北京市日坛中学11-12学年高二上学期期中练习数学(理)试题(无答案)
2019-2020学年北京市十一学校高二(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．下列叙述中，错误的一项为( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2．下列函数中，在定义域内为奇函数，且在(0,)+∞上为减函数的是( ) A ．2()log f x x =B ．2()2f x x =-C ．()3xf x -=D ．3()4x f x =-3．圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的()A ．23B ．32C ．43D ．344．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β “是“//αβ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )AB CD 6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．8a =B ．9a =C ．10a =D ．11a =7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是( )A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是 ． 10．若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．11．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直．以上四个结论中，正确的是 ．12．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．13．在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 ．14．已知函数2()1f x ax =-的图象在点(1A ，f （1）)处的切线与直线80x y +=垂直，若数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则n S = ． 15．如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为 1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单调增区间是 ；最大值为 ．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．已知函数2()sin sin()1(0)2f x x x x πωωωω=++->的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值； （2）当[12x π∈-，]2π时，求函数()f x 的值域．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足112a b ==，222a b =，2213S T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n H ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：//EF 平面PAC ； （2）（2）证明：AF PC ⊥．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，点1()2M 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果OAB ∆的面积为||4(2||AB OP λλ+为实数），求λ的值．20．已知函数21()(2)22f x a x lnx x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．下列叙述中，错误的一项为( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面【解答】解：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱． 定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围城的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D 错； 故选：D ．2．下列函数中，在定义域内为奇函数，且在(0,)+∞上为减函数的是( ) A ．2()log f x x =B ．2()2f x x =-C ．()3xf x -=D ．3()4x f x =-【解答】解：A ．()f x 的定义域为(0,)+∞，函数为非奇非偶函数； B ．22()2()2()f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，不满足条件； C ．()f x 为指数函数，单调递减，为非奇非偶函数；D ．33()()()44x x f x f x --=-==-，则()f x 是奇函数，当0x >时，函数()f x 为减函数，满足条件． 故选：D ．3．圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的()A ．23B ．32C ．43D ．34【解答】解：设一个圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积213V r h π=；圆锥的高缩小为原来的13，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为2r ，高为13h ， 体积为221114(2)339V r h r h ππ==．∴212449133r h V V r h ππ==． ∴它的体积是原来体积的43． 故选：C ．4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β “是“//αβ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：m α⊂，//m β得不到//αβ，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到//m β；//αβ，m α⊂，m ∴和β没有公共点，//m β∴，即//αβ能得到//m β；∴ “//m β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为()ABCD 【解答】解：如图在Rt △12MF F 中，1230MF F ∠=︒，122F F c =∴12cos30c MF ==︒，22tan 30MF c =︒=∴122a MF MF =-=-=∴ce a== 故选：B ．6．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．8a =B ．9a =C ．10a =D ．11a =【解答】解：由正弦定理，有sin sin a bA B=，∴sin sin b AB a===， 三角形有两解，sin 1B ∴<且b a >，∴10a <<，因此由选项知，只有9a =时符合条件， 故选：B ．7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P ABC -所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是： 故选：A ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是( )A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【解答】解：连接1A P ，由题意知1A A AP ⊥， 因为1PE A C ⊥，且PA PE =， 所以△1A AP ≅△1A EP ， 所以11A A A E =，即E 为定点．因为PA PE =，所以点P 位于线段AE 的中垂面上， 又点P 在底面上，所以点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段． 故选：A ．二、填空题（共7小题，其中，第9-14题，每小题3分，共18分；第15题，每空2分，共4分）9．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是 4 ． 【解答】解：由题意可得，圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=， 圆心的坐标为(1,1)，半径1r =， ∴圆心到直线的距离3d ==，所以所求最大距离是4， 故答案为：4．10．若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是8．【解答】解：将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向左平移ϕ个单位，可得sin(22)4y x πϕ=++的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ+=+，k Z ∈，则ϕ的最小正值为8π，故答案为：8π．11．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直．以上四个结论中，正确的是 ③④ ．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出： ①BM 与ED 平行；错误的，是异面直线； ②CN 与BE 是异面直线，错误；是平行线；③从图中连接AN ，AC ，由于几何体是正方体，故三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 的夹角是60︒，又//AN BM ，故CN 与BM 成60︒；正确；④DM 与BN 垂直．正确 判断正确的答案为③④． 故答案为：③④．12．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线【解答】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则1(,0)2F ，依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为||||PP PF '=，则点P 到点(0,2)A 的距离与P 到该抛物线准线的距离之和||||||d PF PA AF =+==…． 13．在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13AD B π∠=，则直线1AB 与1BC 所成角【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系． 长方体中，11BC CC ==，13AD B π∠=，1AD ∴=，1tan3AB AD π==．(1A ∴，0，0)，1(1B，1)，(1B，0)，1(0C ，1)． ∴1(0AB =1)，1(1BC =-，0，1)，111111cos ,||||7AB BC AB BC AB BC ∴<>===．14．已知函数2()1f x ax =-的图象在点(1A ，f （1）)处的切线与直线80x y +=垂直，若数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则n S 21n + ． 【解答】解：函数2()1f x ax =-的导数为()2f x ax '=， 可得()f x 在1x =处的切线斜率为2a ，切线与直线80x y +=垂直，可得28a =，即4a =， 则2()41f x x =-，211111()()4122121f n n n n ==---+， 可得111111(1)23352121n S n n =-+-+⋯+--+11(1)22121nn n =-=++． 故答案为：21nn +． 15．如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为 1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单调增区间是 ， ；最大值为 ．【解答】解：如图所示，设BC x =，1AB AC AD CD BD =====． 取AD 的中点O ，连接OB ，OC ，则OB AD ⊥，OC AD ⊥，OB OC ==． 又OBOC O =，则AD ⊥平面OBC ，取BC 的中点E ，连接OE ，则OE BC ⊥，OE ==． 132OBCx S BC OE ∆∴== 1()3F x S OBC AD ∴=∆113=x =<<．()F x '=，令()0F x '…，解得0x <…，此时函数()F x 单调递增；令()0F x '<x <<，此时函数()F x 单调递减法．因此当x =()F x 取得最大值，18F ==．故答案分别为：，18．三、解答题（共5小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）16．已知函数2()sin sin()1(0)2f x x x x πωωωω=++->的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求ω的值； （2）当[12x π∈-，]2π时，求函数()f x 的值域． 【解答】解：（1）1cos 2111()cos 12cos 2sin(2)22262x f x x x x x x ωπωωωωω-=+-=--=--，函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， ∴22ππω=， ∴解得1ω=，（2）[12x π∈-，]2π， 2[63x ππ∴-∈-，5]6π，根据正弦函数的图象可得： 当262x ππ-=，即3x π=时，()sin(2)6g x x π=-取最大值1．当263x ππ-=-，即12x π=-时，()sin(2)6g x x π=-取最小值∴111sin(2)2622x π----，即()f x 的值域为1[]2． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足112a b ==，222a b =，2213S T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n H ．