1.2.1《几个常用函数的导数》
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
1.2.1_几何常用函数的导数
'
n '
n 1
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的 切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数, 则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动. y
yx
O
x
图1.2 2
3. 函数 y f x x 的导数 y` 2 x 表示函数 y x 2 图象1.2 3 上点 x, y 处
（1）
（2） (3)
yx
yx
4
y 4x
'
'
3
99
100
y 100 x
yx
3
y' 3x
4
课堂小结：
1、两个公式 (c ) 0 ( x ) nx 2、利用定义求导的步骤 3、导数的几何意义及物理意义，利用导数求直线 的斜率 4、在学习中体会极限思想，转化思想，数形结合 等思想
2
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 ' 时变化率来看, y 2 x 表明 : 当x 0时, 随着x 的增
加, y x 减少得越来越慢;当x 0时,
2
y
随着x的增加, y x 增加得越来越快.
2
y x2
O
x
图1.2 3
1. 函数 y f x c的导数
y` 0表示函数 y c图象1.2 1 上每一点处的 切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的 函数, 则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为0, 即一直处于静止状态. yycOx图1.2 1
2. 函数 y f x x的导数
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.2.1几个基本函数的导数
1
x2
则 ＝k，e ＝k，所以x1＝ ，x2＝ln
x1
k
k，
1
k
可得直线y＝kx与函数f(x)＝ln x＋a的切点为( ，1)，
直线y＝kx与函数g(x)＝ex的切点为(ln k，k ln
1
ln + a = 1
k)，∴ቐ k
，解得a＝2.
eln k = k ln k
方法归纳
利用导数的几何意义解决切线问题的两种类型
x
2
(4)y＝1－2sin .
(4)因为y＝1－2sin2 ＝cosx，所以y′＝－sin x．
2
x
2
方法归纳
利用导数公式求函数的导数的策略
巩固训练1
若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________．
1
x ln 3
答案：3x2－
1
，
x ln 3
解析：∵f′(x)＝2，g′(x)＝
当x＝0时，y＝a－1，当y＝0时，x＝1－a，
1
1
则 ×|a－1|×|1－a|＝ ，又a>0，解得a＝2.
2
2
(2)若直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象都相切，求实数a的值．
1
x
解析：(2)由已知f′(x)＝ ，g′(x)＝ex，
设直线y＝kx与f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
1．2.1 几个基本函数的导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点
要点一 常见幂函数的导数❶
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
§1.2.1几个常用函数导数
§1.2.1几个常用函数导数 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.1214复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线2=-的斜率等于4的切线方程.21y x练2. 求函数()=y f x三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯.(1)氡气的散发速度是多少？(2)7)('A 的值是什么（精确到0. 1）?它表示什么意义？。
高中三年级数学优质课件精选几个常用函数的导数
分析： (1)对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的
关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝x14 可以 写成y＝x－4，y＝5 x3＝x35等，这样就可以直接使用幂函数的求 导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
解析：(1)①y′＝(x12)′＝12x11；
②y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45；
D.－12，14
6．下列函数满足f(x)＝f′(x)的是( C )
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝x
C．f(x)＝0
D．f(x)＝1
7．如果f(x)＝sin x，则f′(6π)＝____1____.
8．设f(x)＝2x，则f′(x)＝__2_x_l_n_2____；设f(x)＝ln x，则
1
f′(3)＝_3_________.
9．如果曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n＝__3______.
① ②
熟记各基本初等函数的求导公式．
谢谢观看
请指导
直接用导数公式求函数的导数 求下列函数的导数： (1)(x6)′＝________；(2)x12′＝________.
答案：(1)6x5(2)－2x－3Fra bibliotek跟踪训练
1．(1)求下列函数的导数：
①y＝x12；②y＝
1 x4
；③y＝5 x3 .
