湖南省大联考2012雅礼中学高三10次月考数学(文科)试卷答案
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（）A.{}08x x ≤< B. 182xx≤<C.{}216x x ≤< D. 1162xx≤<2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B.1C.D.24.函数sin exx xy =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ）A 1B.2C.-1D.-2.6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象.C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）的在A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−.的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4Mx x =<，{}|21N x x =≥，则M N ∩=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx≤<C. {}216x x ≤<D. 1162xx≤<【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.详解】{}{}2|log 4|016Mx x x x =<=<<，1|2N x x=≥ ，则1162M N x x ∩=≤<.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3 B. 2C. －2D. －3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d = += 即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d = += ，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）【A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =−=−+=−，所以21i z =−=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=−的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ===++.故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x −−−−===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy >，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x −为方程220x kx m +−=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +−<的解集为()(),11t t −<−， 所以=1x −为方程220x kx m +−=的一个根， 所以2k m +=． 故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R ABAC=，100tan10RBC =−=− ， 25250.760.985RR ==， 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++−=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==−=−. 【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x −，又由()()40f x f x ++−=，得()()4f x f x +=−−，所以()()()846f x f x f x +=−−−=−+，所以()()2f x f x +=−，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==−=−．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE，则CE BE ==，AE DE ==，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF=4AF =，点O 为最大球球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==， 因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF==1R =， 即1OM OF ==，则413AO =−=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ， 连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =−=−， 又JK a b =+，所以33b a a b −=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=−=−，故432b R =−=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +×+×=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα +=B. 函数()2sin 23f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π=+的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π=+−的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈D. ()22tan 1tan xf x x =−的最小正周期为2π 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα+，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用二倍角公式化简得到()f x ，由正切型函数的周期性可求得结果知D 正确.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα++−+===，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π−=，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π=+=++， 则由222262k x k πππππ−+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ−+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−++∈，C 正确； 对于D ，()22tan tan 21tan xf x x x ==−，tan 2y x ∴=的最小正周期为2π，D 正确.故选：ACD.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A −组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11A C D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11A C D ， 平面11AC D ∩平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ， 所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A的点D 到平面11ACC A 的最大距离为R ，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x −−=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x −−，故()()0e e x xa b b a −−+−=， 即()()2e =xa b a b −−，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b −+−+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b −+−+++，因为e 0x >，e 0x −>，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb −−′，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f −−>′恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f −−<′恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==ex xxxa ba b f x −−−′， 令()=0f x ′得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>，当1,ln 2b x a∈−∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a∈−∞，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a∈+∞，()0f x ′<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a −⋅−<，则下列选项正确的是（ ）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a −⋅−<可得：20221a −和20231a −异号，即202220231010a a −> −< 或202220231010a a −<−> . 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q −=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =−<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ×= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=−=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=−=，可得(1,1)a bλ+=+ ， 又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b ba λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=−， 所以(2,4)a =−−，所以a =故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x −≤ =−>，则函数()()g x f x =零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象如下：由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.的【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D −中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S .16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ′′，则20n n n y y =′=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y ′=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y ′=+=，则()20201192000011.111.121.1201.1211.1n n n n n y y n =′=+=×+×++×+×∑∑L ， 可得2012202101.111.121.1201.1211.1nn n yy =′×=×+×++×+×∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =−′−×=+++−×=−×−∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1−+××++====−−−−， 所以20914nn n yy =′=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CACB ==，AB =13AA =，M 为AB 中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解.的【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CACB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ∩=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==×⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ， 因为11A B CM B ACM V V −−=,所以111133B CM ACM S d S AA ××=×× ,所以11ACM B CMS AA dS ×= .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c �已知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b +，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C−−=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B −=−， 所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B −=−, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =， 所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b aR A B R=， 所以sin 2sin sin 12b a C R A b A R=== ,所以1sin A b =， 因为2A B C C ππ=−−=− ，所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C++ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C −+−=−−+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C −<<， 当1cos 24C =−时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1−分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A =×−= ，()1111224P B =×−= ， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1−，()()()()11111346P X P AB P A P B =−===−×= ，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+=×+−×−=()()()()11111344P X P AB P A P B ====×−= ，所以X 的分布列为：()1711101612412E X =−×+×+×=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ==， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P =×=， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分的概率为2233111C 4632P =×= ， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P =××=， 所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N∗+=+∈.（1）令11n n n b a a +=−+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +−+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c −−=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=， 11n n n b a a +=−+ ，则12112b a a −+，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++−−=−+=+−+−+=−+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b −=×=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +−=−，可得2123211212121n n n a a a a a a −−−=− −=−−=− ， 累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n −−−−=+++−−=−−=−−− ，21n n a n ∴=−−.213n n n n c −−∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++−+−−−==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++−−−−+−∴−=−=， 令()212nf n n =+−，则()11232n f n n ++=+−，所以，()()122nf n f n +−=−.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =−<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +−=或11n n a a q −=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n −= = −≥ 进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n −−=，即第n 项与第n 1−项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a −=，即第n 项与第n 1−项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：�一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b −=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m −+=+，得到()1b k m =−，1b m k =−，可得出数列1n b a k+ −是以k的等比数列，可求出n a ；�取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p∗−−=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； �1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N ∗∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用�中的方法求解即可. 