第11课时直线与圆锥曲线的综合应用2
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第11讲 直线与圆锥曲线的位置关系
此时①也成立， 此时①也成立， 故直线 l 斜率的取值范围是－
3－1 － 3－1 － ， 2 . 2
题型二 圆锥曲线中的探索性问题
福建)已知中心在坐标原点 【例 2】 (2010·福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 】 福建 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． ， 为其右焦点． 为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有 是否存在平行于 ， 公共点， 公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直 ？若存在， 的方程；若不存在，说明理由． 线 l 的方程；若不存在，说明理由． x2 y2 解法一： 依题意 依题意， 解：解法一：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1 a b (a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)． ， ′－ ．
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 ∆＝B2－4AC，应用 ∆>0， ＋ ＝ ≠ ． ＝ ， ， 所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由根与系数的关系 韦达 ＋ ＝ 的解．由根与系数的关系(韦达 B C 定理)求出 定理 求出 x1＋x2＝－A，x1x2＝A，所以 A、B 两点间距离为 、 两点间距离为|AB|＝ ＝ B2－4AC 的斜率)，即弦长公式． (1＋k ) A2 (其中 k 为 l 的斜率 ，即弦长公式．也可以写成 ＋ 其中
0
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴 】 ： 的离心率为 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 设直线 、 两点， 3 面积的最大值． 距离为 2 ，求△AOB 面积的最大值． 6 c ＝ ， 解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意a 3 设椭圆的半焦距为 ， a＝ 3， ＝ ， x2 2 ∴b＝1，∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1. ＝ ，
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题
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(2)若直线 l 交椭圆 E 于 M，N 两点，直线 OM 的斜率为 k1，直线 ON 的斜率 为 k2，且 k1k2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值.
证明 当直线l的斜率不存在时，
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答题模板
第一步 求圆锥曲线的方程 第二步 特殊情况分类讨论 第三步 联立直线和圆锥曲线的方程 第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标 第五步 根据相关条件计算推证 第六步 明确结论
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训练 2 (2021·大同调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，
已知|AB|＝4，且点e，345在椭圆上，其中 e 是椭圆的
离心率.
(1)求椭圆 C 的方程；
解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，即a＝2. 又点e，345在椭圆上，∴ae22＋1465b2＝1，即1c62 ＋1465b2＝1， 又b2＋c2＝a2＝4，联立方程解得b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；
[规范解答]
解 设M(x，y)，P(x0，y0)， 由(1－ 3)O→Q＝O→P－ 3O→M， 得O→Q－O→P＝ 3O→Q－ 3O→M， 即P→Q＝ 3M→Q，2 分
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∴xy00＝＝x，3y，又点 P(x0，y0)在圆 O：x2＋y2＝6 上， ∴x20＋y20＝6，∴x2＋3y2＝6， ∴轨迹 E 的方程为x62＋y22＝1.4 分
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感悟提升
解此类题的要点有两个：一是计算面积，二是恒等变形.如本题，要求△OMN 的面积，则需要计算弦长|MN|和原点 O 到直线 l 的距离 d，然后由面积公式 表达出 S△OMN(如果是其他凸多边形，一般需要分割成三角形分别求解)，再 将由已知得到的变量之间的等量关系代入面积关系式中，进行恒等变形， 即得 S△OMN 为定值23.
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳ppt课件
3 3 .(*)
25
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1＋369k2，x1·x2＝1＋279k2.
由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0， 即271(＋1＋9kk22)－17＋2k92k2＋4＝0，解得 k＝± 331，满足(*)式．
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝ 1＋k12|y1－y2|＝ (1＋k12)[(y1＋y2)2－4y1y2].
a
13
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
的右焦点为
F，若过点
F
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围
(
33 )A．(－ 3 ， 3 )
B．(－
3，
3)C.－
33，
33D．[－
3， 3]
x2 y2
又由双曲线方程12－ 4 ＝1，有双曲线的渐近线方程为
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
a
15
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
1
,
1 2
P A 2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 中点 M . 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于点 B , C
2015年高考数学总复习教案：9.11直线与圆锥曲线的综合应用(2)
第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）141～144页 （理）147～150页1. (选修11P44习题4改编)以双曲线x24－y25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________． 答案：y2＝12x解析：双曲线x24－y25＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.2. 以双曲线－3x2＋y2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________． 答案：x24＋y216＝1解析：双曲线方程可化为y212－x24＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝4，c ＝23，此时b ＝2，∴ 椭圆方程为x24＋y216＝1.3. 若抛物线y2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p ＝________． 答案：4解析：椭圆x26＋y22＝1的右焦点(2，0)是抛物线y2＝2px 的焦点，所以p2＝2，p ＝4.4. 已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1→²PF2→的最小值为________． 答案：－2解析：设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，由双曲线方程得y2＝3(x2－1).PA1→²PF2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y2＝x2＋y2－x －2＝x2＋3(x2－1)－x －2＝4x2－x－5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x≥1.因此，当x ＝1时，PA1→²PF2→取得最小值－2.5. 已知椭圆C ：x22＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足x202＋y20≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．答案：[2，22] 解析：当P 在原点处时，PF1＋PF2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF1＋PF2取得最大值22，故PF1＋PF2的取值范围为[2，22]．1. 圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的轨迹． 当0<e<1时，它表示椭圆； 当e>1时，它表示双曲线； 当e ＝1时，它表示抛物线． 2. 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．3. 平面解析几何研究的两个主要问题(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2) 通过曲线的方程研究曲线的性质． 4. 求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4) 化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.题型1 最值问题例1 如图，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1) 求椭圆C 的方程； (2) 求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．解：(1) 设椭圆左焦点为F(－c ，0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2＋c ）2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x2＋4y2＝12消去y ，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx ＋4m2－12＝0，① 则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2，所以线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k2，3m 3＋4k2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k2＝－2km 3＋4k2，得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x2－3mx ＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝m ，x1x2＝m2－33.所以AB ＝1＋k2²|x1－x2|＝396²12－m2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12AB ²d ＝36²（m －4）2＋12－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0，23)．令u(m)＝(12－m2)(m －4)2，m ∈[－23，23]，u ′(m)＝－4(m －4)(m2－2m －6)＝－4(m －4)·(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 变式训练如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a2c ，0.AT ：x a2c ＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，解得交点C(2a2c a2＋c2，b3a2＋c2)，代入①得⎝⎛⎭⎫2a2c a2＋c22a2＋⎝⎛⎭⎫b3a2＋c22b2＝4a2c2（a2－c2）2（a2＋c2）2＝1，满足①式，则C 点在椭圆上，即A 、C 、T 三点共线．(2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ， 则△OBF ∽△ECF.∵ BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a2＋⎝⎛⎭⎫b 32b2＝1，∴ a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y20＝2c2.此时C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝23 5c ，S △ABC ＝12²2c ²4c 3＝43c2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x0＋2y0－2c|5＝x0＋2y0－2c5，S △APC ＝12d ²AC ＝12²x0＋2y0－2c 5²23 5c ＝x0＋2y0－2c 3²c.只须求x0＋2y0的最大值， (解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x20＋4y20＋2·2x0y0≤x20＋4y20＋2(x20＋y20)＝3(x20＋2y20)＝6c2，∴ x0＋2y0≤6c.当且仅当x0＝y0＝63c 时，(x0＋2y0)max ＝6c.(解法2)令x0＋2y0＝t ，代入x20＋2y20＝2c2得(t －2y0)2＋2y20－2c2＝0，即6y20－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.