高考数学(理)复习 立体几何-3 空间点,直线,平面之间的位置关系(理科)
【精品复习】立体几何篇-第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确．答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析 由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾. 答案 C3．(2011·浙江)下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的． 答案 D4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 解析如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)． 答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 答案 3或4考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR 交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23， ∴FG BD ＝23，且FG ∥BD .∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断． 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．【示例】►(2011·四川)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．实录甲同学：A乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(2010·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答]如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案 D。
高考数学(理科)一轮复习：单元八 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
正确;命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
2
解析
关闭
答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-11-
考点 1
平面的基本性质及应用
例1
(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90°,BC= 2AD,BE= FA ,G,H分别为FA,FD的中点. 2 ①四边形BCHG的形状是 ; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 . 答案: (1)①平行四边形 ②C,D,E,F
关闭
只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面 直线,故选D.
关闭
D
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b ( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
)
关闭
由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行 直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-9-
1
第三节 空间点、直线、平面的位置关系【高考文数专题--立体几何】
[一“点”就过] 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个 平面内．②证两平面重合． (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直 线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他 直线经过该点． [备课札记]
∴EN＝ 12＋－ 32＝2，BM＝
∴EN≠BM. 连接 BD，BE， ∵点 N 是正方形 ABCD 的中心， ∴点 N 在 BD 上，且 BN＝DN， ∴BM，EN 是△DBE 的中线， ∴BM，EN 必相交．
322＋4＋34＝ 7，
答案：B
4．在图中，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有________(填序号)．
命题点一 平面基本性质的应用(自主练通)
[题组练透]
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不
共面的一个图是
()
解析： A，B，C 图中四点一定共面，D 中四 点不共面． 答案：D
2．以下四个说法中，正确说法的个数是
()
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E
过不在一条直线上 的三点， 公理 2
有且只有一个平面
图形语言
符号语言
A∈l
B∈l A∈α
⇒l⊂α
B∈α
A，B，C 三点不共线⇒有 且只有一个平面 α，使 A ∈α，B∈α，C∈α
续表 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们
公理 3 有且只有 一条 过该点的 公共直线
高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系
第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点__在一个平面内,那么这条直线在这个平面内． 公理2：过_不共线__的三点,有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_有且只有一条__过该点的公共直线． 知识点二 空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系 图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形语言符号语言 a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有 关系 图形语言符号语言a,b 是异面直线a ⊂α(1)异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_锐角或直角__叫做异面直线a 与b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线_平行__. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_相等或互补__.重要结论异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线(如图)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β＝a.( √)(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线．( ×)(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．( ×)(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面．( √)(5)两两相交的三条直线共面．( ×)(6)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线．( ×)题组二走进教材2．(必修2P52B组T1)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C 与EF所成角的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．90°[解析] 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C,∴△B1D1C为等边三角形,∴∠D1B1C＝60°.故选C．3．(必修2P45例2)如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA上的点,(1)若AE EB ＝AH HD 且CF FB ＝CGGD,则E 、F 、G 、H 是否共面．_共面__.(2)若E 、F 、G 、H 分别为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,①当AC,BD 满足条件_AC ＝BD__时,四边形EFGH 为菱形；②当AC,BD 满足条件_AC ＝BD 且AC ⊥BD__时,四边形EFGH 为正方形．题组三 走向高考4．(2019·新课标Ⅲ)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( B )A ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是相交直线B ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是相交直线C ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是异面直线D ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是异面直线[解析] ∵点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,M 是线段ED 的中点,∴BM ⊂平面BDE,EN ⊂平面BDE,∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线,EN 是△BDE 中BD 边上的中线, ∴直线BM,EN 是相交直线, 设DE ＝a,则BD ＝2a, ∵平面ECD ⊥平面ABCD, ∴BE ＝34a 2＋54a 2＝2a, ∴BM ＝72a,EN ＝34a 2＋14a 2＝a, ∴BM≠EN ,故选B ．5．(2017·新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠ABC ＝120°,AB ＝2,BC ＝CC 1＝1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A ．32 B ．155 C ．105D ．33[解析] 解法一：如图所示,补成四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1,连DC 1、BD,则DC 1∥AB 1,∴∠BC 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角, 由题意知BC 1＝2,BD ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3, C 1D ＝5,∴BC 21＋BD 2＝C 1D 2,∴∠DBC 1＝90°, ∴cos ∠BC 1D ＝25＝105.故选C ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),B 1(0,0,1),C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,从而AB 1→＝(－2,0,1),BC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,记异面直线AB 1与BC 1所成角为θ,则cos θ＝|AB 1→·BC 1→||AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105,故选C ．解法三：如图所示,分别延长CB,C 1B 1至D,D 1,使BD ＝BC,B 1D 1＝B 1C 1,连接DD 1,B 1D ．由题意知,C 1B B 1D,则∠AB 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角．连接AD,在△ABD 中,由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos∠ABD,得AD ＝ 3. 又B 1D ＝BC 1＝2,AB 1＝5,∴cos ∠AB 1D ＝AB 21＋B 1D 2－AD 22AB 1·B 1D ＝5＋2－32×5×2＝105.