【解答】解：（1）设公差为d 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q 的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足112a b ==，222a b =，2213S T +=．所以：2(2)2222213d q d q +=⎧⎨++++=⎩，解得13d q =⎧⎨=⎩，所以2(1)1n a n n =+-=+，123n n b -=．（2）由于1123n n n n c a b n -=+=++，所以220112313(12)2(333)2()3122312n n nn n n n n n H n n -+-+=++⋯+++++⋯+=++=+--． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：//EF 平面PAC ； （2）（2）证明：AF PC ⊥．【解答】证明：（1）点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． //EF PC ∴，EF ⊂/平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，//EF ∴平面PAC ．（2）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥底面ABCD ，且PA AD =，点F 是棱PD 的中点， AF PD ∴⊥，PA CD ⊥，AD CD ⊥， PAAD A =，CD ∴⊥平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，CD AF ∴⊥， PDCD D =，AF ∴⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，AF PC ∴⊥．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F，点1()2M 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果OAB ∆的面积为||4(2||AB OP λλ+为实数），求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c =，左焦点(F '，0)．根据椭圆的定义得：12||||2a MF MF ='+=，解得2a =，222431b a c ∴=-=-=，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（Ⅱ）由题意知，1||4||||22||ABC AB S AB OP OP λ∆+==，整理得：24||||OP AB λ=-． ①当直线l 的斜率不存在时，l的方程为：x = 此时||1AB =，||OP =， 24||1||OP AB λ∴=-=-； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(y k x =-， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 整理得：2222(14)1240k x x k +-+-=，显然△0>，则12x x +=，212212414k x x k -=+，11(y k x =-，22(y k x =-，||AB ∴=12()x x =+221414k k +=+，22223||1k OP k ∴==+， 此时，2222314111k k k k λ+=-=-++； 综上所述，λ为定值1-． 20．已知函数21()(2)22f x a x lnx x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数21()(2)22f x a x lnx x x =--+．定义域为(0,)+∞， 21()(1)2(2)()f x a x x a x x x'=--+=--，(0)x >①0a …时，0a x -<，当(0,2)x ∈．()0f x '>，()f x 单调递增； 当(2,)x ∈+∞．()0f x '<，()f x 单调递减； ②02a <<时，()0f x '=，解得2x =或x a =， 当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(x a ∈，2)()0f x >，()f x 单调递增， 当(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减；③2a =时，21()(2)0f x x x'=--<，()f x 在(0,)+∞单调递减；④2a >时，()0f x '=，解得2x =或x a =， 当(0,2)x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； (2,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (,)x a ∈+∞，()0f x '<．()f x 单调递减；（2）由（1）得当0a =时，21()22f x x x =-+在定义域上只有一个零点，0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则f （2）0>，即f （2）(222)20a ln =-+>，所以1021a ln <<-， 下证()f x 有两个零点，取1ax e =，1111211()(2)()202a aa af e a e e e a =-⨯-+<，满足1()a f e f （2）0<，故()f x 在(0,2)有且只有一个零点；因为f （4）(424)0a ln =-<，满足f （2）f （4）0<，故()f x 在(2,)+∞有且只有一个零点；当02a <<时，由（1）可得(0,2)x ∈，()f x f …（a ） 2211(2)22(1)022a a lna a a a a lna =--+=+->，故()f x 在(0,2)无零点，又因为()f x 在(2,)+∞单调递减，()f x ∴在(0,)+∞至多一个零点，不满足条件；当2a >时，(0,)x a ∈，()f x f …（2）(222)20a ln =-+>，故()f x 在(0,)a 上无零点， 又因为()f x 在(,)a +∞单调递减，()f x ∴在(0,)+∞至多一个零点，不满足条件； ∴满足条件a 的取值范围1021a ln <<-．。
北京市高二上学期期中数学试卷(理科)
北京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（）A . 外离B . 外切C . 相交D . 内切2. （2分）如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分） (2017高二下·株洲期中) f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④4. （2分）若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . +πB . +2πC . 2 +2πD . 2 +π6. （2分） (2017高一上·武邑月考) 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成,那么B 点轨迹是（）.A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线8. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（）A . 4C .D .10. （2分） (2016高二上·合川期中) （理）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ，1]11. （2分） (2016高一下·钦州期末) 圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A . （﹣2，3），4B . （﹣2，3），16C . （2，﹣3），4D . （4，﹣6），1612. （2分）直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A .C .D .二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________14. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．15. （1分）长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，则它的全面积为________．16. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且， .（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2015高二上·和平期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E为PC的中点，EF⊥PB，垂足为F点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求异面直线BE与PA所成角的大小．18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．19. （5分）(2017·漳州模拟) 如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ，如图2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）若二面角A﹣DE﹣C1的大小为，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．20. （15分） (2015高二下·广安期中) 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD= ，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证：AD⊥PB；（2）若Q是PC中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；（3）若，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．21. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．22. （10分） (2016高二上·德州期中) 已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
最新北京市五中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理
北京市五中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理一、选择题(本大题共8小题，每小题4分,共32分．在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符合题目要求嘚，将答案填在第4页嘚表格中)1.曲线嘚极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标方程为 （ ） .A 22(2)4x y ++= .B 22(2)4x y +-=.C 22(2)4x y -+= .D 22(2)4x y ++=2.设椭圆嘚两个焦点分别为121,,F F F 过作椭圆长轴嘚垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆嘚离心率为 （ ） .A 22 .B 212- .C 22- .D 21- 3.参数方程1,(1.x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）表示嘚曲线是 （ ） .A 双曲线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 圆4.椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共嘚焦点，那么双曲线嘚渐近线方程是 （ ）.A 152x y =± .B 152y x =± .C 34y x =± .D 34x y =± 5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 嘚交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则下列式子中与1B M 相等嘚是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c +- .C 1122a b c -+- .D 1122a b c --+ 6.已知以F 为焦点嘚抛物线24y x =上嘚两点,A B 满足3AF FB =，则弦AB 嘚中点到准线嘚距离为 （ ） .A 43 .B 83.C 2 .D 47.P 为双曲线221916x y -=嘚右支上一点，M N 、分别是圆225)4x y ++=（和22(5)1x y -+=上嘚点，则PM PN -嘚最大值为 （ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 98. 已知抛物线22(0)y px p =>与圆222()(0)x a y r a -+=>有且只有一个公共点，则 （ ） .A r a p == .B r a p =≤ .C r a p <≤ .D r a p <=二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在第3页嘚表格中)9.抛物线2(0)y ax a =≠嘚焦点坐标为 .10.向量(1,0,1),(1,2,3),a b =-=若ka b b -与垂直，则实数k = .11.点A B 、嘚坐标分别为)0,5(-，)0,5(，直线AM BM 、相交于点M ，且它们嘚斜率之积为49，则点M 嘚轨迹方程为 . 12.