2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词1.3.1且and1.3.2或or学案新人教A版

1.3.1 且 (and) 1.3.2 或 (or)学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.知识点一“且”思考观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.答案命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足. (3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.知识点二“或”思考观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.答案命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个.梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1 简单命题与复合命题的区分例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.解(1)是p∧q形式命题.其中p：向量有大小，q：向量有方向.(2)是p∨q形式命题.其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.(3)是p∨q形式命题.其中p：2>2，q：2＝2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题.答案p∧q命题角度2 用逻辑联结词构造新命题例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.反思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.(1)0≤2；(2)30是5的倍数，也是6的倍数.解(1)此命题为“p∨q”形式的命题，其中p：0<2；q：0＝2.(2)此命题为“p∧q”形式的命题，其中p：30是5的倍数；q：30是6的倍数.类型二“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；(2)p ：直线x ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切；q ：直线x ＝12与圆x 2＋y 2＝1相交.解 (1)∵p 真，q 假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假. (2)∵p 真，q 真，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真.反思与感悟 形如p ∨q ，p ∧q ，命题的真假根据真值表判定.如：跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题的真假. (1)p ：3是无理数，q ：π不是无理数； (2)p ：集合A ＝A ，q ：A ∪A ＝A ；(3)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实数根. 解 (1)∵p 真q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假. (2)∵p 真q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真. (3)∵p 假q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假. 类型三 已知复合命题的真假求参数范围例4 设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：关于x 的不等式3x－9x<a 对一切正实数均成立.(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 解 (1)若命题p 为真命题， 则ax 2－x ＋116a >0对x ∈R 恒成立.当a ＝0时，－x >0，不合题意；当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－14a 2<0，∴a >2.(2)令y ＝3x －9x ＝－(3x－12)2＋14.由x >0，得3x>1，∴y ＝3x－9x的值域为(－∞，0). 若命题q 为真命题，则a ≥0.由命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，得命题p ，q 一真一假. 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤2. ∴满足条件的a 的取值范围是{a |0≤a ≤2}.反思与感悟 解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p ，q ，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.跟踪训练4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围. 解 对于命题p ：由a 2x 2＋ax －2＝0， 得(ax ＋2)(ax －1)＝0， 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a，∵x ∈[－1，1]，故|－2a |≤1或|1a|≤1，即|a |≥1.∴p 为假时得|a |<1.对于命题q ：只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， 由Δ＝4a 2－8a ＝0，得a ＝0或a ＝2. ∴q 为假时得a ≠0且a ≠2.又命题“p 或q ”为假，即p 与q 都为假命题， ∴a 的取值范围是(－1，0)∪(0，1).1.已知命题p 、q ，若p 为真命题，则( ) A.p ∧q 必为真 B.p ∧q 必为假 C.p ∨q 必为真 D.p ∨q 必为假答案 C解析 p ∨q ，见真则真，故必有p ∨q 为真. 2.命题“xy ≠0”是指( ) A.x ≠0且y ≠0B.x ≠0或y ≠0C.x 、y 至少有一个不为0D.不都是0 答案 A解析 满足xy ≠0，即x ，y 两个都不为0，故选A.3.已知p ：函数y ＝sin x 的最小正周期为π2，q ：函数y ＝sin 2x 的图象关于直线x ＝π对称，则p ∧q 是________命题.(填“真”或“假”) 答案 假解析 据题命题p 为假命题，命题q 也是假命题，故p ∧q 是假命题.4.已知命题p ：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数；命题q ：函数g (x )＝x 2＋ax 在[1，2]上是增函数，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－2，12)解析 命题p ：由函数f (x )在R 上为减函数得2a －1<0，解得a <12，命题q ：由函数g (x )＝x 2＋ax 在[1，2]上是增函数， 得－a2≤1，解得a ≥－2.由p ∧q 为真得p 、q 都为真，故a 的取值范围为(－∞，12)∩[－2，＋∞)，即为[－2，12).5.已知命题p ：函数f (x )＝(x ＋m )(x ＋4)为偶函数；命题q ：方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围. 解 若命题p 为真，则由f (x )＝x 2＋(m ＋4)x ＋4m ，得m ＋4＝0，解得m ＝－4. 设g (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，若命题q 为真，则g (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3. 由p ∧q 为假，p ∨q 为真，得p 假q 真或p 真q 假. 若p 假q 真，则m <－3且m ≠－4； 若p 真q 假，则m 无解.所以m 的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论.2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p ∧q ”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p ∨q ”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.40分钟课时作业一、选择题1.“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 p ∧q 是真命题⇒p 是真命题，且q 是真命题⇒p ∨q 是真命题；p ∨q 是真命题⇏p ∧q 是真命题.2.p ：方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.a >0 B.a ≥0 C.a >1 D.a ≥1 答案 B解析 ∵方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根， ∴Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. ∵函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数， ∴a 2－a >0，解得a <0或a >1. ∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， ∴p ，q 中一真一假.①当p 真q 假时，得0≤a ≤1； ②当p 假q 真时，得a >1.由①②得，所求a 的取值范围是a ≥0.3.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sinB ”的充要条件，则( )A.p 真q 假B.p ∧q 为真C.p ∨q 为假D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真.4.命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在曲线y ＝－x 2上，则使“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( ) A.(0，－3) B.(1，2) C.(1，－1) D.(－1，1)答案 C解析 点(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2，解得P (1，－1)或P (－3，－9)，故选C.5.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称.则下列判断正确的是( )A.p为真B.q为真C.p且q为假D.p或q为真答案 C解析利用含逻辑联结词命题的真值表求解.p是假命题，q是假命题，因此只有C正确.6.给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.二、填空题7.命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题.(填“真”或“假”)答案假解析该命题是由命题p：“相似三角形的面积相等”和命题q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题.因为p是假命题，q也是假命题，所以p∨q是假命题.8.若命题p∨q为假命题，则命题“p∧q”是________命题.(填“真”或“假”)答案假解析因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题，故p∧q必为假命题.9.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________.答案(－1，2)解析当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1<x<3；当q 为真命题时，x －2<0，则x <2. 当p 且q 为真命题时，p 和q 均为真命题， 从而－1<x <2.10.设p ：关于x 的不等式a x>1的解集是{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p 和q 有且仅有一个为真，则a 的取值范围为______________. 答案 (0，12]∪[1，＋∞)解析 若p 真，则0<a <1， 若p 假，则a ≥1或a ≤0.若q 真，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0⇒a >12.若q 假，则a ≤12，又p 和q 有且仅有一个为真， ∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a ≥1，综上所述，a ∈(0，12]∪[1，＋∞).三、解答题11.判断下列复合命题的真假.(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.解 (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题. 12.设p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；q ：设a ＝(2x 2＋x ，－1)，b ＝(1，ax ＋2)，不等式a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.解 若p 为真命题，则ax 2－4x ＋a >0对x ∈R 都成立，则(－4)2－4a 2<0且a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，16－4a 2<0，解得a >2.若q 为真命题，则由a ·b >0对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，知2x 2＋x －(ax ＋2)>0，即a >2x －2x ＋1对任意x ∈(－∞，－1)恒成立，则a >(2x －2x＋1)max .令f (x )＝2x －2x＋1，可知f (x )在(－∞，－1)上是增函数，当x ＝－1时取得最大值，y max ＝1. 故a ≥1.又p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则等价于p ，q 中一个为真命题，另一个为假命题.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >2，a <1，无解；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥1，则1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为[1，2].13.已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数.命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立.如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围. 解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是0<c ≤12或c ≥1.。