【三维设计】2017届高三数学理二轮复习通用版第一部分课件重点保分题题型专题十导数的简单应用
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题专题检测(十)导数的简单应用Word
专题检测（十） 导数的简单应用（高考题型全能练）一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在2．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．23．(2016·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( )A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 124．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]5．(2016·石家庄模拟)已知a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．96．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝2，则下列结论正确的是( )A ．xf (x )在(0，6)上单调递减B ．xf (x )在(0，6)上单调递增C ．xf (x )在(0，6)上有极小值2πD ．xf (x )在(0，6)上有极大值2π 二、填空题7．(2016·兰州模拟)若f (x )＋⎠⎛01f (x )d x ＝x ，则⎠⎛01f （x ）d x ＝________. 8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a的取值范围为________．9．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )(a >0)． (1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．11．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝xln x ＋ax ，x >1. (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．答 案1. 解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2. 解析：选D 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.3. 解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B.4. 解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又f (k ≤－3.5. 解析：选D ∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴t ＝ab ＝a (6－a )＝－(a －3)2＋9，∴当且仅当a ＝b ＝3时，t 取得最大值9，故选D.6. 解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx ，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin x x ，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )取得极大值g (π)＝πf (π)＝2π.7. 解析：⎠⎛01f (x )d x 是一个常数，设为c ，则有f (x )＝x －c ，∴x －c ＋⎠⎛01(x －c )d x＝x ，解得c ＝14，即⎠⎛01f (x )d x ＝14.答案：148. 解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立． 又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞9. 解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－（ax ＋1）（x －1）x .①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a . 因为x ＝1是f (x )的极大值点， 所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 10. 解：(1)f ′(x )＝x （1－a －ax ）x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13. 经检验，a ＝13符合题意，故a 的值为13. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a －1.①当0<a<1时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎭⎪0，1a －1，单调减区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞；②当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)； ③当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a －1和(0，＋∞)．综上，当0<a<1时，f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1，单调减区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a －1和(0，＋∞)．11. 解：(1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x ，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.12. 解：(1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x (x>0)， 由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x －2x －3ln x ， ∴f ′(x )＝（x －1）（x －2）x 2，根据题意由f ′(x )＝0，得x ＝2. 于是可得下表：∴f (min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x >0)．由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，⎝⎛⎭⎪⎪⎫也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h （0）>0， 解得0<a <98.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98.。
【三维设计】2017届高三数学理二轮复习通用版第一部分课件基础送分题题型专题七统计与统计案例
[技法融会] 解决抽样问题的策略 (1)随机抽样的方法有三种， 其中简单随机抽样适用于总体中的 个体数量不多的情况， 当总体中的个体数量较多且差别不大时要使 用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样． (2)在系数抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取 n 个个 N 体，样本就需要分成 n 个组，则分段间隔即为 (N 为样本容量)， n 首先确定在第一组中抽取的个体的号码数， 再从后面的每组中按规 则抽取每个个体.
统计案例
1．回归分析
方程^ y ＝^ b x＋^ a 称为线性回归方程，其中^ b＝ 称为样本点的中心． 2．独立性检验
2 （ a ＋ b ＋ c ＋ d ）（ ad － bc ） K2＝ ， （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
若 k0>3.841，则有 95%的把握认为两个事件有关； 若 k0>6.635，则有 99%的把握认为两个事件有关．
解析：选 A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调 1 000 查的人的编号构成首项为 8，公差 d＝ ＝20 的等差数列 50 {an}，∴通项公式 an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令 751≤20n 763 253 －12≤1 000，得 ≤ n≤ ，又∵n∈N*，∴39≤n≤50， 20 5 ∴做问卷 C 的共有 12 人，故选 A.
[题组练透] 1． (2016· 山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单 位：小时)，制成了如图所示的 频率分布直方图，其中自习时 间的范围是[17.5， 30]，样本数 据分组为[17.5，20)，[20， 22.5)，[22.5， 25)， [25，27.5)， [27.5，30]．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间 不少于 22.5 小时的人数是( A． 56 B．60 C． 120 ) D． 140
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题专题检测(十一)三角函数的图象与
专题检测（十一） 三角函数的图象与性质（高考题型全能练） 一、选择题1．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π62．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.16253．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π4．(2016·湖南东部六校联考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π35．(2016·山西质检)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．16．(2016·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1，对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2二、填空题7．已知α为第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－33，则tan α的值为________． 8．(2016·重庆模拟)将函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，则φ的最小值为________．9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．三、解答题10．(2016·合肥质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 11．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域．12．(2016·湖北七市联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．答 案 1. 解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.2. 解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.故选A. 3. 解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.4. 解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，结合各选项知函数的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6. 5. 解析：选C 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3∈(0，π)，2x 2＋π3∈(0，π)，∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C.6. 解析：选B 由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π6＋φ≥0，2π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.7. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝33，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－63，∴tan α＝sin αcos α＝－22.答案：－228. 解析：依题意，将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移φ个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3＋1的图象，又该图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，于是有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＋π3＋1＝1，即sin(7π12－φ)＝0，φ－7π12＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋7π12，k ∈Z ，因此正数φ的最小值是7π12.答案：7π129. 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π210. 解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 11. 解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以g (x )＝－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36. 12. 解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22(12sin x ＋32cos x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z . 于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z . 又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称， 令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，k ∈Z ，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分检测重点保分题题型专题(十七)圆锥曲线的方
题型专题(十七) 圆锥曲线的方程与性质[师说考点] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[典例] (1)(2016·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 [解析] 选A 由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)(2016·沈阳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.[解析] 法一：令l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 法二：如图所示，∠AFO ＝30°，∴∠P AF ＝30°，又|P A |＝|PF |，∴△APF 为顶角∠APF ＝120°的等腰三角形， 而|AF |＝2cos 30°＝433，∴|PF |＝|AF |3＝43.[答案] 43[类题通法]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上得4a 2＋3b 2＝1 ①.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2·2c ，c a ＝12②.又∵c 2＝a 2－b 2 ③，联立①②③得a 2＝8，b 2＝6. 即椭圆方程为x 28＋y 26＝1.2．(2016·广州模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵，∴x A ＋1＝2(x B ＋1)，又x A x B ＝1，∴x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.答案：94[师说考点]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典例] (1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.(2)(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2[解析] 选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.[类题通法]应用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[演练冲关]1．(2016·湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A. 2．(2016·广州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．3x ±4y ＝0解析：选C 双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a ＋c ，右焦点到渐近线y ＝±ba x 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则a ＋c ＝2b ，c ＝2b －a ，a 2＋b 2＝c 2＝(2b －a )2，所以3b ＝4a ，b a ＝43，所以所求渐近线方程为4x ±3y ＝0.3．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2，并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：2[师说考点]判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．[典例] (2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝p t x ， 将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [类题通法]求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程； 若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[演练冲关]1．(2016·重庆模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M (11，0)，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：选C 由题意可得直线AB 的方程是y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p2，代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，化简得3x 2－5px ＋34p 2＝0，则AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫5p 6，3p 3，则3p 35p 6－11＝－33，解得p ＝6.2．(2016·云南模拟)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程； (2)若，求m 2的取值范围．解：(1)根据已知设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由已知得c a ＝32，∴c ＝32a ，b 2＝a 2－c 2＝a 24.∵以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45， ∴4a 2＋b 2＝25a ＝45，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)根据已知得P (0，m )，设A (x 1，kx 1＋m )，B (x 2，kx 2＋m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2＋y 2－4＝0得，(k 2＋4)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0. 由已知得Δ＝4m 2k 2－4(k 2＋4)(m 2－4)>0， 即k 2－m 2＋4>0，且x 1＋x 2＝－2km k 2＋4，x 1x 2＝m 2－4k 2＋4.由得x 1＝－3x 2.∴3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝12x 22－12x 22＝0.