2011年邓泽华导航考研数学模拟考试题及答案(数一).doc

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2011年数学一考研真题及答案

2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）。

2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===nk kn n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]3、设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''<f f ， (D) 0)0(1)0(<''<f f ，4、设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记110011001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121P P -6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（）(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x +8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,max =,{}y x V ,min =，则=)(UV E （）(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 二、填空题 9、曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=xx tdt y 040tan π的弧长s =10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 11、设函数()⎰+=xydt tt y x F 021sin ,，则=∂∂==2022y x xF12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Lyxzdx xdy dz ++=⎰13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为221144y z +=，则a =14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 三、解答题15、（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1zx y x y ∂==∂∂17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+（2）设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T Tααα===不能由()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T Ta βββ===线性表出。

2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

2 3 4
关系可知 y ′(1) ≠ 0 ， y ′(2) = y ′(3) = y ′(4) = 0
y ′′(2) ≠ 0 ， y ′′(3) = y ′′(4) = 0 ， y ′′′(3) ≠ 0, y′′′(4) = 0 ，故（3，0）是一拐点。
2、设数列 {a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n =
QQ：197—567—2201，/
1 0 0 1 0 0 位矩阵.记 P 1 0 , P2 = 1 = 1 0 0 1 ,则 A = ( 0 0 1 0 1 0
（A） P 1P 2
−1 （B） P 1 P 2
∑ ak (n = 1,2) 无界，说明幂级数 ∑ an ( x − 1) 的收敛半径 R ≤ 1 ；
n k =1 n =1
n
∞
{a n } 单调减少， n lim a n →∞
半径 R ≥ 1 。因此，幂级数
= 0 ，说明级数 ∑ an ( −1) 收敛，可知幂级数 ∑ an ( x − 1) 的收敛
所以有 f (0) > 1 ，f ′′(0) > 0 4、设 I =
∫
π 4 0
ln sin xdx, J = ∫ 4 ln cot xdx, K = ∫ 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是( )
0 0
π
π
（A） I < J < K 【答案】 B
（B） I < K < J
7、设 F1 ( x ) , F2 ( x ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 ( x ) , f 2 ( x ) 是连续函数，则必为概率密度的是( （A） f1 ( x ) f 2 ( x ) （C） f1 ( x ) F2 ( x ) ) （B） 2 f 2 ( x ) F1 ( x ) （D） f1 ( x ) F2 ( x ) + f 2 ( x ) F1 ( x )

