创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课时作业新人教版必修
数学必修一浙江省高中新课程作业本答案
数学必修一浙江省高中新课程作业本答案答案与提示仅供参考第一章集合与函数概念1．1集合1 1 1集合的含义与表示列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不唯一,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.,12,2.1 1 2集合间的基本关系,{-1},{1},{-1,1}.5. .6.①③⑤.= ,{1},{2},{1,2}},B∈A.=b=1．1 1 3集合的基本运算(一)或x≥5}.∪B={-8,-7,-4,4,9}..11.{a|a=3,或-22＜a＜22}．提示:∵A∪B=A，∴B A．而A={1，2}，对B进行讨论：①当B= 时，x2-ax+2=0无实数解，此时Δ=a2-8＜0，∴-22＜a＜22.②当B≠时，B={1,2}或B={1}或B={2};当B={1,2}时，a=3;当B={1}或B={2}时，Δ=a2-8=0，a=±22，但当a=±22时，方程x2-ax+2=0的解为x=±2，不合题意．1 1 3集合的基本运算(二)或x≤1}.或或x≤2}.={2,3,5,7},B={2,4,6,8}．,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4 }.=4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0 a=4，∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴－6 綂UB，∴－6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0 b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2},∴2 綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾．1．2函数及其表示1 2 1函数的概念（一），且x≠-3}．略.(2) 2 1函数的概念（二）且x≠-1}.5.［0，+∞)..,-13,-12,.(1)y|y≠25.(2)［-2,+∞).9.(0,1］．∩B=-2,12;A∪B=［-2,+∞).11.［-1,0).1 2 2函数的表示法(一)略.8.x1234y9.略. 2 2函数的表示法(二)略.(x)＝2x(-1≤x＜0),-2x+2(0≤x≤1).(x)=x2-x+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.=(0＜x≤20),(20＜x≤40),(40＜x≤60),(60＜x≤80).11.略．1．3函数的基本性质1 3 1单调性与最大（小）值(一)略.8.单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为［1,+∞).9.略.≥-1．11.设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝x1x21-1－x2x22-1＝(x1x2+1)(x2-x1)(x21-1)(x22-1)，∵x21－1＜0,x22－1＜0,x1x2＋1＜0,x2－x1＞0，∴(x1x2+1)(x2-x1)(x21-1)(x22-1)＞0，∴函数y＝f(x)在(－1，1)上为减函数．1 3 1单调性与最大（小）值(二)日均利润最大，则总利润就最大．设定价为x元，日均利润为y元．要获利每桶定价必须在12元以上，即x＞12．且日均销售量应为440-(x-13)·40＞0，即x＜23,总利润y=(x-12)［440-(x-13)·40］-600(12＜x＜23),配方得y=-40(x-18)2+840,所以当x=18∈(12,23)时，y取得最大值840元，即定价为18元时，日均利润最大.1 3 2奇偶性答案不唯一,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.(x)=x(1+3x)(x≥0),x(1-3x)(x＜0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，既不是奇函数，又不是偶函数.=1，b=1，c=0.提示:由f(－x)=－f(x)，得c=0，∴f(x)=ax2+1bx,∴f(1)=a+1b=2 a=2b-1.∴f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)＜3，∴4(2b-1)+12b＜3 2b-32b＜0 0＜b＜32.∵a,b,c∈Z,∴b=1,∴a=1.单元练习只有唯一的实数解，即xax+b=x(*)只有唯一实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b≠0时，解得f(x)=2xx+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(*)的增根时，解得f(x)=1．20.(1)x∈R,又f(-x)=(-x)2-2|-x|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是［-1,0］,［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］,［0,1］.21.（1）f(4)=4×1 3=,f=5×+×=,f=5×+1×+×6 5=.（2）f(x)=(0≤x≤5),(5＜x≤6),（1）值域为［22,+∞).（2）若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2∈(0,1］且x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)成立，即(x1-x2)2+ax1x2＞0，只要a＜-2x1x2即可，由于x1,x2∈(0,1］，故-2x1x2∈(-2,0)，a＜-2，即a的取值范围是(-∞,-2)．第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1指数函数2 1 1指数与指数幂的运算(一)原式=|x-2|-|x-3|=-1(x＜2),2x-5(2≤x≤3),1(x＞3).原式=2yx-y=2.11.当n为偶数,且a≥0时,等式成立;当n为奇数时,对任意实数a,等式成立.2 1 1指数与指数幂的运算(二)且x≠.原式=52-1+116+18+110=14380.原式=(a-1+b-1)·a-1b-1a-1+b-1=1ab.11.原式=1-2-181+2-181+2-141+2-121-2-18=12-827.2 1 1指数与指数幂的运算(三)由8a=23a=14=2-2,得a=-23,所以f(27)=27-23= 7288,0 0885.10.提示：先由已知求出x-y=-(x-y)2=-(x+y)2-4xy=-63,所以原式=x-2xy+yx-y=-33..2 1 2指数函数及其性质(一).(1,0).＞图略.（2）图象关于y轴对称.9.(1)a=3,b=-3.（2）当x=2时,y有最小值0;当x=4时,y有最大值当a＞1时，x2-2x+1＞x2-3x+5，解得{x|x＞4}；当0＜a ＜1时，x2-2x+1＜x2-3x+5，解得{x|x＜4}.2 1 2指数函数及其性质(二)，或y＜-1}.＜略.+a-m＞an+a-n.2 1 2指数函数及其性质(三)向右平移12个单位.6.(-∞,0).7.由已知得x≤,由于所以x≥,所以2h后才可驾驶.8.(1-a)a＞(1-a)b＞(1-b)人).10.指数函数y=ax满足f(x)·f(y)=f(x+y)；正比例函数y=kx(k ≠0)满足f(x)+f(y)=f(x+y).,57.2．2对数函数2 2 1对数与对数运算(一)所以x=(z2y)2=z4y(z＞0,且z≠1).(2)由x+3＞0,2-x＜0，且2-x ≠1,得-3＜x＜2,且x≠1.10.由条件得lga=0,lgb=-1，所以a=1,b=110,则a-b=910.11.左边分子、分母同乘以ex，去分母解得e2x=3,则x=12ln3.2 2 1对数与对数运算(二)原式=log2748×12÷142=log212=-12.8.由已知得(x-2y)2=xy，再由x＞0,y＞0,x＞2y,可求得xy=.略..11.由已知得(log2m)2-8log2m=0,解得m=1或16.2 2 1对数与对数运算(三)提示：注意到1-log63=log62以及log618=1+log63,可得答案为1.8.由条件得3lg3lg3+2lg2=a,则去分母移项，可得(3-a)lg3=2alg2,所以lg2lg3=3-a2a.，4)..2 2 2对数函数及其性质(一)分钟.5.①②③..≤x≤.提示：注意对称关系.9.对loga(x+a)<1进行讨论:①当a>1时,0<x+a<a,得-a<x<0;②当0<a<1时,x+a>a,得x>0.：a=32，C2:a=3，C3:a=110，C4:a=25.11.由f(-1)=-2,得lgb=lga-1①,方程f(x)=2x即x2+lga·x+lgb=0有两个相等的实数根，可得lg2a-4lgb=0,将①式代入,得a=100,继而b=10.2 2 2对数函数及其性质(二)4＜＜.＜logba＜.(1)由2x-1＞0得x＞0.(2)x＞lg3lg2.9.图略，y=log12(x+2)的图象可以由y=log12x的图象向左平移2个单位得到.10.根据图象,可得0＜p＜q＜.(1)定义域为{x|x≠1},值域为R.(2)a=2.2 2 2对数函数及其性质(三)，（1）f35=2,f-35=-2.(2)奇函数，理由略.8.{-1，0，1，2，3，4，5，6}.9.(1)0.(2)如log2x.10.可以用求反函数的方法得到,与函数y=loga(x+1)关于直线y=x对称的函数应该是y=ax-1,和y=logax+1关于直线y=x对称的函数应该是y=ax-1.11.(1)f(-2)+f(1)=0.(2)f(-2)+f-32+f12+f(1)=0.猜想:f(-x)+f(-1+x)=0,证明略.2 3幂函数图象略,由图象可得f(x)≤1的解集x∈［-1,1］.9.图象略,关于y=x对称.∈0,3+.定义域为(-∞,0)∪(0,∞),值域为（0，∞），是偶函数，图象略.单元练习8.提示：先求出h=10.15.（1）-1.(2)1.∈R，y=12x=1+lga1-lga＞0,讨论分子、分母得-1＜lga＜1，所以a∈110,10.17.（1）a=2.（2）设g(x)＝log12(10-2x)－12x,则g(x)在［3,4］上为增函数,g(x)＞m对x∈［3,4］恒成立，m＜g(3)=－178．18.(1)函数y=x+ax(a＞0),在(0,a］上是减函数,［a,+∞）上是增函数,证明略.(2)由(1)知函数y=x+cx(c＞0)在［1,2］上是减函数,所以当x=1时,y有最大值1+c;当x=2时,y有最小值2+c2.=(ax+1)2-2≤14，当a＞1时，函数在［-1，1］上为增函数，ymax=(a+1)2-2=14，此时a=3；当0＜a＜1时，函数［-1，1］上为减函数，ymax=(a-1+1)2-2=14，此时a=13.∴a=3,或a=13.20.(1)F(x)=lg1-xx+1+1x+2,定义域为(-1,1).(2)提示:假设在函数F(x)的图象上存在两个不同的点A,B，使直线AB恰好与y轴垂直,则设A(x1,y),B(x2,y)(x1≠x2),则f(x1)-f(x2)=0,而f(x1)-f(x2)=lg1-x1x1+1+1x1+2-lg1-x2x2+1-1x2+2=lg(1-x1)(x2 +1)(x1+1)(1-x2)+x2-x1(x1+2)(x2+2)=①+②,可证①，②同正或同负或同为零,因此只有当x1=x2时,f(x1)-f(x2)=0,这与假设矛盾,所以这样的两点不存在.(或用定义证明此函数在定义域内单调递减)第三章函数的应用3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点如：f(a)f(b)≤函数的零点为-1，1，2.提示：f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)(x+1).8.(1)(-∞,-1)∪(-1,1).(2)m=12．9.（1）设函数f(x)=2ax2-x-1,当Δ=0时，可得a=-18，代入不满足条件，则函数f(x)在（0，1）内恰有一个零点.∴f(0)·f(1)＝-1×(2a-1-1)＜0，解得a＞1.（2）∵在［-2，0］上存在x0，使f(x0)=0,则f(-2)·f(0)≤0,∴（-6m-4）×(-4)≤0,解得m≤-23.10.在（-2，-1 5），（-0 5,0）,(0,0 5)内有零点．11.设函数f(x)＝3x-2-xx+1.由函数的单调性定义，可以证明函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.而f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-12=52＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个.所以方程3x=2-xx+1在（0，1）内必有一个实数根.3 1 2用二分法求方程的近似解（一），2 5］.提示：先画一个草图，可估计出零点有一个在区间（2，3）内，取2与3的平均数2 5，因f(2 5)=0 25＞0，且f(2)＜0，则零点在（2，2 5）内，再取出2 25,计算f(2 25)=-0 4375，则零点在（2 25,2 5）内.以此类推，最后零点在（2 375,2 4375）内，故其近似值为2 4375.4296875.11.设f(x)=x3-2x-1,∵f(-1)=0,∴x1=-1是方程的解.又f(-0 5)=-0 125<0,f(-0 75)=0 078125>0，x2∈(-0 75,-0 5)，又∵f(-0 625)=0 005859＞0，∴x2∈(-0 625,-0 5).又∵f(-0 5625)=-0 05298<0,∴x2∈(-0 625,-0 5625)，由|+|＜,故x2=是原方程的近似解，同理可得x3=1 5625.3 1 2用二分法求方程的近似解（二）画出图象，经验证可得x1=2，x2=4适合，而当x＜0时，两图象有一个交点，∴根的个数为3.9.对于f(x)=x4-4x-2，其图象是连续不断的曲线，∵f(-1)=3＞0，f(2)=6＞0，f(0)＜0，∴它在（-1，0），（0，2）内都有实数解，则方程x4-4x-2=0在区间［-1，2］内至少有两个实数根.=0,或m=92.11.由x-1＞0,3-x＞0，a-x=(3-x)(x-1),得a=-x2+5x-3(1＜x＜3),由图象可知，a＞134或a≤1时无解；a=134或1＜a≤3时，方程仅有一个实数解；3＜a＜134时，方程有两个实数解.3 2函数模型及其应用3．2．1几类不同增长的函数模型（1）设一次订购量为a时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a=100+=550(个).（2）p=f(x)=60(0＜x≤100,x∈N*),62-x50(100＜x＜550,x∈N*),51(x≥550,x∈N*).8.(1)x年后该城市人口总数为y=100×(1+%)x.(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+%)10=100×≈(万). （3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1+%)x=120,x==（年）.9.设对乙商品投入x万元，则对甲商品投入9-x万元.设利润为y万元，x∈［0,9］.∴y=110(9-x)+25x=110(-x+4x+9)=110［-(x-2)2+13］,∴当x=2，即x=4时，ymax=.所以，投入甲商品5万元、乙商品4万元时，能获得最大利润万元.10.设该家庭每月用水量为xm3，支付费用为y元，则y=8+c,0≤x≤a,①8+b(x-a)+c,x＞a.②由题意知0＜c＜5，所以8+c＜13.由表知第2、3月份的费用均大于13，故用水量15m3，22m3均大于am3，将15，22分别代入②式，得19=8+(15-a)b+c,33=8+(22-a)b+c,∴b=2,2a=c+19.③再分析1月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a,将x=9代入②,得9=8+2(9-a)+c,2a=c+17与③矛盾，∴a≥月份的付款方式应选①式，则8+c=9,c=1,代入③,得a=10.因此a=10,b=2,c=1. （第11题）11.根据提供的数据，画出散点图如图：由图可知，这条曲线与函数模型y=ae-n接近，它告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，过了相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律，即“先快后慢”的规律.观察这条遗忘曲线，你会发现，学到的知识在一天后，如果不抓紧复习，就只剩下原来的13.随着时间的推移，遗忘的速度减慢，遗忘的数量也就减少.因此，艾宾浩斯的实验向我们充分证实了一个道理，学习要勤于复习，而且记忆的理解效果越好，遗忘得越慢.3 2 2函数模型的应用实例汽车在5h内行驶的路程为360km.；越大.7.(1)1 5m/s.(2).从2015年开始.9.(1)应选y=x(x-a)2+b，因为①是单调函数，②至多有两个单调区间，而y=x(x-a)2+b可以出现两个递增区间和一个递减区间.(2)由已知，得b=1，2(2-a)2+b=3，a>1，解得a=3,b=1．∴函数解析式为y=x(x-3)2+1．10.设y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则f(1)=p+q+r=1,f(2)=4p+2q+r=1 2,f(3)=9p+3q+r=1 3,解得p=-0 05,q=0 35,r=0 7，∴f(4)=-0 05×42+0 35×4+0 7=1 3，再设y2=g(x)=abx+c,则g(1)=ab+c=1，g(2)=ab2+c=1 2，g(3)=ab3+c=1 3，解得a=-0 8，b=0 5，c=1 4，∴g(4)=-0 8×0 54+1 4=1 35，经比较可知，用y=-0 8×(0 5)x+1 4作为模拟函数较好.11.（1）设第n年的养鸡场的个数为f(n)，平均每个养鸡场养g(n)万只鸡，则f(1)＝30，f(6)=10,且点(n,f(n))在同一直线上，从而有：f(n)=34-4n(n=1，2，3，4，5,6).而g(1)=1,g(6)=2,且点(n,g(n))在同一直线上，从而有:g(n)=n+45(n=1，2，3，4，5，6).于是有f(2)=26,g(2)=(万只)，所以f(2)·g(2)=(万只)，故第二年养鸡场的个数是26个，全县养鸡万只.（2）由f(n)·g(n)=-45n-942+1254，得当n=2时，［f(n)·g(n)］max＝.故第二年的养鸡规模最大，共养鸡万只.单元练习，y2，y1.15.令x=1，则12-0＞0，令x=10，则1210×10-1＜0.选初始区间［1,10］，第二次为［1，］，第三次为［1，］，第四次为［，］，第五次为［，］，所以存在实数解在［2，3］内.（第16题）16.按以下顺序作图：y=2-xy=2-|x|y=2-|x-1|.∵函数y=2-|x-1|与y=m的图象在0<m≤1时有公共解，∴0<m≤1.17.两口之家,乙旅行社较优惠,三口之家、多于三口的家庭,甲旅行社较优惠.18.(1)由题意，病毒总数N关于时间n的函数为N=2n-1，则由2n-1≤108，两边取对数得（n-1）lg2≤8,n≤,即第一次最迟应在第27天时注射该种药物.（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数为226×2%,再经过n天后小白鼠体内病毒数为226×2%×2n，由题意，226×2%×2n≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+nlg2≤8，得x≤,故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.19.（1）f(t)=300-t(0≤t≤200),2t-300(200＜t≤300),g(t)=1200(t-150)2+100(0≤t≤300).（2）设第t天时的纯利益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t),即h(t)=-1200t2+12t+1752(0≤t≤200)，-1200t2+72t-10252(200＜t≤300).当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-1200(t-50)2+100,∴当t=50时，h(t)在区间［0,200］上取得最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h(t)＝-1200（t-350）2+100,∴当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值.综上，由100＞可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，西红柿纯收益最大.20.（1）由提供的数据可知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q=at+b，Q=a·bt，Q=a·logbt中的任何一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合.所以选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c，得到150=2500a+50b+c,108=12100a+110b+c,150=62500a+250b+c.解得a=1200,b=-32,c=4252.∴描述西红柿种植成本Q与上市时间t的关系的函数为:Q=1200t2-32t+4252.（2）当t=150时，西红柿种植成本最低为Q=100（元/100kg）. 综合练习(一)且x≠2}.略.（2）［-1，0］和［2，5］.20.略．21.(1)∵f(x)的定义域为R,设x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=a-12x1+1-a+12x2+1=2x1-2x2(1+2x1)(1+2x2),∵x1＜x2,∴2x1-2x2＜0,(1+2x1)(1+2x2)＞0.∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2),所以不论a取何值，f(x)总为增函数.(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-12-x+1=-a+12x+1，解得a=12.∴f(x)=12-12x+1.∵2x+1＞1,∴0＜12x+1＜1,∴-1＜-12x+1＜0,∴-12＜f(x)＜12,所以f(x)的值域为-12，12.综合练习(二)和（5，5）..19.（1）由a(a-1)+x-x2＞0，得［x-(1-a)］·(x-a)＜0．由2∈A，知［2-(1-a)］·(2-a)＜0，解得a∈(-∞,-1)∪(2,+∞). (2)当1-a＞a,即a＜12时，不等式的解集为A={x|a＜x＜1-a}；当1-a＜a,即a＞12时，不等式的解集为A=｛x|1-a＜x＜a｝．20.在(0,+∞)上任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=ax1-1x1+1-ax2-1x2+1=(a+1)(x1-x2)(x1+1)(x2+1),∵0＜x1＜x2,∴x1-x2＜0,x1+1＞0,x2+1＞0,所以要使f(x)在(0,+∞)上递减，即f(x1)-f(x2)＞0，只要a+1＜0即a＜-1,故当a＜-1时，f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数．21.设利润为y万元，年产量为S百盒，则当0≤S≤5时，y=当S＞5时，y=5×利润函数为y=-S22+），+12(S＞5,S∈N*).当0≤S≤5时，y=-122+，∵S∈N*，∴当S=5时，y有最大值10 75万元；当S＞5时，∵y=+12单调递减，∴当S=6时，y有最大值10 50万元．综上所述，年产量为500盒时工厂所得利润最大．22.(1)由题设,当0≤x≤2时,f(x)=12x·x=12x2;当2＜x＜4时,f(x)=12·22·22-12(x-2)·(x-2)-12·(4-x)·(4-x)=-(x-3)2+3;当4≤x≤6时,f(x)=12(6-x)·（6-x）=12(x-6)2.∴f(x)=12x2(0≤x≤2),-(x-3)2+3(2＜x＜4),12(x-6)2(4≤x≤6).(2)略.(3)由图象观察知,函数f(x)的单调递增区间为［0,3］,单调递减区间为［3,6］,当x=3时,函数f(x)取最大值为3.。
