专题05 平面向量-各类考试必备素材之高三数学(文)全国各地优质金卷
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题05 平面向量
一．基础题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB＝π3．若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ．2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量(1,3),(4,2)a b =-=- ，若()//a b b λ+ ，则λ= ．3.【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 .【答案】23- 【解析】4. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在ABC ∆中，已知9=⋅，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB y CA x +=xy 的最大值为 ▲_ ．5. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 已知||1a = ，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c的夹角为 ．6. 【苏州市2014届高三调研测试】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ,若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．7. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则 ．8. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A ，(0,1)B ，点C 在第一象限内，6AOC π∠=，且2OC =，若O C O A O B λμ=+，则λ+μ的值是 ．1 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理，cos 2cos6OC AOC πλ=∠==，sin 2sin16OC AOC πμ=∠==，所以1λμ+=.考点：平面向量基本定理.9. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且a ，b 的夹角为3π，则+=a b ．10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 设向量),cos ,(sin x x =),sin 3,(sin x x =x ∈R ，函数)2()(x f +⋅=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．试题解析：(1) )2()(x f +⋅=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++二．能力题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=- 可求得1<24BC AD -≤⋅ ,考点：1.向量数量积;2.二次函数的性质2. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】在平面四边形ABCD 中，已知3AB =，2DC =，点,E F 分别在边,AD BC 上，且3AD AE = ，3BC BF = ，若向量AD 与DC的夹角为060，则AB EF ⋅的值为 .3. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．三．拔高题组1.2.3.。
平面向量--2023高考真题分类汇编完整版
平面向量--高考真题汇编第一节平面向量的概念及线性运算1.（2023新高考II 卷13）已知向量,a b 满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b ______．【解析】解法一（向量运算）:因为-=a b ，所以2223-⋅=a a b +b ①因为2+=-a b a b ，所以2222244+⋅=-⋅a a b +b a a b +b ，化简得22=⋅a a b ，代入①得23=b ，b .解法二（向量运算加减几何意义）：如图所示，OD += a b ，2BC -=a b ，所以OD BC = ，所以四边形OCDB 为等腰梯形，则OB DC ==-=a b .即=b .第二节平面向量基本定理及坐标表示1.（2023新高考I 卷3）已知向量()1,1=a ，()1,1=-b .若()()λμ+⊥+a b a b ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【解析】()()()()22202210λμλμλμλμλμ+⋅+=++⋅+=++=+=a b a b a a b b ，所以1λμ=-.故选D.第三节平面向量的数量积及应用1.（2023北京卷3）已知向量,a b 满足()2,3+=a b ，()2,1-=-a b ，则22-=a b （）A.2-B.1-C.0D.1【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)+=-=-a b a b ，所以22||||()()2(2)311-=+⋅-=⨯-+⨯=-a b a b a b .故选B.2.（2023全国甲卷理科4）向量1==a b ，=c ++=0a b c ，则cos ,--=a c b c （）A.15-B.25-C.25D.45【分析】作出图形，根据几何意义求解.【解析】因为++=0a b c ，所以+=-a b c ，即2222++⋅=a b a b c ，即1122++⋅=a b ，所以0⋅=a b .如图所示，设OA = a ，OB = b ，OC =c ，由题知，1OA OB ==，OC =OAB △是等腰直角三角形，AB边上的高22OD =，22AD =，所以23222CD CO OD =+==，1tan3AD ACD CD ∠==，cos ACD ∠=，224cos ,cos cos22cos 1215ACB ACD ACD --=∠=∠=∠-=⨯-=a c b c .故选D.3.（2023全国甲卷文科3）已知向量()3,1=a ，()2,2=b ，则cos ,+-=a b a b （）A.117B.17C.5D.5【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,+-+⋅-a b a b a b a b ，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【解析】因为(3,1),(2,2)==a b ，所以()()5,3,1,1+=-=-a b a b ，则+==-=a b a b ()()()51312+⋅-=⨯+⨯-=a b a b ，所以()()cos,+⋅-+-==+-a b a ba b a ba b a b.故选B.4.（2023全国乙卷理科12）已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于,B C两点，D为BC的中点，若PO=PA PD⋅的最大值为（）A.12+ B.12+ C.1 D.2【解析】依题意PAO△为等腰直角三角形，1PA=，π4APO∠=.因为要求PA PD⋅的最大值，所以,PA PD一定在PO同侧，如图所示，设APDα∠=，π4α<<，则π4OPDα∠=-，πcos4PD PO OPDα⎛⎫=∠=-⎪⎝⎭.所以πcos cos4PA PD PA PDααα⎛⎫⋅=⋅=-⎪⎝⎭ππcos cos2244ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦122⎤≤+⎢⎥⎣⎦=12当π8α=时等号成立，所以PA PD⋅的最大值为12+.故选A.解法三（定义法）：由题意可得：在CDE △中，由余弦定理可得所以cos EC ED EC ED ⋅=∠ 故选B.6.（2023天津卷14）在ABC △中点，若设,AB AC == a b ，则的最大值为_________．【分析】空1：根据向量的线性运算，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 【解析】空1：因为E 为CD 1142AE =+ a b ；空2：因为13BF BC = ，则2FB。
全国卷高考—平面向量试题带答案资料讲解
5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________． 【解析】23． 由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--， 解得23||=． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。
[精选+详解届高三数学名校试题汇编(第1期)专题05平面向量(word版可编辑修改)
