2019版九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第1课时教学课件(新版)北师大版
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计1
湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.2《二次函数的图象与性质》是本册的重点章节，主要让学生掌握二次函数的图象与性质，为后续学习打下基础。
本节内容主要包括：二次函数的图象、顶点坐标、开口大小、对称轴等概念，以及二次函数的性质。
通过本节内容的学习，学生能更好地理解二次函数的本质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了二次函数的定义、标准式、配方法等基本知识。
但对学生来说，二次函数的图象与性质较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，掌握二次函数的图象与性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的图象与性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。
2.难点：二次函数的图象与性质的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识二次函数的图象与性质。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考，发现二次函数的图象与性质。
3.小组合作学习：培养学生团队协作精神，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动、形象的课件，帮助学生理解二次函数的图象与性质。
2.教学素材：准备相关的生活实例，便于引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.练习题：设计具有一定难度的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线运动、几何图形的面积等，引导学生回顾二次函数的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象与性质的课件，让学生直观地了解二次函数的图象与性质。
同时，引导学生观察、思考，发现二次函数的图象与性质之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
北师大版九下数学第2章 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2与y=-x2的图象与性质【习题课件】
整合方法
11．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值． 解：根据题意有mm＋ 2＋24≠m0＋，5＝2. 解得mm≠ ＝－ －23， 或m＝－1. 即当m＝－3或m＝－1时，函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5 是关于x的二次函数．
整合方法
BS版 九年级下
第2章 二次函数
2 二次函数的图像与性质
第1课时 二次函数y＝x2与y＝－x2的 图象与性质
夯实基础
1．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边 长x(cm)的函数关系图象为( C )
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数表达式 为y＝x2，又x＞0，故选C.
夯实基础
探究培优
解：存在．当 OA＝AP 时，点 P 的坐标为(2，0)；当 OA＝OP 时，点 P 的坐标为( 2，0)或(－ 2，0)；当 OP＝AP 时，点 P 的坐标为(1，0)．
探究培优
14．有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放 在平面直角坐标系中，其函数表达式为y＝－x2. (1)求城门洞最宽处AB的长； 解：因为点O到AB的距离为4 m，所以A，B两点的 纵坐标都为－4，由－4＝－x2，得x＝±2.又点A在点 B的左侧，所以点A的坐标为(－2，－4)，点B的坐标 为(2，－4)．所以AB＝4 m．即城门洞最宽处AB的长 为4 m.
整合方法
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:存在．联立方程组 yy＝ ＝－ 3x－x2，10，解得yx＝＝－－255，或xy＝＝－2，4. 则另一个交点的坐标为(－5，－25)．
探究培优
13．已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上． (1)求点A的坐标． 解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2， 得a＝1，所以点A的坐标为(1，1)． (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【冀教版】2019年春九年级数学下册优秀教案30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
30.2 二次函数的图像和性质第 1 课时 二次函数 y=ax2 的图像和性质1．会用描点法画出 y＝ax 的图像，理解抛物线的概念． 2 2．掌握形如 y＝ax 的二次函数图像和性质，并会应用．2一、情境导入 1 2 自由落体公式 h＝ gt (g 为常量)，h 与 t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？ 2二、合作探究 2 探究点一：二次函数 y＝ax 的图像 【类型一】图像的识别 2 已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax 的图像有可能是()解析：本题进行分类讨论：(1)当 a＞0 时，函数 y＝ax 的图像开口向上，函数 y＝ax 图像经过一、三象 2 限，故排除选项 B；(2)当 a＜0 时，函数 y＝ax 的图像开口向下，函数 y＝ax 图像经过二、四象限，故排除 2 选项 D；又因为在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax 的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择 C. 方法总结：分 a＞0 与 a＜0 两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法” ． 【类型二】实际问题中图像的识别 1 2 已知 h 关于 t 的函数关系式为 h＝ gt (g 为正常数，t 为时间)，则函数图像为( 2 )21 2 1 2 解析：根据 h 关于 t 的函数关系式为 h＝ gt ，其中 g 为正常数，t 为时间，因此函数 h＝ gt 图像是受 2 2 一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选 A. 方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义． 2 探究点二：二次函数 y＝ax 的性质 【类型一】利用图像判断二次函数的增减性 2 作出函数 y＝－x 的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题： (1)在 y 轴左侧图像上任取两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，使 x2<x1<0，试比较 y1 与 y2 的大小；(2)在 y 轴右侧图像上任取两点 C(x3，y3)，D(x4，y4)，使 x3＞x4＞0，试比较 y3 与 y4 的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？ 解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法． 解：(1)图像如图所示，由图像可知 y1＞y2，(2)由图像可知 y3<y4；(3)在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大， 在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观 察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】二次函数的图像与性质的综合题 2 已知函数 y＝(m＋3)xm ＋3m－2 是关于 x 的二次函数． (1)求 m 的值； (2)当 m 为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当 m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． m ＋3m－2＝2， 解析：(1)由二次函数的定义可得 故可求 m 的值． m＋3≠0， 2(2)图像的开口向下，则 m＋3＜0； (3)函数有最小值，则 m＋3＞0； (4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 解： (1)根据题意， 得m ＋3m－2＝2， m＋3≠0，2解得m1＝－4，m2＝1， m≠－3.