∴12k 2m 2（k 2＋4）2＋4（m 2－4）k 2＋4＝0，即m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0. 当m 2＝1时，m 2k 2＋m 2－k 2－4＝0不成立， ∴k 2＝4－m 2m 2－1.∵k 2－m 2＋4>0，∴4－m 2m 2－1－m 2＋4>0，即（4－m 2）m 2m 2－1>0. ∴1<m 2<4.∴m 2的取值范围为(1，4)．圆锥曲线与其他知识的交汇圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式、数列等知识交汇，成为命题的热点和难点．[典例] 已知过定点(2，0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．若x 1，x 2是方程x 2＋x sin α－cos α＝0的两个不相等实数根，则tan α的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 [解析] 选A 设直线方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝x 2，得x 2－kx ＋2k ＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝2k ，又∵x 1，x 2为x 2＋x sin α－cos α＝0的两个不同的根，∴k ＝－sin α，2k ＝－cosα，∴tan α＝12.[类题通法]本题是抛物线、直线的方程与三角函数的交汇，在求解时，利用根与系数之间的关系找出x 1，x 2与α的三角函数关系，问题即可解决．[演练冲关]1.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计)．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.154 B.15 C.265 D.14解析：选A 如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为O 1，O 2，椭圆与球筒边缘的交点分别为E ，F ，椭圆与两个乒乓球的切点分别为A ，B ，由题可知，|O 1O 2|＝16，|O 1A |＝2，过点E 作EM ⊥O 1O 2，则|EM |＝|O 1A |＝2，易知△EMO ≌△O 1AO ，则|EO |＝|O 1O |＝8，所以|EF |＝16，即2a ＝16，a ＝8.椭圆的短轴长为圆柱的直径，即2b ＝4，b ＝2，所以c ＝a 2－b 2＝215，故该椭圆的离心率e ＝c a ＝154，选项A 正确．2．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝120°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，因为△F 1PF 2的三边长成等差数列，∠F 1PF 2＝120°，∴F 1F 2为最大边，∴2c ＋|PF 2|＝2|PF 1|，解得|PF 1|＝2(c －a )，|PF 2|＝2(c －2a )．由余弦定理，(2c )2＝4(c －a )2＋4(c －2a )2－2×4(c －a )(c －2a )cos 120°，化简得7a 2－9ac ＋2c 2＝0，即2e 2－9e ＋7＝0.∵e ≠1，∴e ＝72.答案：72一、选择题1．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析：选B 依题意，不妨设M (x ，y )，y >0，因为|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p 2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .4．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1 C ．5x 2－54y 2＝1 D.54y 2－5x 2＝1解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0，1)，所以双曲线的焦点在y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ，所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ>0)，即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为5y 24－5x 2＝1，故选D. 5．(2016·福建质检)已知过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点的直线l 与C 交于A ，B两点，且使|AB |＝4a 的直线l 恰好有3条，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选A 不妨设直线l 过双曲线的右焦点，由题意及双曲线的对称性可得，直线l 必有一条过右焦点且与x 轴垂直，因为|AB |＝4a ，所以可取点A (c ，2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2－4a 2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，解得ba＝2，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 6．(2016·江西两市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π4B.⎣⎡⎦⎤π6，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，π2 解析：选C ∵e ∈[2，2]，∴2≤c 2a 2≤4，又c 2＝a 2＋b 2，∴2≤a 2＋b 2a 2≤4，∴1≤b 2a 2≤3，∴1≤b a ≤3，设所求角为θ，则tan θ＝b a ，∴1≤tan θ≤3，∴π4≤θ≤π3. 二、填空题7．(2016·唐山模拟)焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案：x 25－y 220＝1 8．(2016·江西景德镇二模)已知抛物线Γ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q 是直线PF 与Γ的一个交点．若，则直线PF 的方程为________．解析：由抛物线y 2＝4x 可得焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，设P (－1，y P )，Q (x Q ，y Q )，由，得⎩⎪⎨⎪⎧y Q －y P ＝2（0－y Q ），x Q ＋1＝2（1－x Q ），又因为y 2Q ＝4x Q ，则易知y P ＝±23，即P (－1，23)或P (－1，－23)．当P 点坐标为(－1，23)时，直线PF 的方程为3x ＋y －3＝0，当P 点坐标为(－1，－23)时，直线PF 的方程为3x －y －3＝0，所以直线PF 的方程为3x ＋y －3＝0或3x －y －3＝0. 答案：3x ＋y －3＝0或3x －y －3＝09．(2016·兰州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，则2c ＝|PF 2|＝2a －10，2m ＝10－2c ，所以a ＝c ＋5，m ＝5－c ，所以e 1e 2＝c c ＋5×c 5－c ＝c 225－c 2＝125c 2－1，又由三角形的性质知2c ＋2c >10，由已知2c <10，c <5，所以52<c <5，1<25c 2<4，0<25c 2－1<3，所以e 1e 2＝125c 2－1>13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 三、解答题10．(2016·郑州质检)已知曲线C 的方程是mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，且曲线过A ⎝⎛⎭⎫24，22，B ⎝⎛⎭⎫66，33两点，O 为坐标原点． (1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上两点，向量p ＝(mx 1，ny 1)，q ＝(mx 2，ny 2)，且p ·q ＝0，若直线MN 过点⎝⎛⎭⎫0，32，求直线MN 的斜率． 解：(1)由题可得⎩⎨⎧18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1. ∴曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1. (2)设直线MN 的方程为y ＝kx ＋32，代入椭圆方程y 2＋4x 2＝1得：(k 2＋4)x 2＋3kx －14＝0， ∴x 1＋x 2＝－3k k 2＋4，x 1x 2＝－14k 2＋4， ∴p ·q ＝(2x 1，y 1)·(2x 2，y 2)＝4x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴－1k 2＋4＋－14k 2k 2＋4＋32k ·（－3k ）k 2＋4＋34＝0， 即k 2－2＝0，k ＝±2，故直线MN 的斜率为±2.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1，0)，若＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切． 解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32， 又∵＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍)或m ＝2，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，M 点的横坐标为x 1＋x 22＝1， ∵＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径，∵点M 的横坐标为1，∴MA ⊥x 轴，∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．12．如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆Γ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意得，圆心坐标为(r ，2)．∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋22，∴r ＝52，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)证明：把y ＝0代入方程⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1，0)，N (4，0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），2x 2＋y 2＝8，消去y 得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1·x 2＝k 2－8k 2＋2. ∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k （x 1－1）x 1－4＋k （x 2－1）x 2－4＝k （x 1－1）（x 2－4）＋k （x 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）. ∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2（k 2－8）k 2＋2－10k 2k 2＋2＋8＝0， ∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM .综上所述，∠ANM ＝∠BNM .。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)课余自主加餐训练12+4限时提速练(三)Word版含解析
“12＋4”限时提速练(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝m1－i＋1－i 2(i 是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 2．设集合A 满足{a }⊆A{a ，b ，c ，d }，则满足条件的集合A 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．－22或2 2 D ．－4或44．已知在平面中，A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若，则λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－25．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52 C ．2 D.3556．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.13πB.23πC.43πD.53π7．定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4.7时，输出的y 值为( )A ．7B ．8.6C ．10.2D ．11.88.已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0，若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x C ．2－x D ．－2x9．已知x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14，设(x ＋2)2＋(y ＋1)2的最小值为ω，则函数f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωt ＋π6的最小正周期为( )A.2π3 B ．π C.π2 D.2π510．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2 011)，则{a n }的前2 016项之和为( )A ．0B ．1 008C ．2 016D ．4 03211.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)及圆O ：x 2＋y 2＝a 2，如图过点B (0，a )与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A ，若∠AOB ＝60°，则椭圆的离心率为( )A.33B.12C.32D.1312．定义在(－1，1)上的函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－…－x 2 0162 016，设F (x )＝f (x ＋4)，且F (x )的零点均在区间(a ，b )内，其中a ，b ∈Z ，a ＜b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知(x ＋2y )n 的展开式中第二项的系数为8，则(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中所有项的系数和为________．14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．15．已知A ，B ，C 为球O 表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O 1，且AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，球面上的点P 在平面ABC 上的射影恰为O 1，三棱锥P -ABC 的体积为36，则球O 的表面积为________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n ，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答 案一、选择题1．解析：选C 由已知z ＝m1－i＋1－i 2＝m （1＋i ）2＋1－i 2＝（m ＋1）＋（m －1）i 2，则m ＋12＋m －12＝1，得m ＝1，故选C.2．解析：选D 根据子集的定义，可得集合A 中必定含有元素a ，而且含有a ，b ，c ，d 中的至多三个元素．因此，满足条件{a }⊆A{a ，b ，c ，d }的集合A 有{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，c ，d }，{a ，b ，d }，共7个．3．解析：选A ∵a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，因此a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8，∴a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A.4．解析：选C 由已知得，＝(1，3)，＝(1，0)，则＝(λ－2，3λ)，又点C 在第二象限，故λ－2＜0，3λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC ＝120°，所以cos ∠AOC ＝λ－2（λ－2）2＋3λ2＝－12，解得λ＝1，故选C. 5．解析：选A 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，代入抛物线方程得，x 2±b a x ＋1＝0，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，故e 2＝c 2a 2＝b 2a 2＋1＝5，∴e ＝5，故选A.6．解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选C.7．解析：选C 当输入的x 为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C.8.解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D.9．解析：选D由不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14作出可行域如图中阴影部分所示，(x ＋2)2＋(y ＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C (－2，－1)之间的距离的平方，其最小值为5，故f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5t ＋π6，其最小正周期T ＝2π5，故选D.10．解析：选C ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上单调，且数列{a n }的公差不为0，f (a 6)＝f (a 2 011)，∴a 6＋a 2 011＝2，∴a 1＋a 2 016＝a 6＋a 2 011＝2，∴S 2 016＝2 016（a 1＋a 2 016）2＝2 016.11.解析：选A 由已知，显然直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋a ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 2c 2＝0，∴Δ＝4a 6k 2－4a 2c 2(b 2＋a 2k 2)＝0，结合图形解得k ＝c a ，即直线l 的方程为y ＝ca x ＋a .故直线l 的斜率为ca ＝e ，由于∠AOB ＝60°，设AB 与x 轴交于点C ，则在Rt △OBC 中，∠OCB ＝30°，因而e ＝tan ∠OCB ＝33，故选A.12．解析：选A f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x2 015＝1－x 2 0161＋x＞0，因而f (x )在(－1，1)上单调递增，f (－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016＜0，f (0)＝1＞0，因而函数f (x )仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F (x )＝f (x ＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b －a 的最小值为1，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π，故选A.二、填空题13．解析：(x ＋2y )n 的展开式中第二项的系数为8，即C 1n ×2＝8，故n ＝4.令x ＝1，可得(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4展开式中所有项的系数和为2＋22＋23＋24＝30.答案：3014．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 15．解析：由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，知圆O 1的半径r ＝1， 且S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设PO 1＝h ，球O 的半径 为R ，因而V P ABC ＝13×34×h ＝36，得h ＝2，R 2＝(h －R )2＋r 2， 即R 2＝4－4R ＋R 2＋1，R ＝54，则球O 的表面积为4πR 2＝4π× 2516＝25π4. 答案：25π416．解析：法一：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式， 因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2. 又由已知得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝12n (n ＋1)b n ， a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1，则(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1－12n (n ＋1)b n ， ∴a n ＋1＝b n ＋1＋n .a n ＋1－a n ＝b n ＋1－b n ＋1＝3，则2p ＝3，a 1＝－12. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －72.法二：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式， 因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2，a n ＋1－a n ＝2p ， 因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2，b 1＝a 1＝p －2， b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2，得2p ＝3，a 1＝－12.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72. 答案：a n ＝3n －72。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分检测基础送分题题型专题(四)不等式教师用书