当t ＝6c ，代入原方程解得x0＝y0＝63c. ∴ 四边形的面积最大值为6－23c2＋43c2＝6＋23c2＝6＋23，∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为x22＋y2＝1.P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.题型2 定值问题例2 如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0，a 、b 为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，b<t1<a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A 、B 、C 、D 四点．(1) 求直线AA1与直线A2B 交点M 的轨迹方程； (2) 设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b<t2<a ，t1≠t2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t21＋t22为定值． (1) 解：设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a ，0)，A2(a ，0)， 则直线A1A 的方程为y ＝y1x1＋a (x ＋a)，①直线A2B 的方程为y ＝－y1x1－a (x －a)．②由①②得y2＝－y21x21－a2(x2－a2)．③ 由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y21＝b2⎝⎛⎭⎫1－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x<－a ，y<0)．(2) 证明：设A ′(x2，y2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故x21y21＝x22y22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b2x21⎝⎛⎭⎫1－x21a2＝b2x22⎝⎛⎭⎫1－x22a2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21＋x22＝a2，从而y21＋y22＝b2，因此t21＋t22＝a2＋b2为定值．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(4m ，0)(m ＞0，m 为常数)，离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若θ＝90°，1MF ＋1NF ＝5 29，求实数m ；(3) 试问1MF ＋1NF 的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论． 解：(1) ∵ c ＝4m ，椭圆离心率e ＝c a ＝45， ∴ a ＝5m.∴ b ＝3m.∴ 椭圆C 的标准方程为x225m2＋y29m2＝1. (2) 在椭圆方程x225m2＋y29m2＝1中， 令x ＝4m ，解得y ＝±9m5.∵ 当θ＝90°时，直线MN ⊥x 轴，此时FM ＝FN ＝9m 5，∴ 1MF ＋1NF ＝109m . ∵ 1MF ＋1NF ＝5 29，∴ 109m ＝5 29，解得m ＝ 2. (3) 1MF ＋1NF 的值与θ的大小无关．证明如下：(证法1)设点M 、N 到右准线的距离分别为d1、d2.∵ MF d1＝45，NF d2＝45，∴ 1MF ＋1NF ＝54⎝⎛⎭⎫1d1＋1d2.又由图可知，MFcos θ＋d1＝a2c －c ＝9m4， ∴ d1⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＝9m 4，即1d1＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1. 同理，1d2＝49m ⎣⎡⎦⎤45cos （π－θ）＋1＝49m (－45cos θ＋1)．∴ 1d1＋1d2＝49m ⎝⎛⎭⎫45cosθ＋1＋49m (－45cos θ＋1)＝89m .∴ 1MF ＋1NF ＝54²89m ＝109m .显然该值与θ的大小无关．(证法2)当直线MN 的斜率不存在时， 由(2)知，1MF ＋1NF 的值与θ的大小无关．当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k(x －4m)， 代入椭圆方程x225m2＋y29m2＝1，得(25k2＋9)m2x2－200m3k2x ＋25m4(16k2－9)＝0. 设点M(x1，y1)、N(x2，y2)， ∵Δ＞0恒成立，∴ x1＋x2＝200mk225k2＋9，x1²x2＝25m2（16k2－9）25k2＋9.∵MF 25m 4－x1＝45，NF 25m 4－x2＝45，∴ MF ＝5m －45x1，NF ＝5m －45x2. ∴1MF ＋1NF ＝15m －45x1＋15m －45x2＝10m －45（x1＋x2）1625x1x2－4m （x1＋x2）＋25m2＝90k2＋9081mk2＋81m＝109m .显然该值与θ的大小无关． 题型3 定点问题例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1) 设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l 的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2 322＝1，结合点到直线距离公式，得|－3k －1－4k|k2＋1＝1，化简得24k2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724.所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2) 设点P 坐标为(m ，n)，直线l1、l2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k (x －m)，即kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1k m ＝0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有|－3k －1＋n －km|k2＋1＝⎪⎪⎪⎪－4k－5＋n ＋1k m 1k2＋1，化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5.因为关于k 的方程有无穷多解，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－m －n ＝0，m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0，m ＋n －5＝0，解得点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－32，132或⎝⎛⎭⎫52，－12.备选变式（教师专享）已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点． (1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x ＋12＝0，解之得x1＝－2，x2＝－65，∴ 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－65，45. (2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM 为y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x24＋y2＝1，化简得(1＋4k2)x2＋16k2x ＋16k2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ xM ＝2－8k21＋4k2，同理可得xN ＝2k2－8k2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. ∵ kMP ＝yM xM ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k21＋4k2＋22－8k21＋4k2＋65＝5k4－4k2， 同理可计算得kPN ＝5k4－4k2.∴直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. (理)题型4 轨迹问题例4 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围．解：如题图，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．根据已知，设A(－c ，0)，C ⎝⎛⎭⎫c 2，h ，E(x0，y0)，其中c ＝12|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由AE →＝λEC →，即(x0＋c ，y0)＝λ⎝⎛⎭⎫c 2－x0，h －y0，得x0＝（λ－2）c 2（1＋λ），y0＝λh 1＋λ.不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，则离心率e ＝ca .由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e ＝ca 代入双曲线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧e24－h2b2＝1，①e24⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－2λ＋12－⎝⎛⎭⎫λλ＋12h2b2＝1，② 由①式得h2b2＝e24－1， ③将③式代入②式，整理得 e24(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－3e2＋2.由已知23≤λ≤34，所以23≤1－3e2＋2≤34，解之得 7≤e ≤10，所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]．备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r. (ⅰ) 求圆M 的方程； (ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k1＝y x ＋4、k2＝yx －4.由题意知y x ＋4²y x －4＝－14，即x216＋y24＝1(x≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x216＋y24＝1(x≠±4)． (2) (ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3. 设M(a ，2a ＋3)(a ＞0)，则圆M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ， 由r2＝d2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r 2. 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r2. (ⅱ)假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意． 设直线l ：y ＝kx ＋b ， 则⎪⎪⎪⎪k×r 2－r －3＋b 1＋k2＝r 对任意r ＞0恒成立．由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋（b －3）＝r 1＋k2， 得⎝⎛⎭⎫k 2－12r2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k2)r2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e ＝12.过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为8.(1) 求椭圆E 的方程； (2) 设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 学生错解：解：(1) 略(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y23＝1，消去y 得(4k2＋3)x2＋8kmx ＋4m2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－4km 4k2＋3＝－4k m ，y0＝kx0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M(x1，0)，则MP →²MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4km －x1，3m ，MQ →＝(4－x1，4k ＋m)，由MP →²MQ →＝0，得－16k m ＋4kx1m －4x1＋x21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x1－4)km ＋x21－4x1＋3＝0.(**)，方程无解．故不存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.审题引导： (1) 建立方程组求解参数a ，b ，c ；(2) 恒成立问题的求解；(3) 探索性问题的一般解题思路．规范解答： 解：(1) 因为AB ＋AF2＋BF2＝8，即AF1＋F1B ＋AF2＋BF2＝8，(1分) 又AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a ，(2分) 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1，(3分) 所以b ＝a2－c2＝ 3.故椭圆E 的方程是x24＋y23＝1.(4分) (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y23＝1，消去y 得(4k2＋3)x2＋8kmx ＋4m2－12＝0.(5分)因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分) 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得4k2－m2＋3＝0.(*)(7分)此时x0＝－4km 4k2＋3＝－4k m ，y0＝kx0＋m ＝3m ，所以P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q(4，4k ＋m)．