∴当 m＝－4 或 m＝1 时， 原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当 m＝－4 时，该函数图像的开口向下． (3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当 m＝1 时，原函数有最小值． 2 (4)当 m＝－4 时，此函数为 y＝－x ，开口向下，对称轴为 y 轴，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小． 2 当 m＝1 时，此函数为 y＝4x ，开口向上，对称轴为 y 轴，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大． 方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当 a＞0 时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值； 当 a＜0 时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两 方面的因素，因此最好画图观察． 2 探究点三：确定二次函数 y＝ax 的表达式 2 【类型一】利用图像确定 y＝ax 的解析式 2 一个二次函数 y＝ax (a≠0)的图像经过点 A(2，－2)关于坐标轴的对称点 B，求其关系式． 解析：坐标轴包含 x 轴和 y 轴，故点 A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点 A(2， －2)关于 x 轴的对称点 B1(2，2)，点 A(2，－2)关于 y 轴的对称点 B2(－2，－2)． 2 解：∵点 B 与点 A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当 y＝ax 的图像经过点 B1(2， 1 1 2 1 2 2 2 2)时，2＝a×2 ，∴a＝ ，∴y＝ x ；当 y＝ax 的图像经过点 B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2) ，∴a＝－ ， 2 2 21 2 1 2 1 2 ∴y＝－ x .∴二次函数的关系式为 y＝ x 或 y＝－ x . 2 2 2 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答 案． 2 【类型二】二次函数 y＝ax 的图像与几何图形的综合应用 2 已知二次函数 y＝ax (a≠0)与直线 y＝2x－3 相交于点 A(1，b)，求： (1)a，b 的值； 2 (2)函数 y＝ax 的图像的顶点 M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标． 2 解析：直线与函数 y＝ax 的图像交点坐标可利用方程求解． 2 解：(1)∵点 A(1，b)是直线与函数 y＝ax 图像的交点，∴点 A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴ b＝a×1 ， a＝－1， ∴ b＝2×1－3， b＝－1. 2(2)由(1)知二次函数为 y＝－x ，顶点 M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x ＝2x－3，解得 x1＝1，x2 ＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标为(－3，－9)． 2 【类型三】二次函数 y＝ax 的实际应用 如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离 OM 为 3m，跨度 AB＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长 3m，宽 2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最 高可堆放多少米？22解析：可令 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关 2 系式为 y＝ax .由题意可得 B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线 的函数关系式去探究其他问题． 解：(1)以 O 点为坐标原点，平行于线段 AB 的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线 1 2 2 的函数关系式为 y＝ax .由题意可得 B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×3 ，解得 a＝－ ，∴抛物线的函数关系 3 1 2 式为 y＝－ x . 3 1 1 1 8 2 (2)当 x＝1 时，y＝－ ×1 ＝－ .∵OM＝3，∴木板最高可堆放 3－ ＝ (米)． 3 3 3 3 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2 的图像与性质，体会数学建模的 数形结合的思想方法.。
人教版初三数学教案 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .2.会熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴.重点：能够熟练地求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 难点：会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .自主学习一、知识链接1.说说函数y =a (x －h )2+k 图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.2.将下列式子因式分解：（1）a 2+2ab +b 2=____________; (2)a 2-2ab +b 2=____________.课堂探究二、要点探究探究点1：将一般式y =ax 2+bx +c 化成顶点式y =a (x －h )2+k问题 怎样将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式？填一填（1）x 2-12x +36=_____________; （2）x 2-12x =_____________ .想一想（1）请将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式，并说一说配方的方法及步骤；（2）如何用配方法将一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)化成顶点式y =a (x －h )2+k ？练一练将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y =a (x -h )2+k 的形式，并指出其顶点坐标． （1）y =x 2-2x +1； （2）y =2x 2-4x +6．探究点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质问题1 你能说出21632y x 的对称轴和顶点坐标吗？问题2 二次函数21632y x 可以看作是由212y x 怎样平移得到的？问题3 如何画二次函数216212y x x =-+的图象？问题4 结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.要点归纳：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 可以通过配方化成y =a (x -h )2+k 的形式，即y =ax 2+bx +c =______________;因此，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标是：______________; 对称轴是：直线______________;如果a >0，当x < _________时，y 随x 的增大而减小；当x > _________时，y 随x 的增大而增大.如果a <0，当x <________时，y 随x 的增大而增大；当x >_________时，y 随x 的增大而减小.例1 画出函数2241y x x =--+的图象，并说明这个函数具有哪些性质.练一练 已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．