考点突破·互动探究考点一 平面基本性质的应用——自主练透例1 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,G,H 分别在BC,CD 上,且BG ︰GC ＝DH ︰HC ＝1︰2.(1)求证：E,F,G,H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P,求证：P,A,C 三点共线． [解析] (1)证明：∵E,F 分别为AB,AD 的中点, ∴EF ∥BD ．在△BCD 中,BG GC ＝DH HC ＝12,∴GH ∥BD,∴EF ∥GH. ∴E,F,G,H 四点共面．(2)∵EG∩FH＝P,P ∈EG,EG ⊂平面ABC, ∴P ∈平面ABC ．同理P ∈平面ADC ． ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC∩平面ADC ＝AC, ∴P ∈AC,∴P,A,C 三点共线．注：本题(2)可改为：求证GE 、HF 、AC 三线共点．名师点拨1．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点．〔变式训练1〕如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点．求证：(1)E,C,D1,F四点共面；(2)CE,D1F,DA三线共点．[解析] (1)如图,连接EF,CD1,A1B．因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B．又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面．(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABC D∩平面ADD1A1＝DA,所以P∈直线DA．所以CE,D1F,DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2 (1)(2019·上海)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足：a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( B )A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面(2)如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为_③④__(注：把你认为正确的结论序号都填上)．[解析] (1)如图1,可得a、b、c可能两两垂直；如图2,可得a、b、c可能两两相交；如图3,可得a、b、c可能两两异面；故选B．(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错；取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确；同理④正确,故填③④.名师点拨1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b,b∥c,则a∥c.〔变式训练2〕(1)(2021·甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有_3__对．(2)(多选题)(2021·湘潭调研改编)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是( BD )[解析] (1)画出该正方体的直观图如图所示,其中异面直线有(AB,GH),(AB,GD),(GH,EB)．故共有3对．故答案为：3.(2)图A中,直线GH∥MN；图B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N∉HG,因此直线GH与MN异面；图C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面；图D中,G、M、N共面,但H∉平面GMN,G∉MN因此GH与MN异面,故选B、D．考点三异面直线所成的角——师生共研例3 (1)(2021·广西玉林模拟)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点,则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为( A )A ．55 B ．56 C ．33D ．36(2)(2021·山东泰安模拟)如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3,AD ＝BC ＝2,点M,N 分别为AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是( C )A ．58 B ．58 C ．78D ．78(3)若两条异面直线a 、b 所成角为60°,则过空间一点O 与两异面直线a 、b 所成角都为60°的直线有_3__条．[解析] (1)解法一：(平移法) 如图,连接BE,BF 、D 1F,由题意知BED 1F 为平行四边形, ∴D 1E ∥BF,∴异面直线D 1E 与A 1F 所成角为A 1F 与BF 所成锐角,即∠A 1FB, 连接A 1B,设AB ＝2,则在△A 1BF 中,A 1B ＝22,BF ＝5, A 1F ＝AA 21＋AD 2＋DF 2＝3,∴cos ∠A 1FB ＝A 1F 2＋BF 2－A 1B 22·A 1F·BF ＝9＋5－82×3×5＝55.∴异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为55.故选A ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,异面直线D 1E 与A 1F 所成角为θ, 则D 1E →＝(2,1,0),A 1F →＝(－2,1,－2),∴cos θ＝|D 1E →·A 1F →||D 1E →|·|A 1F →|＝35×3＝55.故选A ．(2)连接ND,取ND 的中点E,连接ME,则ME ∥AN,异面直线AN,CM 所成的角就是∠EMC,∵AN ＝AB 2－BN 2＝22, ∴ME ＝2＝EN,MC ＝22,又∵EN ⊥NC,∴EC ＝EN 2＋NC 2＝3,∴cos ∠EMC ＝EM 2＋MC 2－EC 22EM·MC ＝2＋8－32×2×22＝78.故选C ．(3)如图,过O 分别作a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成角为60°,如图易知过O 与a′、b′所成角都为60°的直线有3条, 即与a,b 所成角都为60°的直线有3条．[引申1]本例(2)中MN 与BD 所成角的余弦值为_73__. [解析] 取CD 的中点H,连DN,NH,MH,则NH ∥BD,∠HNM 为异面直线MN 与BD 所成的角,由题意知AN ＝22,从而MN ＝7,又NH ＝32＝MH,∴cos ∠HNM ＝12MN NH ＝73.[引申2]本例(3)中与异面直线a 、b 所成角都为75°的直线有_4__条． 注：本例中,若直线与异面直线所成角都为θ,则 (1)0<θ<π6时,0条；(2)θ＝π6时,1条；(3)π6<θ<π3时,2条；(4)π3<θ<π2时,4条；(5)θ＝π2时,1条．名师点拨求异面直线所成角的方法1．平移法(1)一作：根据定义作平行线,作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形,求出所作的角．注：①为便于作出异面直线所成角,可用补形法,如将三棱柱补成四棱柱；②注意余弦定理的应用． 2．向量法建立空间直角坐标系,利用公式|cos θ|＝|m·n||m||n|求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角,则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角,则异面直线所成的角为该角的补角．〔变式训练3〕(1)(2021·山西运城调研)如图,等边△ABC 为圆锥的轴截面,D 为AB 的中点,E 为弧BC 的中点,则直线DE 与AC 所成角的余弦值为( C )A ．13 B ．12 C ．22D ．34(2)(2021·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥AC,AB ＝AC ＝AA 1,则直线A 1B 与AC 1所成角的大小为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] (1)取BC 的中点O,连接OE,OD,∵D 为AB 的中点, ∴OD ∥AC,∴∠EDO 即为DE 与AC 所成的角,由E 为BC ︵的中点得OE ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCE, ∴OE ⊥平面ABC,从而OE ⊥OD, 设正△ABC 的边长为2a,则OD ＝a ＝OE, ∴cos ∠EDO ＝cos π4＝22,故选C ．(2)解法一：(平移法)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,连接A 1C,A 1C∩AC 1＝O,则O 为A 1C 的中点,取BC 的中点H,连接OH,则OH ∥A 1B,∴∠AOH 或其补角即为直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝AC ＝AA 1＝1,则BC ＝2, 易得AO ＝AH ＝OH ＝22, ∴三角形AOH 是正三角形,∴∠AOH ＝60°,即异面直线所成角为60°.故选B ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设AB ＝1,A 1B 与AC 1所成角为θ,则A 1B →＝(1,0,－1),AC 1→＝(0,1,1), ∴cos θ＝|A 1B →·AC 1→||A 1B →|·|AC 1→|＝12×2＝12.∴θ＝60°,故选B ．名师讲坛·素养提升 空间几何体的截面问题例4 (原创)E 、F 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1、C 1D 1的中点,若AB ＝6,则过A 、E 、F 三点的截面的面积为_71532__.[解析] 作直线EF 分别与直线DC 、DD 1相交于P 、Q,连AP 交BC 于M,连AQ 交A 1D 1于N,连接NF 、ME. 则五边形AMEFN 即为过A 、E 、F 三点的截面． 由题意易知AP ＝AQ ＝117,PQ ＝92, ∴S △APQ ＝91532,又ME ∥AQ,且EM AQ ＝13,∴S △MPE ＝S △QNF ＝19S △APQ ,∴S AMEFN ＝79S △APQ ＝71532.名师点拨作出截面的关键是找到截线,作出截线的主要根据有： (1)确定平面的条件； (2)三线共点的条件； (3)面面平行的性质定理． 〔变式训练4〕(多选题)(2021·百师联盟联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( AD )A ．这两部分的表面积也相等B ．截面可以是三角形C ．截面可以是五边形D ．截面可以是正六边形[解析] 平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图)．故选AD ．。
高三理科数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题03 空间点、线、面的位置关系(解析版)
立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
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课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
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5
课
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(4)公理2的三个推论
主
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推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
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集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