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2016·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2016·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2016·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2016·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2016·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2016·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2016·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2016·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2016·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B. 6．(2016·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2016·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．C ．17万元 D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2016·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c－b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2016·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2016·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2016·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1x c ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x <1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)． 答案：(－3，－1)∪(1，2)。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分基础送分题教师用书题型专题(三)平面向量Wo
题型专题(三) 平面向量(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组练透]1．(2016·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2解析：选C ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.2．(2016·唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，M 为BC 的中点，则＝( )3．(2016·广州综合测试)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若(m ，n ∈R )，则mn ＝ ( )A ．－3B ．－13 C.13 D ．3解析：选A 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，∴m n ＝1－13＝－3.4．(2016·杭州综合测试)设P 是△ABC 所在平面内的一点，且则△P AB与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B∵∴＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，∴S △P ABS △PBC＝＝12.[技法融会]1．平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．2．(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a ，b 的夹角，一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |＝|a |cos θ(θ为两向量的夹角)． [题组练透]1．(2016·全国丙卷)已知向量＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以·＝34＋34＝32. 又因为·＝||||cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.2．(2016·合肥质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a －2b )，则|b |＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选B 由a ⊥(a －2b )得，a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0，则|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|b |＝2，选项B 正确．3．(2016·重庆二测)设单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－3e 2，则b 在a 方向上的投影为( )A ．－332B ．－ 3 C. 3 D.332解析：选A 依题意得e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12，|a |＝（e 1＋2e 2）2＝e 21＋4e 22＋4e 1·e 2＝3，a ·b ＝(e 1＋2e 2)·(2e 1－3e 2)＝2e 21－6e 22＋e 1·e 2＝－92，因此b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－923＝－332，选A. 4．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则·的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.1185．(2016·长春质检)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是________．解析：由题意，b |b |＝(0，1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －t b |b |表示同起点的向量t b|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是[1，13 ]．答案：[1，13 ] [技法融会]1．平面向量数量积运算的2种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．2．(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．一、平面向量与其他知识的交汇平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[新题速递]1．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5在R 上单调递减，则向量a ，b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π解析：选D 设向量a ，b 的夹角为θ，因为f (x )＝－2x 3＋3|a |x 2＋6a ·b x ＋5，所以f ′(x )＝－6x 2＋6|a |x ＋6a ·b ，又函数f (x )在R 上单调递减，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以Δ＝36|a |2－4×(－6)×(6a ·b )≤0，解得a ·b ≤－14|a |2，因为a ·b ＝|a |·|b |cosθ，且|a |＝2|b |≠0，所以|a ||b |cos θ＝12|a |2·cos θ≤－14|a |2，解得cos θ≤－12，因为θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，故选D.2．(2016·广东茂名二模)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53解析：选B ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x＋3y )＝13(6＋9y x ＋4x y ＋6)≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.[技法融会]这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量的知识得到关于x 和y 的一个等式，再利用基本不等式求解．二、新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．[新题速递]1．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sin θ，若u＝(2，0)，u－v＝(1，－3)，则|u×(u ＋v)|等于()A．4 3 B. 3 C．6 D．2 3解析：选D由题意v＝u－(u－v)＝(1，3)，则u＋v＝(3，3)，cos〈u，u＋v〉＝32，得sin〈u，u＋v〉＝12，由定义知|u×(u＋v)|＝|u|·|u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×23×12＝2 3.故选D.2．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；④若a＝(1，2)，b＝(－2，2)，则(a＋b)⊙b＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤|a＋b|2＋|a－b|22＝2|a|2，所以③成立；④中，因为a＝(1，2)，b＝(－2，2)，所以a＋b＝(－1，4)，sin〈(a＋b)，b〉＝33434，所以(a＋b)⊙b＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．答案：①③[技法融会]此类题目是新定义下平面向量的运算，破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题的切入口．一、选择题1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋k b.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－32B．－53 C.53 D.32解析：选A因为c＝a＋k b＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－3 2.2．(2016·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b 的夹角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3解析：选B∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝22，∴〈a，b〉＝π4.3．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则下列结论正确的是()4．(2016·贵州模拟)若单位向量e1，e2的夹角为π3，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝32，则λ＝()A．－12 B.32－1 C.12 D.32解析：选A 由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12，选项A 正确．5．(2016·湖南六校联考)设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13 B.13 C ．－1 D ．0解析：选B 由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B.6．已知向量a ，b ，c 中任意两个向量都不共线，但a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D ∵a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，∴可设a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μ a ，两式作差整理后得到(1＋λ)c ＝(1＋μ)a ，∵向量a ，c 不共线，∴1＋λ＝0，1＋μ＝0，即λ＝－1，μ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.故选D.7．(2016·山西质检)已知a ，b 是单位向量，且a ·b ＝－12.若平面向量p 满足p ·a ＝p ·b ＝12，则|p |＝( )A.12 B ．1 C. 2 D ．2解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，∴|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.8．(2016·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(1， 2 ] D．(－1，0)解析：选B由题意可得(0<k<1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．9．(2016·江西赣南五校联考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若则向量方向上的投影为()A.12 B.32C．－12D．－32解析：选A由可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以由题意知＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos 60°＝1 2.故选A.10．已知△ABC中，D为边BC的中点，则||等于()A．6 B．5 C．4 D．311．在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称．若向量a＝(1，k)，则满足不等式的点A(x，y)的集合为()A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}解析：选C由A(x，y)可得B(－x，y)，则＝(－2x，0)，不等式可化为x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.12．(2016·广州五校联考)已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量则的最大值为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A如图，设A(m，0)，B(0，n)，∴mn＝2，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，＝a＋2b＝(1，2)，＝(m－1，－2)，＝(－1，n－2)，＝5－(m＋2n)≤5－22nm＝1，当且仅当m＝2n，即m＝2，n＝1时，等号成立．二、填空题13．(2016·兰州模拟)已知m∈R，向量a＝(m，1)，b＝(2，－6)，且a⊥b，则|a－b|＝________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝2m－6＝0，m＝3，∴a－b＝(1，7)，∴|a－b|＝1＋49＝5 2.答案：5 214．已知a，b是非零向量，f(x)＝(a x＋b)·(b x－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|＝1，则f(x)＝________.解析：由f(x)＝a·b x2－(a2－b2)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，所以a2＋b2＝4.因为|a|＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以f(x)＝2x.答案：2x15．(2016·合肥质检)已知等边△ABC的边长为2，若＝3，则＝________.答案：－216．(2016·福州模拟)已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设＝a ，＝b ，则＝a －b .∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a－b |，∴△OAB 是等边三角形．设＝c ，则＝c －a ，＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3， ∴点C 在△ABC 的外接圆上(如图所示)，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分拉分题压轴专题(一)选择题第12题、填空题第
