等比数列的定义和通项公式
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列的概念和通项公式
，q= ，q=
. .
那么这个数列一定是等比数列吗？
当a, q其中有一个为 0时， 这个数列就不是等比数 列
课1.等时比小数结列定义：
an1 an
q, (q
0, n N *)
an q, (q 0.n 2, n N *) an1
2.等比数列通项公式：
an a1 qn1(a1 0, q 0)
(1)1,2,4,8,16, ,263 (2)5,25,125,625, (3)1, 1 , 1 , 1 ,
24 8
等1.比在数等列比 通项数公列 式运a用n：中
(1)a1 3, q 2, a6
(2)a44,q 91 3,a1
(3)a3 20, a6 160, an
(4)a2 10, a3 20, a40
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
作业布置 ❖ 1.预习（1）什么是等比中项
❖
（2）类比等差数列的性质猜想等比数
列性质
❖ 2.课本p49习题1,2
❖符号表示为:an1 q, (q 0, n N * ) an an q, (q 0.n 2, n N * ) an1
练习1.判断下列数列是否是等比数列， 若是等比数列，则求出公比
(1)1,2,1,2,1
(2)1, 1 , 1 , 1 , 1 3 9 27 81
(3)2,1, 1 , 1 ,0 24
一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
如果是，它的首项和公比是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗？
如果是，它的首项和公比是多少？
❖等等比比数数列列的通通项项公公式式推导方法：
❖
累乘法
❖等比数列的通项公式：
an a1 qn1(a1 0, q 0)
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式等比数列是数学中一个重要的概念，其中每一项与前一项的比值保持不变。
在解决等比数列问题时，掌握通项公式是至关重要的。
本文将详细介绍等比数列的通项公式，并给出相关的例子进行解析。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中，每一项与前一项的比值都是固定的常数。
数列的通项公式可以通过等比数列的性质推导出来。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式可表示为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的通项公式推导接下来，我们通过一个简单的例子来推导等比数列的通项公式。
例1：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第10项的值。
解：根据等比数列的定义，我们可以得到：a₁ = 2, r = 3代入通项公式an = a₁ * r^(n-1)，则第10项的值为：a₁₀ = 2 * 3^(10-1) = 2 * 3^9通过计算，得到第10项的值为2 * 19683 = 39366。
三、等比数列的应用等比数列的通项公式在实际问题中有广泛的应用。
下面，我们通过一个实例来说明等比数列在日常生活中的应用。
例2：小明每天存钱，第一天存1元，之后每天存的金额是前一天的3倍，求30天内总共存了多少钱。
解：设第n天存的金额为an，根据题意，我们可以得到：a₁ = 1, r = 3代入通项公式an = a₁ * r^(n-1)，则第30天存的金额为：a₃₀ = 1 * 3^(30-1) = 1 * 3^29通过计算，得到第30天存的金额为1 * 3^29 = 1 * 594,914,763 = 594,914,763元。
因此，小明在30天内总共存了594,914,763元。
四、等比数列的性质除了通项公式，等比数列还具有以下几个重要的性质：1. 任意项与其后第n项的比值为r^(n-1)。
2. 任意项与其前第n项的比值为r^(1-n)。
3. 任意连续两项的比值为相同的常数r。
4. 等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
等比数列的通项与公式
等比数列的通项与公式等比数列是数学中的一种重要数列，它的通项与公式在数学中有着广泛的应用和意义。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都相同，这个比值称为公比。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中的每一项与它前面的一项的比值相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则它的通项可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ为第n项，n为项数。
1. 公比的定义与性质在等比数列中，公比q是等于相邻两项的比值，即 q = aₙ / a(n-1)。
2. 通项的推导与性质通过观察等比数列中相邻两项的比值，可以得到通项的推导公式。
假设第n项为aₙ，前一项为a(n-1)，则有：q = aₙ / a(n-1) （1）根据等比数列的定义，还可以得到：aₙ = a(n-1) * q （2）将（2）式代入（1）式中，可以得到：q = (a(n-1) * q) / a(n-1)整理得到通项的公式：aₙ = a(n-1) * q^(n-1)二、等比数列的应用举例等比数列在数学中有着广泛的应用。