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堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
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(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
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1.下列结论中正确的是 ( )
立体几何3直线与平面的位置关系(平行、垂直、异面)-高考数学专题复习
立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面）知识精要1、证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
3、证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。
4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.6、 异面直线间的距离 ：||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).7、点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习：1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2、对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ A ）()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量3空间点直线平面之间的位置关系练习含解析
空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理 1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.4．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A ．AB 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交C ．EF ∥CD D ．EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD ．(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD ．题型一 基本事实应用例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，连接D 1F ，CE ．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1． 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 教师备选如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ．求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ．∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1为α， 平面BDEF 为β． ∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中，错误的是( )A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案 C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP ．又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP ．连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt△C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6．方法二 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6．(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A ．222B ．53C ．1316D ．113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE ．又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1．∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝32．∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10． ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10． ∴在等腰△SCF 中，tan∠CSF ＝102－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322＝113． 教师备选1．(多选)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 答案 ABC2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22 答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5． 所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练2 (1)如图所示，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体中过M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C 1M ，CD 相交于点P ，直线C 1N ，CB 相交于点Q ，连接PQ 交直线AD 于点E ，交直线AB 于点F ，则五边形C 1MEFN 为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______． 答案π2解析 以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2．延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2． 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ． 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案 92解析 如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫222＝322， ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92． 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A ．截面形状可能为正三角形 B ．截面形状可能为正方形 C ．截面形状可能为正六边形 D ．截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ，C 正确，B 不正确，下面说明D 正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝62， 所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故D 正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A 1C 的棱长为1，点M 在棱A 1D 1上，A 1M ＝2MD 1，过M 的平面α与平面A 1BC 1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时，只需要ME ∥BC 1，如图所示，因为A 1M ＝2MD 1，故该截面与正方体的交点位于靠近D 1，A ，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE ，设正方体的棱长为3a ， 则ME ＝22a ，MI ＝2a ，IH ＝22a ，HG ＝2a ，FG ＝22a ，EF ＝2a ，所以截面MIHGFE 的周长为ME ＋EF ＋FG ＋GH ＋HI ＋IM ＝92a ， 又因为正方体A 1C 的棱长为1，即3a ＝1， 故截面多边形的周长为32．课时精练1．下列叙述错误的是( )A ．若P ∈α∩β，且α∩β＝l ，则P ∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案 C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案 A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ， 则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 ＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋2a2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ， 又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．6．(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1 图27．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 答案105解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D 或其补角，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5， 易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ， 因此cos∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105． 8．(2022·本溪模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案 ①②④解析 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·上海市静安区模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点．(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．解 (1)如图，设BB 1的中点为H ，连接HF ，EH ，A 1H ，因为F 是CC 1的中点，所以A 1D 1∥CB ∥HF ，A 1D 1＝CB ＝HF ， 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形， 所以D 1F ∥A 1H ，D 1F ＝A 1H ，因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角， 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是AB 的中点， 所以A 1E ＝A 1H ＝22＋12＝5，EH ＝12＋12＝2，由余弦定理可知，cos∠EA 1H ＝A 1E 2＋A 1H 2－EH 22A 1E ·A 1H ＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45．(2)因为A 1D 1∥HF ，HF ⊄平面A 1D 1E ，A 1D 1⊂平面A 1D 1E ， 所以HF ∥平面A 1D 1E ，因此点H ，F 到平面A 1D 1E 的距离相等， 即111111F A D E H A D E D A EH V V V －－－＝＝，11D A EH V －＝13D 1A 1·1A EH S △＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×2×1×2－12×1×1＝1，所以三棱锥A 1－D 1EF 的体积为1．