压轴专题（一） 选择题第12题、填空题第16题抢分练一、选择题1．(2016·山东高考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 32．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－3 4．(2016·海口调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π4，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，63B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，223 5．(2016·石家庄质检)已知定义在(0，2]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－3，x ∈（0，1]，2x －1－1，x ∈（1，2]，且g (x )＝f (x )－mx 在(0，2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 6．(2016·重庆模拟)设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且＝0，记α为的夹角，则下述判断正确的是( ) A ．cos α的最小值为22 B ．cos α的最小值为13 C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值为7257．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜1008．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．59．(2016·沈阳质检)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12 B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 310．(2016·东北四市联考)已知在区间[－4，4]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋5）＋43（x ＋1），－4≤x ≤－1，2|x －1|－2，－1<x ≤4，g (x )＝－18x 2－x ＋2(－4≤x ≤4)，给出下列四个命题：①函数y ＝f [g (x )]有三个零点； ②函数y ＝g [f (x )]有三个零点； ③函数y ＝f [f (x )]有六个零点； ④函数y ＝g [g (x )]有且只有一个零点． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题11．(2016·南昌模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，此时四面体ABCD 外接球的表面积为________．12．(2016·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝1，c ＝2，∠C ＝60°，若D 是边BC 上一点且∠B ＝∠DAC ，则AD ＝________．13．(2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．14．(2016·石家庄二模)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．15．(2016·浙江高考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．16．设函数f (x )＝(x －2)2(x ＋b )e x ，若x ＝2是f (x )的一个极大值点，则实数b 的取值范围为________．17．(2016·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．18．(2016·安徽十校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，若存在唯一的正整数n 使得不等式a 2n －ta n －2t 2≤0成立，则实数t 的取值范围为________．19．(2016·兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 216－y 2＝1的左、右焦点，点P i (x i ，0)与点P ′i (x ′i ，0)(i ＝1，2，3，…，10)满足＝0，且x i <－4，过P i 作x 轴的垂线交双曲线的上半部分于Q i 点，过P′i 作x 轴的垂线交双曲线的上半部分于O′i 点，若|F 1Q 1|＋| F 1Q 2|＋…＋| F 1Q 10|＝m ，则| F 1Q ′1|＋| F 1Q ′2|＋…＋| F 1Q ′10|＝________．20．(2016·河南八市联考)如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2，3]上单调递减；④⎠⎛02f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．答 案一、选择题1．解析：选A 若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则存在x 1＝2k π(k ∈Z )，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x ＞0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.综上所述，选A.2．解析：选A 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，又{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，所以S n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4.当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1a n－1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a nn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，所以a n ＝n 2n －1(n ∈N *)，故选A. 3．解析：选C 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，在点(－1，1)处取得最小值－3，∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）>0，f （1）>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2，故选C.4．解析：选A 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，因此M ，N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)，∴y 0＝a 2.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32b ，a 2.因为α是直线ON 的倾斜角，因此tan α＝a 2÷32b ＝a 3b .又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π4，因此33<tan α≤1，33<a 3 b ≤1，即33≤b a <1，13≤b 2a 2<1，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，63，选A.5．解析：选A 由函数g (x )＝f (x )－mx 在(0，2]内有且仅有两个不同的零点，得y ＝f (x )，y ＝mx 在(0，2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y ＝mx 与y ＝1x －3，x ∈(0，1]相切时，mx 2＋3x －1＝0，Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94，由图可得当－94<m ≤－2或0<m ≤12时，函数g (x )＝f (x )－mx 在(0，2]内有且仅有两个不同的零点，选项A 正确．6．7．解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D.8．解析：选B由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin(11x －π4)，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.9．解析：选D 由题令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)，显然该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D.10．解析：选D 如图，画出函数f (x )，g (x )的草图，①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，则t＝g(x)有三个不同值，且这三个值都在g(x)的值域内，由于y＝g(x)是减函数，所以f[g(x)]＝0有3个解，所以①正确；②设m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，则m＝x0∈(1，2)，所以f(x)＝x0∈(1，2)，由图象知对应f(x)＝x0∈(1，2)的解有3个，所以②正确；③设n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1个解，f(x)＝0对应有3个解，f(x)＝x2＝2对应有2个解，所以f[f(x)]＝0共有6个解，所以③正确；④设s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1，2)，则g(x)＝x3，因为y＝g(x)是减函数，所以方程g(x)＝x3只有1个解，所以④正确.二、填空题11．解析：由题知，求四面体ABCD的外接球的表面积可转化为求长、宽、高分别为1、1、3的长方体的外接球的表面积，其半径R＝1212＋12＋（3）2＝52，所以S＝4πR2＝5π.答案：5π12．解析：在△ABC中，由正弦定理可得bsin ∠B＝csin ∠C，sin ∠B＝b sin ∠Cc＝34，且∠B<∠C，则∠B为锐角，cos ∠B＝134.在△ADC中，由正弦定理得ADsin ∠C＝b sin ∠ADC＝bsin （∠DAC ＋60°）＝bsin （∠B ＋60°），则AD ＝b sin ∠C sin （∠B ＋60°）＝3234×12＋134×32＝13－13.答案：13－1313．解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB|cos π6＝23×23＝4.答案：414．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4. 设＝a ，＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (1，1)，B (3，0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)·(6－3x )＋(y －2)·(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝（x －3）2＋y 2≤（3－2）2＋（0－1）2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋115．解析：在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ，∴PD ＝23－x ， ∴V P BCD ＝13S △BCD ·h ≤13×12BC ·CD ·sin 30°·PD ＝16x (23－x )≤16⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22＝16×⎝⎛⎭⎪⎫2322＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． 故四面体PBCD 的体积的最大值为12. 答案：1216．解析：由条件得，f (x )＝[x 3＋(b －4)x 2＋(4－4b )x ＋4b ]e x ，则f ′(x )＝[x 3＋(b －1)x 2＋(－4－2b )x ＋4]e x ，易知f ′(2)＝0恒成立，满足题意．记g (x )＝x 3＋(b －1)x 2＋(－4－2b )x ＋4，则g ′(x )＝3x 2＋2(b －1)x ＋(－4－2b )，又x ＝2是f (x )的一个极大值点，所以g ′(2)<0，所以2b ＋4<0，解得b <－2.答案：(－∞，－2)17．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案：218．解析：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（n ＋1）a n 2－na n －12， 整理得a n n ＝a n －1n －1，又a 1＝1，故a n ＝n ， 不等式a 2n －ta n －2t 2≤0可化为n 2－tn －2t 2≤0，设f (n )＝n 2－tn －2t 2，由于f (0)＝－2t 2≤0，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－t －2t 2≤0，f （2）＝4－2t －2t 2>0，解得－2<t ≤－1或12≤t <1.答案：(－2，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 19．解析：因为＝0，所以点P i ，P ′i 关于坐标原点对称，又由题可知| F 1Q i |＝| F 2Q ′i |，因为| F 1Q 1|＋| F 1 Q 2|＋…＋| F 1 Q 10|＝m ，根据双曲线定义可知，| F 1 Q ′i |－| F 2 Q ′i |＝2a ＝8，所以| F 1 Q ′1|＋| F 1 Q ′2|＋…＋| F 1 Q ′10|＝(8＋| F 1 Q 1|)＋(8＋| F 1 Q 2|)＋…＋(8＋| F 1 Q 10|)＝80＋m .答案：80＋m20. 解析：从函数y＝f(x)的图象可以判断出，图象关于y轴对称，每4个单位图象重复出现一次，且在区间[2，3]上随x增大，图象是往上的，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x＝0，x＝2，x轴围成的图形由一个半径为2、圆心角为π4的扇形，一个半径为1、圆心角为π2的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S＝18×π×2＋14×π＋12＝π＋12，④正确．答案：①②④。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分检测重点保分题题型专题(十一)三角函数的图
题型专题(十一) 三角函数的图象与性质[师说考点]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)．2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x.[典例] (1)(2016·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________.[解析] 因为cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79. [答案] －79(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.[答案] －34[类题通法]应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[演练冲关]1．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析：选D tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cos π4sin π4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0，2π)，所以θ＝7π4.2．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：因为1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ[师说考点]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换[典例] (1)(2016·全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3[解析] 选A 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)(2016·全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3[解析] 选D 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.[类题通法]解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(如例(1))(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(如例(2))[演练冲关]1．(2016·西安质检)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选D 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin(12x ＋π6)的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.2．(2016·贵州模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0<φ≤π2，所以φ＝π6，选项A 正确．3.(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[师说考点]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性、对称轴方程y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典例] (2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin(π2－x )·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．[类题通法]三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路：令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.(3)三角函数最值的求法在求最值时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．[演练冲关]1．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.2．(2016·兰州模拟)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称 解析：选B 由题意可得将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos(π2－2x )＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x ＝π2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为22，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B.3．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6解析：选A 依题意得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，选A.三角函数与其他知识的交汇三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[典例] (1)已知方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos 2α＝2αsin 2αC ．sin 2β＝－2βsin 2βD ．cos 2β＝－2βsin 2β[解析] 选C 依题意y ＝|cos x |与y ＝kx 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图，设直线y ＝kx 与y ＝－cos x 的切点B (β，－cos β)，与y ＝cos x 的一个交点为A (α，cos α)，又y ′＝(－cos x )′＝sin x ，依题意y ′|x ＝β＝sin β，∴k ＝sin β，又－cos β＝kβ， ∴cos β＝－βsin β， ∴2sin βcos β＝－2βsin 2β， 即sin 2β＝－2βsin 2β.(2)(2016·合肥质检)存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πk x ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3，由题意可得：T ＝2ππk＝2k ，T ≤23<2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3. [答案] ⎝⎛⎦⎤32，3[类题通法]解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例(2)，可利用三角函数的周期性结合x 的范围列出不等关系求解，而本例(1)应利用数形结合思想．[演练冲关]1．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.2．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0，2π]上的零点个数为________． 解析：由已知得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当f (x )＝0时，2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，则当x ∈[0，2π]时f (x )有4个零点．答案：4一、选择题1．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k＝0时，ωmin ＝π6，故选D.2．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A. 3．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.4．(2016·湖南东部六校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π6B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 C.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π6，2π3解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，结合各选项知函数的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6.5．