2011考研数一真题解析

→∞ 时∑(-1) an2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． (1) 【答案】(C)．【解析】记 y = x -1, y ' = 1, y ''= 0 ， y = (x - 2)2, y ' = 2(x - 2), y ''= 2,1 1 12 2 2y = (x - 3)3 , y ' = 3(x - 3)2 , y ''= 6(x - 3),333y = (x - 4)4 , y ' = 4(x - 4)3 , y ''=12(x - 4)2 ,444y '' = (x - 3)P (x ) ，其中 P (3) ≠ 0 ， y ''故选(C)．(2) 【答案】(C)．x =3= 0 ，在 x = 3 两侧，二阶导数符号变化，【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x = 1处，故(A)，(B)错误；因为{a n } 单调减少， lim a n = 0 ，所以a n ≥ 0 ，所以n∞∞n∑ a n为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得∑ a n，而已知S n= ∑ a k无界，故原幂级数在 x = 2n =1n =1∞k =1处发散，(D )不正确．当 x = 0 时，交错级数∑(-1)na 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x = 0n =1∞n收敛．故正确答案为(C)．n =1(3) 【答案】(A)．∂z【解析】| = f '(x ) ⋅ l n f ( y ) | = f '(0) ln f (0) = 0 ,∂x (0,0)(0,0)∂z | = f (x ) ⋅ f '( y )| = f '(0) = 0, 故 f '(0) = 0 , ∂y (0,0)f ( y )(0,0)∂2zA = = ' ⋅ = ' ⋅ > ∂x 2 |(0,0)f (x ) ln f ( y ) |(0,0) f (0) ln f (0) 0,∂2 z ' f '( y ) [ f '(0)]2B = ∂x ∂y|(0,0) = f(x ) ⋅ f ( y ) |(0,0) = f (0) = 0,∂2 z C = = ⋅ f '( y ) f ( y ) -[ f '( y )]2 = ' - [ f '(0)]2 = '∂y2 |(0,0)f (x ) f 2 ( y ) |(0,0) f (0) f (0) f (0).又 AC - B 2 = [ f ''(0)]2⋅ ln f (0) > 0, 故 f (0) > 1, f ''(0) > 0 ．(4) 【答案】(B)．【解析】因为0 < x < π时， 0 < sin x < cos x <1< cot x ，4n⎪ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭2 3 4 2 34 ⎨ ⎨ X , 又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin x < lncos x < lncotx ．故正确答案为(B)．(5) 【答案】 (D)．【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故⎛ 1 0 0 ⎫A 1 1 0 ⎪ =B ， 0 0 1 ⎪即 AP = B ， A = BP -1．11由于交换 B 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故⎛ 1 0 0 ⎫0 0 1 ⎪ B = E ， 0 1 0 ⎪ 即 P B = E , 故 B = P -1 = P ．因此， A = P P -1，故选(D)．2222 1(6) 【答案】(D)．【解析】由于(1, 0,1, 0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，所以 A (1, 0,1, 0)T= 0 ，且r (A ) = 4 -1= 3 ，即 α + α = 0 ，且 A = 0．由此可得 A *A =| A | E = O ，即13A *(α α, α, α, = )O ，这说明α ,α ,α ,α是 A *x = 0 的解．12341234由于r ( A ) = 3 ，α + α = 0 ，所以α ,α ,α 线性无关．又由于r ( A ) = 3 ，所以r ( A *) = 1，13 2 3 4因此 A *x = 0 的基础解系中含有 4 -1 = 3 个线性无关的解向量．而α ,α ,α 线性无关，且为 A *x = 0 的解，所以α ,α ,α 可作为 A *x = 0 的基础解系，故选(D)． (7)【答案】(D)．【解析】选项(D) +∞⎡ f (x )F (x ) + f (x )F (x )⎤dx = +∞⎡F (x )dF (x ) + F (x )dF (x )⎤ ⎰-∞⎣ 1221⎦ ⎰-∞ ⎣ 2 1 1 2 ⎦= +∞ d ⎡F (x )F (x )⎤ = F (x )F (x ) |+∞= 1 ．所以 f 1F 2 (x ) + f 2 F 1 (x ) 为概率密度． (8)【答案】(B)．⎰-∞⎣ 12⎦1 2 -∞【解析】因为 U = max {X ,Y } = ⎧ X ,⎩Y , X ≥ Y ,X < Y ,V = min {X ,Y } = ⎧ Y ,⎩ X ≥ Y ,X < Y ．所以，UV = XY ，于是 E (UV ) = E (XY ) = E (X )E (Y ) ．= ⋅ 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上． (9) 【答案】ln (1+2 )．【解析】选取 x 为参数，则弧微元ds = 1+ ( y ')2dx = ππ1+ t an 2xdx = sec xdx所以 s =⎰ 4sec xdx = ln sec x + tan x4= ln(1+ 2) ．(10) 【答案】 y = e- xsin x ．【解析】由通解公式得y = e -⎰dx (⎰e - x co s x ⋅ e ⎰dxdx + C )= e - x (⎰cos xdx + C )= e - x (sin x + C )．由于 y (0) = 0, 故C =0．所以 y = e - xsinx ． (11)【答案】4．∂F【解析】∂x sin xyy ， 1+ (xy )2∂2F = ∂x 2y cos xy - sin xy ⋅ 2xy 2y ⋅ [1+ (xy )2 ]2 ，∂2 F故 ∂x2 |(0,2) = 4 ． (12) 【答案】π ．【解析】取 S : x + y - z = 0, x 2 + y 2≤ 1，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=⎰⎰dydz dzdx dxdy∂ ∂ ∂= ⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy ．S∂x ∂y ∂z S y 2 xzx2因 z = x + y , z '= 1, z '= 1. 由转换投影法得xy⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy = ⎰⎰ [ y ⋅ (-1) + x (-1) +1]dxdy ．Sx 2 + y 2 ≤1⎝ ⎭xy(13) 【答案】a = 1．=⎰⎰ x 2 + y 2 ≤1=⎰⎰x 2 + y 2 ≤1(-x - y +1)dxdy = πdxdy = π ．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值，故 A 的特征值为 0，1，4．二次型所对应的矩阵⎛ 1 a 1⎫ A =a 3 1⎪ ，1 a 13⎪ 1 1 1⎪ 由于 A =∏λi= 0 ，故 a 3 1 = 0 ⇒ a = 1．i =11 1 1(14)【答案】 μ(μ2+ σ 2 )．【解析】根据题意，二维随机变量( X ,Y ) 服从 N(μ, μ;σ 2,σ 2;0) ．因为 ρ= 0 ，所以由二维正态分布的性质知随机变量 X ,Y 独立，所以 X ,Y 2．从而有E ( X Y 2 ) = E ( X ) E (Y 2 ) = μ ⎡⎣D (Y ) + E 2 (Y )⎤⎦= μ (μ2 +σ 2)．三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分 10 分)ln(1+ x ) 1lim[ ln(1+ x ) -1]. 1 【解析】lim[ ]e x -1 = e x →0 xe x-1 x →0 xlimln(1+ x )-xlim x - 1x 2 +o ( x 2 )-x 2= e x →0x 2= e x →0x 2- 1x 2 +o ( x 2 )lim 2- 1= e x →0x 2= e2 ．(16)(本题满分 9 分) 【解析】 z = f [xy , yg (x )]∂z= f '[xy , yg (x )]⋅ y + f '[xy , yg (x )]⋅ yg '(x )∂x 12∂2 z∂x ∂y= f 1'[xy , yg (x )]+ y [ f 11'(xy , yg (x ))x + f 12'(xy , yg (x ))g (x )]+g '(x ) ⋅ f 2'[xy , yg (x )]+ yg '(x ){ f 1'2'[xy , yg (x )]⋅ x + f 2'2'[xy , yg (x )]g (x )}．因为 g (x ) 在 x = 1 可导，且为极值,所以 g '(1) = 0 ，则d 2 z dxdy |x =1 =y =1f 1'(1,1) + f 11'(1,1) + f 12'(1,1) ． (17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x = 0 为方程一个实根．当 x ≠ 0 时，令 f ( x ) =xarctan x - k ,f '( x ) =arctan x -x1+ x 2 ．( arctan x )2令 g ( x ) = arctan x -xx ∈ R ，1+ x 2' 1 1+ x 2- x ⋅ 2x2x 2 g ( x ) = 2= 2> 0 ， 1+ x (1+ x 2 ) (1+ x 2 ) 即 x ∈ R , g '( x ) > 0 ．又因为 g ( 0) = 0 ，即当 x < 0 时， g ( x ) < 0 ；当 x > 0 时， g ( x ) >0 ．当 x < 0 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 0 时， f '( x ) > 0 ．所以当 x < 0 时， f ( x ) 单调递减，当 x > 0 时， f ( x ) 单调递增 x又由lim f ( x ) = lim- k = 1- k ，x →0x →0arctan xxlim f ( x ) = l im - k = +∞ ，x →∞x →∞ arctan x 所以当1- k < 0 时，由零点定理可知 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内各有一个零点；当1- k ≥ 0 时，则 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内均无零点．综上所述，当k > 1时，原方程有三个根．当k ≤ 1 时，原方程有一个根．- 21 1 (18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设 f ( x ) = ln (1+ x ), x ∈ ⎡0,1 ⎤⎢⎣ n ⎥⎦显然 f (x ) 在⎡0,1 ⎤上满足拉格朗日的条件，⎣⎢ n ⎥⎦f ⎛ 1 ⎫ - f (0) = ln ⎛1+ 1 ⎫ - ln1 = ln ⎛1+ 1 ⎫ = 1 ⋅ 1 ,ξ ∈⎛ 0, 1 ⎫ n ⎪ n ⎪ n ⎪ 1+ ξ n n ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以ξ ∈⎛0, 1 ⎫ 时，n ⎪ ⎝ ⎭1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ⋅ < ⋅ < ⋅ ，即： n +< ⋅ < ， 1+ n n1+ ξ n 1+ 0 n1 1+ ξ n n 1 亦即：< ln ⎛1+ 1 ⎫ < 1 ．n +1 n ⎪ n⎝ ⎭结论得证．1 1 1 n1（II）设a n = 1+ + + + - ln n = ∑ -ln n ．2 3 n先证数列{a n } 单调递减．k =1 ka - a = ⎡∑n +1 1 - ln (n +1)⎤ - ⎡∑n 1 - ln n ⎤ = 1 + ln ⎛ n ⎫ = 1 - ln ⎛1+ 1 ⎫， n +1n ⎢ k ⎥ ⎢ k ⎥ n +1 n +1⎪ n +1 n ⎪ ⎣ k =1 ⎦ ⎣ k =1 ⎦⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 利用（I ）的结论可以得到< ln(1+ ) ，所以- ln ⎛1+ 1 ⎫ < 0 得到 a< a ，即 n +1 n n +1 n ⎪ n +1 n⎝ ⎭数列{a n } 单调递减．再证数列{a n } 有下界．n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k ⎪ - ln n ，k =1 k =1⎝ ⎭n⎛ 1 ⎫ n⎛ k +1⎫ ⎛ 2 3 4n +1⎫ ∑ln 1+ k ⎪ = ln ∏ k ⎪ = ln ⋅ ⋅ n ⎪ = ln (n +1) ，k =1 ⎝ ⎭ k =1 ⎝ ⎭ ⎝ 1 2 3 ⎭n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k⎪ - ln n > ln (n +1) - ln n > 0 ．k =1 k =1⎝ ⎭0 0 I 1 1'x 0 0 I0 0 =-⎰ ⎰ ' ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭1xdx f ' (x ,1) - 1f '(x , y )dy 得到数列{a n } 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{a n } 收敛． (19)(本题满分 11 分) 1 1 【解析】xdx yf xy (x , y )dy = ⎰0 xdx ⎰0 ydf x(x , y ) = 1 xdx ⎡ yf '( x , y ) |1- 1f ' ( x , y )dy ⎤⎰0 ⎢⎣x⎰0 (x 0 ⎰0 x⎥⎦⎰0x )因为 f (x ,1) = 0 ，所以 f '(x ,1) = 0 ．1 1 xdx f x (x , y )dy 1 1dy xf x (x , y )dx = - 1dy ⎡xf (x , y ) |1 - 1 f (x , y )dx ⎤ = - 1 dy ⎡ f (1, y ) - 1 f (x , y )dx ⎤⎰⎢⎣⎰⎦⎥⎰⎢⎣⎰⎥⎦= ⎰⎰ fdxdy = a ．D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，对(β1, β2 , β3 ,α1,α2 ,α3 ) 进行初等行变换：⎛1 1 3 1 0 1 ⎫ (β , β , β ,α ,α ,α ) = 1 2 4 0 1 3⎪1 2 3 1 2 31 3 a ⎪ 1 1 5⎪⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ → 0 1 1 -1 1 2 ⎪ →0 1 1 -1 1 2 ⎪ ． 0 2 a - 3 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 0 a - 5 2 ⎪ -1 0 ⎪当 a = 5 时，r (β1, β2 , β3 ) = 2 ≠ r (β1, β2 , β3 ,α1) = 3 ，此时，α1 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，故α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示．(II)对(α1,α2 ,α3 , β1, β2 , β3 ) 进行初等行变换：⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ (α ,α ,α , β , β , β ) =0 1 3 1 2 4 ⎪1 2 3 1 2 31 1 5 ⎛ 1 0 1 ⎪ 1 3 5 ⎪ 1 1 3 ⎫⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ → 0 1 3 1 2 4 ⎪ →0 1 3 1 2 4 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 2 2 ⎪ 0 0 1 -1 0 ⎪ -2 ⎪ = ．α1 α2 α3 2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 2 3 α ⎛ 1 0 0 → 0 1 0 2 1 5 ⎫ 4 2 10 ⎪ ， 0 0 1 -1 0 -2 ⎪故 β1 = 2α1 + 4α2 -α3 ， β2 = α1 + 2α2 ， β3 = 5α1 +10α2 -2α3 ． (21)(本题满分 11 分)⎛ 1 1 ⎫ ⎛ -1 1 ⎫ 【解析】(I)由于 A 0 0 ⎪ =0 0 ⎪ ，设α = (1, 0, -1)T ,α = (1, 0,1)T ，则⎪ ⎪1 2 -1 1 ⎪ 1 1 ⎪A (α1,α2 ) = (-α1,α2 ) ，即 A α1 = -α1, A α 2 = α 2 ，而α1 ≠ 0,α2 ≠ 0 ，知 A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 k 1α1 (k 1 ≠ 0) ， k 2α2 (k 2 ≠ 0) ．由于r ( A ) = 2 ，故 A = 0 ，所以λ3 = 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 λ3 = 0 对应的特征向量为α = ( x , x , x )T，则 ⎧α T α = 0, ⎧x - x = 0,⎨ 1 3 即⎨ 1 3 α T α = 0, x + x = 0．⎩ 2 3⎩ 1 3 解此方程组，得α = (0,1, 0)T，故λ = 0 对应的特征向量为k α (k ≠ 0) ．33 3 3 3(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：β1 = 1 = 1 (1, 0, -1)T , β = α2 2 2= 1 (1, 0,1)T, β = α32 3= (0,1, 0)T ．令Q = (β , β , β ⎛ -1 ⎫ ) ，则Q TAQ = Λ =1 ⎪， 123 ⎪ 0⎪ ⎝ ⎭A = Q ΛQ T⎛⎫⎛ 20 -2 ⎫2 2 0 ⎪ 2 2 ⎪ 2 2 ⎪⎛ -1 ⎫ ⎪ = 0 0 1 1 ⎪ 2 0 2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ 0 ⎪⎪ - 0 ⎪⎝ ⎭ 0 10 ⎪ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭22 1 1 1 1⎛ ⎫⎛ 2 0 - 2 ⎫ - 2 2 0 ⎪2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎛ 0 0 1 ⎫ = 0 0 0 ⎪ 2 0 2 ⎪ = 0 0 0 ⎪ ． ⎪ 22 ⎪ ⎪⎪ 1 0 0 ⎪ 0 ⎪ 0 1 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭（22）（本题满分 11 分）【解析】(I)因为 P {X 2 = Y2} = 1 ，所以 P { X2≠ Y 2} = 1- P { X 2 = Y 2}= 0 ．即 P { X = 0,Y = -1} = P { X = 0,Y = 1} = P { X = 1,Y = 0} = 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到1P { X = 0,Y = 0} = P { X = 0} - P { X = 0,Y = -1} - P { X = 0,Y = 1} = ；3P { X = 1,Y = -1} = P {Y = -1} - P { X = 0,Y = -1}= ；3P { X = 1,Y = 1} = P {Y = 1} - P { X = 0,Y = 1} = ．3即( X ,Y ) 的概率分布为(II) Z 的所有可能取值为-1, 0,1 ．P {Z = -1} = P {X = 1,Y = -1} = ．3P {Z = 1} = P {X = 1,Y = 1} = ．31P {Z = 0} = 1- P {Z = 1} - P {Z = -1} = ．Cov ( XY ) E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y )(III) 因为 ρXY = = ，D ( X ) D (Y ) D ( X ) D (Y )其中XY-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3Z = XY 的概率分布为3Z -1 0 1P1/31/31/32πσ∏n 0 n i ∑Y ) = E (Y ) = D (Y ) +[E (Y )] = σ ．n n∧ ∧ 1 1 1 1 1 1E ( XY ) = E (Z ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ， E (Y ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ．3 3 3 3 3 3所以 E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y ) = 0 ，即 X ， Y 的相关系数 ρXY = 0 ．（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x ) =-∞ < x < +∞．(I) 似然函数1 -( x -μ0 )2 e 2σ 2 ，( x -μ )2n1 22 n2n1- i 0- - 2 ∑( x i -μ0 )L (σ ) = ∏ f (x i ;σ i =1) = [ ei =12πσ2σ 2] = (2πσ ) 2 ei =1；2n 2n(x - μ )2 取对数： ln L (σ ) = - ln(2πσ ) - ∑ i 0 ； 2d ln L (σ 2 ) n i =1n (x - μ )2 2σ 2 1 n 2 2求导： = - + ∑ i 0= ∑[(x i - μ0 ) -σ ]． d (σ 2 ) 2σ 2 d ln L (σ 2)2i =1 12(σ 2 )2 n2(σ 2 )22i =1令d (σ 2 )= 0 ，解得σ =∑(x i - μ0 ) ．i =12∧1 nο 的最大似然估计量为σ 2 =(II) 方法 1：∑( X ii =1- μ )2 ．X i ~ N (μ0 ,σ ) ，令Y i = X i - μ0 ~ N (0,σ ∧ 2) ，则σ 2= 1 ∑n Y 2i =1E (σ 2) = E ( 1 nn 22 2 2 i i i i i =1D (σ 2 ) = D ( 1 ∑Y 2 ) =1 D (Y2 + Y 2 + + Y 2) = 1 D (Y 2 ) n i =1 n 2 1 2 nn i1 42 2 1 4 42σ 4 = n {E (Y i 方法 2：) -[E (Y i X )] } = (3σ n- μ -σ ) =． nn⎛ X - μ ⎫2X ~ N (μ ,σ 2 ) ，则 i 0~ N ( 0 , ，得到 Y = ∑ i 0~ χ 2 (n ) ，即i 0σ σ ⎪ i =1 ⎝⎭ 2n2ο Y = ∑( X i - μ0 ) ．i =1i 2σ 2n2．0 n ⎝ ⎭ ⎪ ⎥ ⎛ ∧⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 E σ 2 =E ∑( X - μ )2 = E (σ 2Y ) = σ 2 E (Y ) = ο 2 ⋅ n = σ 2 ． ⎪ ⎣ i =1 0 ⎥⎦ n n n ⎛ ∧ ⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 2D σ 2 = n 2 D ⎢∑( X i - μ )2 = n 2 D (σ 2Y ) = ο 4 D (Y ) = n 2 ο 4 ⋅ 2n = n 2 ο 4 ． n ⎝ ⎭ ⎣ i =1 ⎦ i ⎢。

