）f j（x）＞0；④对于任意的函数f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），总存在x0∈R，使得；f i（x）f j（x）＜0．其中正确的为．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．（13分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，17．且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．18．（13分）设m∈R，函数f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+cos2（﹣x），且f（﹣）=f（0）．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且=，求f （A）的取值范围．19．（13分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C 上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=x﹣ln（x﹣p）．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）判断函数g（x）的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{a n}满足：0＜a n≤3，n∈N*，且3（a1+a2+…+a2015）=2015．若不等式f（a1）+f（a2）+..+f（a2015）≤g（x）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵M=的一个特征值l所对应的特征向量为．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C：x2+2xy+2y2=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．（Ⅰ）将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C相交于A、B两点，求AB的长．六、选修4-5：不等式选讲23．已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．福建省福州一中2015届高考数学质检试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，M={x|x（x+3）＜0}，N={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|x≤﹣3| D．{x|﹣1≤x＜0}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：首先化简集合M，然后由Venn图可知阴影部分表示M∩（C U N），即可得出答案．解答：解：M={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜0}由图象知，图中阴影部分所表示的集合是M∩（C U N）又N={x|x＜﹣1}，∴C U N={x|x≥﹣1}∴M∩（C U N）=[﹣1，0）故选：D．点评：本题考查venn表示的集合的运算，一般采用数形结合的方法解决问题，属于基础题．2．（5分）若=（i为虚数单位），则a的值为（）A．i B．﹣i C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：首先化简复数，利用复数相等的条件得到a．解答：解：由已知得到，设a=x+yi，则（x+yi）（1+i）=2﹣2i，所以（x ﹣y）+（x+y）i=2﹣2i，所以，解得，所以a=﹣2i；故选C．点评：本题考查了复数的混合运算；关键是注意a，它是复数，容易误认为是实数．3．（5分）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（）A．5 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率．解答：解：依题意可知=，求得a=2b∴c== b∴e==故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的时候注意看双曲线的焦点所在的坐标轴，根据坐标轴的不同推断渐近线不同的形式．4．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．解答：解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．5．（5分）下列判断不正确的是（）A．若ξ﹣B（4，0.25），则Eξ=1B．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：根据统计和命题的相关知识，逐一分析给定四个答案的真假，可得答案．解答：解：A中，若ξ﹣B（4，0.25），则Eξ=4×0.25=1”，故正确；B中，命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”，故正确；从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样，故正确；10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数为15，众数为17，两者不等，故错误，故选：D点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了二项分布，全称（特称）命题的判定，抽样方法，中位数与众数等知识点，难度不大，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x=对称C．关于点（，0）对称D．关于x=对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2•（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答的关键．7．（5分）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：C点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．8．（5分）在棱长均为2的正四棱锥P﹣ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（）A．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为B．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为C．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°D．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BE的方向向量与平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，求出BE与平面PAD夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案．解答：解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系由正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，则O（0，0，0），A（﹣，0，0），B（0，﹣，0），C（，0，0），D（0，，0），P （0，0，），E（，0，）则=（，，），=（﹣，0，﹣），=（0，，﹣），设=（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，则⊥，且⊥即，令x=1则=（1，﹣1，﹣1）是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为θ则sinθ==＜故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°故选D点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间坐标系，将直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明A B⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．10．（5分）已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x﹣1）2+y2=r2（其中r为常数，r＞0）．过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是（）A．r∈（0，1] B．r∈（1，2] C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；压轴题；数形结合；转化思想；综合法．分析：本题中应用采用设出直线，将直线与圆，与抛物线联立起来，利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程，再由根系关系将此方程转化为关于参数m的不等式，解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件解答：解：x=1与抛物线交于（1，土2），与圆交于（1，土r），满足题设．设直线l：x=my+1，（1）代入y2=4x，得y2﹣4my﹣4=0，△=16（m2+1），把（1）代入（x﹣1）2+y2=r2得y2=设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），|AC|=|BD|即y1﹣y3=y2﹣y4，即y1﹣y2=y3﹣y4，即4=即r=2（m2+1）＞2，即r＞2时，l仅有三条．考查四个选项，只有D中的区间包含了（2，+∞）即是直线l只有三条的必要条件故选D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是根据题设条件解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再由必要条件的定义比对四个选项找出它的必要条件来．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）若=．考点：微积分基本定理；函数的值．专题：计算题．分析：利用x＞0时，函数的周期是4，推出f=f（0），然后求解表达式的值．解答：解：∵x＞0，f（x）=f（x﹣4），所以f=f=…=f（0），所以f（0）=∫costdt=sint=sin﹣sin0=．故答案为：点评：本题考查函数值的求法，定积分的应用，考查计算能力．12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序可知本程序的功能是计算S=2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+2﹣5的和，根据等比数列即可得到结论．解答：解：由程序框图可知，该程序的功能是计算S=2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+2﹣5的和，则根据等比数列的求和公式可知S=2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+2﹣5=，故答案为：点评：本题主要考查程序框图的识别和应用，根据程序得到程序的功能是解决本题的关键．13．（4分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：利用正弦定理分别在△RQO和△RPO中分别表示出OQ和OP，进而根据tan∠OPQ=求得答案．解答：解：依题意可知RQ=2QP，在△RQO中，=，OQ=•sinR，同理在△RPO中，OP=•sinR，tan∠OPQ===•=×=．点评：本题主要考查了正弦定理的运用．解决问题的关键是运用sinR作为中间量来解决．14．（4分）在（x﹣2）2015的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，则当x=2时，S等于24029．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项式定理将二项式展开，令x分别取2，﹣2得到两个等式，两式相加，化简即得．解答：解：设（x﹣2）2015=a0x2015+a1x2014+…+a2014x+a2015则当x=2时，有a0•22015+a1•22014+…+2a2014+a2015=0（1）当x=﹣2时，有a0•22015﹣a1•22014+…﹣2a2014+a2015=24030（2）（1）+（2）有a0•22015+…+a20154=24029¸即S=24029，故答案为：24029．点评：本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和．15．（4分）已知a为[0，1]上的任意实数，函数f1（x）=x﹣a，f2（x）=﹣x2+1，f3（x）=﹣x3+x2，则以下结论：①对于任意x0∈R，总存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≥0；②对于任意x0∈R，总存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≤0；③对于任意的函数f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），总存在x0∈R，使得；f i（x）f j（x）＞0；④对于任意的函数f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），总存在x0∈R，使得；f i（x）f j（x）＜0．其中正确的为①④．（填写所有正确结论的序号）考点：特称命题；全称命题；函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据f1（x）=x﹣a，f2（x）=﹣x2+1，f3（x）=﹣x3+x2的符号变化规律，逐项检验即可得到答案，注意四个命题间的关系．解答：解：①当x≤﹣1时，f2（x）=﹣x2+1≤0，f1（x）=x﹣a≤﹣1﹣a＜0，此时f1（x）f2（x）≥0；当﹣1＜x≤1时，f2（x）≥0，f3（x）=﹣x3+x2=x2（1﹣x）≥0，此时f2（x）f3（x）≥0；当x＞1时，f2（x）=﹣x2+1＜0，f3（x）=﹣x3+x2=x2（1﹣x）＜0，此时f2（x）f3（x）＞0；综上，对于任意x0∈R，总存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≥0，故①正确；②若a=0，当0＜x＜1时，f1（x）＞0，f2（x）＞0，f3（x）＞0，此时不存在f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），使得f i（x）f j（x）≤0；故②错误；③当a=1时，f1（x）=x﹣1，当x≤1时，f1（x）≤0，f3（x）≥0，当x＞1时，f1（x）＞0，f3（x）＜0，即对任意x总有f1（x）f3（x）≤0，故③错误；④对f1（x）=x﹣a，f2（x）=﹣x2+1，当x＞1时，f1（x）＞0，f2（x）＜0，∴f1（x）f2（x）＜0；对f1（x）=x﹣a，f3（x）=﹣x3+x2，当x＞1时，f1（x）＞0，f3（x）＜0，∴f1（x）f3（x）＜0；对f2（x）=﹣x2+1，f3（x）=﹣x3+x2，当x＜﹣1时，f2（x）＜0，f3（x）＞0，∴f2（x）f3（x）＜0；∴对于任意的函数f i（x），f j（x）（{i，j}⊊{1，2，3}），总存在x0∈R，使得f i（x）f j（x）＜0．故④正确；故答案为：①④．点评：本题考查函数恒成立、全称命题和特称命题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据表格，十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，通过平均数和方差可得结论；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率，写出分布列，算出期望即可．解答：解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X 0 1 2P．点评：本题主要考查茎叶图，等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望，是一个统计的综合题，但题目运算比较简单，没有易错点，是一个送分题目．（13分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，17．且FA=FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能够证明FC∥平面EAD；（2）证明FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，求得平面BFC、平面AFC的法向量，由此能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值．解答：（1）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF．因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC…（2分）又AD∩DE=D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD…（4分）（2）解：连接FO、FD，则因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD中点．所以FO⊥BD，又因为O为AC中点，且FA=FC，所以AC⊥FO又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD…．（6分）由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，，所以…..（8分）所以=（，0，），=（，1，0），设平面BFC的一个法向量为=（x，y，z），则有，令x=1，则=（1，﹣，1）因为BD⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为=（0，1，0）…．（10分）因为二面角A﹣FC﹣B为锐二面角，设二面角的平面角为θ则cosθ=||=，所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查学生分析解决问题的能力，注意向量法的合理运用．18．（13分）设m∈R，函数f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+cos2（﹣x），且f（﹣）=f（0）．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且=，求f （A）的取值范围．考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）现根据题意求得m，进而化简函数解析式，利用正弦函数的图象与性质确定单调减区间．（Ⅱ）利用余弦定理和正弦定理对已知等式化简整理求得cosB，进而求得B，确定A的范围，则f（A）的取值范围可得．解答：解：（I）f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=sin2x﹣cos2x，由f（﹣）=f（0）得：﹣m+=﹣1，求得m=2，∴f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．∴f9x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（II）∵=，由余弦定理得：=，即整理得2acosB﹣ccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，cosB=，∴B=．∵△ABC锐角三角形，∴＜A＜，＜2A﹣＜，∴f（A）=2sin（2A﹣）的取值范围为（1，2]．点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生综合推理能力和一定的运算能力．19．（13分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C 上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（I）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．（II）设点P的坐标为（x0，y0），由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD 的一半，进而得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为，F（c，0）．由题意知解得，c=1．故椭圆C的方程为，离心率为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．所以，．因为点F坐标为（1，0），当时，点P的坐标为，点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y±1）2=1与直线PF相切．当时，则直线PF的斜率．所以直线PF的方程为．点E到直线PF的距离=．又因为|BD|=4|k|，所以．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系，以及椭圆与直线的位置关系、圆与直线的位置关系．20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=x﹣ln（x﹣p）．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）判断函数g（x）的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{a n}满足：0＜a n≤3，n∈N*，且3（a1+a2+…+a2015）=2015．若不等式f（a1）+f（a2）+..+f（a2015）≤g（x）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，即可求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）求导数，确定函数g（x）的单调性，再分类讨论，即可求出零点个数；（Ⅲ）证明f（a1）+f（a2）+…+f（a2015）≤6045，由（II）知，g min（x）=g（p+1）=p+1，即可求实数p的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=，∴f′（x）=，…（1分）∴f′（）=﹣，又f（）=3，∴函数f（x）的图象在点（，f（））的切线方程为y﹣3=﹣（x﹣），即y=﹣x+．…（4分）（Ⅱ）g′（x）=（x＞p）当x∈（p，p+1）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（p，p+1）单调递减；当x∈（p+1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（p+1，+∞）单调递增；∴x=p+1时，g min（x）=g（p+1）=p+1．