2015-2016学年高中数学第3章 1同角三角函数的基本关系课时作业北师大版必修4

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第三章：三角恒等变形(学生版汇总)

[解](1)∵ ,且是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当是第一象限角时,
, ；
当是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若是第二象限角,且 ,求的值.
(2)若 ,求的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用求正切值.
二、填空题
5.若 ,则 ______.
6.若 ,则 ______.
7.若 ,且满足 ,则 ______.
8. 化简后的最简结果为______.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求的值；
(2)求的值.
10.若 ,求的值.
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第2课时同角三角函数的基本关系(2)
【预习导航】
∴当是第一或第四象限角时,
.
∴当是第二或第三象限角时,
.[规律技巧]在已知正切值求有关正弦、余弦的分式的值时,我们一般可对分式的每一项同时除以余弦或余弦的平方将题目中的正余弦均化为正切来处理.第(3)题中的非其次的问题则需要先求出余弦值.

高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二诱导公式及其应用考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —

2015届高考数学总复习第三章第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式课时精练试题文(含解析)

1．(2013²深圳一模)化简sin 2 013°的结果是( )A ．sin 33° B．cos 33° C．－sin 33° D．－cos 33°解析：sin 2 013°＝sin(360°³5＋213°)＝sin 213°＝sin (180°＋33°)＝－sin 33°.故选C.答案：C2．(2013²湖北省名校教学联合体联考)“sin α＝35”是“cos α＝45”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：sin α＝35⇒cos α＝±45，cos α＝45⇒sin α＝±35，故“sin α＝35”是“cos α＝45”的既不充分也不必要条件．答案：D3．(2012²衡阳八中月考)“α＝2k π－π4(k ∈Z )”是“tan α＝－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α＝2k π－π4(k ∈Z )，得tan α＝－1.而由tan α＝－1，得α＝k π－π4(k ∈Z )．故选A.答案：A4．(2013²开封模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(sin α－2cos α)x ＋1是偶函数，则sin αcos α＝( )A.25 B ．－25 C ．±25 D ．0解析：由函数f (x )为偶函数得sin α－2cos α＝0，所以tan α＝2，故sin αcos α＝sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan α1＋tan 2α＝25. 答案：A5．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝22，则sin α－cos α的值为( )A ．－ 2B ．－62 C. 2 D.62解析：由sin α＋cos α＝22，0＜22＜1，可得cos α＜0，故sin α－cos α＞0. (sin α＋cos α)2＝1＋2 sin αcos α＝12，则2sin αcos α＝－12；(sin α－cos α)2＝1－2 sin αcos α＝32，所以sin α－cos α＝62. 答案：D6．已知α∈R ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．－sin α D ．－cos α答案：C7．(2012²广东执信中学测试)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝__________.解析：由cos(π＋A )＝－12，得cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 答案：128.(2012²华南师大附中综合测试)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 011π3＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 011π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋π3＝－sin π3＝－32.答案：－329．化简：1＋2sin 20°cos 160°sin 160°－1－sin 220°＝______.答案：－1 10．(2013²郑州模拟)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于________．解析：由sin α－cos α＝2，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，因α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，34π，所以α－π4＝π2，即α＝34π，tan α＝－1.答案：－111．(2013²信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值．(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π²α－ππ－α的值．解析：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α²tan α－cos α＝sin αsin α²cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.12.若sin ()3π＋θ＝lg 1310，求cos ()π＋θcos θ[]cos ()π－θ－1＋cos ()θ－2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ()θ－π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解析：(法一)由sin ()3π＋θ＝lg 1310得－sin θ＝lg 10－13＝－13⇒sin θ＝13.于是cos ()π＋θcos θ[]cos ()π－θ－1＋cos ()θ－2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ()θ－π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝－cos θcos θ()－cos θ－1＋cos θcos θ()－cos θ＋cos θ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝18. (法二)原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos ()2π－θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ()π－θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋θ＝1cos θ＋1＋cos θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－θ()－cos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝1cos θ＋1＋cos θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θcos θ＋cos θ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝18.。

三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐

三角函数的定义专题关键词：三角函数的定义终边弧长公式扇形面积同角的基本关系学习目标：理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断（1）终边相同的角（2）对称关系的角（3）满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。

但既有联系，又有区别。

定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

《同角三角函数的基本关系》第1课时示范教学方案北师大新课标

第四章三角恒等变换4.1同角三角函数的基本关系第1课时同角三角函数的基本关系1．能根据三角函数定义，利用单位圆，推导出同角三角函数的基本关系．2．理解同角三角函数的基本关系．3．并能运用同角三角函数基本关系进行简单的求值．4．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算等核心素养．教学重点：同角三角函数基本关系的推导及应用．教学难点：已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值时符号的确定．PPT课件．一、导入新课问题1：阅读课本第137页，回答下列问题：（1）本章将要探究哪些问题？（2）本章要探究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设答案：（1）本章将要探究基本的三角恒等变换公式及其简单的应用，提高数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）三角恒等变换是研究三角函数性质的工具，求三角函数最值，三角恒等变换是常用方法之一，也是解三角形的工具之一．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．问题2：数学是美的，其中一个重要的原因在于数学中存在十分美妙的数量关系，如勾股定理反映了直角三角形的三边之间关系的美妙．若直角三角形斜边为1，锐角α的对边为sin α、邻边为cos α，在这个直角三角中，你能得出什么关系？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：如图，若直角三角形斜边为1，锐角α的对边为sin α、邻边为cos α，自然将有sin 2α＋cos 2α＝12，即sin 2α＋cos 2α＝1，另外还有tan α＝sin αcos α．设计意图：通过学生回顾、探究直角三角形的边角关系，引出本节课的研究主题–同角三角函数的基本关系（版书）．二、新知探究1．同角三角函数基本关系式问题1：观察单位圆，利用三角函数分析角α的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？师生活动：学生独立思考和交流后，举手回答．预设答案：sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α．设计意图：利用三角函数定义推导基本关系．知识点1：同角三角函数基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α，2k k Z παπ≠+∈（,）．问题2：同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π（k ∈Z ）成立．设计意图：让学生进一步理解同角三角函数的基本关系式．问题3：sin2α能写成sinα2吗？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2．设计意图：理解同角三角函数的基本关系式结构．问题4：“同角”的含义是什么？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．设计意图：帮助学生进一步理解同角三角函数的基本关系式．★资源名称：【知识点解析】同角三角函数的基本关系．★使用说明：本资源为《同角三角函数的基本关系》的知识解析，通过讲解相关概念，并结合具体例题，提高知识的应用能力．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．同角三角函数基本关系式的变形问题5：同角三角函数基本关系式的变形有哪些？师生活动：学生思考，写出公式变形，教师补充．预设答案：（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．（2）tanα＝sinαcosα的变形公式sinα＝cosαtanα；cosα＝sinαtanα．设计意图：进一步理解同角三角函数关系．问题6：已知4sin5α=，角的终边在第二象限，如何求cos,tanαα的值？师生活动：学生思考、求解．预设答案：34 cos,tan53αα=-=-．因为4sin5α=，角的终边在第二象限，所以3sin4 cos,tan5cos3αααα==-==-．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式及其变形．三、巩固练习例1已知12cos13α=-，求sin,tanαα的值．师生活动：学生分析解题思路，找学生板书解题过程．预设答案：①当α在第二象限，则sin0α>，5sin13α===，sin5tancos12ααα==-．②当α在第三象限，则sin0α<，5sin13α===-，sintan12cosααα==．方法总结：若已知sinα或cosα，求其它角的函数值，可以利用平方关系、和商数关系求解，注意角的范围．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式．例2已知tan(0)m mα=≠求sinα和cosα的值．师生活动：学生分析解题思路，教师书写解题过程．预设答案：因为22sin cos1αα+=，sintancosmααα==，αα所以|cos |α=若α在第一象限或第四象限，cos α=，sin α=⎪⎪⎩．若α在第二象限或第三象限，cos α=，sin α=⎪⎪⎩．综上所述：cos α=⎪⎪⎩，sin α=⎪⎪⎩．方法总结：（1）已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解．（2）当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式以及分类讨论思想．例3如图，点A ，B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与正半轴的交点是C ，点B 的坐标为43(,)55-，AOC α∠=，若||1AB =，求sin α的值．师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程．x预设答案：半径4||(1r OB ===，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cos α，sin α）． ∵点B 的坐标为43(,)55-，||1BC =，1=， ∴整理可得：-6sin α+8cos α=5，又22cos sin 1αα+=，解得3sin 10α-+=或3sin 10α--=，又∵点A 位于第一象限，∴，∴sin α=方法总结：利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视角Α范围，造成sin α、cos α漏解或多解的错误．设计意图：巩固三角函数的定义与同角三角函数的基本关系式的综合应用．【板书设计】四、归纳小结问题7：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳．（1）同角三角函数的基本关系的内容是什么？（2）已知三角函数值求其他三角函数值的方法是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设答案：（1）同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．（2）①若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α求得cos α的值，再由公式02πα<<tan α＝sin αcos α求得tan α的值．②若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确同角三角函数基本关系及其应用．布置作业：教科书第142页，A 组第1，2题．五、目标检测设计1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 2．已知cos θ＝45，且3π2<θ<2π，则1tan θ的值为( )A ．34B ．－34C ．43D ．－43设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 3．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于．设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 4．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°．求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况．【参考答案】 1．答案：B ．解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513．2．答案：D ．解析：由于cos θ＝45，且3π2<θ<2π．所以sin θ＝－＝－35，所以tan θ＝－34，故1tan θ＝－43．3．答案：－125．解析：因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝＝－125．4．解析：由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)，可得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin(90°＋α)cos(360°＋180°－α)＋cos(270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2．。