2011考研数学一真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)．【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4．【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+，故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根．当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=．令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++，即(),0x R g x '∈>．又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >．当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞，所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点；当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭，故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．（23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑；求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n．方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。

2011考研数学(一二三)真题(含答案)

【答案】(D)．
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B

2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)

[
f (0)]2 f (0)
0,
C

2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；

因为
an
单调减少，lim n
an

0 ，所以 an

0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x

2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一、二、三）试题及解析
山东考研辅导专家苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2

2011年考研数一模拟1答案

数一模考1答案一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题（9）13a =（10）29(4)π- （11）1. （12）3712（13））3 （14）1- 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）求极限lim x x x x x →+∞++【解】：lim x x x x x →+∞++lim)11limlim211x x x x x x x x x x xx x x xx x x xx xx++-=+++++===++++++根式有理化（16）求微分方程⎩⎨⎧===+1)0(',2)0()'(''22y y yy y 的解【解】：令dy dp py p y =='''，则得到 y p dydpp=+22 令u p =2, 得到y u dydu=+为关于y 的一阶线性方程. 且1)]0('[)0(0|22====y p x u解得 yce y u -+-=1所以 2)0(121)0(0|1--+-=+-===ce ce y x uy , 0=c .于是 1-=y u , 1-±=y pdx y dy±=-1, 112c x y +±=-, 2211c x y +±=- 2)0(=y , 得到121=c , 得解 121+±=-x y （17）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足23()()()2axf x f x x a =+为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 【解】由题设知，当0,x =/时2()()32xf x f x ax '-= 即()3,2d f x adx x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 根据此并由()0f x x =在点处的连续性，得23(),[0,1]2axf x Cx x =+∈又由已知条件得1232100312()()|222Cax Cx dx ax x =+=+⎰C a 2121+=即 .4a C -=因此.)4(23)(2x a ax x f -+=旋转体的体积为21122003()()(4)2V a f x dx ax a x dx ππ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰π)31631301(2++=a a 11()()0153V a a π'=+=得 5.a =-又因 1()015V a ''=>故5a =-时，旋转体体积最小.（18）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2π在开区间(0,)2π内根的个数，并证明你的结论. 【解】设()sin ,2f x x x π=-则()f x 在]2,0[π上连续.由()1cos 0,2f x x π'=-=得()f x 在)2,0(π内的02cos x arc π=唯一的驻点由于当0(0,),()0,x x f x '∈<时0(,)2x x π∈当时，()0.f x '>所以()f x 在],0[0x 上单调减少，在]2,[0πx 上单调增加，因此0x 是()f x 在(0,)2π内的唯一的最小值点，最小值为000()sin .2y f x x x π==-又因，故在(0,)()2f x π内的取值范围为).0,[0y00(,0),0k y k y k ∉<≥故当即或时，原方程在)2,0(π内没有根；当0k y =时，原方程在)2,0(π内有唯一根0x ；当)0,(0y k ∈时，原方程在00(0,)(,)2x x π和内各恰有一根，即原方程在)2,0(π内恰有两个不同的根。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析

