步步高第三章 3.3

该点处的切线相同．
故F(x)在(0，a)上为减函数，
在(a，＋∞)上为增函数． (1)用a表示b，并求b的最大值； 于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0， 即当x>0时，f(x)≥g(x)．
2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x a＋1 2 若 F(x)max＝F(e )＝ 2 ≥0， e 1 (a∈R)，g(x)＝x. 即－1≤a≤0 时， (1)求 f(x)的单调区间与极值；
①当e2－a<e2，即a>0时，
在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．
函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增 在区间[ e2－a，e2] 上是减函数， F(x)max＝F(e2 a)＝ea 2. a＋1 1－a 2 又F(e )＝0，F(e )＝ e2 >0，
－ －
的图像在区间 (0 ， e2] 上有公共 函数， 点，求实数 a 的取值范围．
a，b的关系；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)， 求F(x)的最值．
基础知识
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思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例1】
已知定义在正实数集上 (1)解 设两曲线的公共点为 1 2 的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x)＝ (x0，y0)， 2 3a2
数学
北（理）
§3.3 导数的综合应用
第三章 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小， 最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
函数 f(x)的图像与函数 g(x)的图像 在区间(0，e2]上只有 1 个公共点； 1 (2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x) 若 F(x)max＝F(e2)＝a＋ e2 <0，
的图像在区间 (0 ， e2] 上有公共 即 a<－1 时， 点，求实数 a 的取值范围．
函数 f(x)的图像与函数 g(x)的图像 在区间(0，e2]上没有公共点． 综上， 满足条件的实数 a 的取值范
题型分类
思想方法
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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 1 (1)解 f′(x)＝0， 根据函数值的变 (a∈R)，g(x)＝x. 化得到单调区间、极值； (1)求 f(x)的单调区间与极值；
(2)构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，通
当 t(1－3ln t)<0，即 t> e 时， h′(t)<0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
1 3
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题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例1】
已知定义在正实数集上 1 2 1 的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x)＝ 故 h(t)在(0，e 3 )上为增函数，在 2 1 3a ln x＋b，其中a>0.设两曲线y
令F′(x)<0，得x>e2 a，
－
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x － 故函数F(x)在区间(0，e2 a]上是 1 增函数， (a∈R)，g(x)＝x. (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x)
π 即x∈0，2时，f(x)为增函数． π 所以x∈0，2时，f(x)>f(0)．
而 f(0)＝0，所以 f(x)>0，即 tan x3 故 tan x>x＋ 3 .
基础知识 题型分类
x3 x－x＋ 3 >0.
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已知定义在正实数集上 1 2 的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x)＝ 2 3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y ＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在 该点处的切线相同．
则 h′(t)＝2t(1－3ln t)． 于是当 t(1－3ln t)>0，
1 3
(1)用a表示b，并求b的最大值； 即 0<t<e 时，h′(t)>0； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
无极小值．
(1)求 f(x)的单调区间与极值；
(2)令F(x)＝f(x)－g(x) ln x＋a－1 (2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x) ＝ ， x －ln x＋2－a 2 . 的图像在区间 (0 ， e ] 上有公共 则F′(x)＝ x2
பைடு நூலகம்
点，求实数 a 的取值范围．
令F′(x)＝0，得x＝e2－a； 令F′(x)>0，得x<e2－a；
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题型一 利用导数证明不等式
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【例1】
已知定义在正实数集上 (2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x) 1 2 的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x)＝ ＝1x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)， 2 2
2 3 a 3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y 则F′(x)＝x＋2a－ x x－ax＋3a (x>0)． ＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在 ＝ x
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要点梳理
知识回顾 理清教材
2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极 值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出 来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
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题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 由图像，易知当0<x<e1－a时， 1 F(x)<0； (a∈R)，g(x)＝x. (1)求 f(x)的单调区间与极值；
当e1－a<x≤e2，F(x)>0，
(2)若函数 f(x)的图像与函数 g(x) 过 F(x)的单调性和函数值的变化 的图像在区间 (0 ， e2] 上有公共 研究 f(x)、g(x)的交点情况． 点，求实数 a 的取值范围．
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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 解 (1)函数f(x)的定义域为(0， 1 ＋∞)， (a∈R)，g(x)＝x. 1－ln x＋a f′(x)＝ . (1)求 f(x)的单调区间与极值；
所以函数f(x)的单调递增区间为 (0，e1－a]，
思想方法
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型二 利用导数求参数的取值范围
ln x＋a 思维启迪 解析 思维升华 【例 2】 已知函数 f(x)＝ x 单调递减区间为[e1－a，＋∞)， 1 1－a a－1 极大值为 f ( x ) ＝ f (e ) ＝ e ， 极大值 (a∈R)，g(x)＝x.
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题型一 利用导数证明不等式
思维启迪 解析 思维升华
【例1】
已知定义在正实数集上 1 2 的函数f(x)＝ x ＋2ax，g(x)＝ 利用导数证明不等式的步骤 2 3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y 间；
(1)构造新函数，并求其单调区
＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在 (2)判断区间端点函数值与0的 该点处的切线相同．
2
(e 3 ，＋∞)上为减函数，
＋∞)上的最大值 ＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在 于是 h1(t)在(0， 2
该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
3 为 h(e 3 )＝2e 3 ，
3 2 即 b 的最大值为2e 3 .
基础知识
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2
f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ x ， 3a ln x＋b，其中a>0.设两曲线y 由题意知 f(x0)＝g(x0)，
＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在 f′(x0)＝g′(x0)，
1 2 2 x ＋ 2 ax ＝ 3 a ln x0＋b， 0 0 2 即 2 3 a (1)用a表示b，并求b的最大值； x0＋2a＝ . x0 3a2 (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)． 由 x0＋2a＝ x ，得 x0＝a 或 0
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) ×