下面将通过一些具体例子来展示等比数列的应用。
1. 计算等比数列前n项的和对于等比数列，我们常常需要计算前n项的和。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有以下公式：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)这个公式可以帮助我们快速计算等比数列前n项的和。
2. 物质的倍增在一些自然和社会领域中，存在着物质的倍增问题。
比如，细菌的繁殖、人口增长等都可以看作是等比数列的应用。
在这些问题中，公比q常常表示倍增的比例。
三、等比数列的举例与求解下面通过一些具体的例子来展示等比数列的应用与求解过程。
例1：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第6项的值。
根据等比数列的通项公式可以得到：a₆ = a₁ * q^(6-1) = 2 * 3^(6-1) = 2 * 3^5 = 2 * 243 = 486所以第6项的值为486。
等比数列中的通项公式
等比数列中的通项公式等比数列指的是一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，通常用字母r来表示。
比如，一个等比数列的前三项为2、4、8，则公比为2，因为8/4=4/2=2。
等比数列广泛应用于物理、数学、金融等领域，因此求解等比数列中的通项公式也很重要。
1. 前置知识在求解等比数列中的通项公式之前，需要了解一些前置知识。
（1）等比数列的性质等比数列有以下性质：①前两项之比等于公比：a2/a1=r②第n项与第m项之比等于它们前面的项之比：an/am=an-1/an-2=……=a2/a1=r③包含第一项和第n项的公比是所有项之比的n-1次方：a1×an=a2×a3×a4×…×an-1×an=rn-1×a1×a1（2）指数的基本运算指数是数学中的重要概念，指数的基本运算包括指数与数字的乘法、加法、减法、除法等。
2. 等比数列中的通项公式求解等比数列中的通项公式为：an=a1×rn-1其中，an是第n项，a1是第一项，r是公比，n是项数。
假设知道等比数列的第一项a1、公比r，以及要求的第n项an。
要求这个等比数列中的通项公式。
可以通过以下方法进行求解：（1）使用性质③：a1×an=a2×a3×a4×...×an-1×an将右边等式的an-1×an用an-1/r来代替，得到：a1×an=a2×a3×a4×...×an-1×an-1/r×an拆分一下a2:a1×an=a1×r×a3×r×a4×r…×an-1×r^n-2×an两边同时除以a1r^n-1，得到：an=a1×r^n-1（2）使用指数运算法则：an=a1×r^(n-1)这种方法可以用于直接求解等比数列中的任意一项，但其中a1和r的值需要知道。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，它的每一项与前一项的比值都相等。
等比数列可以通过通项公式来表示，该公式能够直接计算出数列的任意项。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则数列的通项可以表示为an = a *r^(n-1)，其中an表示数列中的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的正负性：若公比r大于0且不等于1，则数列递增；若公比r小于0且不等于-1，则数列递减。
2. 公比的绝对值：若公比的绝对值|r|小于1，则数列递减趋于0；若公比的绝对值|r|大于1，则数列递增或递减趋于正负无穷。
3. 通项公式的推导：通过求解数列中的两个相邻项，可以得到通项公式。
假设第k项与第(k+1)项分别为ak和a(k+1)，则有ak * r = a(k+1)，可得到通项公式为an = a * r^(n-1)。
4. 等比数列的求和公式：由于等比数列的每一项与前一项的比值相等，可以使用求和公式来计算数列的和。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) /(1 - r)，其中n表示求和的项数。
三、应用例题例题1：求等比数列2，4，8，16，...的第8项和前8项的和。
解析：首先计算公比r，可通过相邻两项的比值来求解。
第二项4除以第一项2等于2，第三项8除以第二项4等于2，以此类推可以得到公比r=2。
利用通项公式an = a * r^(n-1)，可得到第8项a8 = 2 *2^(8-1) = 2 * 2^7 = 256。
其次，利用求和公式Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，代入首项a=2，公比r=2，项数n=8，可以得到前8项的和S8 = 2 * (1 - 2^8) / (1 - 2) = 2 * (1 - 256) / -1 = 510。
例题2：若等比数列的首项为3，第5项为48，求公比和前10项的和。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
等比数列的概念和通项
= q(n≥2)
a n = a 1q
(?) n-1
已知等比数列 {an } （1） 首项
思考:
a1 能否是零？其它项呢 为什么 能否是零？其它项呢?为什么 为什么?
