高中数学空间向量的夹角说课课件人教版选修二
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高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1
的中点，求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值．
解析：方法一 ∵A→M＝A→A1＋A→1M，C→N＝C→B＋B→N，
栏
∴A→M·C→N＝(A→A1＋A→1M)·(C→B＋B→N)＝A→A1·B→N＝21.
目 链
|A→M|＝ （A→A1＋A→1M ）2＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
接
1＋14＝ 25.同理，|C→N|＝ 25.设直线 AM 与 CN 所成的角为 α.
则
cos
α＝|AA→→MM|··C|→C→NN|＝
1 2
25×
5＝25. 2
栏 目
链
∴直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为52.
接
规律方法：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向
向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0，π2 ，两向量的夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以 cos θ＝|cos α
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7
►变式训练
1．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面
ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别
是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小
是__________．
栏
目
链
接
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8
．解析：分别以 BA，BC，BB1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．
ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值
等于( )
栏
1
2
目
A.3
B. 3
链
接
3
2
C. 3
D.3
完整版ppt
课件_人教版数学高中二年级选修-节空间向量及其运算复习PPT课件_优秀版
共线定理、共面定理的应用
【训练 2】 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O， 若点 M 满足O→M＝1(O→A＋O→B＋O→C)．
3 (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
解 (1)由已知O→A＋O→B＋O→C＝3 O→M， ∴O→A －O→M＝ (O→M －O→B )＋(O→M －O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
空间向量的数量积及其应用
【例3】如图所示，已知空间四边形的ABCD各边和对角线的长都等
于a ，点M , N分别是AB,CD 的中点．
在空间中，具有 的量叫做(空1间)向求量，证其大：M小叫N做向量A的B长度；或模(．2)求 MN 的长；
a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ 探究三 空间向量的数量
(b33 )求异面直线AN与CM
2.空间向量中的有关定理
(1)共线（平行）向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存
在λ∈R，使 a＝ b . (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【例3】如图所示，已知空间四边形的 各边和对角线的长都等于 ，点 分别是 的中点．
（1）利用数量积解决问题的两种途径：
高中数学人教A版选修2-1课件：3-2-3 用向量方法求空间中的角
������1 ������· ������1 ������ |������1 ������||������1 ������|
=
9 , 25
9 故A1 B与B1 C的夹角的余弦值为 , 25
9 . 25
栏目 导引
即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
|������· ������| 或cos |������||������| 2 π 时,表示直线与平面垂 2
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
=
= .
1 7
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
设 CP=m(m>0), 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1), 所以������������ = (−1, −1,0), ������������1 = (0,0,1), ������������ = (−1,1, ������), ������������ = (−1,1,0). 因为������������ ·������������ = 0, ������������ ·������������1 = 0, 所以������������ 为平面BDD1B1 的一个法向量. 设 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 θ, 则 sin θ=cos 所以 cos θ= 因为 tan θ=
=
9 , 25
9 故A1 B与B1 C的夹角的余弦值为 , 25
9 . 25
栏目 导引
即异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
|������· ������| 或cos |������||������| 2 π 时,表示直线与平面垂 2
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
=
= .
1 7
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
栏目 导引
第一章 三角函数 典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
设 CP=m(m>0), 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1), 所以������������ = (−1, −1,0), ������������1 = (0,0,1), ������������ = (−1,1, ������), ������������ = (−1,1,0). 因为������������ ·������������ = 0, ������������ ·������������1 = 0, 所以������������ 为平面BDD1B1 的一个法向量. 设 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 θ, 则 sin θ=cos 所以 cos θ= 因为 tan θ=
3.2.3空间向量与空间角 课件(人教A版选修2-1)
【想一想】解答题2的关键点是什么？另外求解题2时易出现什 么错误？ 提示：(1)由于题中没有三线两两垂直的条件，因此无法直接 建立空间直角坐标系，而建立空间直角坐标系是解答的关键点， 因此需要首先寻找线面垂直与面面垂直，确定其中两条坐标轴， 再通过在面内作垂线得到第三条坐标轴. (2)在建立坐标系后，求点的坐标是易出错的步骤，会影响到 后面的向量的求法以及最后结果.
【思考】应用向量法求线面角的一般步骤有哪些？ 提示：(1)建立空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标； (2)求出直线的方向向量和平面内两个不共线的向量； (3)求平面的法向量； (4)根据直线的方向向量与平面的法向量求线面角.