高中数学第1章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系学案新人教A版必修1
1.1.2 集合间的基本关系学习目标核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，提升数学运算素养.1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集与集合相等子集集合相等真子集定义集合A中任意一个元素都是集合B中的元素称集合A是集合B的子集集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集图示符号表示A⊆B或B⊇A A＝B A B或B A(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．思考2：{0}与∅相同吗？提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.4．集合间关系的性质,(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.(3)若A⊆B，A≠B，则A B.1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆MD[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M.]2．下列四个集合中，是空集的为( )A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}B[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]3．集合{0,1}的子集有________个．4[集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．]4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.(1)＝(2)(3)(4)∈[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A C；(3){2}C；(4)2∈C.]集合间关系的判断(1)A＝{－1,1}，B{x∈Z|x2＝1}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．[解] (1)B＝{x∈Z|x2＝1}＝{－1,1}，则A＝B；(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D B A C.(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素；如－2∈B，但－2∉A，故A B.判断集合关系的方法1观察法：一一列举观察.2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法：利用数轴或Venn图.提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B能准确表达集合A，B之间的关系.[跟进训练]1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B 所示．]子集、真子集的个数问题【例2】已知集合M满足：{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．1．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．与子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A 中含有n 个元素，则有 (1)A 的子集的个数有2n个． (2)A 的非空子集的个数有2n－1个． (3)A 的真子集的个数有2n－1个． (4)A 的非空真子集的个数有2n－2个．[跟进训练] 2．试写出满足条件∅M {0,1,2}的所有集合M .[解] 集合M 可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．由集合间的关系求参数[探究问题]集合A ＝{x |1<x <b }中一定含有元素吗？当A 中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．提示：不一定．当b ≤1时，A ＝∅，其不含有任何元素，当b >1时，集合A 中的元素用数轴可表示为：【例3】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，求实数m 的取值范围．(1)C [由题意知a ≠0，则a ＋b ＝0，从而b a＝－1， 再由集合相等知b ＝1，则a ＝－1， 因此b －a ＝1－(－1)＝2，故选C.] (2)[解] ①当B ＝∅时， 由m ＋1>2m －1，得m <2. ②当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. 综上可得，m 的取值范围是m ≤3.1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是m <3. 2．若本例条件“BA ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .1．利用集合的关系求参数问题(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．(2)空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．2．数学素养的建立通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．1．核心要点：(1)集合间的三种关系：子集、真子集和集合相等．(2)A⊆B隐含着A B和A＝B两种关系．(3)写出集合的子集时，可按照子集元素的个数分类，依次写出符合要求的子集．2．数学思想：(1)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)已知集合的包含关系求参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )(2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A. ( )(4)空集是任何集合的真子集．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8C．7 D．4C[易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4[由B⊆A可知，m＝4.]4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．[解] (1)若A B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.。
(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1
【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念新人教版必修11.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自 主 预 习1.元素与集合的相关概念.统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) .组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) .、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) .我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示.表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) .表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系.A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ .A ∉a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或 N ＋ZQR即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )(2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( )(3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( )提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确.答案 (1)√ (2)× (3)√2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( )A.1B.2C.3D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.答案 B3.下列关系正确的是( ).Z ∉2－④；R ∉12③；Q ∈2②；N ∈0① A.③④B.①③C.②④D.① 12∴，是实数12∵，不正确③；Q ∉2∴，是无理数2∵，不正确②；N ∈0∴，是自然数0∵，正确① 解析∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z .答案 D4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“∉”).解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B .答案 ∈类型一 集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( )A.著名的中国数学家B.北京四中2015级新生C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合. 答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】 判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；在实数范围内的解；0＝4－2x 方程(3) .的近似值的全体2(4) 解 (1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合..故能组成一个集合，±2即，在实数范围内的解有两个0＝4－2x 方程(3) 故不能组成一，是不是它的近似值2)比如(因此很难判定一个数，不明确精确到哪一位”的近似值2(4)“个集合.类型二 元素与集合的关系【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( ).*N 4|∉－④|；*N ③0∈；Q ∉3②；R ①π∈ A.1B.2C.3D.4 ________.中的元素为A 则集合，N ∈x ，N ∈63－x满足x 中的元素A 集中)连云港高一检测(2)(2016· .不正确③，正确①②④，的含义知)正整数集(*N 、)有理数集(Q 、)实数集(R 由(1) 解析 2.，1，0＝x ∴，N ∈x 又6.，3，2，1＝x －3所以，的正整数倍x －3是6则，N ∈63－x由(2) 答案 (1)C (2)0，1，2规律方法 (1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练2】 设不等式2x －3>0的解集为M ，下列表示正确的是( )A.0∈M ，2∈MB.0∉M ，2∈MC.0∈M ，2∉MD.0∉M ，2∉M 解析 因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M 的元素，0∉M .又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x －3>0的解集中元素，2∈M .答案 B类型三 集合中元素的特性及应用(互动探究)________.的值为a 则实数，A 0∈且，1－2a ，1＋a 中含有两个元素A 已知集合】3例【 [思路探究]揭示二者满足什么关系？，中的两个元素A 是1－2a ，1＋a 探究点一 1.－2a 1≠＋a ，根据集合元素的互异性 提示 间有什么关系？1－2a ，1＋a 中的两元素A 与，A 0∈ 探究点二 0.＝1－2a 或0＝1＋a 应有，根据元素与集合间的从属关系 提示 1.－2a ＝0或1＋a ＝0所以，A 0∈因为 解 .不符合题意，中元素重复A ，0＝1－2a 此时，1＝－a ，时1＋a ＝0当 .意符合题，0}，{2＝A ，此时1.＝a 所以，)舍1(＝－a ，±1＝a ，时0＝1－2a 当 答案 1规律方法 (1)由于A 中含有两个元素，0∈A ，本题以0是否等于a ＋1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.改”A ∈0，“1”－a 2和3－a “改为1”－2a 1”“＋a “中元素A 本例若将集合) 变换条件(】1迁移探究【为“－3∈A ”，则实数a 的取值是什么？ 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A ”，其他条件不变，试求实数a 的取值.，1－2a 1≠＋a ，由集合元素的互异性 解 ，1)≠0＋a 2)(－a (即，2≠0－a －2a 所以 因此a ≠2且a ≠－1.[课堂小结]1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号∈和∉的两点说明(1)符号∈和∉刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA 的篮球明星解析 A 、C 、D 中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B)(中元素的个数为M 则，M 的解为元素组成集合0＝2－x －2x 和0＝3－x 2－2x 若以方程2. A.1B.2C.3D.4 2.＝4x ，1－＝3x 的解是0＝2－x －2x 方程，3＝2x ，1＝－1x 的解是0＝3－x 2－2x 因为方程 解析 所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.答案 C3.已知集合A 中只含有一个元素1，若|b |∈A ，则b ＝________.解析 由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.答案 ±14.已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，求实数a 的值.解 ∵M 中有两个元素，3和a ＋1，且4∈M ，∴4＝a ＋1，解得a ＝3.即实数a 的值为3.基 础 过 关1.下列各对象可以组成集合的是( )A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析 看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A ，C ，D 选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合.答案 B) (的取值可以是x 则实数，中含有两个元素A 组成一个集合|x 2|，2x 由2. A.0B.－2C.8D.2 解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8.答案 C3.下列正确的命题的个数有( ).Z ∉42⑤；R ∉2＋④2；Q ∈12③；*N ∈2②；N ∈1① A.1B.2C.3D.4 解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； 不正确；②故，*N ∉2∴，不是正整数2∵ 正确；③故，Q ∈12∴，是有理数12∵ 不正确；④所以，R ∈2＋2∴，是实数2＋2∵ .不正确⑤故，Z ∈42∴，是整数2＝42∵ 答案 B________.＝b ＋a 则，b ，a 中的元素是A 若集合，相等A 的解集与集合0＝4－x 3－2x 方程4. ，4和1的两根分别是－0＝3－x 3－2x 方程 解析 由题意可知，a ＋b ＝3.答案 35.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a＝________.解析 因为x ∈N ，且2<x <a .又集合P 中恰有三个元素，结合数轴a ＝6.答案 6.x 2－2x ，x ，3中含有三个元素A 设集合6. (1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可得 ，≠3x 2－2x ，x ≠x 2－2x 且3≠x 解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.2.＝－x 2－2x 或2＝－x 则，A 2∈若－(2) ，1－1≥－21)－x (＝x 2－2x 由于 ，2－≠x 2－2x 则 所以x ＝－2.7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个..的值a 求实数，A 3∈且－，组成的12，a 5＋2a 2，2－a 是由三个元素A 已知集合8. ，a 5＋2a 2＝3或－2－a ＝3－，∴A 3∈－∵ 解 .32＝－a 或1＝－a ∴ ，3＝－a 5＋2a 2，3＝－2－a ，时1＝－a 当 不符合集合中元素的互异性，故舍去..符合题意，3＝－a 5＋2a 2，72＝－2－a ，时32＝－a 当 .32＝－a ，综上可知 能 力 提 升)(的取值可以是a 则实数，个元素3中含有A ，A 组成一个集合4，a －2，2a 由9. A.1B.－2C.6D.2 .正确C ，将选项中的数值代入验证，互不相等4，a －2，2a 即，个元素3中含有A 因 解析 答案 C10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－3∉A 解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3∉A ，1∉A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确.答案 CQ与集合P 若集合，2a ，1含有两个元素Q 集合，2，1中含有两个元素P 若集合)金华高一检测2016·11.(相等，则a ＝________.，Q ＝P 又，2a ，1含有两个元素Q ；集合2，1中含有两元素P ∵ 解析 ≠±1.a 且2±＝a 解之得，1≠2a 且，2＝2a ∴ 2± 答案 12.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________.解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∉A .答案 2或4.的值k 试求实数，只有一个元素A 的根组成的集合0＝16＋x 8－2kx 已知由方程13. 解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.实根，只有一个0＝16＋x 8－2kx 要使一元二次方程，时≠0k 当 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.4.中只有一个元素A 集合，4＝2x ＝1x 此时方程的解为 综上可知k ＝0或1.探 究 创 新≠1).a (A ∈11－a则，A ∈a 条件：若且满足，为实数集A 设14. 求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集. .A ∈11－a则，A ∈a 若(1) 证明 .A 1∈＝－11－2所以，A 2∈又因为 .A ∈12＝11－（－1）所以，A 1∈因为－ .A 2∈＝11－12所以，A ∈12因为 .12，1分别为－，中必有另外两个元素A 所以 ，11－a＝a 则，为单元素集A 若(2) .而方程无解，0＝1＋a －2a 即 ，11－a≠a 所以 所以A 不可能为单元素集.第2课时 集合的表示目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.自 主 预 习1.列举法.括起来表示集合的方法叫做列举法“{}”并用花括号，来出一一列举把集合的元素 满足元素的互异性和元素的无(2)；}n a ，…，2a ，1a {其一般形式为，分隔开，”“元素间用(1)温馨提示：序性. 2.描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.在竖，再画一条竖线，范围)或变化(取值及一般符号具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的(2).公共特征集合中元素所具有的线后写出这个 即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )(2)集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合.