能否是零？ （2）公比 能否是零？为什么 ）公比q能否是零 为什么? 公比q=1时是什么数列？ 时是什么数列？ 公比 时是什么数列 (3)奇数项 偶数项 的符号有什么特点 奇数项(偶数项 的符号有什么特点? 奇数项 偶数项)的符号有什么特点
(2)在数列{an }中，如果对于任意的正整数n(n ≥ 2)，都有
2 an = an −1 ⋅ an +1，那么数列{an }一定是等比数列吗？
等比数列的通项公式 如果一个数列 a , a , a , …，a , …， 1 2 3 n
是等比数列，它的公比是 ， 是等比数列，它的公比是q，那么
a2 = a1 ⋅ q a3 = a2 ⋅ q = a1 ⋅ q 2
如果在a与 中间入一个数 中间插入一个数G， 如果在 与b中间插入一个数 ，使a，G，b成等 ， ， 成等 比数列，那么G叫做 叫做a与 的等比中项。 比数列，那么 叫做 与b的等比中项。
G = ± ab
等比数列 {an }中：
性质 1： an = am q
n− m
，特别地， an = a1q 特别地
3. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q ≠ 1, 各项都是正数的等比数列{a }的公比 a1a5 + a1a6 a2=1，则 = a4 + a5
4. {an}是等比数列， an＞0， 2a4＋2a3a5＋a4a6 是等比数列， a 且
＝25 则 a3＋a5=
a a 满足： 例 4． 已知数列{an }满足： 1 = 1， n+1 = 2an + 1( n ∈ N * )
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比数列中任一项都不为0，且公比$q≠0$。
（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2、等比数列的通项公式（1）通项公式若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有：① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
（2）等比数列中项的正负对于等比数列${a_n}$，若$q<0$，则${a_n}$中正负项间隔出现，如数列1，-2，4，-8，16，$\cdots$；若$q>0$，则数列${a_n}$各项同号。
综上，等比数列奇数项必同号，偶数项也同号。
3、等比中项如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
理解等比数列的通项与求和公式
理解等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的通项公式和求和公式是解决等比数列问题的基本工具。
理解等比数列的通项与求和公式有助于我们更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列的每一项与它前一项的比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)其中aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。
公比r是一个常数，对于等比数列中的任意两项aₙ和aₙ₊₁，它们的比值都是r。
二、等比数列的通项公式推导为了更好地理解等比数列的通项公式，我们来推导一下。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们需要找出等比数列中的第n项aₙ与首项a₁和公比r之间的关系。
我们可以通过观察等比数列的性质得出以下结论：a₂ = a₁ * ra₃ = a₂ * r = a₁ * r * r = a₁ * r²a₄ = a₃ * r = a₁ * r² * r = a₁ * r³...可以看出，每一项都是前一项与公比r的乘积。
根据这个规律，我们可以推断出等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1) (n ≥ 1)三、等比数列的求和公式求和公式是用来计算等比数列所有项的和的公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n，那么等比数列的前n项和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r) (r ≠ 1)Sₙ = a₁ * n (r = 1)其中Sₙ表示等比数列的前n项和。
四、等比数列的应用举例现在我们通过一个具体的例子来应用等比数列的通项公式和求和公式。
例子：求等比数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第10项和前10项和。
首先确定等比数列的首项和公比，可以发现首项a₁为1，公比r为2。
根据等比数列的通项公式，可以计算出第10项的值：a₁₀ = 1 * 2^(10-1) = 1 * 2^9 = 512接下来，根据等比数列的求和公式，可以计算出前10项的和：S₁₀ = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 1 * (1 - 1024) / (1 - 2) = -1023所以，该等比数列的第10项为512，前10项的和为-1023。
等比数列通项公式
等比数列通项公式等比数列通项公式是指在一个等比数列中，可以用一个公式来表示任意项的值。
等比数列是指有如下特征的数列：每一项都是前一项的一个常数倍，或者说，每一项和它的前一项之比，都是一个常数。
也就是，a1, a2, a3, a4, ... an 的等比数列满足：a2/a1=a3/a2=a4/a3=...=an/an-1=q（q≠0 ），其中q为称为“公比”的常数。
例如，等比数列2,4,8,16,...的公比q=2，即a2/a1=a3/a2=a4/a3=...=an/an-1=2。
等比数列通项公式可以表示某等比数列中任意项的值，它可以写作：an=a1×qn-1，其中，an为第n项，a1为第一项，q为公比。
以上是等比数列通项公式的基本概念。
接下来，我们来看看如何使用这个公式来计算等比数列中任意项的值。
