第7课一元二次方程

解析：(x＋1)(x－2)＝x＋1， (x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0， (x＋1)(x－3)＝0. ∴x1＝－1，x2＝3.
3．(2011·江西)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程
的另一个根是( C )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
解析：当x＝1时，1＋b－2＝0，b＝1. ∴x2＋x－2＝0，x1＝1，x2＝－2，另一个根是－2.
解：解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5， 当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去， ∴腰长x＝5.
答题规范
3．解一元二次方程“失根”现象评析 考题再现
1．解方程：3x(x＋2)＝5(x＋2)． 2．解方程：9x2＋6x＋1＝9. 3．解方程：x2－2x＋1＝0.
学生作答
1．解：3x(x＋2)＝5(x＋2)， 两边同时除以(x＋2)得，3x＝5，∴x＝5 . 3
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义； 因式分解法解方程的依据是：若ab＝0，则a＝0，或b＝0，方程的 右边一定要化为0，才能用因式分解法求解．
运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二 次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求 根公式．
配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手 段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方 前，先将二次项系数a提出来，使括号中的二次项系数化为1， 然后通过配方分离出一个完全平方式．
＋3＝0的解，求这个三角形的周长．
解：解方程x2－4x＋3＝0得x1＝1，x2＝3. 又三角形的第三边a的范围是2<a<6， ∴x＝3，∴三角形的周长＝2＋4＋3＝9.
探究提高 这道题将构成三角形的条件“三角形任何两边之和大于第三
边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思 想．
知能迁移4 已知等腰三角形底边长8，腰长是方程x2－9x＋20＝0 的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
(3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0，
(3x＋4)(3x＋1)＝0，
3x＋4＝0或3x＋1＝0， ∴x1＝－ 43，x2＝－13 .
(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1 解：解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，
(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0， (x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0， 2(x－1997)(x－1996)＝0， x1＝1997，x2＝1996.
解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2 ＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)， 所以原方程可化为：1－2(1997－x)(x－1996)＝1， 2(1997－x)(x－1996)＝0， x1＝1997，x2＝1996.
探究提高 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，
探究提高 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，
又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先 将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通 过配方分离出一个完全平方式．
知能迁移2 对于二次二项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结 论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11，你是否同意他 的说法？说明你的理由．
＋a220＋091 值．
解：∵x＝a，∴a2－2009a＋1＝0，
∴a2－2008a＝a－1，a2＋1＝2009a，
2009 a2＋1
＝
2009 2009a
＝1 a
.
∴原式＝a－1＋
1 a
＝
a2－a＋1 a
＝
a2＋1－a a
＝2009a－a ＝ 2008a＝2008.
a
a
探究提高 1.利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于
但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般 没有特别要求的不用配方法．
知能迁移1 解方程： (1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)； 解：(2x－1)2＝9,2x－1＝±3，
∴x＝1±23，x1＝2，x2＝－1.
(2)x2＋3x－4＝0(用配方法)；
解：x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4，
x2＋3x＋
9 4
＝4＋
9 4
，(x＋
3 2
)2＝
25， 4
x＋
3 2
＝±
5 2
，x＝－
3±5 22
，
∴x1＝1，x2＝－4.
(3)x2－2x－8＝0(用因式分解法)；
解：x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0， x－4＝0或x＋2＝0， x1＝4，x2＝－2.
(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.
2．正确使用各种方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选
择．直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公 式法则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征 灵活运用．
解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但 一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法，一般没有特 别要求的不用配方法．
解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴△＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，b2＝4a.
∴
ab2
＝
ab2
＝ ab2 ＝ ab2.
a－22＋b2－4 a2－4a＋4＋b2－4 a2－4a＋b2 a2
∵a≠0，∴
ab＝2 a2
b＝2 a
4a＝4. a
题型四 与几何问题的综合 【例 4】已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－4x
． 公式法
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件： (1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一 个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可．
在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式， 指明各项系数时不要漏掉前面的符号．一元二次方程的一般形式 不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数．
解：x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋x＋2x－2＝0，
x2＋3x－2＝0，x＝
－3± 17 2×1
.
∴x1＝－
3－ 2
17
，x2＝
－
3＋ 2
17 .
题型二 配方法
【例 2】 试说明：代数式2x2－x＋3的值不小于 23. 8
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：2x2－x＋3＝2(x2 －1 x)＋3 2
＝2[x2－ 1 x＋( 1)2－( 1)2]＋3 24 4
＝2[(x－ 1 )2－ 1 ]＋3 4 16
＝2(x－1 )2－1＋3＝2(x－1 )2 ＋ 23.
48
4
8
∵不论x取何实数，2(x－ 1)2 ≥0，
∴2(x－14 )2 ＋ 283≥ 283. 4 即代数式2x2－x＋3的值不小于
283.
解：不同意小聪的说法． 理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11， 当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11.
题型三 应用方程根的定义解题
【例 3】(1)(2010·绵阳)若实数m是方程x2－ 10 x＋1＝0的一个根， 则m4＋m－4＝________6.2
(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2
解：(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2，
∴5y2＋8y－2＝0，y＝ －8± 104＝ －4± 26，
2×5
5
∴y1＝
－4＋ 5
26 ，y2＝
－4－ 5
26.
(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0
解：(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0，
解得
m＝－6， n＝8.
(3)(2010·广州)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两
个相等的实数根，求
ab2 a－22＋b2－4
的值．
分析：对于(3)，由于这个方程有两个相等的实数根，因此△＝b2
－4a＝0，可得出a、b之间的关系，然后将
ab2 a－22＋b2－4
化简
后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
第7课一元二次方程
要点梳理
1．定义： 只含有 一个未知数 ，并且未知数的最高次数是 2 ，这样 的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形 式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0) ，其中a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．
2．解法： 直接开平方法 ； 因式分解法 ； 配方法 ；
2．解：9x2＋6x＋1＝9，
左边因式分解，得(3x＋1)2＝9.
两边开平方，得3x＋1＝3.
∴x＝
2 3
.
3．解：x2－2x＋1＝0，
配方，得(x－1)2＝0，
两边开平方，得x－1＝0，∴x＝1.
规范解答
1．解：3x(x＋2)＝5(x＋2)，
3x(x＋2)－5(x＋2)＝0，(x＋2)(3x－5)＝0，
∴x＋2＝0或3x－5＝0，
∴x1＝－2，x2＝
5 3
.
2．解：9x2＋6x＋1＝9，
左边因式分解得(3x＋1)2＝9.
两边开平方，得3x＋1＝±3.
即3x＋1＝3或3x＋1＝－3.
∴x1＝
2 3
，x2＝－
4 3
.
3．解：x2－2x＋1＝0， 配方，得(x－1)2＝0， 两边开平方，得x－1＝0. ∴x1＝x2＝1.
4．(2011·大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程