7.【2013
届河北省重点中学联合考试】已知向量
m
，
n
的夹角为
,且｜
m
|＝
3 ，| n ｜＝2,
6
在△ABC 中， AB ＝ m ＋ n , AC ＝ m －3 n ，D 为 BC 中点,则| AD ｜＝
A、1 B、2 C、3 D、4
8.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】
[精选+详解 2013 届高三数学名校试题汇编(第 1 期)专题 05 平面向量(word 版可编辑修改)
校名师俱乐部高三第二次调研考试】若非零向量 a,b 满足| a b || a b | 2 | b | ，则 a b 与 a b 的
夹角是
A． B．
3
2
C． 2 3
D． 5 6
OA
(
y
1
（2）求 AO BC 的值．
4.［湖北省武汉市四校 2013 届高三 10 月联考]
已知向量 a (cos ,sin ), b (cos , sin ) 且 a 与 b 满足关系式: | ka b | 3 | a kb | (k 0) 。
（1)用 k 表示 a b ；
（2)证明: a 与 b 不垂直;
C。 P1P2 P1P5
B。 P1P2 P1P4
D。 P1P2 P1P6
市 2012—2013 学年度高三年级摸底考试】
己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O，G，H，若 OH OG ，则 =
（A） 1 （B） 1 （C）3 （D）2
3
2
2。【 河 北 省 唐 山 Nhomakorabea4k[精选+详解 2013 届高三数学名校试题汇编(第 1 期)专题 05 平面向量(word 版可编辑修改)
专题05 平面向量-2018届浙江省高三数学优质金卷考卷分项(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
∵
∴ ，即 ，当且仅当 时取等号
∴
∴
∴ 的最大值为1
故选B
点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
18.【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】设向量 ， ，且 ， ，则 的最大值是__________；最小值是__________．
【答案】91
【解析】设 的夹角为 ，由 ，可得 ，化简得 ，可得 ，即 的最大值是 ，最小值是 ，故答案为 .
19.【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】已知 的边 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，若 ， ，则 的值为（）
A.3B. C. D.
【答案】B
20.【浙江省清源中学2018届高三9月月考】在平面内， ，动点 满足 ，则 的最大值是_______.
【答案】16
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴△ABC是等边三角形，设△ABC的边长为a，
∴ .
∵ ，∴P在以A为圆心，以2为半径的圆上，
∵ ，∴M是PC的中点，
以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立坐标系，
河北省衡水市高考数学各类考试分项汇编专题05平面向量文(最新整理)
。 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】平面向量 与 的夹角为 , 则 等于____________。 【答案】 。 【解析】
6 ，，
7。 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知向量
，
______． 【答案】-30
，若 ,则
4
河北省衡水市 2019 年高考数学 各类考试分项汇编 专题 05 平面向量 文
河北省衡水市 2019 年高考数学 各类考试分项汇编 专题 05 平面向量 文
专题 05 平面向量
一、选择题 1. 【 河 北 衡 水 金 卷 2019 届 高 三 12 月 第 三 次 联 合 质 量 测 评 】 已 知 向 量
的夹角为 ，则 的值为
A．0 B．
C．
D．
【答案】C
2。 【河 北省衡水中学 2019 届高三上学期六调】已知向量 在向量 方向上的投影为 ，且 ,
【解析】因为向量
，
，,
,
， 8. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】已知
2a b 与 c 8,6共线，则 a 和 b 方向上的投影为__________．
，故答案为 ,若向量
【答案】 3 5 5
【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】向量
，
则 的值为__________．
【答案】—8
则 （)
A．
B．
C． D．
【答案】D
1
河北省衡水市 2019 年高考数学 各类考试分项汇编 专题 0 ，∴
4. 【【衡水金卷】2018 届四省名校高三第三次大联考】如图，在 中,已知
，为 上
一点，且满足
专题5.1 平面向量(全国卷文科数学专用)-5年高考真题与优质模拟题(原卷版+解析版)
专题5.1 平面向量A 组 5年高考真题1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A. BC B ．12AD C ． AD D ． 12BC 2．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= )AB ．2C ．D ．503．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 4．（2020全国Ⅱ文5）已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （）A ．b a 2+B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a -25．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 6．（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-则( ) A ．a b ⊥B ．||||a b =C ．//a bD ．||||a b >7．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________． 8．（2020全国Ⅰ文14）设向量()(),,,11124m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =． 9．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．10．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____． 11．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =． 12．（2017•新课标Ⅰ，文13）已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 13．（2017•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，则m = ． 14．(2016新课标，理13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =． 15．（2016•新课标Ⅰ，文13）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x = ．B 组 能力提升16．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）在平行四边形中，若交于点，则( )A ．B ．C ．D ．17．（2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）在中，，是直线上一点，且，若则( )A ．B ．C ．D ．18．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知平面向量，满足，，且，则（ ） A ．3BC ．D ． 519．（2020届甘肃省兰州市高三诊断）已知非零向量，给定，使得，，则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．（2020届广东省东莞市高三模拟）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则（ ）A B ．C ．1D ．21．（2020届广东省汕头市高三第一次模拟）已知四边形ABCD 为平行四边形，，M 为CD 中点，，则（ ） A ．B ．C ．1D ．22．（2020届广东省湛江市模拟）已知，，则向量在方向上的投影为（ ）．A ．B ．