(2)设f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
1 2
在点
，
-1 2
处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切 线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
1.2.1几个常用函数的导数
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等于 ____x__;
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1ogax )' __x_l_n_a___
三.典例分析 题型：求曲线的切线方程
例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
练习:
1、求下列函数的导数
(1) y sin t (4)u cos v (7) y 2
x
lim C C x0 x
lim 0 0 x0 x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：f '(x) C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于 0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0；
事实上，各点切线就是 原来的直线。
二、几种常见函数的导数
切线的斜率k y ' |xx0 2x0 1,
x0
1 2
,
切点M (1 , 1)
24
与PQ平行的切线方程:y 1 x 1 ,即：4x 4 y 1 0。 42
1
1
练习解1：：∵求y双′曲＝线－yx1＝2，x在∴点y′(2|，x＝22)＝处－的14切. 线方程．
16-17版：1.2.1 几个常用函数的导数~1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算 法则(
1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。
人教版高中数学选修2-2第一章1.2.1几个常用函数的导数
旧知回顾函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.00()();f x x f xyx x+∆-∆=∆∆lim.xyyx∆→∆'=∆（1）求增量（2）算比值（3）求极限新课导入我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.3.2 导数的计算导数的计算常见函数导数基本初等函数的导数公式导数运算法则3.2.1 几个常见函数的导数教学目标知识与能力（1）深刻理解导数的几何意义.（2）根据导数定义求基本函数的导数.过程与方法（1）通过分析实例，了解求导数的方法. （2）掌握几个基本函数的导数.情感态度与价值观根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式，更好的学习导数等概念.教学重难点 重点难点 根据导数定义求解导数方法.21y =c,y =x,y =x ,y =,y =x x 会根据导数的定义求五个函数的导数.知识要点根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c的导数.0lim .x ∆→''= y =f(x)=C,ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=C -C,=0ΔxΔy ∴f (x)=C =0Δx证明:概念理解若 y=c （如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.知识拓展公式1: C=0(C为常数)2. 函数y=f(x)=x 的导数 00lim lim 111x x δδ→→==='证明：Δyf(x +Δx)-f(x)∵==Δx Δx Δy ∴y Δx概念理解若 y=x（如图1.2–2）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究2,3,4y x y x y x===在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并根据导数定义，求它们的导数.2040608010012345678910111213141516171819202122xy=2x y=3x y=4x（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？2,3,4y x y x y x === 从图像上看，函数的导数分别表示这些直线的斜率.（2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢.（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？解：函数增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢.3. 函数y=f(x)= 的导数 2x 00lim lim x x δδ→→==22222'证明：Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x∵==Δx Δx Δxx +2x Δx +(Δx)-x =Δx=2x +ΔxΔy ∴y (2x +Δx)=2x.Δx ×概念理解 0510152025301234567891011系列2 若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x 的瞬时速度为2x. 2y x ='2y x =4. 函数y=f(x)= 的导数 1x证2'22δx→0δx→0明：Δy f(x +Δ'x)-f(x)x -(Δx)∵==Δx Δx x(x +Δx)Δx 1=-x +xΔxΔy11∴y =lim =lim (-)=-Δx x +xΔx x探究1画出函数y=的图像，x根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数图像及其导数发现，当x<0时，随着x 的增加，函数 减少的越来越快；当x>0时，函数减少的越来越慢.'21y x =-1y x='x=1' 点（1，1）处的切线的斜率就是y |=-1,故斜率为-1，过点(1,1)的切线方程y =-x +2.5. 