点P 是椭圆22154y x +=上嘚一点，12,F F 是焦点，且︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆嘚面积为 .13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>嘚左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线嘚右支，且124PF PF =，则此双曲线嘚离心率e 嘚取值范围为 .14.一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如图），当圆柱嘚母线AB 与地面所成角6πθ=时，椭圆嘚离心率是 .三、解答题（本大题共3小题，共44分）15.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，114,8,AB AA E CC ==为嘚中点，1O 为下底面正方形嘚中心，（1）求证：111C A B O ⊥；（2）求异面直线1AB EO 与所成角嘚余弦值；（3）求二面角1C AB O --嘚余弦值.16．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 嘚顶点在原点，经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上，（1）求抛物线C 嘚标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直嘚直线方程；（3）设过点(,0),(0)M m m >嘚直线交抛物线C 于D E 、两点，DM ME 2=，记D 和E 两点间嘚距离为()f m ，求()f m 关于m 嘚表达式.17.已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2C y x =+，点P 是2C 上嘚动点，过点P 作抛物线2C 嘚切线l ，交椭圆1C 于A B 、两点，（1）当l 嘚斜率是2时，求AB ；（2）设抛物线2C 嘚切线方程为y kx b =+，当AOB ∠是锐角时，求b 嘚取值范围.理科期中参考答案一、选择题答案：二、填空题答案： 9. )41,0(a ，； 10. 7 ； 11. 1009422=-y x ； 12.334 ； 13. ]35,1( ； 14. 32 三、解答题答案。
2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x +2）2+（y +3）2＝16C ．（x +2）2+（y +3）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝162．直线x +y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π63．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．设圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆M 的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣5）2＝32 B ．（x +3）2+（y +5）2＝32C ．x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0D ．x 2+y 2﹣6x +10y ﹣2＝05．已知三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7），则（ ） A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（ ）A ．（1，﹣1，3）B ．（1，﹣1，﹣3）C ．（2，﹣3，6）D ．（﹣2，3，﹣6）7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．238．已知椭圆x 2100+y 236=1上的一点P 到焦点F 1的距离为6，点M 是PF 1的中点，O 为坐标原点，则|OM |等于（ ） A ．2B ．4C ．7D ．149．短轴长为4√5，离心率为23的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 1的弦为AB ，则三角形ABF 2的周长为（ ） A ．12√5B ．24C ．24√2D ．18√310．已知地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ） A ．ce ﹣cB ．2ce ﹣2cC ．ce −cD ．2c e−2c11．关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝1有下列四个结论： ①曲线C 关于y 轴对称； ②曲线C 关于原点对称；③曲线C 上任意一点的横坐标不大于1； ④曲线C 上任意一点到原点的距离不超过√2． 其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知（m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2的最小值为（ ） A ．√10B ．2√3C ．4D ．3√2二、填空题（每题5分，共30分）13．经过点（﹣1，1）且与圆x 2+y 2﹣4y +2＝0相切的直线的一般方程为 ．14．已知直线l 1：ax +4y ﹣2＝0与直线l 2：2x ﹣5y +b ＝0互相垂直，垂足为（1，c ），则a +b +c 的值为 ． 15．已知向量a →=(x ，1，−1)，b →=(2，1，0)，|a →|=√2，则a →⋅b →= ．16．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 ．17．如图，在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，若PD →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝ ．18．在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题： ①C ，M ，N ，Q 四点共面；②三棱锥A ﹣DMN 的体积与λ的取值有关； ③当∠QMC ＝90°时，λ＝0；④当λ=12时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为√5+3√22． 其中正确的有 ．（填写序号）．三、解答题（每题15分，共60分）19．（15分）已知直线l ：x ﹣y +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣4＝0．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长； （2）求过点（4，﹣1）且与圆C 相切的直线方程．20．（15分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥DB ，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又BO ＝2，PO =√2，PB ⊥PD ． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小； （3）设点M 在棱PC 上，且PM MC=λ，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与椭圆x 25+y 22=1有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的弦长度为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB |=85，求实数m 的值． 22．（15分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x ＝4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求△AMN 面积的最大值．2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x +2）2+（y +3）2＝16C ．（x +2）2+（y +3）2＝4D ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝16解：圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，所以圆的标准方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝42＝16， 故选：D ．2．直线x +y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6解：直线x +y +1＝0的斜率k ＝﹣1， ∴直线x +y +1＝0的倾斜角α=3π4． 故选：C ．3．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解：∵点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1外，∴a 2+b 2＞1． ∴圆O ：x 2+y 2＝1的圆心O （0，0）到直线ax +by ＝1的距离d =1√a 2+b1．则直线ax +by ＝1与圆O 的位置关系是相交． 故选：A ．4．设圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆M 的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣5）2＝32 B ．（x +3）2+（y +5）2＝32C ．x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0D ．x 2+y 2﹣6x +10y ﹣2＝0解：令圆C 的标准方程（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆M 的圆心为（3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切， 则圆M 的半径r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)2=4√2，即r 2＝32，因此，圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y +5）2＝32， 即x 2+y 2﹣6x +10y +2＝0；5．已知三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7），则（ ） A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形解：∵三点A （1，2，1）、B （1，5，1）、C （1，2，7）， ∴AB =√(1−1)2+(2−5)2+(1−1)2=3， AC =√(1−1)2+(2−2)2+(1−7)2=6， BC =√(1−1)2+(5−2)2+(1−7)2=3√5， ∴AB 2+AC 2＝BC 2， ∴三点构成直角三角形． 故选：B ．6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是（ ）A ．（1，﹣1，3）B ．（1，﹣1，﹣3）C ．（2，﹣3，6）D ．（﹣2，3，﹣6）解：设正方体的棱长为1，平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则A （1，0，0），E(1，1，13)，F(0，1，23)，所以AE →=(0，1，13)，EF →=(−1，0，13)， 则{n →⋅AE →=y +13z =0n →⋅EF →=−x +13z =0，不妨取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝3，故n →=(1，−1，3)．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）A ．√105B ．√155C ．45D ．23解：取BC 的中点G ．连接GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角．在△OEH 中，OE =√3，HE =√52，OH =√52． 由余弦定理，可得cos ∠OEH =√155．故选：B ． 8．已知椭圆x 2100+y 236=1上的一点P 到焦点F 1的距离为6，点M 是PF 1的中点，O 为坐标原点，则|OM |等于（ ） A ．2 B ．4 C ．7 D ．14解：∵椭圆x 2100+y 236=1中，a ＝10，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝20，结合|PF 1|＝6，得|PF 2|＝2a ﹣|PF 1|＝20﹣6＝14， ∵OM 是△PF 1F 2的中位线，∴|OM |=12|PF 2|=12×14＝7． 故选：C ．9．短轴长为4√5，离心率为23的椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 1的弦为AB ，则三角形ABF 2的周长为（ ） A ．12√5B ．24C ．24√2D ．18√3解：已知椭圆的短轴长为4√5，离心率为23， 则ca =√a 2−b 2a=√a 2−20a=23，即a ＝6，则三角形ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|＝4a ＝24． 故选：B ．10．已知地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ） A ．ce ﹣cB ．2ce ﹣2cC ．ce −cD ．2c e−2c解：∵地球运行的轨道是焦距为2c ，离心率为e 的椭圆， 椭圆的长半轴长为2c e，∴则地球到太阳的最小距离为：12（2c e−2c ）=c e−c ．故选：C ．11．关于曲线C ：x 2﹣xy +y 2＝1有下列四个结论： ①曲线C 关于y 轴对称； ②曲线C 关于原点对称；③曲线C 上任意一点的横坐标不大于1； ④曲线C 上任意一点到原点的距离不超过√2． 