CDABCD ,=DE EC AE BD F AF =2133AB AD +2133AB AD -1323AB AD -1233AB AD +ABC 5AC AD =E BD 2BE BD =AE mAB nAC =+m n +=2525-3535a b ()1,2a =-()3,b t =-()a ab ⊥+b =a b :p R λ∃∈λa b :q a b a b +=+p q a b a (1,1)b =a b +=3+32AB =3AD =2BN NC =AN MN ⋅=132343(2,6)a =-(3,1)b =a b +b 6-23．（2020届陕西省汉中市高三质检）在直角中，，，，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．24．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）已知向量，，，则等于（ ） AB ．C ． 5D ．2525．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）已知向量，满足，，，则与的夹角为________.专题5.1 平面向量A 组 5年高考真题1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB B. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) A B ．2 C ． D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 3．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】AABC ∆2C π∠=4AB =2AC =32AD AB =CD CB ⋅=18--18(1,2)a =5a b →→⋅=||a b →→-=||b →a b 1a =2b =()a ab ⊥-a b【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．4．（2020全国Ⅱ文5）已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是 （）A ．b a 2+B ．b a +2C ．b a 2-D ．b a -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ． A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意； B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．5．（2019•新课标Ⅰ，理7文8）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】()a b b -⊥，∴2()a b b a b b -=-2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b ==，,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=，故选B ．6．（2017•新课标Ⅱ，文4）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-则( ) A ．a b ⊥ B ．||||a b = C ．//a b D ．||||a b >【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，∴22()()a b a b +=-，即222222a b ab a b ab ++=+-，∴0a b =，∴a b ⊥，故选A ．7．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________． 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．8．（2020全国Ⅰ文14）设向量()(),,,11124m m =-=+-a b ，若⊥a b ，则m =． 【答案】5【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果． 【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又∵(1,1),(1,24)a b m m =-=+-， ∴1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5．9．（2019•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．【答案】 【解析】由题知，2(8)264a b =⨯-+⨯=-，22||2222a =+=，22||(8)610b =-+=，cos a <，b >== 10．（2013新课标Ⅰ，理13文13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____． 【答案】2【解析】b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 11．（2013新课标Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =． 【答案】2【解析】AE BD =1()()2AD AB AD AB +•-=221||||2AD AB -=4-2=2． 12．（2017•新课标Ⅰ，文13）已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 【答案】7【解析】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，∴(1,3)a b m +=-+，向量a b +与a 垂直，()(1)(1)320a b a m ∴+=-+⨯-+⨯=，解得7m =．13．（2017•新课标Ⅲ，文13）已知向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，则m = ． 【答案】2【解析】向量(2,3)a =-，(3,)b m =，且a b ⊥，∴630a b m =-+=，解得2m =． 14．(2016新课标，理13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =．【答案】-2【解析】由|a +b |2=|a |2+|b |2得，b a •=0，所以02=+m ，解得2-=m ．15．（2016•新课标Ⅰ，文13）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x = ． 【答案】23- 【解析】a b ⊥，∴0a b =，即2(1)0x x ++=，∴23x =-．B 组 能力提升16．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）在平行四边形中，若交于点，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，∵，∴E 为CD 的中点， 设，且B ，F ，D 三点共线， ∴，解得， ∴． 故选D 。
专题05 平面向量-2018届浙江省高三数学优质金卷考卷分项(原卷版)
第五章 平面向量一．基础题组1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在四边形ABCD 中，点,E F 分别是边,AD BC 的中点，设AD BC m ⋅= ， AC BD n ⋅=.若AB =， 1EF =， CD =，则（ ）A. 21m n -=B. 221m n -=C. 21m n -=D. 221n m -=2. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】已知单位向量2,e e 的夹角为3π，设122a e e λ=+，则当0λ<时， a λ+的取值范围是__________．3. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】直角ABC ∆中， 2AB AC ==， D 为AB 边上的点，且2ADDB=，则CD CA ⋅= ______；若CD xCA yCB =+ ，则xy =________． 4. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】已知向量OA ， OB ，满足1OA = ， 2OB = ， 3AOB π∠=，M 为OAB ∆内一点（包括边界），OM xOA yOB =+，若1OM BA ⋅≤- ，则以下结论一定成立的是（ ） A.2223x y ≤+≤ B. 12x y ≤ C. 13x y -≤- D. 213x y ≤+≤ 5. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若a b c ===222PA PB PC ++ 的最大值为____.6. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知m ， n 是两个非零向量，且1m = ， 23m n +=，则m n n ++的最大值为C. 