f (0) f (0)
f (0) 0 ， zxx
x0
f (0) ln
f (0) ，
y0
y0
z
yy
x0
f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)
f (0) .
y0
要使得函数 z f (x)ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需
f (0) ln f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0 ,
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
an
单调减少，
lim
n
an
0 ，说明级数
an
n 1
1n
收敛，可知幂级数
an
n 1
x 1n

2011年考研数学一真题

点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（）
A f (0) 1 f (0) 0
B f (0) 1 f (0) 0
Байду номын сангаас
C f (0) 1 f (0) 0
D f (0) 1 f (0) 0
4、设 I 4 ln sin xdx 0
关系是（）
J 4 ln c o xtdx 0
K 4 ln c o sxdx ，则 I J K 的大小 0
B （2，0）
C （3 ，0）
D （4，0）
n
2、设数列 an
单调减少，且
lim
n
a
n
0 。Sn
ai 无界，则幂级数
an (x 1)n 的收敛
i 1
n1
域为（）
A （1 1]
B [1 1)
C [0 2)
D (0 2]
3、设函数 f (x) 具有二阶连续的导数，且 f (x) 0 . f (0) 0 。则函数 z ln f (x) f ( y) 在
D
20、（本题满分 11 分）
设向量组 1 (1,0,1)T ， 2 (0,1,1)T ， 3 (1,3,5)T 不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
2 (1,2,3)T ， 3 (3,4, a)T 线性表示；
（1）求 a 的值；
（2）将 1, 2 , 3 用1, 2 ,3 线性表示；
为概率密度的是（）
A f1 (x) f 2 (x) B 2 f 2 (x)F1 (x) C f1 (x)F2 (x) D f1 (x)F2 (x) + f 2 (x)F1 (x)
8、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记U maxX ,Y V min X ,Y ，则