（1）将y ＝x 2﹣6x +5化成y =a (x -h )2+k 的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．探究点3：二次函数字母系数与图象的关系问题1 一次函数y =kx +b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.k10，b10；k20，b20；k30，b30.问题2 二次函数2y ax bx c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.a10，b10，c10；a20，b20，c20；a30，b30，c30；a40，b40，c40；例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4三、课堂小结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质顶点式配方法或公式法→224()24b ac by a xa a顶点坐标：24()24b ac ba a，对称轴：2bxa图象与a、b、c的关系a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.当堂检测1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x =52C.直线x =2 D .直线x =322.已知二次函数y =－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．b ≥－1 B ．b ≤－1 C ．b ≥1 D ．b ≤13.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a 、b 同号；(2) 当x =－1和x =3时，函数值相等； (3) 4a +b =0；(4) 当y =－2时，x 的值只能取0； 其中正确的是 .4.已知抛物线y =2x 2-12x +13.（1）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （2）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.5.已知二次函数y =x 2-4x -1． （1）将函数y =x 2-4x -1的解析式化为y =a (x +m )2+k 的形式，并指出该函数图象顶点B 的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y =x 2-4x -1与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．x －1 0 1 2 3 y51－1－11。
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象与性质课件 (新版
K12课件
16
K12课件
12
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
解：(1)图略．把点(2，n)代入 y＝－x2 中，得 n＝－22， ∴n＝－4.把点(2，－4)代入 y＝3x＋m 中， 得－4＝3×2＋m，∴m＝－10. (2)由题意，得yy＝＝－3xx－2，10，解得xy＝ ＝2－，4或xy＝ ＝－ －52， 5. ∴抛物线 y＝－x2 与直线 y＝3x＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
K12课件
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第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( D ) A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称， 又关于原点对称 C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 D．点A(－3，9)既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达 式所组成的方程组的解的个数．
K12课件
13
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
素养提升
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0， B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)， 则△A2018B2017B2018的腰长等于__2_0_1_8___2 __．
[解析] ∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称 性可知，点B的横坐标为3.当x＝3时，y＝x2＝32＝9， ∴直线AB的表达式为y＝9.
K12课件
图K－9－2
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第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
【核心素养】北师大版九年级数学下册2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 教案
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质教学内容第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质课时1核心素养目标1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.3.经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.知识目标1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；2.通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．教学重点会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念教学难点通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？①一次函数y = kx + b (k≠0)2. 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数y=x2和y= -x2的图象和性质合作探究你会用描点法画二次函数y = x2的图象吗?师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接.1.列表：在y = x2中自变量x可以是任意实数，设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维. 体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识的理解，充分调动学生学习的积极性.设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究函数性质的经验.设计意图：类比研究y=x2图形性质的方法研究y= －x2的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系，同时体会这两个图象是关于中列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．观察思考问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y = x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0，0).问题3 当x < 0 时，随着x值的增大，y值如何变化？当x > 0 时呢？当x < 0 时，y随x的增大而减小；当x > 0 时，y随x的增大而增大.问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x = 0 时，y min= 0.问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案.合作探究做一做：画出函数y = －x2的图象，并仿照y = x2的性质说出y = －x2有哪些性质？师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然心对称.设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点.设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解.设计意图：让学生自主探究，培养自主学习、独立思考的习惯，加深对二次函数的性质的理解，培养数形结合思想.