4D. 57. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记()2•1,2,,10i i m AB AP i ==，则1210m m m +++ 的值为（ ）A. B. 45 C. D. 1808. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知矩形ABCD ， 2AB =， 1BC =，点E 是AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，若AC xAP yDE =+，则•AC AP 的最小值是__________， x y +最大值是__________．9. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知三角形ABC ， 2AB =， 3BC =， 4AC =，点O为三角形ABC 的内心，记1•I OA OB = ， 2•I OB OC = ， 3•I OC OA =，则（ ）A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 312I I I <<D. 231I I I <<10. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-11. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】当时，对任意实数都成立，则实数的取值范围是_________．12. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若非零向量.a b 满足a = ()()32a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角为_____．13. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.14. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点， M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N . 若12FM MN =，则FN = _____．15. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】已知在ABC ∆中, 3AB =, BC =2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC ⋅= ___， AO BC ⋅=_____________16. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N ∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=，则4x 的值为( ).15.17.29.31A B C D17. 【浙江省镇海中学2018届高三上学期期中】在平面内， 6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP = ， PM MC = ，则BM的最大值是()A. 3B. 4C. 8D. 1618. 【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】设向量，，且，，则的最大值是__________；最小值是__________．19. 【浙江省温州市2018届高三9月高考适应测试（一模）】已知的边的垂直平分线交于，交于，若，，则的值为（ ）A. 3B.C.D.20. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】在平面内， 6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点满足2,AP PM MC == ，则2||BM 的最大值是_______.21. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】已知点()()1,11,1P Q -，, O 为坐标原点,动点(),M x y 满足1{ 2OP OM OQ OM ⋅≤⋅≤,则点M 所构成的平面区域的面积是__________．二．能力题组1.【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】设向量(),cos a x x =-， ()cos ,2cos b x x = ，()1f x a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若方程()()2f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.2. 【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知向量,14x m ⎫=⎪⎭ , 2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，记()f x m n =⋅．(1) 若()1f x = ，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2) 在锐角ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且满足()2cos cos a c B b C -= ，求()2f A 的取值范围．3. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知2cos 2b C a =-．⑴求B ∠的大小；⑵若2CA CB CM += ，且1CM =，求ABC ∆面积的最大值．。
2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题05 平面向量
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题05 平面向量一．基础题1.【安徽省2013届高三开年第一考】已知向量,a b ，且||1a = ，||2b = ，则|2|b a -的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[2,4]C ．[3,5]D ．[4,6] 【答案】C【解析】|2|b a -==[3,5]∈，选C2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】 已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos 2θ等于 （ ）A.1-B.0 C .12D.23.【广州市2013届高三年级1月调研测试】设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 已知向量i=(l,0)，j= (0,1),则与垂直的向量是A i —2jB 2i-jC 2i+j D. i+2j 【答案】A【解析】∵0i j ∙= ∴22(2)(2)220i j i j i j +∙-=-= ∴(2)(2)i j i j +⊥-5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q的值为（ ）A．．5 D ．13 【答案】B【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，B ．6.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（ ） ．，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）﹣【解析】∵已知，，向量与∴（）•（．112直线l 2过点（﹣1，1）且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为（ ）10.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为．学年河南省中原名的正方形的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）．﹣（（故，即∴•=1+sin212.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.316.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知21e e ，是夹角为060的两个单位向量，且向量212e e a +=___________。
平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)专题