( )(3)集合A ＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )提示 (1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A 是由坐标平面上的点构成的集合，A 中只有2个元素.答案 (1)× (2)√ (3)×2.已知A ＝{x |3－3x >0}，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A 解析 A ＝{x |3－3x >0}＝{x |x <1}，所以0∈A .答案 C)(为0}＝1＋x 2－2x |x {用列举法表示集合3. A.{1，1}B.{1} 1}＝x C.{0}＝1＋x 2－2x {.D {1}.的解集为0＝1＋x 2－2x 故方程，1＝2x ＝1x 所以，0＝21)－x (可化简为0＝1＋x 2－2x 方程 解析 答案 B4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x ，y )|________}.解析 平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x >0，y >0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x ，y )|x >0，y >0}.答案 x >0，y >0类型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合.解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现⎩⎨⎧⎭⎬⎫75，25的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }. 【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}.(2)方程x (x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合为{(1，1)}.类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x2＋x －6有意义的实数x 的集合；(2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝1x2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认x ∈R .【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *}.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23.因此B ＝{x |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合. 解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0 有两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3）2－8a>0，a≠0，解得a <98，且a ≠0.因此实数a 取值范围的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a<98，且a≠0.[课堂小结] 1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( )A.{1，2，3}B.{0，1，2，3}C.{－2，－1，0，1，2}D.{－3，－2，－1，0，1，2，3}解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}.答案 B2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( )A.方程y ＝2x ＋3B.点(x ，y )C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合.答案 C3.设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若集合A 与集合B 相等，则a ＋b ＝________.解析由于{4，a}＝{2，ab}，所以a＝2且ab＝4，从而a＝2，且b＝2，所以a＋b＝4.答案44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}.(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4<x<15，且n∈N}.基 础 过 关)(的解集是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1方程组.1A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1，1)}D.(1，1) 解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是( )A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{(3，2)}，N ＝{3，2}解析 A 中集合M ，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合M 表示直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 表示直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合.答案 B3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )A.{x |－3<x <11，x ∈Q }B.{x |－3<x <11，x ∈R }C.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N }D.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }解析 {x |x ＝2k ，k ∈Z }表示所有偶数组成的集合.由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素.答案 D4.点(2，11)与集合{(x ，y )|y ＝x ＋9}之间的关系为________.解析 ∵11＝2＋9，∴(2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}. 答案 (2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________. ④{1}；1}＝x ③{；0}＝21)－y |(y ②{；1}＝x |x {① 所以，组成的集合1＝x 表示由方程}1＝x {而集合，{1}＝0}＝21)－y |(y {＝1}＝x |x {由集合的含义知 解析答案为③. 答案 ③6.用描述法表示下列集合：的所有实数根组成的集合；0＝3)－x 2－2x (x 由方程(1) (2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.0}.＝3)－x 2－2x (x |x {用描述法表示为(1) 解 (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x <6}.(3)用描述法表示该集合为{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }. }.Z ∈x 且，≤1x 1≤－，2x ＝y |)y ，x {(＝A 用列举法表示集合7. 解 由－1≤x ≤1且x ∈Z ，得x ＝－1，0，1，当x ＝－1时，y ＝1， 当x ＝0时，y ＝0， 当x ＝1时，y ＝1，∴A ＝{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.8.设集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ∈A ，b ∈B ，试判断a ＋b 与集合A ，B 的关系.1.＋)2k ＋1k 2(＝b ＋a 所以，)Z ∈2k 1(＋2k 2＝b 则，B ∈b ；)Z ∈1k (1k 2＝a 则，A ∈a 因为 解 ，为偶数)2k ＋1k 2(为整数，2k ＋1k 又 .A ∉b ＋a 且B ∈b ＋a 所以，必为奇数1＋)2k ＋1k 2(故 能 力 提 升9.集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，x ∈N ，y ∈N }中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x ∈N ，y ∈N ，且x ＋y ≤1，∴当x ＝0时，y ＝0或1；当x ＝1时，y ＝0.故A ＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.答案 C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y <0}D.{(x ，y )|－2≤x <0或－2≤y ≤0}解析 由阴影知，－2≤x ≤0且－2≤y ≤0，∴集合{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}表示阴影部分点的集合. 答案 B11.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A ，且a ∈B ，则a 为________.解析 集合A ，B 都表示直线上点的集合，a ∈A 表示a 是直线y ＝2x ＋1上的点，a ∈B 表示a 是直线y ＝x ＋3上的点，所以a 是直线y ＝2x ＋1与y ＝x ＋3的交点，即a 为(2，5).答案 (2，5)12.下列命题中正确的是________(只填序号).2)－x (21)－x (方程③；1}，2，{3或3}，2，{1组成的集合可表示为3，2，1由②表示同一集合；{0}与0①＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |2<x <5}可以用列举法表示.解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的.答案 ②13.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；.的所有值组成的集合)0≠b ，≠0a (|b|b＋|a|a 式子(2) 解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.(2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故；2＝|b|b＋|a|a ，时>0b ，>0a 当① ；2＝－|b|b＋|a|a ，时<0b ，<0a 当② ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a|a2}.，0，2－{故所有的值组成的集合为0.＝|b|b ＋探 究 创 新14.(2014·福建高考改编)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d ).解 若只有①对，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；若只有③对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自 主 预 习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集A ⊆B 或B ⊇A 真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集A B 和B A 么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系. 2.集合相等若A ⊆B 且B ⊆A ，则集合A ＝B . 3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集. (2)空集用符号表示为：∅. (3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，∅为不含任何元素的集合，{∅}为含有一个元素∅的集合. 4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )(3)已知A ＝B ，A ＝{1，2，3}，B ＝{x ，y ，3}，则x ＝1，y ＝2.( )(4)对于集合A ，B ，C ，由A ⊆B ，B ⊆C ，可得A ⊆C .( )提示 (1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，∅也是集合{0，1}的子集. (3)错，x ＝1，y ＝2或x ＝2，y ＝1. (4)对，由集合的包含关系可得. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.集合{1，2}的真子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 解析 集合{1，2}的真子集有∅，{1}，{2}共3个.答案 B3.设集合M ＝{x |x >－1}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M 解析 选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合A ＝{2，9}，集合B ＝{1－m ，9}，且A ＝B ，则实数m ＝________.解析 因为A ＝B ，所以1－m ＝2，所以m ＝－1.答案 －1类型一 有限集合的子集问题【例1】 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集.解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A 的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合A 的含义而把集合A 表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合A 的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般.个2－n 2非空真子集有，个1－n 2真子集有，个n 2有则其子集，个元素n 中有A 若集合，地【训练1】 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x A }，求集合B .解 由题意可知，集合B 的元素是集合A 的所有真子集，故B ＝{∅，{1}，{2}}.类型二 集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )} A.1B.2C.3D.4 )(等于a －b 则，⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ＝}a ，b ＋a ，{1集合，R ∈b ，a 设(2) A.1B.－1C.2D.－2 解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a ，b )}与{(b ，a )}是不同的点集，所以④错误.C.故选2.＝a －b 故1.＝－a ，1＝b 所以，1＝－b a所以，0＝b ＋a 所以，≠0a 因为(2) 答案 (1)B (2)C规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；③若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍..的关系B 和A 试判断集合，7>0}＋x |2x {＝B ，0}＝6－x ＋2x |x {＝A 集合 】2训练【 .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>－72＝B ，2}，3－{＝A 解 ，B ⊆A ，∴B ∈2，B 3∈－，∴72－2>，72－3>－∵ 又0∈B ，但0∉A ，∴A B .类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.[思路探究]？∅≠B 是否满足B 集合，A ⊆B 探究点一 提示 不能，因为集合B 中的元素不确定，有B ＝∅和B ≠∅两种情况.应满足什么条件？m ，A ⊆B ，∅≠B 若 探究点二 ⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m－6，m －6≤2m－1，2m －1≤5，应满足m ，根据子集定义 提示 解 (1)B ＝∅时，有m －6>2m －1，则m <－5，此时B ⊆A 成立..∅不等式组解集为⎩⎪⎨⎪⎧m≥4，m≥－5，m≤3.⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m－6，m －6≤2m－1，2m －1≤5此时满足，A ⊆B ，时∅≠B 当(2) 由(1)(2)知，实数m 的取值范围是{m |m <－5}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围.⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，所以，题设条件B ⊆A 由 解 ≤4}.m |3≤m {的取值范围是m 所以≤4.m 3≤故⎩⎪⎨⎪⎧m>－5，m≤4，m≥3，解得 【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |x <2或x >5}”，其余条件不变，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ＝∅时，m －6>2m －1， 则m <－5，此时满足条件B ⊆A .(2)当B ≠∅时，B ⊆A ，⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m－1，m －6>5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m－1，2m －1<－2则，知(2)，(1)综合>11.m 或12－<m 5≤解之得－。
必修1第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系教案
1.1.2 集合间的基本关系教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.教学重难点:1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；2、空集的概念以及与一般集合间的关系.教学过程:一、复习(结合提问):1.集合的概念、集合三要素2.集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法3.关于“属于”的概念二、新课讲授(一)子集的概念1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B (或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”).2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B 已(或B⊄A)(二)空集的概念不含任何元素的集合叫做空集,记作φ,并规定: 空集是任何集合的子集.(三)“相等”关系1、实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论:对于两个集合A 与B,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B,记作A=B(即如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B).2、 ① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A② 真子集:如果A ⊆B ,且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B ③ 空集是任何非空集合的真子集.④ 如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C.证明:设x 是A 的任一元素,则 x ∈AA ⊆B,∴x ∈B 又 B ⊆C ∴x ∈C 从而 A ⊆C同样；如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C(三)例题与练习例1 设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}A ⊇B,求a 的值练习1 写出集合A={a,b,c}的所有子集,并指出哪些是真子集？有多少个？例2 求满足{x|x 2+2=0} M ⊆{x|x2-1=0}的集合M. 例3 若集合A={x|x 2+x-6=0},B={x|ax+1=0}且B A,求a 的值. 练习 集合M={x|x=1+a 2,a ∈N*}, P={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}下列关系中正确的是( )⊂ ≠⊂ ≠⊂ ≠A M PB P MC M=PD M P 且 P M 三、小结子集、真子集、空集的有关概念.四、作业⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠。
数学必修一浙江省高中新课程作业本标准答案
数学必修一浙江省高中新课程作业本答案答案与提示仅供参考第一章集合与函数概念．集合集合地含义与表示.{}.{∈}.{,－}.{(),(),(),(),()}..列举法表示为{(),()},描述法地表示方法不唯一,如可表示为(),..集合间地基本关系. ,{},{},{}. .①③⑤.≥{ ,{},{},{}}∈.．集合地基本运算(一).{≤≤}.{}.∪{＜,或≥}∪{}..{,或＜＜}．提示:∵∪，∴．而{，}，对进行讨论：①当时，无实数解，此时Δ＜，∴＜＜.②当≠时，{}或{}或{};当{}时，;当{}或{}时，Δ，±，但当±时，方程地解为±，不合题意．b5E2R。
集合地基本运算(二).{≥,或≤}或∈..{}.{＞,或≤}{}{}．地可能情形有{}{}{}{}{}{}..提示:∵∩綂{}，∴∈，∴，∴{}{},∵∩綂{}，∴－綂，∴－∈，将代入,得,或.①当时{}{},∴綂，而∈綂，满足条件∩綂{}.②当时{}{},p1Ean。