同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

专题17同角三角函数的基本关系和诱导公式5题型分类一、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=．（2）商数关系：sin tan ()cos 2k απααπα=≠+；【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．注：1、利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．2、“sin cos sin cos sin cos αααααα+-，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=（一）同角求值（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．（二）诱导求值与变形（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化（三）同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式(π（四）三角恒等式的证明三角恒等式的证明中涉及到同角三角函数基本关系，和角公式，差角公式，二角公式，辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键原式得证【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系证明三角函数恒等式,属于基础题.5-4．（2024高三·全国·专题练习）（1）求证：tan 2αsin 2α=tan 2α-sin 2α；（2）已知tan 2α=2tan 2β+1，求证：2sin 2α=sin 2β+1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）将22sin 1cos αα=-代入左式，化简即可得到右式.（2）将sin tan cos ααα=，sin tan cos βββ=代入条件，通分化简得到2212cos cos αβ=，即2cos 2α=cos 2β，然后由22sin cos 1αα+=，将余弦化成正弦即可证得结论.【详解】解析：（1）tan 2αsin 2α=tan 2α（1-cos 2α）=tan 2α-tan 2αcos 2α=tan 2α-sin 2α，则原等式得证.（2）因为tan 2α=2tan 2β+1，所以22sin cos αα+1=222sin 1cos ββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2212cos cos αβ=，从而2cos 2α=cos 2β，于是2-2sin 2α=1-sin 2β，也即2sin 2α=sin 2β+1，则原等式得证.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知2cos tan sin 5xx x =+，则cos2x =（）A ．13B ．79C ．23D ．59【答案】B【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于sin x 的方程，再利用倍角公式即可得解.【详解】因为2cos tan sin 5x x x =+，又sin tan cos xx x=，所以sin 2cos cos sin 5x xx x =+，则222cos sin 5sin x x x =+，即2222sin sin 5sin x x x -=+，则23sin 5sin 20x x +-=，即()()3sin 1sin 20x x -+=，所以1sin 3x =或sin 2x =-（舍去），所以217cos212sin 1299x x =-=-⨯=.故选：B.2．（2024·四川巴中·模拟预测）勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案（如图所示），若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为917，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为（）A ．217B C ．217D 【答案】D【分析】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然可得π04θ<<，即可得到cos sin 0θθ>>，从而求出sin θ.【详解】设正方形的边长1，较小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos sin θθ-，由题意可得29(cos sin )17θθ-=，显然π04θ<<，所以cos sin 0θθ>>，所以cos sin 17θθ-=，又229cos sin 2cos sin 17θθθθ+-=，所以2cos si 8n 17θθ=，所以22225(cos sin )cos sin 2cos sin 17θθθθθθ+==++，所以cos sin 17θθ+=，所以sin 17θ=.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知2π2cos 53θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则19π13π2sin cos 105θθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．23-D ．23【答案】A【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】令25m πθ=-，则22,cos 53m m πθ=+=，从而19π13π19π2π2π13π2sin cos 2sin cos 10510555m m θθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦3π2sin cos(3π)3cos 22m m m ⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭.故选：A.4．（2024·山西·模拟预测）已知α为锐角，且cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．2B．CD．2【答案】D【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭由诱导公式得ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππcos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以πsin π33tan π32cos 3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D5．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知角α为钝角，且角(02π)θθ<<终边上有一点()sin ,cos P αα-，则角θ=（）A ．πα+B ．π2α+C ．2πα-D ．3π2α-【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式及三角函数的定义即可求解.【详解】点()sin ,cos P αα-，由诱导公式可化为ππcos ,sin 22P αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由三角函数的定义知，π2π2k θα=++，又因为α为钝角，02πθ<<，所以π2θα=+.故选:B.6．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，在()1,3P 在角α终边上，则()()()3333sin πcos ππsin cos 2αααα++-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为（）A ．1327B ．1427C ．1427-D ．1413【答案】B【分析】根据三角函数的定义求角α的三角函数值，再利用诱导公式化简求值.【详解】因为点()1,3P 在角α终边上，则1x =，3y =，所以tan 3yxα==,()()()333333333sin πcos πsin cos 1114π227sin sin 2tan sin cos 2ααααααααα++---==+⎛⎫----- ⎪⎝⎭.故选：B7．（2024高三上·四川成都·期中）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边与23π角的终边相同，则sin()cos(2)3sin()2παπαπα+--=+()A1B1C．1D．1-【答案】C【分析】利用三角函数定义求得tan α=，再利用诱导公式化简即可.【详解】由题意得2tan tanπ3α==sin(π)cos(2π)sin cos sin cos sin cos tan 113ππcos cos sin()sin 22ααααααααααααα+------+====+=+-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，故选：C.8．（2024·全国·模拟预测）已知直线:2310l x y +-=的倾斜角为θ，则()πsin πsin 2θθ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭（）A ．613B ．613-C ．25D ．25-【答案】A【分析】根据直线一般方程可求得2tan 3θ=-，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果.【详解】由直线l 的方程为2310x y +-=，得斜率2tan 3k θ==-，则()πsin cos sin πsin sin cos 21θθθθθθ-⋅⎛⎫-⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭22222sin cos tan 63sin cos tan 113213θθθθθθ-⋅-====++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；故选：A ．9．（2024·陕西宝鸡·一模）已知4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34-B ．34C ．45-D ．45【答案】C【分析】先利用诱导公式对已知条件化简得ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再利用同角三角函数基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭；最后利用二倍角公式即可求解.【详解】4π3πππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由4ππsin 2sin 36αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得：ππcos 2sin 66αα⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以2ππππ4sin 22sin cos 4sin 36665αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.10．（2024·全国·模拟预测）已知(ππtan cos 3cos 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）AB．2C ．12-D ．1-【答案】B 【分析】由诱导公式和同角三角函数关系得到(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正切和角公式得到方程，求出tan 1α=，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.【详解】因为ππππcos sin sin 4244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(ππtan cos 3sin 44ααα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故(πtan 3tan 4αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为πtan tanπtan 14tan π41tan 1tan tan 4ααααα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-，所以(tan 1tan 31tan ααα+=--，故)(2tan 21tan 30αα-+-=，解得tan 1α=，所以)()2222222211cos sin 1tan cos2cos sin 1tan 11ααααααα---=====+++-故选：B ．11．（2024·全国·模拟预测）已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=，过点()3,2P ，作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，则tan ACB ∠=（）A ．43-B ．43C ．12-D ．34【答案】A【分析】设切线的方程为2(3)y k x -=-，求得圆心C到切线的距离1d ==，求得k 的值，得到4tan 3APB ∠=，结合180APB ACB ∠+∠=︒，即可求解.【详解】由题意知，圆22:(1)(1)1C x y -+-=的圆心为(1,1)C ，半径1r =，且切线PA ，PB 的斜率都存在，设切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，因为直线与圆相切，所以圆心C到切线的距离1d =，解得10k =或2k =43，所以4tan 3APB ∠=，在四边形APBC 中，因为90APC ABC ∠=∠= ，可得180APB ACB ∠+∠=︒，所以4tan tan(180)tan 3ACB APB APB ∠=-∠=-∠=-.故选：A ．12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．12C ．12-D ．25-【答案】D【分析】利用诱导公式，平方关系和商关系即可求解.【详解】3πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ=-=-=-++.故选：D13．（2024·陕西西安·二模）已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【答案】A 【分析】因为7πππ1052αα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由诱导公式可得选项.【详解】7ππππ5sin sin cos 1052513ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C 【分析】根据5πππ623αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，借助于诱导公式，即可求得结果．【详解】5πππcos cos 623αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭45=-，5πcos 6α⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值为45-，故选：C15．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若1sin 3A =，则()sin 6A π-的值为（）A ．13B ．13-C．3-D．3【答案】B【分析】本题考查诱导公式的基础运用，套用公式即可.【详解】利用诱导公式可得()()1sin 6sin sin 3A A A π-=-=-=-，故选：B.16．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）若()1sin 2πα+=-，则cos α的值为（）A ．12±B ．12CD．【答案】D【分析】先化简已知得1sin =2α，再求cos α的值.【详解】由()1sin 2πα+=-得1sin =2α，所以α在第一、二象限，所以cos =2α=±.故选：D.17．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知πsin sin 2θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A．B ．1-C ．1D【答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tan θ的值.【详解】因为πsin sin sin cos 2θθθθ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.18．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．4925【答案】C【分析】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sin cos αα的值，结合α的范围确定sin α与cos α的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值.【详解】因为1sin cos 5αα+=，两边平方得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，故242sin cos 025αα=-<，所以sin α与cos α导号，又因为0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-====.故选：C.19．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，且满足sin cos 5θθ-=，则tan θ=（）A ．2B ．1C ．3D ．12【答案】A【分析】利用平方关系可求得42sin cos 5θθ=，可解得29(sin cos )5θθ+=，再结合θ是三角形的一个内角即可得sin ,cos θθ==tan 2θ=.