2011考研数学一真题及答案解析

(A)1,3(B)1,2 ♦(C)2021年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题一、选择题：1〜8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在做题纸指定位置上.⑴ 曲线 y (x 1)(x 2)2(x 3)3(x 4)4 的拐点是() (2,0) . (C)(3,0) . (D) (4,0).a n (x 1)n 的收敛域为()n 1z f(x)ln f(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A) f(0) 1 , f (0) 0.(B)(A) (1,0) •(B)(2)设数列a n 单调减少,lim a n 0 , S n na k (nk 11,2,L L )无界,那么哥级数(A) ( 1,1] •(B)[1,1).(C)[0,2).(D)(0, 2] .⑶设函数f (x)具有二阶连续导数,且f (x)0 , f (0)0 ,那么函数(C) f (0) 1 , f (0) 0.(D) f (0) 1 , f (0) 0 .41nsinxdx,J41n8txdx, K4ln cosx dx ,那么 I , J, K 的大小关系是()(A) I J K .(C) J IK .(5)设A 为3阶矩阵,将(B)I KJ . (D) KJI .A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵,记 P(A) R P2 . (B)1R P 2 .(C)P 2PV(D)P 2P(6)设A ( 1, 2, 3, 4)是4阶矩阵,T rA 为A 的伴随矩阵,假设(1,0,1,0)是万程组Ax 0的一个根底解系,那么* …… •,一・一A x 0的根底解系可为()(7)设F I (X ), F 2(X )为两个分布函数,其相应的概率密度 L(x), f 2(x)是连续函数,那么必为概率密度的是()V min X,Y 那么 E(UV)242 2x 3y z 2axy 2xz 2yz 4 ,经过正交变换化为2 2~y 14z 1 4 ,那么 a(14) 设二维随机变量 X,Y 服从正态分布N , ; 2, 2;0,那么E XY 2 =三、解做题：15〜23小题,共94分.请将解答写在做题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分) 求极限lim(—x 0(A) f i (x)f 2(x). (B) 2 f 2(X )F I (X ).(C) f i (x)F 2(x). (D)G(x)F 2(x) f 2(x)R(x).(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且E(X)与 E(Y)存在,记 U max X,Y ,(A) E(U) E(V). (B) E(X) E(Y). (C) E(U) E(Y).(D)E(X) E(V).(9)(10) (11) (12) 填空题：9〜14小题, x曲线y .匕讨出微分方程y y设函数F(x, y)设L 是柱面方程每题4分, 共24分,请将答案写在做题纸指定位置上.(0 x —)的弧长sxcosx 满足条件y(0) 0的解为y2 .xy空出,那么T 0 1t 2x 22 2x y 1与平面z x y 的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,那么曲线积分2, , y ,? xzdx xdy - dz(13)假设二次曲面的方程(16)(此题总分值9分)设函数z f (xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数, 函数g(x)可导且在x 处取得极值g(1) 1,求一z-lx y x iy i(17)(此题总分值10分)求方程k arctanx x 0不同实根的个数,其中k为参数.(18)(此题总分值10分)1 11,、(I )证实：对任意的正整数n,都有―― in(i 1) 1成立.n 1 n n____ 1 1 ............(卫)设a n 1 一L 一ln n(n 1,2,L ),证实数列a n收敛.2 n(19)(此题总分值11分)函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y) 0 , f(x,1) 0 , f(x, y)dxdy a,其中D (x, y)|0 x 1,0 y 1 ,D・… 一一… , n计算二重积分I xyf xy(x, y)dxdy.(20)(此题总分值11分)设向量组i (1,0,1)T, 2 (0,1,1)T, 3 (1,3,5)T ,不能由向量组i (1,1,1T,2 (1,2,3)T,3 (3,4,a)T 线性表示.(I) 求a的值；(II)将1, 2, 3由1, 2, 3线性表示.(21)(此题总分值11分)A为三阶实对称矩阵, A的秩为2,即rA 2,且A0 0(I)求A的特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .(22)(此题总分值11分)设随机变量X与Y的概率分布分别为(I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;(III) 求Z XY的概率分布；(IV) ) 求X与Y的相关系数XY.(23)(此题总分值11分)2 2设X1,X2,L ,X n为来自正态总体N( 0,)的简单随机样本,其中0, 0未知.X和S2分别表示样本均值和样本方差.(I)求参数2的最大似然估计量 2 ；(II)计算E( 2)和D( 2) .2021年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题答案一、选择题：1〜8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在做题纸...指定位置上.(1)【答案】(C). 【解析】记 y 〔 x1,y 1 1,y 1 0, y 2(x 2)2, y 2 2(x 2),y 2,32y 3 (x 3) , y 3 3(x 3) ,y 3 6( x 3), y 4 (x 4)4, y 4 4(x 4)3,y 4 12(x 4)2,y (x 3)P(x),其中P(3) 0, y x3 0,在x 3两侧,二阶导数符号变化,应选(C).(2)【答案】(C).【解析】观察选项：(A) , (B), (C), (D)四个选项的收敛半径均为 1,哥级数收敛区间的中央在x 1处,故(A) , (B)错误；由于 a n 单调减少,lim a n 0 ,所以a n 0 ,所以 nna n 为正项级数,将x 2代入哥级数得 a n,而S n =a k 无界,故原哥级数在x 2n 1n 1k 1处发散,(D)不正确.当x 0时,交错级数 (1)n a n 满足莱布尼茨判别法收敛,故 x 0n 1时 (1)n a n 收敛.故正确答案为(C). n 1(3)【答案】(A).【解析】-1(0,0)f (x) ln f (y)|(0,0) f (0)ln f (0) 0,x|(0,0) f(x), |(0,0) f ⑼0,故 f (0)0,yf (y)2z-1(0,0)f (x) ln f (y) |(0,0)f (0) ln f (0) 0,x又因ln x 是单调递增的函数,所以 lnsin x lncos x Incot x .故正确答案为(B).(5)【答案】(D). 【解析】由于将 A 的第2列加到第1列得矩阵B ,故1 0 0 A 11 0 B , 00 1即 AR B , A BR 1.由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵,故1 0 0 0 0 1 B E, 0 1 02 Z |(0.0)x y f(x)糊(0.2ZF |(0,0)yf(x)f (y)f(y) [f (y)] f 2 * 4(y)2一|(0,0) (0)陪 f (0).即P2B E,故B P21 P2 .因此,A P2P11,应选(D).(6)【答案】(D).【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组Ax 0的一个根底解系,所以A(1,0,1,0)T 0,且*r (A) 4 1 3 ,即 1 3 0 ,且A 0 ,由此可得A A | A| E O ,即一* *A ( 1, 2, 3, 4) O ,这说明1, 2 , 3, 4 A x 0 的斛.由于r(A) 3, 1 3 0,所以2, 3, 4线性无关.又由于r(A) 3,所以*、r(A) 1,因此Ax 0的根底解系中含有4 1 3个线性无关的解向量.而2, 3, 4线性无关,且为A x 0的解,所以2, 3, 4可作为A x 0的根底解系,应选(D).⑺【答案】(D).【解析】选项(D)L(X)F2(X)f2(x)F - x) dx F2(x)dF1(x) FOdF.lx)d F I(X)F2(X) F I(X)F2(X)| 1.所以GF2(X) f2F1(x)为概率密度.(8)【答案】(B).X. X Y. Y. X Y.【解析】由于U max X,Y V min X,YY, X Y, X, X Y.所以,UV XY,于是E(UV) E(XY) E(X)E(Y).二、填空题：9〜14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答理纸 (9)【答案】ln 1 J 2 .【解析】选取x 为参数,那么弧微元ds J 1 y 2 dx J 1 ~tan 2 xdx所以 s o 4 secxdx In secx tan x|04 ln(1 72).(10)【答案】y e x sinx. 【解析】由通解公式得dx x dxy e ( e cosx e dx C)e x ( cosxdx C) e x (sin x C).由于 y(0) 0,故 C =0.所以 y e x sinx. (11)【答案】4.F sin xy[解析]—— -------- J y ,x 1 (xy)22F y cosxy sin xy 2xy2-y2 2,x [1 (xy)]皿2F .故 2~ | (0,2) 4 ,x(12)【答案】 .【解析】取S:x y z 0,x 2 y 2 1,取上侧,那么由斯托克斯公式得,dydz dzdx dxdy原式=— — —Sx y z2y xz xydydz xdzdx dxdy .S因z x y,z x 1,z y1.由转换投影法得2ydydz xdzdxdxdy [y x 2y 21 (1) x( 1) 1]dxdy .指定位置上.secxdxdxdy22 dx y 1(13)【答案】a 1.【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值,故 A 的特征值为0, 1, 4.二次型所对应的矩阵1 a 1 A a 3 1 , 1 1 13由于A ii 1(14)【答案】【解析】根据题意,二维随机变量 X,Y 服从N , ; 2, 2;0 .由于xy 0,所以由二维正态分布的性质知随机变量X,Y 独立,所以X,Y 2.从而有_2 __2__2E XYE X E YD Y EY三、解做题：15〜23小题,共94分.请将解答写在做题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.(15)(此题总分值10分)1x 2 o(x 2)2 ____2x(16)(此题总分值9分) 【解析】z f xy,yg(x)— f 〔xy, yg(x) y f 2 xy,yg(x) yg (x)xlim[ -----------x 0 xex * 2(x y 1)dxdyy 2 1ln(1 x)]e【解析】lim[limx 0eln(1 x) x x 2limx (ex 2 o(x 2) xx 21 a 1 0,故 a 3 10 a 1.1 1 1222—— f 1 xy,yg(x) y fn(xy, yg(x))x f/xy, yg(x))g(x) x yg (x) f 2 xy,yg(x) yg(x) f^xy, yg(x)] x f 22【xy, yg(x)]g(x).由于g(x)在x 1可导,且为极值,所以g(1) 0,那么d 2z--|x1 "1,1) 3(1,1) f 12(1,1). dxdy y1(17)(此题总分值10分), x arctan x -------- 21 xarctan x又由于g 00,即当x 0时,g 0;当x 0时,g 0. 当x 0时,f ' 0;当x 0时, 0.所以当x 0时, x 单调递减,当x 0时, f x 单调递增又由l x m 0limxlimx—x — k 1 arctan x—x - k arctan x 所以当1 k 0时,由零点定理可知 ,0) , (0,)内各有一个零点;0时,那么f x 在(,0),(0,)内均无零点.综上所述,当k 1时,原方程有三个根.当k 1时,原方程有一个根.【解析】显然X 0为方程一个实根. 当x 0时,令farctan xk,arctan x 1 1 x 211 x 2x R,即 x R, g x0. x 2x 2 2 x2x 2 1 x(18)(此题总分值10分)【解析】(I )设f x ln 1 x , x 0」n显然f (x)在0,1n 上满足拉格朗日的条件,所以结论得证.a n利用数列0,1 时,n(II )设先证数列1 a n1ln 1 ln1n ln10,-nana n即:亦即:InIn单调递减.n 1 1ln nk 1 k(I)的结论可以得到a n单调递减.再证数列a n有下界.a nnlnk 1lnlnln(1ln lnlnlnk 1ln1)n 所以lnlnln0得到ana n,即ln n4L3lnln nln得到数列 a n 有下界.利用单调递减数列且有下界得到a n 收敛.(19)(此题总分值11分)i i ’' i i ’xdx 0 yf xy (x, y)dy 0xdx 0 ydf x (x, y)故1, 2, 3不能由1, 2, 3线性表示.xdx yf x x, y |o1’0 f xx,y dy1 'xdx f x (x,1)f x (x,y)dy .由于 f (x,1) 0,所以 fx(x,1) 0.1 1 ’ 1 1 ’xdx 0 f x (x,y)dy 0dy 0 xf x (x, y)dx1 11 1dy xf( x, y) |0 0f (x, y)dx 0dy f (1,y) f (x,y)dxfdxdy a.D(20)(此题总分值11分) 【解析】(I)由于1, 2, 3不能由 1,2, 3线性表不,对(1, 2, 3, 1, 2, 3)进仃初等行变换:2, 3)113 10 1j1 2 4 0 1 3 1 3 a 1 1 5 1 1 31 0 1I0 11 1 12 I0 2 a 3 0 1 4 1 1 310 1 I0 11 1 1 2I0 0 a 5 21 0I当 a5时,r( 1, 2, 3) 2r ( 1, 2, 3, 1)3,此时,1不能由1, 2, 3线性表示,(II) X ^( 1, 2, 31, 2, 3)进行初等行变换:(1, 2 , 3 , 1 , 2, 3)10 1113I0 13 12 4 115 13 5 10 111310 111 I 0 13 12(21)(此题总分值11分)11 【解析】(I)由于A 0 01 11, A 2 2,而1 0, 2 0,知A 的特征值1, 2 1,对应的特征向量分别为k 1 1 k 10 , k 2 2k 2 0由于r A 2,故A 0,所以3 0.由于A 是三阶实对称矩阵,故不同特征值对应的特征向量相互正交,设特征向量为 3 x 1,x 2,x 3 ,那么0,1,0 T ,故3 0对应的特征向量为k 3 3k 3 0(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交,只需单位化:11T 21 T 3n 721,0,1 ,2 n721,0,1 ,3 u1令 Q 1, 2, 3,那么 Q T AQ1A Q Q T2 2 — —0 2 2 0 0 1故 121423 , 2 10 ,35 1 10 2 2 31 1TT0 0 ,设 1 1,0, 1 , 2 1,0,1 ,那么1 11, 2,即 A 13 0对应的T 1 3 T 230,即 x1 x 30,0, x 1 x 3 0.解此方程组,得T0,1,0〔22〕〔此题总分值11分) 【解析】〔I〕由于P X2即P X 0,Y、J 22V、222-2"立222222 V0 Y2利用边缘概率和联合概率的关系得到0,Y1,Y(II) 0,Y 1P X2Y2P X2Y20.1,Y0,Y0,YP X 0,Y 11,Y 1 P Y 1即Z的所有可能取值为1,0,1.P X 1,Y0,Y 1P X 1,YXY的概率分布为(III)由于其中1/3 1/3 1/3-1 0 1Cov XY E XY E X XY . DeXT ,丽E XY E Z 113 3 °,所以E XY E 0, Y的相关系数XY (23)(此题总分值11 分)【解析】由于总体X服从正态分布,故设的概率密度为f(x)1「2一e(x 0)2(I) 似然函数L(n2) f (X i；n2)(x i20)22] (2n2) 2ge0)2取对数：ln L( 2) 刎22) (X i20)22求导：dln I, d() 2) (X i 0)2- 2 22()[(X i10)2 2]-2人dlnL( 2)八令------ 0 ,d() 解得(Xi1、20) •2 .一........ .. 的最大似然估计量为(X i i10)2・(II) 方法1 ：X i~ N( 0, 2),令Y i X i 0~N(0, 2),那么Y i2E( 2) E(1nnY i2)1E(Y2) D(Y i) [E(Y)]2D( 2)1D(-nY2) 2 :—D(Y1 Y2 Y n2) D(Y i2)方法2: X i ~ N( 1{E(Y i4)n [E(Y2)]2}1(3n 4)- nn 0,那么X——~ N(0,1)n X i22又 AC B 2 [f (0)]2 ln f (0) 0,故 f(0) 1,f (0) 0 . ⑷【答案】(B).【解析】由于0 x —时,0 sin x cosx 1 cotx,4「「ln(1 x)1 n E2 1E (X i n i 1 212 1 2 1 2 0)2-E 2Y- 2E Y- 2nnn n21 n2D 2-D (X i 0)2n i 1,D2YJ 4D Y 342n nnn。