(2016·山西质检)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1 解析：选C 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3∈(0，π)，2x 2＋π3∈(0，π)， ∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选C. 6．(2016·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1，对∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π12，π3 D.⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：选B 由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π6＋φ≥0，2π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3. 二、填空题7．已知α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－33，则tan α的值为________． 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝33，又α为第二象限角，∴cos α＝ －1－sin 2α＝－63，∴tan α＝sin αcos α＝－22. 答案：－228．(2016·重庆模拟)将函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，1，则φ的最小值为________． 解析：依题意，将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移φ个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π3＋1的图象，又该图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，于是有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＋π3＋1＝1，即sin(7π12－φ)＝0，φ－7π12＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋7π12，k ∈Z ，因此正数φ的最小值是7π12. 答案：7π129．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π2三、解答题10．(2016·合肥质检)已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域． 解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝ －33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以g (x )＝－33cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎡⎦⎤－33，36. 12．(2016·湖北七市联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )．(1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值． 解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22(12sin x ＋32cos x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z . 于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12. (2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称， 令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4，k ∈Z ，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题教师用书题型专题(十九)选修4-4
题型专题(十九) 选修4－4(坐标系与参数方程)[师说考点]1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b .[典例] (2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是 (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程 (t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6，0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝ 25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即直线l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以直线l 的斜率为－153或153.[类题通法]极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．[演练冲关](2016·山西质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．解：(1)C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0，1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.[师说考点]几种常见曲线的参数方程(1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数． 当圆心在(0，0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数． 椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．[典例] (2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. [类题通法]有关参数方程问题的2个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化．(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义．[演练冲关](2016·郑州质检)平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ，所以曲线C 的极坐标方程为：ρ＝2cos θ.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)． (2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－ 2.1．(2016·南昌模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，∴4cos 2α＝2，故cos α＝±22，即α＝π4或3π4.2．(2016·广西质检)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．解：(1)斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.① 将⎩⎨⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝4＋2sin t消去参数t ，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355<2， 故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0，x 2＋y 2－4x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. 3．(2016·合肥质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m .(1)当m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆；当m ＝0时，直线l 的直角坐标方程为：x ＋y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5. 即所求实数m 的取值范围为[－1，5]．4．(2016·贵阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.5．(2016·合肥质检)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a >－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值．解：(1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a >－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋32t代入曲线C 的直角坐标方程得(1＋12t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.∵曲线C 与直线l 仅有唯一公共点，∴Δ＝1－4(－a －2)＝0，解得a ＝－94.6．(2016·广州五校联考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．解：(1)曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1，1]． ① 曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22⇒x ＋y ＋1＝0， ② 联立①②，消去y 可得：x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1，0)．(2)曲线C 3：ρ＝2sin θ⇒x 2＋(y －1)2＝1，是以(0，1)为圆心，半径r ＝1的圆． 设圆心为C ，点C ，B 到直线x ＋y ＋1＝0的距离分别为d ，d ′，则d ＝|0＋1＋1|2＝2，|AB |≥d ′≥d －r ＝2－1， 所以|AB |的最小值为2－1.7．(2016·武昌区调研)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝2x 1，y ＝3y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 3.由x 21＋y 21＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1. 即曲线Γ的方程为x 24＋y 29＝1.故Γ的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝3sin t (t 为参数)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 29＝1，3x ＋2y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3. 不妨设P 1(2，0)，P 2(0，3)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所求直线的斜率k ＝23.于是所求直线方程为y －32＝23(x －1)，即4x －6y ＋5＝0.化为极坐标方程，得4ρcos θ－6ρsin θ＋5＝0.8．(2016·石家庄模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ和曲线C 2：ρcos θ＝3，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 1上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线C 2于点Q ，求线段PQ 长度的最小值．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＝3.(2)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ，∵PQ ⊥OP ，∴PQ 过点A (2，0)，设直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)， 代入C 1可得t 2＋2t cos θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－2cos θ，可知|AP |＝|t 2|＝|2cos θ|.代入C 2可得2＋t cos θ＝3，解得t ′＝1cos θ，可知|AQ |＝|t ′|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos θ， ∴|PQ |＝|AP |＋|AQ |＝|2cos θ|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos θ≥22，当且仅当|2cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos θ时取等号，∴线段PQ 长度的最小值为2 2.。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题教师用书题型专题(九)基本初等函
题型专题(九)基本初等函数、函数与方程[师说考点]1．指数与对数式的8个运算公式(1)a m·a n＝a m＋n，(2)(a m)n＝a mn，(3)(ab)m＝a m b m.其中，a>0，b>0.(4)log a(MN)＝log a M＋log a N，(5)log a MN＝log a M－log a N，(6)log a M n＝n log a M，(7)a log a N＝N，(8)log a N＝log b Nlog b a.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．[典例](1)(2016·全国丙卷)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b[解析]选A因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝243＝423，c＝2513＝523，由函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.(2)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是()[解析]选D当a>1时，函数f(x)＝x a(x≥0)单调递增，函数g(x)＝log a x单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝x a(x≥0)单调递增，函数g(x)＝log a x单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.[类题通法]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(2016·贵州模拟)函数y＝a x＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是()A．(0，0) B．(0，－1)C．(－2，0) D．(－2，－1)解析：选C令x＋2＝0，x＝－2，得f(－2)＝a0－1＝0，所以y＝a x＋2－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C正确．2．(2016·广州模拟)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b<a<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b解析：选D1＝log33<a＝log37<log39＝2，b＝21.1>21＝2，c＝0.83.1<0.80＝1，所以c<a<b.3．(2016·浙江高考)已知a＞b＞1，若log a b＋log b a＝52，ab＝b a，则a＝________，b＝________．解析：∵log a b＋log b a＝log a b＋1log a b＝52，∴log a b＝2或1 2.∵a＞b＞1，∴log a b＜log a a＝1，∴log a b＝12，∴a＝b2.∵a b＝b a，∴(b2)b＝bb2，即b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4.答案：4 2[典例](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是() (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年[解析]选B建立不等式求解．设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．[类题通法]应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[演练冲关]1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A 、B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N ，0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，即有3种调运方案．2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件该产品需另投入的成本为G (x )(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，G (x )＝51x ＋10 000x －1 450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是( )A ．1 150万元B ．1 000万元C ．950万元D ．900万元解析：选B ∵每件产品的售价为0.05万元，∴x 千件产品的销售额为0.05×1000x ＝50x 万元．①当0<x <80时，年利润L (x )＝50x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x－250＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且最大值为L (60)＝950万元；②当x ≥80时，L (x )＝50x －51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950<1 000，∴当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元．故选B.函数的零点与其他知识的交汇1．确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．2．有关函数的零点问题已成为近年高考命题的一个热点．而函数的零点与函数性质、不等式、方程根的交汇成为高考的命题方向．[典例] (1)(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 选C 作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．[解析] 作出f (x )的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3.[答案] (3，＋∞)[类题通法]利用函数零点求参数值(范围)的3种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，59C.⎝ ⎛⎭⎪⎫59，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以函数f (x )＝log 3x －x ＋2在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，13上必有一个零点． 2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C 因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3，应选C.3．(2016·郑州质检)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0<x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0，6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16解析：选C ∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.当0<x ≤1时，f (x )＝log 12x ，故f (x )在(0，6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－1＝0在(0，6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.A 级——常考点落实练1．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：选A 要使函数有意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.5（4x －3）>0，解得34<x <1. 