【详解】将sin cos θθ-=两边同时平方可得112sin cos 5θθ-=，即42sin cos 5θθ=；所以29(sin cos )12sin cos 5θθθθ+=+=若sin +cos θθ=，解得sin θθ==，这与θ是三角形的一个内角矛盾，所以sin +cos θθ=，解得sin θθ==，此时求得tan 2θ=.故选：A.20．（2024高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，若4sin 5α=，则cos β=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】B【分析】根据题意利用任意角的三角函数的定义，结合诱导公式可求得结果.【详解】因为平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称，所以ππ,Z 24k k αβ+=+∈，即π2π,Z 2k k αβ+=+∈，所以π2π,Z 2k k βα=-+∈，因为4sin 5α=，所以π4cos cos 2πsin (Z)25k k βαα⎛⎫=-+==∈ ⎪⎝⎭，故选：B21．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知(),0,a βπ∈，则“tan tan 1αβ=”是“2a πβ+=”的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【答案】D【分析】根据诱导公式的逆运用以及由三角函数的概念即可判断其充分性，由2a πβ+=代入tan α化简计算即可判断其必要性，从而得出结论.【详解】若tan tan 1αβ=，则1tan ta 2n tan παββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()2k k παπβ=+-∈Z ，即()2k k παβπ+=+∈Z ．又()0,2αβπ+∈，故0k =或1k =，充分性不成立；若2παβ+=，即2παβ=-，所以1tan tan 2tan παββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以tan tan 1αβ=，所以必要性成立．故选：D ．22．（2024·陕西榆林·二模）已知π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πc 23os +α⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．2325-B ．2325C ．2425-D ．2425【答案】C【分析】利用诱导公式和倍角公式化简求值.【详解】7ππππcos cos sin 1212212ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π7π1cos cos 12125αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有ππ1cos sin 12125αα⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边平方得π11sin 2625α⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则π24sin 2625α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故2ππππ24cos 2+=cos 2+=sin 2=225366ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.23．（2024高三上·北京海淀·阶段练习）已知α为第二象限的角，且3cos 5α=-，则()sin πα-的值为（）A ．45B ．45-C ．35-D ．35【答案】A【分析】先根据平方关系求出sin α，再利用诱导公式即可得解.【详解】因为α为第二象限的角，且3cos 5α=-，所以4sin 5α=，所以()4sin πsin 5αα-==.故选：A.24．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知π02α<<，且π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．4B ．14-C ．4D ．14【答案】C【分析】根据角的范围及正弦值求出余弦值，进而利用诱导求出答案.【详解】因为π02α<<，所以ππ36π3α-<-<，又π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πcos 3α⎛⎫-== ⎪⎝⎭45πππππs 62in c 3sin cos os 33αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C25．（2024·全国·模拟预测）已知π1tan 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()33sin 2cos sin πθθθ+=+（）A ．35B ．56C ．56-D ．35-【答案】D【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得.【详解】由题意得πsin cos 12πsin 2cos 2θθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=-，故()()33333322sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin πsin sin sin cos θθθθθθθθθθθ+++==-+-+333323sin 2cos tan 2823sin sin cos tan tan 825θθθθθθθθ++-+=-=-=-=-++--.故选：D.26．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）若π2αβ+=sin αβ+=tan α=（）A．2BC ．1D【答案】B【分析】由诱导公式可得出sin cos βα=，根据已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得tan α的值.【详解】因为π2αβ+=，则π2βα=-，πsin sin cos 2αβαααα⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭联立22cos sin cos 1αααα+=+=⎪⎩sin cos αα⎧=⎨⎪=⎪⎩因此，sin tan cos 3ααα==故选：B.27．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知角α的终边过点()1,3，则πcos(π)cos()2αα-++的值是（）A．B．C．D【答案】A【分析】利用三角函数定义，结合诱导公式计算得解.【详解】由角α的终边过点()1,3，得r =，31sin r r αα====，所以πcos(π)cos()cos sin 210105αααα-++=--=--=-.故选：A28．（2024高三上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()4,3P -，则()3πsin 2cos π22αα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．1425-B ．1425C ．1725-D ．1725【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义可得sin α，再利用诱导公式、二倍角公式运算求解.【详解】由题意得，5OP ==，则3sin 5α=-，则()3πsin 2cos π2cos 2cos 22cos 22ααααα⎛⎫++-=--=- ⎪⎝⎭()22314212sin 212525α⎡⎤⎛⎫=--=-⨯-⨯-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．故选：A ．29．（2024高三上·安徽·期中）已知()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，则tan θ=（）A ．B ．C D 【答案】B【分析】由三角函数的定义可得sin ,cos θθ，进而由商数关系可求tan θ.【详解】因为()sin ,cos P θθ是角π3-的终边上一点，所以π1πcos sin ,sin cos 3232θθ⎛⎫⎛⎫-==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin tan cos 3θθθ==，故选：B.30．（2024高三上·安徽·期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,4P -，则()cos 2cos 2πθπθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】根据终边上的点可求得：sinθ=cos θ=，再结合三角函数诱导公式从而求解.【详解】因为：r OP ==（O 为坐标原点），所以:由三角函数的定义，得sin θ==cos θ==所以：()cos 2cos sin 2cos 02πθπθθθ⎛⎫--+=+= ⎪⎝⎭.故C 项正确.故选：C.31．（2024高一上·江苏常州·阶段练习）若π1cos()63α+=，则5π5πcos()sin()63αα--+=（）A ．0B ．23C．13+D．13-【答案】A【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题，令π6t α+=，则15ππsin ,ππ366t t αα⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，5π3ππ3π3262t αα+=++=+，所以5π5πcos()sin()63αα--+3π=cos(π)sin()2t t --+cos cos 0t t =-+=.故选：A32．（2024高三上·重庆永川·期中）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos cos 22π4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．35-C ．3D ．53【答案】B【分析】由条件π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭化简求得tan 3θ=，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果.【详解】由π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=--，又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=，()()22πcos cos2sin cos sin2sin cos sinπsin cos4θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎪-⎝⎭∴==-+⎛⎫+⎪⎝⎭2222222sin cos sin tan tan333sin cos tan1315θθθθθθθθ---====-+++.故选：B.33．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）下列化简正确的是（）A．()tanπ1tan1+=-B．()()sincostan360ααα-=-C．()()sinπtancosπααα-=+D．()()()cosπtanπ1sin2πααα---=-【答案】B【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.【详解】对于A，由诱导公式得，()tanπ1tan1+=，故A错误；对于B，()()sin sin sincossintantan360cos aααααααα--===-- ，故B正确；对于C，()()sinπsintancosπcosααααα-==-+-，故C错误；对于D，()()()()()sincoscosπtanπcos tan cos1sin2πsin sinαααααααααα⋅----==-=---，故D错误.故选：B.二、多选题34．（2024·辽宁·模拟预测）设α为第一象限角,π1cos83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,则（）A．5π1sin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭B．7π1cos83α⎛⎫+=-⎪⎝⎭C．13πsin83α⎛⎫-=-⎪⎝⎭D．πtan8α⎛⎫-=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】首先由题意得π8α-是第一象限角,所以πsin 83α⎛⎫-=⎪⎝⎭,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.【详解】由题意得π2π2π,Z 2k k k α<<+∈,则ππ3π2π2π,Z 888k k k α-<-<+∈,若π8α-在第四象限,则ππ1cos cos 8423α⎛⎫->=⎪⎝⎭,所以π8α-也是第一象限角,即πsin 8α⎛⎫-=⎪⎝⎭5πππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A 项错误;7πππ1cos cos πcos 8883ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 项正确;13π3ππππ1sin sin cos cos 828883αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C 项错误;πsin ππ8tan tan 2π88cos 8αααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=-=- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭项正确.故选:BD.35．（江苏省宜兴中学、泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一上学期12月联合质量检测数学试卷）质点P 和Q 在以坐标原点O 1的圆O 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P 的角速度大小为2rad /s ，起点为圆O 与x 轴正半轴的交点，Q 的角速度大小为5rad /s ，起点为角π3-的终边与圆O 的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（）A ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5π5πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】由题意列出重合时刻t 的表达式，进而可得Q 点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】点Q 的初始位置1Q ，锐角1π3Q OP ∠=，设t 时刻两点重合，则π522π(N)3t t k k -∈=+，即π2π(N)93k t k +∈=，此时点ππcos 5,sin 533Q t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2π10π2π10πcos ,sin 9393k k Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(N)k ∈，当0k =时，2π2πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；当1k =时，32π32πcos ,sin 99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即5π5πcos ,sin 99Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当2k =时，9,62π62πcos sin 9Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即ππcos ,sin 99Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B 错误，故选：ACD.36．（2024高一下·河南焦作·阶段练习）已知角,A B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（）A ．()sin sinBC A +=B ．sin cos 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()cos cos A B C +<D ．sin cos A B<【答案】ABC【分析】根据三角形内角和及诱导公式，三角函数单调性一一判定选项即可.【详解】由题易知()()πsin sin πsin 2A B C A B C B C A A π⎛⎫++=<⇒+=-= ⎪⎝⎭、、，πsin sin cos 222A B C C +-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos cos πcos 0cos A B C C C +=-=-<<，即A 、B 、C 结论成立.对于D ，由锐角三角形知，2A B π+>，得ππ022B A <-<<，因此πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以错误.故选：ABC37．（2024高一下·河北沧州·阶段练习）在△ABC 中，下列关系式恒成立的有（）A ．()sin sin ABC +=B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=【答案】ABC【分析】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】对于A 中，由()()sin sin sin A B C C π+=-=，所以A 正确；对于B 中由cos cos sin 2222A B C C π+⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，由()()()sin 22sin2sin 2sin2sin 2sin2A B C A B C C Cπ⎡⎤⎡⎤++=++=-+⎣⎦⎣⎦()sin 22sin2sin2sin20C C C C π=-+=-+=，所以C 正确；对于D 中，()cos(22)cos2cos 2cos2cos[2()]cos2A B C A B C C Cπ⎡⎤++=++=-+⎣⎦()cos 22cos2cos2cos22cos2C C C C C π=-+=+=，所以D 错误．