…（5分）①当p+1＞0，即p＞﹣1时，g（x）的零点个数为0；②当p+1=0，即p=﹣1时，g（x）的零点个数为1；③当p+1＜0，即p＜﹣1时，此时g（p+1）＜0，g（0）=﹣ln（﹣p）＞0，x→p，g（x）→+∞∵g（x）在定义域上连续，由零点存在定理及g（x）的单调性，知g（x）在（p，p+1）有且只有一个零点，g（x）在（p+1，+∞）有且只有一个零点，∴p＜﹣1时，g（x）的零点个数为2．综上所述，当p＜﹣1时，g（x）的零点个数为2；p=﹣1时，g（x）的零点个数为1；p＞﹣1时，g（x）的零点个数为0．…（9分）（Ⅲ）∵3（a1+a2+…+a2015）=2015，当a1=a2=…=a2015=时，有f（）=3．∴f（a1）+f（a2）+…+f（a2015）=2015×f（）=6045．…（10分）接下来证明：f（a1）+f（a2）+…+f（a2015）≤6045．由（I）知，函数f（x）=，在点（，f（））的切线方程为y=﹣x+．而当0＜x≤3时，f（x）=≤﹣x+⇔（x﹣3）（x﹣）2≤0成立．∴当0＜a n≤3，n∈N*时，有f（a n）≤﹣a n+=（11﹣3a n）．…（12分）∴f（a1）+f（a2）+…+f（a2015）≤[11×2015﹣3（a1+a2+…+a2015）]=6045∴当a1=a2=…=a2015=时，f（a1）+f（a2）+…+f（a2015）的最大值为6045．再由（II）知，g min（x）=g（p+1）=p+1，∴6045≤p+1得p≥6044．∴p的最小值为6044．…（14分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点、单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）已知矩阵M=的一个特征值l所对应的特征向量为．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C：x2+2xy+2y2=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．考点：逆变换与逆矩阵；特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：（Ⅰ）通过=1•可得a=1，b﹣0，进而可得结论；（Ⅱ）通过设曲线C上任意一点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到（x′，y′），利用=，用x′、y′表示出x、y，并代入曲线C方程即得结论．解答：解：（Ⅰ）依题意，=1•，∴=，解得a=1，b﹣0，∴M=，∵detM=1≠0，所以M﹣1=；（Ⅱ）曲线C：x2+2xy+2y2=1上任意一点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到（x′，y′），则=，∴，即，代入方程x2+2xy+2y2=1，得（x′）2+（y′）2=1，∴曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程为：x2+y2=1．点评：本题考查矩阵与变换，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+）．（Ⅰ）将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C相交于A、B两点，求AB的长．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）消去参数t，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出直线被圆截得的弦长．解答：解：（Ⅰ）由，消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：2x﹣y+1=0；…（2分）由ρ=2sin（θ+），得ρ=2（sinθcos+cosθsin）=2sinθ+2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，化为普通方程得，曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；…（4分）（Ⅱ）圆心C（1，1）到直线l的距离为d==，且圆的半径为R=，直线被圆C截得的弦长|AB|=2=2=．…（7分）点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的方程的应用问题，是基础题目．六、选修4-5：不等式选讲23．已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．考点：柯西不等式的几何意义．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）分析题目已知a2+b2+c2=6，求a+2b+c的最大值，考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+12）≥（a+2b+c）2，即可得到答案．（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1﹣（x+m）|=|m﹣1|，由题意及（Ⅰ）得，|m﹣1|≥6，从而可求得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=6，根据柯西不等式有（a2+b2+c2）（12+22+12）≥（a+2b+c）2故（a+2b+c）2≤36，即a+2b+c≤6即a+2b+c的最大值为6，当且仅当，即当a=c=1，b=2时取得最大值．…（4分）（Ⅱ）因为|x+1|+|x+m|≥|x+1﹣（x+m）|=|m﹣1|，由题意及（Ⅰ）得，|m﹣1|≥6，得m≥7或m≤﹣5．综上，实数m的取值范围为m≥7或m≤﹣5．…（7分）点评：本题考查柯西不等式，考查绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式的几何意义是解决问题的关键，属于中档题．。
福建省福州第一中学2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题(含解析)
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 2．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n x y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-3．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．454．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917 B ．817 C ．1735 D ．9355．若i 为虚数单位，则复数22sincos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，8． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大 B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降9．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．111611．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．2512．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州一中高三数学5月校质检 理(1)
福建省福州一中数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1. 已知命题p ：x R ∃∈，21x =．则p ⌝是A ．x R ∀∉，21x ≠B. x R ∀∈，21x ≠ C ．x R ∃∉，21x ≠D. x R ∃∈，21x ≠2. 设集合{}1,1M =-，{}2N a =，则“1a =”是“M N M =U ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．54. 设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为A.2-B. 3C. 4D. 65. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于A ．40B ．42C ．43D ．456. 若2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α等于 A ．34 B ．34- C ．12 D ．12- 7. 函数()412x xf x +=的图象 A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y x =对称 D ．关于原点对称8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 9. 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为12,F F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=o ，则该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必定满足的关系式为A ．1213144e e += B. 221231144e e += C ．221231144e e += D. 221213144e e +=10．设12,,,n A A A L 为集合{}1,2,,S n =L 的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩则下列说法正确的个数是①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =;③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A L 中的几个子集; ④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．2 B. 3 C ．4 D. 5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．若复数1iz i=+，则z 的共轭复数z ＝___________. 12．已知多项式()()()22012111nnn x x x b b x b x b x ++++++=++++L L ，且满足12n b b b +++L26=，则正整数n 的一个可能值为___________.13．已知圆22:440C x y x y +--=，直线:36230l x y ++-=，在圆C 上任取一点A ，则点A 到 直线l 的距离小于2的概率为________．14. 已知()ln ln 1x x x '=+，则1ln exdx =⎰___________. 15.已知两个非零向量a r 和b r 所成的角为()0θθπ≤≤，规定向量c a b =⨯r r r，满足：（1）模：sin c a b θ=r r r；（2）方向：向量c r 的方向垂直于向量a r 和b r （向量a r 和b r构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量a r 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b r 的方向，大拇指所指的方向就是向量c r的方向.这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积. 对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是___________.①0a a ⨯=r r r ; ②0a b ⨯=r r r 等价于a r 和b r共线;③叉乘运算满足交换律，即a b b a ⨯=⨯r r r r;④叉乘运算满足数乘结合律，即()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯r r r r r r.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[]100,0，样本数据分组为[)20,0，[)40,20，[)60,40，[)80,60，[]100,80，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿. （Ⅰ）求频率分布直方图中x 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求ξ的分布列及其数学期望.17. （本小题满分13分）已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求二面角E AD B --的余弦值;（Ⅱ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ BQ ⊥，若存在，求出DQ 的长；若不存在，请说明说明理由.18. （本小题满分13分）如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=o，1,3AB BC ==．点,M N 分别在边AB 和AC上(M 点和B 点不重合)，将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变为A MN '∆，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=． （Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （Ⅱ）求线段A N '长度的最小值．19. （本小题满分13分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点,其焦点()(),00F c c >到直线l 20x y -+=的距离为322. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点，圆M 与y 轴相切. （i ）试证：存在一定圆N 与圆M 相外切，并求出圆N 的方程； （ii ）若点P 是直线l 上任意一点，,A B 是圆N 上两点，且AB BN λ=u u u r u u u r ，求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若k Z ∈，且()f x kx k >-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （III ）若()*2ln 23ln3ln 3,k a k k k k N=+++≥∈L ，证明：311nk ka =<∑()*,n k n N ≥∈．21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2413M ⎛⎫=⎪⎝⎭，2010N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）求圆221x y +=在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为：()24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线l 与曲线C 分别交于,M N ． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知,a b 为正实数.（Ⅰ）求证22a ba bb a+≥+；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数()()221011x xy xx x-=+<<-的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2014年5月）参考答案（理科）一．选择题 BACDB BADCC 二．填空题 11.12i-；12. 4；13. 14；14. 1；15. ①②④三．解答题16.解：（I ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………………………3分 （II ）设中位数为y ，则()200.0125200.0250.5y ⨯+-⨯=，解得30y =所以中位数估计为30分钟. .……………6分（III ）依题意得13,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分()()33131102813128P P C ξξ⎛⎫===⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭()32313228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()311328P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………11分所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P 18 38 38 18 所以ξ的数学期望是13322E ξ=⨯=..……………13分17. 解：（I ）由三视图知，,,CA CB CE 两两两垂直，以C 为原点，以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．……………1分则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-u u u r u u u r，()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=u u u r u u u r……………3分x设面ADE 的法向量为(),,n x y z =r ，面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=u r则有0n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即430440y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，取1z =得31,,14n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ， 0m AB m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r ，即4400x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =得()1,1,0m =u r ，……………… 6分 设二面角E AD B --的大小为θ，由图可知θ为钝角故317824cos cos ,41216n m n m n mθ+⋅=-=-=-=-⋅r u r r u rr u r∴二面角E AD B --的余弦值为78282-．…………………………… 8分 （II ）∵点Q 在棱DE 上，∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=u u u r u u u r………………… 9分()()()0,0,10,4,30,4,31BQ BD DQ BD DE λλλλ∴=+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r同理()4,44,31AQ λλ=--+u u u r………………… 11分,0AQ BQ AQ BQ ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rQ即()()()2444+3+1=0λλλ-- 解得15λ=所以满足题设的点Q 存在，DQ 的长为1.…………………………13分 18. 解：（I ）设MA MA x '==，则1MB x =-． 在Rt MBA '∆中，()1cos 2xxπθ--=， …………………………………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ===-． …………………………………4分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．…………………………………5分（II ）在AMN ∆中，23ANM πθ∠=- 2sin sin 3AN MAπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθπππθθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………… 8分令22132sin sin 2sin sin cos sin 3sin cos 32t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1311sin 2cos2sin 222226πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366πππθ<-<． 当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32.∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 13分19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24y cx =,由023222c -+=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. …………4分(Ⅱ) （i ）设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于点M ''，则1M MF MM r ''==+，所以圆M 与以F 为焦点，1为半径的圆相切，圆N 即为圆F ，圆N 的方程为()2211x y -+=; (8)分(ii)由AB BN λ=u u u r u u u r可知，AB 为圆N 直径，…………9分从而()()()222132172PA PB PN NA PN NB PN PN NA NB NA NB PN ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-⎛⎫≥- ⎪⎝⎭=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以PA PB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………13分20.解：（I ）因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．………………… 1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 所以()e 3f '=，即lne 13a ++=． 所以1a =．………………… 2分 （II ）由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………… 3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，………………… 4分令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………… 5分 因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，6分 所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．……… 7分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………… 8分（III ）由（II ）知()ln 231x x x x >->，取()*2,x k k k N=≥∈，则有2ln 2223,3ln3233,,ln 23k k k >⋅->⋅->⋅-L将上面各式相加得()()()222ln23ln3ln 22331211k k k k k k k +++>+++--=-+=-L L即()21k a k >-，故()()()211131(2)1k k a k k k <=≥---，所以 ()()33111111122312111111223211111nk kn aa a n n n n n ==++<+++⨯⨯--=-+-++---=--<∑L L L …………………14分21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于24213=，∴M -1=1322112M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, ∴1X M N -==32201021100012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭；…………………3分 （Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M -对应的变换作用下变为(),x y ''则10000x x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则0x x y '=⎧⎨'=⎩， 所以作用后的曲线方程为0(11)y x =-＃.…………………7分（2）解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………4分 （Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,代入ax y 22=得到0)4(8)4(222=+++-a t a t ,则有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+，因为2MN PM PN =，所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………7分 （3）（Ⅰ）证明：0,0a b >>Q ，由柯西不等式得()()222a b b a a b b a ⎛⎫++≥+=+ ⎪⎝⎭等号成立当且仅当b a =，即a b =.11 所以22a b a b b a +≥+.…………………4分 （Ⅱ）解：01,10x x <<∴->Q由（Ⅰ）知，()221111x x y x x x x -=+≥-+=-，当且仅当1x x -=，即12x =时等号成立.所以函数()()221011x x y x x x -=+<<-的最小值为1. …………………7分。
