高等数学ch9_7

Q ( x , y , z ) 、 R ( x , y , z ) 均在Ω上连续时，称该向量场是
连续的. ●当Ω是平面区域时， 定义在Ω上的函数 f ( x , y ) 称
为平面数量场，定义在Ω上的向量函数
F ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) j
称为平面向量场.
C
曲线 C 旋转的方向（由 L 的正负号定）和快慢程度.
9.7.4 9.7.4 向量场的环流量和旋度
2.绕法线的旋度
●平均旋度
设 P 为向量场 a 中一 点，在点 P 取定一个方向 n
及 n 为法向量的一小块平面 区域 S（S 同时表示小区域 的面积） ，区域的边界线为
C，使 C 的正向与 S 的法向
(2)当 diva ( M ) < 0 时,表示 M 是吸收的洞,其值表示 洞的强度； (3)当 diva ( M ) = 0 时,表示 M 即不是洞也不是源,即 无流出也无流入.
2.散度的计算
●哈密顿算子
∂ ∂ ∂ ∇ = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ；
称其为哈密顿(Hamilton)算子或称向量算子.
设 F ( x , y , z ) 是一个数量函数,作用于 F,即
∂ ∂ ∂ ∇ F = (i + j +k )F ∂x ∂y ∂z = i ∂F ∂F ∂F + j +k = g rad F . ∂x ∂y ∂z
设 F = Fx i + Fy j + Fz k 是向量函数, ∇ 作用于 F ,即
9.7.3 向量场的流量与散度
1.散度的概念
定义 9.7 在向量场内任意一点 M 处,作一包围点 M 的闭曲面 S,S 的方向是外法向.V 是 S 所包围立体的 , 的方向是外法向. 体积. 体积.当 V 以任意方式收缩到 M 时,如果极限
∫∫ a idS
V 存在, 处的发散量或散度, 存在,则称此极限为向量场 a 在点 M 处的发散量或散度,
的梯度. 为 u ( x , y , z ) 的梯度.记作 g rad u ,即 ∂u ∂u ∂u gradu = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z . 梯度的模是一个数量函数
∂u ∂u ∂u gradu = + + ∂x ∂y ∂z .
∂ ∂ ∂ ∇ iF = (i + j +k ) i( Fx i + F y j + Fz k ) ∂x ∂y ∂z ∂ Fx ∂ F y ∂ Fz = + + ∂x ∂y ∂z .
●象 ∇ 这样,在运算中既起到运算符号的作用,又以 参加运算的元素形式出现的符号称为算子.
●高斯公式就可写为
∫∫
S
∂a x ∂a y ∂a z a i d S = ∫∫∫ ( + + )d V = ∂x ∂y ∂z V
(1) g rad ( u 1 ± u 2 )= g rad u 1 ± g rad u 2 ；
(2) g rad ( u 1 u 2 )= u 2 g rad u 1 + u 1 g rad u 2 ；
(3) 若 F ( u ) 可微, u ( x , y , z ) 为Ω中的数量函数,则
g rad F ( u )= F ′ ( u )g rad u .
为向量场 a 在点 P 的旋度，记为 rota ( P ) ，即 的旋度，
∂a y ∂ax ∂az ∂a y ∂az ∂az rota ( P) = ( )i + ( )j+( )k − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
i ∂ = ∂x ax j ∂ ∂y ay k ∂ = ∇×a ∂z az
数量函数的值域，在向量场中与定义域中的点相对应的 全体向量构成向量场的像集，向量场的像集是可以和函 数的值域类比的概念.
9.7.2 数量场的等量（值）面和梯度 数量场的等量（
1.等量面
●满足方程
u ( x, y , z ) = c
的各点，其中 c 为常数，称为等量面. 当 c 取不同数值
时，所得到的等量面也不同.
同理
∂E y r2 − 3y2 =e ， ∂y r5 ∂E y
∂E z r2 − 3z2 =e ， ∂z r5
则
d iv E = ∂E x ∂E z = ei + + ∂x ∂y ∂z
3r 2 − 3 ( x 2 + y 2 +设 a ，b 是定义在同一区域的两个向量函数，ϕ 是定 义在该区域的数量函数， 若区域内的任意一点处 a 、b 的 散度及 ϕ 的梯度都存在，则有
●任意一个数量场都不是静止不动的.例如,给定 一个温度场,它有不同的等温面,就要产生热量,从取值 较大的等温面,流向取值较小的等温面,而且流线要取
∂u 最短距离这一现象,从而变化率的绝对值 ∂ l 为最大，
梯度正好反映这一现象.