数1--11真题答案

2011年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）C （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B 二、填空题（9）ln(1+ （10）esin xx − （11）4 （12）π（13）1 （14）22()μμσ+ 三、解答题（15）12e−. （16）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （17）1k >时,原方程有三个根.1k 时,原方程有一个根. （18）略. （19）a .（20）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .（22）（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0ρ=XY .（23）（Ⅰ）22011()n i i X n σμ==−∑.（Ⅱ）22()E σσ=，422()D nσσ=.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】易知该曲线与x 轴有四个交点(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),且1x <时，0y >；当12x <<时，0y <；当34x <<时，0y >；当4x >时，0y >. 根据以上结论描绘出曲线y 的大致图形为：故选择答案C ．（2）【答案】C ．【解答】因为1nn a∞=∑发散，而1(1)nn n a ∞=−∑收敛，所以1n n n a x ∞=∑的收敛域是[1,1)−,因此1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域是[0,2)故选择答案C ．（3）【答案】A ．【解答】(0,0)(0,0)()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x ∂''=⋅==∂(0,0)(0,0)()()(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=22(0,0)(0,0)()ln ()(0)ln (0)0,z A f x f y f f x ∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]()0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂22222(0,0)(0,0)()()[()][(0)]()(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f yf y f ''''∂−''''==⋅=−=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>. 故正确答案选A. （4）【答案】B ．【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，应选B ．（5）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E 即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（6）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ．（7）【答案】D . 【解答】122112[()()()()]d ()()1f x F x f x F x x F x F x +∞+∞−∞−∞+==⎰，故选答案D .（8）【答案】B ．【解答】因为{}{}()()max ,,min ,,22X Y X Y X Y X YU X Y V X Y ++−+−−====所以UV XY =. 又,X Y 相互独立，所以()E UV =EX EY ⋅，故答案选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】(ln 1.【解答】(ππ440sec d ln |sec tan |ln 1s x x x x ===+=+⎰.（10）【答案】e sin xy x −=.【解答】d d e (e cos e d )x x xy x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以esin xy x −=.（11）【答案】4.【解答】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+,22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+,故2(0,2)2|4F x ∂=∂. （12）【答案】π.【解答】设S 是平面=+z x y 上位于柱面221x y +=内的部分，S 在xOy 平面上的投影为22{(,)|1}D x y x y =+，由斯托克斯公式，得22d d d d d d d d d 22L Sy z z x x yy xz x x y z x y z y xzx∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d (1)d d πSDy y z x z x x y x y x y =++=−−=⎰⎰⎰⎰.（13）【答案】1.【解答】二次型矩阵为1131111a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,其特征值为0,1,4,所以0,1a =|A |=.（14）【答案】22()μμσ+.【解答】因为(,)X Y 服从二维正态分布22(,;,;0)N μμσσ，不相关，所以,X Y 相互独立，故22222()()()E XY EXEY EX E Y DY μμσ==+=+.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：1e 10ln(1)lim x x x x −→+⎡⎤⎢⎥⎣⎦0ln(1)1lim[1].e 1e x x x x →+−−=2ln(1)limex x xx →+−=22201()2lim ex x x o x x x →−+−=12e .−=（16）（本题满分10分）解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂[]{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+ 又()g x 在1x =可导，且为极值，所以(1)0g '=，所以21111211d (1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y=='''''=++（17）（本题满分10分）解：易知0x =为方程的一个实根.当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−则()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=. 令()2arctan 1=−+xg x x x ,则 ()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++,()g x 单调递增.又(0)0g =,所以当0x <时，有()0g x <，从而()'0f x <；当0x >时，有()0g x >，从而()'0f x >. 又，()00lim lim1arctan x x x f x k k x →→=−=−,()lim lim arctan x x xf x k x→±∞→±∞=−=+∞,所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内各有一个零点；当10k −时，则()f x 在(,0)−∞,(0,)+∞内均无零点.综上所述，当1k >时，原方程有三个根；当1k 时，原方程有一个根.（18）（本题满分10分）证：（Ⅰ）设1()ln(1),[0,]f x x x n=+∈. 显然()f x 在1[0,]n上满足拉格朗日中值定理:111111()(0)ln(1)ln1ln(1),(0,)1f f n n n n nξξ−=+−=+=⋅∈+当1(0,)nξ∈时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++， 111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n<++，所以11ln(1)01n n −+<+得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln(1)ln nnn k k a n n k k ===−>+−∑∑，而，11112341ln(1)ln ()ln()ln(1)123nnk k k n n k k n==+++==⋅⋅=+∑∏，所以，11111ln ln(1)ln ln(1)ln 0nnn k k a n n n k k n ===−>+−>+−>∑∑.因此，数列{}n a 有下界. 由单调有界定理可知，数列{}n a 收敛.（19）（本题满分11分）解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x yf x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y x f x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（20）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭. 故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2r =A ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T2300⎧=⎨=⎩αααα，即131300x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭022022000022010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. （22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为{}221P XY ==，所以有{}{}222210P X Y P X Y ≠=−==,即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ==−=======. 利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}10,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y ====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y ====−===；即(),X Y 的概率分布为（Ⅱ）Z 的所有可能取值为1,0,1−,{}{}111,13P Z P X Y =−==−=−=，{}{}111,13P Z P X Y =====，{}{}{}101113P Z P Z P Z ==−=−=−=.所以，Z XY =的概率分布为（Ⅲ） cov XY XY E XY E X E Y ρ−⋅==由（I ）中(),X Y 的联合分布可知()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=，()()()0E XY E X E Y −⋅=，所以cov 0XY XY E XY E X E Y ρ−⋅===.（23）（本题满分11分）解：总体X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞（Ⅰ）似然函数 202()22211()(;)i x nn i i i L f x μσσσ−−==⎡⎤==⎥⎥⎦∏∏，取对数 222211ln ()ln(2π)ln ()222nii n n L x σσμσ==−−−−∑，求导 22022221d ln ()1[()]d()22()nii L n x σμσσσ==−+−∑，令22d ln ()0d()L σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为22011()ni i X n σμ==−∑.（Ⅱ）20~(,)i X N μσ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑. ()()()222222011111().n i i E E X E Y E Y n n n n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑ ()()()22244402222111112()2.n i i D D X D Y D Y n n nn n n σμσσσσ=⎡⎤=−===⋅=⎢⎥⎣⎦∑。

2011考研数一真题答案及详细解析

所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值，则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�

2011考研数学一真题和答案解析

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=(A)1 (B)l (C)l l −l (D)l l −l 【考点】C 。

【解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =lll l →∞{[1+(l −l )l +ll (l −l )(l +l )](l −l )(l +l )(l −l )l +ll }(l −l )l +ll(l −l )(l +l )l =l l −l【方法二】原式=lll l →∞llll l 2(l −l )(l +l )而lll l →∞lll l 2(l −l )(l +l )=lll l →∞lll (1+(l −l )l +ll(l −l )(l +l ))=lll l →∞l ∙(l −l )l +ll(l −l )(l +l ) (等价无穷小代换)=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=l l −l【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若llll (l )=0, llll (l )=0,且llll (l )l (l )=l则ll l (1+l (l ))l (l )=l l ,求极限由于lll l →∞l (l )l (l )=lll l →∞l 2−(l −l )(l +l )(l −l )(l +l )∙l =llll →∞(l −l )l 2+lll (l −l )(l +l )=l −l则lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l =l l −l【方法四】lll l →∞[l 2(l −l )(l +l )]l=lll l →∞[(l −l )(l +l )l 2]−l=lll l →∞(1−l l )−l ∙lll l →∞(1+l l )−l=l l ∙l −l=l l −l综上所述，本题正确答案是C 。

2011考研数学一真题及答案解析

2011年考研数学(一)真题(含答案解析)

因为用心，所以专业
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
an = 1 + 1 / 2 + … +
′′ ( x, y )dxdy = ∫ xdx ∫ yf xy ′′ ( x, y )dy I = ∫∫ xyf xy
0 0
1
1
D
∫
19.解：
1
0
′′ ( x, y )dy = ∫ ydf x′( x, y ) = y f xy ′ ( x, y ) 1 ′ yf xy 0 − ∫ f x ( x, y ) dy ,
∫
π 4
0
4 4 ln sin xdx , J = ∫ ln cot xdx , K = ∫ ln cos xdx 则I、J、K的大小关系是
π
π
0
0
A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I 5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单
显然 g ( 0 ) = 0 , 因为 g ′( t ) = 2 t arctan t > 0 , 所以 g ( t ) > g ( 0 ) = 0 (当 t > 0 ),
k −1 −
k − 1 > 0 , 极小值 − k arctan k − 1 > 0,

2011年考研数学一试卷真题与答案解析

2011 年考研数一真题及答案解析一、选择题1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是（）（A）（ 1， 0）（ B）（ 2， 0）（ C）（ 3， 0）（ D）（4， 0）【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由 y x 1 x 2 2x 3 3 x 4 4可知 1,2,3,4 分别是y x 12x34 x 23x 40的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0， y (2)y (3)y (4)0y (2)0， y (3)y (4)0， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。

n n2、设数列a n单调减少， lim a n0 ，S n a k n1,2a n x 1无界，则幂级数的收敛域n k 1n1为（）（ A） (-1， 1]（B） [-1 ， 1)（ C） [0，2)（ D） (0， 2]【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

n n1；【解析】 S n a k n1,2a n x 1无界，说明幂级数的收敛半径 Rk 1n 1a n单调减少，lim a n0a n1n a n x1n1。

，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径 R n n 1n1a n x n的收敛半径 R10,2。

又由于 x0时幂级数收敛， x 2 时因此，幂级数1，收敛区间为n 1幂级数发散。

可知收敛域为0,2。

3、设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f ( x)0 ， f (0)0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0)1， f (0)0(B) f (0)1， f(0)0(C) f (0)1， f ( 0)0(D) f (0)1， f(0)0【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。

2011考研数学一真题及答案)

2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 CA （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域CA(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 AA 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IBA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。

记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=DA 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 D A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是 DA )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= B A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s= __)21ln(+_____10.微分方程x e y y x c o s -=+'满足条件y(0)=0的解为y=___x e y x sin -=_________ 11.设函数⎰+=xydt tty x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x x F 4 12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx π13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______1________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(021]))1ln((1[lim e eexxx x x e x x x xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z解由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。

2011年考研数一真题12

2011年考研数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)．(2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)n n k k S a n ===∑ 无界，则幂级数1(1)n nn a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]．(3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<．(C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<．(C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组。

2011考研数一真题

2011考研数一真题2011年考研数学一真题是考研数学考试中的一道经典题目，难度较大，涉及了数学分析、线性代数、概率论等多个知识点。

本文将对这道题目进行分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握数学一的考试内容。

首先，让我们来看一下这道题目的具体内容：已知函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且f(x)在(-1,1)内可导，且f(-1) = f(1) = 0。