设计意图：考查学生对二次函数图象的性质的掌握.设计意图：考查学生求解二次函数的表达式和画图的能力.后小组讨论、交流得出答案.1.图象是一条开口向下的抛物线.2. 当x < 0 时，y随x的增大而增大；当x > 0 时，y随x的增大而减小；当x = 0 时，ymax = 0.3.抛物线关于y轴对称.4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.要点归纳典例精析例1若点A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y2＞y1___.例1变式若点A(-1，y1)，B(2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y1＞y2___.师生活动：学生独立思考并作答.例2已知：如图，直线y＝3x＋4 与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．师生活动：学生独立思考并作答，选一名学生板书.教师巡视.三、当堂练习，巩固所学1. 两条抛物线y = x2与y = -x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A. 顶点坐标均为(0，0)B. 对称轴均为x = 0C. 开口都向上第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质。
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
一、教学目标
1. 知识目标：理解并掌握二次函数的概念、图像及其性质。
2. 技能目标：能够通过描点法绘制二次函数图像，通过观察图像判断函数的性质。
3. 情感态度价值观目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣。
二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握二次函数的图像和性质。
2. 教学难点：通过图像理解和应用二次函数的性质。
三、教学方法
采用启发式教学法、讲授法和实践操作法相结合的方式进行教学。
四、教学过程
1. 导入新课：通过复习一次函数的知识，引导学生思考如何将一次函数推广到二次函数，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：
(1) 二次函数的概念和表达式；
(2) 二次函数的图像：a>0, a=0, a<0三种情况下的图像特征；
(3) 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向等。
3. 实践操作：让学生分组合作，通过描点法绘制不同类型的二次函数图像，并讨论其性质。
4. 总结反馈：教师总结本节课的主要内容，对学生的表现进行反馈。
五、作业布置
设计一些习题，包括画图题和计算题，以帮助学生巩固所学知识。
六、教学反思
在教学结束后，反思本节课的教学效果，找出存在的问题，以便改进。
九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象
课时作业(九)[第二章 2 第1课时 二次函数y ＝±x 2的图象与性质]一、选择题1．下列关于二次函数y ＝x 2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的有()A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．下列函数中，当x >0时，y 的值随x 值的增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x3．下列关于抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2的异同点说法错误的是( )A ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2有共同的顶点和对称轴B ．在同一直角坐标系中，抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2既关于x 轴对称，又关于原点对称C ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2的开口方向相反D ．点A (－3，9)既在抛物线y ＝x 2上，也在抛物线y ＝－x 2上4．二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝－x －1在同一直角坐标系中的图象大致为( )图K －9－15．已知a ＜－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)，(a ＋1，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( ) 链接听课例2归纳总结A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 3 二、填空题6．函数y ＝x 2的图象的顶点坐标为________，若点(a ，4)在该函数图象上，则a 的值是________．7．如图K －9－2，A ，B 分别为抛物线y ＝x 2上的两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB ＝6，则直线AB 的表达式为________．图K －9－28．如图K －9－3，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O 处，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值；(2)抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，A n在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，B n在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B ①②③④正确． 2．[答案] D3．[解析] D 点A (－3，9)在抛物线y ＝x 2上，但不在抛物线y ＝－x 2上．故选D.4．[解析] D y ＝x 2中a ＝1＞0，图象开口向上，在第一、二象限；y ＝－x －1中，k ＝－1＜0，图象经过第二、四象限，b ＝－1＜0，图象与y 轴交于负半轴，所以直线经过第二、三、四象限．故选D.5．[答案] C6．[答案] (0，0) ±2[解析] 若点(a ，4)在函数y ＝x 2的图象上，则a 2＝4，a ＝±2. 7．[答案] y ＝9[解析] ∵线段AB ⊥y 轴，且AB ＝6，∴由抛物线的对称性可知，点B 的横坐标为3.当x ＝3时，y ＝x 2＝32＝9，∴直线AB 的表达式为y ＝9.8．[答案] 2[解析] 根据图示及抛物线、正方形的性质，得S 阴影＝12S 正方形＝12×2×2＝2.9．解：(1)图略．把点(2，n )代入y ＝－x 2中，得n ＝－22，∴n ＝－4.把点(2，－4)代入y ＝3x ＋m 中，得－4＝3×2＋m ，∴m ＝－10.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －10，y ＝－x 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－25.∴抛物线y ＝－x 2与直线y ＝3x ＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达式所组成的方程组的解的个数．[素养提升][答案] 2018 2[解析] 作A 1C ⊥y 轴，A 2E ⊥y 轴，A 1D ⊥x 轴，A 2F ⊥x 轴，垂足分别为C ，E ，D ，F .∵△A 1B 0B 1，△A 2B 1B 2都是等腰直角三角形，∴B 1C ＝B 0C ＝DB 0＝A 1D ，B 2E ＝B 1E ，设A 1(a ，a )．将点A 1的坐标代入表达式y ＝x 2，得a ＝a 2，解得a ＝0(不符合题意，舍去)或a ＝1.由勾股定理，得A1B0＝ 2.则B1B0＝2.过点B1作B1N⊥A2F于点N，设点A2(x2，y2)，可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又点A2在抛物线上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22，解得x2＝2或x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2 2，同理可得：A3B2＝3 2，A4B3＝4 2，…，∴A2018B2017＝2018 2，∴△A2018B2017B2018的腰长为2018 2.。