∴綂，与条件∩綂{}矛盾．．函数及其表示函数地概念（一）∪∞.［∞)..().(){≠，且≠}．..()略.().函数地概念（二）.{∈≠,且≠}.［，∞)..()≠.()［∞)..(］．∩∪［∞).［).函数地表示法(一).略...略.函数地表示法(二).略.()＝(≤＜),(≤≤).().提示:设()，由(),得，又()()，即()()()，展开得(),所以,,解得，.(＜≤),(＜≤),(＜≤),(＜≤).略．．函数地基本性质单调性与最大（小）值(一).［),［),［］∞＜．.略.单调递减区间为(∞),单调递增区间为［∞).略≥．.设－＜＜＜，则()－()＝－＝()()()()，∵－＜－＜＋＜－＞，∴()()()()＞，∴函数＝()在(－，)上为减函数．DXDiT。
单调性与最大（小）值(二).()()(＜＜).(］..日均利润最大，则总利润就最大．设定价为元，日均利润为元．要获利每桶定价必须在元以上，即＞．且日均销售量应为()·＞，即＜,总利润()［()·］(＜＜),配方得(),所以当∈()时，取得最大值元，即定价为元时，日均利润最大.RTCrp。
人教版高中数学必修1第一章集合与函数的概念-《1.1.2集合间的基本关系》教案(1)
试
练
习
下列说法正确的是（）
A.任一集合必有真子集
B、任一集合必有两个子集
C、若A∩B=Φ，则A、B之中至少有一个为空集
D、若A∩B=B，则B A
学生思考，叫学生
回答
归
纳
总
结
子集、
真子集的概念，
等集的概念及其符号
师生共同完成
作业布置
习题1.1A组1，2，4题
做在作业本
难点：空集的概念．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系
生：独立思考完成引例．
师：引导学生分析归纳概括得出结论．
师生：共同归纳子集
组
织
探
究
一．“包含”关系—子集
1．AB (或BA)，AB (或BA)
课题：§1.1.2集合间的基本关系
教学目标：
知识与技能：让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念．
过程与方法：研究集合与集合之间的“包含”与“相等”两种关系.．
情感、价值观：体会集合之间的“包含”与“相等”两种关系在生活中的现实意义,理解空集的概念．
教学重点：
重点：子集的概念及其表示法,等集与真子集的有关概念．
2.规定:空集是任何集合的子集.φA
二．“相等”关系：AB且BA则A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集：如果AB ,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A B
③空集是任何非空集合的真子集。
④如果AB, BC ,那么AC
[推荐学习]高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系教学设计新人教A版必修1
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1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．三维目标1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义．教学难点：理解空集的含义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2 ____Q；(3)－1.5____R.类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2) ；(3)∈)推进新课新知探究提出问题(1)观察下面几个例子：①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn 图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点．(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．(6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B.(7)方程x2＋1＝0没有实数解．(8)空集记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即∅A(A≠∅)．(9)类比子集．讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4 A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.图1图2(6)如图3和图4所示．图3图4(7)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．(8)空集．(9)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C.应用示例思路1例1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图．解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C.(2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．图5B A活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．解：集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}.例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．解析：∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.MN(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．解：(1)∅的子集有：∅，即∅有1个子集；{a}的子集有：∅，{a}，即{a}有2个子集；{a，b}的子集有：∅，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．(2)由(1)可得：当n＝0时，集合M有1＝20个子集；当n＝1时，集合M有2＝21个子集；当n＝2时，集合M有4＝22个子集；当n＝3时，集合M有8＝23个子集；因此含有n个元素的集合M有2n个子集.{2,3,7}课本本节练习1,2.【补充练习】1．判断正误：(1)空集没有子集．( )(2)空集是任何一个集合的真子集．( )(3)任一集合必有两个或两个以上的子集．( )(4)若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.( )分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x∉A时也必有x∉B.2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．真子集：∅，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．3．(1)下列命题正确的是( )A．无限集的真子集是有限集B．任何一个集合必定有两个子集C．自然数集是整数集的真子集D．{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1}③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2}⑤∅∈{0}A．5 B．2 C．3 D．4(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )A．a M B．a∉MC．{a}∈M D．{a}M解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于∅只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是∅⊆{0,1,2}，⑤应是∅⊆{0}．故错误的有①④⑤.(3)M ＝{x |3＜x ＜4}，a ＝π.因3＜a ＜4，故a 是M 的一个元素，因此{a }是{x |3＜x ＜4}的真子集，那么{a }M . 答案：(1)C (2)C (3)D4．判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系：(1)A ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }；(2)A ＝{x |x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }．解：(1)因A ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，故A ，B 都是由奇数构成的，即A ＝B .(2)因A ＝{x |x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，又x ＝4n ＝2·2n ，在x ＝2m 中，m 可以取奇数，也可以取偶数；而在x ＝4n 中，2n 只能是偶数．故集合A ，B 的元素都是偶数，但B 中元素是由A 中部分元素构成，则有BA . 点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．5．已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，Q ＝{x |ax ＋1＝0}满足QP ，求a 所取的一切值． 解：因P ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，当a ＝0时，Q ＝{x |ax ＋1＝0}＝∅，QP 成立．又当a ≠0时，Q ＝{x |ax ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12或a ＝13.综上所述，a ＝0或a ＝－12或a ＝13. 点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集的情况，而当Q ＝∅时，满足QP . 6．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}，要使AP⊆B ，求满足条件的集合P .解：A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋4＝0}＝∅， B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{－1,1，－4}，由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即有满足条件的集合P 为{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素，而做到这点，必须明确A ，B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．7．设A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 应具有何种关系？解：因A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，故x 为∅，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B 中一元素．故A ∈B .点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．8．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3.综上所得实数m 的取值范围为m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；②若B ≠∅，则要满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解之，得m ＞4.综上有m ＜2或m ＞4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅；找A 中的元素；分类讨论思想的运用． 拓展提升问题：已知A ⊆B ，且A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A 共有多少个？活动：学生思考A ⊆B ，且A ⊆C 所表达的含义．A ⊆B 说明集合A 是集合B 的子集，即集合A 中元素属于集合B ，同理有集合A 中元素属于集合C .因此集合A 中的元素是集合B 和集合C 的公共元素．思路1：写出由集合B 和集合C 的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A ；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A 的个数，转化为求集合B 和集合C 的公共元素所组成的集合的子集个数．解法1：因A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{0,2,4,8}，由此，满足A ⊆B ，有：∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．又满足A ⊆C 的集合A 有：∅，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)． 其中同时满足A ⊆B ，A ⊆C 的有8个：∅，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8(个)．点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．课堂小结本节课学习了：①子集、真子集、空集、Venn图等概念；②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．作业课本习题1.1A组 5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．备课资料【备选例题】【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？图6思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．【例2】设集合A ＝{x ||x |2－3|x |＋2＝0}，B ＝{x |(a －2)x ＝2}，则满足BA 的a 的值共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由已知得A ＝{x ||x |＝1，或|x |＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B 是关于x 的方程(a －2)x ＝2的解集，∵B A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2无解，∴a －2＝0.∴a ＝2.当B ≠∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2的解x ＝2a －2∈A ，∴2a －2＝－2或2a －2＝－1或2a －2＝1或2a －2＝2.解得a ＝1或0或4或3，综上所得，a 的值共有5个．答案：D【例3】集合A ＝{x |0≤x ＜3，且x ∈N }的真子集．．．的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．7 D ．4 解析：A ＝{x |0≤x ＜3，且x ∈N }＝{0,1,2}，则A 的真子集有23－1＝7(个)．答案：C【例4】已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |(x －1)(x －a )＝0}，试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使A ＝B 成立？思路分析：先在数轴上表示集合A ，然后化简集合B ，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a 的取值是否为1，要使集合B 成为集合A 的子集，集合B 的元素在数轴上的对应点必须在集合A 对应的线段上，从而确定字母a 的分类标准．解：当a ＝1时，B ＝{1}，所以B 是A 的子集；当1＜a ≤3时，B 也是A 的子集；当a ＜1或a ＞3时，B 不是A 的子集．综上可知，当1≤a ≤3时，B 是A 的子集．由于集合B 最多只有两个元素，而集合A 有无数个元素，故不存在实数a ，使B ＝A . 点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．【思考】(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“⊆”有什么区别？剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于1x＝0，x 2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x |＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x |＜0的解集是空集．(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z ，12∉Z ；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}⊆{1,0}，∅⊆{x |x ＜0}．。
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修
第一章集合与函数概念新人教版必修11.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自主预习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )(2)一个集合可以表示成{a，a，b，c，}.( )(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A中的元素.( ) 提示(1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 答案 B3.下列关系正确的是( )①0∈N ；②2∈Q ；③12∉R ；④－2∉Z .A.③④B.①③C.②④D.①解析 ①正确，∵0是自然数，∴0∈N ；②不正确，∵2是无理数，∴2∉Q ；③不正确，∵12是实数，∴12∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z . 答案 D4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“∉”).解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B . 答案 ∈类型一 集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( ) A.著名的中国数学家 B.北京四中2015级新生 C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合. 答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解；(4)2的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组成一个集合.(4)“2的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二元素与集合的关系【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)(2016·连云港高一检测)集中A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.解析(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，①②④正确，③不正确.(2)由63－x∈N，则6是3－x的正整数倍，所以3－x＝1，2，3，6.又x∈N，∴x＝0，1，2. 答案(1)C (2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征. 【训练2】设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( )A.0∈M，2∈MB.0∉M，2∈MC.0∈M，2∉MD.0∉M，2∉M解析因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M的元素，0∉M.又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x－3>0的解集中元素，2∈M.答案 B类型三集合中元素的特性及应用(互动探究)【例3】已知集合A中含有两个元素a＋1，a2－1，且0∈A，则实数a的值为________.[思路探究]探究点一a＋1，a2－1是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示根据集合元素的互异性，a＋1≠a2－1.探究点二0∈A，与A中的两元素a＋1，a2－1间有什么关系？提示根据元素与集合间的从属关系，应有a＋1＝0或a2－1＝0.解因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1，a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意.答案 1规律方法(1)由于A中含有两个元素，0∈A，本题以0是否等于a＋1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a＋1”“a2－1”改为“a－3和2a－1”，“0∈A”改为“－3∈A”，则实数a的取值是什么？解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A”，其他条件不变，试求实数a的取值.解由集合元素的互异性，a＋1≠a2－1，所以a2－a－2≠0，即(a－2)(a＋1)≠0，因此a≠2且a≠－1.[课堂小结]1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号∈和∉的两点说明(1)符号∈和∉刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA的篮球明星解析A、C、D中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B2.若以方程x2－2x－3＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.答案 C3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|∈A，则b＝________.解析由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.