9.7.2 数量场的等量（值）面和梯度 数量场的等量（
3.梯度的性质
设 u1 , u2 是定义在同一区域Ω上的数量函数,
●斯托克斯公式又可写成
∫ a idl = ∫∫ rota idS
C S
它的物理意义是：向量场 a 沿闭曲线 C 的环流量等 于以闭曲线 C 为边界的曲面 S 上每一点绕法线 n 的旋度 之和（即在 S 上的曲面积分）.
量正向符合右手法则，
9.7.4 9.7.4 向量场的环流量和旋度
则 a 沿 C 的环流量与区域面积之比
1 S
∫ a idl
C
称其为向量场 a 在点 P 沿 C 绕法线 n 的平均旋度. 平 均
旋度取极限，就得到绕法线 n 的旋度.
9.7.4 9.7.4 向量场的环流量和旋度
定义 9.8
n 中的任意给定点， 设 P 为向量场 a 中的任意给定点， 为给
●对于含有两个自变量的物理量则有等量线，如等 温线、等高线等等.
9.7.2 数量场的等量（值）面和梯度 数量场的等量（
2.梯度
定义 9.6 是定义在空间区域Ω 设 u ( x , y , z ) 是定义在空间区域Ω上的一 个数量函数,称由 u 产生的向量函数 个数量函数,
∂u ∂u ∂u g ( x, y , z ) = i+ j + k , ( x, y , z ) ∈ Ω ∂x ∂y ∂z
2 2 2
9.7.2 数量场的等量（值）面和梯度 数量场的等量（
●函数 u 的梯度是一个向量场,它是由数量函数 u 产生的,空间中任意一点 P 的梯度,其方向与过该点的等 量面 u ( x , y , z ) = c 在该点的法线方向相同,指向 u 增大的 一方,梯度的模就是函数 u ( x , y , z ) 沿法线方向的变化 率.
V →M
lim
S
记作
diva ( M ) = lim
∫∫ aidS
S
V →M
V
●散度是与点 M 有关的数量,若 a 的定义域Ω内各 点散度存在,则由向量场 a 在Ω中产生了一个数量场
diva .
●设 a 是流体的速度场.积分 流过 S 的流量,在这个意义下,有
∫∫ a idS 为单位时间内
S
(1)当 diva ( M ) > 0 时,表示 M 是流出的源,其值表示 源的强度；
●三维区域Ω上的一个数量场可以用定义在Ω上 的一个函数 f ( x , y , z ) 来表示.
9.7.1 场的概念
●区域Ω上的一个向量场就是定义在Ω上的一个 向量函数
F ( x, y , z ) = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k 它是由三个数量函数确定的. 当 数 量 函 数 P ( x , y , z ) 、
例 9.24 在原点处放置单位正电荷 e,产生一静电
x 2 + y 2 + z 2 为场中一点到电荷的
e 场,电位 v = r , r =
距离,求电场强度.
解
∂v ∂v ∂v e g rad v = i+ j+ k 其中 v = . ∂x ∂y ∂z ， r
∂r ∂r x 由 r = x + y + z ,得 2 r ∂ x = 2 x , 即 ∂ x = r ,故
（1） div(a + b) = diva + divb ,即
∇ i ( a + b ) = ∇ i a + ∇ ib .
（2） div(ϕ a ) = ϕ diva + aigradϕ ,即
∇ i(ϕ a ) = ϕ∇ ia + a i∇ϕ .
9.7.4 9.7.4 向量场的环流量和旋度
1. 环流量
9.7.1 场的概念
●决定一个场的两大要素是对应规则和对应规则 的定义域.无论是数量场或向量场，其定义都是空间区
域或平面区域. 数量场的对应规则是点到实数的对应， 也就是通常意义下的函数. 向 量 场的 对 应 规则 是 点 到
向量的对应，它是产生数量函数的三个对应规则构成的 有序组， { P ( x, y, z ), Q( x, y , z ), R ( x, y, z )} . 数量场的像集是
1 rot n a ( P ) = lim S →P S
∫ a idl
C
9.7.4 9.7.4 向量场的环流量和旋度
3.旋度
定义 9.9 中任意一点， 设 P 为向量场 a 中任意一点， 我们称向量
∂a y ∂ax ∂az ∂a y ∂az ∂az R( P ) = ( )i + ( )j+( )k − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y