2016_2017学年高中数学第1章坐标系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程学业分层测评

第1章 坐标系 1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程学业分
层测评 新人教B 版选修4-4
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A.(12，π3
) B.(－12，2π3) C.(12，－π3) D.(12，－2π3
) 【解析】 点(12，－23π)的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos(－23
π)＝－12
. 【答案】 D
2.过极点倾斜角为π3
的直线的极坐标方程可以为( ) A.θ＝π3
B.θ＝π3，ρ≥0
C.θ＝4π3，ρ≥0
D.θ＝π3和θ＝4π3
，ρ≥0 【解析】 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线.
∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43
π. ∴直线的极坐标方程为θ＝
π3和θ＝43π(ρ≥0). 【答案】 D
3.极坐标方程4ρ·sin
2θ2＝5表示的曲线是( ) A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线 【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2
＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254
. ∴该方程表示抛物线.
【答案】 D
4.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A.ρcos θ＝12
B.ρcos θ＝2
C.ρ＝4sin(θ＋π3)
D.ρ＝4sin(θ－π3
) 【解析】 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －
2)2
＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切.
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.点Q 是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q 在圆上移动时，OQ (O 是极点)中点P 的轨迹的极坐标方程是__________________.
【解析】 ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P 的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.
【答案】 ρ＝2cos θ
6.已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________.
【解析】 直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是
55. 【答案】 55 三、解答题(每小题10分，共30分)
7.已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22
，求极点到直线的距离. 【解】 ∵ρsin(θ＋π4)＝22
， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
即直角坐标方程为x ＋y ＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2
＝22. 8.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标
方程为ρcos(θ－π3
)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点. (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；
(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.
【解】 (1)由ρcos(θ－π3
)＝1， 得ρ(12cos θ＋32
sin θ)＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32
y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0).
当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N (233，π2
). (2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标(0，23
3). 又P 为MN 的中点，
∴点P (1，33)，则点P 的极坐标为(233，π6
). 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6
(ρ∈R ). 9.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－π6
)上的动点，试求|PQ |的最大值.
【解】 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2
＝12ρsin θ，
∴x 2＋y 2－12y ＝0，
即x 2＋(y －6)2＝36.
又∵ρ＝12cos(θ－π6
)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6
)， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，
∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.
∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.。