其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：不妨设曲线上一点A （x 0，y 0），此时x 02−x 0y 0+y 02=1，设A 关于y 轴对称的点为B （﹣x 0，y 0），将点B 代入曲线C 可得x 02+x 0y 0+y 02，随x 0变化x 02+x 0y 0+y 02的值不一定始终为1，故①错误；同理，设A 关于原点对称的点为B （﹣x 0，﹣y 0），将点B 代入曲线C 可得x 02−x 0y 0+y 02=1恒成立，故②正确；易知曲线方程y =x±√4−3x 22，可得−√43≤x ≤√43，令x =√43，可得43−√43y +y 2=1，解得y =√33， 即曲线C 上有一点(2√33，√33)，故③错误； 易知OA 2=x 02+y 02=1+x 0y 0≤1+x 02+y 022，整理得√x 02+y 02≤√2，故④正确．综上，结论正确的有②④． 故选：B ．12．已知（m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2的最小值为（ ） A ．√10B ．2√3C ．4D ．3√2解：设P （m ，n ）为直线x +y ﹣1＝0上的一点，则√m 2+n 2+√(m +2)2+n 2为点P （m ，n ）到原点O 和到点A （﹣2，0）的距离之和，即|PO |+|P A |．设O （0，0）关于直线x +y ﹣1＝0对称的点为B （a ，b ），则{a 2+b2−1=0b a=1，得{a =1b =1，即B （1，1）．易得|PO |＝|PB |，当A ，P ，B 三点共线时，|PO |+|P A |取到最小值，且最小值为|PO|+|PA|=|AB|=√10． 故选：A ．二、填空题（每题5分，共30分）13．经过点（﹣1，1）且与圆x 2+y 2﹣4y +2＝0相切的直线的一般方程为 x +y ＝0 ． 解：由x 2+y 2﹣4y +2＝0，可得x 2+（y ﹣2）2＝2，则圆心M （0，2）， 且点N （﹣1，1）在该圆上，k MN =1−2−1−0=1， 则切线的斜率为﹣1，故所求的切线方程为y ﹣1＝﹣（x +1），即x +y ＝0． 故答案为：x +y ＝0．14．已知直线l 1：ax +4y ﹣2＝0与直线l 2：2x ﹣5y +b ＝0互相垂直，垂足为（1，c ），则a +b +c 的值为 ﹣4 ．解：∵直线l 1与直线l 2互相垂直， ∴2a +4×（﹣5）＝0，解得a ＝10， ∴l 1：10x +4y ﹣2＝0， ∵垂足（1，c ）在l 1上， ∴10+4c ﹣2＝0，解得c ＝﹣2，再由垂足（1，﹣2）在l 2上可得2+10+b ＝0， 解得b ＝﹣12，∴a +b +c ＝10﹣12﹣2＝﹣4 故答案为：﹣415．已知向量a →=(x ，1，−1)，b →=(2，1，0)，|a →|=√2，则a →⋅b →= 1 ． 解：a →=(x ，1，−1)，|a →|=√x 2+1+1=√2，解得x ＝0，故a →=(0，1，−1)，a →⋅b →=(0，1，−1)⋅(2，1，0)=1． 故答案为：116．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 （2，4]∪{43} ．解：直线kx ﹣y ﹣2＝0化成y ＝kx ﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2），而曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1，可变形整理为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1） ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x ＝1右侧的部分设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k 1，又直线过点（1，0） 由点（1，1）到直线kx ﹣y ﹣2＝0的距离d =⬚√k +1=1，解得k 1=43，当直线过点A （1，0）时直线斜率为k 2=−2−00−1=2， 当直线过点C （1，2）时直线斜率为k =2+21−0=4，结合图形可得直线与曲线有一个公共点时k 的范围为（2，4]∪{43}故答案为：（2，4]∪{43}．17．如图，在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，若PD →=xPA →+yPB →+zPC →，则x +y +z ＝79．解：在四面体P ﹣ABC 中，M 在线段PC 上，满足PM ＝2MC ，N 是AB 的中点，D 是线段MN 上一点，且MD =13MN ，则PD →=PN →+ND →=PN →+23NM → =PN →+23(PM →−PN →) =13PN →+23PM →=16(PA →+PB →)+49PC →=16PA →+16PB →+49PC →， 又PD →=xPA →+yPB →+zPC →， 则x +y +z =16+16+49=79． 故答案为：79．18．在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q →=λD 1A 1→，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题： ①C ，M ，N ，Q 四点共面；②三棱锥A ﹣DMN 的体积与λ的取值有关； ③当∠QMC ＝90°时，λ＝0；④当λ=12时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的面积为√5+3√22． 其中正确的有 ①③ （填写序号）．解：对①，易知M ∈AC ，又AQ ∩NC ＝N ， ∴C ，M ，N ，Q 四点共面，∴①正确；对②，∵三棱锥A ﹣DMN 的体积等于三棱锥N ﹣ADM 的体积， 又易知N 到底面的距离等于定值12，而△ADM 的面积一定，∴三棱锥A ﹣DMN 的体积为定值，∴②错误；对③，当∠QMC ＝90°时，根据三垂线定理易知Q 在底面的射影为D ， ∴Q 与D 1重合，∴λ＝0．∴C 正确； 对④，当λ=12时，Q 为A 1D 1的中点，过Q 作QP ∥A 1C 1，且QP ∩D 1C 1＝P ，则易证QP ∥AC ，∴易得过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ ， 又易知QP =√22，AC =√2，AQ ＝CP =√52， 从而可得等腰梯形ACPQ 的高为2√2，∴截面等腰梯形ACPQ 的面积为12×(√22+√2)×2√2=98，∴④错误．故答案为：①③．三、解答题（每题15分，共60分）19．（15分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．解：（1）由圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圆心C（1，﹣2），半径r=√4+16+162=3，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为d=|1+2+1|√2=2√2＜r，所以直线l与圆C相交，直线l被圆C截得的弦长为2√r2−d2=2．（2）若过点（4，﹣1）的直线斜率不存在，则方程为x＝4，此时圆心C（1，﹣2）到直线x＝4的距离为4﹣1＝3＝r，满足题意；若过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线斜率存在，则设切线方程为y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，则圆心到直线kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距离为√k2+1=3，解得k=−43，所以切线方程为−43x−y+133=0，即4x+3y﹣13＝0，综上，过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程为x＝4或4x+3y﹣13＝0．20．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO＝2，PO=√2，PB⊥PD．（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（3）设点M在棱PC上，且PMMC=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．解：∵PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C （﹣1，0，0），D （0，﹣1，0），P （0，0，√2）． （1）∵PD →=(0，−1，−√2)，BC →=（﹣1，﹣2，0）， ∴|PD →|=√3，|BC →|=√5，PD →⋅BC →=2． ∴cos ＜PD →，BC →＞=PD →⋅BC →|PD →||BC →|=2√1515．故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为cos(PD →，BC →)=PD →⋅BC →|PD →||BC →|=2√1515． （2）设平面P AB 的一个法向量，由于AB →=(−2，2，0)，AP →=(−2，0，√2)， 由{n ⋅AB →=0n ⋅AP →=0，得{x =y z =√2x. 取n =(1，1，√2)，又易知平面ABCD 的一个法向量m ＝（0，0，1）， ∴cos ＜m ，n ＞=m⋅n |m|⋅|n|=√22． 又二面角P ﹣AB ﹣C 不是钝角． ∴所求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为45°（3）设M （x 0，0，z 0），由于P ，M ，C 三点共线，可得z 0=√2x 0+√2，① 若PC ⊥平面BMD 成立 则必有OM ⊥PC ．∴(−1，0，−√2)⋅(x 0，0，z 0)=0． ∴x 0+√2z 0=0②由①②知x 0=−23，z 0=√23∴M =(−23，0，√23)．∴λ=PMMC =2． 故λ＝2时，PC ⊥平面BMD ．21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与椭圆x 25+y 22=1有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的弦长度为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，若|AB |=85，求实数m 的值．解：（1）根据题意可得{c 2=5−2=32b 2a =1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）联立{y =x +mx 2+4y 2−4=0，可得5x 2+8mx +4m 2﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 1+x 2=−8m5x 1x 2=4m 2−45，且Δ＝80﹣16m 2＞0，∴m 2＜5， ∴|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√64m 225−16m2−165=4√2⋅√5−m 25=85，又m 2＜5，解得m 2＝3，∴m =±√3． 22．（15分）如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （1，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：x ＝4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求△AMN 面积的最大值．解：（Ⅰ）由题设a ＝2，c ＝1，从而b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以椭圆C 前方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）（i ）由题意得F （1，0），N （4，0）． 设A （m ，n ），则B （m ，﹣n ）（n ≠0），m 24+n 23=1．①AF 与BN 的方程分别为：n （x ﹣1）﹣（m ﹣1）y ＝0， n （x ﹣4）+（m ﹣4）y ＝0．设M （x 0，y 0），则有n （x 0﹣1）﹣（m ﹣1）y 0＝0，② n （x 0﹣4）+（m ﹣4）y 0＝0，③ 由②，③得x 0=5m−82m−5，y 0=3n2m−5由于x 024+y 023=(5m−8)24(2m−5)2+3n 2(2m−5)2 =(5m−8)24(2m−5)2+3n 2(2m−5)2=(5m−8)2+12n 24(2m−5)2=(5m−8)2+36−9m 24(2m−5)2＝1所以点M 恒在椭圆G 上． （ⅱ）设AM 的方程为x ＝ty +1， 代入x 24+y 23=1，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9＝0．设A （x 1，y 1），M （x 2，y 2），则有y 1+y 2=−6t 3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4． |y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√3⋅√3t 2+33t 2+4，令3t 2+4＝λ（λ≥4），则|y 1﹣y 2|=4√3⋅√λ−1λ=4√3√−(1λ−12)3+14，∵λ≥4，0＜1λ≤14，∴当1λ=14，即λ＝4，t＝0时，|y1﹣y2|有最大值3，此时AM过点F，△AMN的面积S△AMN=|FN||y1−y2|=32|y1−y2|有最大值92．。
北京市日坛中学11-12学年高二上学期期中练习物理试题(无答案)