福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题
福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．已知{}21x A x =>，{}220B x x x =+-≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}2x x >-B ．{}2x x ≥-C ．{}01x x <≤D ．{}01x x ≤≤2．已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-r r ，若||||a b a b +=-r r r r，则实数n =（ ）A ．BC ．-2D ．23．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ） A ．30B ．31C ．62D ．634．将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（ ） A ．54B ．45C ．36D ．275．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()32f x x x =+，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为（ ） A ．52y x =--B ．58y x =--C ．52y x =+D ．58y x =+6．已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，倍，若SAB △的面积为 ）A ．B ．(40π+C ．D ．(40π+7．当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈） A ．0.57hB ．1.36hC ．2.58hD ．3.26h8．在ABC V 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，点M 为边BC 的中点，若AM AC =，()cos 2cos B A C =+，则sin BAC ∠=（ ）A B C D二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为ˆˆˆy a bx =+；若ˆ2b=，1x =，3y =，则ˆ1a= D ．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-的方差为410．已知12,F F 为椭圆()222Γ:11x y a a+=>的左，右焦点，P 为平面上一点，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则（ ）A ．当P 为Γ上一点时，12PF F △的面积为1B ．当P 为Γ上一点时，1211PF PF +的值可以为1 C ．当满足条件的点P 均在Γ内部时，则ΓD ．当点P 在Γ的外部时，在Γ上必存在点M ，使得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,AA CC C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点（不含端点），则（ ）A ．存在点Q ，使//PQ 平面MBNB ．存在点Q ，点Q 到直线BP 的距离等于23C ．过,,,A M B N 四点的球的体积为9π2D ．过,,Q M N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形三、填空题12．已知复数z 满足()()234i 1i z -=+（i 是虚数单位），则z =．13．能够说明“若()(0)<f x f 对任意的(]0,2x ∈都成立，则函数()f x 在[]0,2是减函数”为假命题的一个函数是．（答案不唯一）14．设集合A 为含有n 个元素的有限集．若集合A 的m 个子集12,,,m A A A ⋅⋅⋅满足以下3个条件：①12,,,m A A A ⋅⋅⋅均非空；②12,,,m A A A ⋅⋅⋅中任意两个集合交集为空集；③12m A A A A ⋅⋅⋅=U U U ．则称12,,,m A A A ⋅⋅⋅为集合A 的一个m 阶分拆．若{}1,2,3,,2024A =⋅⋅⋅，12,A A 为A 的2阶分拆，集合1A 所有元素的平均值为P ，集合2A 所有元素的平均值为Q ，则P Q -的最小值等于，最大值等于．四、解答题15．已知数列{}n a 中，112a =，1ππ23cos()36n n n a a +=-．(1)证明：数列π{cos}3n n a -为常数列； (2)求数列{}n na 的前2024项和．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PC ,E F 分别为,PD BE 的中点.(1)证明：,,,P A C F 四点共面；(2)求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.17．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A ，B 两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A 无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B 规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图.（1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A 的概率为0.6，选择区域B 的概率为0.4， （i ）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率；（ii ）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A 的概率；（2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）.18．已知双曲线22:13x C y -=的上、下顶点分别为,A B ．(1)若直线:2l y kx =+与C 交于,M N 两点，记直线AM 与BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(2)过C 上一点D作抛物线2x =的切线1l 和2l ，切点分别为,P Q ，证明：直线PQ 与圆221x y +=相切．19．已知函数()e xf x =，()sin cosg x x x =+，其中e 为自然对数的底数.(1)证明：0x ≥时，e 1sin x x x -≥≥；(2)求函数()()()h x f x g x =-在5π,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内的零点个数；(3)若()()2f x g x ax +≥+，求a 的取值范围.。
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题
福建省达标校2024学年高三5月第一次调研考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++2．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．23．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，184．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．5．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l7．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 8．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-9．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 11．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1412．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年5月福州市高三毕业班质检数学卷及答案
准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023年5月福州市高三毕业班质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,3,5,7,8A =，{}1,5,,8,9B a =，若{}3,5,8A B =I ,则a =A ．2B ．3C ．6D ．72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量b 在单位向量a 上的投影向量为4-a ，则+⋅=（）a b a A ．3-B ．1-C ．3D ．54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x （单位：万元）的Logistic 模型：0.96800.9680e ()1e kxkxP x -+-+=+．已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01万元，参考数据：ln 3 1.0986≈，ln 20.6931≈）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元5.已知ABC △的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=A ．12B ．1C ．2D 6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有A ．15种B ．18种C ．19种D ．36种7.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A ．α//β，l //αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8.已知0a >，函数()()1e a x f x -=，()()222g x x a x b =-+++．若()()f x g x >，则ba的取值范围是A ．2(,)e-∞-B ．(),1-∞-C ．1(,2-∞-D ．2(,0)e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.已知椭圆C ：22px qy r +=，其中p ，q ，r 成公比为2的等比数列，则A ．C 的长轴长为2B ．C 的焦距为C ．C 的离心率为2D ．C 与圆()2231x y -+=有2个公共点11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周．已知盛水筒P 离水面的最大距离为5.2m ，旋转一周需要60s ．以P 刚浮出水面时开始计算时间，P 到水面的距离d (单位：m)(在水面下则d 为负数)与时间t (单位：s)之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，[0,60]t ∈，下列说法正确的是A ． 2.2K =B ．π30ω=C ． 2.2sin 3ϕ=D ．P 离水面的距离不小于3.7m 的时长为20s 12.已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当11x ≤-<时，()f x x =．若函数()y f x =的图象与函数121()(20232023)2x g x x +⎡⎤⎢⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则A ．()g x 是偶函数B ．2024n =C ．10ni i x ==åD ．10121011122ni i y -==-å第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，则10x =时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）．14.写出经过抛物线28y x =的焦点且和圆()2214x y +-=相切的一条直线的方程．15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为．16.不等式π1sin46x x <+的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，直线12l l ∥，线段DE 与12,l l 均垂直，垂足分别是,E D ，点A 在DE 上，且1,2AE AD ==.,C B 分别是12l l ,上的动点，且满足π3BAC ∠=．设ABD x ∠=，ABC △面积为()S x ．（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值．18.（12分）学校有A ，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐．第1天午餐选择A餐厅的概率是13，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为34．（1）记周同学前两天去A 餐厅的总天数为X ，求X 的数学期望；（2）如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由．19.（12分）如图，四边形A 1ABB 1是圆柱的轴截面，CC 1是母线，点D 在线段BC 上，直线A 1C //平面AB 1D ．（1）记三棱锥B 1-ABD 的体积为V 1，三棱锥B 1-ABC 的体积为V 2，证明：212V V =；（2）若CA =2，CB =4，直线A 1C 到平面AB 1D 的距离为43，求直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值．20.（12分）已知数列{}n a 满足12211,1022n n n a a a a a n ++==++=+．（1）若1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求使n a 取得最小值时n 的值．21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为原点，点(1,1)P 在C 的渐近线上，PAO △的面积为12．（1）求C 的方程；（2）过点P 作直线l 交C 于,M N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值．22.（12分）已知a R Î，函数()()11e x f x x a -=--．（1）讨论()f x 在(,)b -∞上的单调性；（2）已知点(),P m m ．（i ）若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，求m 的取值范围；（ii ）设函数122e 1,11,()ln(1)1,1e 1e x x h x x x --⎧+-<<⎪=⎨-++<<+⎪⎩．若曲线()y h x =上恰有三个点iT （1,2,3i =）使得直线i PT 与该曲线相切于点i T ，写出m 的取值范围（无需证明）．质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
福州市5月份质检理数(扫描版)
zx D CP高中毕业班数学(理科)练习 参考答案与评分标准一、选择题1. B2. A3. A4.B5. B6. D7. B8. B9. C 10. A 二、填空题11. 0.0228 12. 4 13. 1)632sin(2)(++=πx x f 14. (x －2)2+(y －2)2=1. 15. 7 三、解答题:16.解:(Ⅰ)由程序框图可知, 数列{a n }的一个递推关系式:a 1=1,a 2=1,a n +2=4a n +1－4a n , (n ∈N +)………4分(Ⅱ)由a n +2－2a n +1=2(a n +1－2a n ), 且a 2－2a 1=－1∴数列{a n +1－2a n }是以－1为首项,2为公比的等比数列. ………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)有 a n +1－2a n =－2n －1,111224n n n n a a ++-=,又11122a = ∴数列}2{nn a 是以21为首项,41-为公差的等差数列. ∴113()(1),()22244nn n n a n n a -=+--=⋅………13分 17.解:(Ⅰ)由C A B c b c a sin sin sin +=--,得ca bc b c a +=--, 即a 2=b 2+c 2－bc ,由余弦定理,得:3,21cos π==A A . ………6分(Ⅱ)f (x )=1+cos(2x +2A )+cos(2x －2A )=1－cos2x 故f (x )的最小正周期T =π,由2k π≤2x ≤2k π+π(k ∈Z),得f (x )的单调递增区间为)](2,[Z k k k ∈+πππ.………13分18.解:(Ⅰ)图①为该几何体的直观图; ………3分 (Ⅱ)依题意,平面PBC ⊥平面ABC ,平面PBC ∩平面ABC=BC ,取BC 中点O,连接PO , 则PO ⊥BC,PO ⊥平面ABCD .取AD 中点M , 则OM ⊥BC .如图建立空间直角坐标系O-xyz.P (0,0,2),A (2,1,0),)2,1,2(-=PA ,又平面PBC 的一个法向量为32||||,cos ),0,0,1(=⋅>=<=m PA m PA m PA m , ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为32.………9分 (Ⅲ)法1:∵D (2,－1,0),)2,1,2(),0,2,0(-==PA DA , 设),,(z y x n =为平面PAD 的一个法向量,则⎩⎨⎧=-+=02202z y x y ,取(1,0,1)n =1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ ∴二面角A-l-B 的大小为45°. ………13分法2:平面PBC ∩平面PAD=l ,BC //AD ⇒BC //平面PAD ⇒BC //l,OP ⊥l,MP ⊥l⇒∠MPO 就是二面角A-l-B 的平面角,1tan ==∠POMO MPO .∴二面角A-l-B 的大小为45°. ………13分19. 解：（1）以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()A B C -3030523，，，，，则()()A C k m =++=532321922即A 、C 两个救援中心的距离为219k m.………3分 （2）∵||||P C P B =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上.又∵||||P BP A -=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且A B =6∴双曲线方程为()x y x 224510-=<BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370 联立两方程解得：x =-8()∴，，∠P k P A B P A-==-8533t a n ∴∠PAB ＝120°所以P 点在A 点的北偏西30°方向上. ………9分（3）如图，设P Q h P B x P A y===，，∵Q B Q A x h y h -=+-+2222()=-+++=-++++xy x h y h x y x yx h y h2222222222· 又∵x y x h y h++++<22221QB QA PB PA -<-∴1111QB QA PB PA-<-∴即从P 点的正上方Q 点处A 、B 收到信号的时间差比从P 点处A 、B 收到信号的时间差变小. ………13分20.解(Ⅰ)由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ，所以B ，N ，A 三点共线. ………3分(Ⅱ)由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． 对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，．………8分(Ⅲ)对于定义在1e e mm +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)，则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--，………10分 令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e e m m h x x +'=--，列表如下：xe m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值， 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ………14分 21. 解:(1)解: (Ⅰ)110121,1012M M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,点P (2,1)在T 1作用下的点Q 的坐标为(－1,2) ………4分 (Ⅱ)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==011112M M M ,设(x,y )为变换后图象上任意一点,与之对应的变换前的点是(x 0,y 0),则⎩⎨⎧==-∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y x x y x y x 00000000,0111,即⎩⎨⎧-==x y y yx 00.故所求的曲线方程为y －x=y 2………7分(2)解: (Ⅰ)设动点P 的极坐标为),(θρ,点M 的极坐标为),(00θρ,则120=ρρ, 又θρθρcos 3,4cos 0=∴=(扣除极点)即动点P 的极坐标方程为3cos ρθ=(扣除极点); ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)易知动点P 的轨迹是以(1.5,0)为圆心,1.5为半径的圆, 故RP 的最小值为1. ………7分 (3) 解(Ⅰ)由f (x )≥4得|6x+a|≥4,解得6464ax a x --≤-≥或,依题意, 1,65642164=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-a a a ;………4分(Ⅱ)当a =1时,f (x)=|6x +1|.f (x +1)=|6x +7|,f (x －1)=|6x －5|f (x +1)+f (x －1)= |6x +7|+|6x －5|≥|(6x +7)－(6x －5)|=12,∴b <12. ………7分。