2．(2016·广西质检)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2x ≥15.则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x－1)2－4，当2x ＝1时，f (x )取得最小值－4.3．函数f (x )＝e x ＋x －2(e 为自然对数的底数)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上是增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，∴f (0)f (1)<0，可得函数f (x )＝e x ＋x －2在(0，1)上有唯一零点，故选B.4．(2016·唐山模拟)若函数f (x )＝lg(mx ＋x 2＋1)为奇函数，则m ＝( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．0解析：选C 因为函数f (x )为奇函数，所以lg(mx ＋x 2＋1)＝－lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m＝±1，故选C.5．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故选B.6．(2016·沈阳模拟)若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是()A B C D解析：选B由函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数，选B.7．若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：选A m＝－log2x(x≥1)存在零点，则m的范围即为函数y＝－log2x(x≥1)的值域，∴m≤0.8．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元解析：选D设该公司的年收入为x万元(x>280)，则有280×p%＋（x－280）（p＋2）%x＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故该公司的年收入为320万元．9．(2016·全国乙卷)若a＞b＞0，0＜c＜1，则()A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b解析：选B法一：因为0＜c＜1，所以y＝log c x在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以log c a＜log c b，故选B.法二：取a ＝4，b ＝2，c ＝12，则log 412＝－12＞log 212，排除A ；412＝2＞212，排除C ；⎝ ⎛⎭⎪⎫124＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122，排除D.故选B. B 级——易错点清零练1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 2．(2016·广州五校联考)设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A ∵a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝213>20＝1，∴a <b <c . 3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m 2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]C 级——“12＋4”高考练一、选择题1．(2016·贵州模拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．(2016·湖南东部六校联考)函数y ＝lg|x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减解析：选B 因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.3．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析：选D 车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.故选D.4．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，4) D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．5．(2016·河南焦作一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.6．(2016·河北五校联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2，4)B ．(－4，－2)∪(－1，2)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C.7．(2016·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.8．(2016·石家庄一模)已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，得y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，所以a >c >b ，选项D 正确．9．(2016·山西四校联考)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3，5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 画出y 1＝f (x )，y 2＝12log 2|x |的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.10．(2016·兰州模拟)已知命题：①函数y ＝2x (－1≤x ≤1)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2；②为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度；③当n ＝0或n ＝1时，幂函数y ＝x n 的图象都是一条直线； ④已知函数f (x )＝|log 2x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则ab ＝1. 其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④解析：选B ①：由f (x )＝2x在R 上单调递增可知①正确；②：应向右平移π6个单位长度，故②错误；③：当n ＝0时，y ＝x n 的图象应为直线y ＝1去掉点(0，1)，故③错误；④：∵a ≠b ，∴log 2a ＝－log 2b ，log 2a ＋log 2b ＝0，log 2(ab )＝0，ab ＝1，故④正确．∴正确的命题为①④，故选B.11．(2016·海口调研)若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，427B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，427 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫427，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤427，23 解析：选A 依题意，注意到x ＝0是方程|x 4－x 3|＝ax 的一个根．当x >0时，a ＝|x 3－x 2|，记f (x )＝x 3－x 2，则有f ′(x )＝3x 2－2x ，易知f (x )＝x 3－x 2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在区间(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增．又f (1)＝0，因此g (x )＝|x 4－x 3|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，x >0，－|f （x ）|，x <0的图象如图所示，由题意得直线y ＝a 与函数y ＝g (x )的图象有3个不同的交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，427，选A.12．(2016·江西两市联考)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2，3]解析：选D 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1，4)，∴要使其零点在区间[0，2]上，则⎩⎨⎧g （0）≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎨⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3. 二、填空题13．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.答案：－114．已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.解析：由题意得：|f (0)|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1；|f (1)|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1，因此n ＝－1，∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2，∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－19.答案：－1915．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．解析：由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案：2416．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，－1<x ≤0，x ，0<x ≤1与g (x )＝a (x ＋1)的图象在(－1，1]上有2个交点，若方程x －1x ＝5a 的解为正整数，则满足条件的实数a 的个数为________．解析：在同一坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象，如图，结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.由x －1x ＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0可得a ＝0，不满足题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0可得a ＝310≤12，满足题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0可得a ＝815>12，不满足题意．又函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a 的个数为1.答案：1。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分检测重点保分题题型专题(十三)数列教师用书
题型专题(十三) 数 列[师说考点]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ；S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q(q ≠1)．[典例] (1)(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.[解析] ∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×（6－1）2d ＝6.[答案] 6(2)(2016·全国乙卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .①求{a n }的通项公式； ②求{b n }的前n 项和．[解] ①由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. ②由①知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1. [类题通法]1．等差(比)数列的基本运算在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (或q )的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量．2．判断和证明数列是等差(比)数列的2种方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数．(2)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．[演练冲关]1．若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A.38 B.245 C.316 D.916解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2a 1q ＝3，（a 1q 2）2＝4a 1q ·a 1q 5，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12.所以a 4＝a 1q 3＝32×⎝⎛⎭⎫123＝316. 2．(2016·郑州质检)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215B.225C.235D.245解析：选D ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，∴a 20＝245.3．(2016·广西质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝9，a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ≠a 1(当n ≥2时)，数列{b n }满足b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，化简得d ＝12a 1或d ＝0.当d ＝12a 1时，S 3＝3a 1＋3×22×12a 1＝92a 1＝9，得a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)＝n ＋1，即a n ＝n ＋1； 当d ＝0时，由S 3＝9，得a 1＝3，即有a n ＝3. (2)由题意可知b n ＝2a n ＝2n ＋1，∴b 1＝4，b n ＋1b n＝2.∴{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴T n ＝4（1－2n ）1－2＝2n ＋2－4.[师说考点]n 10100)A ．100B ．99C ．98D ．97[解析] 选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.(2)(2016·昆明七校联考)在数列{a n }中，a 1＝5，(a n ＋1－2)(a n －2)＝3(n ∈N *)，则该数列的前2 016项的和是________．[解析] 依题意得(a n ＋1－2)(a n －2)＝3，(a n ＋2－2)·(a n ＋1－2)＝3，因此a n ＋2－2＝a n －2，即a n ＋2＝a n ，所以数列{a n }是以2为周期的数列．又a 1＝5，因此(a 2－2)(a 1－2)＝3(a 2－2)＝3，故a 2＝3，a 1＋a 2＝8.注意到2 016＝2×1 008，因此该数列的前2 016项的和等于1 008(a 1＋a 2)＝8 064.[答案] 8 064 [类题通法]等差(比)数列性质应用策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如周期性、单调性(如本例(2)及[演练冲关]2)．[演练冲关]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 解析：选D 由题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝22，即a 6＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝3a 6＝3×2＝6，故选D.2．(2016·沈阳模拟)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，可见{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52×9>0，S 10＝a 5＋a 62×10＝0，S 11＝2a 62×11<0，从而该题选A.[师说考点]数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．[典例] (2016·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2. (2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. [类题通法]1．分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组．2．裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式．[演练冲关]1．若a n ＝(－1)n (4n －3)，则数列{a n }的前2n 项和T 2n 为________．解析：因为a n ＝(－1)n (4n －3)，所以T 2n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋(－17＋21)＋…＋[－(8n －7)＋(8n －3)]＝4×n ＝4n .答案：4n2．(2016·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n .3．(2016·广西质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得：a n ＝⎝⎛⎭⎫32a n －1－⎝⎛⎭⎫32a n －1－1， 即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －3）（2n －1）＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1.数列与其他知识的交汇数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、不等式等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．[典例] (1)(2016·西安质检)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }1n n ＋1f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 015＝( )A ．7 554B ．7 549C ．7 546D ．7 539[解析] 选A ∵数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，∴x n ＋1＝f (x n )，∴由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…，∴数列{x n }是周期为4的周期数列，∴x 1＋x 2＋…＋x 2 015＝503(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＋x 3＝503×15＋9＝7 554.故选A.(2)设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[解析] ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)， ∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1， ∴S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.[答案] n 2 [类题通法](1)第(1)题是函数与数列的交汇，第(2)题是平面向量与数列的交汇；(2)解答此类问题的一般思路为利用已知条件结合函数、平面向量的知识转化为数列的问题进行求解．[演练冲关]1．(2016·郑州模拟)正项等比数列{a n }中的a 1、a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2 016＝( )A ．1B ．2 C. 2 D ．－1解析：选A 因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1、a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4031＝a 22 016＝6，即a 2 016＝6，所以log 6a 2 016＝1，故选A.2．