10．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，M 为AB 上一点．(1)若D 1E 与CM 相交于点K ，求证D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点； (2)若AB ＝2，AA 1＝4，∠BAD ＝π3，求点D 1到平面FBD 的距离．(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K ， ∴K ∈D 1E ，K ∈CM ，而D 1E ⊂平面ADD 1A 1，CM ⊂平面ABCD ， 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴K ∈AD ，∴D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点K ． (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2， ∴BC ＝CD ＝2，而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD ， ∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3，∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×222－1＝7．设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V －－＝， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217．即点D1到平面FBD的距离为421 7．11．(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是( )A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图，连接MP ，AC ，因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，连接OD 1，ON ．因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ， 则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 正确．13．(2022·玉林模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是________．答案 π3解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则F 是A 1C 1的中点，又E 为A 1B 的中点，所以EF ∥BC 1，连接DC 1，则Q 是DC 1的中点，又P 为A 1D 的中点，所以PQ ∥A 1C 1，于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角．易知△A 1C 1B 是正三角形，所以∠A 1C 1B ＝π3． 14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，过P ，Q ，A 作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案 25＋95＋2133 解析 如图所示，过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ，由A 1P ＝CQ ＝2，tan∠APA 1＝2，则tan∠CMQ ＝2，CM ＝CQtan∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1， C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83， 因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133．15．(2022·大连模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是( )A ．点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ，因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等．由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故选项A 正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N ．连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝2．连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ．等腰梯形MEFN 的高h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332．又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ V －－V M －PAE －V N －CFQ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V －－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1 图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明 因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ，EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736．。
高考数学一轮复习---空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l 和平面α相交、直线l 和平面α平行统称为直线l 在平面α外，记作l ⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．三、考点解析考点一平面的基本性质及应用例、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．变式练习1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系例、(1)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b 和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)跟踪训练1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．课后作业1．若直线l 与平面α相交，则( )A ．平面α内存在直线与l 异面B ．平面α内存在唯一一条直线与l 平行C ．平面α内存在唯一一条直线与l 垂直D ．平面α内的直线与l 都相交2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直3．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设四棱锥P ABCD 的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个5．在空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF ，GH 相交于点P ，那么( )A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 内D ．点P 必在平面ABC 外6.如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．7．在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为侧棱PC ，PB 的中点，则EF 与平面P AD 的位置关系为________，平面AEF 与平面ABCD 的交线是________．8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论． ①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．9.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．10.如图所示，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？说明理由．。
立体几何3空间点、直线和平面之间的位置关系.
空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.知巩梳理"T"平面的基本性质名称内容图形衣示谄R表不作用公理1如果一条自线上的两点Ae/.be住一个/ILAG G,平而内•册么/〉《?■—/ B e U =>这条n纟戈在lUa此¥面内①判定直线住rifti A ；②判足点在平血内过不在—勒工线I-的三点・右-R只有一个平曲•B•C若A、”、「-：点不同住一条立线L.则A、”、「三点的定一个 fifiJa① a >iz平而；②ill：明点、线共而如果则个不重合的平向冇一个公典点•那么它们冇M貝仃一条过该点的公共宜线P W a • li "j =>a 「14 Z. H.He/①判定两亍半向是杏相交；©ill-明点在（!£线I .；③UF明三点、兵线* ①旺明三线共点S⑤iBlj两个相交平而的交线(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，则这两个角相等或者互补.(4) 两异面直线所成的角：两条异面直线a, b,经过空 间任一点0作直线a' 〃d,方'lib 、把o' , H 所成的锐角 (或直角)叫异面直线a, 〃所成的角(或夹角).心，Z 所成 的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异 两直裁的一条上；异,如果两条异面直线所成异面直线垂直，记作心 • 2 •空间直线(1)空间两直线的位置关系；相交直线：有且只有一个公共点; 平行直线：没有公共点：. .. (2)公理4： 空间中的直线4, b, C,如果4〃力，b//c.则0〃0问誠思考►问题1平面的基本性质（1）若点A在直线/上，直线/在平面G内，则点A在平面伉内；（）（2）—条直线与一个点确定一个平面；（）（3）三点确定一个平面；（）（4）两个相交平面只有有限个公共点.（）［答案］⑴对（2）错⑶错（4）错►问题2设平面仅与4UG直线比卩,则点M—定不在直线/上.（）［答案］错［解析1因为《rU=M, uUa, bup,所以』1/在《内，M在〃内.又因为平面a与平面/栩交于人所以M在/上.►问题4 若O4〃0iAi，0B〃0右且Z4O〃=60。
高考数学总复习第七章立体几何7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件
证明：(1)∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD. ∵在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD，∴EF∥GH. ∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线．
形中位线定理，得 OE∥PD，OE＝12PD＝12，则∠AEO 或其补角 是异面直线 AE 与 PD 所成的角．又△PAB 是等边三角形，所以
AE＝ 23AB＝ 23.易得 OA＝OB＝OC＝OD＝ 22，在△OAE 中，由 余弦定理，得 cos∠AEO＝AE2＋2AOEE·O2－E OA2＝ 33，即异面直线 AE
与
PD
所成角的余弦值为
3 3.
(2)(2019·佛山模拟)如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D 是
ACπ 的中点，AA1∶AB＝ 2∶1，则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 ___3__ .