首先，我们需要找出等比数列中的第一项和公比，即a1和q。
比如，等比数列 2, 4, 8, 16, ...，我们可以很容易看出，第一项a1=2，公比q=2。
然后，我们可以使用等比数列通项公式来计算某一项的值，即an=a1×qn-1。
例如，计算第五项的值：an=a1×qn-1=2×25-1=32。
由此可见，等比数列的第五项的值是32。
以上就是等比数列通项公式的基本概念和使用方法。
它不仅可以用来计算任意项的值，而且还能够给我们提供对等比数列的一般性质的把握。
比如，等比数列的和可以用等比数列通项公式来计算：若sn为等比数列的前n项和，则sn=a1(1-qn)/(1-q)。
在实际应用中，等比数列通项公式还有其他用处，比如，它可以帮助我们计算复利、求解不定积分等问题。
总之，等比数列通项公式是一个非常有用的公式，它可以帮助我们更好地理解等比数列，并且可以用来解决实际问题。
高三数学等比数列的概念通项公式
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妹的饮食起居。正巧今天王爷过来的时候，韵音还没有走，因此又是韵音替惜月服侍咯爷衣帽、落座、奉茶等事宜。待他看过咯惜月，又像往 常那样，由韵音负责送他出门。王府的格局和园子正好相反！在王府里，惜月的院子居中，韵音和爷的院子分居两侧。因此壹出门，两各人又 撞到咯壹起，因为壹各准备送对方去书院办公，壹各准备送对方回院子休息。还好，这回只是面对面地小小地撞咯壹下，只是爷的脚踩咯壹下 韵音的脚，令她不由自主地弯下腰想去揉壹揉。可是她这壹弯腰，正好头就低到咯爷腰间的位置。不知道他的香囊中放的是啥啊香料，那味道， 壹各劲儿地直往韵音的鼻子里猛蹿。然后韵音就因为忍受不住香料的刺激，哇地吐咯出来。这壹吐可是壹发不可收拾，半天都没有止住，可是 把王爷给吓坏咯：他们两各人只是不小心撞咯壹下，上次把鼻子撞得流咯血，这次又把胃给撞得呕吐不止，韵音怎么永远都是这么走背运？待 她稍微缓过来壹些，王爷直接将她抱回咯她的院子，弄得韵音内疚不已：“爷，本来妾身是应该送您的，怎么又变成您送妾身咯？”“本来就 是应该爷来送你！你还总跟爷抢，哪壹回你抢到便宜咯？”进咯房里，他将韵音放到床上，众人又是壹通紧张地忙碌。待收拾完毕，他走到床 边再来看看她。韵音此时正半靠在床头，因此王爷走过来的时候，那香囊又正正好地飘过她的眼前，韵音简直就是不受控制地“哇”地壹声。 他赶快壹把将她扶住，她却是吐咯半天再也吐不出来啥啊东西。碧荷也赶快递过来热巾，而此时的韵音已经呕得眼泪不停地流淌。待她终于稳 住咯气息，抬起头来，正对上他探寻的目光。在他眼中的韵音，有点儿慌张，有点儿犹豫，有点儿喜悦，有点儿惊讶。而他的心情却全都是喜 悦！好事成双，喜上加喜，喜事连连，他怎么可能不喜出望外、欣喜若狂？更何况他的子嗣壹直都是这么的单薄，假如说惜月的孕事带给他的 是壹线希望，那么韵音的喜讯带给他的则是双重保险。“有咯身子，怎么还总去照顾惜月？”“爷，妾身也是刚刚才发觉，以前没 有……”“好咯，以后别再照顾别人咯，先照顾好自己吧。”“是的，爷。”韵音的好消息，用充分的事实证明咯壹各真理：子嗣不旺，不是 老天爷不照顾他，而是他自己不够努力。只是，不对他的心思，他真不想强迫自己去上哪各诸人的床。以前不会，将来也不会。第壹卷 第 179章 反响 韵音的好消息，在这壹贯死气沉沉的王府里简直就是壹石激起咯千层浪，震惊程度绝不亚于众人初次见到新娶进府里来的天仙般 的冰凝妹妹。韵音可是惜月的好姐妹，惜月这么精明的人居然都能被她偷袭成功，众人都在兴致勃勃地等着看惜月与韵音，这壹对昔日亲如
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n mn m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na =（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
等比数列概念、通项公式与求和
等比数列概念、性质与求和【知识梳理】一、等比数列的定义1、文字语言：_______________________________________________________________.2、符号语言：_______________________________________________________________.3、等比中项概念：___________________________________________________________. 二、等比数列的通项公式 1、通项公式的推导过程（累．乘．法．） 2、常见的等比数列的通项公式 ①11n n a a q-=⋅；②n mn m a a q-=⋅.三、等比数列的前n 项和1、等比数列的求和公式的推导方法（错位．．相．减．法．）2、常见的等比数列的前n 项和公式 ①()11n S na q ==； ②()()111,01n n a q S q q q-=≠≠-；③()11,01n n a a qS q q q-=≠≠-；④n n S mq m =-（其中1,0q q ≠≠）；⑤m n m n m n n m S S S q S S q +=+=+. 四、等比数列的基本量之间的运算关系称首项．．1a 、公．比．q 、项数．．n 、第．n 项．n a ，前．n 项和．．n S 等五个量．．．为等比数列的基本量.五个量中只要知道其中的三个就可以求出另外两个量，即“知三求二．．．．”. 五、等比数列的项值符号与单调性 数列{}n a 为等比数列，公比为q ，①等比数列{}n a 的奇数项符号相同，偶数项符号也相同，相邻两项的符号可能不同； ②若101a q >⎧⎨>⎩，则{}n a 为单调递增数列；若1001a q >⎧⎨<<⎩，则{}n a 为单调递减数列；③若101a q <⎧⎨>⎩，则{}n a 为单调递减数列；若1001a q <⎧⎨<<⎩，则{}n a 为单调递增数列；④若100a q >⎧⎨>⎩，则{}n a 各项均为正值；若10a q >⎧⎨<⎩，则{}n a 中奇数项为正值，偶数项为负值；⑤若100a q <⎧⎨>⎩，则{}n a 各项均为负值；若100a q <⎧⎨<⎩，则{}n a 中奇数项为负值，偶数项为正值.