平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π62．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．503．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．05．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1 BC ．2D ．26．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．07．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥bD ．>a b8．【2017年高考北京卷文数】设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________． 19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1B C．2 D ．2【答案】A【解析】设 ，则由 得，由b 2−4e ·b +3=0得 因此|a −b |的最小值为圆心 到直线的距离21，为 选A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则， 由题意可知：， ， 结合数量积的运算法则可得： . 本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】10-【解析】2826cos ,||||10⨯-+⨯⋅===-⋅a b a b a b ．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE，其方程为y x =-， 直线AE的斜率为y x =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-， ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；【解析】以, AB AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-, 令(123456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλ=+++++=0.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值，所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】 ， ，由 得： ， ，即 .【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-，；∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a = 【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =.【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++. （2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA 与OC 的夹角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==， 所以3m n +=． 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+， 据此可得：()()max min 4++-==++-==a b a b a b a b ， 即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得++-=a b a b能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2B D D C =，AE AC λ=- ()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________． 【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+，则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC 已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。
专题05平面向量-备战高考高三数学(文)全国各地一模金卷分项解析版Word版含解析
【备战2019高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题五平面向量一、选择题【2019山西五校联考】在平行四边形中，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【2019江西上饶一模】已知正方形的面积为2，点在边上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由面积为2，可知边长为，在正方形中建立坐标系，设，所以，其中ZXXK]，当时取得最小值为，选 B. 【点睛】平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题.【2019湖北武汉武昌区调研】在平行四边形中，点分别在边上，且满足，，若，，则( )A. B. 0 C. D. 7【答案】B【解析】，，那么，故选 B. 【2019江西师大附中、临川一中联考】在直角中，，P为AB边上的点，若，则的最大值是( )学科网]A. B. C. D.【答案】 A【解析】因，故由可得，即，也即，解之得，由于点，所以，应选答案 A. Z*xx*k二、填空题【2019江西赣州上学期期末】若单位向量满足，则在方向上投影为_________．Z.xx.k【答案】【2019河北衡水六调】若向量夹角为，且，则与的夹角为__________．【答案】【解析】学#科#网]，所以，，设夹角为，则，则.【2019广东深圳一模】已知向量，若，则__________．【答案】【2019江西上饶一模】已知在Rt AOB 中，1AO ，2BO，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动（含边界）且90BOC；设OP xOAyOB ，则xy的取值范围．【答案】2,1【解析】由已知图形可知,OP OA 的夹角90,180AOP ，所以0x ，,OP OB 的夹角0,90BOP，所以0y ，由平行四边形法则可知当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时xy 取得最小值，2,OC OA OC OB ，2,0,2x y xy，当点P 在B 处时xy 取得最大值，0,1OAOBxy，1xy，所以xy 的取值范围为2,1.【2019荆、荆、襄、宜四地七校联考】设向量(1,2),(1,1),(2,)am bm cm .若()ac b ，则||a ________.Z 。
专题05+平面向量-各类考试必备素材之高三数学(文)全国各地优质金卷+含解析.doc
[2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专年面向蚤一、选择题1.【2018东莞高三二模】己知四边形力必。
是矩形，皿=2皿=2,点E是线段A C上一点，庞= 且4AE • B*E =—・5,则实数久的取值为()3 2 11A. B. & c.耳D.弓【答案】B【解析】由平面向量的平行四边形法则，得AE=AAC=A(AB+AD)fBE = AE-AB=A(AB + AD)-AB = (_A- 1)XF + AAD, 因为旋・旋=一笃所l儿1(乔+AD)・[Q — 1)X5 + AAD]=55即；i[4@ -i)+a] = -p解得;1二右故选B2.[.2018黑龙江大庆高三质检二】已知同=2,艸= 1,0 = 60。