解析：如图，取 A1C1 的中点 E，连接 B1E，ED，AE，易知 BD∥B1E.
在 Rt△AB1E 中，∠AB1E 为异面直线 AB1 与 BD 所成的角． 设 AB＝1，则 A1A＝ 2，AB1＝ 3，B1E＝ 23， 所以 cos∠AB1E＝BA1BE1＝12， 因此∠AB1E＝π3， 故异面直线 AB1 与 BD 所成的角为π3.
考点二 空间两直线的位置关系
(1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β
内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是( D )
A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
立体几何 第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 高考理科数学复习讲义 考情解读 考点通关
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考点全通关 4
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空间点、直线、平面之间的位置关系
3.公理3 (1)自然语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
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考点全通关 2
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.公理2 (1)自然语言:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(2)图形语言:如图8-3-2所示.
图8-3-2
(3)符号语言:A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α.
(4)作用:①确定一个平面的依据;②判断两个平面重合的依据;③证明点、线共面的依据.
考点全通关 10
空间点、直线、平面之间的位置关系
【说明】 直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l⊄α.
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高考复习讲义 考点全通关 11 考点四 两个平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
由公理2,结合初中所学的“两点确定一条直线”,易得以下推论:
推论1 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
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考点全通关 3
高考数学复习专题03立体几何空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略
空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略主标题：空间点、直线、平面之间的位置关系备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：点，直线，平面，备考策略难度：2重要程度：4内容考点一平面的基本性质及其应用【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形解析(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案(1)B (2)D【备考策略】(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④【备考策略】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．考点三异面直线所成的角【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积．(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°，∵BO ＝AB ·sin 30°＝1，∵PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan 60°＝3，∵底面菱形的面积S ＝2×34×22＝2 3. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2.(2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，PA ＝6，∴EF ＝62. 在正△ABD 和正△PDB 中，DF ＝DE ＝3，在△DEF 中，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－322×3×62＝6432＝24. 即异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为24. 【备考策略】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．。
高考数学一轮复习第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质公理101两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理202不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理303有且只有一条过04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面α05A∈α，点A不在平面α06A∉α.(2)点与直线的位置关系点A在直线l07A∈l，点A不在直线l08A∉l.(3)线面的位置关系：直线l在平面α09l⊂α，直线l不在平面α内记作10l⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a11α∩β＝a.(5)直线l与平面α相交于点A12l∩α＝A．(6)直线a与直线b相交于点A13a∩b＝A．3．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧14平行，15相交.异面直线：不同在16任何一个平面内的两条直线.(2)空间平行线的传递性公理4：平行于同一条直线的两条直线17互相平行.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角18相等或互补. (4)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的19锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：20(0°，90°].4．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系位置关系 图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平a ⊂α无数个面内平行α∥β0个平面与平面相交α∩β＝l 无数个1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个方法过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是() A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案 D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．2．已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A．3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D 不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定() A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C．5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．6. 如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线PD与直线AB所成的角的大小是________.答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB．所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以直线PD与直线AB所成的角为60°.考向一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直线CE与直线D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．1.证明点或线共面问题的两种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H 分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EF綊12BD，GH綊23BD.∴四边形FEGH为梯形，∴直线GE与直线HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．多角度探究突破考向二空间两条直线的位置关系角度1两条直线位置关系的判定例2(1) (2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案 B解析 如图，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB ，BD ，BE .∵点N 为正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且为BD 的中点．∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN2＋EF2＝2.∵M ，G 分别是ED ，DF 的中点，∴MG ∥EF ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG2＋BC2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋22＝52，∴BM ＝MG2＋BG2＝7.∴BM ≠EN .∵BM ，EN 都是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B ．(2)α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m ⊄α，n ⊂α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是( )A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交，可能异面垂直或相交垂直，但一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．答案②④解析①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；②④中直线GH与MN是异面直线．空间两条直线位置关系的判定方法2.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；当l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；当l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C．3. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.考向三异面直线所成的角例4(1) 如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角．∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ，∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B ．(2) (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．25C ．35D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A1B2＋BC21－A1C212×A1B×BC1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.求异面直线所成的角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法．平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三步曲：“一作、二证、三求”．①一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证：证明作出的角是异面直线所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角；④其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．4.已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°答案 D解析如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得，GF∥AB，且GF＝12AB＝1，GE∥CD，且GE＝12CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠FEG＝GFGE ＝12，可得∠FEG＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.5．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是________.