湘教版-数学-八年级上册-5.1二次根式 优秀课件
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湘教版-数学-八年级上册-5.1二次根式 第一课时
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值 必须满足什么条件呢？
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足什么
条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
x-2 想一想：假如把题目改为：要使 x-1 有意义，字母
x 的取值必须满足什么条件？
x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
二次根式的性质（２）
想一想
a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２：
2
a a, (a 0)
试一试 计算:
2
3
=
3
5 2
2
=
5 2
2 0.04 =
0.04
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ; （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？ 当 a>0 时， a2 = 当 a=0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
a ;
0； -a 。 |a| 。
二次根式的性质（３）
性质3：
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
a 0 算一算
(1) （-9）2 (3) 64
(2)
(
1 3
)2
(4) (x2+1)2
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为2； （2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足什么
条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x≥2 且 x≠3。
x-2 想一想：假如把题目改为：要使 x-1 有意义，字母
x 的取值必须满足什么条件？
x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
二次根式的性质（２）
想一想
a 2 a 0 等于什么?请举例验证.
性质２：
2
a a, (a 0)
试一试 计算:
2
3
=
3
5 2
2
=
5 2
2 0.04 =
0.04
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ; （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？ 当 a>0 时， a2 = 当 a=0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
a ;
0； -a 。 |a| 。
二次根式的性质（３）
性质3：
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
a 0 算一算
(1) （-9）2 (3) 64
(2)
(
1 3
)2
(4) (x2+1)2
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为2； （2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 二次根式 课件
只有当被开方数是非负实数时，二次 根式才在实数范围内有意义。
练习游戏： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(4) 12
(5) - m m 0
(6) xy x,y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
练习：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x 5 (x为有理数)
解：二次根式有： 不是二次根式的有：
、4
a ←被开方数
2.二次根式的特征：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 性质1双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例： 下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
运算结果
a
a
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
二次根式 a2的化简：
a，(a 0） a2＝a＝0， (a 0)
a，(a 0)
式子 a 2与 a 2 是一样的吗？
练习游戏： x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 1 x 1 (2) 3x
x0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(4) 12
(5) - m m 0
(6) xy x,y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
练习：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 10 （3） 3
（4） a2 1
（5） x 5 (x为有理数)
解：二次根式有： 不是二次根式的有：
、4
a ←被开方数
2.二次根式的特征：
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 性质1双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例： 下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
运算结果
a
a
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1 x 0 x
解 : (1) x 1 0 x 1 你(2有)什么3收x 获0？ x 0
①被开方数不小于零；
(3②) 分母无中论有x字为母何时实，数要保,4证x 2分母0不为x为零。全体实数.
二次根式 a2的化简：
a，(a 0） a2＝a＝0， (a 0)
a，(a 0)
式子 a 2与 a 2 是一样的吗？
湘教版初中数学八年级上册二次根式精品课件PPT
次根式？为什么？
√1 32
26
√4 -mm0
√6 a2 1
3 -12
5 xyx,y异号
73 8
二次根式的特点：
① 含有二次根号
② 被开方a数 0
湘教版（2012）初中数学八年级上册5 .1.1二 次根式 课件
湘教版（2012）初中数学八年级上册5 .1.1二 次根式 课件
练一练 当 x 取什么值时，下列二次根式
•
3、 在 生 命 的 每一个 阶段， 阿甘的 心中只 有一个 目标在 指引着 他，他 也只为 此而踏 实地、 不懈地 、坚定 地奋斗 ，直到 这一目 标的完 成，又 或是新 的目标 的出现 。
•
4、 让 学 生 有 个整体 感知的 过程。 虽然这 节课只 教学做 好事的 部分， 但是在 研读之 前我让 学生找 出风娃 娃做的 事情， 进行板 书，区 分好事 和坏事 ，这样 让学生 能了解 课文大 概的资 料。
2 .a 的取值范围不同；
3. 运算结果的不同，
但当 a 0 时，
a
2
a2.