六、等比数列的性质1、若m n p q +=+，则()*,,,m n p q a a a a m n p q N ⋅=⋅∈.推广：若1212n n b b b c c c +++=+++，则1212n n b b b c c c a a a a a a ⋅=⋅（其中*1212,,,,,,,n n b b b c c c N ∈）2、等比数列的生成数列①等比数列{}n a 中每隔k 项取出一项，取出的数按照原先的顺序排成一列构成的新数列：2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++依然为等比数列；②数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 也为等比数列，则{}{}{},,,,k n n n n n n n a k k a a a b a b ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭也为等比数列；③数列{}n a 为等比数列，且0n a >，则数列{}lg n a 必为等差数列；④等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为()0n n S S ≠，则232,,,n n n n n S S S S S --也为等比数列，且公比为n q . 七、等比数列的充要条件 数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 ①数列{}n a 为等比数列⇔()*1N n na q n a +=∈（或()12n n a q n a -=≥）； ②数列{}n a 为等比数列⇔()112n nn n a a n a a +-=≥； ③数列{}n a 为等比数列，且公比不为1⇔n n S m q m =⋅-；（m ，q 为常数，且0m q ⋅≠）；④数列{}n a 为等比数列⇔n n a c q =⋅（其中,c q 为常数，,0c q ≠，且q 为公比）. 八、等比数列的证明方法1、定义法：证明数列{}n a 为等比数列，只需证明1n na q a +=（或()12n n a q n a -=≥）.2、等比中项法：证明数列{}n a 为等比数列，只需证明()112n n n n a a n a a +-=≥.【典型例题】 例1、求解下列问题 （1）“2b a c =”是“,,a b c 为等比数列”的__________条件.（2）已知0a >，0b >，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则a b ⋅与A G ⋅的大小关系是( ) A ．ab AG = B ．ab AG ≥ C ．ab AG ≤ D ．不能确定（3）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比，，设2193a a P q +=≠Q =P 与Q 的大小关系是__________.（4）已知各项为正数的等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a使得1=，则14m n+的最小值为__________.（5）数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -=__________.（6）一直角三角形的三边长成等比数列，则（ ）A .三边长之比为3:4:5B .三边长之比为C .D .（1） 正项等比数列{}n a 中，且123430,120a a a a +=+=，则56a a +=_________.（2） 设公比为2-的等比数列，若149750a a a ++⋅⋅⋅+=，则3699a a a a +++⋅⋅⋅+=____.（3） 若数列{}n a 是等比数列，且7126a a ⋅=，则891011a a a a ⋅⋅⋅=_________.（4） 等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且251,,a a a成等比数列，则1392411a a a a a a ++=++_________.例3、求解下列问题（1）【2014广东】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_________.（2）若数列{}n a 的前项和13n n S a -=+，则a =________时，数列{}n a 为等比数列.（3）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若634S S =，则612SS =________.（1）关于数列有下列四个判断：①若d c b a ,,,成等比数列，则d c c b b a +++,,也成等比数列； ②若数列{}n a 既是等差数列也是等比数列，则{}n a 为常数列；③数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(1R a a S n n ∈-=，则{}n a 为等差或等比数列； ④数列{}n a 为等差数列，且公差不为零，则数列{}n a 中不会有)(n m a a n m ≠=， 其中正确判断的序号是__________.（2）已知{}n a 是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ）①{}2n a 也是等比数列；②{}()0n ca c ≠也是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列；④{}ln n a 也是等比数列.（3）由9个互不相等的正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列 ③12322123a a a a +>+ ④若9个数之和等于9，则221a < A .4个 B .3个 C .2个 D .1个（4）已知{}n a 的前n 项和n S 满足：n n S Aa B =+（A B 、为常数），试探究当实数A B 、满足何条件时n n S Aa B =+是{}n a 为等比数列的充要条件.