求面面角
1.求二面角的方法
几何法
作角:在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面 内分别作垂直于棱的射线
步骤三
设二面角的平面角为θ，则|cosθ|=|cos<nl,n2>|
步骤四
根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ (或其三角函数值)
【典例训练】 1.设u=(1,1,0),v=(1,0,-1)分别是平面α、β的法向量，则平 面α与β的夹角为( ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)45°
【解析】1.选A.设CA=CC1=2CB=2，则A(2,0,0)，
B1(0,2,1)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，∴ AB=1 (-2,2,1), BC1 =(0,2,-1),所以直线BC1与直线AB1夹角θ的余弦值是
0 2 2 11
cos
3
5.
4 41 0 41 3 5 5
2.方法一：取BC中点E，连接EF1,D1F1,
2.如图所示，α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的 射影为A1，点B在直线l上的射影为B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=
高中数学人教A版选修2-1课件：3.2.3 用向量方法求空间中的角
|������· ������| 或cos |������||������| 2 π 时,表示直线与平面垂 2
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
∴|cos< ������1 ������, ������1 ������ > | = ∴异面直线 A1B 与
|(- 3,1,- 3)· ( 3,-1,- 3)| 7· 7 1 AO1 所成角的余弦值为 . 7
|������1 ������· ������1 ������| |������1 ������|· |������1 ������|
m 2+m2
=
2 m
Hale Waihona Puke = 3 2, 所以m= .
1 3
故当CP = CC1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值 为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思要充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,用向 量的有关知识求解线面角.求线面角的基本方法:在斜线 l 上取������������, 先求平面α 的法向量 u,再求 cos θ=
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4 的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
3.二面角 剖析:(1)二面角的取值范围是[0,π]. (2)二面角的向量求法: 利用向量求二面角的平面角有两种方法: ①几何法:若 AB,CD 分别在二面角 α-l-β 的两个半平面内,且是 与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量������������与������������的夹角(如 图①).
∴|cos< ������1 ������, ������1 ������ > | = ∴异面直线 A1B 与
|(- 3,1,- 3)· ( 3,-1,- 3)| 7· 7 1 AO1 所成角的余弦值为 . 7
|������1 ������· ������1 ������| |������1 ������|· |������1 ������|
m 2+m2
=
2 m
Hale Waihona Puke = 3 2, 所以m= .
1 3
故当CP = CC1 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角的正切值 为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思要充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,用向 量的有关知识求解线面角.求线面角的基本方法:在斜线 l 上取������������, 先求平面α 的法向量 u,再求 cos θ=
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4 的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
《用空间向量研究夹角问题》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
追问2：角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？
答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.
课堂探究
两相交平面所成角
问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？
答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向
量为n1,n2的夹角或其补角.
课堂探究
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面
π
所成角的范围: θ [0, ]
2
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：你能根据定义做出线面角吗？
答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平
面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平
4
2
4
2
2
2
2
1 1 1 1 1
2 8 4 8 2
而 ABC和ACD 都是正三角形，所以 MA CN
（回到图形问题）
2
所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为 .
3
B
D
M
C
CN MA
3
，所以， cos
2
CN MA
1
2
3
3
2
2
2
，
3
课堂探究
n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小.
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n
求直线和平面的夹角？
答案：因为 θ u,n
答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.
课堂探究
两相交平面所成角
问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？
答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向
量为n1,n2的夹角或其补角.
课堂探究
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面
π
所成角的范围: θ [0, ]
2
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：你能根据定义做出线面角吗？
答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平
面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平
4
2
4
2
2
2
2
1 1 1 1 1
2 8 4 8 2
而 ABC和ACD 都是正三角形，所以 MA CN
（回到图形问题）
2
所以，直线 AM 和 CN 夹角的余弦值为 .
3
B
D
M
C
CN MA
3
，所以， cos
2
CN MA
1
2
3
3
2
2
2
，
3
课堂探究
n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小.
课堂探究
直线与平面所成角
已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角.
追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n
求直线和平面的夹角？
答案：因为 θ u,n
高中数学 利用向量知识求空间中的角课件 新人教A选修2
如图所示，四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正 方形，SD⊥面 ABCD，SB＝ 3.求面 ASD 与面 BSC 所成二 面角的大小．
[解析] 以D为原点，DA、DC、DS为x轴、y轴、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 D(0,0,0) ， S(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1 ， 0) ， B(1,1,0) ． 可 求 出 平 面 ASD 的 一 个 法 向 量 n1 ＝ (0,1,0)．
②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一 个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结 PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的 平面角(或其补角)．
③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分 别交两个面的交线，构成二面角的平面角．
1．直线与平面的夹角 定义：平面外一条直线与它在该平面内的 投影 的 夹角 ，特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平 面的夹角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角 为. 2.用向量方法求空间中的角
D→N·E→F＝12， 3，12·(1,0，－1)＝0. 得D→M⊥A→B，D→N⊥E→F，∴DM⊥l，DN⊥l.