答案60°解析如图所示，连接A1B，可知A1B∥E1D，∴∠A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角．连接A1C1，可求得A1C1＝C1B＝BA1＝3，∴∠A1BC1＝60°，即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60°.巧用方法求异面直线所成的角 (2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．15B．56C．55D．22答案 C解析 解法一：如图，补上一相同的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.易知AD 1∥DE 1，则∠B 1DE 1为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，所以DE 1＝DE2＋EE21＝ 错误!＝2，DB 1＝错误!＝错误!，B 1E 1＝错误!＝错误!＝错误!，在△B 1DE 1中，由余弦定理，得cos ∠B 1DE 1＝错误!＝错误!，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为错误!，故选C ．解法二：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，所以AD 1＝AD2＋DD21＝2，DM ＝AD2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB2＋AD2＋BB21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C ．解法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD1→＝(－1，0，3)，DB1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos〈AD1→，DB1→〉＝AD1→·DB1→|AD1→||DB1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C ．答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．32B ．155C ．105D ．33答案 C解析 解法一：如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，故选C ．解法二：如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在Rt △MQP 中，MP ＝MQ2＋PQ2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN2＋NP2－PM22MN·NP＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C ．解法三：作BH ⊥AC ，H 为垂足．作B 1H 1⊥A 1C 1，H 1为垂足．以H 为坐标原点，HB→的方向为x 轴正方向，HC →的方向为y 轴的正方向，HH1→的方向为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．由已知可得BH ＝217，AH ＝577，CH ＝277，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－577，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫217，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫217，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，277，1，从而AB1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫217，577，1，BC1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－217，277，1，cos 〈AB1→，BC1→〉＝105.故选C ．一、单项选择题1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n ⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A ．m ⊥nB ．m ∥nC ．m 与n 相交D ．m 与n 异面答案 A解析 若β⊥α，m ⊥α，则直线m 与平面β的位置关系有两种：m ⊂β或m ∥β.当m ⊂β时，又n ⊥β，所以m ⊥n ；当m ∥β时，又n ⊥β，所以m ⊥n .故选A ．2．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.3. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A．15B．25C．35D．45答案 D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45. 则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.4. 如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M答案 D解析 ∵直线AB ⊂γ，M ∈直线AB ，∴M ∈γ.又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．故选D.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 答案 A解析 直线A 1B 与其外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．6．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) A ．存在唯一直线l ，使得l ⊥a ，且l ⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案 C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，D不正确．故选C．7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案 C解析A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS 共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C．8. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A ．25B ．35C ．45D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ，如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成的角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5， C 1E ＝13，EN ＝E1N2＋EE21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C1N2＋C1E2－EN22C1N·C1E ＝－35.所以异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.二、多项选择题9．(2020·山东菏泽一中模拟) 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则下列结论正确的是( )A．直线AM与C1C是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线MN与AC所成的角为60°答案CD解析结合图形，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，故A，B错误，C正确；直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故D正确．10. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案BD解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选BD.三、填空题11．(2019·天津模拟) 如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下说法：①直线MN⊂平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中说法正确的是________(把正确的序号都填上)．答案①②③解析依题意画出图形，如图所示，则M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR，故①正确；同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确；因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．12. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________.答案②③④解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)－DEF，如图：对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH 与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④.13．下列如图所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填所有满足条件图形的序号)．答案 ①②③解析 易知①③中，PS ∥QR ，所以四点共面；在②中，构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面；在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察，知点S 在平面α外，因此四点不共面．综上知，四个点共面的图形是①②③.14．已知在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线AB 与MN 所成的角为________.答案 60°或30°解析 如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为异面直线AB 与CD 所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN ＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN (或其补角)是异面直线AB 与MN 所成的角．①当∠MPN＝60°时，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即异面直线AB与MN所成的角为60°.②当∠MPN＝120°时，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上，异面直线AB与MN所成的角为60°或30°.15. 如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是⊙O1的直径，C 是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为7，则圆柱O1O2的高为________，异面直线AC与BD所成角的余弦值为________.答案237 14解析连接CD，则∠BCD＝90°，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD＝2.因为∠CBD＝30°，所以CD＝1，BC＝3，易知AB⊥BC，所以AC＝AB2＋BC2＝7，所以AB＝2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE＝2，∠CAE即为异面直线AC与BD所成的角．又CE＝DE2＋CD2＝5，所以cos∠CAE＝AC2＋AE2－CE22AC·AE＝7＋4－52×7×2＝3714.四、解答题16．已知在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．证明(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接EF，FG，GH，EH，EG，FH，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG，同理，EH∥FG，则四边形EFGH为平行四边形．又因为EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，则EG与FH相交．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1C，AB1，易知A1D∥B1C，从而∠B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即AC与A1D所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AC⊥BD，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.18. (2020·历城二中模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．解(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．∵CC1⊥BC，且侧棱长和底面边长均为2，∴四边形BCC1B1为正方形，∴∠BC1C＝45°，∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°.(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，∴可求得AD＝3，AO＝23AD＝233，A1O＝AA21－AO2＝26 3.∴＝S△ABC·A1O＝22，＝42 3.∴＝12＝223.。