湘教版（2012）初中数学八年级上册5 .1.1二 次根式 课件
湘教版（2012）初中数学八年级上册5 .1.1二 次根式 课件
巩固练习：
1 、 (1 )3 2 ；(2 )( 6 )2 ； 3 ） （ (3 )2 ；
•
1、 在 困 境 中 时刻把 握好的 机遇的 才能。 我在想 ，假如 这个打 算是我 往履行 那结果 必定失 败，由 于我在 作决策 以前会 把患上 失的因 素斟酌 患上太 多。
•
2、 人 物 作 为 支撑影 片的基 本骨架 ，在影 片中发 挥着不 可替代 的作用 ，也是 影片的 灵魂， 阿甘是 影片中 的主人 公，是 支撑起 整个故 事的重 要人物 ，也是 给人最 大启示 的人物 。
√1 32
26
√4 -mm0
√6 a2 1
3 -12
5 xyx,y异号
73 8
二次根式的特点：
① 含有二次根号
② 被开方a数 0
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练一练 当 x 取什么值时，下列二次根式
•
3、 在 生 命 的 每一个 阶段， 阿甘的 心中只 有一个 目标在 指引着 他，他 也只为 此而踏 实地、 不懈地 、坚定 地奋斗 ，直到 这一目 标的完 成，又 或是新 的目标 的出现 。
•
4、 让 学 生 有 个整体 感知的 过程。 虽然这 节课只 教学做 好事的 部分， 但是在 研读之 前我让 学生找 出风娃 娃做的 事情， 进行板 书，区 分好事 和坏事 ，这样 让学生 能了解 课文大 概的资 料。
2 .a 的取值范围不同；
3. 运算结果的不同，
但当 a 0 时，
a
2
a2.
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巩固练习：
1 、 (1 )3 2 ；(2 )( 6 )2 ； 3 ） （ (3 )2 ；
•
1、 在 困 境 中 时刻把 握好的 机遇的 才能。 我在想 ，假如 这个打 算是我 往履行 那结果 必定失 败，由 于我在 作决策 以前会 把患上 失的因 素斟酌 患上太 多。
•
2、 人 物 作 为 支撑影 片的基 本骨架 ，在影 片中发 挥着不 可替代 的作用 ，也是 影片的 灵魂， 阿甘是 影片中 的主人 公，是 支撑起 整个故 事的重 要人物 ，也是 给人最 大启示 的人物 。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
之也成立，即 a 无意义 a<0.
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
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之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 二次根式 课件
1.式子
2 有意义的条件是
3x 6
（A ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
2. 计算：
( 1 )( - 3 )2；
(3)
-
3 4
2
；
答案：3
答案：3 4
( 2)(
5 )2 2
.
答案：5
4
(4)
2
-0.01
.
答案：0.01
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，求 a2 - a-b 。
问题1 上面问题的结果分别是
，它们表示的是
算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，只能是非负数.
问题2 上面问题的结果分别是 和被开方数上看有什么共同特点？
，分别从形式上
①含有“ ”
②被开方数a ≥0
归纳总结
二次根式的定义 一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
0
.
如何用字母表示你所得的公式呢？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质
一般地， a2 ＝a (a≥0).
例4 计算：
( 1 ) ( -2 )2 ；
( 2 ) ( -1.2 )2 .
解: ( 1 ) (-2)2 = 22 = 2 ；
( 2 ) (-1.2)2 = 1.22 = 1.2 .
议一议
当a<0时， a2 = a 是否仍然成立？为什么？
想一想：此小题用到了幂 的哪条基本性质呢？
填一填：
a 平方运算
a2
-4
（-4）2=16
算术平 方根
0
02=0
1
12=1
湘教版初中数学八年级上册二次根式课件
湘教版初中数学八年级上册二次根式 课件
湘教版初中数学八年级上册二次根式 课件
2、练一练：
（1） 72
(2) ( 3)2 5
(3) (0.01)2
解： （1） 72 7
(2) ( 3)2 3 55
(4) (2)2
(3) (0.01)2 0.01
(4) (2)2 4 2
观察第4小题， 你猜想一下当a 0时, a2 __-_a__
湘教版初中数学八年级上册二次根式 课件
二次根式的性质2
a a0
a2 a
-a a0
探究三：
式子 a 2与 a2 是一样的吗？
主要区别： 1.运算顺序不同； 2.a的取值范围不同； 3.运算结果的不同，
但当a 0时， a 2 a2 教版初中数学八年级上册二次根式 课件
练一练
（1） ( 0.3)2
(2) -
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
3
2
5
（3） (3
2)2
(2) -
3
2
5
3 5
（3） (3 2)2 32 ( 2)2 9 2 18
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湘教版初中数学八年级上册二次根式 课件
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.形式上含有二次根号“ ”
2.被开方数a 0 ， a 0（两个非负性）
3.a可以是数,也可以是含有字母的式子 4.表示 a 的算术平方根
湘教版初中数学八年级上册二次根式 课件
5.1.1 二次根式
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个 式子是不是二次根式； 2、会求二次根式中被开方数中字母的 取值范围； 3、掌握二次根式的基本性质。
湘教版八年级数学上册 5.1 二次根式(共16张PPt)
性质1： a（a≥0）___≥__0，具有 双重非负性 .