，则(b—d) (b + 2d卜( )A. —6B. 6C. —7 4- yjsD. —7 —A/S【答案】A【解析】原式=戸+讥-2宀l + lx2x丄-2x2—-6 .故选A.23.【2018广东惠州高三4月模拟】在\ABC中，AB = 2AC = 2, ABAC = 120°,点D为BC边上一点,且BD = 2DC,则AB AD=()7 2A. 3B. 2C. —D.—3 3【答案】D【解析】•・• AD = CD + AC = -CB + AC = -AB--AC + AC = -AB + -AC3 3 3 3 31 2 2 4 2 2••• ABAD = -AB+-ABAC = ----------- =-3 3 3 3 3故选D.A. >/2B. V3C. 2D. 3【答案】C【解析】由&+方=2^5, a-b =2平方得：产+2&菖+沪=12,云丄一2云疥+沪=4.两式相减得：4方话=8,所以五至=2.故选C.5. 【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足Q4 + OB + OC = 0,则 下列结论正确的是（）A. OA = -AB + -BC 3 3C. OA = --AB--BC 3 3B. OA = --AB-丄BC 3 3 D. OA = -AB + -BC 3 3【答案】B 【解析】因为Q4 + OB + OC = 0,所以0为\ABC 的重心,所以 OA = —?X 丄(AB-AC)= --[AB-AC\ = --^AB + AB+BC^ = --AB- = BC ,3 2 3 33 3故选B. 6. 【2018江西高三质监】已知向量04, 满足|OA | = |OB | = 1, OA・OB = 0, OC = AOA-}-J uOB(入“w/?),若M 为AB 的中点，并HMC=1,则点(入“)的轨迹方程是()\2【答案】DA. B. (“+1)2=1D. C 1? I' 2丿、【解析】rh 于M 是中点 A \ABC 中， OM =*(OA + OB ••• MC = OC-OM1_丄]»+OB =1,所以 2 — £ OA+ 卩_三 OB \ 2丿、、， 1V1,所以 A__ + “__ 厂I 2丿 4. 【2018陕西咸阳高三二模】设向量d 和b 满足:a +b = 2>/3 , a —b — 2，则a-b =()故选：D7. [2018 安徽宣城高三二调】己知 AABC 中，ZA = 120°, H AB = 3 , AC = 4,若初4T 4C ,且AP 丄BC,则实数2的值为()22 10 A. — B.— 153 【答案】A【解 析】 因 为 A 丄 ■ , 所 以 AP BC = (^AB + AC )(AC-AB )= -2Afi 2 + AC 2+(/l-l )AC AB = 0 ,2?因此—A-32 +42 +(^-l)-3-4-cosl20°=0.-.Z = —A.v 丿 158. [2018河南商丘高三二模】已知平面向量& = (-1,2)力=&1),且厶丄»贝血丄5在&上的投影为()A.花B. 2C. A /5D. 1【答案】A 【解析】因为订丄必所以(一1) X fc + 2 X 1 = 04fc = 2•所以4-5 = (13). 所以恆+3| = V12 4- 32= JIH J \a\ =屈所以丘丄E 在丘上的投影为 恆4-h|casa = (15 •算器=弓孑=岳.故选A.9. [2018 ±海黄浦区高三二模】在给出的下列命题中，是假命题的是() A …设。
高三数学名校试题汇编 (第1期)专题05 平面向量.pdf
第五章 平面向量 一．基础题 1.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则的值是（ ）A. 3B.2C.1D. 0 2.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（） A． B． C． D． 3.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知非零向量、，满足，则函数是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数 4.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知是所在平面内一点，为边中点，且，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为边中点，所以由得，即,所以，选B. 5.【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a与b的夹角为，c＝a＋2b，则｜c｜＝（ ） A、 B、 C、2 D、3 6.【2012-2013杭州地区七校联考数学（理）】△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则等于（ ） A.B.C.D. 7.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于 A.B.C.D.4 8.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知平面向量，，若，，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，向量，反向，则， 则，得，，故 9.【2013届已知则与的夹角为，则 ． ，，且， 与的夹角是 ________ . 11.【2012—2013北京市朝阳区高三期中考试数学（理）】在中，若，的面积为，则角 . 二．能力题 1．【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6下列向量的数量积中最大的是 A.B. C.D. 2.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】 己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则=（A） （B） （C）3 （D）2 3.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】 已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则 （1）的值为 . （2）的最大值为 . 4.【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】．已知是圆(为圆心）上的两点，,则=▲5.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】已知ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是 ．6.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】若非零向量满足，则与的夹角是 A． B． C． D． 7.【2013届河北省重点中学联合考试】已知向量，的夹角为，且｜｜＝，｜｜＝2，在△ABC中，＝＋，＝－3，D为BC中点，则｜｜＝A、1B、2C、3D、4 8.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】 已知向量a，，，则对任意的实数，的最小值为A.5B. 7C. 12D. 13 9.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】在△中，已知是边上一点，若，则=( ) A． B． C． D． 1 三．拔高题 1.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】已知平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心设线段BC的中点为D，则，∴， ，，点一定在线段的垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，选C如图,在四边形ABCD中,,, ,则的值 A．2 B． C．4 D． 答案C 【解析 解方程组,得,． 又∵, ∴与共线且方向相同． ∴． 又∵, ∴． ∴=22+0+0=4．的两边长分别为，，且O为外接圆的圆心．（注：，） （1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长； （2）求的值． 4.[湖北省武汉市四校2013届高三10月联考] 已知向量且与满足关系式：. （1）用k表示； （2）证明：与不垂直； （3）当与的夹角为时，求k的值. 解：（1） 即 故……（4分） 5.[湖北省武汉市四校2013届高三10月联考] （本小题满分14分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足，（O不在直线l上） （1）求的表达式； （2）若函数在上为增函数，求a的范围； （3）当时，求证：对的正整数n成立. 6.【四川省成都石室中学2013届高三9月月考】已知向量，．函数． (I)若，求的值； (II)在中，角的对边分别是，且满足， 求的取值范围． 已知 (其中)，函数f(x)＝·，若直线是函数图象的一条对称轴， 上的图象. 8.【浙江省嘉兴一中2013届高三10月月考】在中，角AB，C所对边分别为ab，c，且（）求角A；（）若，，试求n|的最小值．已知向量a＝(，)，b＝(2，cos2x)． (1)若x(0，]，试判断a与b能否平行？ (2)若x(0，]，求函数f(x)＝a·b的最小值． 与共线，其中A是△ABC的内角． （1）求角A的大小； （2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状. 11.【四川省成都市2013届高三摸底考试】 （本小题满分12分） 已知函数 （I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）在锐角△ABC中，若，求△ABC的面积． 12.【四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期第二次测试】 （本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，向量 ，若 （）求角、、的值； （）若，求函数的最大值与最小值． 中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足： （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）设为曲线上一点，直线过点且与曲线在点处的切线垂直，与的另一个交点为，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线的方程 14.【四川省自贡市高2013届高三一诊试题（2013自贡一诊）】 已知函数. (I )求函数f(x)的周期和最小值； (II)，,求ΔABC的面积. 15.【四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试】 设向量，函数，. (I)求函数f(x))的最小正周期及对称轴方程； (II)当时，求函数f(x)的值域. ．（Ⅱ）当]时，，可得≤2x+≤， ∴ 当2x+=，即x=时，f?(x)取得最大值f? ()=2； 当2x+=，即x=时，f?(x)取得最小值f?()=-1． 即f?(x) 的值域，若 ，求的值.。