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，�双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+， 联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −±，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−= ，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+， 联立22,1,169x my t x y =+ −= ，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−， 又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． �CD 的方程为8x my =+，�直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =−+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n =∈N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =−，证明：1217 (6)n k k k n −+++>−. 【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. （2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥−≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>−×，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x ′=−+，设()sin s x x x =−+，则()cos 10s x x ′=−+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数， 故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥−≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =−+≥，则()2cos 1()02x u x x f x ′=−+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥−≥恒成立. 当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i ig g k ++++ − ==− − 11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++=−=×−由（1）可得()2cos 102x x x ≥−>，故12311cos 1022i i ++≥−>， 故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++ ×−≥×−−1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++ ×−≥−− × 2222224422117111711111622626262i i i i i +++++ =−−=−×+×>−× × , 故1214627111...16222n nk k k n −+++>−−+++41111771112411166123414n n n n −− =−−×=−−×−× −771797172184726n n n n =−−+×>−>−. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。
2012届长沙市一中、雅礼中学联考数学文科试题word版
湖南省2012届高三·长沙市一中、雅礼中学联考文科数学试卷总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2012年3月31日下午2:30～4:30一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知全集U R =,集合{}1,2,3,4,[3,A B ==+∞),则图中阴影部分( ) A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}1,2,3 D. {}0,1,2,3 2.在复平面内,复数1(1)i i -++对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.甲乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如左下图所示,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A. 56 B. 57 C. 58 D. 594.某程序框图如右上图所示,则输出S 的值是( )A. 22B. 27C. 31D. 565.设椭圆22221x y a b +=、双曲线22221y x a b-=、抛物线22()y a b x =+(其中0a b >>)的离心率依次为123,,e e e ,则下列判断正确的是( )A. 123e e e >B. 123e e e <C. 123e e e =D.12e e 与3e 的大小不确定 6.设,,αβγ为平面,,,m n l 为直线,则l β⊥的一个充分条件是( ) A.,m l m αβ,αβ⊥=⊥ B. ,,l αγαγβγ=⊥⊥ C. ,,l αγβγα⊥⊥⊥ D. ,,n n l αβα⊥⊥⊥7.已知变量,x y 满足420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z mx y =+仅在点(3,1)处取得最大值,则m 的取值范围是( )A. 1m <-B. 1m ≤-C. 1m >D. 1m ≥8.若圆222240x y ax a +++-=关于斜率为k 的直线l 对称,且直线l 与该圆在第一象限内有交点的概率为16,则a 等于( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -1或19.函数()f x 的定义域为D ,若对于任意12,x x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()f x 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件,①(0)0f =;②1()()32x f f x =;③(1)1()f x f x -=-,则11()()927f f +等于( ) A. 12 B. 23 C. 34 D. 38二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 10.用0.618法寻找最佳点时,达到精度0.03的要求,至少需 次试验. (参考数据:lg0.6180.209,lg30.4771≈-≈).11.已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数),曲线2C 的极坐标方程为()4R θρπ=∈,若曲线2C 与曲线1C 交于点,A B ,则||AB 的值为 .(二)必做题(12〜16题)12.如图是一个几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则这个几何体的侧面积是 . 13.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若123421,2a a a a +==,则n n S a += .14.已知函数()y f x =是偶函数,当0x >时,()lg ,f x x =则1(())10f f 的值为 . 15.已知向量OA 与1OA关于y 轴对称,(1,0)i =,则满足不等式210i OA AA +⋅≤ 的点(,)A x y 到直线10x y ++=的距离的最小值为 .16.小明喜欢玩一个蚂蚁跳跃的电子游戏,其游戏规划是:一只蚂蚁在平面直角坐标上从点(1,1)开始按如下规则跳跃:(1)该蚂蚁从任一点(,)m n 跳到点(2,)m n 或(,2)m n ;(2)如果m n >,该蚂蚁能从(,)m n 跳到(,)m n n -,如果m n <,该蚂蚁能从(,)m n 跳到(,)m n m -. 则在①(2,1),②(3,8),③(24,5),④(30,24)四点中,蚂蚁能到达的点是 ;蚂蚁跳到(800,4)至少要跳跃 次.正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(,),(,)m n a c b a c b a =-=+-,且0m n ⋅=,其中A B C 、、是ABC ∆的三内角,a b c 、、分别是角A B C 、、的对边,且c =(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆周长的取值范围．18.(本小题满分12分)长沙市为增强市民交通安全意识,面向全市征召宣传 志愿者.现从符合条件的志原者中随机抽取100名按年龄 分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第 4组[35,40),第5组[40,45),得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第1,4,5组中用分层抽样的方法抽取7名志愿者参加安全宣讲活动,它从第1,4,5组各抽取多少名志愿者?(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该市决定从第4组抽取的志愿者中再选取2名,从第5组抽取的志愿者中再选取1名,共3名志愿者介绍宣传经验,求第4组中志愿者1B 和第5组中志愿者1C 同时被选中的概率.19.(本小题满分12分)如图所示,在平行四边形ABCD 中,24,120,AB BC ABC N ==∠= 为线段AB 中点,E 为线段DN 的中点,将ADN ∆沿直线DN 翻折到1A DN ∆,使二面角1A DN C --的平面角为60 ,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:BM 平面1A DN ; (Ⅱ)求三棱锥1A DNC -的体积;ADE MA 120.(本小题满分13分)某公司为了激发销售人员开发市场的热情,每建立一处销售网点都要给予奖励.制定了三种奖励方案:第一种,每建立一处销售网点奖励100元;第二种,每建立一处销售网点奖励50元,以后每建立一处都比前面建立的一处多奖励4元;第三种,建立第一处销售网点奖励5元,以后每建立一处都比前面建立的一处奖励翻一番(即增加1倍),且三种方案可任意选择.(Ⅰ)设销售人员建立*(,n n N ∈且12)n ≤处销售网点按三种奖励方案获得的奖金依次为,,n n n A B C ,试求出,,n n n A B C 的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,如果你是该公司的一名销售人员,为了得到最多的奖金,你应如何选择奖励方案？21.(本小题满分13分)已知椭圆1C 中心在原点,焦点在x 轴上,且过点,等轴双曲线2C 的渐近线与直线l 平行,直线l 过双曲线的右焦点F ,且与椭圆1C 相交于A B 、两点. (Ⅰ)求椭圆1C 的标准方程;(Ⅱ)求AOB ∆面积的最大值及此时双曲线2C 的方程.22.(本小题满分13分) 已知函数2()2ln ,()1a axg x ax x h x x x =--=+. (Ⅰ)若2a =,求曲线()g x 在点(2,(2))g 处的切线方程;(Ⅱ)若0a >,求函数()g x 的单调递增区间;(Ⅲ)若[1,]u e ∃∈,使()2g u >成立,同时[1,]v e ∃∈,使()2h v >成立,求实数a 的取值范围.湖南省2012届高三·长沙市一中、雅礼中学联考文科数学参考答案一.选择题10. 9 11. 12. 8 13. 1 14. 0 1 16.(1) ①②③ ,(2) 15 三.解答题17.【解】(Ⅰ)由0m n ⋅=得,()()()0a c a c b b a -++-=,即2220a b c ab +--=………………2分由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===………………………………………………3分又因为0C <<π,所以3C π=…………………………………………………………………5分(Ⅱ)(一法)由 (Ⅰ)知,2222122cos60()3c a b ab a b ab ==+-=+- ,…………………………6分即2312()ab a b =-+由于2222()4(a b ab a b ab +≥⇔+≥当且仅当a b =时取等号) ………………………7分所以223312()()4ab a b a b =-+≤+,即2()48a b +≤,…………………………………10分由于0a b c +>=,所以a b <+≤11分也所以a b c <++≤即ABC ∆周长的取值范围为………………12分 (二法)由(Ⅰ)知4sin sin sin a b cA B C===,所以4sin ,sin a A b B ==,……………………7分所以ABC ∆周长4(sin sin )L a b c A B =++=+而22,33A B C B A ππ+=π-==-,代入上式得234[s i n s i n (234s i n c o s )322L a b c A A A A π=++++-+)6A π=+……………………………………………………………………9分又因为203A π<<,所以5666A πππ<+<,所以1sin()126A π<+≤,从而)6A π+≤11分ACD E MHOF A1其中不等式右边当且仅当62A ππ+=,即3A π=时等号. 即ABC ∆周长的取值范围为……………………………………………………12分 18.【解】(Ⅰ)由题知,第1,4,5组中人数分别有:100(0.015)5,100(0.045)20,100(0.025)10⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=…………………………………3分 因为第1,4,5组共有35名志愿者,所以利用分层抽样的方法从中抽取7名,每组的抽取人数分别为77751,204,102353535⨯=⨯=⨯= 所以应从第1,4,5组分别抽取人数为1人,4人,2人. ……………………………………6分(Ⅱ)依题意设第4组中的4名志愿者的编号分别为1234,,,B B B B ;第5组中两名志愿者编号分别为12,C C ,由题得基本事件有:112113114123124134,,,,,C B B C B B C B B C B B C B B C B B ;212213,,C B B C B B 214223224234,,,C B B C B B C B B C B B ,共12种,…………………………………………………10分又事件A ={志愿者1B 和志愿者1C 同时被选中}发生有112113114,,C B B C B B C B B 共3种……11分所以由古典概型知,31()124P A ==,即求……………………………………………………12分 19.【证明】(Ⅰ)〖证法一〗如图取1A D 中点H ,连接MH ,则12MH CD ………………2分又12BN CD ,所以BN HM ,即四边形HMBN 是平行四边形,………………………4分所以BM HN ,……………………………………………………………………………5分 又BM ⊄平面1A DN ,而HN ⊂平面1A DN ,所以BM 平面1A DN .……………………6分 〖证法二〗如图,取CD 中点F ,连接FM FB 、,则易知,112MF A D,又FM ⊄平面1A DN ,而1A D ⊂平面1A DN , 所以FM 平面1A DN ,同理,由BN DF ,可知BF DN ,所以BF 平面1A DN , 又由于FB FM F = ,且,BF FM ⊂平面BFM , 所以平面BFM 平面1A DN ,又BM ⊂平面BFM ,所以BM 平面1A DN .(Ⅱ)由题知,ADN ∆是边长为2的正三角形,所以2DN =,又BNC ∆是顶角为120 ,腰长为2的等腰三角形,由余弦定理知,CN =所以222DN CN CD +=,即90DNC ∠=,DNC S ∆=又延长AE 交CD 于点F ,易知菱形AFND 中AF DN ⊥,也所以1A E DN ⊥ 所以1A EF ∠为1A DN C --的平面角,即160A EF ∠= ,又AE EF =,所以1A EF ∆为正三角形,取FE 中点O ,连接1AO ,则1AO EF ⊥, 又易知1DN AO ⊥,DN EF E = ,所以1AO ⊥平面ABCD .又113sin 602AO A E === ,所以1113A DNC DNC V S AO -∆=⨯⨯=即求. 20.【解】(Ⅰ)由题知,100,n A n =…………………………………………………………………2分25054[504(1)]248n B n n n =++++⨯-=+ ………………………………………4分155252525n n n C -=+⨯++⨯=⨯- ;其中*,n N ∈且12n ≤;……………………6分(Ⅱ)由函数图象可令,n n A B >得,2100248n n n >+,解得026n <<,又因为012n <≤,所以n n A B >恒成立;……………………………………………………8分 又令n n A C >,即1005(21)n n >-,2012n n +>,可得07n <≤……………………………10分 所以当7n ≤时,n A 最大;当812n ≤≤时,n C 最大;…………………………………………12分 综上,如果销售网点未超过7个时,应选择第一种方案;当销售网点超过7个时应选择第三种方案; ………………………………………………13分21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆1C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则a =2分又2c e a ==所以1c =,…………………………………………………………………3分 又2221b a c =-=,所以椭圆1C 的方程为2212x y +=………………………………………4分(Ⅱ)设等轴双曲线2C 的方程为:222(x y λλ-=>则其渐近线方程为y x =±,右焦点,0)F 不妨设直线l 与直线y x =平行,所以直线:l x y =+,设1122(,),(,A x y B x y 则12121|||||2AOB S OF y y y y ∆=⨯-=-=又2222x y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得2232(1)0y y λ++-=…………8分 由22824(1)0λλ∆=-->得,2302λ<< ……①……………9分且212122(1),33y y y y λ--+==…………………………10分所以AOB S ∆=11分又因为22232322AOBS λλ∆+-≤⨯=…………………………12分 (亦可将根号下视为2λ的二次函数来求解,同样按步骤给分)当且仅当22232λλ=-,即233(0,)42λ=∈时取等号;所以AOB ∆此时双曲线2C 的方程2234x y -=.…………………13分 〖表示法二〗设等轴双曲线的右焦点为(,0)(0)F t t >,则直线:l x y t =+,双曲线方程:2222t x y -=;又设1122(,),(,)A x y B x y ,则12121||||||22AOB t S OF y y y y ∆=⨯-=-=…7分又2222x y tx y =+⎧⎨+=⎩,得223220y ty t ++-=………………………………………………………8分 由22412(2)0t t ∆=-->得,203t << ……①………………………………………………9分且2121222,33t t y y y y --+==…………………………………………………………………10分所以AOBS ∆===………11分 所以当23(0,3)2t =∈时,AOB S ∆………………………………………………12分 所以此时双曲线2C 的方程2234x y -=.………………………………………………………13分〖表示法三〗同表示法二前半部分,但1||2ABO S AB d ∆=,其中d 是点O 直线AB的距离=所以121|2ABO S y y ∆=-=后面同表示法二.22.【解】(Ⅰ)当2a =时,2()22ln (0)g x x x x x =-->,222(2)32ln 2,()2g g x x x'=-=+-……1分所以曲线()g x 在点(2,(2))g 处的切线斜率为3(2)2g '=, 所以切线方程为3(32ln 2)(2)2y x --=-,即32ln 22y x =-……………………………3分 (Ⅱ)当0a >时,22222()a ax x ag x a x x x -+'=+-=…………………………………………………4分由于方程220ax x a -+=的判别式244a ∆=-,所以①当2440a ∆=-≤,即1a ≥时,()0g x '≥,所以函数()g x 的递增区间为(0,)+∞;……………5分②当440a ∆=->,即01a <<时,220ax x a -+=的两根为120x x <<=所以当12(0,)(,)x x x ∈+∞ 时,()0g x '>,即此时函数()g x 的递增区间为)+∞;…………………………………………………………………6分综上,1a ≥时,()g x 的递增区间为(0,)+∞,01a <<时()g x 的递增区间为)+∞;…………………………7分 (Ⅲ)由题知2()21ax h x x =>+在[1,]x e ∈上有解,即12a x x >+有解, 易知函数211(10)y x y x x'=+=-≥在[1,]x e ∈单调递增,所以2y ≥即只须2,42aa >>………①……………………………………………………………………9分同理()2ln 2ag x ax x x=-->在[1,]x e ∈上有解, 〖一法〗即max ()2g x >成立,下面求函数max ()g x由(Ⅱ)知,22222()a ax x ag x a x x x -+'=+-=且由①知,4a >,所以2440a ∆=-<,所以()0g x '>恒成立, ……………………………11分 所以()g x 在[1,]e 上单调递增,所以1max ()()2g x a e e -=-- 也所以1max ()()22g x a e e -=-->,即14a e e ->-,…………………………………………12分 显然有144e e->-, 综上可知4a >时,符合题意; …………………………………………………………………13分〖二法〗即11ln 2a xx x -+>-在1,]x e ∈(上有解(1x =时,原不等式显然不成立); 令11ln ()(1)xh x x e x x -+=<≤-,则22122ln ln ()0()x x x h x x x x ----'=<⋅-………………………………11分 所以()h x 在定义域上单调递减,所以min 12()()h x h e e e -==- 即只须1124,2a a e e e e -->>--,…………………………………………………………………12分 显然有144e e ->-,综上可知4a >时,符合题意; …………………………………………………………………13分。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