(9分) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．(10分) 设M(x1，0)，则MP →²MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． 因为MP →＝⎝⎛⎭⎫－4km －x1，3m ，MQ →＝(4－x1，4k ＋m)，由MP →²MQ →＝0，得－16k m ＋4kx1m －4x1＋x21＋12k m ＋3＝0， 整理，得(4x1－4)km ＋x21－4x1＋3＝0.(**)(12分) 由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x1－4＝0，x21－4x1＋3＝0，解得x1＝1.(13分)故存在定点M(1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M.(14分)错因分析： 本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M 必在x 轴上．同时不会利用恒成立求解．1. 已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫0，23 解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b.将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x2＋(2b －2p)x ＋b2＝0，则x1＋x2＝2p －2b ，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p)．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p)2－4b2＝4p2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p2－8p(2p －1)＞0，即3p2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.2. 已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a ，b)，B(－a ，0)，ab ≠0，b2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M 变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫a ，2pa b 解析：设M ⎝⎛⎭⎫y202p ，y0，M1⎝⎛⎭⎫y212p ，y1，M2⎝⎛⎭⎫y222p ，y2，由点A 、M 、M1共线可知y0－b y202p －a ＝y1－y0y212p －y202p ，得y1＝by0－2pay0－b，同理由点B 、M 、M2共线得y2＝2pay0. 设(x ，y)是直线M1M2上的点， 则y2－y1y222p －y212p ＝y2－y y222p －x ， 即y1y2＝y(y1＋y2)－2px ， 又y1＝by0－2pa y0－b，y2＝2pay0，则(2px －by)y20＋2pb·(a －x)y0＋2pa·(by －2pa)＝0. 当x ＝a ，y ＝2pab 时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎫a ，2pa b . 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1，0)．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解：(1) 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝1，p ＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. (2) 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M(－1，y1)，N(－1，y2)，其中y1y2＝－4，直线MO的方程：y ＝－y1x ，将y ＝－y1x 与y2＝4x 联立解得A 点坐标⎝⎛⎭⎫4y21，－4y1.同理可得B 点坐标⎝⎛⎭⎫4y22，－4y2，则直线AB 的方程为：y ＋4y1－4y2＋4y1＝x －4y214y22－4y21，整理得(y1＋y2)y －4x ＋4＝0，故直线AB 恒过定点(1，0)．4. 已知椭圆E ：x2a2＋y2＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB. (1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程； (2) 若Rt △MAB 面积的最大值为278，求a ；(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．解：(1) 由题，a2＝c2＋1，d ＝a2c ＝c2＋1c ＝c ＋1c ≥2，当c ＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E 的方程为x22＋y2＝1.(2) 不妨设直线MA 的斜率k>0，直线MA 方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，①x2a2＋y21＝1，②① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx ＝0， 解得xA ＝－2a2ka2k2＋1，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a2k a2k2＋1，1－a2k2a2k2＋1，由MA ⊥MB 知直线MB 的斜率为－1k ， 可得B(2a2k a2＋k2，k2－a2a2＋k2)，则MA ＝1＋k2²2a2ka2k2＋1，MB ＝1＋1k22a2k a2＋k2＝k2＋12a2a2＋k2.则S △MAB ＝12MA ²MB＝12(1＋k2)4a4k （a2k2＋1）（a2＋k2）＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a4a2⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋（a4＋1） ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2a4a2⎝⎛⎭⎫k ＋1k 2＋（a4－2a2＋1）. 令k ＋1k ＝t(t≥2)，则S △MAB ＝2a4t a2t2＋（a2－1）2＝2a4a2t ＋（a2－1）2t≤2a42a （a2－1）＝a3a2－1.当t ＝a2－1a 时取“＝”，∵ t ＝a2－1a ≥2，得a>2＋1.而(S △MAB)max ＝a3a2－1＝278，故a ＝3或a ＝3±29716(舍)．综上a ＝3.(3) 由对称性，若存在定点，则必在y 轴上．当k ＝1时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a2a2＋1，1－a2a2＋1，直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a2a2＋1.下面证明A 、Q 、B 三点共线：∵ kAQ ＝1－a2k21＋a2k2－1－a21＋a2－2a2k1＋a2k2 ＝（1－a2k2）（1＋a2）－（1－a2）（1＋a2k2）－2a2k （1＋a2）＝k2－1k （1＋a2），kBQ ＝k2－a2a2＋k2－1－a21＋a22a2kk2＋a2 ＝（k2－a2）（1＋a2）－（1－a2）（a2＋k2）2a2k （1＋a2）＝k2－1k （1＋a2）.由kAQ ＝kBQ 知A 、Q 、B 三点共线，即直线AB 过定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a2a2＋1.5. 设A1、A2与B 分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B 与圆C ：x2＋y2＝1相切． (1) 求证：1a2＋1b2＝1；(2) P 是椭圆E 上异于A1、A2的一点，若直线PA1、PA2的斜率之积为－13，求椭圆E 的方程； (3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →²ON →＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．(1) 证明：已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， A1、A2与B 分别为椭圆E 的左、右顶点与上顶点， 所以A1(－a ，0)，A2(a ，0)，B(0，b)， 直线A2B 的方程是x a ＋yb ＝1.因为A2B 与圆C ：x2＋y2＝1相切， 所以11a2＋1b2＝1， 即1a2＋1b2＝1.(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为kPA1²kPA2＝y0x0＋a ²y0x0－a ＝y20x20－a2＝－13，x20a2＋3y20a2＝1，而x20a2＋y20b2＝1，所以b2＝13a2.结合1a2＋1b2＝1，得a2＝4，b2＝43.所以椭圆E 的方程为x24＋3y24＝1.(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入x2a2＋y2b2＝1，得x2a2＋（kx ＋m ）2b2＝1.化简得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx ＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)．∴ x1x2＝a2m2－a2b2b2＋a2k2，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝a2k2m2－a2b2k2b2＋a2k2＋km⎝⎛⎭⎫－2a2km b2＋a2k2＋m2＝b2m2－a2b2k2b2＋a2k2.因为OM →²ON →＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.代入得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0.结合(1)的1a2＋1b2＝1，得m2＝1＋k2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k2＝1，所以直线l 与圆C相切．② 若直线l 的斜率不存在，设直线l 为x ＝n.代入x2a2＋y2b2＝1，得y ＝±b 1－n2a2.∴ |n|＝b·1－n2a2，∴ a2n2＝b2(a2－n2)．解得n ＝±1，所以直线l 与圆C 相切．6. 已知曲线C 上动点P(x ，y)到定点F1(3，0)与定直线l1∶x ＝433的距离之比为常数32. (1) 求曲线C 的轨迹方程；(2) 以曲线C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM →²TN →的最小值，并求此时圆T 的方程． 解：(1) 过点P 作直线的垂线，垂足为D. |PF1||PM|＝32，（x －3）2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 所以该曲线的方程为x24＋y2＝1.(2) 点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y21＝1－x214.由已知T(－2，0)，则TM →＝(x1＋2，y1)，TN →＝(x1＋2，－y1)，∴ TM →²TN →＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x214＝54x21＋4x1＋3＝54²⎝⎛⎭⎫x1＋852－15.由于－2<x1<2，故当x1＝－85时，TM →²TN →取得最小值为－15.计算得，y1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r2＝1325. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y2＝1325.1. 已知抛物线x2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M.(1) 求证：A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列；(2) 设直线MF 交该抛物线于C 、D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． (1) 证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0, 则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x2－4kx －4＝0，显然Δ＝16k2＋16>0. 所以x1＋x2＝4k ，x1x2＝－4，由x2＝4y ，得y ＝14x2，所以y ′＝12x, 所以，直线AM 的斜率为kAM ＝12x1, 所以，直线AM 的方程为y －y1＝12x1(x －x1)，又x21＝4y1, 所以，直线AM 的方程为x1x ＝2(y ＋y1) ①， 同理，直线BM 的方程为x2x ＝2(y ＋y2) ②， ②－①并据x1≠x2得点M 的横坐标x ＝x1＋x22，即A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列． (2) 解：由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k≠0).所以kMF ＝2－2k ＝－1k ， 则直线MF 的方程为y ＝－1k x ＋1，设C(x3，y3)，D(x4，y4) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2＝4y ，y ＝－1k x ＋1消去y ，得x2＋4k x －4＝0，显然Δ＝16k2＋16>0,所以x3＋x4＝－4k ，x3x4＝－4，又|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）（x1－x2）2 ＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝4(k2＋1)， |CD|＝（x3－x4）2＋（y3－y4）2＝（1＋1k2）（x3－x4）2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k2[（x3＋x4）2－4x3x4]＝4⎝⎛⎭⎫1k2＋1， 因为kMF ²kAB ＝－1，所以AB ⊥CD ，所以SACBD ＝12|AB|²|CD|＝8⎝⎛⎭⎫1k2＋1()k2＋1＝8·⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋2≥32,当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.2. 