函数y=f(x)= 的导数x 'δx →0δx →0证明：Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x∵==Δx Δx Δx1=x +Δx +xΔy 11∴y =lim =lim =Δx x +Δx +x 2x知识拓展公式2: . )()(1Q n nx x n n ∈='- 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数. n Q ∈*n N ∈例 13(1) (x ) 2(2) 3x 3'21(x )=3x 解：（）2' (2)3x )=6x（课堂小结1.根据定义求常用函数的导数.21 ,,,, y c y x y x yx ====课堂小结2. 根据定义求导数的具体步骤（1）计算 ，并化简. y x ∆∆（2）观察当△x 趋近于0时， 趋近于哪个定值.y x ∆∆（3） 趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数.y x ∆∆3.认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换.(2007浙江文)32曲线y =x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是 .520x y +-=高考链接(2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导函数，则函数曲线在x=5处的切线的斜率为（）B1A. -B. 051C. D. 55随堂练习1..3'1f'(x)f(x)=x+2x+12f(-1)是的导函数，则的值是311,,111.y x x y y x ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解：联立方程组解得故交点为（，） 求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 1y x =y x =2.211111,,1|1,(1,1)1;x y y x xk y y xk ='==-'∴==-==-双曲线故双曲线在交点处的 切线斜率为121121,,21|,(1,1)21;2x y x y x k y y x k -='=='∴==== 抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为1212112tan |||| 3.111(1)2k k k k θ---===++-⋅arctan 3.θ∴=夹角由夹角公式：0||,()0,,1lim 1;x y x y x x xx y x x xy x ∆→=∆+∆-∴>===∆∆∆∴=∆当时则3.解：利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数.00()(),1,lim 1;x x y x x x y x x xy x∆→<∆-+∆--=-==-∆∆∆∴=-∆当时10.10x y x >⎧'∴=⎨-<⎩。
人教版高中数学第一章1.2第1课时几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式
则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1，0)代入方程：0－1a＝－a12(1－a)． 得 a＝12，代回方程①，整理可得切线方程为 4x＋y －4＝0.
[迁移探究 2] (将已知点改为已知切线的斜率)已知 曲线 y＝1x，求满足斜率为－13的曲线的切线方程．
解：y＝1x，y′＝－x12.设切点坐标为 Aa，1a， 则切线斜率为 k＝－a12＝－13，解得 a＝± 3， 那么 A 3， 33，A′－ 3，－ 33.
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
温馨提示 (1)注意 y＝sin x 和 y＝cos x 求导后的名 称变化及符号变化；(2)注意 y＝ax(a＞0，a≠1)和 y＝logax(a ＞0，a≠1)求导后 ln a 所处的位置．
代入点斜式方程得 y－ 33＝－13(x－ 3)或 y＋ 33＝ －13(x＋ 3)．即 x＋3y－2 3＝0 或 x＋3y＋2 3＝0.
归纳升华 求曲线方程或切线方程时，应注意： (1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲 线方程也满足切线方程，可联立方程求解； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率； (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设 出切点．
1．关于几个基本初等函数导数公式的特点： (1)幂函数 f(x)＝xα 中的 α 可以由 Q*推广到任意实数； (2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符 号)正同余反”； (3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自 然对数； (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的 倒数．
课时作业18：1.2.1 几个常用函数的导数~1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