雅礼中学高三月考文科数学试卷
雅礼中学高三第二次月考试卷数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共.12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知命题2:,0p x R x ∀∈>,则 A 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为假命题 B 命题2:,0,p x R x ⌝∀∈≤为真命题 C.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为假命题 D.命题200:,0,p x R x ⌝∃∈≤为真命题2.已知i 是虚数单位，则41+1i i ⎛⎫⎪-⎝⎭等于A.iB.i -C. 1D.1-3.“上医医国”出自《国语.晋语八》,比喻高贤能治理好国家.现把这四个字 分别写在四张卡片上,其中“上”字已经排好,某幼童把剩余的三张卡片进行排列,则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A.13 B.16 C.14 D.1124.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,一2),则它 的离心率为5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D 为BC 中点，则()()AB BC AB DB +•-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为A.32-B.32C.34-D.346.已知0x 是11()2xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，()()1020,,,0,x x x x ∈-∞∈则A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x >>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x <>7.巳知等比数列{}n a 中,各項都是正数,且132122a a a 、、成等差数列,則91078a a a a +=+A.3+22B.12-C.1+2D.322- 8.函数2sin 2x y x =的部分图象可能是9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,則该 球的表面积为A.814πB.16πC.9πD.274π10.若函数()sin(2)3)()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点06π（，）对称，则()f x 的单调递增区间为A.5+,,36k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B.5+,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.7+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦ D.5+,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.设函数()22()(),,,()x f x x t e t t R x R f x b =-+-∀∈∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为 2 B.12C.1D.e12.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2PM MF ，则直线OM 的斜率的最大值为23C.1D.2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x|(x +1)(x−4)<0}，B ={x|2x +a <0}，且A ∩B ={x|−1<x <3}，则a =( )A. 6B. 4C. −4D. −62.已知z 1+i =1−1i ，则|−z |=( )A.2B.22C. 2D. 13.已知f(x)=sin (ωx−π3)(ω∈N)的图象与直线y =a 在区间[0,π]上存在两个交点，则当ω最大时，曲线y =f(x)的对称轴为( )A. x =π24+kπ4，k ∈Z B. x =π30+kπ5，k ∈Z C. x =5π24+kπ4，k ∈Z D. x =π6+kπ5，k ∈Z4.函数f(x)=2x +2−xln( x 2+1−x)的图象大致为( )A. B.C. D.5.若平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ,b〉=π6，b ⋅c =0，a ⋅c <0，则|b 2c ||a +c |( )A.5B.3C.153D.536.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图(2)，砖雕厚度为6cm ，AD =80cm ，CD =3AB ，CD 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm 2)( )A. 3200πB. 480π+960C. 6880π+960D. 3680π+9607.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，且|AB|=2x 0+1，Q(t,−2−t)，若点P 在抛物线C 上，则|PQ|的最小值为( )A.3 24B.3 22C.3 34D.328.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1−a n =2,4b n =(−1)n +1(1a n +1a n +1)，若数列{b n }的前n 项和为T n ，不等式3T n <λ(3−5λ)(n ∈N ∗)恒成立，则λ的取值范围为( )A. (110,+∞)B. (15,+∞)C. (110,12)D. (15,25)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷(二)数学试卷及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i-- B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}3. 函数()2log 22x x xx f x -=+部分图象大致是（ ）A. B.C. D.4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3B. 3- C. 4- D. 45. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π8. 已知函数()f x 定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞ D. ()()1,05,∞-⋃+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的.B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分的AOC ∠，34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．16. 已知菱形ABCD中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =，||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i --B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3. 函数()2log 22x xxx f x -=+的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22x xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222x x x xx x x f x x f x-----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3 B. 3- C. 4- D. 4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 图象不在y ＝a的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，【的当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a 的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞D. ()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >，1=>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =1b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB的【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 22sin 22223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+==-=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD，C 正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】2425⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e 3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16. 已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径为OB ===，所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc++=，结合余弦定理可求得b c+的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】)sina C C=-，)sin sinB AC C=-，①因为πA B C++=，所以()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+，sin sin sinA C A C=-，又因为A、()0,πC∈，sin0C≠sin0A A=-<，所以tan A=，又因为()0,πA∈，解得2π3A=.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A=，因为ABC所以()1sin2ABCS a b c A=++=⋅△，即()8b c++=，所以，182b c bc++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc=+-⋅得2264b c bc++=，所以()264b c bc+-=③，联立②③，得()()22864b c b c+-++=，解得10b c+=，所以ABC的周长为18a b c++=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BC B C O=，12BC BB==，1AO=，160B BC∠=︒，且AO⊥平面11BB C C．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，为设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =2z =，所以(21,n = ，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121cos ,7n n n n n n ⋅〈〉===⋅ ，所以sin θ==，所以二面角111A B C A --．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =， ||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y +=；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF0y +=，与椭圆联立求出3(,2B ，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =，联立直线y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又 ||2||AF FB =，||AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪⎨+-= ，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,2B设点A，3(,2B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d = 直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==4CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S，则121()2S CD d d =+=(0)k =>.设)t k =+∞，则k t =S ∴====≤当1t =，即t k ===k =ACBD面积有最大值【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积364S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V，计算得出2361123V V πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin 3ON OP πθ=，故sin 3sin ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin sin 223222S OP OC OP OB πθθθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3sin 46πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，111364V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得sin 6πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭203πθ<< ，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭136πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()N f X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N NE f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i ii K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。