一、选择题
1．直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠ACB＝90°，D1，E1
分别为A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AE1
所成角的余弦值为
()
1 A.2
30 C. 10
*3.空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平 面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的 角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内 线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个 三角形中，通过解三角形求其大小．
高中数学空间向量的夹角说课课件人教版选修二
四、教学流程
3.知识运用
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？ (1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论.
四、教学流程
3.知识运用
练习一
A1 C1 B1 C B
A
探究•拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所 成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的 距离等其它空间夹角或距离的问题?
课题引入
例1
练习一
空间向量的夹角
夹角公式
域领用应 练习二
例2
一般方法 几何法、向量法 巩固作业
一般步骤
选自新课标人教版选修2-1第三章第一节 z
D1 A1
F E1 B1
C1
E
D B
C
y
A x
绥化七中高二数学组 赵忠杰
《空间向量的夹角》教学设计
一 教 材 分 析
二 教 学 目 标
三 方 法 手 段
四 教 学 流 程
一、教材分析
1.教材内容： 空间向量的夹角公式，用空间向 量求立体几何中异面直线的夹角。
D1 E
F B1
C1
C
B
四、教学流程
3.知识运用
鼓励学生选择不同的解题方法，提高学生
设 计 意 图
创新思维； 为学习能力不同的学生提供广阔的空间； 体现学生的主体地位，发展学生的个性；
逐步养成分工协作的能力，提高善于分析，
乐于探索的主动钻研精神.
四、教学流程
3.知识运用 值得注意的：
反 馈 评 价
求下列两个向量夹角的余弦值
人教版高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法——空间角问题(共20张PPT)
夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或
钝角，得出问题的结果．
小结
注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．
课堂训练与检测：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，
SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：
z
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，
S
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ，
⑶二面角B－B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
uuur uuur
ur uur n1, n2
ur uur nu1r •unur2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？
法向量法
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
uur
n2
uur
n1
uur
n1
l
l
cos
面PEH所成角的正弦值．
[题后感悟] 求直线与平面所成的角的方法与步骤 (1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法 向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量A→B； ③求平面的法向量 n；④计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··A|→A→BB||. (2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
钝角，得出问题的结果．
小结
注意： (1)用法向量法求二面角时，注意结合图形确定 二面角是钝二面角还有锐二面角（或利用“同 进同出，二面角等于法向量的夹角的补角，一 进一出，二面角等于法向量的夹角”） (2) 用方向向量法求二面角时，应先在二面角的 二个半平面内分别找（或作）出与棱垂直的两 直线，再利用直线方向向量计算； (3)保证计算过程的准确性，一失足，千古恨．
课堂训练与检测：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，
SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：
z
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，
S
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ，
⑶二面角B－B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
uuur uuur
ur uur n1, n2
ur uur nu1r •unur2 n1 n2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？
法向量法
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
uur
n2
uur
n1
uur
n1
l
l
cos
面PEH所成角的正弦值．
[题后感悟] 求直线与平面所成的角的方法与步骤 (1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法 向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为： ①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量A→B； ③求平面的法向量 n；④计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··A|→A→BB||. (2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三 角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其量课件新人教B版选修2
图3-2-24
第十七页，共62页。
【解】 取VB的中点为E， 连接AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角．
第十八页，共62页。
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝
3 2
a，AC＝
2 aC＝
图3-2-27
第三十六页，共62页。
【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？ (2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进而 利用公式求出二面角的正弦值？
第三十七页，共62页。
【自主解答】 (1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
＝
3 3.
【答案】
3 3
第六页，共62页。
教材整理2 二面角及其度量 阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．二面角的相关概念 (1)二面角及其平面角
半平面
平面内的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分 叫做半平面
都
从 一条直线出发的两个(liǎnɡ ɡè)所半组平成面的图形叫做二面角，
第二十四页，共62页。
因为cos<a，S→N>＝－3×1－2212＝－
2 2.
∴〈a，S→N〉＝34π.
所以SN与平面CMN所成的角为34π－π2＝π4.
第二十五页，共62页。
1．本题中直线的方向向量S→N与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ， 它们的关系是sin θ＝|cos〈S→N，a〉|.
二面角
第十七页，共62页。
【解】 取VB的中点为E， 连接AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角．
第十八页，共62页。
设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝
3 2
a，AC＝
2 aC＝
图3-2-27
第三十六页，共62页。
【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？ (2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进而 利用公式求出二面角的正弦值？
第三十七页，共62页。
【自主解答】 (1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点． 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
＝
3 3.