北京市日坛中学2011 —20 12 学年度高二 年级 物理 学科第 一 学期期 中 练习试题第一部分 选择题一、单项选择题：（每题4分） 1.以下哪项是电流的单位：( )A ． v/m B. J / c C . J/s D. C/s2．如右图所示，图线1表示的导体电阻为R 1，图线2表示的导体的电阻为R 2，则下列说法正确的是:A R 1：R 2 =1：3B R 1：R 2 =3：1C 将R 1与R 2串联后接于电源上，则电流比I 1：I 2=1：3D 将R 1与R 2并联后接于电源上，则电流比I 1：I 2=1：3 3．以下说法正确的是（ ） A ．由qFE =可知此电场中某点的电场强度E 与F 成正比 B ．由公式qE P=φ可知电场中某点的电势φ与q 成反比 C ．由U ab =Ed 可知，匀强电场中的任意两点a 、b 间的距离越大，则两点间的电势差也一定越大D ．电场强度为零处，电势不一定为零4.平行板电容器保持与直流电源两极连接，充电结束后，电容器的电压为U ，电量为Q ，电容为C ，极板间的场强为E .现将两极板间距离减小，则引起的变化是 （ ）A.Q 变小B.C 变大C.E 变小D.U 变小5.A 、B 在两个等量异种点电荷连线的中垂线上,且到连线上中点O 的距离相等,如图1-1所示,则( )A.同一电荷在A,B 两点的电势能不相等B.把正电荷从A 点沿直线移动到B 点,电荷的电势能先增大后减少C.把正电荷从A 点沿直线移动到B 点,电荷的电势能先减少后增大D.A 、B 连线上的任意两点的电势差为零6. 电场中有a 、b 两点，a 点电势为4V ，若把电量为2×10-8C 的负电荷，从a 移到b 的过程中，电场力做正功4×10-8J ，则 （ ）A ．a 、b 两点中，a 点电势较高。
B.b 点电势是2V C ．b 点电势是-2V D.b 点电势是6V7.关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的是 : （ ）A.电场强度越大，则任意两点间的电势差也越大B.任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积C.沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降低必定相等D.电势降低的方向必定是电场强度的方向图1-11图1-28.平行板电容器的电容为C ，带电量为Q ，板间距离为d ，今在两板的中点2d处放一点电荷q ，则它所受电场力的大小为 （ ）A.22d Qq kB. 24d Qq k C. Cd Qq D. CdQq2 9．如图1-2所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一正电荷在等势面φ3上具有动能为40 J ，当它运动到等势面φ1上时速度恰好为零，令φ2 =0，那么当电荷的电势能为4 J 时，其动能大小为（ ）A.16 JB.10 JC.6 JD.4 J10．如图1-3所示，两带电小球，电量分别为＋q 和－q ，固定在一长为L 的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E 的电场中，杆与场强方向平行，其位置如图所示。
北京市2024-2025学年高二上学期11月期中练习数学试题含答案
2024—2025学年度第一学期高二年级数学期中练习（答案在最后）一、选择题，共10小题，每小题4分，共40分.1.直线:30l y --=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.90︒【答案】B 【解析】【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线30l y --=可化为3y -，,0180θθ︒≤<︒，则tan θ=，所以60θ=︒.故选：B.2.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AA C C 的距离为（）A.33a B.a C.2a D.【答案】C 【解析】【分析】连接1111,A C B D ，它们交于点O ，证明11B D ⊥平面11AA C C ，得1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AA C C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3.如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A.1AB B.DC C.AD D.BA【答案】B 【解析】【分析】通过所给平行六面体1111ABCD A B C D -，并结合相等向量、向量的加减运算，即可求解.【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B4.已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（）A.1-或2 B.1C.1或2- D.2-【答案】B 【解析】【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选：B.5.已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB.若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C.若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D.若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A.716π+ B.7566π+ C.718π+ D.1π+【答案】A 【解析】【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836ππ+⨯⨯=+.故选：A.7.已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8.已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A.3243a -≤≤ B.34a ≤-或23a ≥ C.4332a -≤≤ D.43a ≤-或32a ≥【答案】D 【解析】【分析】结合已知条件作图并求出直线l 的定点A ，然后分别求出直线AP 和直线AQ 的斜率，结合图像求解即可.【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9.当曲线214y x =-与直线330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A.120,5⎛⎫⎪⎝⎭B.2,25⎛⎤⎥⎝⎦C.20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D.122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据图像计算直线过()2,1时和相切时的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：∵曲线214y x =--，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，22221k k -=+，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D．【点睛】本题考查了直线的半圆的交点问题，忽略掉y 的取值范围是容易犯的错误.10.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离()()()221212,D A B x x y y =-+-曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A.310110-B.72110-C.2515-D.515-【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得N 在正方形ABCD 的边上运动，结合图象分析,OM ON的最大值，即可得结果.【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()25cos ,cos ,5M N OM ON ==；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()310cos ,cos ,10M N OM ON ==；因为31025105>，所以(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.11.两平行直线1l ：3420x y +-=与2l ：3450x y +-=之间的距离是_____．【答案】35##0.6【解析】【分析】借助两平行线间距离公式计算即可得.【详解】35d ==.故答案为：35.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11A C的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为______【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313.已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为________.【答案】5y =+【解析】【分析】先判断点P 在圆上，再由垂直关系得出切线方程.【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，3,3PC k k==∴=.则切线方程为25y x =+=+.故答案为：5y =+14.已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为_____．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】设出直线的截距式方程，由基本不等式得到三角形OAB 面积取最小值时的直线方程，从而得到直线的斜率.【详解】设 ，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥=，4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的________（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B ⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 【答案】①②③【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对A ，验证两向量的数量积是否为0；对B ，证明QP 与BC平行即可得；对C ，借助向量求出夹角的余弦值即可得；对D ，证明1A Q 与1AB不垂直即可得.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =-，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以//PQ BC，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ᦙ，所以PQ 与CD 所成角的余弦值为1116cos ,11116DC QP DC QP DC QP⋅== ，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.三、解答题，共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .（1）求边BC 上的高AD 所在直线的方程；（2）求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；（3）求ABC V 的面积.【答案】（1）34170x y +-=（2）40x y +-=（3）14【解析】【分析】（1）利用直线垂直的性质求得高AD 的斜率，再利用直线的点斜式即可得解；（2）利用中位坐标公式求得点M 的坐标，再利用直线的两点式即可得解；（3）利用直线的两点式求得直线BC 的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式即可得解.【小问1详解】因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；【小问2详解】由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；【小问3详解】由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h ==，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17.已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111？若存在，求PG PB；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12PG PB =【解析】【分析】（1）根据折叠前后的几何性质可得OP OB ⊥，结合线线垂直可得OP OA ⊥，根据面面垂直判定定理即可证得结论；（2）以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，分别求平面ADG 与平面ABD 的法向量，根据面面夹角余弦值公式列方程求解λ即可得结论.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =--，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤，则()1,,1AG AP PG λλ=+=--，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m =，因为平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为31111，所以21·3111cos ,11121n m n m n mλλλλ+-〈〉==+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 311，且12PG PB =.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面ACQ ；（2）若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）（i ）13；（ii ）33【解析】【分析】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，由OQ ∥PB 证明PB ∥平面ACQ ；（2）选择①②或①③或②③或①②③都能得到BA ⊥平面PAD ，建立空间直角坐标系，求出法向量，求解PC 与平面ACQ 所成角的正弦值，计算点P 到平面ACQ 的距离．