2012高考湖南文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i3．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠D ．若tan α≠1，则π4α=4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg6．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c ca b>；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A ．32 B ．332 C ．362+ D ．3394+9．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________． 13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差()()()2222121[]n s x x x x x x n=-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ⋅=________.16．对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ×2k＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购 物量 1至4件 5至8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． (注：将频率视为概率)18．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ，ω＞0，π02＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间． 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD ．(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．21．在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．22．已知函数f (x )＝e x －ax 1，其中a ＞0.(1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1.又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”． 4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线by x a=上， ∴21ba=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为221205x y -=. 7． D ①()c c c b a a b ab--=，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()0c b a ab->. 即0c ca b->.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0，∴log ()lg()lg log ()lg lg()b a a c a c ab c b b c --=--. ∵lg()1lg()a c b c ->-，lg 1lg ab >， ∴lg()lg 1lg lg()a c ab bc ->-，故③正确． 8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7=AB 2+4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB =－1(舍去)或AB =3.故BC 边上的高AD =AB ·sin B =3×sin60°=332. 9． B 由x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0可知： 当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，π)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 又∵x ∈[0，π]时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，可画出f (x )的草图为：对于y ＝f (x )－sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出y ＝sin x 的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1； 把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上， 即(22)2＋0＝a 2. 又∵a ＞0，∴22a =. 11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7. 12．答案：{x |2≤x ≤3}解析：∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0.∴2≤x ≤3. 13．答案：6.8解析：∵89101315115x ++++==，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511) 6.85s -+-+-+-+-==. 14．答案：4解析：i ＝1时，x ＝4.5－1＝3.5；i ＝1＋1＝2时，x ＝3.5－1＝2.5； i ＝2＋1＝3时，x ＝2.5－1＝1.5； i ＝3＋1＝4时，x ＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i ＝4. 15．答案：18解析：∵过C 作BD 的平行线，延长AP 交该平行线于点Q ， 则AQ ＝2AP ＝6.故||||cos ,||||3618AP AC AP AC AP AC AP AQ ⋅=⋅=⋅=⨯=.16．答案：(1)3 (2)2解析：(1)由题意知2＝1×2，b 2＝1；4＝1×22，b 4＝1；6＝1×22＋1×2，b 6＝0；8＝1×23，b 8＝1，所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3.(2)①若n 为偶数，且b n ＝0，则n ＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20中a 0＝0，且a k ，a k －1，…a 1中有偶数个1，n ＋1＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋1×20，b n ＋1＝1 n ＋2＝a m ′ ×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋0×20， 若b n ＋2＝0，此时c m ＝1；若b n ＋2＝1，则n ＋3＝a m ′×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋1×20， 则b n ＋3＝0，此时c m ＝2.②若n 为奇数，n ＝a k ×2k ＋…＋1×20，且b n ＝0， 则n ＋1＝a m ′ ×2m ＋…＋a 1′ ×21＋0×20， 若b n ＋1＝0，此时c m ＝0.若b n ＋1＝1，则n ＋2＝a m ′×2m ＋…＋a 1′ ×21＋1×20，b n ＋2＝0. 此时，c m ＝1.综上所述，c m 的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020P A ==，2303()10010P A ==，3251()1004P A ==. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝33172010410++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=， 所以2π2T ω==， 因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<，从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=.又点(0,1)在函数图象上， 所以πsin16A =，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)ππππ()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x =-+-++ ＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝132sin22(sin2cos2)22x x x -+＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ， 所以函数g (x )的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ．又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面P AC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面P AC ， 而PC 平面P AC ，所以BD ⊥PC ．(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ， 所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角， 从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO 平面P AC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD ．因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ， 所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3， 于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，2222OD AD ==，所以PD ＝2OD ＝42，224PA PD AD =-=.故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12. 20．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]．整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解得13[()2]10001000(32)2332()12m m m m mm d +-⨯-==--， 故该企业每年上缴资金d 的值为11000(32)32m m m m+--时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．21．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2， 故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，其焦距为2c . 由题设知c ＝2，12c e a ==， 所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且1212k k =. 由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得101021|2|21k y k x k +-=+，即[(2－x 0)2－2]k 12＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 02－2＝0. 同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 02－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 02－2＝0的两个实根．于是20(2)20,0,x ⎧--≠⎨∆>⎩①且20122021(2)22y k k x -==--. 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩ 得5x 02－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2或0185x =. 由x 0＝－2得y 0＝±3；由0185x =得0575y =±，它们均满足①式，故点P 的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或1857(,)55，或1857(,)55-． 22．解：(1)f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a ，于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1.①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减． 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1. 因此，当且仅当a ＝1时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．(2)由题意知，21212121()()e e x x f x f x k a x x x x --==---.令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x －2121e ex x x x --，则φ(x 1)＝121e x x x --[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝221e x x x -[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]，令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0.又121e 0x x x >-，221e 0x x x >-， 所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．。
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三(上)月考数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省大联考2012师大附中高三10次月考文综试卷答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2012届高考模拟卷(三)文科综合参考答案一㊁选择题(本卷共35小题,每小题4分,共140分㊂在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂)题号123456789101112131415161718答案C B D A C D A A D D B A B B B C C C题号1920212223242526272829303132333435答案A D D D D C C D D B A C D D C D A二㊁非选择题(共160分)36.(1)水系共同特征:河流流向均由中心向四周呈放射状分布;(2分)河流众多,水系发达;(2分)河流短促㊂(2分)(2)降水的时空分布:甲国夏半年西部多于东部,(2分)冬半年东部多于西部;(2分)乙国全年东部多于西部;(2分)原因:甲国夏半年受西南季风的影响,(2分)冬半年受东北季风影响,(2分)山地迎风坡形成地形雨;(2分)乙国盛行东南信风,(2分)来自印度洋湿润气流在东南部受地形抬升,形成地形雨㊂(2分)37.(1)琼中的年干燥度小于东方㊂(3分)①琼中的海拔高度高于东方,蒸发量小于东方;(3分)②琼中位于夏季风的迎风坡,(3分)东方位于夏季风的背风坡,(3分)琼中的降水量多于东方㊂(2)有利:纬度较低,自转线速度大㊂(2分)不利:距海近,受海洋影响大,多阴雨天气㊂(2分)(3)南海诸岛处在太平洋和印度洋之间的交通要道上,(2分)是我国的海防前哨㊂(2分)南海有丰富的石油资源和海洋资源,(2分)南海诸岛是我国开发南海海洋资源的主要基地㊂(2分)38.(1)①我国社会主义初级阶段的主要矛盾和社会主义的本质,要求我们必须大力发展生产力㊂重视解决 三农”问题,才能促进生产力的发展,满足人民群众日益增长的物质文化需求,显示社会主义制度的优越性㊂(2分)②社会主义市场经济的正常发展,既需要充分发挥市场调节的作用,又需要加强国家宏观调控㊂国家制定相关政策支持农业农村发展,是综合运用宏观调控的手段,合理配置资源,促进经济发展的具体举措㊂(2分)③实现共同富裕,是社会主义市场经济的根本目标㊂推动农业和农村经济发展,增加农民收入,是缩小城乡差距㊁实现共同富裕的要求㊂(2分)④科学发展观是我国经济社会发展的重要指导方针㊂促进农业发展,繁荣农村经济,增加农民收入,统筹城乡发展,建设社会主义新农村,是贯彻落实科学发展观㊁建设全面小康社会和实现经济社会又好又快发展的客观要求㊂(2分)(2)①实行工业反哺农业㊁城市支持农村和多予少取放活的方针,稳定㊁完善和强化各项支农政策㊂②加快农业科技进步,提高农业综合生产能力㊂③统筹城乡经济社会发展,扎实推进社会主义新农村建设㊂④坚持科教兴农战略,加快推进农业科技创新㊂⑤加快水利改革发展,切实加强农业基础建设㊂(任答其中三点即可,6分)(3)①中国共产党发挥领导核心作用,通过政治领导,提出统筹城乡发展的思想,并对统筹城乡发展作出全面部署,确保社会主义新农村建设的社会主义方向㊂(2分)②中国共产党科学执政,科学把握发展规律,不断探索社会主义新农村建设的规律,完善统筹城乡发展的政策措施,推动科技创新㊁理论创新和制度创新㊂(2分)③中国共产党贯彻落实科学发展观,不断提高驾驭社会主义市场经济的能力,统筹城乡发展,扎实推进社会主义新农村建设㊂(分)(4)①我国的国家性质决定了我国的一切权力属于人民,基层群众自治是人民当家作主的真实体现,是公民有序参与政治生活的重要形式㊂实行农村村民自治,以保证人民群众依法直接行使民主权利,是人民当家作主最有效的途径㊂(2分)②村民通过民主选举村委会干部㊁通过村民会议等形式参与本村公共事务的决策与管理,通过村务公开㊁民主评议村干部等形式监督村干部是村民参与民主管理的重要体现㊂(2分)③坚持和完善基层群众自治制度,是社会主义民主最为广泛而深刻的实践,也是发展社会主义民主的基础性工作㊂(2分)39.(1)①经济是基础,政治是经济的集中表现,文化是经济和政治的反映,一定的文化由一定的经济㊁政治所决定;生产力与生产关系的矛盾运动,决定着文化的发展方向㊂湖南实施文化强省战略,加快发展文化产业,加快推进文化体制改革,有力地促进了文化发展进步㊂②科学技术是推动文化发展的重要因素㊂湖南运用高新科技改造和提升传统文化产业,极大地促进了文化的传播㊁继承与发展㊂③教育在文化继承与发展中有着不可替代的作用㊂湖南实施教育强省战略目标,大力推进了湖南文化产业的发展㊂④思想运动催生社会变革,促进文化的发展㊂湖湘文化底蕴深厚,湖南人心忧天下,敢为人先,湖湘思想促进了湖南文化发展㊂(任答其中三点即可,6分)(2)①改革文化体制机制,创新文化内容形式,发挥科技带动作用,为文化繁荣发展提供不竭动力㊂②对于湖湘文化,应该取其精华,去其糟粕,推陈出新,革故鼎新㊂③立足湖南改革开放的实践,面向全国,面向世界,博采众长,吸收㊁借鉴其他地方的优秀文化成果㊂④人民群众是文化创造的主体,应充分发挥人民群众建设文化强省的积极性㊂(任答其中三点即可,6分)(3)①认识产生于实践的需要,人们在实践中不断遇到的新问题㊁产生的新要求,推动着人们去进行新的探索和研究㊂湖南省文化产业虽然发展快,但也存在一些薄弱环节,这些问题促使人们去思索㊁去解答㊁去进行文化创新㊂(2分)②实践的发展为人们提供日益完备的认识工具,促进人类认识的发展㊂运用高新科技改造和提升传统文化产业,利用㊁挖掘文化资源,促进了湖南文化的发展㊂(2分)③实践锻炼和提高了人的认识能力㊂湖南经过 十一五”期间文化产业的发展,培育了一批文化产业大军,为文化产业的发展提供了宝贵的经验㊂(2分)(4)①生产关系一定要适应生产力状况的规律㊂湖南支持和壮大国有或国有控股文化企业,鼓励和引导各种非公有制文化企业健康发展,发挥市场在文化资源配置中的积极作用,根据现代市场需要,有效配置各地文化资源,使公有制为主体㊁多种所有制经济共同发展的所有制结构更加完善,使生产关系不断适应生产力的发展,促进了文化产业的发展㊂(4分)②上层建筑一定要适合经济基础状况的规律㊂湖南加快推进文化体制改革,实行政企分开㊁管办分离,营造文化产业发展的良好环境,使上层建筑更好地为经济基础服务,促进了文化产业的发展㊂(4分)40.(1)变化趋势:①20世纪初期对外贸易逐渐上升;1929~1933年急剧下降;30年代后期至40年代对外贸易迅速增长㊂(6分)②始终处于贸易顺差(出超)地位,在30年代后期后更明显㊂(2分)下降原因:经济危机影响;各国推行贸易保护政策(各国采取提高关税㊁实行货币贬值等手段,以邻为壑㊁转嫁危机)㊂(任答一点即可,2分)(2)变化:新中国成立初期对外贸易以苏联为主;80年代以来与美㊁日等国的贸易迅猛发展(与西方资本主义国家贸易迅速增长)㊂(4分)主要原因:初期由于以美国为首的资本主义国家经济上封锁中国,苏联等社会主义国家支持新生政权,我国实行一边倒的外交政策,因此对外贸易中苏联占有重要地位㊂(4分)1972年以来随着中美㊁中日关系正常化,中苏关系恶化;1978年以来实行改革开放;调整外交政策,从一边倒到积极开展多边外交㊂都使我国对外贸易关系格局发生了重大转变㊂(任答两点,给4分)(3)国家经济发展水平;对外开放程度;国家经济体制;国际环境等㊂(任答3点给3分)41.答题思路:材料中关于中国近代开端可以提炼出两种观点:观点一:鸦片战争是中国近代开端㊂提示可从以下角度论述:政治上:一系列主权遭到损害,由完全的封建国家变成半殖民地半封建国家㊂经济上:自然经济开始瓦解,新的经济因素(如外国资本主义,民族资本主义等)的出现㊂思想文化上:由封闭自守到开始向西方学习㊂观点二:明清是中国近代开端㊂提示可从以下角度论述:政治上,此时满族政权取代汉族政权,建立起清王朝㊂西方的侵略尽管在19世纪才对中国产生巨大影响,但是这不过是两个半世纪以前已经启动的进程的延伸与强化㊂经济上,随着新航路的开辟,西方经济向中国周边渗透㊂16世纪葡萄牙殖民者盘踞澳门,17世纪荷兰殖民者侵占台湾㊂(这不是经济)文化上,耶稣会士传入了天文学㊁数学㊁地理学㊁制图学和建筑学等西方科学,与中国文明相汇合㊂42.选择B地㊂(2分)理由:B地为沙滩,景观的娱乐性强;位于主要景点的中间,地理位置优越;C地区为生态保护区;A地区建筑物多,环境容量小㊂(8分)43.(1)①乱砍滥伐使植被破坏严重,加剧了水土流失,造成河道淤塞,河床抬升㊂(2分)②围湖造田,泥沙淤积湖泊,使湖泊蓄洪㊁行洪能力降低㊂(2分)(2)①以前是经济落后,对灾害监测㊁防御和抗灾能力低㊂(2分)②现今,经济发达,防灾㊁抗灾能力增强,对灾害监测㊁预防能力提高;(2分)但社会财富积累多,受灾后损失严重㊂(2分)44.滑坡㊁泥石流等㊂(2分)冬季㊂(2分)此处为地中海气候,(2分)降水集中于冬季,(2分)而雨季则容易诱发滑坡㊁泥石流等地质灾害㊂(2分)45.(1)中央集权制度;均田制;租庸调制㊂(每点2分,共6分)(2)大化改新推动日本向封建社会过渡;明治维新推动日本向资本主义过渡㊂(4分)(3)第一,根据形势的变化,不断进行改革㊂第二,善于向优秀民族学习㊂第三,改革措施要全面㊂(其他答案言之成理亦可,答对1点2分,2点4分,3点5分)46.(1)主张:学习日本,通过革命反对满族的统治㊂(3分)原因:日本倒幕成功,成为学习的榜样;变法失败,对清政府感到失望㊂(4分)(2)原因:国民素质低;缺乏自治能力,缺少公共道德;实行民主共和的时机不成熟㊂(6分)变化:从主张革命到反对革命,由倡导民主共和转到君主立宪㊂(2分)47.(1)英国主张剥夺德国海外殖民地,尽可能地削弱德国的海上力量㊂但反对过分削弱德国,反对肢解德国和将其领土置于别国统治之下㊂(4分)原因:是英国要维持其传统的欧洲大陆势力均衡政策,防止法国称霸欧洲大陆;避免引起德国的怨恨和可能发生的报复;避免在德国发生布尔什维克革命㊂(5分)(2)英国不希望过分削弱德国,法国则要求最大限度地削弱德国㊂(4分)法国持这种主张的目的是建立欧洲大陆的霸权㊂(2分)48.军事方面:多次带领军队打败国内的保王党人,多次打败反法同盟,防止了封建势力卷土重来,用军事手段捍卫了法国大革命㊂(其他表述,言之成理,可酌情给分)(5分)经济方面:建立法兰西银行,整顿国家财政,扶植资本主义发展,用经济手段捍卫法国大革命㊂(其他表述,言之成理,可酌情给分)(5分)政治方面:颁布‘拿破仑法典“,将资产阶级革命的成果,用法律形式固定下来㊂(其他表述,言之成理,可酌情给分)(5分)拿破仑的上述作为巩固了法国资产阶级革命的成果,因此,他被称为法国大革命的捍卫者㊂。