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e ＝63，一条准线方程为x ＝362(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设G 、H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG ⊥OH. ① 当直线OG 的倾斜角为60°时，求△GOH 的面积；② 是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．解：( 1) 因为c a ＝63，a2c ＝362，a2＝b2＋c2, 解得a ＝3，b ＝3，所以椭圆方程为x29＋y23＝1.(2) ① 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x29＋y23＝1，解得⎩⎨⎧x2＝910，y2＝2710，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，x29＋y23＝1， 得⎩⎨⎧x2＝92，y2＝32，所以OG ＝3105，OH ＝6，所以S △GOH ＝3155.② 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则OG·OH ＝R·GH ， 因为OG2＋OH2＝GH2，故1OG2＋1OH2＝1R2，当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为y ＝kx,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x29＋y23＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x2G ＝91＋3k2，y2G ＝9k21＋3k2，所以OG2＝9＋9k21＋3k2，同理可得OH2＝9k2＋93＋k2，(将OG2中的k 换成－1k 可得)1OG2＋1OH2＝49＝1R2，R ＝32，当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得1OG2＋1OH2＝49＝1R2， 故满足条件的定圆方程为：x2＋y2＝94.3. 已知椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l1.又l 与l2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B(如图)．(1) 当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； (2) 当FA →＝λAP →，求λ的最大值． 解：(1) ∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ， 两渐近线夹角为60°，又ba <1， ∴∠POx ＝30°， 即b a ＝tan30°＝33.∴a ＝3b.又a2＋b2＝4，∴a2＝3，b2＝1. 故椭圆C 的方程为x23＋y2＝1.(2) 由已知l ：y ＝a b (x －c)，与y ＝b a x 解得P ⎝⎛⎭⎫a2c ，ab c .由FA →＝λAP →，得A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋λ·a2c 1＋λ，λ²ab c 1＋λ. 将A 点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa 2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2. ∴(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2.∴λ2＝e4－e2e2－2＝－⎣⎡⎦⎤（2－e2）＋22－e2＋3≤3－2 2. ∴λ的最大值为2－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，1)，P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足kOP ＋kOA ＝kPA.(1) 求点P 的轨迹C 的方程；(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →＝λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1) 设点P(x ，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP ＋kOA ＝kPA 得y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x2(x≠0且x≠－1)．(2) 设P(x1，x21)，Q(x2，x22)，M(x0，y0)， 由PQ →＝λOA →可知直线PQ ∥OA ，则kPQ ＝kOA ， 故x22－x21x2－x1＝1－0－1－0，即x2＋x1＝－1， 由O 、M 、P 三点共线可知， OM →＝(x0，y0)与OP →＝(x1，x21)共线， ∴ x0x21－x1y0＝0，由(1)知x1≠0，故y0＝x0x1，同理，由AM →＝(x0＋1，y0－1)与AQ →＝(x2＋1，x22－1)共线可知(x0＋1)(x22－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0，即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0，由(1)知x2≠－1，故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0，将y0＝x0x1，x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0， 整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1，由x1≠－1得x0＝－12，由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ， ∵ PQ ∥OA ， ∴ OP ＝2OM ， ∴ PO →＝2OM →，∴x1＝1，∴P的坐标为(1，1)．1. 圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1) 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2) 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2. 求定值问题常见的方法有两种(1) 从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2) 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3. 定点的探索与证明问题(1) 探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2) 从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．请使用课时训练(B)第11课时(见活页)．[备课札记]。
高考调研数学目录
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第九章 解析几何
第1课时 直线方程 题组层级快练（五十九）（word） 第2课时 两直线的位置关系 题组层级快练（六十）（word） 第3课时 圆的方程 题组层级快练（六十一）（word） 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系 题组层级快练（六十二）（word） 第5课时 椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word） 第6课时 椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word） 第7课时 双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
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第5课时 三角函数的图像 题组层级快练（二十四）（word） 第6课时 三角函数的性质 题组层级快练（二十五）（word） 专题研究 三角函数的值域与最值 专题层级快练（二十六）（word） 第7课时 正、余弦定理 题组层级快练（二十七）（word） 专题研究 正、余弦定理应用举例 专题层级快练（二十八）（word）
第7页
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第五章 平面向量与复数
第1课时 向量的概念及线性运算 题组层级快练（二十九）（word） 第2课时 平面向量基本定理及坐标运算 题组层级快练（三十）（word） 第3课时 平面向量的数量积 题组层级快练（三十一）（word） 专题研究 平面向量的综合应用 专题层级快练（三十二）（word） 第4课时 复数 题组层级快练（三十三）（word）
第10页
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第八章 立体几何
第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图 题组层级快练（四十八）（word） 第2课时 空间几何体的表面积、体积 题组层级快练（四十九）（word） 专题研究 球与几何体的切接问题 专题层级快练（五十）（word） 第3课时 空间点、线、面间位置关系 题组层级快练（五十一）（word） 第4课时 直线、平面平行的判定及性质 题组层级快练（五十二）（word） 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质 题组层级快练（五十三）（word）
高三数学教案 直线圆锥曲线的综合应用
8．5 圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法．二．建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。
圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。
复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
三、双基题目练练手1．(2005北京)设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件2．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是 ( )A ．1306022=-y x B ．1405022=-y x C ．1406022=-y x D ．1305022=-y x 3．(2006江苏)已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-=4．（2006江西）P 为双曲线221916x y -=的右支上一点,M 、N 分别是圆 222(5)4(5)1x y x y ++=-+=和上的点,则PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．(2005山东)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为______．6． 直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，则直线l 的方程是________．简答：1-４．BCBD ；４．设左焦点为F 1，右焦点为F 2，由双曲线定义和三角形边的关系得：||||(||2)(||1)3PM PN PM PN -=--++12||||39PF PF ≤-+=，选D５．２； ６． 421x +321y =1， 422x +322y =1．相减得∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++．又∵M 为AB 中点，x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线l 的斜率为－43． 得直线l 的方程为3x +4y －7=0．四、经典例题做一做【例1】(2006福建) 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。
高中数学北师大版选修2-1 3.4.3.2直线与圆锥曲线的综合应用 课件(38张)
则 x=
y=4x+m 对称 .
题型一
题型二
题型三
题型四
(方法二 )设 P(x1,y 1),Q(x2,y 2)是椭圆 C 上关于直线 l:y=4x+m 对称 的两个点 ,M(x,y)是它们的中点 ,
2 2 3������1 + 4������1 = 12, 则 2 2 3������2 + 4������2 = 1【变式训练1】 若抛物线y=x2上存在不同的两点关于直线 y=m(x-3)对称,求实数m的取值范围.
解 :设直线 l:y=- x+b 与抛物线 y=x2 的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 由 ������ = ������ = ������ 2 ,
2.圆锥曲线中的最值问题 在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,通常的处理策略: (1)若具备定义的最值问题,可用定义将其转化为几何问题来处理. (2)一般问题可由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法 进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的方法,利用函数的单 调性,亦可利用基本不等式等求解. 3.圆锥曲线中的定点、定值问题 (1)定点问题 ①探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件 建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点; ②从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.
③有关线段长的定值问题,包括线段的长为定值,线段长之间的 1 1 ������������等 为定值. 关系式 如 ������������ + ������������ ,������������ + ������������,������������·
方法:设原始量的变量,推出线段的长的表达式(这里常用到“设而 不求”法求相交弦长),然后代入式子化简求得定值.