(2016·全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12（n －1）n2 ＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝⎛⎭⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：643．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意知，a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，则a n ＋12n ＋1＝a n2n ＋1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n .答案：n ·2n一、选择题1．(2016·武汉模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q2＝1，故选A.2．(2016·昆明七校调研)在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若q ＝2，且a 2与2a 4的等差中项为18，则S 5＝( )A ．62B ．－62C ．32D ．－32解析：选A 依题意得a 2＋2a 4＝36，q ＝2，则2a 1＋16a 1＝36，解得a 1＝2，因此S 5＝2×（1－25）1－2＝62，选A.3．(2016·河南六市联考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1 解析：选A 设{a n }的公差为d ，由题意得，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，又{a n }和{S n}都是等差数列，且公差相同，∴⎩⎨⎧d ＝d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114，故选A. 4．(2016·福建模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C ∵{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6，故选C.5．(2016·开封模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ）(n ∈N *)，则a 2 017的值为( )A ．4 033B ．3 029C ．2 249D ．2 209解析：选A 根据题意，不妨设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ），∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 017＝4 033.6．(2016·合肥质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3·a 5＝4，则下列说法正确的是( )A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列解析：选C 由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4>0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． 二、填空题7．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n－1.答案：3n －18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________.解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2.答案：43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2 9．(2016·山西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3(2n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝5n －2.数列{a n }和{b n }的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n }．若数列{c n }的第n 项恰为数列{a n }的第k n 项，则数列{k n }的前32项的和是________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3(2n －1)－3(2n －1－1)＝3×2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝3×2n －1.令a t ＝b s ，∴3×2t －1＝5s －2，则s ＝3×2t －1＋25.t ＝1，s ＝1，符合题意，t ＝2，s＝85，不合题意，t ＝3，s ＝145，不合题意，t ＝4，s ＝265，不合题意，t ＝5，s ＝10，符合题意，……，∴{k n }是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{k n }的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2 016.答案：2 016 三、解答题10．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧q （2＋d ）＝6，q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43，q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)．1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数．(1)求ω，φ的值； (2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. 解：(1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， ∵|φ|<π，∴φ＝－2π3. (2)∵a n ＝2n sin ⎝⎛⎭⎫2n π3－2π3(n ∈N *)， 数列{2sin(2n π3－2π3)}(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3， ∴a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)， ∴S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.12．(2016·湖北七市联考)已知等差数列{a n }，等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，2a 3－b 3＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，2（1＋2d ）－q 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，q 2－4q ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝3， 从而a n ＝b n ＝1或a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. (2)①当a n ＝b n ＝1时，c n ＝1，所以S n ＝n ；②当a n ＝2n －1，b n ＝3n －1时，c n ＝(2n －1)×3n －1， S n ＝1＋3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ，从而有(1－3)S n ＝1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n －1)×3n ＝1＋2(3＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1＋2×3（1－3n －1）1－3－(2n －1)×3n ＝－2(n －1)×3n －2，故S n ＝(n －1)×3n ＋1.综合①②，得S n ＝n 或S n ＝(n －1)×3n ＋1.。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分检测基础送分题题型专题(四)不等式Word版含
专题检测（四） 不等式（“12+4”提速练）一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.122．(2016·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．83．(2016·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2016·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.228．(2016·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．C ．17万元 D ．18万元10．(2016·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2 二、填空题13．(2016·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．14．(2016·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a的最小值为12，则正数a 的值为________．15．(2016·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．16．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．答 案1. 解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2. 解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3. 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4. 解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5. 解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6. 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7. 解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8. 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9. 解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10. 解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝yx∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D.11. 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12. 解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t ＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.13. 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214. 解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115.解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16. 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1x c ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x <1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)． 答案：(－3，－1)∪(1，2)。
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分基础送分题专题检测(七)统计与统计案例Word
专题检测（七）统计与统计案例（“12+4”提速练）一、选择题1．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()A.90 B．100 C．1802．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，83．(2016·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45 B．50 C．55 D．604．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．(2016·贵州模拟)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为()A．13 B．12 C．11.52 D.100 96．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号：1，2，3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1，2，3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A．13 B．17 C．19 D．237．(2016·山西质检)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)，据此估计此次考试成绩的众数是()A．100 B．110 C．115 D．1208．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区，从496到600在C营区，三个营区被抽中的人数依次为()A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，99．(2016·南昌一模)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，得到4组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)．根据收集到的数据可知x1＋x2＋x3＋x4＝160，由最小二乘法求得回归直线方程为y^＝0.75x＋62，则y1＋y2＋y3＋y4的值为()A．75 B．155.4 C．368 D．466.210．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．平均数B．标准差C．众数D．中位数11．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：()A．0.01 B．0.025 C．0.10 D．0.0512．(2016·开封模拟)下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好二、填空题13．(2016·海口调研)如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．14．(2016·广州模拟)一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是________．15．(2016·湖北优质高中联考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：由表中数据得回归直线方程y＝b x＋a中b＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________．16．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．答 案1. 解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x ＝180.2. 解析：选C 由于甲组的中位数是15，可得x ＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y ＝8.3. 解析：选B ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50.4. 解析：选B 由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10， y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8， ∴a^＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5. 解析：选D 由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009，选项D 正确．6. 解析：选D 因为第一组的编号为1，2，3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11，12，13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.7. 解析：选C 分析频率分布折线图可知众数为115.8. 解析：选B 依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25.令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知，选B.9. 解析：选C 由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝160，得x ＝40，代入回归直线方程y ^＝0.75x ＋62，得y ＝92，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝368.10. 解析：选B A 样本数据的平均数x ＝2756，B 样本数据的平均数x ′＝x －5.A样本数据的方差s 2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，B 样本数据的方差s ′2＝16[(42－x )2＋(43－x )2＋…＋(50－x )2]，∴A ，B 两样本的标准差相同．11. 解析：选B K 2＝50×（18×15－8×9）226×24×27×23≈5.059>5.024，因为P (K 2>5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.12. 解析：选B 根据相关关系的概念知A 正确；当r >0时，r 越大，相关性越强，当r <0时，r 越大，相关性越弱，故B 不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R 2越大，拟合效果越好，所以R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，C ，D 正确，故选B.13. 解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93，9214. 解析：∵间隔为606＝10，∴在第5组中抽取的号码是3＋(5－1)×10＝43.答案：4315. 解析：回归直线过(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋（－1）4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，将(10，40)代入y ^＝－2x ＋a ^，解得a ^＝60，所以y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．答案：68度16. 解析：由题意可得⎩⎨⎧2y ＝4＋z ，y 2＝4×（z ＋4），即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2＋z 2，y 2＝4z ＋16，解得z ＝12，或z ＝－4(舍去)，故y ＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4，8，12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为64＋8＋12＝14.故乙组城市应抽取的个数为8×14＝2. 答案：2。
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2． (2016· 云南模拟 )已知常数 a≠0， f(x)＝aln x＋2x. (1)当 a＝－ 4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于－ a 时，求实数 a 的取值范围．
a 解：(1)由已知得 f(x)的定义域为 x∈ (0，＋∞)，f′ (x)＝ ＋ 2＝ x a＋ 2x 2x－ 4 .当 a＝－ 4 时，f′(x)＝ . x x ∴当 0<x<2 时， f′ (x)<0，即 f(x)单调递减； 当 x>2 时，f′(x)>0，即 f(x)单调递增． ∴ f(x)只有极小值， 且在 x＝ 2 时， f(x)取得极小值 f(2)＝ 4－ 4ln 2.