湖南省师大附中2012届高三月考(四)数学文科试题及答案
湖南省师大附中2012届高三月考(四)数学试卷(文科)分值:150分 时量:120分钟 考试日期:2012-02-04一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.已知集合{1,2},{1},A B A B ==⋃则集合的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.过点(1,2)与圆221x y +=相切的直线方程是( ) A ．1x =B ．3450x y -+=C ．34501x y x -+==或D ．54301x y x -+==或3.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各随机抽取了5名学生 的学分,用茎叶图表示(如右图),s 1,s 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准方差,则它们的大小关系是( )A ．12s s <B ．12s s ≤C ．12s s >D ．12s s ≥4.已知定义在R 上的奇函数()(2)(),(6)f xf x f x f +=-满足则的值为( )A ．—1B ．0C ．1D ．45.在△ABC 中,已知B =30 ,150b c ==,那么这个三角形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6.设变量x ,y 满足约束条件14,242x y x y z x y y -≥-⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则目标函数的最大值为( )A ．10B ．12C ．13D ．147.已知F 是双曲线22221(0)3x ya aa-=>的右焦点,O 为坐标原点,设P 是双曲线C 上一点,则∠POF 的大小不可能是( ) A ．20°B ．40°C ．80°D ．160°8.已知函数2()21f x x mx =-++,若0x R ∃∈,使得1[1,2]x ∀∈都有10()()f x f x <,则实数m 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,1)(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)9.(优选法)在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ,1.1KΩ,1.9K Ω,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的电阻的阻值是.10.(坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为2c o s()sinxyααα=⎧⎨=⎩为参数,曲线C2的极坐标方程c o s()4πρθ-=则曲线C1与曲线C2的交点个数有个.(二)必做题(11〜16题)11.计算:2310i i i i++++=(i表示虚数单位)12.在一个直径为6的球内随机取一点,则这个点到球心的距离小于1的概率为.13.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是.14.已在()1,()xf x e ax f x=--若在定义域R内单调递增,则a的取值范围是.15.,90,60,,()||||AC AB Rt ABC C BAC AC P BP PC AP mAC ABλ∆∠=∠====+中点满足若,则λ的值为.16.已知数列{}21(1,2,3,)n na a n n=-=的通项,现将其中所有的完全平方数(即正整数的平方)抽出按从小到大的顺序排列成一个新的数列{}nb.(1)若k mb a=,则正整数m关于正整数k的函数表达式为m= ;(2)记{},nn nnSS a nnb是数列的前项和则能取到的最大值等于.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{}na是公差不为零的等差数列,11,a=且139,,a a a成等比数列.(1)求数列{}na的通项公式;(2)求数列{2}n a的前n项和nS.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒 精浓度在20—80mg /100ml (不含80)之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg /100ml (含80)以上时,属醉酒驾车”.2011年8月15日晚8时开始某 市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个小 时共查出酒后驾车者60名,图甲是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者 血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图.(1)求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数;(图甲中每组包括左端点,不包括右端点);(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的S 值,并说明S 的统计意义;(图乙中数据m 与f ,分别表示图甲中各组的组中值及频率);(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml (含70)以上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg /100ml (含70)以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验,求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率.19.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC 00折起,使∠BDC =600.(1)证明:平面ADB ⊥平面(2)设E 为BC 的中点,求异面直线AE 与DB 所成角的大小.农户计划将已有的一块半径为100米的土地(如图所示)重新规划,拟将 面积相等的两个△AOD 与△BOC 置为普通花草地,△COD 置为特级花草 地,O 为半圆圆心,∠COB =θ,据市场调查,特级花草市场销售价变化不大, 普通花草市场销售价变化较大,以往经验显示:特级花草地每平方米年利润 为a 元,普通花草地每平方米年利润为sin a θ元.(1)分别写出△BOC 、△AOD 、△COD 的面积关于θ的函数关系;(2)写出农户年总利润()f θ关于θ的函数关系,当θ为何值时,年总利润()f θ最大.21.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的椭圆G 与x 轴交于A 、C 两点,与y 轴交于B 、D 两点,且A 点的坐标为(—2,0),四边形ABCD 的面积为4.(1)求椭圆G 的方程;(2)过x 轴上一点M (1,0)作一条不垂直于y 轴的直线l ,交椭圆G 于E 、F 点,是否存在直线l ,使得△AEF 的说明理由.22.(本小题满分13分)已知函数()[,]f x a b 的图象在上连续不断,1()min{()|,[,]}f x f t a t x x a b =≤≤∈,2()max{()|,[,]}f x f t a t x x a b =≤≤∈,其中min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值,max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.若存在最小正整数k ,使21()()()f x f x k x a -<-对任意的[,]x a b ∈成立,则称函数()[,]f x a b 为上的“k 阶收缩函数”. (1)若12()cos ,[0,],(),()f x x x f x f x π=∈试写出的表达式;(2)已知函数2(),[1,4],()[1,4]f x x x f x =∈--试判断是否为上的“k 阶收缩函数”,如果是,求出对应的k ,如果不是,请说明理由.(3)已知320,()3[0,]b f x x x b >=-+函数是上的“2阶收缩函数”,求b 的取值范围.湖南师大附中2012届高三月考(四)参考答案一、选择题:D C A B;D C C D8.【解】因为max ()(),f x f m =若0x R ∃∈,使得1[1,2]x ∀∈都有10()()f x f x <,即11[1,2],()()x f m f x ∀∈>恒成立.故[1,2]m ∉,所以m 的取值范围是(,1)(2,)-∞+∞ ,选D.二、填空题:9. 3.5K Ω; 10. 2 ; 11.1i -+; 12.127; 13.; 14.(,0]-∞; 15. 2 ;16.(1)2221k k -+; (2) 1 .15. 【解】在,Rt ABC ∆易求得6BC =,因为()||||ACABAP m AC AB =+,故P 在B A C ∠的平分线上,又BP PC λ= ,故P 在线段B C 上,所以P 是B A C ∠的平分线与B C 的交点,在Rt AC P ∆中,由30,PAC AC ∠== ,可求得2,P C =又6BC =,故2BP PC =,故2λ=.16.【解】(1)列举发现2(21)n b n =-,所以22(21)2(221)1k b k k k =-=-+-,则2221m k k =-+; (2)由22111(21)44n nS nnb n n n n ==≤-+-,当且仅当1n =时,n nS nb 取最大值1.三、解答题17.【解】(1)由题设知公差0d ≠,由11391,,,a a a a =成等比数列,得121812d d ad++=+,……………………4分解得1,0d d ==(舍) …………………………………………………………………………………6分故{}n a 的通项公式1(1)1n a n n =+-⨯=……………………………………………………………8分 (2)由(1)知22na n =,由等比数列前n 和公式得,2312(12)22222212nnn n S +-=++++==-- …… …12分18.【解】(1)0.00510603⨯⨯=,属醉酒驾车的共有3人. ………………………………………………4分 (2)(250.025350.015450.020S =⨯+⨯+⨯ 550.015650.010750.010+⨯+⨯+⨯850.005)1047+⨯⨯=S 的统计意义是这60名酒后驾车者血液平均 酒精浓度在47mg/100ml. ………………8分 (3)被洒精测试仪测得酒精浓度在70 mg/100 ml(含70)以上的酒后驾车共有9人,不妨设编号分别为1(吴),2(李),3,4,5,6,7,8,9,则随机抽出2人共有36种情况,如右表,显然,由表格统计可知,事件A={吴、李两位先生至少有1人被抽中}发生的有15种情况,所以由古典概型知: 155()3612P A ==…………………………………………………………………………………………12分19.【解】(1)证明:因为折起前AD 是B C 边上的高, 所以当ABD ∆折起后,,A D D C A D D B ⊥⊥, 又BD DC D = ,所以AD ⊥平面B D C ,又AD ⊂平面ABD ,所以平面ABD ⊥平面B D C .…………5分. (2)取C D 的中点F ,连接EF AF D E 、、,则E F B D ,所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角(或其补角), ………7分 设2DB =,则1,6,3EF AD DC DF ====. 由120BDC ∠= ,E F B D ,所以60DFE ∠=在,D FE ∆中2222cos 6013DE DF EF DF EF =+-⨯= ,…………………………………………9分 又R t A D E ∆中,5AE ==,在Rt AD F ∆中,AF =在AEF ∆中,2221cos 22AE EF AFAEF AE EF+-∠==⋅, ……………………………………………………11分所以异面直线AE 与BD 所成的角为60.分 20.【解】(1)4110sin (0),5000sin (0)222BO C AO D S S θθθθ∆∆ππ=⨯⨯<<=<<4110s i n (2)5000s i n 2(0)22O C D S θθθ∆π=⨯⨯π-=<<…………4分 (2)4411()sin 210sin 10sin 222f a a θθθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ …………………………………………7分42110(sin sin 2)((0,))22a θθθπ=+∈…………………………………………………………8分从而41)4()102f a θθπ+-=………………………………………………………………10分故242θππ-=,即38θπ=时,()f θ取最大值.从而当38θπ=时,年总利润()f θ最大.21.【解】(1)因为A 点坐标为(2,0)-,故4A C =, 又因为四边形ABC D 为菱形,故其面积为14,2AC BD =⨯⨯故2BD =.所以椭圆G 是焦点在x 轴上的椭圆,且长半轴长为2,短半轴长为1. 所以椭圆G 的方程为2214xy +=……………………………………………………………………………3分(2)因为直线l 不垂直y 轴,故设直线l 的方程为1x my =+,由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,22(4)230m y my ++-= ………………………………………………………4分 所以22412(4)0m m ∆=++>恒成立. …………………………………………………………………5分 设1122(,),()E x y F x ,y ,则12122223,44m y y y y m m +=-=-++…………………………………………6分所以211||||2AEF S AM y y ∆=⨯-==4m ==+4m =+得4272040m m ++=,解得207m =<(舍去)所以不存在直线l ,使得△AEF.22.【解】(1)由于函数cos y x =在区间[0,]π上单调递减,所以1()min{()|0,[0,]}cos ([0,])f x f t t x x x x =≤≤∈π=∈π2()max{()|0,[0,]}cos 01f x f t t x x =≤≤∈π==…………………………………………………4分(2)由于函数2()f x x =在区间[1,0]-上递减,在区间[0,2]上递增;所以21[1,)()m in{()|1,[1,4]}0[0,4]x x f x f t t x x x ⎧∈-0=-≤≤∈-=⎨∈⎩221[1,1)()m i n {()|1,[1,4]}[1,4]x f x f t t x x x x ∈-⎧=-≤≤∈-=⎨∈⎩也所以,22121[1,0)()()1[0,1)[1,4]x x f x f x x xx ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩……………………………………………………………6分 ①当[1,0)x ∈-时,若21(1)x k x -≤+恒成立,则1k x ≥-,所以2k ≥; ②当[0,1)x ∈时,若1(1)k x ≤+恒成立,则11k x ≥+,所以k ≥1③当[1,4]x ∈时,若2(1)x k x ≤+恒成立,则21(1)211xk x x x ≥=++-++,令1[2,5]t x =+∈,易知函数1()2g t t t=+-在区间[2,5]上递增,16()5f t =,所以165k ≥综上①②③可知,16,5k ≥又*k N ∈,所以4k ≥;即存在最小正整数4k =使得()f x 是[1,4]-上的“4阶收缩函数”.……………………………………8分(3)2()363(2)f x x x x x '=-+=--,令()0,f x '=得0x =或2x =;所以当02x <<时,()0f x '>,函数()f x 递增,当2x >时,()0f x '<,函数()f x 递减;于是函数在[0,)x ∈+∞上有最大值(2)4f =,且当x →+∞时,2()(3)f x x x =-→-∞,即没有最小值; 且当()0f x =时,0x =,或3x =,草图如右,………………………………………9分 (Ⅰ)当02b <≤时,()f x 在区间[0,]b 上递增,因此,3221()()3,()(0)0f x f x x x f x f ==-+==,因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的“2阶收缩函数”,所以,3221()()32(0)f x f x x x x -=-+≤-对[0,]x b ∈恒成立…………①且存在[0,]x b ∈时,3221()()3(0)f x f x x x x -=-+>1⨯-成立……② 由①式解得01x ≤≤或2x ≥,显然此时要求01b <≤由②式得2(31)0(0{|0,22x x x x x x x x -+<⇔--<⇔<22x <<在[0,]x b ∈上有解,这要求22b <≤ 综上可知,此时b的取值范围为2;…………………………………………………………11分(Ⅱ)当23b <≤时,显然由函数()f x 草图可知,21()(2)4,()(0)0f x f f x f ====,此时,由题知21()()42(0)f x f x x -=≤-对[0,]x b ∈恒成立,要求2x ≥, 显然当1x =[0,]b ∈时,上式就不成立.故舍去;(Ⅲ)当3b >时,同理(Ⅱ),21()()4()2f x f x f b x -=-≤对[0,]x b ∈恒成立,此时()0f b <当2[0,]x b =∈时,代入上式4()22()0f b f b -≤⨯⇔≥与()0f b <矛盾,舍去; 综上(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)可知,所求b12b <≤.…………………………………………13分。
雅礼中学2012届高考数学文科模拟卷(一)