故选：ABC.38．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论正确的有（）A ．sin cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()22sin 15cos 751αα-++=D ．()()22sin 15sin 751αα-++=【答案】ABD【解析】本题可通过诱导公式将sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转化为cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，A 正确，然后通过诱导公式将5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭转化为2sin 3πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B 正确，最后根据()()sin 15cos 75 αα-=+以及同角三角函数关系判断出C 错误以及D 正确.【详解】A 项：sin sin cos cos 63332πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 正确；B 项：因为522cos sin sin sin 6333ππππθθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；C 项：因为()()()sin 15sin 75cos 752πααα⎡⎤-=-+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()()222sin 15cos 752cos 751ααα-++=+≠，C 错误；D 项：()()()()2222sin 15sin 75cos 75sin 751αααα-++=+++=，D 正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭、()cos cos αα=-、sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22cos sin 1αα+=等，考查化归与转化思想，是中档题.39．（2024高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）A ．cos 1sin 1sin cos x xx x-=+B ．221sin 12tan sin cos tan x x x x x++=C ．()()sin 53cos 37x x -=+D ．()()sin 60cos 480x x -=+【答案】ABC【分析】对于A 、B ，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C 、D ，由诱导公式进行化简证明即可.【详解】对于A ，()()()()()22cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x----====++--，故A 正确；对于B ，()2222222sin cos sin 1sin cos 2sin 12tan sin cos sin cos sin cos tan x x x x x x x x x x x x x x+++++===，故B 正确；对于C ，()()()sin 53sin 9037=cos 37x x x ⎡⎤-=-++⎣⎦，故C 正确；对于D ，()()()()cos 480=cos 0=cos 18060=cos 0126x x x x -⎡⎤++---⎣⎦，故D 错误.故选：ABC.三、填空题40．（2024·全国）若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=．【答案】5-【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得sin θ=或sin θ=（舍去），所以sin cos sin 2sin sin -=-=-=-θθθθθ故答案为：5-.41．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知tan α=-2απ<<π，那么sin cos 1αα=+.【分析】由同角三角函数关系及已知条件求得1sin 33αα==-，代入目标式求值即可.【详解】由tan α=-2απ<<π，则1sin 33αα==-，所以sin cos 1αα=+.42．（2024高三·全国·对口高考）若sin cos 2sin cos x xx x-=+，求sin cos x x 的值为.【答案】310-/0.3-【分析】由已知求出tan 3x =-，再将sin cos x x 化为22sin cos sin cos x xx x+，利用齐次式法求值，即得答案.【详解】由sin cos 2sin cos x xx x-=+可得sin cos 2(sin cos ),sin 3cos x x x x x x -=+∴=-，因为cos 0x =不适合sin cos 2sin cos x xx x-=+，故cos 0x ≠，所以tan 3x =-，故222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110x x x x x x x x -====-+++，故答案为：310-43．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）若4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ-=+.【答案】17【分析】分式上下同除以cos θ，化弦为切，代入4tan 3θ=求值即可.【详解】4tan 3θ= ，sin 411sin cos tan 11cos 3sin 4sin cos tan 1711cos 3θθθθθθθθθθ----∴====++++.故答案为：17.44．（2024·上海浦东新·模拟预测）已知sin cos αα､是关于x 的方程2320x x a -+=的两根，则=a .【答案】56-【分析】先通过根与系数的关系得到sin ,cos αα的关系，再通过同角三角函数的基本关系即可解得.【详解】由题意：Δ41202sin cos 3sin cos 3a a αααα⎧⎪=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以13a ≤，所以()224sin cos 12sin cos 139a αααα+=+=+=，即650a +=，解得56a =-.故答案为：56-.45．（2024高三·全国·专题练习）已知1sin cos 4αα-=，则33sin cos αα-=．【答案】47128【分析】由立方差公式，得()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++.将1sin cos 4αα-=两边平方，解得15sin cos 32αα=，代入即可得解.【详解】由题知()()3322sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=-++，因为1sin cos 4αα-=，两边平方有112sin cos 16αα-=，所以15sin cos 32αα=，所以()3311547sin cos 1432128αα-=⨯+=.故答案为：47128.46．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则()()sin 2024πcos 2023π2021πcos 2ααα+++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】73-/123-【分析】由已知可求出m 的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出m 的值，可求出tan α的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为23sin 2m m α-=+，1cos 2m m α+=-+，且α为第二象限角，则2302102m m m m -⎧>⎪⎪+⎨+⎪-<⎪+⎩，解得2m <-或32m >，因为22222223151010sin cos 12244m m m m m m m m αα-+-+⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，整理可得22730m m -+=，即()()2130m m --=，解得12m =（舍）或3m =，所以，233sin 25m m α-==+，14cos 25m m α+=-=-+，所以，sin 353tan cos 544ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，因此，()()sin 2024πcos 2023πsin cos 147112021πsin tan 33cos 2ααααααα+++-==-+=--=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：73-.47．（2024·全国·模拟预测）若()223ππ1cos cos 714f x x x ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦，则()f x 的最大值为，()f x 的最小值为．【答案】91【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.【详解】因为πππ3π3πcos sin sin sin 1421477x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=，此式可看作点(到点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的距离．而点3π3πcos ,sin 77x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的轨迹是圆221+=m n ．又点(到圆心()0,0的距离为2，所以()f x 的最大值()()2max 219f x =+=，()f x 的最小值()()2min 211f x =-=．故答案为：9；1【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．48．（2024·四川绵阳·三模）已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin π3θ+=-，则tan θ=.【答案】【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.【详解】由()sin π3θ+=-得sin 3θ=，由π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos θ=-，故sin tan cos θθθ==故答案为：2-49．（2024·山西阳泉·三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭．【分析】整体法诱导公式结合同角三角函数关系求出答案.【详解】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故πcos 06α⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦50．（2024·浙江温州·二模）已知tan x =，则23sin 2sin cos x x x -=.【分析】利用同角三角函数的关系化简23sin 2sin cos x x x -为齐次式，再代入tan x =.【详解】因为tan x =，所以2222223sin 2sin cos 3tan 2tan 3sin 2sin cos sin cos 1tan x x x x xx x x x x x---==++、()2231⨯-==+51．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.52．（2024高三·全国·专题练习）已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=．【答案】125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解.【详解】解：已知7sin cos 13αα+=①，则()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=，60sin cos 0169αα=-<，0πα<< ，sin 0α∴>，则cos 0α<，sin cos 0αα->，17sin cos13αα∴-===②，联立①②，得12sin 13α=，5cos 13α=-12tan 5α∴=-，故答案为：125-.53．（2024高三上·湖南衡阳·期中）已知sin cos 3αα-=-，则sin 2α=．【答案】79【分析】sin cos 3αα-=-平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.【详解】sin cos αα-=两边平方得：()22sin cos 12sin cos 1sin 29ααααα-=-=-=，解得：7sin 29α=.故答案为：7954．（2024·全国·模拟预测）已知π1sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6α5π⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】15/0.2【分析】由三角函数的诱导公式化简可得.【详解】由题可得5π5ππππ1cos cos cos sin 663235αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：1555．（2024高三上·内蒙古包头·阶段练习）若πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭.【答案】【分析】以π4θ+为整体，根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：πππ1tan tanπ442tan 4θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭故答案为：56．（2024高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知()1sin 535α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 37α︒+=．【答案】【分析】设53βα︒=-,37γα︒=+,则90βγ︒+=,90γβ︒=-，从而将所求式子转化成求cos β的值，利用α的范围确定cos β的符号.【详解】设53βα︒=-,37γα︒=+,那么90βγ︒+=,从而90γβ︒=-.于是()sin sin 90cos γββ︒=-=.因为27090α︒︒-<<-,所以143323β︒︒<<.由1sin 05β=>,得143180β︒︒<<.所以cos β===所以()sin 37sin 5αγ︒+==-.故答案为：57．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【答案】12-/-0.5【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.【详解】因为角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，所以||1r OP ==13π12sin cos 212x r αα⎛⎫-=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-.58．（2024高一·全国·课后作业）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．【分析】化简得到3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎫⎪⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，考虑角α为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin αα==，cos sin αα--==当角α为第三象限角时，cos sin αα==cos sin 22αα--=+=或.四、解答题59．（2024高三·全国·专题练习）已知角α的终边落在直线2y x =上．求(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+的值；(2)25sin 3sin cos 2ααα+-的值．【答案】(1)613(2)165【分析】由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=，再根据同角函数的关系求解即可.【详解】（1）由角α的终边落在直线2y x =上可得tan 2α=则原式=4tan 28265tan 310313αα--==++；（2）原式222225sin 3sin cos 5tan 3tan 20616222sin cos tan 155αααααααα+++=-=-=-=++.60．（2024高一下·安徽·期中）已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P (),x y ，若点P 位于x 轴上方且12x y +=.(1)求sin cos θθ-的值；(2)求44sin cos θθ+的值.【答案】(2)2332【分析】（1）根据cos sin θθ+，cos sin θθ-，cos sin θθ三个直接的关系，可得sin cos θθ-.（2）由4422sin cos 12sin cos θθθθ+=-可得.【详解】（1）由三角函数的定义，1cos sin 2θθ+=，sin 0θ>，两边平方，得221cos sin 2sin cos 4θθθθ++=则32sin cos 04θθ=-<，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin cos 0θθ->，sin cos2θθ-=.（2）由（1）知，3sin cos 8θθ=-，4422222923sin cos (sin cos )2sin cos 126432θθθθθθ+=+-=-⨯=.。