若对任意的x∈(-1,1)，f(x)≠0，且有f'(x) = f(x) + f(2x)，则f(x)的解析式为（）。

这道题目要求我们找出函数f(x)的解析式，通过给出的已知条件进行推导和计算。

首先，我们可以利用已知条件f(-1) = f(1) = 0，得到f(x)在x = -1和x = 1处的函数值为0。

这意味着f(x)在[-1,1]上至少有两个零点，而且根据题目中的条件，f(x)在(-1,1)内的零点个数应该为0。

接下来，我们可以对f'(x) = f(x) + f(2x)进行分析。

根据已知条件，f(x)在(-1,1)内可导，所以f'(x)存在。

我们可以将f'(x)写成f(x)的形式，即f'(x) - f(x) = f(2x)。

接下来，我们可以对f'(x) - f(x) = f(2x)进行求解。

由于f(x)在(-1,1)内可导，所以f'(x)存在，我们可以对f'(x)进行积分，得到∫f'(x)dx = ∫(f(x) + f(2x))dx。

对左边的积分进行计算，得到f(x) = ∫(f(x) + f(2x))dx。

我们可以将f(x)进行展开，得到f(x) = ∫f(x)dx + ∫f(2x)dx。

对第一项进行计算，得到f(x) = xf(x) + C1，其中C1为常数。

对第二项进行计算，得到f(x) = ∫f(2x)dx = (1/2)∫f(u)du，其中u = 2x。

将第二项代入第一项的计算结果中，得到f(x) = xf(x) + (1/2)∫f(u)du + C1。

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北京导航2011年考研数学模拟试题（数学一）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）0sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）0(sin )x f t dt ⎰（D ）0[sin ()]xt f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）.(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 66.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7. 设随机变量X 服从[1,1]-上的均匀分布，则X 与eXY -=（）.（A ）不相关（B ）相关（C ）独立（D ）相关且不独立8. 设1,,n X X 是取自正态总体(0,1)N 一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A~(0,1)N （B ）22(1)~(1)n S n χ--（C~(1)t n -（D ）2121~(1,)ni i nX F n X =∑9.设函数(,)f x y (1,3)y f = . 10.微分方程y '+11.设2nn x a∞==∑12.设S 为锥面z =13.设A 为n 的通解为 . 14.设随机变量X })0≥= .三、 15. （本题满分9分）设(,)u f x z =，而(,)z z x y =是由方程()z x y z ϕ=+所确定的隐函数，其中f 具有连续偏导数，而ϕ具有连续导数，求du . 16. （本题满分10分）设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()e cos t x nf x t dt x -=⎰.⑴求()f x ；⑵ 设(0)n a f =，求级数1112nn n a ∞+=+∑的和.17. （本题满分10分）设球体2222(0)x y z az a ++≤>的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k >），求球体的质量M 及球体绕z 轴旋转的转动惯量z I .18. （本题满分11分）设函数()f x 在[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且423(2)(1)()f x f x dx =-⎰，证明：存在(2,4)ξ∈，使得2()()1f f ξξξ'=-. 19. （本题满分10分）证明：在右半平面x (,)u u x y =，使得20. （本题满分11设二维随机向量(,X 求⑴条件概率密度f 21.（本题满分11设1,,n X X ⑴求未知参数θ⑵求未知参数θ的最大似然估计量.22.（11分）已知两个向量组()()TT121,2,3,1,0,1αα==与()()TT121,2,,4,1,5t ββ=-=. ⑴t 为何值时，两个向量组等价？⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.23.（11分）已知二维向量α不是二阶方阵A 的特征向量. ⑴证明,A αα线性无关；⑵若260A A ααα+-=，求A 的全部特征值，并判断A 能否与对角矩阵相似.北京导航2011年考研数学模拟试题（数学二）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>2.设1x a→= 则函数()f x 在点x a =（）.（A ）取极大值（B 3.设(,)f x y（A ）1002dx f ⎰⎰（C ）102dx f ⎰⎰4.微分方程2y y '''-(A) *2()e x y ax b =+(C) *22e x y ax =5. 设函数()f x （A ）2()x f t dt ⎰ （B ）20()xf t dt ⎰（C ）[()()]x t f t f t dt +-⎰（D ）0[()()]xt f t f t dt --⎰6. 设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.（D ）21x x <，21y y >.7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（）.(A)A E λ-与B E λ-相似 (B) A 与B 合同 (C) A E B E λλ-=- (D) A E B E λλ-=- 8. n m A A ⨯=，r A R =)(，b 为m 维列向量，则有（）.(A)当r m =时，方程组Ax b =有解 (B)当n r =时，方程组Ax b =有唯一解 (C)当n m =时，方程组Ax b =有唯一解 (D)当n r <时，方程组Ax b =有无穷多解二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 10(1)elimxx x x→+-= .10设f 11.设微分方程y12.数列13.方程52x --14.设n 阶矩阵Ax b =三、 15. （本题满分16. （本题满分9分）设()f x 单调且具有一阶连续导数，(())z f x y ϕ=+满足()0z zy x yϕ∂∂-=∂∂，求可导函数()y ϕ. 17. （本题满分9分）计算积分1311sin )dy y dx -⎰⎰18. （本题满分11分）求微分方程2()0(0)y a y a '''-=>满足初始条件00x y ==，01x y ='=-的特解. 19. （本题满分11分）设()f x 和()g x 在区间(,)a b 可导，并设在(,)a b 内()()()0f x g x f x ''-≠，证明在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. 20. （本题满分11分）设有抛物线Γ：2y a bx =-，试确定常数,a b 的值，使得 ⑴Γ与直线1y x =+相切；⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大. 21.（本题满分11分）一质量为m 的物体以速度0v 从原点沿y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数0k >），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.22. （本题满分11分）设()()()()()TTTTT12341,2,3,1,1,1,2,1,1,3,,3,3,5,7,1,0,1,1,a b ααααβ==-==-=. ⑴当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式唯一？⑵当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式不唯一？并求出β的表示式.23. （本题满分11分）设,A P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP PA =，证明：⑴若α是A 的特征向量，则P α也是A 的特征向量；⑵若A 有n 个不同的特征值，α是A 的特征向量，则α也是P 的特征向量.北京导航2011年考研数学模拟试题（数学三）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则20)(lim x xx y x -→ （）（A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在.2.设在全平面上有0),(<∂∂x y x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.（D ）21x x <，21y y >.3.设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0<x 时有()0f x '<，()0f x ''>，则当0>x 时有（）（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f . （C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f . 4.设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（）（A ）在(0,)δ内单调增加（B ）在(,0)δ-内单调减少（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f > （D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >5.二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（）. （A ）222123f z z z =++. （B ）222123f z z z =+-. （C ）2212f z z =-. （D ）21f z =.6.设1211121k A k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（）.（A ）当1k =时，()1r B = . （B ）当3k =-时，()1r B =. （C ）当1k =时，()2r B = . （D ）当2k =-时，()2r B =.7.设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，），且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（）.（A ）120k k +=. （B ）120k k ==. （C ）120k k +≠. （D ）120k k +≠. 8.设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则（）（A ）~nX N （C ）~)1(-SX n 9.设)(x f n =→)都存在，那么a =________10.222021lim r x y rπ→+≤⎰⎰11.设(,)z z x y =[()][()]________z x g z y f z x y∂---=∂∂. 12.设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则dx x f ⎰π|)(|________=.13.设矩阵2TA E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2Tαβ=，则1______A -=.14.设129,,,X X X 是来自正态总体X的简单随机样本，1161()6Y X X =++ 27891()3Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S-=，则统计量Z 服从______.三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（10分）设()f x 在(,0]-∞上连续，且满足2222201()ln(1)12xx tf t x dt x x -=-++⎰，求()f x 及其极小值.16.（10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导，且()0,()0,()0f a f b f a +'=><.证明：①在(,)a b②在(,)a b 17.（10)与直线1,0x y ==18.（10分）计算I =.19.（1020.（11分）设33A ⨯102Tα=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量. ①求矩阵A ；②求方程组(6)0A E x *+=的通解.21.（11分）设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，且满足2A A =，求 ①二次型Tx Ax 的标准形；②行列式||2n A A A E ++++ 的值，其中E 为单位矩阵.22.（11分）已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为01011/31/3Y X αβ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭①证明X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立； ②若X 与Y 不相关，求X 与Y 的边缘分布.23.（11分）设总体),1(~θU X ，参数1>θ未知，n X X ,,1 是来自X 的简单随机样本. ①求θ的矩估计和极大似然估计量；②求上述两个估计量的数学期望.2011年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）0(sin )x f t dt ⎰（D ）0[sin ()]xt f t dt +⎰解选择B. 由题设知，sin ()t f t ⋅为偶函数，故sin ()x t f t dt ⋅⎰为奇函数.2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点解选择B. 1101e lim ()lim 11ex x x xf x --→→+==-，1101e lim ()lim 11ex x x xf x ++→→+==--，故0x =是()f x 的跳跃间断点.3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰解选择 C. 由函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导知， ()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内连续，0lim ()()x x f x f x →=，00lim ()()x x g x g x →=，而00()()f x g x <，故0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<.4.已知级数11(1)n n n a ∞-=-∑和21n n a ∞=∑分别收敛于,a b ，则级数1n n a ∞=∑（）.【C 】(A)不一定收敛 (B) 必收敛，和为2a b + (C)必收敛，和为2a b - (D) 必收敛，和为2a b +解选择D. 由级数11(1)n n n a ∞-=-∑收敛知，lim 0n n a →∞=，设11(1)n n n a ∞-=-∑，21n n a ∞=∑1nn a∞=∑的前n 项和分别为,,n n n s S σ，则lim ,lim n n n n s a S b →∞→∞==，2122k k a a a σ=+++1234212242()2()k k k a a a a a a a a a -=-+-++-++++ 22k k s S =+，故22lim lim(2)2k k k k k s S a b σ→∞→∞=+=+，21221lim lim()2k k k k k a a b σσ++→∞→∞=+=+，所以lim 2n n a b σ→∞=+，级数1nn a∞=∑收敛，和为2a b +.5.设矩阵A 与101020101B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则()(2)r A r A E +-=（）.(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6解选择A. 矩阵A 与B 相似，则2A E -与2B E -相似，故()(2)()(2)213r A r A E r B r B E +-=+-=+=.6.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫⎝100⎛⎫解因为313,,2ααα300010002⎫⎪⎪⎪⎭.7. 设随机变量X （A ）不相关解选择A. 0，0XY ρ=.8. 设1,,n X X .（A ~N 2121~(1,)n i i nX F n X =∑ 解选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A ，B ，C 都正确，222211~(1),~()ni i X X n χχ=∑，但是它们不独立，不能推出2121~(1,)nii nX F n X=∑.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数(,)f x y 具有连续偏导数，且2(,234)f x x x x -+=，(1,3)2x f =，则(1,3)y f = .解答案为1-. 方程2(,234)f x x x x -+=两边对x 求导，得22(,234)(,234)(43)1x y f x x x f x x x x -++-+⋅-=，令1x =，得(1,3)(1,3)1x y f f +=，故(1,3)1y f =-. 10.微分方程(e 1)1x y y -'+-=的通解为 . 解答案为e e (1e )xxy C -=+. (e 1)(e1)e [e ]x xdxdxy dx C -----⎰⎰=+⎰ee e (e xx-+-=⎰11.设2nn x a∞==∑解答案为1. 2a 12.设S 为锥面z =解答案为0. S .13.设A 为n 的通解为 .解答案为(1,1,k 1，()1n r A -=且*AA A E O ==，故*A 的列向量T (1,1,,1) 是0Ax =的基础解系.14.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布(0,1)N ，则{}max(,)0P X Y ≥= .解答案为34. {}{}{}max(,)01max(,)010,0P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<< {}{}231001(0)4P X P Y Φ=-<<=-=.三、解答题（本题共9小题，满分94分。