雅礼中学2012届高考模拟卷(一)数学(文科)分值:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知复数12z i =-+,则z i ⋅的虚部为 ( ) A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i 2.若{1,3,1},{0,1}A B =-=,则A B =U ( ) A ．{1} B ．{0,1,3,1}- C ．{0,1,3}- D ．{0,1,3}3.已知向量,a b r r满足||1,||1a b a b ==⋅=r r r r ,则a r 与b r的夹角为 ( )A ．3πB ．34π C ．4π D ．6π 4.设0,0a b >>,若1是a 与b 的等比中项,则11a b+的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．25.已知ABC ∆中,a b c 、、分别是,,A B C 的对边,4,30a b A ===o ,则B ∠等于 ( )A. 30oB. 30o 或150oC. 60oD. 60o 或120o 6.右边程序执行后输出的结果是S = ( )A ．1250B ．1275C ．1225D ．13267.如图是一正方体1111ABCD A B C D -被两个截面截去两个角后所得的几何体,其中M N 、分别为棱11A B 、11A D 的中点,则该几何体的正视图为( )8.设函数2()ln 1(0)2f x xx x =-+>,则函数()y f x = ( ) A ．在区间(0,1),(1,2)内均有零点B ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点C ．在区间(0,1),(1,2)内均无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点9.设抛物线28y x =-的焦点为F ,准线为,l P 为抛物线上一点,,PA l A ⊥为垂足,如果直线AF 的斜那么||PF = ( ) A．B．C ．16D ．8二、填空题:本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,共30分,把答案填写在题中的横线上. (一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 10.极坐标系中,直线l 的方程为sin 4ρθ=,则点(2,)6π到直线l 的距离为 .11.关于优选法有如下一些说法:①若目标函数为单峰函数,则最佳点与好点在差点的同侧;②黄金分割法是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一;③用0.618法确定试点时,n 次试验后的精度为0.618n n δ=;④分数法一旦用1n nF F -确定了第一个试点,后续试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.这些说法中正确的序号是 .(二)必做题(12〜16题)12.则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .13.王先生订了一份《潇湘晨报》,送报人在早上6:30～7:30之间把报纸送到他家,王先生离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间,则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .14.设,x y 满足约束条件24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z x y =+的最小值为 .15.已知圆22:(4)1C x y +-=,直线:3460l x y +-=:(1)圆C 与直线l 的位置关系为 ;(2)当点P 在直线:3460l x y +-=上运动时,过点P 作圆C 的切线,切点为A B 、,记四边形PACB 的面积是()f p .则()f p 的最小值为 ;16.已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数,令*,2012)n b n N n =∈<. (1)若等差数列{}n a 的首项为20,公差为1,则6b = ; …第1个 第2个 第3个三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设函数()2sin()(0,)3f x x x R ωωπ=+>∈,且以π为最小正周期. (Ⅰ)设()2f π的值; (Ⅱ)已知10(),(,)26132f ααππ-=∈π,求sin()4απ-的值.18.(本小题满分12分)已知某单位有50名职工,现要从中抽取10名职工,将全体职工随机按1～50编号,并按编号顺序平均分成10组进行系统抽样.(Ⅰ)若第1组抽出的号码为3,写出从编号40～50中所抽出的职工号码; (Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如 图所示,求该样本的中位数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中 抽取2人,求体重为78公斤的职工没有被抽取到的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥平面,ABCD F 为PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面PCD ; (Ⅱ)求直线PB 与平面ABF 所成角的正切值. 8 1 7 0 3 6 8 96 2 57 5 920.(本小题满分13分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式; (Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).21.(本小题满分13分）已知椭圆222:1x C y m +=的左、右焦点分别为12F F 、,.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线:(0)l y x t t =+>与椭圆C 交于,A B 两点.若原点O 在以线段AB 为直径的圆内,求实数t 的取值范围.22.(本小题满分13分)已知函数()ln 3(,0)f x a x ax a R a =--∈≠. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)求证:*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n n N n n⨯⨯⨯<≥∈L .参考答案一、选择题 A B C D D B B A D 二、填空题10. 3 11. ①②④ 12. 4n+2 13. 7/8 14. 2 15.(1) 相离 ;(2) 3 . 16.(1) 50 ;(2) 1006 . 三、解答题17.【解】(Ⅰ)因为2T ωπ==π,所以ω=2…………………………………………………………2分 所以()2sin(2)3f x x π=+………………………………………………………………………3分()2sin(2)2sin()2sin 22333f πππππ=⨯+=π+=-=………………………………………6分 (Ⅱ)因为10()2sin 2613f ααπ-==,所以5sin 13α=…………………………………………………7分又因为(,)2απ∈π,于是12cos 13α=-……………………………………………………………9分所以sin()sin cos cos sin 44426αααπππ-=-=12分因为40>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,需要改进.……12分 18.【解】(Ⅰ)由系统抽样的方法可知,当第1组抽取的号码为3时,则其所有抽取的号码为3,8,13,18,23,28,33,38,43,48;所以从编号40～50中抽出的职工号码为43,48.……………2分(Ⅱ)由茎叶图可知,10名职工体重的中位数为707371.52+=……………………………………6分 (Ⅲ)从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中抽取2人,共有10种不同的取法如下:………………………………………………………………………………………………………9分 又事件A={体重为78公斤的职工没有抽取到},则事件A 的发生包含了4个基本事件,见以上带方框的事件.………………………………………………………………………………………10分所以由古典概型得43()1()1105P A P A =-=-=………………………………………………12分19.【解】(Ⅰ)证明:如图右,由PAD 是正三角形,F 为PD 中点, 所以AF PD ⊥, 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD =面PAD I 面ABCD ;又底面ABCD 为正方形,即CD AD ⊥所以CD ⊥平面PAD ,而AF ⊂平面PAD ,所以CD AF ⊥,且CD PD D =I ,所以AF ⊥平面PCD .………………………………………6分; (Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,CD ⊥平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD所以AB PD ⊥,又由(Ⅰ)知AF PD ⊥,且AF AB A =I ,且2AB =,易知1AF PF ==,Rt BAF ∆中,BF ==所以tan PF PBF BF ∠==,即求.……………………………………………………………12分 20.【解】(Ⅰ)由题意:当020x ≤≤时,()60v x =;且(200)0v =,…………………………………2分当20200x ≤≤时,设()v x ax b =+则有2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩……………………………………6分(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩………………………………………7分当020x ≤≤时,()f x 为增函数故当,20x =时,其最大值为60×20=1200; …………………8分当20200x ≤≤时,211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-,即100x =时,等号成. …………………………………………………11分所以,当100x =时,()f x 在区间[20,200]上取得最大值10000.3综上,当100x =时,()f x 在区间[0,200]上取得最大值1000033333≈.………………………12分即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. …………13分 21.【解】(Ⅰ)依题意,可知1m >,且e =, 所以222222211112a b b e a a m -===-=-, 所以22m =,即椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………5分(Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,则原点O 在以线段AB 为直径的圆内等价于说2AOB π<∠<π(,,A O B 三点不共线) 也就等价于说0OA OB ⋅<u u u r u u u r,即12120x x y y +<…① …………………………………………7分联立2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩,得22342(1)0x tx t ++-=,所以221624(1)0t t ∆=-->,即203t <<……②且21212422,33t t x x x x --+==…………………………………………………………………10分 于是22121212122()()()3t y y x t x t x x t t x x -⋅=++=+++=代入①式得,22222033t t --+<,即243t <适合②式…………………………………………12分又0t >,所以解得0t <<. …………………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)由于(1)()(0)a x f x x x-'=>,…………………………………………………………2分 ①当0a >时,易知,当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<;所以()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞;……………………………………4分 ②当0a <时,同理可知()f x 的单调递减区间为(0,1),递增区间为(1,)+∞;…………………6分 (Ⅱ)要证*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n n N n n⨯⨯⨯<≥∈L 成立; 即证*ln 2ln3ln 4ln 1234(1)(2,)n n n n N ⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯-≥∈L L 成立;所以只需证*ln 21,ln32,,ln 1(2,)n n n n N <<<-≥∈L即证即证*ln 1(2,)n n n n N <-≥∈……(※),而由(Ⅰ)中,当1a =时,()ln 3f x x x =--有最大值(1)4f =-;所以()ln 34f x x x =--<-,即ln 1(0)x x x <->……………………………………………12分 所以以上(※)式成立,原不等式得证. …………………………………………………………13分。
-长沙一中,雅礼中学联考文科数学试卷(第七次月考)
2008-2009届长沙一中，雅礼中学联考文科数学试卷（第七次月考） 高三数学联考试题（文科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案的代号填入答卷的表格中)1．设全集为U ，集合U P M =⋃，则下列关系一定正确的是（ ） A ．⊆P U M B ．⊇P U MC ．φ=M PD ． U M U P = U2．设Rb a ∈,，则a ＞b 的充分不必要条件是（ ）A ．a 3＞b 3B ．2log ()a b -＞0C ． a 2 ＞b 2 D.11a b< 3．函数33sin()cos()44y x x ππ=++（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数4．设a ，b ，c 表示三条不同直线，βα,表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成立的是:（ ） A ．β⊂b ，c 是a 在β内的射影，若c b ⊥，则a b ⊥ B ．α⊂b ，α⊄c ，若α//c ，则c b // C ．α⊥c ，若β⊥c ，则βα//D ．β⊂b ，若α⊥b ，则αβ⊥5． 在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么p 、q的值分别为（ ） A ．1,3B ．2,0C ．-2,4D ．-2,06．已知{}n a 为等差数列，若761,a a <-且它的前n 项和n S 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为3π 和56π，向量OC 满足OA OB OC ++=0，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 某舞步每一节共六步，其中动作A 两步，动作B 两步，动作C 两步，同一种动作不一定相邻。
湖南省大联考2012雅礼中学高三6次月考文综试卷
姓 名准考证号绝密★启封并使用完毕前炎德·英才大联考雅礼中学2012届高三月考试卷(六)文科综合能力测试注意事项:1.本试题卷分选择题和非选择题两部分,共16页㊂时量150分钟,满分300分㊂答题前,考生务必将自己的姓名㊁准考证号填写在答题卡和本试题卷上㊂2.回答选择题时,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号㊂写在本试题卷和草稿纸上无效㊂3.回答非选择题时,用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上㊂写在本试题卷和草稿纸上无效㊂4.考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题:本题共35个小题,每小题4分,共140分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂某高中地理兴趣小组对该中学与高速公路之间的一片林地与裸地气温进行连续监测,测得林地与裸地月均温差值变化如下表(单位:℃),据此完成1~2题㊂月份123456789101112月均温差值0.130.100.18-0.16-0.13-0.25-0.43-0.40-0.20-0.100.110.221.探究结果表明A.学校所在地位于南半球B .林地的年温差大,裸地的年温差小C .该地7㊁8月均温较低D.林地比裸地的年平均气温低2.该片林地的作用主要体现在①涵养水源 ②保持水土 ③减弱噪声 ④吸烟滞尘 ⑤防风固沙A.①②B .③④读我国南方某地区不同坡度地形比例图和能源消费结构图,回答3~4题㊂3.从图中推断,本地区主要的环境问题是A.大气污染B.水土流失C.土地荒漠化D.水污染4.解决本地区上述环境问题的主要途径是①开发小水电 ②退耕还林,将所有的梯田还原成林地 ③用矿物燃料替代薪柴㊁秸杆等生物能 ④进行炉灶革新,提高能源利用率A.①②B.③④C.①④D.②③下左图为某城市地区城市风形成的热力环流剖面图,右图为地面与600米高度之间的垂直气压差分布状况,读图回答5~6题㊂5.下列描述正确的是A.①处为低压B.b处为下沉气流C.c处风向为④至③D.②处为城郊6.下列关于等压面说法,正确的是A.①处等压面向下凹B.②处等压面向上凸C.③处等压面向上凸D.④处等压面向上凸读 苹果种植的纬度分布示意图”,回答7~8题㊂7.苹果特殊产地形成的主要因素是A.水分B.地形C.技术D.劳动力8.黄土高原与山东半岛苹果产区都位于 主要产地”,是我国苹果的主要产区,二者相比,黄土高原苹果产区具有的优势是①夏季气温高㊁降水多 ②气温日较差大,有利于糖分的积累 ③土壤肥沃,土质疏松④劳动力成本较低A.①③B.②③C.①④D.②④下图表示 某大型企业所属分厂在各地的分布”,读图回答第9题㊂9.该企业最有可能从事的工业部门是A.啤酒工业B.制糖工业C.冶金工业D.高级时装右图为世界某区域海陆分布示意图,据此完成10~11题㊂10.图中M地常年盛行的风向是A.东南风B.东北风C.西南风D.西北风11.若某科考队员于某日北京时间13时30分在M地观测到太阳位于地平线上,当他再次观测到太阳位于地平线上的时间间隔约是A.3小时B.21小时C.22小时D.24小时12.假设某国生产M商品的企业只有甲乙两家㊂2010年甲企业的产量为8万件,每件商品的生产时间为8小时;乙企业的产量为10万件,每件商品的生产时间为10小时㊂如果2011年乙企业的劳动生产率提高20%,其他条件不变,则2011年M商品的社会必要劳动时间为A.8.2小时B.9小时C.9.01小时D.8小时13.2012年2月15日,国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议,研究部署2012年深化经济体制改革重点工作㊂会议指出:推动多种所有制经济共同发展㊂深入推进国有经济战略性调整和国有企业公司制股份制改革,优化国有资本战略布局,完善国有资产管理体制㊂完善和落实促进非公有制经济发展的各项政策措施,鼓励民间资本进入铁路㊁市政㊁金融㊁能源㊁电信㊁教育㊁医疗等领域㊂鼓励和引导民间资本进入基础产业㊁基础设施㊁市政公用事业㊁社会事业㊁金融服务等领域,有助于①扩大公有资本的支配范围,增强公有制经济的活力 ②更好地发挥国有经济的主体作用 ③保证各种所有制经济在社会主义经济中的平等地位 ④各种所有制经济在市场竞争中发挥各自优势,相互促进,共同发展A.①③B.①②C.③④D.①④14.2011年12月12日至14日,中央经济工作会议在北京召开㊂会议指出,2012年要继续实施积极的财政政策和稳健的货币政策,增强宏观调控的针对性㊁灵活性㊁有效性,保持经济平稳健康运行㊂下列措施符合当前的财政政策和货币政策的是①财政部㊁国家税务总局提高劳动密集型产品出口退税率 ②严格控制国债的发行③存款年利率由2.25%提高到3.50% ④鼓励贷款消费A.②③B.①④C.①③D.