3-2第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题(2015年高考总复习)

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．tan 8π3的值为( ) A.33 B ．－33 C. 3D ．－ 3解析 tan 8π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案 D2．已知α是第四象限角，且sin α＝－35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43D ．－43解析 ∵α是第四象限角，且sin α＝－35，∴cos α＝45，tan α＝－34. 答案 B3．(2014·玉溪一中月考)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43. 答案 D4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析方法1：由sin α－cos α＝2，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，∵0＜α＜π，∴－π4＜α－π4＜34π. ∴α＝34π，∴tan α＝－1.方法2：由sin α－cos α＝2，两边平方得sin2α＝－1. ∵α∈(0，π)，∴2α＝32π，α＝34π，∴tan α＝－1. 答案 A5．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916 C ．－34D.34解析 ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34，∴原式＝cos α·(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916. 答案 B6．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析由sin α＋2cos α＝102，再结合sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎨⎧sin α＝－110，cos α＝310，或⎩⎨⎧sin α＝310，cos α＝110，所以tan α＝－13或tan α＝3，代入tan2α＝2tan α1－tan 2α得tan2α＝－34. 答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案 08．(2014·天津一中模拟)已知sin x cos x ＝38，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos x－sin x ＝________.解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin x >cos x ，即cos x －sin x <0，∴(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝14，∴cos x －sin x ＝－12. 答案－129．(2013·四川卷)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．解析由sin2α＝－sin α得2sin αcos α＝－sin α，由α∈(π2，π)，所以sin α≠0，从而cos α＝－12，所以α＝23π，tan2α＝tan 43π＝ 3.答案3三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13. ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 11．(2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (－π6)的值；(2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π3)．解 (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π12) ＝2cos(－π4)＝2cos π4＝1. (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12) ＝2cos(2θ＋π4) ＝cos2θ－sin2θ.因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－45.所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝1725.12．已知sin θ，cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，3π2＜θ＜2π，求θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θ·cos θ＝2m －14，Δ＝16(m 2－2m ＋1)≥0，代入(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ，得m ＝1±32，又3π2＜θ＜2π，∴sin θ·cos θ＝2m －14＜0，即m ＝1－32.∴sin θ＋cos θ＝m ＝1－32， sin θ·cos θ＝－34. 又∵3π2＜θ＜2π，∴sin θ＝－32，cos θ＝12.∴θ＝5π3.。