福建省福州一中高三数学5月质量检测试卷 理
福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图）2.若11a i i i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A. i B. i - C. 2i - D. 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25D ．454.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3- 5.下列判断不正确的是A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为A8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADC.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图 D.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥． 则以下结论一定成立的是A ．a b ⊥B ．()b a b ⊥-C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥-10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则 ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时 该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=， 则tan OPQ ∠的值为 ．14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等于 ．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+． 则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <． 其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）(第12题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设m R ∈，函数（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求()f A 的取值范围．EA B CDFO19．（本小题满分13分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长. （3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足2226a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：313214. 40292 15. ①④选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y m y --=，△=216(1)m +，把（1）代入22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D.三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===，8 7 5 6 9826甲 乙5 57 2 58 5115511(2)25P X C C ===，…………………10分 随机变量X160122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ，所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分 又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂， 所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分 （II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ， 所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I2分…………………………………4分5分，k Z ∈7分（II ……………………………………………………………………………………………8分11分 12分13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =． ⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+故椭圆C 的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．……………………………………………………………………………………………9分 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．………………………………………10分点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分20. 解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =，所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--， 即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分(Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=当12201513a a a ====时，有1()33f =.所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯=.………………………10分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.由(I)知，函数23()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+.而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分 所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=所以，当12201513a a a ====时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b =.…2分所以1101M ⎛⎫=⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到''(,)x y ，则''1101x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得''x x y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即'''x x yy y⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y +=.…………7分 （2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分由)4πρθ=+，得coscos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离d ==，圆的半径R ,||AB ===……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分。
2018届福建省福州一中高三5月质量检测试卷理科数学试
福州一中2018-2018学年高三校质检试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集RU =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为A ．}03|{<<-x xB ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图） 2.若11a ii i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A. i B. i - C. 2i - D. 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25D ．45 4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3- 5.下列判断不正确的是 A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称 7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为AD8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADC.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图D.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥．则以下结论一定成立的是 A ．a b⊥ B ．()b a b ⊥- C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥- 10．已知抛物线M ：24y x =，圆N：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BDAC =的直线l 有且只有三条的必要条件是 A ．(0,1]r ∈ B ．(1,2]r ∈ C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．若4(4),0(),(2012)cos ,0x f x x f x f tdt x π->⎧⎪=⎨≤⎪⎩⎰则12为 ．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=， 则tan OPQ ∠的值为 ．(第12题图)14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等 于 ．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+．则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥；②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤；③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >；④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <．其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD 相交于点O，若060=∠=∠DBFDAB，且FCFA=. （Ⅰ）求证：FC∥∥平面EAD；（Ⅱ）求二面角A FC B--的余弦值.第17题图）EA B CDFO18．（本小题满分13分）设m R∈，函数（Ⅰ）求()f x的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，求()f A的取值范围．19．（本小题满分13分）已知(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P A-，(2, 0)是椭圆C上异于∆面积的最大值为A，B的动点，且APB（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分） 已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由； （Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不等式122015()()()()f a f a f ag x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长.（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知正数a，b，c满足2226++=．a b c（Ⅰ）求2++的最大值M；a b c（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M+++≥恒成立，求实数m的取值范围．福州一中2018-2018学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：12. 313214. 40292 15.①④选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y my --=，△=216(1)m +，把（1）代入222)1(r y x =+-得设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D. 三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===，115511(2)25P X C C ===，…………………10分随机变量X 的分布列是：8 7 5 6 9826 甲乙5572 58 5160122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ， 所以FBCAD 平面∥，FBC DE 平面∥ (2)分又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂， 所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂， 所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分（II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ， 所以DBF ∆为等边三角形， 因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥ 又AC BD O⋂=，所以ABCD FO 平面⊥ (6)分由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - 设2=AB ，因为四边形ABCD为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ， 令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ.所以二面角BFC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I）2分由得：，∴…………………………………4分∴………5分∴()f x的单调递减，k Z∈………………………………7分（II）∵，由余弦定理得：……………………………………………………………………………………………8分即2cos cos cosa B c Bb C-=，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cosA B C B B C-=，2sin cos sin()sinA B B C A=+=，，∴11分∵△ABC锐角三角形，∴，12分的取值范围为(1,2]．…………………………………………13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，(,0)F c．由题意知解得b =，1c =． 故椭圆C的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………8分因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+……………………………………………………………………………………………9分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--. 所以直线PF的方程为24(1)14ky x k=--．………………………………………10分点E 到直线PF 的距离d 2||k ． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分 20.解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++， (1)分2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =，所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--， 即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分（Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+ (5)分①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分 (Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=当12201513a a a ====时，有1()33f =. 所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯= (10)分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤. 由(I)知，函数23()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+. 而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=所以，当12201513a a a ====时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥ 所以p的最小值为6044 (14)分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b = (2)分所以1101M ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到''(,)x y ，则''1101x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得''x x y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即'''x x yy y⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y += (7)分（2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+= (2)分由)4πρθ=+，得cos cos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+，22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-= (4)分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离d ==，圆的半径R =,||AB ===.……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++， 即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c ==，即当1,2a cb ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-， 由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-. 综上，实数m的取值范围为7m ≥或5m ≤- (7)分。
福州一中2018年5月高三理科数学质检试卷及答案