答案±14.已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，求实数a的值.解∵M中有两个元素，3和a＋1，且4∈M，∴4＝a＋1，解得a＝3.即实数a的值为3.基础过关1.下列各对象可以组成集合的是( )A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合.答案 B2.由x 2，2|x |组成一个集合A 中含有两个元素，则实数x 的取值可以是( ) A.0B.－2C.8D.2解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8. 答案 C3.下列正确的命题的个数有( )①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2∉R ；⑤42∉Z .A.1B.2C.3D.4解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； ∵2不是正整数，∴2∉N *，故②不正确； ∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确； ∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确. 答案 B4.方程x 2－3x －4＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 解析 方程x 2－3x －3＝0的两根分别是－1和4， 由题意可知，a ＋b ＝3. 答案 35.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析 因为x ∈N ，且2<x <a .又集合P 中恰有三个元素，结合数轴a ＝6. 答案 66.设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可得x ≠3且x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 则x 2－2x ≠－2， 所以x ＝－2.7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6； 当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.8.已知集合A 是由三个元素a －2，2a 2＋5a ，12组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3， 不符合集合中元素的互异性，故舍去.当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意.综上可知，a ＝－32.能 力 提 升9.由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A.1B.－2C.6D.2解析 因A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证，C 正确. 答案 C10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( ) A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－3∉A解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3∉A ，1∉A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确. 答案 C11.(2016·金华高一检测)若集合P 中含有两个元素1，2，集合Q 含有两个元素1，a 2，若集合P 与集合Q 相等，则a ＝________.解析 ∵P 中含有两元素1，2；集合Q 含有两个元素1，a 2，又P ＝Q ， ∴a 2＝2，且a 2≠1，解之得a ＝±2且a ≠±1. 答案 ± 212.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________. 解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0∉A . 答案 2或413.已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值.解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实根， 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4. 综上可知k ＝0或1.探 究 创 新14.设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集. 证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中必有另外两个元素，分别为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，而方程无解. 所以a ≠11－a，所以A 不可能为单元素集.第2课时 集合的表示目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.自 主 预 习1.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.温馨提示：(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)满足元素的互异性和元素的无序性.2.描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的公共特征.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.( )(3)集合A＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )提示(1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.答案(1)×(2)√(3)×2.已知A＝{x|3－3x>0}，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A解析A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.答案 C3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A.{1，1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}解析方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1，故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}.答案 B4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|________}.解析平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x>0，y>0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}.答案x>0，y>0类型一用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合.解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}； (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现⎩⎨⎧⎭⎬⎫75，25的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }.【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}. (2)方程x (x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合为{(1，1)}. 类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面. 2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认x ∈R . 【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *}.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±2 3.因此B ＝{x |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合.解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3）2－8a >0，a ≠0，解得a <98，且a ≠0.因此实数a 取值范围的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <98，且a ≠0.[课堂小结] 1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( ) A.{1，2，3} B.{0，1，2，3}C.{－2，－1，0，1，2}D.{－3，－2，－1，0，1，2，3} 解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}. 答案 B2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( ) A.方程y ＝2x ＋3 B.点(x ，y )C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合. 答案 C3.设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若集合A 与集合B 相等，则a ＋b ＝________. 解析 由于{4，a }＝{2，ab }，所以a ＝2且ab ＝4，从而a＝2，且b＝2，所以a＋b＝4.答案 44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}.(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4<x<15，且n∈N}.基 础 过 关1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( )A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1，1)}D.(1，1)解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{(3，2)}，N ＝{3，2}解析 A 中集合M ，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合M 表示直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 表示直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合. 答案 B3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x |－3<x <11，x ∈Q } B.{x |－3<x <11，x ∈R } C.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N } D.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }解析 {x |x ＝2k ，k ∈Z }表示所有偶数组成的集合.由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素. 答案 D4.点(2，11)与集合{(x ，y )|y ＝x ＋9}之间的关系为________. 解析 ∵11＝2＋9，∴(2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}. 答案 (2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________. ①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，所以答案为③.答案③6.用描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}.(3)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.7.用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}.解由－1≤x≤1且x∈Z，得x＝－1，0，1，当x＝－1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1，∴A＝{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.8.设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系.解因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b∉A.能力提升9.集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析∵x∈N，y∈N，且x＋y≤1，∴当x＝0时，y＝0或1；当x＝1时，y＝0.故A＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.答案 C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.答案 B11.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A ，且a ∈B ，则a 为________. 解析 集合A ，B 都表示直线上点的集合，a ∈A 表示a 是直线y ＝2x ＋1上的点，a ∈B 表示a 是直线y ＝x ＋3上的点，所以a 是直线y ＝2x ＋1与y ＝x ＋3的交点，即a 为(2，5).答案 (2，5)12.下列命题中正确的是________(只填序号).①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |2<x <5}可以用列举法表示.解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的. 答案 ②13.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合.解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}. (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故 ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.探 究 创 新14.(2014·福建高考改编)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d ).解 若只有①对，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)； 若只有③对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自主预习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集A⊆B或B⊇A真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集A B和B A与“⊆”有什么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系.2.集合相等若A⊆B且B⊆A，则集合A＝B.3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)空集用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，∅为不含任何元素的集合，{∅}为含有一个元素∅的集合.4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )(3)已知A＝B，A＝{1，2，3}，B＝{x，y，3}，则x＝1，y＝2.( )(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C，可得A⊆C.( )提示(1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，∅也是集合{0，1}的子集.(3)错，x＝1，y＝2或x＝2，y＝1.(4)对，由集合的包含关系可得.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.集合{1，2}的真子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个解析集合{1，2}的真子集有∅，{1}，{2}共3个.答案 B3.设集合M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合A＝{2，9}，集合B＝{1－m，9}，且A＝B，则实数m＝________.解析因为A＝B，所以1－m＝2，所以m＝－1.答案－1类型一有限集合的子集问题【例1】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合A的含义而把集合A表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合A的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.【训练1】已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x A}，求集合B.解由题意可知，集合B的元素是集合A的所有真子集，故B＝{∅，{1}，{2}}.类型二集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )} A.1B.2C.3D.4(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a ，b )}与{(b ，a )}是不同的点集，所以④错误.(2)因为a ≠0，所以a ＋b ＝0，所以ba＝－1，所以b ＝1，a ＝－1.故b －a ＝2.故选C. 答案 (1)B (2)C规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；③若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【训练2】 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7>0}，试判断集合A 和B 的关系.解 A ＝{－3，2}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈B ，2∈B ，∴A ⊆B ，又0∈B ，但0∉A ，∴AB .类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. [思路探究]探究点一 B ⊆A ，集合B 是否满足B ≠∅？提示 不能，因为集合B 中的元素不确定，有B ＝∅和B ≠∅两种情况. 探究点二 若B ≠∅，B ⊆A ，m 应满足什么条件？ 提示 根据子集定义，m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5，解 (1)B ＝∅时，有m －6>2m －1，则m <－5，此时B ⊆A 成立.(2)当B ≠∅时，B ⊆A ，此时满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥4，m ≥－5，m ≤3.不等式组解集为∅.由(1)(2)知，实数m 的取值范围是{m |m <－5}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围.解 由A ⊆B 题设条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.所以m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}.【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |x <2或x >5}”，其余条件不变，求实数m 的取值范围. 解 (1)当B ＝∅时，m －6>2m －1， 则m <－5，此时满足条件B ⊆A . (2)当B ≠∅时，B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，2m －1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，m －6>5. 解之得－5≤m <－12或m >11.综合(1)，(2)知，实数m 取值的范围⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <－12或m >11.[课堂小结]1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有。
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.2补集及集合运算的综合应用课件新人教版必修1
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4.已知全集(quánjí)U＝R，A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}， 求A∪B，(∁UA)∩B.
解 ∵B＝{x|x≥3}，∁UA＝{x|x<2或x≥4}， ∴A∪B＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.
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1.设全集(quánjí)为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U等于( )
A.{0，2，4，6}
B.{0，2，4}
C.{6}
D.∅
解析(jiě xī) U＝M∪∁UM＝{0，2，4，6}.