高中数学第三章三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版

第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一利用同角三角函数的关系求值【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二关于sin α，cos α齐次式的求值【例2】已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α，故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四化简三角函数式【例4】化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五证明三角函数式【例5】求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立．规律方法证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边．等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值．【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1，化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0，解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125，当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．解：因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19，所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式．原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)．解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件文北师大版

消去sin α得：2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
即( 2cos α＋1)2＝0，
∴cos
α＝－
2 2.
又α∈(0，π)，∴α＝34π，
∴tan α＝tan34π＝－1.]
诱导公式的应用
(1)已知A＝
sinkπ＋α sin α
＋
coskπ＋α cos α
(k∈Z)，则A的值构成的集合是
1 2
[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.]
5．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝________.
－45 [因为sinπ2＋α＝cos α＝35，α∈0，π2，所以sin α＝ 1－cos2α＝45，所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]
[易错与防范] 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α
＝1－cos2π6－α＝1－ 332＝23，
∴cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .]
同角关系式与诱导公式的综合应用
()
【导学号：66482141】

高考数学复习第3章三角函数解三角形3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式习题文市赛课公开课一等奖省名

所以 A＝π4，B＝π6，所以 C＝π－(A＋B)＝71π2.
当
cosA＝－
22时，cosB＝－
3 2.
又 A，B 是三角形的内角，所以 A＝34π，B＝56π，不符
合题意．综上，C＝71π2.
24/29
三、解答题
15
．
已
知
－
π 2
<α<0
，
且
函
数
f(α) ＝ cos 32π＋α －
sinα· 11＋－ccoossαα－1.
(1)化简 f(α)；
(2)若 f(α)＝51，求 sinα·cosα 和 sinα－cosα 的值．
25/29
解
(1)f(α) ＝ sinα － sinα·பைடு நூலகம்
1＋cosα2 1－cos2α
－
1
＝
sinα
＋
sinα·1＋sincoαsα－1＝sinα＋cosα.
(2)由 f(α)＝sinα＋cosα＝15，平方可得 sin2α＋2sinα·cosα
7/29
5. 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°的值为(
)
1
2
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
解析 1－s2insi4n01°0°c1o＋s1c0o°s＋80s°in10°＝
2 cos1s0in°4－0°si·n120c°o＋s4s0i°n10°＝ 2cossi1n08°0°＝ 22.故选 B.
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13．已知1－sincoxsx＝－13，则1＋sincoxsx的值是___－__3___．解析 ∵sin2x＋cos2x＝1， ∴sin2x＝1－cos2x，即1－sincoxsx＝1＋sincoxsx， ∵1－sincoxsx＝－13，∴1＋sincoxsx＝1－sincoxsx＝－3.

第三章 §1 同角三角函数的基本关系

α α
仅对α≠kπ＋
π2(k∈Z)成立．
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当 α∈R 时，tan α＝csions αα成立
(× )
(2)若 α＋β＝90°，则 sin2α＋sin2β＝1
(√ )
2．若 α 是第四象限角，且 cos α＝1123，则 sin α＝
(2)关于 sin α±cos α，sin αcos α 知一求二问题 ①sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是： (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α. ②求 sin α＋cos α 或 sin α－cos α 的值时，要注意判断它们的符号．
解：(1)因为 tan x＝12，
所以原式＝tan tan
xx－＋31＝1212－＋31＝－53.
(2)因为 tan x＝12，所以原式＝cosc2oxs－2xs＋insixnc2oxs x＝11＋－ttaann2xx
＝11－＋1214＝25.
[类题通法] (1)已知 tan α 的值，求关于 sin α，cos α 的分式值的问题，有以下两种情况 ①若分子、分母中 sin α，cos α 的次数相同(称为齐次式)，由 cos α≠0，令分子、分母同除以 cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于 tan α 的表达式，再整体代入 tan α 的值求解． ②若待求式形如 asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α，注意可将分母 “1”化为 sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于 tan α 的表达式，然后求值．

同角三角函数的基本关系式

4
3
2
解:(2) 1 sin2α+ 1 sin αcos α+ 1 cos2α
4
3
2
1 sin2 1 sin cos 1 cos2
=4
3
2
sin2 cos2
=
1 4
tan2
1 3
tan
1 2
=
13
.
tan2 1
30
方法技巧关于sin α、cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α、cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,解题时,分子、分母同除以cos α的n次幂,即可化为关于tan α的式子,再计算就简单多了.
(A) 1 5
(B) 3 5
(C)- 1 (D)- 3
5
5
解析:由
tan tan
sin sin
3, 2,
解得 tan θ= 5 ,sin θ= 1 ,
2
2
所以 cos θ= sin = 1 . tan 5
4.已知sin α=5cos α,则sin αcos α的值为
.
解析:法一
由
sin sin
=tan α·( 1 cos 2 - 1 cos 2 )=tan α·( 1 cos - 1 cos )
1 cos2
1 cos2
| sin | | sin |
= sin ·(- 1 cos + 1 cos )= sin · 2cos =-2.
cos
sin
sin
cos sin
答案:-2
解:(1)因为 sin A+cos A= 1
①
5
所以两边平方得 1+2sin A·cos A= 1 ,sin A·cos A=- 12 .