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象 限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函 数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛 物线的函数表达式为 y＝x2＋4
22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教
2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．重点理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．难点比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．一、复习导入1．二次函数的定义是什么？2．一次函数的图象是什么？性质是什么？3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？4．画函数的图象有哪些步骤？教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．二、探究新知1．画二次函数y＝x2的图象引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．2．二次函数y＝x2的图象的性质问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．问题5：你能描述图象的形状吗？处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答．在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x ＝ 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据．第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上．如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子．3．二次函数y＝－x2的图象与性质问题1：回顾一下画二次函数y＝x2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？问题2：二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象．问题3：类比研究y＝x2的图象的方式，请回答：(1)你能描述y＝－x2的图象的形状吗？开口方向呢？(2)y＝－x2的图象的顶点坐标是什么？(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？(4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(5)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：①列表的选点的对称性；②描点的准确性；③连线的平滑性．如果学生回答不全，教师可适当提示或补充．再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图．学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示．最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答．三、举例分析例1 (1)点A(2，4)在二次函数y＝x2的图象上吗？(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；(3)点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？在二次函数y＝－x2的图象上吗？例2 比较y＝x2与y＝－x2的图象有什么关系？处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论．学生可以有不同说法，只要意思正确即可．教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导．四、练习巩固1．在函数y＝x2上有两点(－1，y1)，(－3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是( ) A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞02．如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，AD∥x轴，抛物线y ＝x2和y＝－x2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为________．3．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；(2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2.五、课堂小结1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法：(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；(2)在坐标系中描点；(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象．2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质：函数表达式y＝x2y＝－x2开口方向向上向下对称轴y轴(直线x＝0)增减性当x＜0时，y随x的增大而减小当x＞0时，y随x的增大而增大当x＜0时，y随x的增大而增大当x＞0时，y随x的增大而减小对称轴顶点坐标原点(0，0)最值当x＝0时，y有最小值为0当x＝0时，y有最大值为0六、课外作业教材第34～35页习题2.2第1题．本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题—猜想—探究—应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．。
2.2 第1课时 二次函数y=±x2的图象与性质
6．抛物线y＝－x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是( B) A．－1≤y≤9 B．－9≤y≤0 C．－9≤y≤－1 D．－1≤y≤3
7．关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( A ) ①它们的图象都是抛物线； ②它们的图象的对称轴都是y轴； ③它们的图象都经过点(0，0)； ④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数．求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线具有最高点？求出这个最高点， 此时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：(1)依题意，得m2＋4m＋5＝2且m＋2≠0，解得m＝－1或－3 (2)当m＝－1时，y＝x2，当m＝－3时，y＝－x2， ∴当m＝－3时，抛物线有最高点， 最高点的坐标为(0，0)，此时，当x＜0时，y随x的增大而增大
(2)当 S＝15 时，2a2＋3a＋1＝15，解得 a＝2 或 a＝－72. 又∵a＞0，∴a＝2 (3)当 S＝15 时，a＝2，则△ABC 的 BC 边上的高为 2a＋1＝2×2＋1＝5. ∵S△ACD＝7，∴S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝15－7＝8，∴12×5×BD＝8，
∴BD＝156.由 a＝2 得点 B 的坐标为(3，－9)．
九年数学下册第2章二次函数2二次函数的图象与性质第1课时二次函数Y=x2与y=_x2的图象与性质课件
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象
知识点 1 二次函数 y = x2与 y = -x2的图象
知1－导
在同一直角坐标系中，画出函数y = x2 和 y =－x2 的图象，这两个函数的图象相比， 有 什么共同点？有什么不同点？
函数图象画法 列表
x y=x2 y=－x2
－2 4 －4
－
－
－1 1 －1
－
－
注意：列表
y 时 自2 变量取 值要x 均匀和
对称
描点 连线 y x2
y 1 x
知1－导
00 0 －
1 1 －1 －
2 4 －4
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
知1－讲
例1 作出二次函数 y＝x2的图象． 导引：按列表、描点、连线三个步骤画函数的图象．
y2<y3<y1
知2－讲
总结
知2－讲
代入比较法：若已知二次函数的表达式，则将几 个点的横坐标分别代入，求出对应的函数值，再比较 大小.