2021一轮数学教师用书目录
目录课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1第2课时集合的基本运算4第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词8第二章函数与导数第1课时函数及其表示13第2课时函数的定义域和值域18第3课时函数的单调性22第4课时函数的奇偶性及周期性26第5课时函数的图象31第6课时二次函数36第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)40第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)44第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)48第10课时函数与方程53第11课时导数的概念与运算57第12课时导数在研究函数中的应用61第13课时函数模型及其应用68第14课时函数的综合应用75第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数81第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式86第3课时三角函数的图象和性质90第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式97第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式102第6课时简单的三角恒等变换106第7课时正弦定理和余弦定理110第8课时解三角形应用举例114第9课时三角函数的综合应用120第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算126第2课时平面向量的基本定理及坐标表示131第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例135第4课时复数140第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法144第2课时等差数列148第3课时等比数列152第4课时数列的求和157第5课时数列的简单应用161第6课时数列的综合应用167第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法172第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划177 第3课时基本不等式182第4课时不等式的综合应用186第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理190第2课时直接证明与间接证明195第3课时数学归纳法(理科专用)199第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系204第2课时直线与平面的位置关系(1)208第3课时直线与平面的位置关系(2)213第4课时平面与平面的位置关系218第5课时空间几何体的表面积和体积224第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)228第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率236第2课时直线的方程239第3课时直线与直线的位置关系243第4课时圆的方程247第5课时直线与圆的位置关系252第6课时椭圆(1)258第7课时椭圆(2)263第8课时双曲线269第9课时抛物线273第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)277第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)282第十章算法、统计与概率第1课时算法290第2课时统计初步(1)295第3课时统计初步(2)298第4课时古典概型(1)303第5课时古典概型(2)307第6课时几何概型与互斥事件311第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)316第2课时排列与组合(理科专用)320第3课时二项式定理(理科专用)324第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)328第5课时独立性及二项分布(理科专用)334第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)340选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)346第2课时圆的进一步认识(理科专用)351选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)357第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)362选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)366第2课时参数方程(理科专用)370选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)375第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)379课时训练第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念383第2课时集合的基本运算384第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词385第二章函数与导数第1课时函数及其表示387第2课时函数的定义域和值域388第3课时函数的单调性390第4课时函数的奇偶性及周期性391第5课时函数的图象393第6课时二次函数395第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1)396第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)397第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)399第10课时函数与方程400第11课时导数的概念与运算402第12课时导数在研究函数中的应用403第13课时函数模型及其应用405第14课时函数的综合应用407第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数410第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式411第3课时三角函数的图象和性质413第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式415第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式417第6课时简单的三角恒等变换418第7课时正弦定理和余弦定理420第8课时解三角形应用举例421第9课时三角函数的综合应用425第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算428第2课时平面向量的基本定理及坐标表示430第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例431第4课时复数433第五章数列第1课时数列的概念及其简单表示法435第2课时等差数列436第3课时等比数列437第4课时数列的求和439第5课时数列的简单应用441第6课时数列的综合应用442第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法445第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划446第3课时基本不等式448第4课时不等式的综合应用450第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理452第2课时直接证明与间接证明454第3课时数学归纳法(理科专用)455第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系458第2课时直线与平面的位置关系(1)460第3课时直线与平面的位置关系(2)461第4课时平面与平面的位置关系463第5课时空间几何体的表面积和体积465第6课时空间向量在立体几何中的应用(理科专用)467第九章平面解析几何第1课时直线的倾斜角与斜率470第2课时直线的方程471第3课时直线与直线的位置关系474第4课时圆的方程476第5课时直线与圆的位置关系477第6课时椭圆(1)480第7课时椭圆(2)482第8课时双曲线484第9课时抛物线486第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)488第11课时直线与圆锥曲线的综合应用(2)490第十章算法、统计与概率第1课时算法493第2课时统计初步(1)495第3课时统计初步(2)496第4课时古典概型(1)498第5课时古典概型(2)500第6课时几何概型与互斥事件501第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理科专用)504第2课时排列与组合(理科专用)505第3课时二项式定理(理科专用)507第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(理科专用)508第5课时独立性及二项分布(理科专用)510第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)512选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)515第2课时圆的进一步认识(理科专用)517选修4－2矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)520第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)522选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)525第2课时参数方程(理科专用)526选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(理科专用)529第2课时不等式证明的基本方法(理科专用)530。
直线与圆锥曲线的综合问题 课件
从而 k1(3λ－k1)＝－1，即 k21－3λk1－1＝0. 同理 k22－3λk2－1＝0，所以 k1，k2 是关于 k 的方程 k2－3λk－1＝0 的两实根． 由根与系数关系，得 k1k2＝－1，所以 DA⊥DB，所以以 AB 为直径的圆恒过定点 D(0,3)．
【精要点评】定点问题的两种求解方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化 的量与参数何时没有关系，找到定点． ②由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关．
若直线 x＝my＋t 与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长 AB＝ ____1_＋__m_2__y_1－__y_2__2 _.
定值问题
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B1，B2 是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的 短轴端点，P 是椭圆上异于点 B1，B2 的一动点．当直线 PB1 的方程为 y＝x＋3 时，线 段 PB1 的长为 4 2.
＝－ba22，亦即 kAB·kOM＝－ba22，对于双曲线、抛物线，可得到类似的结论．
4.弦长公式
若直线 y＝kx＋b 与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长 AB＝ ___1_＋__k_2__x_1_－__x2__2__＝____1_＋__k_2·___x_1＋__x_2_2_－__4_x_1_x2___.
线与圆锥曲线的综合问题
1.直线 y＝x＋4 与双曲线 x2－y2＝1 的交点坐标为__－__1_87_，__18_5___．
【解析】联立xy2＝－xy＋2＝4，1， 消去 y，得 x2－(x＋4)2＝1，即 8x＝－17，解得 x＝ －187，代入 y＝x＋4，得 y＝185，故直线 y＝x＋4 与双曲线 x2－y2＝1 的交点坐标为 －187，185.
【最高考系列】高考数学总复习 第9章 平面解析几何 第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)课
第九章 平面解析几何第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)1. 以椭圆x 24＋y23＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________．答案：x 2－y 23＝1解析：椭圆x 24＋y23＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a ＝1，c ＝2，b＝c 2－a 2＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.2. 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________．答案：x 24－y212＝1解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即a 2＋b 2＝16.又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以有b a＝3，即b ＝3a ，可解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y212＝1.3. 顶点在原点且以双曲线x 23－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________．答案：y 2＝－6x解析：由题可得，双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝32，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p 2＝32，即p ＝3，所以所求抛物线方程为y 2＝－6x.4. 双曲线x 2－y 23＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________．答案：2解析：渐近线的方程为3x ±y ＝0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r ，则r ＝|4|3＋1＝2.5. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案：x 24＋y23＝1解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴2a ＝4，即a ＝2.∵e＝c a ＝12.∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆方程为x 24＋y23＝1.6. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．答案：[2，22]解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．7. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．答案： 2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2， ∴ x ＝±63，∴ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63，∴ AB ＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin(θ－φ)|≤32，∴ S △ABC ＝12AB ·d ≤12×433×32＝ 2. 8. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________个．答案：2解析：由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y24＝1的内部．9. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 直线y ＝33x ＋1与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|.解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，右焦点F 为(c ，0)，则|c ＋22|2＝3，解得c＝ 2.又b ＝1，∴a ＝ 3.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2) 设直线与椭圆的交点为P(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x23＋y 2＝1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝0.∴直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(－3，0)，∴|PN|＝（3）2＋12＝2. 10. 已知圆C 的圆心为C(m ，0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3，1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1) 求圆C 的标准方程；(2) 若点P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D 、B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1) 由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴ m＜3，∴ m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2) 直线PF 1能与圆C 相切， 依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. ∴ 4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴ c ＝4，F 1(－4，0)，F 2(4，0)． ∴ 由椭圆的定义得：2a ＝AF 1＋AF 2＝（3＋4）2＋12＋（3－4）2＋12＝52＋2＝6 2.∴ a ＝32，即a 2＝18，∴ e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213， 故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝241013. 11. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3) 设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR·OS 为定值．(1) 解：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴ c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 解：易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0.由于点M 在椭圆C 上，∴ y 21＝1－x 214.(*)由已知T(－2，0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)， ∴ TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35. 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3) 证明：设P(x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 代入(**)式，得x R ·x S ＝4（1－y 21）（y 20－4）（1－y 20）y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以OR·OS＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。
高考数学直线圆锥曲线的综合应用
8．5 圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法．二．建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。
圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。
复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
三、双基题目练练手1．(2005北京)设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件2．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是 ( )A ．1306022=-y x B ．1405022=-y x C ．1406022=-y x D ．1305022=-y x 3．(2006江苏)已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-=4．（2006江西）P 为双曲线221916x y -=的右支上一点,M 、N 分别是圆222(5)4(5)1x y x y ++=-+=和上的点,则PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．(2005山东)设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为______．6． 直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，则直线l 的方程是________．简答：1-４．BCBD ；４．设左焦点为F 1，右焦点为F 2，由双曲线定义和三角形边的关系得：||||(||2)(||1)3PM PN PM PN -=--++12||||39PF PF ≤-+=，选D５．２； ６． 421x +321y =1， 422x +322y =1．相减得∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++．又∵M 为AB 中点，x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线l 的斜率为－43． 得直线l 的方程为3x +4y －7=0．四、经典例题做一做【例1】(2006福建) 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。
2019.10.25直线与圆锥曲线的综合
段
AB
的中点，则椭圆
C
的离心率等于__________. 2
如例图1.，（已P知166抛例物1线(2x012 7浙y,江点2A1()）1 ，1 ), B( 3，9 ), 24 24
抛物线上的点 P(x,y)( 1 x 3 ) .过点 B 作直
2
2
y
x2=y
线 AP 的垂线，垂足为 Q . (1,1) (Ⅰ) 求直线 AP 斜率的取值范围；
A、B y2 1
两点，则弦 的弦被点 (1
AB 1 ,)
的长为_____. 5
平分，则这条弦所
2
22
在的直线方程是_2_x___4__y__3_. 0
3. 过 点 M (1,1) 作 斜 率 为 1 的 直 线 与 椭 圆 2
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 相交于
A、B 两点，若 M 是线 2
B (x, y) y t(x 1) 1，若 AI B 为单元素集，
则 t 值的个数为( A ) ( A) 1 (B) 2 (C ) 3 (D) 4
本题理解题意是关键,数形结合妙!