答案 A
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2.已知集合(jíhé)A＝{x∈R|－2<x<6}，B＝{x∈R|x<2}，则
类型(lèixíng)二 补集的简单应用 【例 2】已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a
＋3}，且 B⊆∁RA，求 a 的取值范围. 解 由题意得∁RA＝{x|x≥－1}. (1)若 B＝∅，则 a＋3≤2a， 即 a≥3，满足 B⊆∁RA. (2)若 B≠∅，则由 B⊆∁RA，得 2a≥－1 且 2a<a＋3， 即－12≤a<3. 综上可得 a 的取值范围为a|a≥－12.
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[课堂(kètáng)小结] 1.全集与补集的理解
(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所 有元素，如我们在整数范围内研究问题，则 Z 为全集，而当问 题扩展到实数集时，则 R 为全集. (2)补集是集合之间的一种运算.同一个集合在不同的全集中补 集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同. (3)符号∁UA 包含的三层意思 ①A⊆U. ②∁UA 表示一个集合，且∁UA⊆U. ③∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合.
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.1并集交集课件新人教版必修111040211
提示 (1)错，A∪B 的元素个数小于或等于集 合 A 与集合 B 的元素个数和. (2)错，当集合 A 与 B 没有公共元素时，集合 A 与 B 的交集为∅，即 A∩B＝∅. (3)错，B 中最多有 3 个元素，也可能 B＝∅.
答案(dáàn) (1)× (2)× (3)×
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1.(2014·广东高考(ɡāo kǎo))已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1， 2}，则M∪N＝( )
A.{0，1}
B.{－1，0，2}
C.{－1，0，1，2}
D.{－1，0，1}
解析(jiě xī) ∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，
∴M∪N＝{－1，0，1，2}.
答案 C
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A.N⊆M
B.M∪N＝M
C.M∩N＝N
D.M∩N是单元素(yuán sù)集
合
解析 由已知得M∩N＝{－3}.
答案 D
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4.设集合M＝{1，2，m－2}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}， 则m＝________. 解析(jiě xī) ∵3∈M∩N，∴3∈M，∴m－2＝3，m＝5. 答案 5
2.设集合(jíhé)A＝{2，3}，集合(jíhé)B＝{0，1}，则A∪B等于(
) A.∅
B.{1，2，3}
C.{0，1，2}
D.{0，1，2，3}
解析(jiě xī) A＝{2，3}，B＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}.
答案 D
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3.已知集合(jíhé)M＝{－1，－2，－3，－4}，N＝{－3，3}，下列结 论成立的是( )
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创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.2集合的表示课件新人教版必修11104021
规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素， 明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征， 并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面. 2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在 花括号内.例如，{x∈Z|x＝2k，k∈Z}；②不能出现未被说明 的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围 务必说明，如果省略不写，则默认 x∈R.
把集合的元素_一_一__列__举___出来，并用花括号“{}”括起来表 示集合的方法叫做列举法. 温馨提示：(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1， a2，…，an}；(2)满足元素的互异性和元素的无序性.
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2.描述(miáo shù)法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(fāngfǎ).
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【训练3】 已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}，若集合A中有两 个元素(yuán sù)，求实数a取值范围的集合.
解 若 A 中有两个元素，则一元二次方程 ax2－3x＋2＝0 有两个不等的实根，
所以Δa≠＝0（，－3）2－8a>0，解得 a<98，且 a≠0.
因此实数 a 取值范围的集合为aa<98，且a≠0.
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规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特 征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表 元素及其属性是解题的关键. 2.对于(duìyú)一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素 个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题， 但必要时要注意讨论.
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3.设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若集合(jíhé)A与集合(jíhé)B相等，则a＋b ＝________.
浙江省苍南县高中数学第一章集合与函数概念1.2集合间的基本关系教案新人教A版必修1
1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N ；（2）；（3）-1.5 R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（c ontains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系⊆)(A B B A ⊇⊆或（二） 集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）（四） 空集的概念（实例引入空集概念）不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.2.2.1函数的表示法课件新人教版必修1110402
解
(1)依题意，得27aa＋ ＋b2b7＝ ＝13050. ，解之得 a＝1，且 b＝196.
因此 y＝x＋19x6，(x∈N*，且 0<x≤10).
(2)当 x∈{1，2，3，4，5，…，10}时，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
197
100
2Байду номын сангаас5 3
解 因为二次函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称，所以设二次 函数的解析式为 f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0). 把(0，－5)，(5，0)分别代入上式得－ 0＝5＝ 9a4＋a＋ k，k， 解得ak＝＝－1，9.所以 f(x)的解析式 f(x)＝(x－2)2－9.
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[课堂小结(xiǎojié)] 1.函数三种表示法的内在联系
1.2.2 函数(hánshù)的表 示法
目标定位 第11.掌课握时函数的函三数种(表há示n方sh法ù()f的āngfǎ)——解析 法、图象法、列表法.2表.会示求法函数解析式，并能用描点法
画出一些简单函数的图象.3.在实际情境中，会根据不同 的需要选择恰当方法(fāngfǎ)表示函数.
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类型一 函数(hánshù)的三种表示法 【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款数y
与售出台数x之间的函数关系，分别(fēnbié)用列表法、图象法 、解析法表示出来.
解 (1)列表(lièbiǎo)法如下：
x/台 1
2
3
4
5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
(1)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形 式表示.( ) (2)函数 f(x)＝2x(x∈Z)的图象是直线.( ) (3)根据函数的解析式就可以画出函数的图象.( )
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教版必修1110402
1.已知 M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2－x＝0}，则能表示 M， N 之间关系的 Venn 图是( )
解析 因为 M＝{－1，0，1}，N＝{0，1}， 所以 N M.
答案(dá àn) C
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2.下列(xiàliè)四个集合中，是空集的是( )
A.{x|x＋3＝3}
B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
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【训练(xùnliàn)1】 已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x A}，求集合B.
解 由题意可知，集合 B 的元素是集合 A 的所 有真子集，故 B＝{∅，{1}，{2}}.
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类型二 集合(jíhé)间关系的判断
【例 2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )
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提示 (1)错，空集是任何非空集合的真子集. (2)错，∅也是集合{0，1}的子集4)对，由集合的包含关系可得.
答案(dáàn) (1)× (2)× (3)× (4)√
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2.集合(jíhé){1，2}的真子集有( )
【例 3】 已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－ 6≤x≤2m－1}，若 B⊆A，求实数 m 的取值范围. [思路探究] 探究点一 B⊆A，集合 B 是否满足 B≠∅？ 提示 不能，因为集合 B 中的元素不确定，有 B＝∅和 B≠∅ 两种情况. 探究点二 若 B≠∅，B⊆A，m 应满足什么条件？ 提示 根据子集定义，m 应满足m－－2≤6≤m2－m6－，1， 2m－1≤5，
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规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合 A 的含义而把 集合 A 表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合 A 的代表 元素为点集，而非数集. 2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含 1 个元素，含 2 个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合 A 中有 n 个元素，则其子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个，非空真子集 有 2n－2 个.
浙江专用高中数学第一章集合与函数概念新人教版
【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修11.1 集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自主预习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )(2)一个集合可以表示成{a，a，b，c，}.( )(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A中的元素.( ) 提示(1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 答案 B3.下列关系正确的是( )①0∈N ；②2∈Q ；③12∉R ；④－2∉Z .A.③④B.①③C.②④D.①解析 ①正确，∵0是自然数，∴0∈N ；②不正确，∵2是无理数，∴2∉Q ；③不正确，∵12是实数，∴12∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z . 答案 D4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“∉”).解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B . 答案 ∈类型一 集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( ) A.著名的中国数学家 B.北京四中2015级新生 C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合. 答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解；(4)2的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x2－4＝0在实数范围内的解有两个，即±2，故能组成一个集合.(4)“2的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二元素与集合的关系【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A.1B.2C.3D.4(2)(2016·连云港高一检测)集中A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.解析(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，①②④正确，③不正确.(2)由63－x∈N，则6是3－x的正整数倍，所以3－x＝1，2，3，6.又x∈N，∴x＝0，1，2. 答案(1)C (2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征. 【训练2】设不等式2x－3>0的解集为M，下列表示正确的是( )A.0∈M，2∈MB.0∉M，2∈MC.0∈M，2∉MD.0∉M，2∉M解析因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M的元素，0∉M.又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x－3>0的解集中元素，2∈M.答案 B类型三集合中元素的特性及应用(互动探究)【例3】已知集合A中含有两个元素a＋1，a2－1，且0∈A，则实数a的值为________. [思路探究]探究点一a＋1，a2－1是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示根据集合元素的互异性，a＋1≠a2－1.探究点二0∈A，与A中的两元素a＋1，a2－1间有什么关系？提示根据元素与集合间的从属关系，应有a＋1＝0或a2－1＝0.解因为0∈A，所以0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1，a＝－1(舍)，所以a＝1.此时，A＝{2，0}，符合题意.答案 1规律方法(1)由于A中含有两个元素，0∈A，本题以0是否等于a＋1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a＋1”“a2－1”改为“a－3和2a－1”，“0∈A”改为“－3∈A”，则实数a的取值是什么？解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A”，其他条件不变，试求实数a的取值.解由集合元素的互异性，a＋1≠a2－1，所以a2－a－2≠0，即(a－2)(a＋1)≠0，因此a≠2且a≠－1.[课堂小结]1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号∈和∉的两点说明(1)符号∈和∉刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA的篮球明星解析A、C、D中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B2.若以方程x2－2x－3＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.答案 C3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|∈A，则b＝________.解析由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.答案±14.已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，求实数a的值.解∵M中有两个元素，3和a＋1，且4∈M，∴4＝a＋1，解得a＝3.即实数a的值为3.基础过关1.下列各对象可以组成集合的是( )A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合. 答案 B2.由x 2，2|x |组成一个集合A 中含有两个元素，则实数x 的取值可以是( ) A.0B.－2C.8D.2解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8. 答案 C3.下列正确的命题的个数有( )①1∈N ；②2∈N *；③12∈Q ；④2＋2∉R ；⑤42∉Z .A.1B.2C.3D.4解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； ∵2不是正整数，∴2∉N *，故②不正确； ∵12是有理数，∴12∈Q ，故③正确； ∵2＋2是实数，∴2＋2∈R ，所以④不正确； ∵42＝2是整数，∴42∈Z ，故⑤不正确. 答案 B4.方程x 2－3x －4＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 解析 方程x 2－3x －3＝0的两根分别是－1和4， 由题意可知，a ＋b ＝3. 答案 35.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析 因为x ∈N ，且2<x <a .又集合P 中恰有三个元素，结合数轴a ＝6. 答案 66.设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可得x ≠3且x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 则x 2－2x ≠－2，所以x ＝－2.7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6； 当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个.8.已知集合A 是由三个元素a －2，2a 2＋5a ，12组成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3， 不符合集合中元素的互异性，故舍去.当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意.综上可知，a ＝－32.能 力 提 升9.由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A.1B.－2C.6D.2解析 因A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证，C 正确. 答案 C10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( ) A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－3∉A解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3∉A ，1∉A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确. 答案 C11.(2016·金华高一检测)若集合P 中含有两个元素1，2，集合Q 含有两个元素1，a 2，若集合P 与集合Q 相等，则a ＝________.解析 ∵P 中含有两元素1，2；集合Q 含有两个元素1，a 2，又P ＝Q ， ∴a 2＝2，且a 2≠1，解之得a ＝±2且a ≠±1. 答案 ± 212.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________. 解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0∉A .答案 2或413.已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值. 解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0， 所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实根， 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4. 综上可知k ＝0或1.探 究 创 新14.设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集. 证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中必有另外两个元素，分别为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，而方程无解. 所以a ≠11－a，所以A 不可能为单元素集.第2课时 集合的表示目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.自主预习1.列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.温馨提示：(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)满足元素的互异性和元素的无序性.2.描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的公共特征.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.( )(3)集合A＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )提示(1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.答案(1)×(2)√(3)×2.已知A＝{x|3－3x>0}，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A解析A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.答案 C3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A.{1，1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}解析方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1，故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}.答案 B4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|________}.解析平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x>0，y>0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}.答案x>0，y>0类型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合.解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}； (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现⎩⎨⎧⎭⎬⎫75，25的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }.【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}. (2)方程x (x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合为{(1，1)}.类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝1x 2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面. 2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认x ∈R . 【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *}.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±2 3.因此B ＝{x |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合.解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0 有两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3）2－8a >0，a ≠0，解得a <98，且a ≠0.因此实数a 取值范围的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <98，且a ≠0.[课堂小结] 1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( ) A.{1，2，3} B.{0，1，2，3}C.{－2，－1，0，1，2}D.{－3，－2，－1，0，1，2，3} 解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}. 答案 B2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( ) A.