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象 上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为 __y_1_＜__y_2 _．
知1－练
3 已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝x2上， 则m，n之间的关系正确的是( B ) A．m＝n B．m＋n＝0 C．m＋n>0 D．m＋n<0
知1－练
4 如图，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2 是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 ___2_π_x2上一点，AB⊥x轴于点 B，连接AO，若B点坐标为(－2，0)，则A点坐标为 __(_－__2_，__－__4_)_，S△AOB＝____4____．
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【备选例题】设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线 y=x2上的三点,比较y1,y2,y3的大小.
【解析】方法一:把x=-2,1,2代入y=x2得 y1=4,y2=1,y3=4,∴y2<y1=y3. 方法二:点A,C关于抛物线的对称轴对称,∴y1=y3,点 B,C都在对称轴的右侧,∴由函数y=x2的性质当x>0 时,y随x的增大而增大可得y2<y3, ∴得y2<y1=y3.
∵y=ax2过点A(-1,-1),
∴-1=a×1,解得a=-1,
∴二次函数表达式为y=-x2,
由一次函数与二次函数联立可得
y y x x2 ， 2， 解 得 x y1 1 1 1,， x y2 2 2， 4，
∴S△OAB=12
×2×1+1
2
×2×2=1+2=3.
【微点拨】 利用二次函数图象解题的两种思想 (1)数形结合的思想. (2)转化的思想,能把实际问题转化为数学问题.
【纠错园】 在函数y=x2中,y随x的增大如何变化?在函数y=-x2中,y 随x的增大如何变化?
【错因】_与__一__次__函__数__的__性__质__混__淆__,_抛__物__线__的__增__减__性__应__ _分__对__称__轴__的__左__侧__和__右__侧__两__个__部__分__分__别__说__明__.
【微点拨】 比较y=x2与y=-x2的图象上若干个点的纵坐标的大小的 “三个步骤” 1.比大小:比较各点横坐标及0之间的大小关系. 2.定位置:确定这些点是在对称轴的左边还是右边. 3.下结论:根据y=x2或y=-x2的增减性确定各点纵坐标 的大小.
知识点二 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质的应用 【示范题2】(2017·兰陵月考)已知二次函数 y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A,B两点, 如图所示,其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
【思路点拨】利用点A的坐标可求出直线与抛物线的表
达式,再求出点G的坐标及点B的坐标,利用S△OAB=
1 OG·|A的横坐标|+1 OG·点B的横坐标求解.
2
2
【自主解答】∵一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1), ∴-1=-k-2,解得k=-1, ∴一次函数表达式为y=-x-2, ∴令x=0,得y=-2, ∴G(0,-2),
2.用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y= k (k≠0)
x
交点的个数 ( A )
A.一定是1个 B.一定是2个
C.1个或2个
D.0个
3.下列函数中,当x>0时y随x的增大而减小的有_(_1_)_(_4_)_.
(1)y=-x+1.(2)y=2x.(3)y=- 2 .(4)y=-x2.
x
知识点一 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质 【示范题1】已知点A(-2,y1),B(-3,y2),C(-4,y3)在函 数y=-x2的图象上,试比较y1,y2,y3的大小.
2 二次函数的图象与性质 第1课时
【基础梳理】
二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
函数
y=x2
y=-x2
图象
开口 方向
_向__上__
_向__下__
函数 顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小) 值
y=x2 _(_0_，__0_)_
y轴
当x>0时，y随x 的增大而_增__大__； 当x<0时，y随x 的增大而_减__小__
当x=0时，y最小值 =0
y=-x2 _(_0_，__0_)_
y轴
当x>0时，y随x的 增大而_减__小__； 当x<0时，y随x的 增大而_增__大__
当x=0时，y最大值 =0
【自我诊断】 1.(1)二次函数y=x2的图象是关于y轴对称的抛物 线. ( √ ) (2)二次函数y=-x2有最小值. ( × )