【小问1详解】（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．【小问2详解】选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =-，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅===，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19.设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．（1）求圆C 的方程；（2）过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．【答案】（1）()2214x y ++=（2）（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【解析】【分析】（1）分别求出M ，N ，G 的坐标，假设圆的一般方程，代入求解即可；（2）（i ）当直线的斜率不存在时，求出A B 、的坐标，进而可求||||PA PB 、的值，当直线斜率存在时，假设直线方程，与圆联立得到韦达定理，运用两点间的距离公式分别求出||||PA PB 、并化简，然后计算||||PA PB ⋅即可；（ii ）同（i ）分直线斜率存在和直线斜率不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，易求得2210QA QB +=，当直线斜率不存在时，运用两点间距离公式及韦达定理求出22QA QB +关于k 的表达式，结合函数性质即可求最大值.【小问1详解】设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =，即)(),MN ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.【小问2详解】||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设 ，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x xk k -++-+==++，且PA ==，PB ==，则()()()212111PA PB k x x⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k-=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-+=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k xx k kx x kk =++++++++()()()()()2222222222242*********111k k k k k k kk k kk k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k kk k kk kk+-++=-+-+++++()22414141k k k k-+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k-+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222t f t t t t t=+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t=，即t =，11k t =-=-时，()f t取最大值12+所以()22max12QA QB+=+。
北京日坛中学2011-2012年高二3月数学试题(文无答案)
北京市日坛中学2021—2021年高二数学〔文〕3月检测试题1、复数12z i =+，21z i =-，那么12z z z =⋅在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、0>x , 由不等式........43;32;2132>+>+>+xx x x x x 可以推广为 A ．n x n x n >+ B ．1+>+n xn x n C ．11+>++n x n x n D ．n xn x n >++1 3、命题:p x R ∀∈，03>x ，那么p ⌝为A ．x R ∃∈，03≤xB ．x R ∀∈，03≤xC ．x R ∃∈，03<xD ．x R ∀∈，03<x4、设11a b >>>-，那么以下不等式中恒成立的是A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b > 5、集合{}1||1,1M x x N xx ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭，那么M N = A ．∅ B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,1)- 6、:p 14x +≤，:q 256x x <-，那么p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7、命题1:p x R ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧8、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,这样的数称为“三角形数〞， 而把1,4,9,16,这样的数称为“正方形数〞. 如图可以发现：任何一个大于1的“正方形数〞都可以看作两个相邻“三角形数〞之和. 以下等式中，符合这一规律的表达式为①13=3+10； ②25=9+16； ③36=15+21； ④49=18+31； ⑤64=28+36 A ．③⑤ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．①②③⑤9、,a b 均为正数，且1a b +=，那么使14c a b+≥恒成立的c 的取值范围是 A ．9c ≤ B ．10c ≤ C ．9c ≥ D ．0c ≥10、不等式2313x x a a +--≤-对任意x 恒成立，那么实数a 的取值范围是A ．(][),14,-∞-+∞B ．(][),25,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞-+∞ 二、填空题11、变量,x y 满足约束条件202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么目标函数z x y =+的最大值为12、设i 是虚数单位，那么复数2012313i i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭13、点(,)P x y 是直线320x y +-=上的动点，那么代数式327x y +最小值为14、设{}B x A x x B A ∉∈=-且,假设{}3,4,5,2,1=A ,{}9,7,5,3=B ，那么A B -=15、假设复数z 满足1,1z i z -=+那么z 值为 16、观察以下分解规律，：假设213511m =+++⋅⋅⋅+，3n 的分解中最小的正整数是21，那么m n +=〔答题纸〕二、填空题11、 ； 12、 ； 13、 ；14、 ； 15、 ； 16、 .三、解答题17、0,0a b >>，判断33a b +与22a b ab +的大小，并证明你的结论.18、复数i m m m m z )152()65(22--+++=〔m R ∈〕，试问m 为何值时：〔Ⅰ〕z 为纯虚数？〔Ⅱ〕z 所对应的点落在第三象限？19、条件{}2:|230,p x A x x x ∈=--≤ {}22:|240,q x B x x mx m m R ∈=-+-≤∈ 〔Ⅰ〕假设[]0,3AB =，求实数m 的值；〔Ⅱ〕假设p 是q ⌝的充分条件，求实数m 取值范围.相关试题链接：〔在文字上按住ctrl 即可查看更多试题〕高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】。
北京朝阳日坛中学高二上学期期中考试数学(理)试题
北京市日坛中学2017—2018学年第一学期高二年级期中考试数学试题一、选择题（50分）1．双曲线221169x y -=的焦点坐标为（ ）．A ．(0,和B ．(和C ．(0,5)-和(0,5)D ．(5,0)-和(5,0) 【答案】D【解析】由题可知：216a =，29b =，∴22225c a b ==+， ∴焦点坐标(5,0)-和(5,0)． 故选D ．2．过椭圆2214x y =+的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A ，B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF △的周长为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8D ．【答案】C【解析】由椭圆定义可知：12||||24AF AF a ==+，12||||24BF BF a ==+， ∴周长为8． 故选C ．3．已知曲线中心在在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线离心率为（ ）．A B C ．54D ．53【答案】C【解析】∵双曲线，点在x 轴上，∴渐近线方程by x a=±，∴34b a =，设4a k =，3b k =，∴5c k ==，∴5=4c e a =．故选C ．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．俯视图左视图主视图A ．13B ．23C ．1D ．2 【答案】A【解析】由三视图可知为三棱柱，∴1111323V =⨯=．故选A ．5．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是（ ）． A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥ 【答案】C【解析】C 选项：∵αβ∥，b β⊥，∴b α⊥． ∵a α⊂，∴b a ⊥． 故选C ．6．已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆2212516x y =+的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．430x y ±= B ．340x y ±= C ．450x y ±= D ．540x y ±= 【答案】A【解析】椭圆5a =，4b =，3c =，∴双曲线的3a '=，5c '=，∴22216b c a '''=-=，∴双曲线方程为221916x y -=，∴渐近线方程43y x =±．故选A ．7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（ ）．C 1D 1B 1A 1DABCA ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】C【解析】如图，连结1A B ，BD ，∴11A D A B BD ==， ∴1A BD △为等边三角形，∴1A D 与1A B 成60︒． ∵11D C A B ∥，∴1A D 与1D C 成60︒． 故选C ．8．如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且2DB DC ==，点E 为BC 中点，若直线AE 与底面BCD 所成的角为45︒，则三棱锥A BCD -的体积等于（ ）．EDABCA ．2B ．43 C ．2D【答案】D【解析】AD BD ⊥，AD DC ⊥，∴AD⊥面BDC ， ∴45AED ∠=︒．∵BDC △为等腰直角三角形，∴DE AD =，∴112232A BCD V -=⨯⨯⨯．故选D ． 9．过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y --=+相交于A ，B 两点，则||AB的最小值为（ ）． A ．2 B ．4C ．D ．5 【答案】B【解析】∵(1,1)A 在圆内，圆心为M ， 连结AM 为直径，过A 作PQ AM ⊥，此时PQ 最短．2PA ，4PQ =．故选B ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方体的底面1111A B C D （包括边界）内的一动点（不与1A 重合），Q 是底面ABCD 内一动点，线段1A C 与线段PQ 相交且互相平分，则使得四边形1AQCP 面积最大的点P 有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 【答案】C【解析】线段1A C 与线段PQ 相交且互相平分， ∴四边形1AQCP 为平行四边形，1A C 为定值， 要使1AQCP 面积最大，须P 到1A C 距离最大， 当P 在1B ，1C ，D 时，面积相等且最大， ∴P 有3个． 故选C ．二、填空题（30分）11．大圆周长为4π的球的表面积为___________． 【答案】16π【解析】2π4πR =，2R =，2=π16πS R =表4．12．若直线l 过点(2,0)-，且与圆221x y =+相切，则直线l 的斜率是___________．【答案】 【解析】设过(2,0)-的直线为(2)y k x =+，∴1d r ==，∴k =．13．一个正三棱柱（底面为等边三角形，则棱垂直于底面）的侧棱长和底面边长相等，体积为___________,俯视图的面积是____________．俯视图【答案】（1（2【解析】设底面边长为a ，则3V =，∴a ，侧视图S =14．若圆222x y t =+与圆2268240x y x y -=+++外切，则正数t 的值是___________． 【答案】4【解析】2268240x y x y -=+++，则2(3)(4)1x y 2-=++， ∴圆心为(3,4)-，11r =，另一圆圆心(0,0)，2r t =，121r r t ==++，∴4t =．15．P 是椭圆上一定点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若1260PF F ∠=︒,2130PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为___________．