高考数学05--第五章 平面向量
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第五章《平面向量》一、选择题（共28题）1．（安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形B ．111A BC ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
故选D 。
2．（北京卷）若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件解：a b a c ⋅=⋅⇔a b a c 0••－＝⇔a b c 0•（－）＝⇔a b c ⊥（－），故选C3．（福建卷）已知︱︱=1，︱︱=3,•=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则nm 等于 A.31 B.3 C.33 D.3 解析：1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AB 上，且AOC ∠30o =。
设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0，3)，C 点的坐标为(x ，y)=(34，4)，(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则∴ m=43，n=41，m n=3，选B. 4．（福建卷）已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于（A ）5 （B ）4 （C ） 3 （D ）1解析：向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+= 3||||cos120||2a b a b b ⋅=⋅⋅︒=-，222||||2||a b a a b b +=+⋅+，∴ 21393||||b b =-+，则b =－1(舍去)或b =4，选B.5．（广东卷）如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BCBA + 解析：21+-=+=，故选A. 6．（湖北卷）已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b =A．12） B ．（12C ．（14）D ．（1,0） 解：设b ＝（x ，y ）221(0)y x y y +=+=≠解得x ＝12，y ＝2，选B 7．（湖北卷）已知非零向量a 、b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则=b aA. 41B. 4C. 21 D.2 解：由a ＋2b 与a －2b 互相垂直⇒（a ＋2b ）•（a －2b ）＝0⇒a 2－4b 2＝0即|a |2＝4|b |2⇒|a |＝2|b |，故选D8．（湖南卷）已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 解析：,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，则2||4a a b -⋅≥0，设向量,a b 的夹角为θ，cosθ=||||a b a b ⋅⋅≤221||1412||2a a=，∴θ∈],3[ππ，选B. 9．（湖南卷）已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b ；2t t =时，b a ⊥，则ACB 图1A ．1,421-=-=t tB . 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D . 1,421==t t解析：向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b ，∴ 14t =；2t t =时，b a ⊥，21t =-，选C.10．（湖南卷）如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41(B . )32,32(- C. )43,41(- D . )57,51(- 解析：如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=， 由图知，x<0，当x=－41时，即OC =－41OA ，P 点在线段DE 上，CD =41OB ，CE =45OB ，而41<43<45，∴ 选C. 11．（辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。
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【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专题五 平面向量一、选择题1．【2018东莞高三二模】已知四边形是矩形,，点是线段AC 上一点，，且，则实数的取值为( )A. B. C. D. 【答案】B2．【2018黑龙江大庆高三质检二】已知2,1,60a b θ===︒，则()()2b a b a -+= ( )A. -6B. 6C. 7-+D. 7--【答案】A【解析】原式222121122262b a b a =+⋅-=+⨯⨯-⨯=-.故选A. 3．【2018广东惠州高三4月模拟】在ABC ∆中， 22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD ⋅=（ ） A. 3 B. 2 C. 73 D. 23【答案】D【解析】∵1111233333AD CD AC CB AC AB AC AC AB AC =+=+=-+=+ ∴21242233333AB AD AB AB AC ⋅=+⋅=-=故选D.4．【2018陕西咸阳高三二模】设向量a 和b 满足： 23a b +=， 2a b -=，则a b ⋅=（ ）A.B. C. 2 D. 3【答案】C5．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（ ）A. 1233OA AB BC =+B. 2133OA AB BC =-- C. 1233OA AB BC =-- D. 2133OA AB BC =+【答案】B【解析】 因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心， 所以()()()211121323333OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC =-⨯-=--=-++=--， 故选B.6．【2018江西高三质监】已知向量OA ， OB 满足1OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OC OA OB λμ=+(),R λμ∈，若M 为AB 的中点，并且1MC=，则点(),λμ的轨迹方程是（ ）A. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()221112λμ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭C. ()()22111λμ-+-= D. 2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由于M 是中点， ABC ∴∆中， ()12OM OA OB =+， MC OC OM ∴=- 11122OA OB λμ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以211122OA OB λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2211122λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D7．