抽屉原则、客斥原理“续2”

第十八讲 抽屉原则、客斥原理“续2”例9：由数字1、2和3组成n 位数，要求n 位数中1，2和3的每一个至少出现一次，求所有这种n 位数的个数. （匈牙利数学竞赛试题）【解】由数字1，2和3组成的n 位数的集合记作S ，则|S|=3n .设S 中所有不含k 的n 位数的集合记作S A A A k k k 是则),3,2,1(=中所有含有数字k 的n 位数的集合，321A A A 即是S 中同时含有数字1，2和3的n 位数的全体构成的集合.由筛法公式，||||||||||||||||323121321321A A A A A A A A A S A A A +++---=－|321A A A |因)3,2,1(=k A k 是S 中所有不含数字k 的n 位数的集合，所以.2||n k A =j i A A 是所有不含数字i 和j 的n 位数的集合，所以.31,1||≤<≤=j i A A j i显然0||,321321==A A A A A A 则φ.所以满足此题要求的n 位数的个数为 |321A A A |=3233+⨯-nn 例10：如果记小于n 且与n 互质的数的个数为)(n ϕ，则在数论上叫函数)(n ϕ为欧拉函数，试求)60(ϕ.【解】60=22×3×5设1到60中)5,3,2(=k k 的倍数的集合为k A 则=||2A 20]360[||,30]260[3===A ，,10||,12]260[||325===A A A.2||,4||,6||5325352===A A A A A A A由筛法公式||60||)60(532532A A A A A A -==ϕ.16)24610122030(60=+---++-=事实上，小于60且互质的数有：1，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43， 47，49，53，59这16个数.一般地，如k ak a a P P P P P P n k ,,(212121=是不同的质数，k a a a ,,21是正整数）， 则).11()11)(11()(21k P P P n n ---= ϕ利用这个公式计算例10，即为 .1653242160)511)(311)(211(60)60(=⨯⨯⨯⨯⨯=---=ϕ 【评述】用容斥公式或筛法公式解题的关键是根据题意构造出能覆盖整个已知集合的若干子集，至于求出这些子集及相应子集的不同交集的元素个数是容易的.例11：某公司有70%的人员第一季度出全勤，75%的人员第二季度出全勤，85%的人员第三季度出全勤，90%的人员第四季度出全勤，问全年出全勤的人至少占全公司人员的百分之几？【解】设S 为全公司全体人员的集合，i i A i 为)4,3,2,1(==季度出全勤人员的集合，则iA i 为季度的非全勤人员的集合，由题意有%90||||%,85||||%,75||||%,70||||4321====S A S A S A S A所以 %10||||%,15||||%,25||||%,30||||4321====S A S A S A S A全年出全勤者为4321A A A A ，则),(43214321A A A A S A A A A -= 所以|,|||||43214321A A A A S A A A A -=但 ≤||4321A A A A |,||||||4321A A A A ++++ 所以≥||4321A A A A |),||||||(||4321A A A A S ++++-即||||||||||||||||1||||43214321S A S A S A S A S A A A A ----≥ =1－30%－25%－15%－10%=20%.所以全年出全勤者至少占全公司职工的20%.例12：给定1978个集合，每个集合都恰有40个元素，每两个集合都恰有一个公共元素，求这1978个集合的并集所含元素的个数.【解】设1978个集合是;1978,,2,1,40||,,,,197821 ==i A A A A i 已知.||.1978,1,1||197821A A A j i A A j i 此题要求≤≤=由容斥公式||197821A A A ∑∑∑≤≤≤<≤≤<<≤-+-=197811978119781||||||i j i k j i k j i j i i A A A A A A.||)1(1978211977A A A -+下面我们将设法求出上式右边与集族197821,,A A A 相关的集的交集所含无素的个数. 现考虑A 1，由题设知A 1和其他1977个集合都相交，假如A 1的每个元素都至多属于49 个集合，则和A 1相交的集合至多有40×49=1960个，这和A 1与其他1977个集合都相交矛 盾，所以A 1中必有元素a ，它至少属于其他50个集合，设它们是A 2，A 3，…，A 51，设B 是A 52，A 53，…A 1978中的一个集合，设a 不属于B ，由题设知B 和A 1，A 2，…A 51中每一个 都恰有一个公共元素，而这些公共元素又不能是a ，因此这些公共元素两两不同，于是必含 有51个元素，这和|B|=40矛盾，所以a 在B 中，这说明a 是A 1，A 2，…A 1978的公共元素， 由于每两个集合恰有一个公共元素，所以A 1，A 2，…A 1978中任意多个集合的公共元素都恰 有一个，它就是a ，所以∑∑∑≤<<<≤≤<<≤≤<≤===197814197819781319781978121978,||,||||l k j i l k jik j i k j i j i j i C A A A A C A A A C A A……∑≤<<<≤=1978119782121||m m i i i m i i i C A A A所以||197821A A A197819781977419783197821978)1(197840C C C C -++---⨯= .77143])1(1[11978391978197819782197811978=-+-+--+⨯=C C C例13：某人写了n 封信及n 个写了相应收信人的姓名及邮编、地址的信封，现把所有的信一一装到信封中去，求所有的信全都装错信封的装法总数.