②④15.2011年最让老百姓纠结的一个词就是 物价”㊂新名词 涨时代”成为了2011年十大热词之一㊂为此,国务院相关部门明确表示要抑制物价上涨的势头,必要时将采取价格临时干预措施㊂下列与价格临时干预属于同一调控手段的是A.2012年2月8日国家提高了成品油价格B.2012年2月1日起长沙市居民用水实行阶梯水价C.公共交通㊁通信收费标准由国家物价管理部门核准D.向市场投放国家储备猪肉以稳定猪肉价格16.某市政府2010年以来召开的市长办公会的主要内容及次数统计图表如下:时间会议次数会议主要内容及次数2010年18次研究招商引资问题12次;研究社会治安管理问题2次;研究就业问题2次;集体学习2次2011年上半年16次研究土地利用及征地补偿问题3次;研究社会治安管理问题2次;研究基础设施建设问题2次;汇集和传播经济信息3次;研究低保和环保问题4次;集体学习2次依据图表中会议的内容和次数来判断该市政府的行为,可以得出的合理结论是A.政府依然管了许多不该管的事B.文化职能得到了显著增强C.社会公共服务职能得到了强化D.政府职能的种类明显增加17.随着我国民主政治制度的不断完善,越来越多的非中共人士进入我国国家机关担任要职㊂据统计,2011年省级人大㊁政府㊁政协领导班子换届结束后,31个省区市领导班子中总共安排非中共人士205人,非中共干部的培养选拔走上了新的台阶㊂其中民主党派成员共有166人,占非中共人士总数的81%㊂这表明①民主党派履行参政议政职能 ②各民主党派在法律上与中国共产党的地位是平等的 ③多党合作制度推动了国家政权建设 ④参与国家政权是多党合作的政治基础A.①②B.①③C.②④D.③④18.2012年2月16日,联合国大会投票通过有关叙利亚问题决议㊂中国在表决中投了反对票㊂中方主张国际社会应充分尊重叙利亚主权㊁独立㊁统一和领土完整,尊重叙利亚人民的自主选择,尊重叙各方政治对话达成的成果;国际社会及联合国在叙利亚问题上的行动,应有助于缓解紧张局势,有助于推动政治对话㊁化解分歧,有助于维护中东地区的和平与稳定,有助于维护国际社会的团结,而不是使问题复杂化㊂根据‘联合国宪章“,联合国大会决议与联合国安理会决议有所不同:前者具有政治影响力,但没有法律约束力;后者具有强制性,相关国家必须接受并履行㊂材料说明①联合国安理会是联合国的权力机构,对联合国一切事务具有决定权 ②中国是维护世界和平与稳定的积极因素和坚定力量 ③联合国大会决议符合联合国的宗旨与原则 ④中国支持按联合国宪章精神所进行的各项工作A.②④B.①③C.①②④D.②③④19.全国中小学德育工作经验交流会于2011年12月8日至9日在京召开㊂教育部部长袁贵仁在会上强调,要深入贯彻落实党的十七届六中全会精神,把社会主义核心价值体系融入中小学教育全过程,努力开创中小学德育工作新局面㊂会议强调,把社会主义核心价值体系融入中小学教育全过程,是培养中国特色社会主义合格建设者和可靠接班人的重要任务,是贯彻党和国家教育方针的必然要求,是实施素质教育的内在需要,是增强中小学德育工作针对性和实效性的时代召唤㊂教育部上述要求的依据是①社会主义核心价值体系是社会主义思想道德的集中体现 ②教育具有选择㊁传递文化的功能 ③教育是文化传承的重要途径 ④社会主义核心价值体系是全体人民团结进步的重要精神支撑20.伟大的时代需要伟大的精神㊂为了贯彻落实中央要求和湖南省委十届二次全会精神,增强全省的文化自觉与自信,进一步凝聚全省人民共同创造美好生活的精气神,湖南省委决定,今年2至3月,在全省广泛开展 湖南精神”征集提炼活动㊂活动开展以来,社会各界积极响应省委号召,通过信函㊁网络和短信踊跃参与征集提炼工作㊂截至2月15日,活动办公室已经收到 湖南精神”表述语4万余条㊂新时期 湖南精神”是湖南发展之魂,是全省人民团结奋斗的精神动力㊂上述材料表明①湖南省委积极履行社会主义文化建设的职能 ②文化作为精神力量能转化为物质力量 ③人民群众是文化创造的主体 ④先进的社会意识对社会发展起积极的推动作用A.②③B.②③④C.①②④D.③④21.进入2012年,欧洲地区在经历了元旦前后一段时间的 暖冬”之后,近期持续遭遇强冷空气天气,部分地区出现百年来最低气温,过去一周的极寒天气在这一地区已夺去了200多人的生命㊂欧洲极端寒冷天气的出现不是偶然的,是由多种因素并发而形成的,对人们的生产生活各方面产生直接或间接的不利影响㊂这使我们更深刻地认识到①联系是普遍的,因此任何事物都可以是某一特定事件的原因或者结果 ②联系是多样的,因此应该全面地认识与事件有关的各种联系 ③联系是客观的,因此事件的发生与人的活动无关 ④联系是有条件的,因此应该注意具体地分析事件发生的各种条件A.①②B.②③C.①③D.②④22.元好问‘论诗三十首“: 眼处欣生句自神,暗中摸索总非真㊂画图临出秦川景,亲到长安有几人?”下面与此诗蕴含相同哲理的诗句是A.过了沙头渐有村,地平江阔气清温㊂暗潮已到无人会,只有篙师识水痕㊂B.莫言下岭便无难,赚得行人错喜欢㊂进入万山圈子里,一山放出一山拦㊂C.横看成岭侧成峰,远近高低各不同㊂不识庐山真面目,只缘身在此山中㊂D.若言琴上有琴声,放在匣中何不鸣?若言声在指头上,何不于君指上听?23.不同地区㊁不同群体对幸福的阐释有所不同㊂幸福,在西方文化传统中有诸神之赐㊁来世之享㊁天赋权利等解读㊂在现实生活中,也有幸福是金钱的占有㊁幸福是奉献的喜悦等观点㊂分析这些幸福观,正确的理论出发点是①价值判断和价值选择必然具有社会历史性 ②价值判断和价值选择必然具有阶级性 ③社会价值观的主导者历来属于人民群众 ④正确的幸福观才是美好生活的航标A.①②B.①④24.近代学者陈寅恪说: 佛教经典云: 佛为一大因缘出现于世㊂’中国自秦以后,迄于今日,其思想演变之历程,至繁至久,要之,只为一大事因缘,即新儒学之产生及其传衍而已㊂”下列与其 新儒学”相符的是A.建构起天人一体的系统图式B.构造起人伦核心的儒学体系C.形成了民贵君轻的民本思潮D.为汉唐大一统奠定思想基础25.法国史学家㊁文艺评论家丹纳在其‘艺术哲学“中说: 艺术家创造的才能是以民族的活跃的精力为比例的㊂”下列诗句中不能印证丹纳这一观点的是A. 天生我材必有用,千金散去还复来”B. 海内存知己,天涯若比邻”C. 万马争歌杨柳青,千场对舞绣麒麟”D. 渔阳鼙鼓动地来,惊破霓裳羽衣曲”26.朱维铮在‘重读中国近代史“中有这样的叙述: (缔造者们)言辞的崇高与行为的凶暴,平等的许诺与特权的森严,恰成对比,越来越使渴望解脱重重压迫的贫民失望㊂”这里的 缔造者们”属于A.封建地主阶级B.农民阶级C.民族资产阶级D.官僚资产阶级27.‘中国近代经济史(1895 1927)“是一部专论清末民初中国经济史的史学专著,该书在论述中国资本主义发展道路的同时,也阐述了 近代中国的产业革命精神”㊂这种中国特色的 产业革命精神”主要是追求A.工业化的实现B.发展资本主义C.民族独立富强D.实现民主政治28. 何谓三民主义呢?简单地说,便是民有㊁民治㊁民享㊂详细地说,便是民族主义㊁民权主义和民生主义㊂ 三民主义是为人民而设的,是为人民求幸福的㊂”孙中山的这番讲话强调了三民主义A.核心主张是民权主义B.体现以民为本的思想C.理论来源是天赋人权D.前提是实现民族独立29.从文明史观看,20世纪初期丰富了世界文明发展形态的重大事件是A.辛亥革命B.第一次世界大战C.十月革命罗斯福新政30.右图阴影部分是某一历史事件的主要发生区域,若给它加一个简要说明,合适的是A.列强掀起瓜分狂潮后,义和团运动迅速发展B.国民革命军出师北伐,战争取得巨大成功C.洛川会议后,八路军广泛建立抗日根据地D.平津战役胜利结束,长江以北地区基本解放31.2008年某国新出版的历史教科书说: 它是人类第一次以国家调节市场的尝试,主要任务在于解决工业化市场任务,建立工业化社会的基础㊂”符合该评价的历史事实是A.新经济政策B.战时共产主义政策C.中国的改革开放D.罗斯福新政32.1944年7月4日‘解放日报“社论‘祝美国国庆日“中说: 我们共产党人现在所进行的工作乃是华盛顿㊁杰斐逊等早已在美国进行过了的工作 ”对此理解正确的是A.右倾错误在中共党内蔓延B.此番言论是为了反击蒋介石的反共政策C.国民党在蛊惑人心,扰乱视听D.中共的民主革命纲领与美国独立战争的使命有相似性33.下图反映的是1949~1990年间我国A.粮食生产基本状况B.钢铁生产基本状况C.人民公社入社人数基本状况D.个体工商业户数量基本状况34.孙中山㊁毛泽东和邓小平三位伟人的重大理论成果,引领了中国100多年的革命与建设㊂三者在理论创新上的共同特点是都坚持A.独立自主B.实事求是C.群众路线D.独辟蹊径35.怀特计划即 联合国平准基金计划”规定,各国货币按黄金定值,汇率固定,只有在 纠正根本性不平衡”,而且只有在成员国投票权的五分之四赞成时,才能改变汇率㊂其根本目的在于A.强调黄金对汇率的决定作用B.稳定国际金融秩序C.保障各成员国利益D.确立美元在世界货币体系中的中心地位二㊁非选择题:包括必考题和选考题两部分,第36~41题为必考题,每个试题考生都必须做答㊂第42~47题为选考题,考生根据要求做答㊂36.(26分)阅读下列材料,回答问题㊂材料一材料二 最近十几年里,上海市区的供水地由A地扩大至A㊁B㊁C三地㊂材料三 黄浦江发源于太湖,穿越市区的60公里江段,水面宽阔,深度较大,是上海港客货码头所在地㊂上海港是我国吞吐量最大的进出口港㊂(1)分析上海市区供水地不断变化的原因和C处作为水源地的优点㊂(8分)(2)简述崇明岛上村落和城镇分布特点并分析影响因素㊂(8分)(3)简要评价黄浦江的航运价值㊂(10分)37.(20分)读新西兰主要山脉带分布示意图及图中南北二岛地形类型比例组合坐标图,回答下列各题㊂(1)简要说明该国断层发育㊁地热资源丰富的原因㊂(3分)(2)参照图中主要山脉带的分布和右侧的统计图,分析比较该国南北二岛之间地形特征的不同点㊂(8分)(3)据研究,太阳紫外线辐射强是导致皮肤癌的原因之一,该国乙地(位于南岛东部平原)是世界上皮肤癌高发地区之一,而甲地(位于南岛西部山区)发病相对较少㊂请分析其原因㊂(9分)38.(28分)科学技术作为第一生产力,已成为当代经济发展的决定因素㊂一个国家的公民科学素养的高低对国家的发展和进步有着重要的意义,我国公民的科学素养水平怎样?科学离我们有多远?已经被越来越多的民众所关注㊂请阅读材料,回答问题㊂材料一 国际上一般从 了解必要的科学知识”㊁ 掌握基本的科学方法”㊁ 崇尚科学精神”等三个方面定量测度公民的科学素养水平㊂有同学进行了相关的调查,其结果用下图展示:注:具备基本科学素养的公民比例,日本在1991年为3%㊁加拿大在1989年为4%㊁欧盟在1992年为5%㊂材料二 公众的科学素养是科技发展的土壤,虽然我们的国家实力已经能够实现 上天入地”,但企业的创新能力仍然不足;在生活中,面对 吃绿豆能治百病”㊁ 碘盐防辐射”这些谬误信息,很多人难以辨别真假,一度出现疯狂的抢购风潮,引起了市场的波动㊂(1)结合材料一分析其反映了什么问题?(4分)并根据材料二,运用‘经济生活“相关知识说明公众科学素养对社会经济的影响㊂(10分)(2)一个国家的富强和繁荣,一个民族的崛起和振兴,离不开高素质的国民,离不开科学精神的浸染㊂请运用‘生活与哲学“社会历史观的相关知识,说明 重视公众科学精神”的哲学依据㊂(14分)39.(24分)社会建设是中国特色社会主义事业总体布局的重要组成部分㊂加强社会建设,是新形势下保持党同人民群众的血肉联系㊁维护最广大人民根本利益的必然要求㊂近年来,我国坚持以人为本,促进民族团结,大力推进以保障和改善民生为重点的社会建设㊂材料一 某省省委决定从2011年9月始至2012年2月底,用半年时间,在全省范围内开展 五级书记进农村㊁进企业㊁进社区㊁进学校㊁访民情㊁汇民智㊁释民惑㊁解民忧㊁惠民生”大走访活动㊂材料二 十一五”时期,是少数民族和民族地区经济社会发展最快㊁城乡面貌变化最大㊁各族群众得到实惠最多的时期之一,民族地区G D P㊁财政收入增速每年高于全国平均增速,基础设施建设得到加强,社会建设扎实推进,少数民族在长期的发展过程中,创造出了绚丽的民族特色和地域特色文化㊂这些具有原生性㊁唯一性㊁神秘性㊁多样性㊁不可替代性和群众参与性的民族文化,使民族地区成为大型的生态博物馆,但由于受经济条件和观念的影响,民族地区原生态文化面临失传的困境㊂(1)运用‘政治生活“知识,说明该省开展大走访活动的意义㊂(12分)(2)结合材料,运用‘文化生活“知识,就拯救并实现民族地区原生态文化的再生提出可行性建议㊂(12分)40.(25分)幸福是什么?不同的地区,不同的时代,人们对幸福的理解也不同㊂根据下列表格回答关于幸福观的问题㊂中国西方古代 不断提升美德的过程就是追求幸福的过程㊂ 一箪食,一瓢饮”能够修得高尚品德,这样的苦行值得赞颂㊂多子多福”是幸福的显著标志㊂不孝有三,无后为大”,家族 香火”的旺盛是个人幸福的体现㊂苏格拉底把由理性指导的精神满足当做最高幸福,他提出 知识即美德”㊂中世纪的欧洲,人们普遍认为,人类的幸福来自上帝的恩赐,而物质享受只是世俗的㊁虚幻的幸福㊂近代 近代的中国人,对幸福的理解似乎更多样㊂不少人把国家的富强独立和自身的自由平等当做终身幸福的奋斗目标㊂19世纪的西方,享乐幸福论流行,主张物质需要的满足高于一切㊂当代 改革开放前,人们普遍接受幸福与物质追求相分离, 越穷越光荣”㊂改革开放后,很多人把财富的多寡看做幸福与否的标准;同时也有很多不同的看法,比如, 房子小小的㊁钱少少的㊁人好好的”就是一位普通老大娘对幸福的体会㊂经济发达的西方社会,人们依然相信为自身谋取各种物质利益是幸福的保证,同时有些人把帮助社会弱势群体,实现个人社会价值当做个人幸福的体现㊂(1)从上述材料看,古代中西方的幸福观有何共同之处?(2分)(2)概括中国古代幸福观的突出特点及形成这一特点的原因,(5分)这种幸福观有何积极影响?(2分)(3)从政治㊁经济㊁思想文化方面分析近代中西方幸福观改变的原因㊂(12分)(4)根据材料比较当代中西方社会幸福观的异同点㊂(4分)41.(12分)阅读下列材料,回答问题㊂曾担任亚洲研究协会主席的美国学者罗兹㊃墨菲称宋朝是中国的 黄金时代”,在‘亚洲史“中这样评价宋朝, 在许多方面,宋朝在中国都是个最令人激动的时代,它统辖着一个前所未见的发展㊁创新和文化繁盛期㊂ 从很多方面来看,宋朝算得上一个政治清明㊁繁荣和创新的黄金时代㊂ 宋确实是一个充满自信和创造力的时代㊂”日本学者摅薮内清在‘中国㊃科学㊃文明“中说: 北宋时代是中国历史上具有划时代意义的时代㊂ 总之,在这个文化发达的历史潮流中,有许多惊人的成就㊂甚至有人认为,北宋时代可以和欧洲的文艺复兴时期以至近代相比㊂”你怎样看待宋朝在中国历史发展中的地位?试加以评述㊂(要求:观点明确,史论结合㊂)(12分)请考生从给出的2道地理题㊁4道历史题中每科任选一题作答㊂注意:所做题目必须与答题卡上所标注的题目一致㊂如果多做,则每学科按所做的第一题给分㊂42.(10分)【地理 旅游地理】桂林是我国最具代表性的旅游城市之一㊂下图反映了近30年来桂林旅游业发展的基本状况㊂读图表材料回答问题㊂(1) 山青㊁水秀㊁洞奇㊁石美”是桂林山水的突出特点,它主要是在 地貌和气候的基础上不断演化的结果㊂(4分)(2)面对成绩与问题,桂林旅游业重新定位(见下表材料)㊂请从审美价值㊁经济价值㊁科学价值㊁文化价值等旅游资源评价的角度,任选三方面,对桂林旅游资源开发定位的变化予以评价㊂(6分)桂林市旅游资源开发的定位变化原定位现定位代表景点三山两洞一条江两江四湖㊁印象刘三姐㊁漓江㊁乐满地主题公园游览形式观光观光㊁休闲㊁度假㊁探险㊁修学㊁科考等宣传口号桂林山水甲天下山水文化体验之都43.(10分)【地理 自然灾害与防治】孟加拉湾是风暴潮的多发区,也是风暴潮的重灾区㊂读下图,联系已学知识,分析下列问题㊂(1)推测孟加拉湾风暴潮的多发季节,并说明原因㊂(4分)(2)试分析孟加拉湾风暴潮灾害严重的原因㊂(6分)44.(15分)【历史 历史上重大改革回眸】阅读下列材料,回答问题㊂材料一 王安石得不到朝中重臣的支持,只找那些急于上进的新人㊂这些人不仅缺乏经验,而且把变法作为进身之阶,参与变法动机就不纯㊂王安石的重要支持者与助手,如吕惠卿㊁章敦㊁曾布㊁蔡卞㊁吕嘉向㊁蔡京㊁李定㊁邓绾等,都属于人品不正者,其中绝大多数以后进了‘宋史“的奸臣传中,其中蔡京之臭名,大概没人不知道㊂用一些人品不好㊁胸怀私心的人进行变法,再好的设想也没用㊂梁小民‘王安石变法:动机与效果“,载‘南方周末“2006年2月16日材料二 朱熹尝论安石 以文章节行高一世,而尤以道德经济为己任㊂被遇神宗,致位宰相,世方仰其有为,庶几复见二帝三王之盛㊂而安石乃汲汲以财利兵革为先务,引用凶邪,排摈忠直,躁迫强戾,使天下之人,嚣然丧其乐生之心㊂卒之群奸嗣虐,流毒四海,至于崇宁㊁宣和(都是宋徽宗的年号 本书注)之际,而祸乱极矣㊂”‘宋史㊃王安石传“,转自李华瑞‘王安石变法研究史“,人民出版社(2004年)材料三 一人立标,万人射之,强者嫌其近,弱者恶其远㊂岂标有远近哉,亦射者之力不同耳㊂安石敢为异议而不顾,其才力气勇,必有大过人者,特急于见功,知有己而不知有人,知有利而不知有害,故其为法也,即无不善,以刚狠暴戾之心行之,宁有不为害者乎,况乎其未能尽善也㊂(清)张彦士‘读史矕疑“,转自李华瑞‘王安石变法研究史“,人民出版社(年)。
湖南省大联考2012雅礼中学高三9次月考文综试卷答案
炎德·英才大联考雅礼中学2012届高考模拟卷(二)文科综合参考答案第Ⅰ卷本卷共35小题,每小题4分,共140分㊂在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂题号123456789101112131415161718答案D D A C C D A B C D C A B D D D B B题号1920212223242526272829303132333435答案A C A B A C C D A D B C D A C B B第Ⅱ卷36.(1)喀布尔降水集中在冬春季节,(2分)冬春受西风影响带来降水;(2分)卡拉奇降水集中在夏季,(2分)夏季受西南季风影响带来降水㊂(2分)(2)特点:流量大小呈波动变化,或昼大于夜;(2分)第一天变化幅度大,第二天变化幅度小,或第一天变化幅度大于第二天㊂(2分)原因:河水以冰雪融水补给为主,流量随气温而变化;(2分)第一天天气晴朗,昼夜温差大,流量的昼夜变化大;(2分)第二天为阴天,昼夜温差小,流量的昼夜变化小㊂(2分)(3)劳动力丰富廉价;地价低廉;自然资源丰富;市场潜力大;政策优惠;环保费用低;传统工业基础好等㊂(任答4点得8分)37.(1)沿江㊁沿海㊁沿交通线分布㊂(6分)(2)城市等级体系不合理㊁城市产业结构趋同㊂(4分)加强城市群整体统筹与规划,构建区域核心城市并提高核心城市辐射带动能力;(4分)加强城市产业分工与协作,避免恶性竞争,加快产业升级和调整;(3分)加强基础设施㊁公共服务的建设与合作等㊂(3分)38.(1)①从材料一可以看出,与传统产业相比,中部地区文化产业占规模工业比重小㊁产值增速和利润增速高㊁能耗低,我国文化产业占G D P的比重很小㊂②由此可见,我国文化产业的发展空间大,有广阔的市场,能耗低,该企业投资文化产业能获得较好的经济效益㊂③国家对文化产业的发展有政策扶持,该企业投资文化产业能降低经营成本㊂④投资文化产业,为社会提供优秀的文化产品,能创造良好的社会效益,是该企业积极承担社会责任的表现㊂(每点4分,任答3点给满分,其中必须有①)(2)①由于文化市场的盲目性和传媒的商业性,为了提高收视率,电视节目创作可能出现低俗化倾向㊂(4分)②文化具有社会意识形态属性,文化产业的发展应该把社会效益放在首位,坚持社会效益与经济效益相统一;把收视率作为检验电视节目创作成功与否的主要标尺,无法保证电视节目的社会效益㊂(4分)③推动社会实践的发展,是文化创新的根本目的,也是检验文化创新的根本标准;因此,不能把收视率作为检验电视节目创作成功与否的主要标尺㊂(4分)39.(1)①市场调节不是万能的,基本医疗服务属于公共物品,不能由市场调节㊂(2分)②市场调节具有自发性的缺陷,医疗服务市场化会导致医疗资源配置日益失衡㊂(2分)炎德㊃英才大联考文科综合(雅礼版)-1(2)①追求和发展真理以实践为基础㊂针对我国医疗服务中存在的医疗公益性不足问题,国家认识到 市场化非医改方向”㊂②追求和发展真理的过程具有反复性㊂我国医改方向由 市场化”到 非市场化”的认识不是一次完成的,而是在实践和认识的循环往复中获得的㊂③追求和发展真理的过程具有无限性㊂目前我们对医改的真理性认识不是终极真理,而是具体的㊁有条件的㊂随着实践的继续发展,我们对医改的认识必然会不断扩展和深化㊂(每点4分)(3)①政府应该坚持为人民服务的工作态度,坚持医改的正确方向,让医改造福广大人民群众㊂②政府应该坚持求真务实的工作作风,坚持从实际出发谋划顶层设计,更加注重统筹协调㊁制度创新和重点突破㊂③政府应该坚持从群众中来到群众中去的工作方法,医改过程中要多听取医务人员和市民的意见,要动员人民群众㊁医务人员和社会各界广泛参与,把这一项涉及人数最多的重大民生工程推向深入,造福广大人民群众㊂(每点4分)40.(1)历史现象:18世纪前,在实用科技方面,中国领先于西方㊂(2分)原因:制度的保障;古代中国政府的重视与推广;古代中国农业和手工业经济的高度发达;古代中国科学家的献身精神㊂(8分)(2)变化:从传统的 经世致用”到对近代西方科学技术的大规模引进;从对 科学精神”的追求到初步实现 科学体制化”㊂(6分,如果学生仅回答单个历史现象,一要点1分㊂)评析:(应从产生的背景原因㊁概况㊁影响等方面展开评析)原因:近代中国的社会危机;近代西方先进文化的传入;先进的中国人对现代化道路的探索等㊂(5分,学生回答一个要点㊁二个要点㊁三个要点分别给2分㊁4分㊁5分)概况:表明中国对西方科学认识的逐渐深入㊂(2分)影响:推进了中国各个层面的现代化进程㊂(2分,如回答促进中国近代科技进步或中国教育发展,可得1分)41.