1【解析】设1||PF m =，则2||PF =，12||2F F m =． ∵12||2F F c =，∴m c =．∵12||||2PF PF a =+，∴2c a =，∴e=1c a =．16．已知曲线C 1，给出下列4个结论： ①曲线C 是以点(4,0)-和(4,0)为焦点的椭圆的一部分； ②曲线C 关于x 轴、y 轴、坐标原点O 对称； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则||5x <，||3y <；④曲线C 围成的图形的面积是30．其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】②③ 【解析】方程为||||153x y =+，表示图形明显①④错误， ∴②③正确．三、解答题（40分）17．（10分）已知直线l 过点(2,1)和点(5,4)． （1）求直线l 的方程．（2）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(4)(3)16x y --=+ 【解析】(1)设直线方程y kx b =+，∴3154k b k b =⎧⎨=⎩++，得11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程1y x =-．（2）∵圆心在l 上，∴设圆心为(,1)a a -，圆与y 轴切于(0,3)，∴13a -=，4a =，4r =，∴圆方程22(4)(3)16x y --=+．18．（10分）如图，矩形ABCD 所在平面与正方形ADPQ 所在平面互相垂直，E 是QD 中点．DA BCEPQ（1）求证：QB ∥平面AEC ．（2）求证：平面QDC ⊥平面AEC ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）连结AC ，BD 于O ，连结OE ． ∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 中，E 为QD 中点， ∴OE BQ ∥．∵OE 在面AEC 上，BQ 不在， ∴QB ∥平面AEC ．（2）∵面ABCD ⊥面ADPQ ，且CD AD ⊥，∴CD ⊥面ADPQ ，∴CD AE ⊥． ∵ADPQ 为正方形，∴AE DQ ⊥． ∵DQ CD D =，∴AE ⊥面QCD ． ∵AE ⊂面AEC ，∴面QDC ⊥面AEC ．19．（10分）已知椭圆22:184x y C =+左焦点为1F ，直线:2l y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求线段AB 的长． （2）求1ABF △的面积．【答案】（1）||AB =2）163【解析】2（1）221842x yy x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩+，∴222(2)8x x -=+，∴2380x x -=，∴0x =，83x =， ∴82,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)B -，(2,0)F -，∴||AB = （2）1F 到AB距离d =∴11116||223F AB S d AB ==⨯△．20．（10分）已知椭圆E 的方程是222121x y m =-+．（1）若椭圆E 的焦点在x 轴上，试求实数m的取值范围．（2）当m 时，过点(0,2)M 的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的取值范围．【答案】（1）1m <1m <-；（2）153,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】（1）焦点在x 轴上，∴2012m<-<，∴1m <1m <-．（2）m =时，2212x y =+，当k 不存在时，直线l 方程0x =， ∴(0,1)A ，(0,1)B -， (0,1)(0,3)3MA MB ⋅=-⋅-=．当k 存在时，l 为2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22212y kx x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++，22(12)860k x kx =+++， ∴2226446(12)16240k k k ∆=-⨯=->+，232k >， 122821k x x k =-++，122621x x k ⋅=+， 1122121212(,2)(,2)2()4MA MB x y x y x x y y y y ⋅=--=-+++221226(1)(1)21k k x x k ==+++， ∴范围是153,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
北京市日坛中学11-12学年高二上学期期中练习数学(文)试题(无答案)
北京市日坛中学2011—2012学年度高二年级 数学（文）学科第 一 学期期 中 练习试题一、选择题（每小题4分，共40分.每题有且只有一个正确选项.） 1.设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是 A ．()()sin f x f x x '+=- B ．()()cos f x f x x '+=-C ．()()sin f x f x x '-=D ．()()cos f x f x x '-= 2.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示， 则这个四棱锥的体积是A ．1B ．2C ．3D ．43.圆2240x y y +-=在点)P处的切线方程为A ．0x -=B ．0x +=C 20y --=D 20y -+=4.设a b c 、、是空间不同的直线，αβγ、、是空间不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若//,//a b ββ，则 //a b B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若m α⊥，n ⊥m ，n α⊄，则//n α 5.圆C 1: 22(2)(2)1x y ++-=与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交 D. 内切6.函数()xe f x x=在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴，则0()f x =A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 7.如果质点按规律2()s t t t =-（距离单位：m ，时间单位：s ）运动，则质点在3s 时的瞬时速度为A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s8.直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在9. ()f x '是函数()y f x =的导函数，若()y f x ='的 图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是10.已知1213243()cos ,()(),()(),()()f x x f x f x f x f x f x f x '''====，…1()(),n n f x f x -'=则)(2011x f 等于A ．sin xB ．sin x -C ．cos x D. cos x - 二、填空题（每小题4分，共24分.）11.以点(1,2)C -为圆心的圆被直线30x y ++=截得的弦长为C 的方程是 . 12.曲线1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为 .13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 .14.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = .15. 函数32()35f x x x =-+在区间[]2,2-上的最大值是 . 16.如右图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象， 则 12x x += .三、解答题（共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆C 过点)1,2(-A ，与直线1=+y x 相切，且圆心C 在直线x y 2-=上， 求圆C 方程．18.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线 方程为670x y -+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2ABPB PD ===，PC =，AC 与BD 交于点O ，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD .20.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.。
北京市日坛中学1112学年高二上学期期中练习 数学文试
北京市日坛中学2011—2012学年度高二年级 数学（文）学科第 一 学期期 中 练习试题一、选择题（每小题4分，共40分.每题有且只有一个正确选项.） 1.设函数1()(sin cos )2f x x x =-的导函数为()f x '，则下列结论正确的是 A ．()()sin f x f x x '+=- B ．()()cos f x f x x '+=- C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-= 2.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示， 则那个四棱锥的体积是A ．1B ．2C ．3D ．4 3.圆2240x y y +-=在点)3,1P处的切线方程为A ．330x y +-=B ．330x +=C 320x y --=D 320x y -+=4.设a b c 、、是空间不同的直线，αβγ、、是空间不同的平面，则下列命题中正确的是 A ．若//,//a b ββ，则 //a b B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若m α⊥，n ⊥m ，n α⊄，则//n α 5.圆C 1: 22(2)(2)1x y ++-=与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交 D. 内切6.函数()xe f x x=在点()()00,x f x 处的切线平行于x 轴，则0()f x =A ．eB ．1e C ．e - D ．1e- 7.若是质点按规律2()s t t t =-（距离单位：m ，时刻单位：s ）运动，则质点在3s 时的瞬时速度为A ．5m/sB ．6m/sC ．7m/sD ．8m/s8.直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长别离为|a |，|b |，|c |的三角形A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在9. ()f x '是函数()y f x =的导函数，若()y f x ='的 图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是10.已知1213243()cos ,()(),()(),()()f x x f x f x f x f x f x f x '''====，…1()(),n n f x f x -'=则)(2011x f 等于A ．sin xB ．sin x -C ．cos x D. cos x - 二、填空题（每小题4分，共24分.）11.以点(1,2)C -为圆心的圆被直线30x y ++=截得的弦长为3C 的方程是 . 12.曲线1323+-=x x y 在点()1,1-处的切线方程为 .13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那个圆柱的全面积与侧面积的比是 .14.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = .15. 函数32()35f x x x =-+在区间[]2,2-上的最大值是 . 16.如右图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象， 则 12x x += .三、解答题（共36分. 解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.已知圆C 过点)1,2(-A ，与直线1=+y x 相切，且圆心C 在直线x y 2-=上， 求圆C 方程．18.已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线 方程为670x y -+=.（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2AB PBPD ===，PC =，AC 与BD 交于点O ，E ，H 别离为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD .20.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，而且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.。
北京市重点中学高二上学期期中考试 数学试题 缺答案.pdf