【解】设I 为所有的装法构成的集合，则显然有!||n I =，我们用1，2，3，…，n 分别对信和信封进行编号，并记),,2,1(n i A i =为第i 封信恰装入第i 个信封的所有装法构成的集合，则i A i 为第封信不装入第i 个信封的所有装法构成的集合，而所求的全部装错的装法的集合即为 21A A n A由筛法公式 |||21n A A A∑∑∑<<<=<+-+++-=k k i i i i i i k n i j i j i i A A A A A A I 2121||)1(||||||1||)1(21n n A A A -+ 我们容易求得1!0||),,,,2,1,,,()!(||),,,,2,1,()!2(||),,,2,1()!1(||21212121==<<<=-=<=-==-=n k k i i i j i i A A A i i i n i i i k n A A A j i n j i n A A n i n A k且且所以 !0)1()!()1()!2()!1(!||2121n n n k n k n n n C k n C n C n C n A A A -++--+--+--= ).!1)1(!21!111(!!!)1(!!)1(!2!!1!!n n n n k n n n n n n k -+-+-=-++-+++-=因此，n 封信装入n 个信封时全部装错的方法总数为 ).!1)1(!21!111(!n n n -+-+- 【评述】这个问题通常称为伯努利—欧拉错装信封问题，最早考虑这类问题的是伯努利，后来欧拉对这个题发生兴趣，称之为“组合理论的一个妙题”，并在与伯努利毫无联系的情况下独自解决了这道难题.这个问题又称为乱序排列，即把n 个元素的排列n a a a ,,,21 重新排列，使每个元素都 不在原来的位置上排列问题.在1960—1961年波兰数学竞赛中曾有六个信笺装错问题：某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写有收信人地址的信封，有多少 种投放信笺的方法，使每份信笺与信封上的收信人皆不相符？例14：设S 是复平面上的单位圆周（即模等于1的复数的集合），f 是从S 到A 的映射，对于任何定义,S Z ∈)))),(((()()),(()(),()()()2()1(Z f f f Z f Z f f Z f Z f Z f k ===如果S C ∈及自然数n 使得.)(,)(,,)(,)()()1()2()1(C C f C C f C C f C C f n n =≠≠≠-我们就说C 是f 的n －周期点. 设m 是大于1的自然数且f 的定义如下：,,)(S Z Z Z f m ∈= 试求f 的1989－周期点的总数. （第四届全国冬令营试题）【解】因S Z Z Z f m ∈=,)(所以由数学归纳法容易证明.,)(N n Z Z f n m n ∈=设})(|{)(Z Z f S Z B n n =∈=，因为的是1n B 1-n m 次根的全体构成之集合，所以B n 中的元素个数为1||-=n n m B . 如-=∈m f Z Z Z f S Z n 的为且有000)(0)(,周期点，则必有n m |. 否则可设m q q pm n ≤≤+=0,.于是有)()()(0)(0)()()(0)(0Z f Z f f f Z f Z q m m q n =⋅== .如0≠q ，则上式意味着-q f Z 的为0周期点，这与已知-m f Z 的为0周期点矛盾，故只有n m q |,0即=设f T {=的1989－周期点}，则因为1989=32×13×17，可得)(\6631531171989B B B B T =.事实上)(\6631531171989B B B B T ⊂是显然的.另外，对 于任意的-≤=∈k f Z k Z Z f B B B B Z 的为使故有因000)1989(66315311719890,1989,)(),(\ 周 期点，如1989<k ，则如前面所证，有1989|k ，从而k 至少是117，153，663这三个数中 的一个数，故.,1989,,0663*******T Z k B B B Z ∈=∈即故矛盾由容斥公式，.1989,,1111111||||||||||||||||||||||||||||||3939511171536631989351399163153117351399663153117663153117663153663117153117663153117663153117m m m m m m m m f m m m m m m m B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B -+++-----++-+-+--+-+-=+---++=+---++=周期点的总数为的所以。