【答案】
3 3
第六页，共62页。
教材整理2 二面角及其度量 阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．二面角的相关概念 (1)二面角及其平面角
半平面
平面内的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分 叫做半平面
都
从 一条直线出发的两个(liǎnɡ ɡè)所半组平成面的图形叫做二面角，
第二十四页，共62页。
因为cos<a，S→N>＝－3×1－2212＝－
2 2.
∴〈a，S→N〉＝34π.
所以SN与平面CMN所成的角为34π－π2＝π4.
第二十五页，共62页。
1．本题中直线的方向向量S→N与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角θ， 它们的关系是sin θ＝|cos〈S→N，a〉|.
二面角
最新-2018高中数学 第3章322用向量方法求空间中的角课件 新人教A版选修2-1 精品
u·E→F＝0， (3)设平面 EFD 的法向量 u＝(x，y，z)，则u·E→D＝0，
12y＋z＝0，
即
－x＋12y＝0.
不妨令 x＝1，可得 u＝(1,2，－1)，由(2)可知，A→F为
平面
A1ED
的一个法向量，于是
co〈s u，A→F〉＝
→ u·AF
→
|u||AF|
＝23，从而
sin〈u，A→F〉＝
3．2.2 用向量方法求空间中的角
学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念． 2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹 角问题．
3.2.1
用 向 量 方 法 求 空 间 中 的 角
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
1．两条异面直线所成温的故角夯的基范围是_(_0_，__π2_] ． 2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个 平面内的_射__影___所成的角，其范围是_(_0_，__π2_] ． 3．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小， 其范围是_[_0_，__π_]_． 4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直 线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所 成的角为_3_0_°_.
有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的 中 点 M ， 连 结 C1M ， 证 明 ∠ C1AM 是 AC1 与 1的法 向量n＝(λ，x，y)求解．
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0， 2a)，C1(－ 23a，a2， 2a)， 法一：取 A1B1 的中点 M，则 M(0，a2， 2a)，
由于A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，A→M＝(0，a2， 2a)， ∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2，
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-2-4利用向量知识求空间中的角
[解析] (1)取 AB 中点 O，连接 CO，A1B ，A1O， ∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1 是正三角形， ∴A1O⊥AB， ∵CA＝CB，∴CO⊥AB， ∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面 COA1， ∴AB⊥A1C.
(2)由(1)知 OC⊥AB，OA1⊥AB， 又∵平面 ABC⊥平面 ABB1A1，平面 ABC∩平面 ABB1A1＝ AB，∴OC⊥平面 ABB1A1，∴OC⊥OA1， ∴OA，OC，OA1 两两相互垂直，以 O 为坐标原点，O→A的 方向为 x 轴正方向，|O→A|为单位长度，建立如图所示空间直角 坐标系 O－xyz，
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC＝1，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，则 N(1,0,1)．
∴B→D＝(－2,2,0)，A→D＝(0,2,0)，A→N＝(1,0,1)， 设平面 ADMN 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 则由nn··AA→→ND＝＝00 ，得yx＝＋0z＝0 ，取 x＝1，则 z＝－1， ∴n＝(1,0，－1)．
由题设知 A(1,0,0)，A1(0， 3，0)，C(0,0， 3)，B(－1， 0,0)，则B→C＝(1,0， 3)，B→B1＝A→A1＝(－1， 3，0)，A→1C＝(0， － 3， 3)，
设 n＝(x，y，z)是平面 CBB1C1 的法向量，
n·B→C＝0， 则n·B→B1＝0，
即x－＋x＋3z＝3y0＝，0，
[解析] 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系，设 AB＝1，A(0,0,0)，M(0,1，12)，Q(12， 12，0)，设 P(x,0,1)
∴A→M＝(0,1，12)，P→Q＝(12－x，12，－1) A→M·P→Q＝0×(12－x)＋1×12＋12×(－1)＝0， ∴A→M⊥P→Q，∴选 D.