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系的判断是高考的必考点，是为空间线面位置关系的证明打基础，必须熟练掌握.必须做到：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质面α，使a⊂2．等角定理(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)符号语言：如图(1)、(2)所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，,OA O A OB O B''''∥∥，则AOB AO B∠=∠'''或180AOB AO B∠+∠'''=︒.图(1) 图(2)二、空间两直线的位置关系1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：(1)从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线(2)从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角 (1)异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. (3)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 (1)直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行(2)平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．常用结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用(1)证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.(2)证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.(3)证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1(1)在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】(1)A (2)B【解析】(1)选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B 为公理2，选项C 为公理1，选项D 为公理3. 所以选A.(2)①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确； ②中，若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 有可能不共面，故②错误； ③中，如图所示正方体的棱中，a 、b 共面，a 、c 共面，而b 、c 异面，故③错误； ④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误. 故选B.1．下列叙述错误的是( )A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈lB ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面C ．三点A ，B ，C 确定一个平面D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l α2．如图，已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC BD ⊥.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略： (1)异面直线的判定方法：①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.典例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】A【解析】∵A 、M 、C 、C 1 四点不共面，∴直线AM 与CC 1 是异面直线，故①错误； 同理，直线AM 与BN 也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN 与MB 1 是异面直线，故③正确； 同理，直线AM 与DD 1 是异面直线，故④正确. 故选A ．3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n典例3 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点.问:(1)AM 和CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)AM 和CN 不是异面直线.理由如下： 如图,连接A 1C 1,AC ,MN ,∵M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点,∴MN ∥A 1C 1. 又A 1A C 1C ,∴A 1ACC 1为平行四边形, ∴A 1C 1∥AC ,∴MN ∥AC ,∴A ,M ,N ,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线. (2)D 1B 和CC 1是异面直线,理由如下:假设D 1B 与CC 1在同一个平面CC 1D 1内,则B ∈平面CC 1D 1,C ∈平面CC 1D 1, ∴BC ⊂平面CC 1D 1,这与ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体相矛盾, ∴假设不成立,故D 1B 和CC 1是异面直线.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别是棱111,C D C C 的中点.给出以下四个结论：①直线AM 与直线1C C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线1DD 异面； ④直线BN 与直线1MB 异面. 其中正确结论的序号为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45在GHA △中，1223,2,2222GH EF AH AE FG AG ===-=-==， 则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=， 故选A.【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是________.1．下列命题中，正确的是( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面2．下列说法中正确的个数是( )①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直.A．1 B．2C．3 D．43．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为( )A．B．D．3C．55．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，如果直线EF，GH交于点P，那么( )A．点P一定在直线AC上B．点P一定在直线BD上C．点P一定在平面ABC外D．点P一定在平面BCD内6．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 7．下列命题中，(1)若//OA ME ，//OB MF ，则AOB EMF ∠=∠；(2)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； (3)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥.其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个8．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，122AB BC BB ===，AC =直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD ==AD =CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为( )A ．B ．C D12．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB 与CD 所成的角的大小是_____________14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，点P 在线段11A C 上，若直线1BB 与直线CP 所成角的正切值为5，则平面PBD 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，3BAD π∠=，,E M 分别是BC ，1BB 的中点.(1)证明：点D 在平面1A ME 内；(2)已知N 在1CC 上，若1BN A E ⊥，求线段CN 的长.16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.(1)求三棱锥P BCD -的体积； (2)求异面直线EB 与PC 所成的角；1．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线3．【2018新课标全国Ⅱ理科】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BC D 4．【2017新课标全国Ⅱ理科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C D 5．【2016新课标全国Ⅰ理科】平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2B ．2C D ．136．【2017新课标全国Ⅲ理科】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝8．【2016上海理科】将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可． 【详解】选项A ，点P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内． 故选：C.2．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据中位线定理证明//EH BD ，//FG BD ，得到//EH FG ，即可证明四点共面； (2)根据矩形关系有EH GH ⊥，结合中位线关系//EH BD ， //AC GH ，即可证明. 【详解】 (1)在ABD ∆中，,E H 分别是,AB AD 的中点，//EH BD ∴.同理//FG BD ，则//EH FG ，故,,,E F G H 四点共面.(2)由(1)知//EH BD ，同理//AC GH .又∵四边形EFGH 是矩形，EH GH ∴⊥.故AC BD ⊥ 【点睛】此题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直. 3．【答案】D 【解析】 【分析】A. 利用空间两直线的位置关系判断；B.利用空间两平面的位置关系判断；C.若利用空间两平面的位置关系判断；D.由线面垂直的性质定理判断.【详解】A. 若//,//,m n αα则,m n 平行，相交或异面，故错误；B.若,,αγβγ⊥⊥则,αβ平行或相交，故错误；C.若//,//,m m αβ则,αβ平行或相交，故错误；D.若,,m n αα⊥⊥由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确； 故选：D. 4．【答案】③④ 【解析】 【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面直线，得到结论. 【详解】由于直线1C C 在平面11C CD D 上，而M ∈平面11C CD D ，A ∉平面11C CD D ， 直线AM 与直线1C C 异面，故①错；同理，直线AM 与直线BN 异面，故②错；直线AM 与直线1DD 异面，直线BN 与直线1MB 异面，故③④正确. 【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 5．【答案】60° 【解析】 【分析】则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，连接1111,,AB AD B D ，可得11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角，求出即可.【详解】1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，如图，连接1111,,AB AD B D ，可知在正方体中，1111AB A B C D ，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//BC AD ∴，1ABB 中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点，1//EF AB ∴，则11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角， 可知11AB D 是等比三角形，1160B AD ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.1．【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．2．【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点(如三棱锥的三个侧面)；故①错；②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；c a且c与b相交；过直线b，c作平面α；④记直线a，b为空间中两异面直线，则必存在直线c，使得//⊥，则l必分别垂直于直线a，b；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有若直线lα一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查3．