2.已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0
对称的相异两点 A 、B ，则 AB 等于( C ).
( A) 3
(B)要是方程思想的应用,需要一定的计算.
3.已知椭圆 x2 y2 1上两个不同的点 A、B 关于直线 y mx 1 对称.
2
(1) 求实数 m 的取值范围;(,
6)U(
6 , )
2
(2) 求△AOB 面积的最大值 (O为3坐标原3 点) .
直线与圆锥曲线的综合应用范文
1．如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n （m ＞n ），过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．记λ=mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ． （1）设直线l ：y =kx （k ＞0），若1S =32S ，证明：B ，C 是线段AD 的四等分点； （2）当直线l 与y 轴重合时，若1S =λ2S ，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得1S =λ2S ？并说明理由．第1题图 zl204【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解】（1）证明：因为1S =32S ，又因为M ，N 到直线l 的距离相等， 所以|BD |=3|BA |，由椭圆的对称性，得到|DC |=|BA |，|CO |=|OB |， 所以|BC |=2|BA |⇒|BO |=|BA |，即B 是OA 中点，同理，C 是OD 中点，B ，C 是AD 的四分点，得证． （2）因为1S =λ2S ，所以n +m =λ(m -n )，∴λ=m n m n +-=11λλ+-，∴2210λλ--=， 解得：λ=2+1（小于1的根舍去）．（3）设椭圆1C ：22221x y a m +=（a ＞m ），2C ：22221x y a n+=，直线l ：y =kx （k ≠0），由22221y kx x y a m=⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒222222a m x m a k =+，即：222222A a m x m a k =+，同理可得：222222B a n x n a k =+， 又∵△BDM 和△ABN 的高相等，∴12B D B AA B A BS x x x x BD S AB x x x x -+===--， 若存在非零实数k 使得1S =λ2S ，则有（λ-1）A x =(λ+1)B x ，即：()()222222222211n a k n a k λλλλ-+=++，解得：()()2322224211n k a λλλλ=--+， ∴当λ＞1+2时，2k ＞0，存在这样的直线l ；当1＜λ≤1+2时，2k ≤0，不存在这样的直线．2.如图已知椭圆G ：2222x y a b+ =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），若△12AF F 为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知垂直于x 轴的直线交椭圆G 于不同的两点B ，C ，且12A A ，分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线1AC 与2A B 交于点P （0x ， 0y ），求点P （0x ，0y ）的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，过点P 作斜率为034x y 的直线l ，设原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围．第2题图 FGQ49【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【解】（1）由题设得 222226,a c a a c a b c ⎧=⎪++=⎨⎪=+⎩解得：2,3a b ==，c =1.故G 的方程为22143x y +=． （2）设B （1x ，1y ）则C （1x ，－1y ），1A （－2，0），2A （2，0） ∴直线1A C的方程为y =11(2)2y x x -++① 直线2A B 的方程为y =11(2)2y x x -- ②九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用①×②，得 222121(4)4y y x x -=-- ③2211143x y +=，∴22113412x y +=，∴22113(4)4x y --=，代入③得223(4)4y x =-，即22143x y -=，因为点P （0x ，0y ）是直线1A C 与2A B 的交点，所以2200143x y -=. 即点P （0x ，0y ）在双曲线22143x y -=上. （3）设直线l ：00003()4x y y x x y -=-,结合第（2）问的结论2200143x y -=，整理得：30x x －40y y －12=0.于是22200012129162148d x y x ==+-.22003412x y -=且0y ≠0，∴204x >∴2012(0,2)2148d x =∈-，所以d 的取值范围是 （0，2）.3.某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中E （0，t ）（0＜t ≤10，单位：米）；曲线BC 是抛物线230y ax =+-（a ＞0）的一部分；CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆E 的半径．图（1） 图（2）第3题图 JSY76（1）若要求CD =20米，AD =（103+30）米，求t 与a 值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过45米，求a 的取值范围． 【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． 【解】（1）由题意可得B （0，30），CD =30－t =20，解得t =10．此时圆E ：2210400x y +=（-），令y =0，得AO =103，所以OD =AD －AO =30，将点C （30，20）代入230y ax =+-（a ＞0）中，解得a =190； （2）因为圆E 的半径为30－t ，所以CD =30－t ，在230y ax =+-中，令y =30－t ，得OD =t a ，则由题意知FD =30－t +t a≤45对t ∈（0，10]恒成立， 所以1a ≤15t t +恒成立，当15t t=，即t =15∉（0，10]时， 由y =15t t+（t ∈（0，10]）递减，可知： 当t =10取最小值151010+，故1a ≤151010+，解得a ＞2125．4.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax +by +c =0和点111222P x y P x y （，），（，），若12PP l ⊥，垂足为0P ，且1002PP P P λ=⋅，则称点12PP ，关于直线l 成“λ对称”．若曲线C 上存在点12P P ，关于直线l 成“λ对称”，则称曲线C 为“λ对称曲线”． （1）设1P （0，3），2P （3，0），若点12P P ，关于直线l 成“12对称”，求直线l 的方程； （2）设直线l ：x －y +1=0，判断双曲线221x y =-是否为“λ对称曲线”？请说明理由； （3）设直线l ：x +y =0，且抛物线2y x m =-为“2对称曲线”，求实数m 的取值范围． 【考点】直线与圆锥曲线的关系．【解】（1）由题意：12PP =（3，－3）设000Px y （，），由100212PP P P =⋅， 可得()0000203230x x y y ==(-)-， --，所以0012x y ==，，所以直线l ：3（x －1）－3（y －2）=0，即所求直线l ：x －y +1=0； （2）双曲线221x y =-不是为“λ对称曲线”事实上，双曲线221x y =-的两条渐近线分别为x －y =0，x +y =0，它们互相垂直， 直线l ：x －y +1=0与其中渐近线x －y =0平行，所以双曲线221x y =-上不可能存在两点12P P ，，更别说满足1002PP P P λ=⋅ （3）因为抛物线2y x m =-为“2对称曲线”，所以存在点111222P x y P x y （，），（，），九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用设直线12PP ：y =x +t ，由2y x t y x m=+⎧⎨=-⎩⇒20x x t m =---其中∆=1－4（－t －m ）＞0，且12121,x x x x t m+=⎧⎨=--⎩()000,P x y ,又由10022PP P P =，可得12120022,33x x y y x y ++==， 代入000x y +=,得1212220x x y y +++=所以1212220x x x t x t +++++=（）（）21331,222x t x t ⇒=--=+,由∆=1214140t m x x =－（－－）－＞得3314(1)(2)022t t---+＞⇒t ≠－1由12x x t m =－－得12m t x x ==－－33(1)(2)22t t t ----+=229797232()424936t t t ++=++∈[2336，+∞）． 即所求实数m 的范围为[2336，+∞）．5.设有二元关系()()()2,1f x y x y a x y =-+--，已知曲线r ：f （x ，y ）=0; （1）若a =2时，正方形 ABCD 的四个顶点均在曲线上r ，求正方形ABCD 的面积； （2）设曲线r 与x 轴的交点是M 、N ，抛物线r '：2112y x =+与 y 轴的交点是G ，直线MG 与曲线r '交于点P ，直线NG 与曲线r '交于Q ，求证：直线PQ 过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线r 与x 轴的交点是M （u ，0），N （v ，0），可知动点R （u ，v ）在某确定的曲线C 上运动，曲线C 与上述曲线r 在a ≠0时共有四个交点：A ()12,x x ，B ()34,x x ，C ()56,x x ，D ()78,x x ，集合X ={}128,,...x x x 的所有非空子集设为i Y （i =1，2，，255），将i Y 中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数12255,,,y y y 求所有的正整数n 的值，使得12255n n n y y y +++是与变数a 及变数i x （i =1，2，8）均无关的常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【解】（1）令()()()2,21f x y x y x y =-+--，解得12x y -=-±，∴f （x ，y ）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S =4． （2）证明：在曲线r 中，令y =0，则210x ax +-=， 设M （m ，0），N （n ，0），则mn =-1，G （0，1）， 则直线MG ：11y x m =-+，NG ：11y x n=-+．联立211112y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得P 2222,m m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，同理可得Q 2222,n n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． ∴直线PQ 的方程为：()2221y m n x n n ⎛⎫--=++ ⎪⎝⎭, 令x =0，则y =()2221m n n n +++=22121n n n n⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=3， 因此直线PQ 过定点（0，3）．zl113第5题图（1）（3）令0y =，则210x ax +-=，由(2)知mn =-1， 则uv =-1，即点R （u ，v ）在曲线xy =-1上， 又曲线r ： ()()()2,10f x y x y a x y =-+--=．恒表示平行线242a a x y -±+-=，如图所示，zl112第5题图（2）A ()12,x x ，B ()34,x x 关于直线y =-x 对称，则132422x x x x++=-，即1234x x x x +++ =0， 同理可得5678x x x x +++=0，则128...x x x +++ =0， 集合{}128,,...,X x x x 的所有非空子集设为i Y ，九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用取{}1128,,...,Y x x x =，则1128...0y x x x =+++=，即n ∈N *，10n y =，对X 的其它子集，把它们配成集合“对”(),p q Y Y ，pq Y Y X =，p q Y Y ≠∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足0p q y y +=．以下证明：对于p Y 的元素和p y 与q Y 的元素和q y ，当n 为奇数时，n n p q y y +=0． 先证明：n 为奇数时，x +y 能够整除n n x y +，用数学归纳法证明． 1°当n =1时，成立；2°假设当n =k （奇数）时，x +y 能够整除k k x y +， 则当n =k +2时，()()222222222k k k k k k k k k xy x x y x y y x x y y x y +++++=-++=-++，因此上式可被x +y 整除．由1°，2°可知：n 为奇数时，x +y 能够整除n n x y +．