课时作业3：4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式A 级基础达标1．[2014·兰州模拟]已知α∈(π2，π)，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45D ．－452．[2014·杭州质检]已知2sin αtan α＝3，则cos α的值是( ) A ．－7 B ．－12C.34D.123．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 24．在△ABC 中，3sin(π2－A )＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( )A. π3B. π4C. π2D. 2π35．已知sin(π5－x )＝35，则cos(710π－x )＝( )A.35 B.45 C ．－35D ．－456．[2014·银川模拟]已知sin αcos α＝18，且54π<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.347．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数且满足f (2013)＝－1，则f (2014)＝________.8．[2014·锦州模拟]若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin2θ的值是________．9．[2014·江苏模拟]设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos π＋θcos θ[cos π－θ－1]＋cos θ－2πsin θ－3π2cos θ－π－sin 3π2＋θ的值．11．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.12．已知△ABC 中，cos(3π2－A )＋cos(π＋A )＝－15.(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (2)求tan A 的值．B 级知能提升1．[2014·聊城模拟]△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．42．[2014·北京四中模拟]定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，令f (x )＝(cos 2x ＋sin x )⊗54，且x∈[0，π2]，则函数f (x －π2)的最大值是________．3．是否存在α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解析及答案05限时规范特训A 级基础达标1．【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－34sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈(π2，π)，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35，故选B.【答案】B2．【解析】由已知得2sin 2α＝3cos α， ∴2cos 2α＋3cos α－2＝0， (cos α＋2)(2cos α－1)＝0 ∴cos α＝12，选D.【答案】D3．【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°1－cos 280°＝1－cos 2－80°＝1－k 2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k.解法二：因为cos(－80°)＝k ，所以cos80°＝k ，所以tan100°＝－tan80°＝sin80°－cos80°＝－1－k 2k .【答案】B4．【解析】3sin(π2－A )＝3sin(π－A )，∵3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.cos A ＝－3cos(π－B )，∵cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ，∴cos B ＝12. ∵B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2.故选C. 【答案】C5．【解析】cos(710π－x )＝cos[π2＋(π5－x )]＝－sin(π5－x )＝－35，故选C.【答案】C6．【解析】∵54π<α<32π，∴cos α>sin α，∴cos α－sin α>0，又∵(cos α－sin α)2＝1－2cos αsin α＝34，∴cos α－sin α＝32. 【答案】B7．【解析】由已知条件，得f (2013)＝a sin(2013π＋α)＋b cos(2013π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1.而f (2014)＝a sin(2014π＋α)＋b cos(2014π＋β) ＝a sin α＋b cos β ＝1. 【答案】18．【解析】∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sin θ－cos θ＝0，即tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ1＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋132＝43109＝65. 【答案】659．【解析】由6cos x ＝5tan x,6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，得sin x ＝23.由题意知线段P 1P 2的长即为垂线P 1P 2与y ＝sin x 图象交点的纵坐标，故P 1P 2的长为23.【答案】2310．【解析】∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos 2π－θ－sin 3π2－θcos π－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2－132＝18.11．【解析】由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．【解析】(1)由已知得，－sin A －cos A ＝－15.∴sin A ＋cos A ＝15.①①式平方得，1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225<0，又∵0<A <π，∴sin A >0，cos A <0. ∴A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形． (2)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925.又∵sin A >0，cos A <0， ∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75，又由已知得sin A ＋cos A ＝15，故sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.B 级知能提升1．【解析】因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.【答案】B2．【解析】令g (x )＝cos 2x ＋sin x ，则g (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54≤54.∴由运算定义可知f (x )＝g (x )＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝12，即x ＝π6时，该函数取得最大值54.由图象变换可知，所求函数f (x －π2)的最大值与函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值相同．【答案】543．【解析】假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈(－π2，π2)，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

高中数学 3.1 同角三角函数的基本关系(二)课时作业北师大版必修4

高中数学 3.1 同角三角函数的基本关系（二）课时作业北师大版必修4 课时目标 1．灵活运用同角三角函数的基本关系进行化简、证明．2．通过对同角三角函数的基本关系的变用、逆用、活用，提高三角恒等变形的能力．1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种类尽量少；(3)使项数尽量少；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使开方数不含三角函数．2．三角恒等式的证明证明三角恒等式时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于有附加条件的恒等式的证明．证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用．1．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．32．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A ．14B ．12C ．1D ．323．化简(1sin α＋1tan α)(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α4．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．2 D ．－2 5．已知α是第三象限角，则 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α等于( ) A ．－2tan α B ．－2cos αC ．tan αD ．1－sin α6．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A＝n ，则lg sin A 的值为( ) A ．m ＋1nB ．m －nC ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1nD ．12(m －n )二、填空题7．三角函数式cos α＋πsin 2α＋3πtan α＋πcos 3－α－π的化简结果是________．8．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝____．9．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝________．三、解答题10．化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α．11．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α；(2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．能力提升12．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1．13．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2cos α－sin α1＋sin α＋cos α．1．化简三角恒等式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．2．证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．§1 同角三角函数的基本关系(二) 答案作业设计1．B [sin α＝1－sin 2α＝cos 2α，cos 2α＋cos 4α＝cos 2α＋sin 2α＝1．]2．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1．]3．A [原式＝(1sin α＋cos αsin α)(1－cos α) ＝1＋cos α1－cos αsin α＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α．]4．A [因1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x－1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12．]5．A [原式＝1＋sin α2cos 2α－1－sin α2cos 2α＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝2sin α－cos α＝－2tan α．]6．D [两式相减得lg (1＋cos A)－lg 11－cos A＝m －n⇒lg [(1＋cos A)(1－cos A)]＝m －n⇒lg sin 2A ＝m －n ，∵A 为锐角，∴sin A>0，∴2lg sin A ＝m －n ，∴lg sin A ＝m －n2．]7．tan α解析原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3α＋π ＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α．8．1解析原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β)＝sin 2α＋cos 2α＝1．9．1解析原式＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α＋cos 4α－sin 2αcos 2α)＋3sin 2αcos 2α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1．10．解原式＝1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝sin 2α1＋cos 2α－sin 4αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23．11．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2 αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α＋cos αsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，∴原式成立．12．证明由tan 2α＝2tan 2β＋1，得sin2αcos2α＝2sin2βcos2β＋1即sin2α1－sin2α＝2sin2β＋cos2βcos2β∴sin2α1－sin2α＝sin2β＋11－sin2β．∴sin2α1＝sin2β＋12(比例的性质)∴sin2β＋1＝2sin2α，即sin2β＝2sin2α－1．13．证明方法一左边＝cosα1＋cosα－sinα1＋sinα1＋sinα1＋cosα＝cos2α－sin2α＋cosα－sinα1＋sinα＋cosα＋sinαcosα＝cosα－sinαcosα＋sinα＋1 12cosα＋sinα2＋sinα＋cosα＋12＝2cosα－sinαcosα＋sinα＋1sinα＋cosα＋12＝2cosα－sinα1＋sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．方法二∵cosα1＋sinα＝1－sinαcosα＝cosα＋1－sinα1＋sinα＋cosα，sinα1＋cosα＝1－cosαsinα＝sinα＋1－cosα1＋cosα＋sinα，∴cosα1＋sinα－sinα1＋cosα＝2cosα－sinα1＋cosα＋sinα．∴原式成立．。

高中数学课时作业20 同角三角函数的基本关系北师大版

原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝。
（2）原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－ .
（3)原式＝＝＝＝ .
10．证明: · ＝1.
证明： ·
＝ ·
＝ ·
＝＝＝1。
|能力提升|（20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是（）
答案：0
8．已知＝2,则sinαcosα的值为________．
解析：由＝2，得＝2,∴tanα＝3，∴sinαcosα＝＝＝ .
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分）
9．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1) ;
(2） ;
（3） sin2α＋ cos2α。
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0。
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β）
＝sin2β＋cos2β＝1。
答案：1
13．化简: － (α为第二象限角）．
解析:∵α是第二象限角，
∴cosα〈0。
则原式＝－
＝ · －
＝＋＝
＝＝tanα.
14．已知－ <x<0，sinx＋cosx＝，求下列各式的值．
（1)sinx－cosx；
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：将sinA＋cosA＝两边平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝ ,又sin2A＋cos2A＝1,故sinAcosA＝－ .因为0〈A〈π，所以sinA>0,则cosA〈0,即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．