福州一中2018-2019学年高三校质检试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图）2.若11a i i i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A . i B . i - C . 2i - D . 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25 D ．45 4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3- 5.下列判断不正确的是A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为ABCD8.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD的距离为3C .BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30 第8题图 D .BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30 9．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足： ①||1b =； ②a b ≠； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥． 则以下结论一定成立的是A ．a b ⊥B ．()b a b ⊥-C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥-10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则 ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时 该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=， 则tan OPQ ∠的值为 ．14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等于 ．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+． 则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <． 其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）(第12题图)如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =. （Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设m R ∈，函数（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求()f A 的取值范围．19．（本小题满分13分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异 于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与EA B CDFO直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=．若不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵11a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长.（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足2226a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州一中2018-2019学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：313214. 40292 15. ①④ 选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y m y --=，△=216(1)m +，把（1）代入22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D . 三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===，…………………10分 随机变量X 的分布列是：1680122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分 17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ，所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分 又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂，8 7 5 6 9826甲 乙55 72 58 5所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分 （II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ， 所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - 设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ， 则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分 因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I2分…………………………………4分 5分，k Z ∈∴()f x 的单调递减区间为：，k Z ∈………………………………7分 （II……………………………………………………………………………………………8分11分 12分13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834kx k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+． ……………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. ⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切． ……………………………………………………………………………………………9分 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k=--．………………………………………10分 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分20. 解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分 2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =， 所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--， 即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>-- 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分 (Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=当12201513a a a ====时，有1()33f =.所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯=.………………………10分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤.由(I)知，函数23()1x f x x+=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+. 而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=所以，当12201513a a a ====时，122015()()()f a f a f a +++的最大值为6045.再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥ 所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b =.…2分所以1101M ⎛⎫=⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分 （Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下'11x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'x x y ⎧=+⎪''x x y ⎧=-⎪代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y +=.…………7分（2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分由)4πρθ=+，得coscos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离5d ==，圆的半径R =||AB ===.……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-，由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分。
福建省福州第一中学高三数学下学期模拟考试(5月质检)
2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．（1） 若集合{}1216xA x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B I 等于(A)(]3,4 (B) []3,4 (C) (](,0)0,4-∞U (D) (](,1)0,4-∞-U （2） 计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=o o o o2 (C)(D) 12 （3） 已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则(03)P ξ≤≤= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.34 (D) 0.16（4）设命题0300:(0,),3x p x x ∃∈+∞<，则p ⌝为(A) 3(0,),3xx x ∀∈+∞≥ (B) 3(0,),3x x x ∃∈+∞≥ (C) 3(0,),3xx x ∀∈+∞< (D) 3(0,),3x x x∃∈+∞<（5）二项式5(2x 的展开式中x 的系数等于 (A) 40- (B) 40 (C) 20- (D) 20（6）设向量12,,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u r 若1e u r 与2e u r不共线，且6AP PB =u u u r u u u r ，则OP =u u u r(A) 121677e e -u r u r (B) 126177e e -u r u r (C) 121677e e +u r u r (D) 126177e e +ur u r（7）已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x 的图象，则下面结论正确的是(A) 函数()g x 是奇函数 (B) 函数()g x 在区间[],2ππ上是增函数(C) 函数()g x 的最小正周期是4π (D) 函数()g x 的图象关于直线x π=对称（8）在一球面上有,,A B C 三点，如果43,60AB ACB =∠=o ，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的表面积为(A) 36π (B) 64π (C) 100π (D) 144π （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南 宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书 九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序 框图，若输入的,,n n a x 分别为5,1,2-， 且432105,10,10,5,1a a a a a =====，则输出的v =(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) 42 (B) 34 (C) 41 (D) 52(11) 已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，FG OG ⊥，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为(A)52 (B) 62 (C) 72(D) 2 (12) 设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数是()f x '，且43()3()xx f x x f x e'+=，3(3)81e f =，则0x >时，()f x(A) 有极大值，无极小值 (B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值53 4输入i ai v vx a =+1i i =-开 始 输入,,n n a x 的值n v a =是0?i ≥ 输出v 结 束 否第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知复数z 的共轭复数112iz i+=-，则复数z 的虚部是_______. （14）若,x y 满足约束条件2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且3z x y =-的最小值是最大值的3-倍，则a 的值是_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦 的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________. （16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin A C B +=，则角C 的最大值是_______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n Sn b b b =gg L g . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前n 项和为n T ，求2016T .（18）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中11//,,12,BC AD AB AD AD AD ⊥==4AB BC ==. （Ⅰ）在线段AD 上求一点N ，使得//CN 平面11ABB A ，并加以证明； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N ，求锐二面角11D ND C --的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A 商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A 商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A 商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A 商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A 商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A 商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A 商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B .（Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数2()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0,()(2)x f x f >≥. （Ⅰ）写出()b g a =的表达式；（Ⅱ）已知,c d 为不相等的两个整数，且c k d ≤≤时ln 0a kb +≤恒成立，求c 的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 与BC 的延长线交于圆O 外一点E ，自E 引一直线平行于AC ，交BD 的延长线于M ，自M 引MT 切圆O 于T . （Ⅰ）求证：MT ME =；（Ⅱ）若,3,1AE BM MT MD ⊥==，求BE 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8cos 2sin ρθθ=+.（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的22C ，求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若,P Q 分别为曲线2C 与直线l 上的两个动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如果关于x 的不等式16x x a -+-≤的解集为空集. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若实数b 与实数a 取值范围相同，求证：255ab a b ->-.2016届福州一中高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）C （7）B （8）C （9）C （10）C （11）D （12）C（12）简解： 343()()x e x f x f x x -'=，设3()3()x h x e f x x =-，则32()3()3()x h x e f x x f x x ''⎡⎤=-+⎣⎦433()3()x e f x x f x x x'⎡⎤=-+⎣⎦ 33x x x x e e e x x-=-⋅=⋅，所以3()(3)81(3)0h x h e f ≥=-=， 即()0f x '≥，因此()f x 在(0,)+∞既无极大值，又无极小值.二、填空题：每小题5分，满分20分．（13）35- （14）1- （15）2212x y += （16）12π（16）简解：2,a c c +==，222)2cos 2a a b C ab-+-=223284a b ab ++=≥，即cos cos 12C π≥，所以角max 12C π=，当,,0b c a ==>时取得. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题满分12分解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ···················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ················ 3分 所以3n a n =. ··························· 4分 易知164b =， ·························· 5分当2n ≥时11214n S n b b b --=gg L g ，又124n Sn b b b =gg L g ， 两式相除得64(2)nn b n =≥， ···················· 7分164b =满足上式，所以64n n b =. ················· 8分（Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++g ， ···10分 11(1)361n T n =-+，························ 11分 因此2016562017T =. ························ 12分（18）本小题满分12分解：（Ⅰ）在线段AD 上截取4AN =，连接NC ， ··········· 1分 因为//,AN BC AN BC =，所以四边形ABCN 为平行四边形， ················ 2分 所以//CN AB ，又CN ⊄平面11ABB A ，因此//CN 平面11ABB A . ···················· 3分A1 D 1 B 1-C 1A N D（Ⅱ）因为2222116144AA AD +=+=，211144A D =， 所以2221111AA AD A D +=，且1112A D AA =，所以11AD AA ⊥，且1130A D A ∠=o，因为11//,//BC AD BB AA ，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ····· 4分 作11NK A D ⊥于点K ，则,,NC ND NK 两两垂直，以点N 为原点O ，分别以,,NC ND NK u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示． ························· 5分可得1D ，1(4,C -， ················· 6分 易知平面1DND 的法向量(1,0,0)=m ，设平面11C ND 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,ND NC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r n n 即50,430,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取y =5)=-n ， ·· 10分 则|cos ,|m m m ⋅<>==n n n ··············· 11分 所以锐二面角11D ND C --············· 12分 （19）本小题满分12分解：（1）记“恰有三人是以每件200元的价格购买”为事件B ，则3162484()7C C P B C ⋅==. ······················ 5分 （2）设商场销售A 商品获得的平均利润为ξ（单位：元）依题意，将频率视为概率，为使每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为6件或7件或8件. ················· 6分 当购进A 商品6件时，()1006600E ξ=⨯=（元） ··········· 7分 当购进A 商品7件时，46()(100640)10076441010E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=（元） 9分当购进A 商品8件时，403525()(1006240)(100740)1008100100100E ξ=⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯即()639E ξ=（元） ························ 11分 所以商场每天购进7件A 商品时所获得的平均利润最大. ········· 12分（20）本小题满分12分解法一：（Ⅰ）如图，2(,0),(,),(,),(,0),2222ABC p p p pF A p B p C S p --=V ,··· 1分 由24p =得2p =，圆D半径R = ················· 3分所以抛物线2:4E y x =，圆22:(3)8D x y -+=. ·············· 4分 （Ⅱ）m解法一：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y b x k y x -⎧=⎪⎨⎪=⎩得2440ky y b -+=，()*1616kb ∆=-， ······· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,y y ，且121244,by y y y k k+== ········· 7分点221212(,),(,)44y y M y N y ，221212(4)(4)16y y FM FN y y --⋅=+u u u u r u u u r221212121()4()241616y y y y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦ 22264b kb k k ++-=24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分 解法二：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩得2222(2)0k x kb x b +-+=，()*1616kb ∆=-， ··· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,x x ，且21212222(2),kb b x x x x k k--+== ······ 7分点1122(,),(,)M x kx b N x kx b ++， 1212(1)(1)()()FM FN x x kx b kx b ⋅=--+++u u u u r u u u r221212(1)(1)()1k x x kb x x b =++-+++22264b kb k k ++-= 24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分（21）本小题满分12分解：（Ⅰ）()22222=(0,0)ax bx f x ax b x a x x+-'=+->>， ·········· 1分依题意，2是关于x 的方程2220ax bx +-=的正数根， ············ 2分可得14b a =-，此时()(21)(2)=(0,0)ax x f x x a x+-'>>，所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，满足()(2)f x f ≥， ···· 3分 所以()14(0)g a a a =->. ························ 4分 （Ⅱ）ln ln 4a kb a ka k +=-+，记()ln 4(0)h a a ka k a =-+>，（ⅰ）当0k =时，()ln (0)h a a a =>，(2)ln20h =>，所以0k =不合题意； ····················· 5分（ⅱ）当0k ≠时，14()4()k a k h a a-'=- ················· 6分 若0k <，则()0h a '>，故()h a 在(0,)+∞单调递增，(1)30h k =->，所以0k <不合题意； ·············· 8分若0k >，则()h a 在1(0,)4k单调递增，在1(,)4k +∞单调递减，故max 1()()ln(4)14h a h k k k==-+-. ·················· 9分记()ln(4)1(0)P k k k k =-+->，1()(0)k P k k k-'=>故()P k 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ············· 10分11()044P e e=>，(1)ln 40P =-<，(2)1ln80P =-<， (3)2ln120P =-<，(4)3ln160P =->，所以()P k 在(0,1)和(3,4)分别存在一个零点12,k k ， ··········· 11分 即12(0,1),(3,4)k k ∈∈，因此13x ≤≤时()0P k ≤，即ln 0a kb +≤，综上，min 1c =，max 3d =． ······················ 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲 本小题满分10分解：（Ⅰ）因为MT 切圆O 于T ，所以2MT MD MB =⋅， ········ 1分 又因为//ME AC ，所以MED DAC ∠=∠， ··············· 2分 因为DAC MBE ∠=∠，所以MED MBE ∠=∠ ·············· 3分 又因为DME EMB ∠=∠，所以DME ∆∽EMB ∆, ············· 4分所以MD ME ME MB=，即2ME MD MB =⋅， 所以MT ME =. ·························· 5分 （Ⅱ）因为MT ME =，所以3ME =， ················ 6分因为1,MD MD DE =⊥，所以2222DE ME MD =-= ······ 7分因为2ME MD MB =⋅，3ME =，1MD =，所以8DB =， ······· 8分 又因为DB DE ⊥，所以22BE DB DE =+，即62BE = ··························· 10分 （23）选修44-：坐标系与参数方程本小题满分10分 解：（Ⅰ）在曲线2C 上任取一点M ，设点M 的坐标为(,)M x y ， ······· 1分则点1()23M x y '在曲线1C 上，满足221()()123x y += ········· 3分所以曲线2C 的直角坐标方程为22143x y +=. ················ 5分 （Ⅱ）解法一：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=， ·········· 6分设点P 的坐标为(2cos 3)P θθ， ··················· 7分点P 到直线l 的距离为4sin()82cos 23sin 8655h πθθθ+-+-==， ···· 8分当3πθ=，即点P 坐标为3(1,)2时，h 455 ·········· 9分所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 解法二：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=，············· 6分设与直线l 平行的直线11:2l y x m =-+， ·················· 7分 1l 与2C 联立得：2230x mx m -+-=（*） ················ 8分 由判别式224(3)0m m ∆=--=得2m =±，依题意取2m =，此时方程（*）的根为1x =， ·············· 9分 即点P 坐标为3(1,)2时，点P 到直线l所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题满分10分解：（Ⅰ）解法一：由|1|6(1)(6)5x x x x -+-≥---=，当且仅当16x ≤≤时取等号， ······················ 2分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 解法二：记()|1|6f x x x =-+-，则27(6)()5(16)27(1)x x f x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-+<⎩， ························ 2分 当且仅当16x ≤≤时min ()5f x =， ···················· 3分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 （Ⅱ）解法一：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ··········· 6分 因为222222(25)25()6252525ab a b a b a b ---=+-- 22(25)(25)0a b =-->， ························ 9分 所以255ab a b ->-. ························· 10分 解法二：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ·············· 6分 要证255ab a b ->-，只需证22(25)25()ab a b ->-， ·········· 7分 即证222262525250a b a b +-->，即证22(25)(25)0a b --> ······· 9分 因为2225,25a b <<，所以22(25)(25)0a b -->成立， 所以255ab a b ->-成立. ······················· 10分。
福建省福州市高三5月综合练习数学(理)试题(解析版).docx
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2. 已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )A.6π B.2πC.56πD.π4. 函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是( )5. 已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于( )A.18.5B.37C.185D.3706. 已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有( )个.A.8B.9C.26D.27【解析】7. 设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN=120o,则该双曲线的离心率为( )A.337 B.37C.321D.3198. 设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡, 则b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.20149. 如图,己知3||,5||==OB OA ,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中,①x≥0,y≥0;②x －y≥0;③x －y≤0;④5x －3y ≥0;⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( )A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d ,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a口令,那么第5次也使用a口令的概率是( )A.727B.61243C.1108D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11. 在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+,0,032|),(yxyxyxyx所表示的平面区域内任取一点M,则点M恰好取自x轴上方的概率为___ _____.考点：1.集合的含义.2.线性规划.3.三角形面积的计算.12. 在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅u u u r u u u r =32-,则AC ＝_____ __．13. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 .14. 若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是 ．15. 已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米): 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133; 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列.②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;17. (本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-u r ,(sin(),sin )2n B B π=+r ,且sin 2m n A ⋅=u r r .(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18. (本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=u u u r u u u r.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ; (Ⅱ)当11BE BB 为何值时,二面角1E AC D --的大小为4π.19. (本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M(4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B,试利用结论:在椭圆22221x y a b+=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ; (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.20. (本题满分14分) 已知函数ln ()x x k f x e+=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x -+<+恒成立.然后研究函数1ln y x x x =--，通过求导求出函数的最大值.研究函数(1)xy e x =-+，通过求导得出函数考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.21. (本题满分14分)(1) 二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程. 设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=Q 210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分考点：1.图形表示矩阵的变换.2.矩阵的运算.(2) 已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =u u u r u u u r ,求直线l 的普通方程.6sin θ=10cos θ=(3) 已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.所以23|1|a a -≥- 2a ∴≥ ……………7分考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.。
福建省福州一中高三数学(理)下学期第一次质检试卷
福建省福州一中高三数学（理）下学期第一次质检试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若集合}1|{2xy y M ==,{|1}P y y x ==-,那么=P M ( ) A.),0(+∞ B.),0[+∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞2.复数=--ii 113（ ） A. i +1 B. i - C.i -1 D. i 3.在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4B ．6C ．12D ．164．在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠AC k AB C ，则k 的值是（ ） A ．5B ．－5C ．23 D ．23-5．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，6．如图，程序框图所进行的求和运算是（ ） A ． 12 + 14 + 16 + … + 120 B ．1 + 13 + 15 + … + 119C ． 1 + 12 + 14 + … + 118D ． 12 + 12 2 + 12 3 + … + 12 107．已知α∈(2π,π)，sin α=53,则)42tan(πα+等于（ ）A ． 71B ． 3117-C ． 724-D ．31178．设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，则|AF|+|BF|=（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4开始 s = 0,n = 2n < 21 是 否s = s + 1nn = n + 2输出s结束9.设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αα⊂⊥n m ,,则n m ⊥；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；③若m n n m ⊥⊂=⊥,,,αβαβα ，则β⊥n ； ④ 若,//,,n m m βαα⊥⊥则β//n . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④ 10．若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线 0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内 部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞ 二、填空题：（本大题共有5个小题，每小题4分，共计20分） 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________.12．62)x展开式中，常数项是__________.13.=-⎰-dx x 0224 .14. 抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数n 的期望为 . 15.在圆中有结论:如图,“AB 是圆O 的直径,直线AC,BD 是圆O 过A,B 的切线,P 是圆O 上任意一点,CD 是过P 的切线,则有PD PC PO ⋅=2”. 类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴, O 是椭圆的中心，21,F F 是椭圆的的焦点，直线AC,BD 是椭圆过A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过P 的切线,则有 .”三、解答题（本大题共有6个小题，共计80分） 16．( 本题满分13分)函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. （Ⅰ）求()f x 的表达式； (Ⅱ) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数)(x f 的单调递增区间和零点.主视图 左视图俯视图17．( 本题满分13分)如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角.（Ⅰ）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ,并且说明理由； （Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.18．( 本题满分13分)某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？19．( 本题满分13分)已知双曲线22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若21PF PF +=4.（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）求12cos F PF ∠的最小值； （Ⅲ）设点M （-2，0），过点N （27-，0）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.20．（本题满分14分）C 1B 1D CB已知函数)1ln()ln(1)ln()(++-+=x ax x ax x f , ),0(R a a ∈≠ （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围.21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分） (1) 选修4－2：矩阵与变换设矩阵MN A =，求矩阵A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 其中 M = ⎝⎛11 ⎪⎪⎭⎫42 ，N = ⎝⎛-11 ⎪⎪⎭⎫12 (2) 选修4－5：不等式选讲已知函数()24---=x x x f ．（Ⅰ）作出函数()x f y =的图像； （Ⅱ）解不等式124>---x x (3) 选修4－4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆2=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值．福州一中2009届高三数学（理）下学期第一次质检试卷参考答案二、填空题 11. 8 +4π3； 12. 60； 13.π； 14. 38； 15. PD PC PF PF ⋅=⋅21. 三、解答题16. 解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω……………2分 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A ……………………………………………4分把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6sin(=+ϕπ,所以226ππϕπ+=+k , 所以32ππϕ+=k ,因为2||πϕ<,所以3πϕ=综上所述，1)32sin(2)(++=πx x f ………………………………7分（Ⅱ）令0)(=x f ，得21)32sin(-=+πx ，又 ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦373234πππ≤+≤∴x 61132ππ=+∴x 故43π=x 函数)(x f 的零点是43π=x ……………10分373234πππ≤+≤x ∴由373223πππ≤+≤x 得ππ≤≤x 127∴函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,127 ……………13分 17. 解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………2分 证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO ∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点,从而1//DO AB ……………………………4分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC∴//1AB 平面1BDC …………………………………………6分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示,则(0,0,0)B ,A ,(0,2,0)C ,3,0)2D ,1C …………7分所以33(,0)22BD =,1BC =. ………………………………8分设),,(1z y x n =为平面1BDC 的法向量,则有30220x y y+=⎨⎪+=⎩,即3x zy =⎧⎪⎨=⎪⎩令1=z ,可得平面1BDC 的一个法向量为1(3,n =,而平面1BCC 的一个法向量为2(1,0,0)n = (11)分 所以1212123cos ,||||13n n n n n n ⋅<>=== 所以二面角D BC C --1的余弦值为13133…………………………13分 18. 