又∵当n 为奇数时，nnp q y y +=（p q y y +）M ，其中M 是关于,p q y y 的整式， ∵pq Y Y X =，p q Y Y ≠∅，∴每一个集合“对”(),p q Y Y 都满足n n p q y y +=0．则一定有n n p q y y +=（x +y ）M =0，M ∈N *， 于是可得12255...n n n y y y +++=0是常数．6.已知两点A （-1，0）、B （1，0），点P （x ，y ）是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标保持不变、纵坐标扩大到2倍后得到点(),2Q x y 满足1AQ BQ ⋅=． （1）求动点P 所在曲线C 的轨迹方程； （2）过点B 作斜率为22-的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且满足0OM ON OH ++=，又点H 关于原点O 的对称点为点G ， ①求点H ，G 的坐标；②试问四点M 、G 、N 、H 是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【解】（1）依据题意，有()()1,2,1,2AQ x y BQ x y =+=-．∵1AQ BQ ⋅=，∴22121x y -+=．∴动点P 所在曲线C 的轨迹方程是2212x y +=.（2）①∵直线l 过点B ，且斜率为22k =-， ∴()2:12l y x =--联立方程组()2212212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得22210x x --=．(*) 设两曲线的交点为M （1x ，1y ）、N （2x ，2y ），由根与系数的关系，可得：1212122x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．又∵0OM ON OH ++=，∴121200H H x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，∴21,2H H x y =-=-，又点G 与点H 关于原点对称，于是可得点21,2H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭、21,2G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ②结论：四点M 、G 、N 、H 共圆，圆心坐标为112,88O ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，半径为3118． 理由如下：若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l ，则有121:242l y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2:2l y x =-．联立方程组212422y x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，解得1l 和2l 的交点为112,88O ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 因此，可算得221932311||888O H ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由（*）式可得M （132+，264-）、N （132-，264+），因此可算得2211112311||888O M x y ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，四点M 、G 、N 、H 共圆，圆心坐标为112,88O ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，半径为3118． 7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点32（1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量d =(2,1)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【解】（1）解：∵C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为22214x y b+=（a ＞b ＞0），∵点312（，）在椭圆C 上，∴213144b+=，解得21b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）证明：设P （m ，0）（-2≤m ≤2），∵直线l 方向向量d =(2,1)，∴直线l 的方程是2x m y -=，联立221()214y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒222240x mx m -+-=（*）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则1x 、2x 是方程（*）的两个根，∴1x +2x =m ，21242m x x -=，∴22PA PB +22221122()()x m y x m y =-++-+2221121()()()4x m x m x m =-+-+-221()4x m +-22125()()4x m x m ⎡⎤=-+-⎣⎦222121252()24x x m x x m ⎡⎤=+-++⎣⎦=221212125()2()224x x m x x x x m ⎡⎤=+-+-+⎣⎦=222252(4)24m m m m ⎡⎤---+⎣⎦5=(定值). 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．8.已知双曲线22118x y m m -=+（m ＞0）的一条渐近线方程为y =3x ，它的一个焦点恰好在抛物线y 2=ax 的准线上，则 a =___________． 【考点】圆锥曲线的综合． 【答案】±24 【分析】由题意，183m m +=，∴m =9∴双曲线的焦点坐标为（±6，0）,又由64a=±，∴a =±24,故答案为±24．【点评】本题的考点是圆锥曲线的综合，主要考查双曲线的渐近线，考查抛物线的准线，关键是利用渐近线方程求双曲线的标准方程．9.如果函数1y x =-的图像与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是 ( ) A.(][)10,1-∞-， B.[)1,1- C.{10}-， D.[10)(1)-+∞，，【考点】直线与圆锥曲线的位置关系. 【答案】B【分析】1y x =-可得，0x ≥时1y x =-；0x <时，1y x =--， ∴函数1y x =-的图像与方程221x y λ+=的曲线必相交于(±1，0)所以为了使函数1y x =-的图像与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则1y x =-代入方程221x y λ+=，整理可得2(1)210x x λλλ+-+-=.当1λ=-时，x =1满足题意， 由于0∆＞，1是方程的根，∴101λλ-<+，即11λ-<<，方程两根异号，满足题意； 1y x =--代入方程221x y λ+=，整理可得2(1)210x x λλλ+++-=当1λ=-时，1x =-满足题意， 由于0∆＞，1-是方程的根，∴101λλ-<+，即11λ-<<时，方程两根异号，满足题意； 综上知，实数λ的取值范围是[)1,1-.10.已知射线10(0)l x y x -=:＞，20(0)l x y x +=:＜，直线l 过点(2)P m ，(22m -＜＜)交1l 于点A ，交2l 于点B ．(1)当m =0时，求AB 中点M 的轨迹Γ的方程；(2)当m =1且△AOB (O 是坐标原点)面积最小时，求直线l 的方程； (3)设OA OB +的最小值为f (m )，求f (m )的值域．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【解】(1)当m =0时，P (0，2)，设A (a ，a )，B (－b ，b )(a ，b ＞0)，M (x ，y )，∵M 是AB 的中点，∴22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵A ，B ，P 三点共线，∴AP BP ∥，由(,2)AP a a =--，(,2)BP b b =-，则(2)(2)a b b a --=-，即a +b =ab ． 代入得M 点轨迹方程为22(1) 1 (0)y x y --=＞．九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用(2)当m =1时，P (1，2)，A (a ，a )，B (－b ，b )(a ，b ＞0)， ∵|OA |=2a ，|OB |=2b ，12AOB S OA OB ab =⋅=△，由A ，B ，P 三点共线，得2ab =a +3b ， ∴223ab ab ≥，化为3ab ≥，当且仅当3a b =时等号成立， 此时a =3，b =1，直线l 方程为230x y -+=． (3)由A ，B ，P 三点共线得：2ab =(m +2)b +(2－m )a ， 即22122m m a b +-+=，222()2()()22m mOA OB a b a b a b+-+=+=++ =2[4(2)(2)]2b am m a b+++-⋅，∵22m -＜＜，且a ＞0，b ＞0， ∴22[424]2OA OB m ++-≥，∴[)22()2282,0,4f m m m =+-∈， ∴f (m )的值域为(22,42⎤⎦．11. 如图，F 是椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的一个焦点，A 、B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12.点C 在x 轴上，,,,BC BF B C F ⊥三点确定的圆M 恰好与直线1:330l x y ++=相切.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与圆M 交于P 、Q 两点，且2,MP MQ ⋅=-，求直线2l 的方程.第11题图CWX06【解】(1)由题知(),0,F c -由2212c c e a b c ===+，得3b c =，()0,3,B c 3,BF k =3,3BC k ∴=-可得()3,0,C c 且圆M 的方程为()2224,x c y c -+=圆M 与直线1:330l x y ++=相切，得3212c c c +=⇒=，∴所求的椭圆的方程为22143x y +=； (2)点A 的坐标为(-2,0)，圆M 的方程为()2214,x y -+=，过点A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线的方程为()2,2,y k x MP MQ =+⋅=-又2,MP MQ ==1cos ,2MP MQMP MQ MP MQ⋅∴<⋅>==-⋅120,PMQ ∴∠=圆心M 到直线2l 的距离11,2d r ==所以2221,,41k k k k+=∴=±+所求直线的方程为2220.x y ±+=12.已知△ABC 的顶点A 、B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线:2l y x =+上，且AB l ∥.(1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当90,ABC ∠=且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.【解】 (1)因为AB l ∥，且AB 边通过坐标点(0,0)，所以AB 所在直线的方程为y =x ，设A ，B 两点的坐标分别为(11,x y )、(22,x y )，由2234x y y x⎧+=⎨=⎩得1x =±.所以12222AB x x =-=.又因为边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以h =12,2;2ABC S AB h =⋅=△ (2) 设AB 所在直线的方程为y =x +m ，由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=.因为A ,B在椭圆上，所以212640,m∆=-+>设A,B 两点坐标为(11,x y )、(22,x y )，则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以2123262.2m AB x x -=-=又因为BC 的长等于点(0,m )到直线l 的距离，即2,2m BC -=所以2222210AC AB BC m m =+=--+，2(1)11.m =-++所以当m =-1时，AC 边最长（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线方程为y =x -1.13.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过M (4,1)，直线:l y x m =+交椭圆于A,B 两个不同的点.(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)若直线不过点M ，求证：AM 、BM 与x 轴围成一个等腰三角形.九 考点9 直线与圆锥曲线的综合应用第13题图CWX07【解】(1)设椭圆方程为22221x y a b +=，因为e =32，所以224a b =，又椭圆过点M (4,1)，所以221611a b +=，解得2220,5,a b ==，故椭圆方程为221205x y +=； (2)将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=. ()22820(420)0m m ∆=-->得55m -<<；(3)设直线MA 、MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证120k k +=.设()()1122,,,,A x y B x y ，则212128420,,55m m x x x x -+=-=1212121144y y k k x x --+=+=--()()()()()()122112141444y x y x x x --+----,分子()()()()12211414x m x x m x +--++--= ()12122(5)8(1)x x m x x m +-+--=()()()224208581055m m m m -----=，因此MA 、MB 与x 轴所围的三角形为等腰三角形.14.直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△P AB 面积等于3，这样的P 共有（ ）个.A.1B.2C.3D.4 【答案】 B 【分析】如图，设()1π4cos ,3sin 02P ααα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即点1P 在第一象限的椭圆上，考虑四边形1P AOB 的面积S ，S ()1111+=34cos 4(3sin )22OAP OBP S S αα=⨯+⨯=△△()6sin cos αα+ π62sin ,4α⎛⎫=+⎪⎝⎭max62S ∴=（此时π4α=）.1=43=62OAB S ⨯⨯△为定值，1P AB S ∴△的最大值为626-，因为626-<3，所以点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P .故选B.第14题图CWX08。