采用分类评价法㊂评分标准:一等(12~10分):①紧扣评论对象,观点明确;②合理引用史实,进行多角度评论;③论证充分,逻辑严密,表述清楚㊂二等(9~5分):①能够结合评论对象,观点较明确;②引用史实,评论角度单一;③论证较完整,表述清楚㊂三等(4~0分):①偏离评论对象,观点不明确;②未引用史实;③论证欠缺说服力,表述不清楚㊂42.有效整合三省旅游资源,突出特色,塑造知名旅游品牌;(4分)增强旅游资源的集群㊁地域组合状况,(2分)提高游览价值;(2分)拓展旅游空间,扩大旅游环境承载量㊂(2分)43.(1)副高势力整体偏弱,暖湿气流难以到达,降水偏少;气温偏高,蒸发加剧;上游水电站拦蓄河水,入湖径流量减少㊂(答对二点即可得4分)(2)B作用㊂(2分) 4~6月锋面雨带在长江以南,鄱阳湖的入湖流量迅速增加,此期间鄱阳湖流向长江的水量最大,增强鄱阳湖作用㊂7~9月锋面雨带移到长江以北,长江中上游汇流量增大,增强长江作用㊂(4分)44.(1)35°(1分) 10°(1分) 10°~30°(1分)(2)南坡㊂(1分)南坡是迎风坡㊁向阳坡;气温较高,多雨,水热较充足;一旦森林遭受破坏,石灰岩容易受到雨水的溶蚀㊁冲刷等侵蚀作用;地表水土流失严重,岩石裸露,形成石漠化现象㊂(答对二点即可得2分) (3)人为原因:人口压力大;人均耕地面积小;粮食需求大;毁林开荒;水土流失严重;土地生产力下降;粮食炎德㊃英才大联考文科综合(雅礼版)-2生产不足等相互联系㊁相互制约,形成恶性循环,逐步形成经济贫困地区㊂(答对二点即可得2分)合理化建议:控制人口数量,提高人口素质;退耕还林;调整农业生产结构和布局等㊂(答对二点即可得2分) 45.(1)政治改革优先㊁再推广到农㊁工㊁商㊁学㊁军各界,维护清朝统治㊂(3分)张之洞的 新政”主张,与后来的清政府推行的 新政”的具体措施相似,具有时代的进步性㊂湖北 新政”实践效果明显,推动了湖北的近代化进程㊂(3分)(2)张之洞提出了政治改革的主张,其思想认识高于一般洋务派;张之洞等推动的清末 新政”,使旧体制遭到巨大破坏,为民主革命的爆发提供了一定的社会环境;他在湖北进行的军事改革,客观上为武昌起义的爆发准备了条件㊂从根本上看,改革适应了近代中国历史发展的趋势,起到了革命的作用㊂(9分)46.(1) 民吏两党制”:中国素有专制传统,官民长期对立;(2分)出于维护自身利益的需要,民吏两党会相互牵制制衡达到民主的结果㊂(2分) 南北两党制”:南北地理与人文环境差异较大,导致南北利益不同;(3分)出于维护自身利益的需要,南北两党相互制衡,达到民主结果㊂(2分)(2)积极:有利于加深国人对西方政党制度的了解,促进了民主共和理念的传播;(2分)认识到了政治实践中政党制度异化的苗头(政党成为私人争权夺利的工具)㊂(2分)局限:政党起源问题上,没有认识到政党产生的经济根源和阶级性;设想在一个没有法制传统和现实法律保障的国家建立理想的两党制度显然是一种幻想㊂(二取一,2分)47.(1)哈尔斯坦主义的本质就是联邦德国在国际上代表整个德国,不承认民主德国,不同任何与东德建交的国家建立或保持外交关系(与苏联东欧长期对立)㊂(4分)新东方政策旨在改善与苏联㊁东欧的外交关系,并以实现德国统一为目标㊂(4分)(2)背景:国际形势相对缓和;联邦德国经济发展;联邦德国意图摆脱美国的控制,谋求独立的外交,提高国际地位㊂(4分)影响:对70年代东西方关系的缓和起了重要的作用,有助于联邦德国在国际政治舞台上发挥重要作用㊂(3分)48.(1)政府的目的是为公众利益服务(保障公众利益);实行代议制共和国;宪法是政府权力的基础(政府只能在宪法规定范畴内行使权力;政府只是宪法的产物);主权在民㊂(8分)(2)美国独立后制定了1787年宪法,确立了联邦制总统制共和国㊂宪法体现了联邦制原则㊁分权制衡原则和人民主权原则㊂建立了强有力的中央政府,保护国家的利益与主权,稳定了统治秩序,保证长治久安,促进美国经济发展㊂(7分)炎德㊃英才大联考文科综合(雅礼版)-3。
雅礼10次文数答案
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湖南省雅礼中学2012届高三第三次月考试题(数学文)
湖南省雅礼中学2012届高三第三次月考试题（数学文）word 版本试卷卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x y <<"是“22x y >"的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知||1,||()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角是 （ )A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°3．已知命题21:,04p x R xx ∀∈-+<；命题:,sin cos q x R x x ∃∈+=，则下列判断正确的是（ )A ．p 是真命题B ．p q ∧是真命题C ．p q ∨是假命题D ．q ⌝是假命题4．雅礼中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。
现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数8001650k ==，即每16人抽取一个人,在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7,则从33～48这16个数中应取的数是（ ）A ．40B ．39C ．38D ．375．以双曲线221124y x -=的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（ ）A ．2216452x y +=B ．2211612x y +=C ．221164x y +=D ．221416x y +=6．已知三棱锥S-ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列 命题正确的是 （ ）A ．异面直线SB 与AC 所成的角是90°B ．BC ⊥平面SAB C ．BC ⊥平面SACD ．平面SBC ⊥平面SAB7．如右图,I 表示南北方向的公路，A 地在公路的正东2km 处，B 地在A 地北偏东60°方向23km 处，河流沿岸PQ （曲线)上任一点到公路I 和到A 地距离相等，现要在河岸PQ 上选一处M 建一座码头，向A ，B 两地转运货物,经测算从M 到A ，B 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是(单位万元） ( )A ．(23)a +B ．2(31)a +C ．5aD ．4a8．已知函数22sin ()(1)(22)xf x x x x π=+-+，对于下列命题： ①函数()f x 是周期函数; ②函数()f x 是奇函数;③对任意,()x R f x ∈满足|()|1;f x <④函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴1;2x =其中真命题是 ( ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①③二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
湖南省雅礼中学2010届高三上学期第二次月考数学文科试题
雅礼中学2010届高三第二次月考数学文科数学考试范围：函数与导数、三角、向量、不等式。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知(,0)2x π∈-且cos x =，则 =-)2cos(x π （ A ） (A)21- (B)21 (C)23- (D) 23 2．已知关于x 的不等式0<-+bx a x 的解集为)3,1(,若0<+b a ,则实数a ，b 的取值是（ C ） (A). 1,3 (B). 3,1 (C).1,3- (D). 1,3-3．下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 （ D ）A 、y =c os2xB 、y =|sin2x |C 、y =|c os x |D 、y =|sin x |4．函数23)(23+-=x x x f 在]1,1[-上的最大值是 （ D ）A.0B.4C.2-D.2 5．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为 （ D ） A. ;23±B. 1C. ;23- D. ;23 6．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ A ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞7．已知直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于),0(),0,(b B a A 两点，且满足112=+ba ，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值为 （ A ）A 4B 24C 2D 228．设{}{}R y x y x y x M R y x y x y x U ∈≤+=∈≤+=,,1),(,,,1),(22，现有一质点随机落入区域U 中，则质点落入M 中的概率是 （ D ） (A)π2 (B) π21 (C) π1 (D) π2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9．函数2)1lg(2--=x x y10．曲线x e x f =)(在点),2(2e 11．设函数2 0()() 0.x xf xg x x ⎧<=⎨>⎩，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 12．设函数a x x x f -+-=34)(2有三个零点，则实数a 的值是13．对于集合},,,{21n a a a 和常数0a ，定义集合},,,{21n a a a 相对0a 的“正弦方差W ”：n a a a a a a W n )(sin )(sin )(sin 02022012-++-+-= ．则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3,0ππ相对0a 的“正弦方差” 14．函数23cos 32sin 212+-=x x y,15．设)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则（i ）3()2f （ii ）设S 为()0f x =在区间[]0,20内的所有根之和，则S 的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()cos(2)2f x x x ππ=--. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）∵()2cos()cos(2)2f x x x ππ=--2sin cos sin 2x x x ==， …………4分∴函数()f x 的最小正周期为π. ………6分 （Ⅱ）由21226x x ππππ-≤≤⇒-≤≤， ……………………8分∴1sin 212x -≤≤， …………………….10分 ∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12- . ………12分 17．（本题满分12分）已知向量)2,1(),cos ,(sin -==A A ,且.0=∙(Ⅰ)求A tan 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 解：（Ⅰ）由题意得=∙sin A -2cos A =0, …………………………………..2分因为cos A ≠0,所以tan A =2.阶段 ………………………………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+……………..8分 因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， …………………………………11分 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为()1,3.（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f .3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=① ……………………2分由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，…………….4分 即.511.01452-===--a a a a 或解得 由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f ………6分 （Ⅱ）由a a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 ………………………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ …12分19.（本小题满分13分）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足)2()2(x f x f -=+。
湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
湖南省长沙市雅礼教育集团联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A B C D ．以上都不是 3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 12=，8BD =，则菱形ABCD 的面积（ ）A ．96B ．54C ．48D ．244．如图，等边△OAB 边长为2，顶点O 在平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ）A ．（1，1）B ．1） C ．（1 D ． 5．你知道废电池是一种危害严重的污染源吗？一粒纽扣电池可以污染700000升水，这个数字用科学计数法表示为（ ）A ．5710⨯升B ．60.710⨯升C ．6710⨯升D ．47.010⨯升 6．下列说法正确的是（ ）A ．1x 是整式B ．0是单项式C ．223x y π-的系数是23-D ．232x xy --是一次三项式7．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）A ．181B ．175C ．176D ．175.58．开学前，学校需要对教室、食堂等场所进行消毒处理．某商场的84消毒液，第一天销售量达到200瓶，第二天、第三天销售量连续增长，第三天销售量达到700瓶，且第二天与第三天的增长率相同，设增长率为x ，根据题意列方程为（ ）A ．()27001200x -=B ．()22001700x +=C ．()22001700x +=D ．()20012700x +=9．设A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 2＞y 1＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 10．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC AB ，边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．16二、填空题11．如图，A 、B 、C 在O e 上，若46ACB ∠=︒，则O ∠=︒．12．抛物线y=12(x+2)2-2的顶点是．13．如图，直线2y x b =-+与x 轴交于点(30)，，那么不等式20x b -+<的解集为 ．14．已知20x y -+=，则22x y -的值为．15．如图，COD △是AOB V 绕点O 顺时针旋转42︒后得到的图形，点C 恰好落在边AB 上，若53B ∠=︒，则COB ∠=．16．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =+++≠与x 轴的一个交点坐标 2,0 ，对称轴为直线1x =，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②<0a b c -+；③20a b c ++=；④抛物线的顶点坐标为(1,)2b ；⑤当1x <时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的是 ．三、解答题17．()20202411π202422-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 18．先化简，再求值：2221211x x x x x -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭，其中2x =．19．在平面直角坐标系中，ABO V 的三个顶点坐标分别为()2,3A ，()3,1B ，O 0,0 ．(1)将ABO V 向右平移4个单位，画出平移后的111A B O △；(2)以点O 为对称中心，画出与ABO V 成中心对称的22A B O V ，此时四边形22ABA B 的形状是______；20．“山水连云，醉美港城”．某校数学兴趣小组就“最想去的连云港市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的样本容量为_____；(2)补全条形统计图．．．．．．．；扇形统计图中E 的扇形圆心角的度数为_____； (3)若该校共有1200名学生，请估计“最想去景点C ”的学生人数．21．如图，已知AB 为O e 直径，CD 是弦，且AB CD ⊥，连接AC BC 、．(1)求证：CAB BCD ∠=∠；(2)若3BE =，8CD =，求O e 的半径．22．已知关于x 的方程()2110k x kx -++=．（1）证明：不论k 为何值，方程总有实数根；（2）当k 为何整数时，方程有两个不相等的整数根?23．某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．(1)若每个书包降价x 元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？ 24．问题发现已知：如图1，等边三角形A 1A 2A 3，点P 是A 1A 2下方的任意一点，∠A 1P A 3＝∠A 3P A 2＝60°，可证：P A 1+P A 2＝P A 3，从而得到12123PA PA PA PA PA +++是定值． （1）这个定值是 ．（2）请写出上述证明过程．类比探究如图2，把（1）中条件“等边三角形A 1A 2A 3，∠A 1P A 3＝∠A 3P A 2＝60°，”改为“正方形A 2A 1A 3A 4，∠A 1P A 4＝∠A 4P A 3＝∠A 3P A 2＝45°，”其余条件不变．（3）请问：121234+PA PA PA PA PA PA +++还是定值吗？ （4）如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．25．定义：函数图象G 上的点(),P x y 的纵坐标y 与横坐标x 的差y x -叫做点P 的“双减差”，图象G 上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G 的“幸福值”如：抛物线2y x =上有点()4,16P ，则点P 的“双减差”为12；而抛物线2y x =上所有点的“双减差”22111244y x x x x ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭，即该抛物线的“幸福值”为14-．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数4y x =图象上点P 的横坐标1x =，求点P 的“双减差”y x -的值；(2)若直线()1112y kx x =+-≤≤的“幸福值”为()21k k >，求k 的值；(3)设抛物线2y x bx c =++顶点的横坐标为m ，且该抛物线的顶点在直线9y x =-+上，当12132m x m -≤≤+时，抛物线2y x bx c =++的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．。