【答案】B【解析】【分析】先证明三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行，再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行． 证明如下：已知：设三个平面为α，β，γ，且c αβ=，b αγ=，a βγ=；求证：a 、b 、c 交于一点，或////a b c ． 证明：(1)如图①，若c 与b 交于一点，则设c b P =；由P c ∈，且c β⊂，得P β∈； 又由P b ∈，b γ⊂，得P γ∈； P a βγ∴∈=；∴直线a ，b ，c 交于一点(即P 点)．图①； 图②(2)如图②，若//c b ，则由b γ⊂，且c γ⊂/，//c γ∴； 又由c β⊂，且a βγ=，//c a ∴；////a b c ∴．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间的直线的位置关系，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．【答案】B 【解析】 【分析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥，EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF ，所以MC ⊥平面DEF ，又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．【答案】A【解析】【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC 上．【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，且EF和GH能相交于点P，∴P在面ABC和面ADC的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．【答案】C【解析】【分析】利用直线的位置关系判断：A,B,D错误，利用等角定理判断C正确，【详解】对A ,若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对B ,若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对C ,若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；正确； 对D ,若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或异面或相交，错误 故选C 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 7．【答案】A 【解析】 【分析】(1)由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补； (2)由面面的位置关系可得//αβ或,αβ相交；(3)由线面的位置关系可得n β⊂或//n β或n 交β于一点. 【详解】(1)若//OA ME ，//OB MF ，由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补，故错误； (2)若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，由面面的位置关系得//αβ或,αβ相交，故错误； (3)若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊂或//n β或n 交β于一点，故错误；故选：A 【点睛】本题考查线面，面面的位置关系的判断，考查等角定理，考查分析推理能力，属于基础题. 8．【答案】C 【解析】 【分析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】∵11D E AF D E ====≠，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题． 10．【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE , BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，进而可得答案. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ， 则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，由已知可得BD DE BE ===BDE 为正三角形，所以60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 11．【答案】C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．【答案】1【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，∴EO∥CD，且EO1CD12==，FO∥AB，且FO1AB2==1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴πEOF3∠=，或2πEOF3∠=，当∠EOFπ3=时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3∠=时，EF==故答案为1【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题13．【答案】3π【解析】【分析】【详解】法一：如图因为AB ∥GH ，CD ∥FH ，所以GH 和FH 所成角即为AB 与CD 所成的角， 又因为△GHF 为等边三角形，故GH 和FH 所成角为3π，即AB 与CD 所成的角为3π． 法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图 可得AB 与CD 所成的角即为ED 与CD 所成角， 设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD DE EC ===由余弦定理可得2221cos 22CD DE EC CDE CD DE +-∠==-⨯⨯，故23CDE π∠=， 因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为3π． 14．【答案】2【解析】 【分析】作出截面PBD MNDB ⇒，根据直线1BB 与直线CP 所成的角的正切值求得MN 的长，求得截面等腰梯形MNDB 的高，由此求得截面面积. 【详解】如图，过P 作MN BD ∥，则11MN AC ⊥.直线1BB 与直线CP 所成的角为1PCC ∠，1111tan 5PC PC PCC CC ∠===，1PC =MN =MNDB是等腰梯形，BD =BM =MNDB =积为222=.【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题. 15．【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】 【分析】(1)根据题意，直线证明1//ME A D 即可得点D 在平面1A ME 内.(2)连接DE ，通过证明BN ⊥平面1A DEM 得BN ME ⊥，进而得MEB BNC ∠=∠，即可证明Rt Rt BEM BNC ≅△△，所以1CN =.【详解】(1)连接1A D ，1B C .11//A B DC 且11A B DC =∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//A D B C ∴又因为,E M 分别为BC ，1BB 中点，1//ME B C ∴1//ME A D ∴M ∴，E ，1A ，D 四点共面，。
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Q
1
D A 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相 交”的（ ）.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1.A 解析 由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ,有公共点，所以平面α和平面β相交．反过来，如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，可能与两平面的交线都平行.故选A.
题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ——暂无
1. (2013安徽理3） 在下列命题中，不是公理的是（ ）.
A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行
B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
题型91 截面问题——暂无
1. (2013安徽理15） 如图，正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为
线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①当1
0<<
2
CQ 时，S 为四边形 ②当1
2CQ =时，S 为等腰梯形
③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足11
3C R =
④当3
<<14
CQ 时，
S 为六边形
⑤当1CQ =时，S 的面积为
2
2.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器
Ⅱ的高均为32
cm
，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm
，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
11E G 的长分别为14
cm
和62
cm
． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为
12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分
的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分 的长度．
A
C A 1
1
容器Ⅰ
E G 1
H 1
容器Ⅱ
2.解析 （1）由正棱柱的定义，1
CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，
1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图
形．
因为AC
=40AM =，
所以
30MC ==，从而3
sin 4
MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，
故1112PQ =，从而11
116sin PQ AP
MAC
==∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm
．
问(1)
A
C 1A 1
C
M
P 1
Q 1
（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心． 由正棱台的定义，
1OO ⊥
平面EFGH ， 所以平面
11E EGG ⊥
平面EFGH ，
1O O EG ⊥．
同理，平面11
E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．
记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处． 过G 作11GK
E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．
因为 14EG =，1162E G =，所以16214
242
KG -=
=，
从而1GG =
40==．
设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 2
5
KGG KGG απ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
∠∠． 因为
2απ<<π，所以3cos 5
α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ
=，解得7
sin 25β=．
因为02βπ<<
，所以24
cos 25
β=， 于是()()sin sin
sin =NEG αβαβ=π--=+∠
sin cos cos sin αβαβ+424373
5255255
⎛⎫=
⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，
故22
12PQ =，从而22
220sin P Q EP NEG
=
=∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20
cm
．
问(2)
G O E Q 2
P 2
N
G 1
K
E 1
O 1
评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：
AC =40AM =，所以30CM =
=，1112PQ =，
所以由11AP A Q CM △△∽，
111PQ AP CM AM =，即1
123040
AP =，解得116AP =．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16
cm
．
题型92 异面直线的判定——暂无
1．（2015年广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5 1.解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等， 则正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为
A ，
B ，
C ，
D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点
E ，则点E 和
点
A ，
B ，
C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点
D 重合，要么点
E 和点D 关
于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ．。