新教材2023版高中数学第二章 4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件北师大版选择性必修第一册
1
|y －y2|＝
k2 1
1+
1
k2
y1 + y2
2
− 4y1 y2 (k≠0)
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，利用两点间的距离公式直
接运算．
状元随笔 在计算弦长时要特别注意一些特殊情况：①直线与圆锥
曲线的对称轴平行或垂直；②直线过圆锥曲线的焦点．在出现这些情
况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化．
4×2×2
2
＝－
1
4．斜率为 的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，
2
B两点，则线段AB的长为________．
答案：10
题型探究·课堂解透
题型一
弦长问题
x2
已知椭圆E： 2
a
y2
+ 2 ＝1(a>b>0)，O为坐标原点，P为椭圆上任
b
例1
意一点，F1 ，F2 分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数
点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(
)
A．2x－y－3＝0 B．2x－y－5＝0
C．x－2y＝0
D．x－y－1＝0
答案：A
21= 41 ， y2 −y1
4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则൝ 2
⇒
＝
＝2，
x
−x
y
+y
2 = 42， 2 1 2 1
所以k＝2，因为直线过点M(2，1)，
a
y2
3
+ 2 ＝1(a>b>0)的离心率为 ，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0
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第11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)
1. 以椭圆x 24＋y 23
＝1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________． 答案：x 2－y 23
＝1 解析：椭圆x 24＋y 23
＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a ＝1，c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. 2. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为____________．
答案：x 24－y 212
＝1 解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即a 2＋b 2＝16.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以有b a ＝3，即b ＝3a ，可解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212
＝1. 3. 顶点在原点且以双曲线x 23
－y 2＝1的右准线为准线的抛物线方程是____________． 答案：y 2＝－6x
解析：由题可得，双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝32
，则所求抛物线是顶点在原点、开口向左的抛物线且p 2＝32，即p ＝3，所以所求抛物线方程为y 2＝－6x. 4. 双曲线x 2－y 23
＝1的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝________． 答案：2
解析：渐近线的方程为3x ±y ＝0，圆心(0，4)到渐近线的距离等于r ，则r ＝|4|3＋1
＝2.
5. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12
，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．
答案：x 24＋y 2
3
＝1 解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝16，∴2a ＝4，即a ＝2.∵e ＝c a ＝12.∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23
＝1. 6. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202
＋y 20≤1，则PF 1＋PF 2的取值范围为________．
答案：[2，22]
解析：当P 在原点处时，PF 1＋PF 2取得最小值2；当P 在椭圆上时，PF 1＋PF 2取得最大值22，故PF 1＋PF 2的取值范围为[2，22]．
7. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC
面积的最大值为________． 答案： 2
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，
得3x 2＝2， ∴ x ＝±63，∴ A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63
，－63，∴ AB ＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·|sin (θ－φ)|≤32
，∴ S △ABC ＝12AB ·d ≤12×433×32
＝ 2. 8. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24
＝1的交点个数为________个．
答案：2
解析：由题意得4m 2＋n
2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部． 9. 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 直线y ＝33
x ＋1与椭圆交于P 、N 两点，求|PN|. 解：(1) 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，右焦点F 为(
c ，0)，则|c ＋22|2
＝3，解得c ＝ 2.又b ＝1，∴a ＝ 3.∴椭圆方程为x 23
＋y 2＝1. (2) 设直线与椭圆的交点为P(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则⎩
⎨⎧y ＝33x ＋1，x 23
＋y 2＝1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝0.
∴直线与椭圆的交点为P(0，1)、N(－3，0)，∴|PN|＝（3）2＋12＝2. 10. 已知圆C 的圆心为C(m ，0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3，1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点． (1) 求圆C 的标准方程；
(2) 若点P 的坐标为(4，4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D 、B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．
解：(1) 由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，
将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，
即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴ m ＜3，∴ m ＝1. ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5.
(2) 直线PF 1能与圆C 相切，
依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，
若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.
∴ 4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12
. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611
，不合题意，舍去． 当k ＝12
时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4，0)，F 2(4，0)．
∴ 由椭圆的定义得：
2a ＝AF 1＋AF 2＝（3＋4）2＋12＋（3－4）2＋12＝52＋2＝6 2.
∴ a ＝32，即a 2＝18，∴ e ＝432
＝223＞12，满足题意． 故直线PF 1能与圆C 相切．
直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 2
2
＝1.设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213
， 故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝241013
. 11. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32
，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；
(3) 设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR·OS 为定值．
(1) 解：依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴ c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2) 解：易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0.
由于点M 在椭圆C 上，∴ y 21＝1－x 214
.(*) 由已知T(－2，0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，
∴ TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)
＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3
＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值－15
. 把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35
，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35. 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.
故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝
1325
. (3) 证明：设P(x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1
(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1
， 同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1
， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21
.(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，
代入(**)式，
得x R ·x S ＝4（1－y 21）（y 20－4）（1－y 20）y 21y 20－y 21
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以OR·OS ＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。