§1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)基础过关1.曲线f (x )＝x 3在点(2，8)处的切线方程为( )A.12x －y －16＝0B.x －12y －16＝0C.12x ＋y －16＝0D.x ＋12y －16＝0解析 f ′(x )＝3x 2，则斜率k ＝12，所以切线方程为y －8＝12(x －2)，即12x －y －16＝0.答案 A2.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A.4B.－4C.5D.－5 解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.答案 A3.曲线f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线. 答案 B4.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.解析 y ′＝10x ln 10，y ′|x ＝1＝10ln 10.答案 10ln 105.设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则P的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以－1m 2＝－1(m >0)，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1).答案 (1，1)6.求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(3)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. 7.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .能力提升8.已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( )A.1B.12C.－1或12D.－1解析 由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且g ′(x )＝1x .故2x ＋1＝1x ，即2x 2＋x －1＝0，解得x ＝12或x ＝－1.又因x ＞0，故x ＝12，选B.答案 B9.某质点的运动方程为s ＝1t 4(其中s 的单位为米，t 的单位为秒)，则质点在t ＝3秒时的速度为( )A.－4×3－4米/秒B.－3×3－4米/秒C.－5×3－5米/秒D.－4×3－5米/秒解析 由s ＝1t 4得s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5， 得s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D.答案 D10.若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.答案 6411.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________. 解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为22.答案 2212.已知曲线y ＝x ，求：(1)与直线y ＝2x －4平行的曲线的切线方程；(2)求过点P (0，1)且与曲线相切的切线方程.解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x ，得y ′|x ＝x 0＝12x 0. ∵切线与y ＝2x －4平行，∴12x 0＝2， ∴x 0＝116，∴y 0＝14.则所求切线方程为y －14＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －116， 即16x －8y ＋1＝0.(2)设切点为P 1(x 1，x 1)，则切线斜率为y ′|x ＝x 1＝12x 1，∴切线方程为y－x1＝12x1(x－x1).又切线过点P(0，1)，∴1－x1＝12x1(－x1)，即x1＝2，x1＝4.∴切线方程为y－2＝14(x－4)，即x－4y＋4＝0.创新突破13.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 020(x).解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.。
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问题4：幂函数y=xn(n∈Q)的导数是什么？
( x )' n( x) (n Q)
n
n1
练习:求以下几个幂函数的导数. (1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x4/3
典型例题
例1：求下列函数的导数。
(1) y 3 5 (1)解：y ' ( 3 5 )' 0 (2)y x
C' 0C为常数
几何意义:
问题1：常数函数的导数是什么？几何意义是什么？
常数函数在任何一点处的切线平行或重合x轴。
问题2：运用导数定义，求下列几个幂函数的导数.
(1)y=x (2)y=x2 1 (3)y= (x≠0) x (4)y=√x(x>0) (1)y’=x’= 1 (2)y’=(x2)’= 2x 1 1 (3)y’=( )’= - 2 x x 1 (4)y’=(√x )’= 2√x
教学目标:
知识与技能目标： 能够由定义根据求导数的三个步骤，推导 常数函数与幂函数的导数; 过程与方法目标： 在教学过程中,注意培养学生归纳、探求 规律的能力. 情感态度与价值观目标： 通过学生的主动参与,师生,生生的合作交 流,提高学生的学习兴趣,激发其求知欲,培养探 索精神.
教学重点
利用前面已学的求导数的三个步骤， 对常数函数与幂函数的导数进行探究
教学难点
用从特殊到一般的规律来探究公式
知识链接
1.按定义求导数有哪几个步骤？ 2.用导数定义求函数y=C（常数）的导数.
解： y f ( x x) f ( x) C C 0
y f ( x) C ' lim 0 x 0x
'
y 0 x
课前预习
5 3
(3)y x
6
3 3 (2)解：y ' ( x )' ( x )' ( x) 5 2 5 5 x 6 7
5 3
3 5
2 5
(3)解：y ' ( x ) ' 6 x
小结： 对于简单函数的求导，关键是学 会合理转化关系式，以便可以直接利用公式 求解。
例2.质点运动方程是S=1/t5，求质点在t=2时的速度. 解：因为S=1/t5，所以S’=(t-5)’=-5t-6
问题3：通过以上四个幂函数的求导过程，你有没 有发现求幂函数的导数的规律？ 我们把这些幂函数的求导结果的形式改写一下： (x1)’=1 =1x1-1 (x2)’= 2x =2x2-1 1 1 ( x)’=(x-1)’= - x2 =-x-1-1 1 1 1/2-1 1/2 (√x )’= (x )’= = x 2√x 2
5 S ' |t 2 5 2 64
6
答：质点在t=2时的速度是-5/64.
课堂小结
1.常数函数的导数：
C' 0C为常数
2.幂函数y=xn(n∈Q) ( n Q)
n
n1
课后作业
课本P87
练习B1,2