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2.知识线索： 由平面向量的数量积公式、夹角公 式，到空间向量的坐标表示,空间向 量的数量积及空间向量的夹角，再 到异面直线所成的角，直线与平面 所成的角和平面与平面所成的角。
一、教材分析
3.问题框架：
由空间向量的夹角问题，转化为立 体几何中线线角、线面角、面面角 问题。
4.重组教材：
以空间向量计算为基础，以夹角为 主线把夹角公式分离出来，对线线 角、线面角、面面角及垂直问题重 新整合。
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
四、教学流程
2.建构数学
已知空间内两个非零向量， a ( x1，y1，z1)， b ( x2，y2，z2 )， a b a b cos a， b ， 从而有
cos<a， b>=
ab ab
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间 z 直角坐标系？
B1
B1
A1 E C1 F
B E
A1 x
F C1
y
B
四、教学流程
3.知识运用
设计 意图
通过用向量法解决空间角的问 题，抓住重点，突破难点，学 生从合作交流，探讨发现，自 我完善中体会数形结合的魅力， 体会“学数学用数学”、“学 会与会学”的关系。
四、教学流程
3.知识运用
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1 B1E1 = D1F1 = A1B1 ，求BE1与DF1所成角 4
的余弦值.
D1 A1 D A B F1 C1
E1 B1
C
四、教学流程
3.知识运用
D1 A1 D A B F1 E1 B1 C1
① 几何法
C
四、教学流程
3.知识运用
z
D1 A1 D A
F1 E1 B1
C1
① 几何法 ② 向量法
C B
y
质疑： 空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 x
区别？如何转化为本题的几何结论?
15 弦值为 17 .
cos < DF1,BE1 > = 15 17 cos < DF1,E1B> = - 15 17
本题的几何结论：异面直线BE1与DF1夹角的余
一、教材分析
5.重点难点： 重点 空间向量夹角公式及其坐标表示；选择恰当方
法求两异面直线的夹角.
难点
两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角 之间的区别；构建恰当的空间直角坐标系，并正确求 出点的坐标及向量的坐标.
关键
建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间
向量的坐标,将几何问题转化为代数问题.
二、教学目标
提高学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会“学数学用数学”、“学会与会学”的关系.
三、教学手段
教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价
学习方法：自主探索 类比猜想
观察发现 合作交流
教学手段：借助多媒体辅助教学
四、教学流程
1.创设情境 3.知识运用 以问题为载体 2.建构数学
4.小结作业
学生活动为主线
探索、类比、猜想、发现并获得新知
四、教学流程
1.创设情境
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， AE1=D1F1= AB , 求证 1 4
D1 A1
与
C1 B1
垂直.
F1
E
A
D B
C
四、教学流程
1.创设情境
问题1：如图，将E1点在AA1、A1B1上移动，若移至 A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
四、教学流程
四、教学流程
3.知识运用
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？ (1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论.
四、教学流程
3.知识运用
练习一
求下列两个向量夹角的余弦值
（1） a (2， 3，3)， b (10 ， ， 0) ， （2） a (1 ， 11) ，， b (101) ， ，.
四、教学流程
1.创设情境 2.建构数学
设计 意图
以问题为载体，以学生活动 为主线，学生经历了知识的 发生、发展和形成过程，提 高观察分析、类比转化的能 力；体现学生的主体地位。
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所 成角的余弦值.
D1 A1 B1 C1
① 几何法
② 向量法
D A B
C
M
四、教学流程
3.知识运用
例2.如图，在几何体B1-A1BC1中，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，BB1、BC1、BA1两两垂直且相等，求异 面直线B1E与A1F的夹角.
1.学情分析： 我班学生已掌握了平面向量、立体几何、 空间向量及运算等相关知识，初步具备了利用 代数方法解决空间几何问题的能力和空间想象 力，但处理线线角、线面角、面面角问题的能 力还有所欠缺，因此应用向量法解决立体问题 将是一个很好的途径。向量法不仅使一些问题 的解决变得简单，而且为研究问题带来了很大 方便。
选自新课标人教版选修2-1第三章第一节 z
D1 A1
F E1 B1
C1
E
D B
C
y
A x
绥化七中高二数学组 赵忠杰
《空间向量的夹角》教学设计
一 教 材 分 析
二 教 学 目 标
三 方 法 手 段
பைடு நூலகம்
四 教 学 流 程
一、教材分析
1.教材内容： 空间向量的夹角公式，用空间向 量求立体几何中异面直线的夹角。
二、教学目标
2.三维目标 知识与技能 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；
学生学会选择恰当的方法求异面直线的夹角.
过程与方法：
经历知识的发生、发展和形成过程，提高观察分析、 类比转化的能力； 学生通过用向量法解决空间角的问题，提高数形结合 能力和分析问题、解决问题的能力.
情感态度价值观：
D1 F1 B1 C1 A1 D1 F1 E1 C1
A1
B1
E A
D
B
C A
D B
C
四、教学流程
2.建构数学
平面内两个向量的夹角公式：
a ( x1，y1 )， b ( x 2，y2 )， 已知平面内两个非零向量，
cos<a， b>= a b a b x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2