北京市中学20～20学年度第一学期 二 数 学 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．双曲线的焦距为 ( ) A. B. C. D. 2．设抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是 （ ） A． B． C． D． 3．直线与圆相切，则的值为 （ ）A. 0B.C.2D. 4.点关于直线的对称点的坐标是 （ ） A． C． D． 5.某个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单 位：），该几何体的表面积和体积分别为 ( ) A． C． D．以上都不正确 6.已知双曲线的一个顶点为,且渐近线的方程为那么该双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 7.若直线与曲线 有公共的点，则实数的取值范围（ ） A． C． D． 8.已知点是双曲线的左焦点,点是该双曲线的右顶点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共小题，每小题4分，共分．．过点，那么点到此抛物线的焦点的距离为 . 10．已知椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上，且，则______. 11．已知双曲线的离心率为，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为__________． 12.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,则此抛物线的方程为 . 13. 点是直线上一动点，是圆的两条切线，为切点.若四边形的最小面积为，则此时线段的长为 ；实数的值是 . 14．已知点，动点满足条件，且到直线的距离为，满足条件的点的个数为_____________(个）． 三、解答题：本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分） 已知直线过点和点. （Ⅰ）求直线的方程； （Ⅱ）若圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程. （本小题满分10分） 已知抛物线与直线交于两点. （Ⅰ）求的取值范围. （Ⅱ）若，求的值. 17.（本小题满分12分） 已知，两点，曲线上的动点满足. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）若直线经过点，交曲线于，两点，且为的中点，求直线的方程. 18．（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率是，且经过点．直线与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线，的斜率分别是，，求证为定值．。
北京市日坛中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
北京市日坛中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线y x =-的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°2．已知圆1C ：()2231x y ++=，圆2C ：229x y +=，那么两圆的位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．外切D ．内含3．已知点()()1,2,1,2,,0A B t -，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅=，则AB = （）AB C D4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，AB a =，AD b =，1AA c = ，则1D E = （）A ．12a b c-+B ．12a b c-- C ．32a b c++ D ．1122a b c+- 5．在同一平面直角坐标系中，直线1l ：y kx b =+和直线2l ：y bx k =+有可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则“0m n ⋅=”是“//l α”的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件7．已知底面边长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为，则直线AC 与1A B 所成角的余弦为（）A B C ．4D ．48．已知直线l 1：mx -y +m =0与直线l 2：x +my -1=0的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为F 1，F 2，则|QF 1|+|QF 2|的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．)⎡+∞⎣C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，下列四个结论中，错误的是（）A ．存在点,E EF ∥平面11ABB A B ．对任意点1,E EF DB ⊥C ．存在点E ，使得EF 与BD 所成的角是60︒D ．不存在点E ，使得EF 与平面11AAC C所成的角是30︒10．设集合,S T ，*S ⊆N ，*T ⊆N ，,S T 中至少有两个元素，且,S T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈；则集合S 可以是（）（1）{}1,2,3S =（2）{}1,2,4S =（3）{}1,2,4,8S =（4）{}2,4,8,16S =A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）二、填空题11．已知()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且a b ∥，那么x y +=．12．圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为．13．已知点1F ，2F 是椭圆C ：221259x y+=的两个焦点，点M 在椭圆C 上，则12F MF △的周长为.14．已知直线1(2)10l ax a y +++=:，22:0l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是．15．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为.16．已知四棱锥P ABCD -的高为1,PAB和PCD △给出下列四个结论：①四棱锥P ABCD -不可能为正四棱锥；②空间中一定存在到P A B C D ,,,,距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.三、解答题17．已知椭圆22:132x y C +=，左右焦点分别为12,F F ，直线1y x =-+与椭圆C 相交于,A B 两点．(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)求1ABF 的面积．18．已知函数()22cos sin f x x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)求()f x 在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2ABCD PA AB ==．(1)求证：//AD 平面PBC ；(2)求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面PCD 的距离．20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.(1)求证：AB ⊥平面11AAC C ；(2)求直线1BC 与平面1A BC 所成角的正弦值；(3)设M 是11A C 的中点，棱1BB 上是否存在点G ，使得MG ∥平面1A BC ？若存在，求线段BG 的长；若不存在，说明理由.条件①：1BC BA ==；条件②：11BC A C ^；条件③：平面ABC ⊥平面11AAC C .注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.21．已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N 为锐角，求k 的取值范围.。
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北京市日坛中学2011 —2012学年度
高二 年级 数学（理）学科上学期期 中 练习试题
一、选择题（每小题4分，共40分. 每题有且只有一个正确选项.）
1.已知向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，则-a b 等于
A ．1
B
C ．3
D ．9
2.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，
则这个四棱锥的体积是
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
3.圆2240x y y +-=在点)
P 处的切线方程为
A ．0x -=
B ．0x +=
C 20y --=
D 20y -+=
4.设a b c 、、是空间不同的直线，αβγ、、是空间不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．若//,//a b ββ，则 //a b
B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ
C ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥
D ．若m α⊥，n ⊥m ，n α⊄，则//n α
5.圆C 1: 22(2)(2)1x y ++-=与圆C 2: 22
(2)(5)16x y -+-=的位置关系是
A ．外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
6.正方体ABCD A B C D ''''-中，直线D A '与DB 所成的角为
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
7.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1,,CA a CB b CC c ===， 则1A B =
A ．a +b －c
B ．a －b +c
C ．－a +b +c
D ．－a +b －c 8.直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为,,a b c
的三角形
A ．是锐角三角形
B ．是直角三角形
C ．是钝角三角形
D ．不存在
9.如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，
且长度均为1，E 为BC 中点，则下列结论正确的是
A ．EAD ∠为AE 与平面ABD 所成的角
B ．AE =
C ．AE
D ∠为二面角A BC D --的平面角 D ．D
E 为点D 到平面ABC 的距离
10.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A =AB =2，若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，则棱
AD 的长的取值范围是
A ．
⎡⎣ B ．( C ．( D ．(]0,1
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.以点(1,2)C -为圆心的圆被直线30x y ++=截得的弦长为C 的方程是 .
12.如图，在三棱锥A BCD -中，,,DA DB DC 两两垂直，
且DB DC =，E 为BC 中点，则AE BC ⋅= .
13.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与
侧面积的比是 .
14.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w..c.o.m
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中正确的有 .（写出所有正确命题的序号）
15.四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，
PD =DC ，E 为PC 中点. 则EB 和底面ABCD 成角正切值
为 ．
16.在平面直角坐标系中，()()2,3,3,2A B --，沿x 轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB 的长度为 .
三、解答题（共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知圆C 过点)1,2(-A ，与直线1=+y x 相切，且圆心C 在直线x y 2-=上， 求圆C 方程．
B
D C A P
P C S A B D
18.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD
?o ，
//AB CD ， 又1,2,AB BC PC PB CD AB PC =====^． （Ⅰ）求证：PC ^平面ABCD ；
（Ⅱ）求点B 到平面PAD 的距离．
19.四棱锥S-ABCD P 为侧棱SD 上的点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；
（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，
使得BE ∥平面PAC . 若存在，求:SE EC 的值；
若不存在，试说明理由.
和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.
（Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标和半径长；
（Ⅱ）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程； （Ⅲ）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与
1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，
试求
所
有满足条件的点P 的坐标.。