高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系互余对偶_“灵动”的运算技巧素材

互余对偶——“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：①22sin cos 1αα+=；②22cos sin cos2ααα-=；③sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭； ④()sin cos cos sin sin αβαβαβ±=±；⑤()cos cos sin sin cos αβαβαβ±=．如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答．下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．1．构造对偶式——求积例1．求32coscos cos 777πππ⋅⋅的值．解：令32cos cos cos 777M πππ=⋅⋅，构造对偶式32sin sin sin 777N πππ=⋅⋅ 16421321sin sin sin sin sin sin 877787778M N N ππππππ∴⋅=⋅⋅=⋅⋅= 又0N ≠ 18M ∴=．点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了．解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2．求sin10sin 30sin 50sin 70︒⋅︒⋅︒⋅︒的值．解：令sin10sin 30sin 50sin 70M =︒⋅︒⋅︒⋅︒构造对偶式cos10cos30cos50cos70N =︒⋅︒⋅︒⋅︒则sin10cos10sin 30cos30sin 50cos50sin 70cos70M N ⋅=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒1111sin 20sin60sin100sin1402222=︒⋅︒⋅︒⋅︒ 11cos70cos30cos10cos501616N =︒⋅︒⋅︒⋅︒= 0N ≠ 116M ∴=．点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的．2．构造对偶式——求和例3．求35cos coscos 777πππ++的值．解：35cos cos cos 777M πππ=++ 构造对偶式35sin sin sin 777N πππ=++ 则 1216110468sin sin sin sin sin sin 272727777M N ππππππ⋅=+++++ 1351sin sin sin 27772N πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 0N ≠ 12M ∴= 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智．3．构造对偶式——化简求值例4．求22sin 10cos 40sin10cos40︒+︒+︒⋅︒的值．解：令22sin 10cos 40sin10cos40M =︒+︒+︒⋅︒构造对偶式22cos 10sin 40cos10sin 40N =︒+︒+︒⋅︒，则2sin10cos 40cos10sin 402sin 50M N +=+︒︒+︒︒=+︒cos 20cos80sin10cos 40cos10sin 40M N -=-︒+︒+︒︒-︒︒12sin50sin30sin30sin502=-︒︒-︒=--︒ 2sin 501sin 502M N M N +=+︒⎧⎪∴⎨-=--︒⎪⎩ 34M ∴=．点评：这是一道比较典型的三角求值题．通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜．这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1．求22cos 73cos 47cos73cos47︒+︒+︒⋅︒的值．变题2．求22cos 10cos 50sin 40sin80︒+︒-︒⋅︒的值．变题3．求22sin 20cos 80cos80︒+︒︒⋅︒的值．变题4．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒⋅︒的值．4．构造对偶式——求范围例5．若1sin cos 2αβ=，求cos sin αβ的取值范围．解：1sin cos 2αβ= ① 令cos sin x αβ= ② 则 ①×② 得11sin 2sin 242x αβ=．由sin 2α-1≤≤1，sin 2β-1≤≤1，1122x ∴-≤≤ 点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6．若cos cos 1αβ+=，求sin sin αβ+的范围．解：cos cos 1αβ+= ① 令sin sin x αβ+= ②则两式平方和则()212cos 11x αβ+-+=+，()22cos 1x αβ∴-=-，由()22cos 2αβ--≤≤可知：213x -≤≤，于是x5．构造对偶式——求同角的三角函数值例7．若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值．解法一：构造对偶式3cos 4sin x θθ+=，则3sin 4cos 53cos 4sin x θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ()()415sin 17203cos 27x xθθ⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin cos 1θθ+=，得245x =代入()()12，后两式相除可得 3tan 4θ=．解法二：构造对偶式3sin 4cos y θθ-=，则3sin 4cos 53sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩， 5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，再由22sin cos 1θθ+=，得75y =- 3tan 4θ∴=．点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力．6．构造对偶式——解方程例8．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=．解：若令222cos cos 2cos 3M x x x =++构造对偶式222sin sin 2sin 3N x x x =++，则3M N += ①2cos2cos4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+-()2cos3cos cos314cos cos2cos31x x x x x x =+-=-∴ 4cos cos 2cos31M N x x x -=- ②①+②，得()1cos cos2cos3224x x x A =-，又 1A = cos cos 2cos30x x x ∴= cos 0x ∴=或cos 20x =或cos30x = 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6x π∴=或4x π=或2x π=．点评：通过构造对偶式，创设了cos cos 2cos30x x x =这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收．在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受．它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉．希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的．。

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2015-2016学年高中数学第3章 1同角三角函数的基本关系课时作业北师大版必修4一、选择题1．若sin θ²cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为( )A ．－2B ．2C ．±2D ．12[答案] B[解析] tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θcos θ²sin θ＝1cos θ²sin θ＝2.2．若1＋sin θ²sin 2θ＋cos θ²cos 2θ＝0(θ为象限角)，则θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0，知当sin θ<0，cos θ<0时，上式成立．此时θ为第三象限角．3．已知tan x >0且sin x ＋cos x >0，那么x 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] A[解析] ∵tan x >0，∴sin xcos x >0，∴sin x ，cos x 同号，又∵sin x ＋cos x >0，∴sin x >0，cos x >0， ∴x 位于第一象限．4．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( ) A ．14 B ．34 C ．1 D ．32[答案] C[解析] 原式＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.5．已知π2<α<π，sin α＝23，则tan α的值为( )A ．255B ．－255C ．±255D ．－52[答案] B[解析] ∵π2<α<π，∴cos α<0，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. ∴tan α＝sin αcos α＝－255.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0[答案] D[解析] ∵α的终边在直线y ＝－x 上，∴tan α＝－1， ∴原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，(1)当α在第二象限时，原式＝－tan α＋tan α＝0； (2)当α在第四象限时，原式＝tan α－tan α＝0. 二、填空题7．(2015²四川文，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是__________．[答案] －1[解析] 由已知可得tan α＝－2，2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 8．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝________.[答案]1116[解析] ∵sin θ－cos θ＝12，∴sin θcos θ＝38，∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.三、解答题 9．化简下列各式．(1)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°； (2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋cos 2αtan α.[解析] (1)原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝sin 2α²sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α²cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝ sin 2α＋cos 2α 2sin αcos α＝1sin αcos α.10．已知θ∈(0,2π)且sin θ、cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求k 和θ.[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝k ，sin θ²cos θ＝k ＋1，① ②由①得1＋2sin θcos θ＝k 2，把②代入上式得k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1，当k ＝3时，sin θ²cos θ＝4不合题意，舍去．当k ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θ²cos θ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，sin θ＝－1.又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或3π2.综上知k ＝－1，θ＝π或3π2.一、选择题1．下列各说法中正确的是( ) A ．存在角α，使cos α＝13，tan α＝154B ．不存在角α，使sin α＝cos α＝223C ．cos 2π3＝1－sin22π3D ．若sin α－cos α＝33，则α是锐角 [答案] B[解析] B 选项中，sin 2α＋cos 2α＝89＋89＝169>1，故不存在这样的角α.2．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D ．24[答案] A[解析] ∵sin(α＋π2)＝13，∴cos α＝13.又∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－ 13 2＝－223.∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.二、填空题3．化简1＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x ＝________.[答案]1＋tan x1－tan x[解析] 原式＝ cos x ＋sin x 2cos 2x －sin 2x ＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x1－tan x. 4．若α是锐角，且2tan α＋3sin β＝7，tan α－6sin β＝1，则sin α＝________. [答案]31010[解析] 由2tan α＋3sin β＝7，得4tan α＋6sin β＝14①，又tan α－6sin β＝1②，①＋②，得5tanα＝15，∴tanα＝3，又由1＋tan2α＝1cos2α，有cos2α＝11＋tan2α＝11＋9＝110，∴sin2α＝1－cos2α＝910，∵0<α<π2，∴sinα＝31010.三、解答题5．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解析] ∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2得sinα＝－2cosα.(1)当α为第二象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝－2cosαsin2α＋cos2α＝1⇒5cos2α＝1，∴cosα＝－55，sinα＝－2³(－55)＝255.(2)当α为第四象限角时，⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝－2cosαsin2α＋cos2α＝1⇒5cos2α＝1，∴cosα＝55，sinα＝－2³55＝－255.综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，cosα＝－55，sinα＝255，当α为第四象限角时，cosα＝55，sinα＝－255.6．已知π6<α<2π3，cos(α＋π3)＝m(m≠0)，求tan(2π3－α)的值．[解析] 由于(α＋π3)＋(2π3－α)＝π，所以cos(2π3－α)＝－cos(α＋π3)＝－m.由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2.则sin(2π3－α)＝1－m2.所以tan(2π3－α)＝－1－m2m.7．是否存在实数k，使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是直角三角形中的两个锐角的正弦值？[解析] 设两个锐角为α，β. ∵α＋β＝90°，∴sin β＝cos α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝3k4，sin αcos α＝2k ＋18，由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得9k 216＝1＋2³2k ＋18，解得k ＝2或k ＝－109. 当k ＝2时，Δ<0，不符合题意，∴k ＝2舍去．由sin α＋cos α>0，得k >0，∴k ＝－109舍去．因此符合题意的k 值不存在．。