（1）已知数列{}n a 满足：12a =，()2*11N n n n a a na n +=-+∈，证明：{}n a 为等差数列；（2）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()112n n n S a a n --=-≥，求证：{}n a 为等比数列.例6、数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，113n n a S +=()*N n ∈，求： （1）数列{}n a 的通项公式；（2）计算：2462n a a a a ++++…的值.例7、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且()*1121,N n n n a a S n n ++==∈.证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列并求{}n a 的通项公式.例8、已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且211=a ，n n a nn a 211+=+ （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列； （2）求通项n a 与前n 项的和n S ；（3）设()()*2N n n b n S n =-∈若集合{}*,N n M n b n λ=≥∈恰有4个元素，求实数λ的取值范围.例9、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式12226log (1)35n n n b b b x +++++>+对任意不小于．．．2．的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．例10、求解下列问题（1）等差数列{}n a 中，公差为d ，前n 项和n S ，前m 项和m S ，则m n n m S S S m n d +=++. 证明过程如下：()121212m n m n n n n n m S a a a a a a a a a +++++=+++=+++++++()()()()1212m n n n n n m n m S S a a a S a nd a nd a nd ++++=++++=+++++++()12m n n n n n m n m S S a a a S S mnd ++++=++++=++类比上述过程，等比数列{}n b 中，公比为q ，前n 项和n T ，前m 项和m T ，则m n T +=__________．（2）在等差数列{}n a 中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将1()2n n n a a S +=整理为11122n n S a a n =+后可知：点111,1S P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2S P a ⎛⎫⎪⎝⎭，333,3S P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，,n n n S P a n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…()*N n ∈都在直线11122y x a =+上，类似的，若{}n a 是首项为1a ，公比为(1)q q ≠的等比数列，则点111(,)P a S ，222(,)P a S ，…，(,)n n n P a S ()*Nn ∈在直线__________________上.（3）若等差数列{}n a 中，有121(1)2n n n da a a na -++⋅⋅⋅+=+成立，类比等差数列此性质，则在等比数列{}n b 中，有________________________.（4）若数列{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，则{},,nn n S b n N b n*=∈也是等差数列，类比以上性质，等比数列{}*,0,N n n c c n >∈，则n d =__________，{}n d 也是等比数列.（5）已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=，则在等比数列{}n b 中，会有类似的结论__________________.（6）对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，10a =，s t 、是互不相等的正整数，则有(1)(1)0t s s a t a ---=”.类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是__________________.（7）若等差数列{}n a 中，有()m n m n m n a ma na +-=-成立，类比等差数列此性质，则在等比数列{}n b 中，有______________________________.（8）在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -+++=+++成立，其中*19,N n n <∈，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若91b =，则有等式__________________________成立.（9）已知数列{}n a 为等差数列，且,()m k a a a b m k ==≠，则m k bk ama k m+-=-；若数列{}n b 为等比数列，且,()m k b a b b m k ==≠，类比等差数列的结果，m k b +=__________________.例11、已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ，将集合A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n d ． （1）求数列{}n d 的通项公式； （2）求数列}{n c 的前n 项的和n S ．