【2018安徽宣城高三二调】已知ABC ∆中， 120A ∠=︒，且3AB =， 4AC =，若A P A B A C λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ） A.2215 B. 103 C. 6 D. 127【答案】A 【解析】因为A P⊥，所以()()()2210AP BC AB AC AC AB AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=-++-⋅= ,因此()2202234134cos1200.15λλλ-⋅++-⋅⋅⋅=∴=选A. 8．【2018河南商丘高三二模】已知平面向量，且，则在上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】A9．【2018上海黄浦区高三二模】在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A. 设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线B. 若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形D. 在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【答案】D 【解析】由 则点必共线，故A 正确；由平面向量基本定理可知B 正确；由可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C 正确；故选D.10．【2018重庆高三二诊】已知两个非零向量a ， b 互相垂直，若向量45m a b =+与2n a b λ=+共线，则实数λ的值为（ ）A. 5B. 3C. 2.5D. 2 【答案】C11．【2018甘肃兰州高三二模】已知非零单位,a b 向量满足a b a b +=-，则a 与b a -的夹角为（ ） A.6π B. 3π C. 4π D. 34π【答案】D【解析】设a 与b a -的夹角为θ. ∵a b a b +=- ∴22a ba b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+.∴0a b ⋅=，则()()()2222b abb a a -=-⋅+.∵,a b 为非零单位向量 ∴()22b a-=，即2b a -=.∵()1cos a b a a b a a a b a θ⋅-=⋅-⋅=-=⋅-⋅∴cosθ==∵[]0,θπ∈ ∴34πθ=故选D.12．【2018安徽马鞍山高三质监二】如图，四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（ ）A. B. C. D.【答案】D13．【2018河北唐山高三二模】在ABC ∆中， 090,6C AB ∠==，点P 满足2CP =，则PA PB ⋅的最大值为（ ）A. 9B. 16C. 18D. 25 【答案】B【解析】取AB 的中点D,连接CD.()()()()22PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB PC PC CA CB⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+2224242cos 4223cos 412cos PC CD PC CD PC CD ααα=+⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯=+,所以当00α=时， PA PB ⋅的最大值为16.故选B.点睛：本题的难点在于解题思路. 要能很快找到解题思路，必须熟悉本章的高频考点，对于平面向量来说，高频考点主要有向量的加法、减法、平行四边形法则、基底法、数量积等，所以看到PA PB ⋅，要想到通过向量的加法、减法、平行四边形法则、基底法、数量积等把未知的向已知的条件转化，最后得到PA PB ⋅=4+12cosa ，即可得解.二、填空题14．【2018衡水金卷高三二模】已知在中，为边上的点，，若，则__________．【答案】15．【2018江西新余高三二模】设向量4a =， 8b =， a 与b 的夹角是120，且()()2a b ka b +⊥-，则实数k 值为__________． 【答案】7-【解析】∵4a =， 8b =， a 与b 的夹角是120° ∴0·cos12016.a b a b ==-∵()()2a b ka b +⊥-∴（2a b +）·()ka b -=0 ∴16k+（2k ﹣1）×（﹣16）﹣2×64=0，即﹣16k ﹣112=0 解得k=﹣7 故答案为：﹣716．【2018湖南衡阳高三二模】如图，在正方形ABCD 中， 2AB =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE BF 的值是__________．【答案】0 【解析】由题得22111110220022224AE AF AB BC BC AB AB BC BC AB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅+--⋅=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以AE BF =0,故填0.17．【2018吉林长春高三质监三】已知菱形的一条对角线长为2，点满足，点为的中点，若，则__________．【答案】【解析】.18．【2018四川高三“联测促改”】在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R 为同一平面内的点，则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使()1OP t OQ tOR =-+.试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2CF FA =， BF 交CE 于点M ，设AM x AE y AF =+，则x y +=__________．【答案】7519．【2018云南昆明高三二模】已知向量，满足，|，，则__________．【答案】【解析】，故答案为.20．【2018江西八校4月联考】点M 为ABC ∆所在平面内一动点，且M 满足：()12133AM AB AC λλ=+-， 3AC =， 3A π=若点M 的轨迹与直线,AB AC 围成封闭区域的面积为3，则BC =__________．【答案】3 【解析】设13AD AB =， 23AE AC =，则2AE =.∵M 满足： ()12133AM AB AC λλ=+- ∴()1AM AD AE λλ=+- ∴M ， D ， E 三点共线 ∴M 点轨迹为直线DE∵点M 的轨迹与直线,AB AC 围成封闭区域的面积为2∴1sin 2AD AE A ⋅=，即12sin 23AD π⋅=∴1AD =，即3AB =. ∴AB AC =∴ABC ∆为等边三角形 ∴3BC = 故答案为3.点睛：本题考查学生的是三角形面积公式与向量的交汇处，属于中档题目.由()12133AM AB AC λλ=+-为突破点，构造出()1AM AD AE λλ=+-是解题的关键，由系数和为1得出三点共线，可得M 的轨迹为直线，结合三角形面积公式即可.21．【2018贵州黔东南州高三二模】在平面上， 12OB OB ⊥，且12OB =， 21OB =， 12OP OB OB =+．若12MB MB =，则PM 的取值范围是____________________．【答案】⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【解析】分别以1OB 、2OB 为x 、y 轴建立直角坐标系O xy -， 设()()122,0,0,1B B ，由12OP OB OB =+得()2,1P .设(),M x y ，由12MB MB =得()()222221x y x y -+=+-，即4230x y --=，2PM = ()222243417992151452452020x x x x x -⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9PM ≥= ,即PM 的取值范围是10⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 22．【2018四川德阳高三二诊】如图，在三角形OPQ 中， M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+ (),x y R ∈__________．23．【2018河南安阳高三二模】已知在OAB 中， 2OA OB ==， AB =P 位于线段AB 上，则当PA PO ⋅取最小值时，向量PA 与PO 的夹角的余弦值为__________．【答案】21-11 【解析】因为2OA OB ==，AB =6OAB π∠=,所以PA PO ⋅ ()22253|cos |3624PA PA AO PA PA AO PA PA π⎛⎫=⋅+=+⋅=-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当3PA =时取等号，因此33372OP ==,所以向量PA 与PO 7347+-=-。