解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-，…………………3分 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222n n ++++-＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- …………………6分 (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102nn n n -->-， 可化简得250102n n n <+-，…………………8分 ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+-又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年…………………12分 答：略 ……………13分19．（Ⅰ）解：依题意双曲线方程可化为1212122=-y x 则221=F F ∴21PF PF +=4>221=F F ∴点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，其方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>∴由22,42==c a 得1,2==c a 3142=-=∴b 则所求椭圆方程为13422=+y x ， 故动点P 的轨迹E 的方程为13422=+y x ；………………3分 （Ⅱ）设0,021>=>=n PF m PF ,θ=∠21PF F 则由4=+n m ，221=F F 可知在21PF F ∆中162212242)(24cos 222-=-=--+=-+=mnmn mn mn mn n m mn n m θ 又mn n m n m 24,0,0≥+=>> 4≤∴mn 即411≥mn 21146cos =-≥∴θ 当且仅当2==n m 时等号成立．故12cos F PF ∠的最小值为21………………6分（Ⅲ）当l 与x 轴重合时，构不成角AMB ，不合题意．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为27x =-，代入22143x y +=解得A 、B 的坐标分别为212,77⎛⎫- ⎪⎝⎭、212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭而127MN =，∴90AMB ∠=， 猜测90AMB ∠=为定值．………8分证明：设直线l 的方程为27my x =+，由 22273412x my x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩ ，得2212576(34)0749m y my +--= ∴122127(34)m y y m +=+ ，12257649(34)y y m =-+ ………10分 ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++11121212()()77my my y y =+++2121212144(1)()749m y y y y =++++2225761212144(1)49(34)77(34)49m m m m m -=++⋅+++49144)43(49)34(14422+++-=m m 0= ∴ 90AMB ∠=为定值。
福建省福州市高三5月综合练习数学(理)试题(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2. 已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )A.6π B.2πC.56πD.π4. 函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是( )5. 已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于( )A.18.5B.37C.185D.3706. 已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有( )个.A.8B.9C.26D.27【解析】7. 设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN=120o,则该双曲线的离心率为( )A.337 B.37C.321D.3198. 设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡, 则b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.20149. 如图,己知3||,5||==OB OA ,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中,①x≥0,y≥0;②x －y≥0;③x －y≤0;④5x －3y ≥0;⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( )A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a口令,那么第5次也使用a口令的概率是( )A.727B.61243C.1108D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11. 在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.考点：1.集合的含义.2.线性规划.3.三角形面积的计算.12. 在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅=32-,则AC ＝_____ __．13. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 .14. 若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是 ．15. 已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;17. (本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-,(sin(),sin )2n B B π=+,且sin 2m n A ⋅=.(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18. (本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ;(Ⅱ)当11B E BB 为何值时,二面角1E AC D --的大小为4π.19. (本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M(4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B,试利用结论:在椭圆22221x y a b +=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ; (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.20. (本题满分14分) 已知函数ln ()x x k f x e+=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x -+<+恒成立.然后研究函数1ln y x x x =--，通过求导求出函数的最大值.研究函数(1)x y e x =-+，通过求导得出函数考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.21. (本题满分14分)(1) 二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程. 设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分考点：1.图形表示矩阵的变换.2.矩阵的运算.(2) 已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). (Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程.6sin 4θ=,10cos 4θ=±(3) 已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.所以23|1|a a -≥- 2a ∴≥ ……………7分考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.。
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案
2019年5月福州一中高三模拟考试理科数学参考答案一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分） 13.3π14.2- 15.3 16.6 三．解答题（必考题每题12分，选考题每题10分）17.解：（1）易得λ=2a ，13+=λa ，λ24=a ..............................（2分） 1a ，2a ，4a 成等比数列4122a a a ⋅=∴，λλ212⋅=∴，2=∴λ或0=λ（舍去）2=∴λ..............................（4分）（2）方法一：2=λ ，121+=+∴+n a a n n ..............................（5分） n 为偶数时，)()()(14321n n n a a a a a a S ++⋅⋅⋅++++=- )12(1173-+⋅⋅⋅+++=n22)123(22n n n n+=-+=..............................（8分） n 为奇数时，)()()(154321n n n a a a a a a a S ++⋅⋅⋅+++++=- )12(13951-+⋅⋅⋅++++=n22)121(212n n n n +=-++=..............................（11分） 综上，{}n a 的前n 项和.22nn S n +=..............................（12分） 方法二：2=λ ，121+=+∴+n a a n n由⎩⎨⎧+=++=++++3212211n a a n a a n n n n ，得，22=-+n n a a ..............................（6分）n 为奇数时，n n a a n =⋅-++=2)121(1..............................（8分） n 为偶数时，n na a n =⋅-+=2)12(2..............................（10分）n a n =∴..............................（11分）22nn S n +=∴..............................（12分）方法三：2=λ ，121+=+∴+n a a n n0)1(1=-++-∴+n a n a n n ..............................（7分）设n a b n n -=01=+∴+n n b bn n b b -=∴+1，0111=-=a b ，0=∴n b ，n a n =∴..............................（10分）22nn S n +=∴..............................（12分）18.解：（1） CD ∥平面PAB ，⊂CD 平面ABCD ，面 PAB 面AB ABCD = CD ∴∥AB ..............................（1分） BC AB ⊥∴设E 为AB 边的中点，连结PE DE ,；CD AB 2= ，∴四边形BCDE 为平行四边形 DE AB ⊥∴..............................（2分） 又 PAB ∆为等边三角形PE AB ⊥∴..............................（3分） E PE DE =⊥∴AB 面PDE ..............................（4分） PD AB ⊥∴..............................（5分） （2） ⊥AB 面PDE ，⊂AB 平面ABCD ∴面⊥PDE 面ABCD在面PDE 中，作DE PF ⊥于点F ，∴⊥PF 平面ABCD ..............................（6分）以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴，方向为z 轴建立空间直角坐标系 如图所示. 则)0,2,2(A ，)0,2,0(B ，)0,0,1(D ，)23,21,1(P ........................（7分）则，)23,23,1(--=AP ，)0,2,1(= 设),,(z y x =为平面PAD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--0202323y x z y x ， 取)33,1,2(-=..............................（8分） 显然，)1,0,0(=为平面ABCD 的法向量..............................（9分）则，.4133433311433==++==..............................（11分） 因为二面角B AD P --显然为锐角，所以，二面角B AD P --的余弦值为.41..............................（12分）19.（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=， 满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，................（2分） 故所求概率为5551111600320=．..............................（3分） （2）0ξ=，1，2．..............................（4分）设事件A 为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件． 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2．则()()()()()()0110.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=；..............................（5分） ()()()()()()()()()()111P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=；..............................（6分）()()()()20.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯=．..............................（7分）ξ的分布列为................................................................................................................................................（8分）ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．..............................（9分）（3）13245D D D D D ηηηηη>>=>．..............................（12分）20.解：（1）设以AE 为直径的圆的圆心为O '，半径为r ，则r O O -='2， 由4)2(222=-+='+=+r r O O EA EB EA 所以，EA EB +为定值..................................（2分） 由AB EB EA >=+4................................（3分）所以，点E 的轨迹为以B A ,为焦点的椭圆，................................（4分） 则1,42==c a ，3222=-=∴c a b所以，点E 的轨迹方程为：.13422=+y x ................................（5分） （2）方法一：设1:-=my x l MN ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==+113422my x y x ，消去x 得，096)43(22=--+my y m 易得，.0>∆⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+∴439436221221m y y m m y y ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MNOMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11y y y y m y y m MN -++=-+=4336)436(12222+++⋅+=m m m m43)1(1222++=m m ..............................（8分） 又O 到l 的距离211md +=所以，d MN S OMN⋅=∆21431622++=m m ..............................（9分） 设t m =+21，则1≥t 所以，tt t t S OMN 1361362+=+=∆ 记,13)(tt t f +=)(t f 在[)+∞,1上递增，4)1()(min ==f t f ， 所以，OMN S ∆的最大值为2346=，即，DMN ∆的面积的最大值为.23.........................（12分）方法二：前面同法一21221214)(2121y y y y y y OA S OMN -+=-⋅=∆ 4336)436(21222+++=m m m 431622++=m m ...............................（9分） 下同法一.方法三：前面同法一由1:-=my x l MN ，则)1(:+-=x m y l PQ由⎩⎨⎧+-==+)1(422x m y y x ，消去y 得，042)1(2222=-+++m x m x m 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+∴12122212221m m y y m m x x ，则)1,1(222+-+-m m m m D 所以，点D 到l 的距离为112+m所以，d MN S DMN⋅=∆21431622++=m m 下同法一.方法四：前面同法一 点D 到l 的距离为222221111mm m OD OA DA +=+-=-=所以，DA MN S DMN⋅=∆21431622++=m m下同法一.方法五：当l 斜率存在时， 设)1(:+=x k y l MN ，.0≠k由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(13422x k y y x ，消去y 得， 01248)43(2222=-+++k x k x k 易得，.0>∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴2221222143124438k k x x k k x x ...............................（6分）D 为PQ 的中点，PQ OD ⊥∴，OD ∴∥MN OMN DMN S S ∆∆=∴...............................（7分）设),(),,(2211y x N y x M则，2122122124)(11x x x x kx x k MN -++=-+=222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+-⋅+= 2243)1(12kk ++=..............................（8分） 又O 到l 的距离21kkd +=所以，d MN S OMN ⋅=∆21224316k k k +⋅+=..............................（9分） 设t k =+243，则.3>t所以，215)311(427)123(494)32(922222++-=+--=--=∆t t t t t t S OMN 因为,3110<<t 492<∴OMN S ，23<∴OMN S ，当l 斜率不存在时，易得，OMN S ∆23=，所以，OMN ∆的面积的最大值为.23即，DMN ∆的面积的最大值为.23........................（12分）21解：（1）a x x x f -+-='1ln )(.............................（1分） 设a x x x g -+-=1ln )(xxx x g -=-='111)(，令0)(='x g ，得1=x )1,0(∈x ，0)(>'x g ，)(x g 递增；),1(+∞∈x ，0)(<'x g ，)(x g 递减.a g x g -==∴)1()(max .............................（2分） ①当0≤-a ，即0≥a 时，0)(≤x g ，即0)(≤'x f ，所以，)(x f 递减，)(x f 无极值，不合题意，舍去...........（3分） ②当0>-a ，即0<a 时， 则0)1(>g101<<-a e ，01ln )(1111<-=-+-=----a a a a e a e e e g 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在)1,0(有唯一零点.1x .............................（4分）又 11>-ae，且a a a a e a a e e e g ------=-+-=1111)1(21ln )(设a e a a h ---=1)1(2)(，022)(1>->-='-e e a h a)(a h ∴在)0,(-∞上递增，02)0()(<-=<∴e h a h . 0)1()(1<⋅∴-g e g a∴)(x g 在),1(+∞有唯一零点.2x .............................（5分） 从而，)(,0)(),,0(1x f x f x x <'∈递减； )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增； )(,0)(),,(2x f x f x x <'+∞∈递减；所以，21,x x x x ==为)(x f 的两个极值点，符合题意. 综上，).0,(-∞∈a .............................