例12、学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样特色菜可供选择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20%改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30%改选A ，若用n A ，n B 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数. （1）试以n A 表示1n A +；（2）若1200A =，求{}n A 的通项公式；（3）问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？例13、已知数集{}()()1212,,,12n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：11a =，且1211112nn n a a a a a a a ---+++=+++；（3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.。
等比数列的概念和通项公式17页PPT
(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的 数通 列项公式
为an 32n,求首a1和 项公q比
补补充充为 思 12..an考 在 在等 等a： 比 比qn数 数,如 其 列 列{{果 中 aaann,q}}都 一 中中aaannn是 个 的 ==222n3不 数 通 -1n0，，的 则则为 列 项a常 a11==公数式，， ，qq==
. .
那么这个数列比 一数 定列 是吗 等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要 求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗 麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推， 每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满 足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数 还列 是等比数列吗？ 如果是，它的首项和 比公 是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗
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解：因为 an a1qn1，所以 162 2 3n1,
所以n 5
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
类比小结 名 称 等差数列 等比数列 如果一个数列从第2项 如果一个数列从第 2 起，每一项与前一项 项起，每一项与它前 的差等于同一个常数，一项的比都等于同一 那么这个数列叫做等 个 常 数 , 那 么 这 个 数 差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这 等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列 的公比，用q表示 表示
定 义
数学式 子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
an1 q an
an a1q
n1
通项公式
谢谢大家！
等比数列的概念和通项公式
情境1
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木棒，每日取其一 半，永远也取不完” 。 1 1 1 1 1， ， ， ， ， „ 2 4 8 16
情境2
某种细胞，如果1个细胞每分钟分裂为2个，那么 每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
1,2,4,8,16,
问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？ 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的 比 等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫 做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
(q≠0）
其数学表达式
(判断一1
an1 * q(n N ) an
an 0
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与 前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是 同一个常数并且公比q ≠0 。 3. 等比数列的每一项都不能为0（an 0）
练习：判断下列数列是否是等比数列， 是等比数列的求出公比。 (1)1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… √ q=-1/3 (2)1, 2, 4, 8, 12,16,20, … × (3)1，1，1，… ，1 √ q=1 (4)a，a，a，…，a
不一定，当a≠0时是等比数列，q=1； 当a=0时非等比数列。
等比数列的通项公式
已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an
a2 q a2 a1q a1 a3 q a3 a2q a3 a1q2 a2 a4 q a4 a3q a4 a1q3 a3
……
an q an an1
an1q an a1qn1
等比数列的通项公式
an a1q
n1
练习：在等比数列{an}中：
1 (1)已知 a1 3, q , 求a5 2 n1 解：因为 an a1q ， 1 4 3 51 所以 a5 a1q 3 ( ) ， 2 16 (2)已知a1 2, q 3, an 162 , 求n