方程y ＝2x ＋3 B.点(x ，y )C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合.答案 C3.设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若集合A与集合B相等，则a＋b＝________.解析由于{4，a}＝{2，ab}，所以a＝2且ab＝4，从而a＝2，且b＝2，所以a＋b＝4.答案 44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}.(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4<x<15，且n∈N}.基 础 过 关1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( )A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1，1)}D.(1，1)解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D. 答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{(3，2)}，N ＝{3，2}解析 A 中集合M ，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合M 表示直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 表示直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合. 答案 B3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x |－3<x <11，x ∈Q } B.{x |－3<x <11，x ∈R } C.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N } D.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }解析 {x |x ＝2k ，k ∈Z }表示所有偶数组成的集合.由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素. 答案 D4.点(2，11)与集合{(x ，y )|y ＝x ＋9}之间的关系为________. 解析 ∵11＝2＋9，∴(2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}. 答案 (2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________. ①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，所以答案为③.答案③6.用描述法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6}.(3)用描述法表示该集合为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.7.用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}.解由－1≤x≤1且x∈Z，得x＝－1，0，1，当x＝－1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝1，∴A＝{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.8.设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关系.解因为a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B，则b＝2k2＋1(k2∈Z)，所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1. 又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，故2(k1＋k2)＋1必为奇数，所以a＋b∈B且a＋b∉A.能力提升9.集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析∵x∈N，y∈N，且x＋y≤1，∴当x＝0时，y＝0或1；当x＝1时，y＝0.故A＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.答案 C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.答案 B11.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A ，且a ∈B ，则a 为________. 解析 集合A ，B 都表示直线上点的集合，a ∈A 表示a 是直线y ＝2x ＋1上的点，a ∈B 表示a 是直线y ＝x ＋3上的点，所以a 是直线y ＝2x ＋1与y ＝x ＋3的交点，即a 为(2，5).答案 (2，5)12.下列命题中正确的是________(只填序号).①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |2<x <5}可以用列举法表示.解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的. 答案 ②13.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合.解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}. (2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故 ①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；②当a <0，b <0时，|a |a＋|b |b＝－2； ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.探 究 创 新14.(2014·福建高考改编)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d ).解 若只有①对，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)； 若只有③对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自主预习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集A⊆B或B⊇A真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集A B和B A与“⊆”有什么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系.2.集合相等若A⊆B且B⊆A，则集合A＝B.3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)空集用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，∅为不含任何元素的集合，{∅}为含有一个元素∅的集合.4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )(3)已知A＝B，A＝{1，2，3}，B＝{x，y，3}，则x＝1，y＝2.( )(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C，可得A⊆C.( )提示(1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，∅也是集合{0，1}的子集.(3)错，x＝1，y＝2或x＝2，y＝1.(4)对，由集合的包含关系可得.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.集合{1，2}的真子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个解析集合{1，2}的真子集有∅，{1}，{2}共3个.答案 B3.设集合M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合A＝{2，9}，集合B＝{1－m，9}，且A＝B，则实数m＝________.解析因为A＝B，所以1－m＝2，所以m＝－1.答案－1类型一有限集合的子集问题【例1】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合A的含义而把集合A表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合A的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.【训练1】已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x A}，求集合B.解由题意可知，集合B的元素是集合A的所有真子集，故B＝{∅，{1}，{2}}.类型二集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )} A.1B.2C.3D.4(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a ，b )}与{(b ，a )}是不同的点集，所以④错误.(2)因为a ≠0，所以a ＋b ＝0，所以ba＝－1，所以b ＝1，a ＝－1.故b －a ＝2.故选C. 答案 (1)B (2)C规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；③若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【训练2】 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7>0}，试判断集合A 和B 的关系.解 A ＝{－3，2}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈B ，2∈B ，∴A ⊆B ，又0∈B ，但0∉A ，∴AB .类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. [思路探究]探究点一 B ⊆A ，集合B 是否满足B ≠∅？提示 不能，因为集合B 中的元素不确定，有B ＝∅和B ≠∅两种情况. 探究点二 若B ≠∅，B ⊆A ，m 应满足什么条件？ 提示 根据子集定义，m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5，解 (1)B ＝∅时，有m －6>2m －1，则m <－5，此时B ⊆A 成立.(2)当B ≠∅时，B ⊆A ，此时满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m －6，m －6≤2m －1，2m －1≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥4，m ≥－5，m ≤3.不等式组解集为∅.由(1)(2)知，实数m 的取值范围是{m |m <－5}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围.解 由A ⊆B 题设条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.所以m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}.【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |x <2或x >5}”，其余条件不变，求实数m 的取值范围. 解 (1)当B ＝∅时，m －6>2m －1， 则m <－5，此时满足条件B ⊆A . (2)当B ≠∅时，B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，2m －1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，m －6>5. 解之得－5≤m <－12或m >11.综合(1)，(2)知，实数m 取值的范围⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <－12或m >11.[课堂小结]1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A ＝∅时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A . 2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集. 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有。
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念习题课集合的概念课件新人教版必修1110402121
C.2
D.1
解析 联立两集合中的函数关系式得：
xx2＋＋yy＝2＝1，1，解得xy＝ ＝01，或xy＝＝10，，有两解.
答案(dáàn) C
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5.(2016·广州执信中学期中)已知全集(quánjí)U＝{1，2，3，4，5}， A＝{1，2，3}，那么∁UA的子集个数有________. 解析(jiě xī) ∁UA＝{4，5}，子集有∅，{4}，{5}，{4，5}， 共4个. 答案 4
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题型三 集合(jíhé)的综合运算
【例 3】 (2016·温州高一检测)已知集合 A＝{x|0<2x＋ a≤3}，B＝x－12<x<2. (1)当 a＝1 时，求(∁RB)∪A. (2)若∁RB⊆∁RA，求实数 a 的取值范围.
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解 (1)当 a＝1 时，A＝x－12<x≤1，又因为 B＝x－12<x<2，则 ∁RB＝xx≤－12或x≥2，所以(∁RB)∪A＝xx≤1或x≥2. (2)由于∁RB⊆∁RA，所以 A⊆B.因为 A＝x－a2<x≤3－2 a， 则当 A＝∅时，－a2≥3－2 a，所以 0≥3 不成立，所以 A≠∅，则有 －a2≥－12， 3－2 a<2， 解得－1<a≤1.所以 a 的取值范围是{a|－1<a≤1}. －a2<3－2 a，
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规律方法 1.(1)求集合的交、并、补运算，一是要注意端点的取舍.(2)第 (2)问充分利用集合的运算性质，避免求∁RB与∁RA的计算(jìsuàn). 2.与不等式有关的集合的运算，用数轴分析法直观清晰，应重点考虑， 若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.
(浙江专版)高中数学第一章集合与函数概念1.1集合学案新人教A版必修1
1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义预习课本P2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合． ( )(2)新课标数学人教A 版必修1课本上的所有难题．( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A ．0∈N B．π∈Q C.2∈Q D ．－1∉Z答案：A3．已知集合A 中含有3个元素－2,4，x 2－x ，且6∈A ，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．3或－2答案：D4．方程x 2－1＝0与方程x ＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2[例1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数；④2016年第31届奥运会金牌获得者． A ．③④ B ．②③④ C ．②③D ．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B集合的基本概1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0.[答案] (1)C (2)0,1,2[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3元素与集合的关系解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B . 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． [解析] 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a ＝－1. [答案] －1 [一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值． 解：因2∈A ，则a ＝2或a 2＝2即a ＝2，或a ＝2，或a ＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因A 中有两个元素a 和a 2，则由a ≠a 2解得a ≠0且a ≠1.3．[变条件]已知集合A 含有两个元素1和a 2，若“a ∈A ”，求实数a 的值． 解：由a ∈A 可知，当a ＝1时，此时a 2＝1，与集合元素的互异性矛盾， 所以a ≠1.当a ＝a 2时，a ＝0或1(舍去)． 综上可知，a ＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤集合中元素的特性及应用层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ， ∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3. 答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意． (2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． (3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.答案：0或17．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.8．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．第二课时 集合的表示预习课本P3～5，思考并完成以下问题[新知初探]1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．[点睛] 列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[点睛] 描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)}答案：C3．不等式x －3<2且x ∈N *的解集用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案：B4．不等式4x －5<7的解集为________． 答案：{x |4x －5<7}[例1] 用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x 3＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 3＝x 的解是x ＝0或x ＝1或x ＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}． (3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)， 故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．[活学活用]1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．用列举法表示集合2．用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A . (2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B .(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . 解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A ＝{2,3,4,5}． (2)方程x 2－9＝0的实数根为－3,3，所以B ＝{－3,3}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．[例2] 用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于4的所有偶数．[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x |x ＝3n ＋1，n ∈N}． (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x ，y )|x >0，y >0}． (3)偶数可表示为2n ，n ∈Z，又因为大于4，故n ≥3，从而用描述法表示此集合为{x |x ＝2n ，n ∈Z 且n ≥3}．描述法表示集合的2个步骤[活学活用]3．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A ＝{x |x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； (2)(1,2)________{(x ，y )|y ＝x ＋1}． 解析：(1)易知A ＝{0,1}，故1∈A ，－1∉A ； (2)将x ＝1，y ＝2代入y ＝x ＋1，等式成立． 答案：(1)∈ ∉ (2)∈ 4．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2且n ∈N}；用描述法表示集合(2)抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合； (3)直线y ＝x 上去掉原点的点的集合． 解：(1)列举法：P ＝{0,2,4}．(2)描述法：⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x 2－2x y ＝0.或列举法：{(0,0)，(2,0)}． (3)描述法：{(x ，y )|y ＝x ，x ≠0}．[例3] (1)若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．0或1(2)设12∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－ax －52＝0，则集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－192x －a ＝0中所有元素之积为________．[解析] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0， 此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意． 故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．(2)因为12∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－ax －52＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12a －52＝0，解得：a ＝－92，当a ＝－92时，方程x 2－192x ＋92＝0的判别式Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1922－4×92＝2894>0，所以集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2－192x ＋92＝0的所有元素的积为方程的两根之积等于92.[答案] (1)D (2)92集合表示法的综合应用[活学活用]5．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．解：由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6.6．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N. 试判断元素1,2与集合B 的关系； 用列举法表示集合B . 解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N. 当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B .(2)∵62＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}.[例4] 用描述法表示抛物线y ＝x 2＋1上的点构成的集合．[解] 抛物线y ＝x 2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． [一题多变]1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x |y ＝x 2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 解：集合{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ， 所以{x |y ＝x 2＋1}中的元素是全体实数．2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y |y ＝x 2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 解：集合{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．层级一 学业水平达标集合含义的再认识1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}解析：选B {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 3．已知M ＝{x |x －1<2}，那么( ) A ．2∈M ，－2∈M B ．2∈M ，－2∉M C ．2∉M ，－2∉MD ．2∉M ，－2∈M解析：选A 若x ＝2，则x －1＝1<2，所以2∈M ；若x ＝－2，则x －1＝－3<2，所以－2∈M .故选A.4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D.6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. 解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}8．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． 解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16}9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 016＋b 2 016的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以ba＝0，即b ＝0. 又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意． 当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)． 故a ＝－1，b ＝0，所以a2 016＋b2 016的值为1.层级二 应试能力达标1．下列命题中正确的是( ) A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素 B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合解析：选 A {x |x 2＝1，x ∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．