（6分） （2）方法一：不妨设2110x x <<<，a x x a x x x g --+-=-+---=-1)2ln(1)2()2ln()2(11111 0)(1='x f ，∴a x x =+-1ln 11， ∴22ln )2ln()2(1111-+--=-x x x x g记10,22ln )2ln()(<<-+--=x x x x x F ，0)2()1(22121)(2<--=+--='x x x x x x F ，)(x F ∴递减，0)1()(=>∴F x F所以，0)2(1>-x g ，即0)2(1>-'x f ，.............................（8分） )(,0)(),,(21x f x f x x x >'∈递增 ∴211210x x x <-<<<)()2(21x f x f <-∴.............................（9分） )2()()()(1121x f x f x f x f -+>+∴设10),2()()(<<-+=x x f x f x ϕ)2()()(x f x f x -'-'='ϕ[]a x x a x x -+-----+-=1)2()2ln()1(ln22)2ln(ln +---=x x x .............................（10分）0)2()1(22211)(2>---=---=''x x x x x x ϕ)(x ϕ'∴递增，0)1()(='<'ϕϕx)(x ϕ∴递减，02)1(2)1()(>-==>a f x ϕϕ .0)()(21>+∴x f x f .............................（12分）（2）方法二：不妨设2110x x <<<，)2121ln ()2121ln ()()(222221211121+--++--=+ax x x x ax x x x x f x f ......................（7分）由,0)(0)(21⎩⎨⎧='='x f x f 有,1ln 1ln 2211⎩⎨⎧=+-=+-a x x a x x .............................（8分）∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=+21)1(ln 21ln )()(111211121x x x x x x x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---+21)1(ln 21ln 2222222x x x x x x )2121()2121(222121+-++-=x x x x .............................（10分） .0)1(21)1(212221>-+-=x x .............................（12分） 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）曲线1C 的普通方程为1)1(22=-+y x ，............................（1分） 即，0222=-+y y x由θρρsin ,222==+y y x ，得曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=.........................（3分）曲线2C 的极坐标方程为θρ22sin 18+=8sin 222=+∴θρρ由y y x =+=θρρsin ,222，得曲线2C 的直角坐标方程为.14822=+y x ..................（5分） （2）设),(),,(αραρN M N Mααρρ222222sin 18)sin 2(++=+=+∴N M ON OM ............................（6分） 42843224sin 18)sin 1(4sin 18sin 42222-=-≥-+++=++=αααα............（8分）当且仅当12sin 2-=α时等号成立，............................（9分）所以，22ON OM +的最小值为.428-............................（10分） 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）解：（1）方法一：原不等式等价于41212≥++-x x ............................（1分）①21≥x 时，原不等式化为：44≥x ，得，1≥x ............................（2分） ②2121<<-x 时，原不等式化为：42≥，得，∅∈x ............................（3分）③21-≤x 时，原不等式化为：44≥-x ，得，1-≤x ............................（4分） 综上：(][)+∞-∞-∈,11, x .............................（5分）方法二：设)1()()(++=x f x f x h ，则，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4)(x x x x x x h ............................（2分）作出)(x h y =的图像，............................（4分）由图像可得：(][)+∞-∞-∈,11, x ......................（5分）（2）方法一：)1()()1()(22222)(++⋅≥+=x f x f x f x f x g)1()(22++=x f x f121222++-=x x)12()12(22+--≥x x4222==............................（7分）当且仅当),1()(+=x f x f 且0)12)(12(≤+-x x ，即0=x 时，等号成立，................（9分） 故，()g x 的最小值为4.............................（10分）方法二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤+<<-+≥+=+=---+-+-+-21,222121,2221,2222)(1221122112121212x x x x g x x x x x x x x ............................（6分）①21≥x 时，)(x g 递增，5)21()(min ==g x g ；............................（7分）②2121<<-x 时，422222)(21221==⋅≥+-x x x g ，当且仅当0=x 等号成立，4)(min =∴x g ；............................（8分）③21-≤x 时，)(x g 递减，5)21()(min =-=g x g .............................（9分）综上，4)(min =x g ............................（10分）。
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福州一中2014-2015学年高三校质检试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为 A ．}03|{<<-x x B ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x （第1题图）2.若11a i i i+=-（i 为虚数单位），则a 的值为 A. i B. i - C. 2i - D. 2i 3.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线的离心率等于 A ．5 B ．5 C ．25 D ．45 4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则3253S S S S --的值为A ．2B ．3C ．2-D ．3- 5.下列判断不正确的是A ．若)25.0,4(~B ξ，则1=ξEB ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”C ．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样D ．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等 6.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称 D ．关于直线6π=x 对称7．设点（,a b ）是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为A ．14 B ．23 C ．13 D ．128.如图，在棱长均为2的四棱锥P ABCD -中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD 的距离为3B ．BE ∥平面PAD ，且直线BE 到平面PAD 的距离为26C.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角大于30o第8题图 D.BE 与平面PAD 不平行，且直线BE 与平面PAD 所成的角小于30o9．称(,)||d a b a b =-r r r r 为两个向量,a b r r 间的“距离”.若向量,a b r r满足：①||1b =r； ②a b ≠r r ； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥r r r r ．则以下结论一定成立的是A ．a b ⊥v vB ．()b a b ⊥-v v vC ．()a a b ⊥-v v vD ．()()a b a b +⊥-v v v v10．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 有且只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．若4(4),0(),(2012)cos ,0xf x x f x f tdt x π->⎧⎪==⎨≤⎪⎩⎰则 ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时 该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=o， 再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=o ， 则tan OPQ ∠的值为 ．14．在2015(2)x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，则当2x =时，S 等于 ．15．已知a 为[0,1]上的任意实数，函数1()f x x a =-，22()1f x x =-+，323()f x x x =-+． 则以下结论：①对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≥； ②对于任意0∈x R ，总存在)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，使得00()()0i j f x f x ≤； ③对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x >； ④对于任意的函数)(x ，)(x ({,}i j ⊂≠{1,2,3})，总存在0∈x R ，使得00()()0i j f x f x <． 其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）(第12题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =. （Ⅰ）求证：FC ∥∥平面EAD ； （Ⅱ）求二面角A FC B --的余弦值.（第17题图）18．（本小题满分13分）设m R ∈，函数（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求()f A 的取值范围．EA B CDFO19．（本小题满分13分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数23()1x f x x +=+，()ln()g x x x p =--. （Ⅰ）求函数()f x 的图象在点11(,())33f 处的切线方程；（Ⅱ）判断函数()g x 的零点个数，并说明理由；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足：03n a <≤，*n N ∈，且1220153()2015a a a +++=L ．若不等式122015()()()()f a f a f a g x +++≤L 在(,)x p ∈+∞时恒成立，求实数p 的最小值.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的一个特征值1所对应的特征向量为10⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C ：22221x xy y ++=在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程.（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 和曲线C 相交于A 、B 两点，求AB 的长. （3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足2226a b c ++=． （Ⅰ）求2a b c ++的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式1||x x m M +++≥恒成立，求实数m 的取值范围．福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：313214. 40292 15. ①④选择题10简解：依题意可设直线l ：1x my =+，（1）代入24y x =，得2440y my --=，△=216(1)m +，把（1）代入22)1(r y x =+-设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，||||AC BD =，即1324||||y y y y -=-，若1324()y y y y -=--，则1234y y y y +=+，0m =.即22(1)r m =+，故当2r >时，l 有三条．从而本题应该选D. 三、解答题：16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===，14115528(1)25C P X C C ===，8 7 5 6 9826甲 乙5 57 2 58 5115511(2)25P X C C ===，…………………10分 随机变量X160122525255EX =⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………13分17.（I ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以BC AD ∥，BF DE ∥.因为FBC AD 平面⊄，FBC D 平面⊄E ，所以FBC AD 平面∥，FBC DE 平面∥…………………………………………………2分 又AD DE D ⋂=，EAD AD 平面⊂，EAD DE 平面⊂， 所以EAD 平面∥平面FBC 又FBC FC 平面⊂，所以EAD FC 平面∥…………………………………………………………………………4分 （II ）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ， 所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥， 又因为O 为AC 中点,且FC FA =， 所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………………………………………………6分 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - 设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ， 则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n …………………………………………………………………10分因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………13分 18．解：（I2分…………………………………4分5分，k Z ∈7分（II ……………………………………………………………………………………………8分11分 12分13分19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =． ⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+故椭圆C 的方程为22143x y +=.…………………………………………………………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．…………………………………………………5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+． ……………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切． ……………………………………………………………………………………………9分 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k=--．………………………………………10分 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分20. 解:（Ⅰ）222222(1)2(3)61'()(1)(1)x x x x x f x x x +-+--+==++，……………………………1分2121199'()1310(1)9f --+∴==-+，又1()33f =，所以函数()f x 在13x =的切线方程为913()103y x -=--， 即9331010y x =-+.……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）11'()1()x p g x x p x p x p--=-=>--Q 当(,1)x p p ∈+时，'()0,g x <所以()g x 在(,1)p p +单调递减； 当(1,)x p ∈++∞时，'()0,g x >所以()g x 在(,1)p p +单调递增；所以 1x p =+时，min ()(1)1g x g p p =+=+.……………………………………………5分 ①当10p +>，即1p >-时，()g x 的零点个数为0； ②当10p +=，即1p =-时，()g x 的零点个数为1；③当10p +<即1p <-时，此时(1)0g p +<，(0)ln()0g p =-->，()ln 0p p p p g p e p e e e +=+-=>（或,()x p g x →→+∞）因为()g x 在定义域上连续，由零点存在定理及()g x 的单调性，知()g x 在(,1)p p +有且只有一个零点，()g x 在(1,)p ++∞有且只有一个零点， 所以1p <-时，()g x 的零点个数为2.综上所述，当1p <-时，()g x 的零点个数为2；1p =-时，()g x 的零点个数为1；1p >-时，()g x 的零点个数为0. …………………………………………………………………9分(Ⅲ)1220153()2015,a a a +++=Q L 当12201513a a a ====L 时，有1()33f =.所以1220151()()()2015()60453f a f a f a f +++=⨯=L .………………………10分接下来证明:122015()()()6045f a f a f a +++≤L .由(I)知，函数23()1x f x x +=+在13x =的切线方程为9331010y x =-+.而当03x <≤时，2239331()(3)()0110103x f x x x x x +=≤-+⇔--≤+成立. 所以，当03,n a n N *<≤∈时,有9333()(113)101010n n n f a a a ≤-+=-………………12分所以，1220151220153()()()[1120153()]6045,10f a f a f a a a a +++≤⨯-+++=L L所以，当12201513a a a ====L 时，122015()()()f a f a f a +++L 的最大值为6045. 再由(II)知，min ()1,g x p =+60451,p ∴≤+得6044.p ≥ 所以p 的最小值为6044.……………………………………………………………14分21．解：（1）（Ⅰ）依题意，1111100a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，10a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a =，0b =.…2分所以1101M ⎛⎫=⎪⎝⎭.因为det 1M =，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭.………………………………4分（Ⅱ）曲线C ：22221x xy y ++=上任意一点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到''(,)x y ，则''1101x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得''x x y y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，即'''x x yy y⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 代入方程22221x xy y ++=得'2'2()()1x y +=.因此，曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到的新的曲线方程为221x y +=.…………7分（2）（Ⅰ）由12x ty t=⎧⎨=+⎩，得直线l 的直角坐标方程为：210x y -+=.………………2分由)4πρθ=+，得coscos sin )2sin 2cos 44ππρθθθθ=+=+， 22sin 2cos ρρθρθ=+，得曲线C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-=.……4分（Ⅱ）圆心(1,1)到直线l 的距离5d ==，圆的半径R =||5AB ===.……………………………………………………7分（3）（Ⅰ）由柯西不等式，2222222()(121)(2)a b c a b c ++++≥++，即有2(2)36a b c ++≤，……………………………………………………………………2分 又a 、b 、c 是正数，∴26a b c ++≤即2a b c ++的最大值为6，当且仅当121a b c==，即当1,2a c b ===时取得最大值．……………………………4分（Ⅱ）因为1|||1()||1|x x m x x m m +++≥+-+=-， 由题意及（Ⅰ）得，16m -≥，得7m ≥或5m ≤-.综上，实数m 的取值范围为7m ≥或5m ≤-.……………………………………………7分。