[演练冲关] 1．(2016· 郑州模拟)函数 f(x)＝ excos x 的图象在点(0， f(0))处 的切线方程是( ) B． x＋y－1＝0 D． x－y－ 1＝0
A． x＋y＋1＝ 0 C． x－y＋1＝ 0
解析：选 C 依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为 f′(x)＝excos x －exsin x，所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y ＋1＝0，故选 C.
2 π (x ＋ 1－x )dx＝ ＋ . 3 2
2 2
2 π 答案： ＋ 3 2
利用导数研究函数的单调性
[师说考点] 1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域 内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可． 2．若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′ (x)≤0 在单调区间上恒成立问题来求解．
(2)(2016· 全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x<0 时，f(x) ＝ln(－x)＋3x，则曲线 y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是 ________．
[解析] 因为 f(x)为偶函数，所以当 x>0 时，f(x)＝f(－x) 1 ＝ln x－3x，所以 f′(x)＝ －3，则 f′(1)＝－2.所以 y＝f(x)在点 x (1，－3)处的切线方程为 y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.
－ － －
ex－1 同号． 令 g(x)＝ 1－ x＋ex－1，则 g′(x)＝－ 1＋ ex－1. 所以，当 x∈ (－∞，1)时，g′ (x)<0，g(x)在区间 (－∞， 1)上单调递减； x∈ (1，＋∞)时， g′ (x)>0， g(x)在区间 (1，＋∞ )上单 调递增．
故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而 g(x)>0，x∈(－∞，＋ ∞)． 综上可知，f′(x)>0， x∈ (－∞，＋∞)，故 f(x)的单调递 增区间为(－∞，＋∞ )．
3．(2016· 石家庄质检)
1 －1
(x2＋ 1－x2)dx＝________.
解析：
1 － 1
1 － 1
1 31 2 x dx＝ x |－1＝ ，而根据定积分的定义可知 3 3
2
1－x2dx 表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，
1 －1
即半圆的面积，∴
[典例]
(2016· 北京高考)设函数 f(x)＝xea x＋bx，曲线 y
－
＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y＝(e－1)x＋4. (1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
[解] (1)因为 f(x)＝ xea x＋ bx，
－ －
所以 f′(x)＝ (1－ x)ea x＋ b.
[演练冲关] 1．(2016· 江西两市联考)直线 y＝a 分别与曲线 y＝2(x＋1)，y ＝x＋ln x 交于 A，B，则|AB|的最小值为________． 解析： 设 A(x1， a)， B(x2， a)，则 2(x1＋ 1)＝ x2＋ ln x2，∴ x1
1 1 1 ＝ (x2＋ ln x2)－ 1，∴ |AB|＝ x2－ x1＝ (x2－ ln x2)＋1，令 y＝ (x－ 2 2 2 1 1 1 ln x)＋ 1，则 y′＝ 1－ ，∴函数 y＝ (x－ ln x)＋ 1 在 (0， 1)上单 2 x 2 调递减，在 (1，＋∞ )上单调递增，∴当 x＝ 1 时，函数取得最小 3 3 值 ，即 |AB|min＝ . 2 2 3 答案： 2
的，千万不要忽视了定义域的限制．
[演练冲关 ] 1.定义在 R 上的可导函数 f(x)， 已知 y＝ef′(x)的图象如图所示， 则 y＝f(x)的增区间是 ________．
解析： 由题图知 f′(x)≥0 的区间是(－∞ ， 2]， 故函数 y＝f(x) 的增区间是(－∞， 2]．
答案：(－∞，2]
2．(2016· 兰州质检)曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平 行于直线 y＝2x－1，则 P 点的坐标为( A．(1，3) C．(1，3)和(－1，3) )
B．(－1，3) D．(1，－3)
解析：选 C f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2， 解得 x＝1 或 x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)．经检验，点(1， 3)，(－1，3)均不在直线 y＝2x－1 上，故选 C.
1－ 2ax 1 (0，＋∞ )．所以 g′(x)＝ － 2a＝ . x x 当 a≤0， x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数 g(x)单调递增； 当
1 a ＞ 0 ， x ∈ 0， 时， g ′ (x) ＞ 0 ，函数 2a
Байду номын сангаас
g(x) 单调递增， x ∈
1 ，＋∞ 时， g′ (x)＜ 0，函数 2a
(2)由 (1)得
1 3 2 x g(x)＝ x ＋ x e ， 故 2
3 2 x 1 3 2 x g′(x)＝ x ＋ 2x e ＋ x ＋ x e 2 2
1 3 5 2 x 1 ＝ x ＋ x ＋ 2xe ＝ x(x＋ 1)(x＋ 4)ex. 2 2 2
2．导数的几何意义 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的 切线的斜率，曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝ f′(x0)，相 应的切线方程为 y－ f(x0)＝ f′(x0)· (x－ x0)．
2 y≤ x ， [典例 ] (1)(2016· 贵州模拟 )已知 M 为不等式组1≤ x≤ 2，表 y≥ 0
得当 x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当 所以
1 x∈1，2a时，f′(x)＞0.
1 f(x)在(0，1)内单调递减，在1，2a内单调递增，所以
f(x)
在 x＝1 处取得极小值，不合题意． 1 1 ②当 a＝ 时， ＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞) 2 2a 内单调递减，所以当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不 合题意．
a －2 ＋ 2b＝ 2e＋ 2， f（ 2）＝ 2e＋ 2， 2e 依题设有 即 a－2 ＋ b＝ e－ 1. f′（ 2）＝ e－ 1， － e
a＝ 2， 解得 b＝ e.
(2)由(1)知 f(x)＝xe2 x＋ ex.
－
由 f′(x)＝ e2 x(1－ x＋ ex 1)及 e2 x>0 知，f′ (x)与 1－ x＋
[类题通法] 求解或讨论函数单调性问题的解题策略 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情 况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的 一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时， 依据根的大小进行分类讨论．
(2)在不能通过因式分解求出根的情况时， 根据不等式对 应方程的判别式进行分类讨论． [ 注意 ] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行
题型专题(十)
导数的简单应用
——高考常考这些点，研透常考题型，考题千变难离左右
导数运算及几何意义
[师说考点] 1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a>0)； 1 (4)(logax)′＝ (a>0，且 a≠1)． xln a
[ 典例 ] 1)x，a∈R.
(2016· 山东高考改编 )设 f(x)＝ xln x－ ax2＋ (2a－
(1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值， 求正实数 a 的取值范围．
[解]
(1)由 f′(x)＝ln x－ 2ax＋ 2a，可得 g(x)＝ ln x－2ax＋2a，x∈
4 2．已知函数 f(x)＝ax ＋x (a∈R)在 x＝－ 处取得极值． 3
3 2
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
解：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
4 4 因为 f(x)在 x＝－ 处取得极值，所以 f′－ ＝ 0， 3 3 4 16a 8 16 1 即 3a· ＋2· － ＝ － ＝ 0，解得 a＝ . 9 3 3 2 3
示的平面区域，直线 l： y＝ 2x＋ a，当 a 从－ 2 连续变化到 0 时， 区域 M 被直线 l 扫过的面积为 ( A. 7 3 B． 2 C. ) 3 2 D. 4 3
[解析] 选 D 作出图形可得区域 M 被直线 l 扫过的面积 1 1 32 1 4 2 2 x dx－ × 1× 2＝ x |1－ 1＝ ×(8－ 1)－ 1＝ ， 为 选项 D 正确． 2 3 3 3 1
利用导数研究函数的极值（最值）问题
[师说考点 ] 1．若在 x0 附近左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0 附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 f(x0) 为函数 f(x)的极小值． 2．设函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则 f(x) 在 [a， b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．