2．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．3．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B解析：选C 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．4．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P *Q 中元素的个数是( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．9个解析：选A 若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1,2,3；若a ＝2，则ab ＝2,4,6.故P *Q ＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．5．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，用列举法表示A 为________． 解析：∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0.∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}． 答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，则(x 0，y 0)的值为________．解析：由题意知，(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，所以(x 0，y 0)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝5.答案：(2,5)7．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根， 所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a的取值范围是a≤－916或a＝0.8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解：①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.1．1.2 集合间的基本关系[新知初探]1．子集的概念任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[点睛] (1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．3．真子集的概念记作A B(或B A)(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B4．空集的概念(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )(2)任何一个集合都有子集．( )(3)若A＝B，则A⊆B.( )(4)空集是任何集合的真子集．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆M答案：D3．下列四个集合中，是空集的为( )A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案：B4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.答案：－1集合间关系的判断[例1] 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}．(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解] (1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B ＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n ∈N *，因此集合M 含有元素“1”，而集合N 不含元素“1”，故N M .[活学活用]1．能正确表示集合M ＝{x ∈R|0≤x ≤2}和集合N ＝{x ∈R|x 2－x ＝0}关系的Venn 图是( )解析：选B 解x 2－x ＝0得x ＝1或x ＝0，故N ＝{0,1}，易得N M ，其对应的Venn 图如选项B 所示．2．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x |x <8，x ∈N}，用适当的符号填空： (1)A ________B ；(2)A ________C ； (3){2}________C ；(4)2________C .解析：集合A 为方程x 2－3x ＋2＝0的解集，即A ＝{1,2}，而C ＝{x |x <8，x ∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A ＝B ；(2)AC ；(3){2}C ；(4)2∈C .答案：(1)＝ (2) (3)(4)∈[例2] (1)集合M ＝{1,2,3}的真子集个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9有限集合子集的确定(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析] (1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}，{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案] (1)B (2)72．与子集、真子集个数有关的3个结论中含有n个元素，则有：的子集的个数为2n个；[活学活用]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.4．已知集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则满足条件的集合A 的个数是________．解析：若集合A ＝∅，满足A ⊆B ，A ⊆C ；若集合A ≠∅，集合A 可能是{a }，{b }，{a ，b }．故集合A 共4个．答案： 4[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.∴实数m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}．[一题多变]1．[变条件]本例中若将“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，求m 的取值范围． 解：(1)当B ＝∅时，m －6>2m －1，即m <－5.当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤2m －1，m －6≥－2，2m －1≤5，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－5，m ≥4，m ≤3，即m ∈∅.故实数m 的取值范围是{m |m <－5}．2．[变条件]本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}，其他条件不变，求实数m 的值．解：因为A ⊆B ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，B ＝{－1,3,1}，A ＝{3,1}满足A ⊆B .由集合间的关系求参数值(或范围)层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{2，－1}，集合B ＝{m 2－m ，－1}，且A ＝B ，则实数m 等于( ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1D ．4解析：选C ∵A ＝B ，∴m 2－m ＝2，∴m ＝2或m ＝－1. 2．已知集合A ＝{x |－1－x <0}，则下列各式正确的是( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D 集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，∅⊆A ，D 正确． 3．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选B 由已知x 是正方形，则x 必是矩形，所以C ⊆B ，故选B. 4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．答案：{(1,2)}，{(－3,4)}7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则A ，B 的关系是________．解析：因为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .答案：8．已知集合A ＝{x |x <3}，集合B ＝{x |x <m }，且A ⊆B ，则实数m 满足的条件是________． 解析：将数集A 在数轴上表示出来，如图所示，要满足A ⊆B ，表示数m 的点必须在表示3的点处或在其右边，故m ≥3. 答案：m ≥39．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.10．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且，求a 的值．解：∵，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . (1)当a 2－a ＋1＝3时，解得a ＝－1或a ＝2. 经检验，满足题意．(2)当a 2－a ＋1＝a 时，解得a ＝1，此时集合A 中的元素1重复，故a ＝1不合题意． 综上所述，a ＝－1或a ＝2为所求．层级二 应试能力达标1．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．－1解析：选C 由A ＝B ，得x ＝0或y ＝0.当x ＝0时，x 2＝0，此时B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y ＝0时，x ＝x 2，则x ＝0或x ＝1.由上知x ＝0不合适，故y ＝0，x ＝1，则2x ＋y ＝2.2．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C 有4个．3．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A BD ．A B解析：选D 对于x ＝3k (k ∈Z)，当k ＝2m (m ∈Z)时，x ＝6m (m ∈Z)；当k ＝2m －1(m ∈Z)时，x ＝6m －3(m ∈Z)．由此可知A B .4．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,1解析：选D 因为集合A 有且仅有两个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，故a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意． 综上所述，a ＝0，或a ＝±1.5．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1,1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________．解析：由题意，得1－2a ＝3或1－2a ＝a ，解得a ＝－1或a ＝13.当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，符合题意；当a ＝13时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，13，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，13，符合题意．所以a 的值为－1或13.答案：－1或 136．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2， ∴M ＝{y |y ≥－2}，∴N M .答案：7．已知A ＝{x ∈R|x <－2或x >3}，B ＝{x ∈R|a ≤x ≤2a －1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵B ⊆A ，∴B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种． ①当B ≠∅时， ∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<－2，a ≤2a －1成立，解得a >3；②当B ＝∅时，由a >2a －1，得a <1.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a <1或a >3}．8．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围． 解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)． (2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[新知初探]1．并集和交集的概念及其表示[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．2．并集与交集的运算性质[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并集定义中的“或”就是“和”．( )(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．( )(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{－1,0,1,2}答案：D3．若集合A ＝{x |－5<x <2}，B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |－5<x <2} C ．{x |－3<x <3} D ．{x |－5<x <3} 答案：A4．满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 的个数是________． 答案：2[例1] (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{5,8} C ．{3,5,7,8} D ．{4,5,6,8} (2)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( )A ．{x |x >－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |－1<x <2}[解析] (1)由并集的定义知，M ∪N ＝{3,4,5,6,7,8}． (2)画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．[答案] (1)A (2)A[活学活用]1．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N ＝( ) A ．{x |x <－5或x >－3} B ．{x |－5<x <5} C ．{x |－3<x<5}D．{x |x <－3或x >5}解析：选A 将集合M 和N 在数轴上表示出来，如图所示，并集的运算可知M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}．2．已知集合A ＝{0,2,4}，B ＝{0,1,2,3,5}，则A ∪B ＝________________. 解析：A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}． 答案：{0,1,2,3,4,5}[例2] (1)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4}(2)(全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] (1)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图．则由交集的定义，A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．(2)集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.[答案] (1)A (2)D[活学活用]3．(北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 4．若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，B ＝{x |－1<x <3}，则A ∩B ＝________.解析：∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12，B ＝{x |－1<x <3}，画数轴如图：交集的运算∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <3题点一：由并集、交集求参数的值1．已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值． 解：∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M ； ∴a 2－3a －1＝3，即a 2－3a －4＝0， 解得a ＝－1或4.但当a ＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝4时，M ＝{1,2,3}，N ＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a ＝4.题点二：由并集、交集的定义求参数的范围2．设集合A ＝{x |－1<x <a }，B ＝{x |1<x <3}且A ∪B ＝{x |－1<x <3}，求a 的取值范围．解：如图所示，由A ∪B ＝{x |－1<x <3}知，1<a ≤3. 题点三：由交集、并集的性质求参数的范围3．已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2.②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52.综合①②可得k 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪k ≤52. 4．把3题中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围．由集合的并集、交集求参数解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，可知B ≠∅. 由数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 不存在．层级一 学业水平达标1．已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选A 借助数轴易得A ∪B ＝{x |x ≥－1}．2．(天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}解析：选D 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}． 又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.3．A ＝{x ∈N|1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析：选A 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.6．(江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}7．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设所求人数为x，则x＋10＝30－8⇒x＝12.答案：129．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，。
创新设计浙江专用高中数学第一章集合与函数概念习题课函数及其基本性质课件新人教版必修111040212
解 ∵f(x)是奇函数，且 f(m)＋f(m－1)>0，∴f(m)>－f(m－1)，即 f(1－m)<f(m).又因为 f(x)在区间[0，2]上单调递减，且 f(x)在[－2， 2] 上 为 奇 函 数 ， 所 以 f(x) 在 [ － 2 ， 2] 上 为 减 函 数 . 所 以 － －1－22≤ ≤m>1mm－≤，m2≤ ，2，解之得－ m－<2112≤≤，mm≤≤23，，解得－1≤m<12.故实数 m 的取值范围是－1，12.
【例 2】 函数 f(x)＝a1x＋＋xb2是定义在(－1，1)上的奇函数，且 f 12＝25.
(1)确定函数 f(x)的解析式；
(2)用定义法证明 f(x)在(－1，1)上是增函数.
解
(1)∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0.又 f
1 2
1＋b 02＝0， ＝25，因此a21＋ ＋b14＝25， 解之得ba＝ ＝01， . 所以 f(x)＝1＋x x2.
)
0，x<0，
A.π＋1 B.0
C.π D.－1
解析(jiě xī) f{f[f(－1)]}＝f[f(0)]＝f(π)＝π＋1. 答案 A
第二页，共23页。
2.若函数 y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数 g(x)＝f（x－2x1）的
定义域为( )
A.[0，1]
B.[0，1)
C.[0，1)∪(1，4]
第十五页，共23页。
【训练2】 已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0. (1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间(qū jiān)[－1，3]上的最大值 和最小值； (3)要使函数f(x)在区间(qū jiān)[－1，3]上单调递增，求b的取值范 围.
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第一章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系课时作业
新人教版必修1
1.下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是( )
A.∅
B.{0}
C.{1}
D.{0，1}
解析 任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集.
答案 D
2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－2，－1，0，1，2}，则P 与T 的关系为( )
A.P ＝T
B.P T
C.P ⊇T
D.P T 解析 由x 2－1＝0，得x ＝±1，所以P ＝{－1，1}.因此P
T .
答案 D 3.已知集合A ⊆{0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析 集合{0，1，2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个.
答案 A
4.设a ∈R ，若集合{3，5}＝{1－a ，5}，则a ＝________.
解析 ∵{3，5}＝{1－a ，5}，∴1－a ＝3，∴a ＝－2.
答案 －2
5.(2016·湖南长郡中学模块检测)已知集合A ＝{x |x 2
＝a }，当A 为非空集合时a 的取值范围是__________.
解析 A 为非空集合时，方程x 2＝a 有实数根，所以a ≥0.
答案 [0，＋∞)
6.若集合{1，2}⊆M {1，2，3，4}，试写出满足条件的所有集合M .
解 由{1，2}⊆m ，知1，2∈M ，又M {1，2，3，4}，因此集合M 中可以有2个或3个元素，故满足条件的M 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
7.已知集合A ＝{x |2≤x ≤4}，B ＝{x |a <x <3a }.若A B ，求a 的取值范围.
解 ∵A B ，∴B ≠∅，画出数轴如图所示：
故⎩⎪⎨⎪⎧a <3a ，a <2，3a >4.
解得43<a <2.所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |43<a <2. 8.已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R }，B ⊆A ，求a 的值.
解 ∵B ⊆A ，A ≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ＝∅
时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1a ， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12
. 综上所述，a ＝0或a ＝12
. 能 力 提 升
9.下列说法中正确的是( )
①若A B ，则A ⊆B ；②若A ⊆B ，则A B ；③若A ＝B ，则A ⊆B ；④若A ⊆B ，则A ＝B .
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
解析 ②不正确，如{1，2}⊆{1，2}，但{1，2}{1，2}不成立；④不正确，如{1}⊆{1，2}，但二者不相等.①③正确.
答案 C
10.已知集合M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }，若集合M 有4个子集，则实数m ＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 由于M 有4个子集，所以M 中一定有2个元素.又M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }，所以m ＝2，此时M ＝{1，2}恰好有4个子集.
答案 B
11.设集合M ＝{x |2x 2
－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________.
解析 集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13 12.已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 满足：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集，其各元素都减2后，就变为B 的一个子集，则集合C ＝________.
解析 本题可逆向操作，A 中元素都减2，得{0，2，4，6，7}，B 中的元素都加2，得{3，4，5，7，10}，因为C 中的元素同时在这两个集合中，所以C ＝{4}或{7}或{4，7}. 答案 {4}或{7}或{4，7}
13.设集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围. 解 B ⊆A ，分为两种情况：①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，
此时m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.
②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，
解得－1≤m <2.
综上可得m 的取值范围是{m |m ≥－1}.
探 究 创 新
14.已知集合A ＝{x |(a －1)x 2
－2x ＋1＝0}，且集合A 有且仅有两个子集，求实数a 的值以及对应的两个子集.
解 根据题意可知集合A 中只含有一个元素.
(1)当a ＝1时，A ＝{x |－2x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
12，
此时集合A 的两个子集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
12，∅；
(2)当a ≠1时，则Δ＝4－4(a －1)＝0，
解得a ＝2，此时集合A 的两个子集为{1}，∅.
故实数a 的值为1或2.
当a ＝1时，集合A 的两个子集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
12，∅；
当a ＝2时，集合A 的两个子集为{1}，∅.。