二次根式的性质
2
2、
2
2 =___2___；
7 2 =___7___；
7 2
7 =___2__；
2
0 =__0___；
性质2：对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此
2 a
=____a___（a≥0）；
二次根式的性质
3、(1)
（4） x2 1
1 x
<0，
解 ∵无论 x取何值，都有 x2≥0
解得 x ＜0
∴ x2+1 ﹥0
因此，当 x＜0 时，
∴ x 为任意实数时，
1 x
在实数范围内有意义.
x2 1都有意义 。
二次根式的性质
> 1、当a>0时， a 表示a的算术平方根，因此 a
0；
= 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a ______0；
在实习期间,说实话,我遇到了很多困难 ,有时 候遇到 的情况 我都不 知道该 怎么去 解 决,例如我遇到的一个孩子,他的名字叫 做玉宇 ,他是 一个让 园里所 有老师 都感到 头 疼的一个孩子,他很聪明,平时我们教的 内容,他很快 就能掌 握,他的 理解能 力明显 比 其他小朋友的高,但是就有一点,他很喜 欢欺负 别而小 朋友,给老师 捣乱,破 坏幼儿 园 里的公共设施,老师好好跟他说,他很听 话,但 老师走 开了,他 又去干 他的事,从来不 把 老师说的话放在心上,老师有时候坐在 一起去 讨论应 该怎样 去对待 这样的 孩子,这 样 的孩子不多,但我问了一下我的同学,差 不多在 哪个幼 儿园也 有一两 个这样 的孩子 ,
也可以是式子。
式就包括单项式、多项式、分式
新湘教版八年级数学上5.1二次根式的概念及性质ppt公开课优质教学课件
二次根式的被开方数非负
二次根式的 双重非负性 二次根式的值非负
例3（1）若
a2
b 3 (c 4)2 0 ，求a -b+c的值.
（2）设 y 1 x + x 1+2017，试求2x+y的值. （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 解：
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2017, 所以2x+y=2×1+2017=2019.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
三 二次根式的性质
填一填：
a(a≥0)
算术平 方根
八年级数学上（XJ） 教学课件
第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
导入新课
观察与思考
（1）如左图所示，礼盒的上面是
（2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值.
当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义； 当x=9时， x 2 9 2 7. 1 （3）要使式子 有意义，则x的取值范围是（ A ） x 1 A. x>1 B. x>-1 C. x ≥1 D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
二次根式的 双重非负性 二次根式的值非负
例3（1）若
a2
b 3 (c 4)2 0 ，求a -b+c的值.
（2）设 y 1 x + x 1+2017，试求2x+y的值. （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 解：
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2017, 所以2x+y=2×1+2017=2019.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初
中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
三 二次根式的性质
填一填：
a(a≥0)
算术平 方根
八年级数学上（XJ） 教学课件
第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
导入新课
观察与思考
（1）如左图所示，礼盒的上面是
（2）当x=0，9时，求二次根式 x 2 的值.
当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义； 当x=9时， x 2 9 2 7. 1 （3）要使式子 有意义，则x的取值范围是（ A ） x 1 A. x>1 B. x>-1 C. x ≥1 D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
湘教版八年级数学上册 5.1 二次根式(共16张PPt)
２、使二次根式在实数范围内有意义的条件：被开方数≥０
３、二次根式的性质
2、
≥０（ ≥0）
1、非负性
（ ）
（ ）
|a|
a
-a
a≤0
a≥0
3、 = =
有意义吗？
没有意义
思考：
a ≥ 0
注意
举 例
当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0，
解得 x ≥ 1.
因此，当x≥1时，
在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
解 由 3x-1≥0，
二次根式
湘教版八年级上册数学 第五章第一节
二次根式
４.１ 二次根式和它的化简
——4.1.1 二次根式
本章内容
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，那么这块正方形画布的边长应取多少？
25
5分米
因为52=25， 所以5是25的算术平方根
性质1： （a≥0）_____0，具有 .
>
=
双重非负性
≥
二次根式的性质
2、 =______； =______； =_____； =_____；
3、 = =
计 算
(2)
解 (1)
若 为实数，且 ，求 的值
解 ：由题意得：
解得
∴
且
说一说
你收获了什么？
１、二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式
5
2
0
0.3
5
2
0.3
-a
a
二次根式的性质
３、二次根式的性质
2、
≥０（ ≥0）
1、非负性
（ ）
（ ）
|a|
a
-a
a≤0
a≥0
3、 = =
有意义吗？
没有意义
思考：
a ≥ 0
注意
举 例
当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0，
解得 x ≥ 1.
因此，当x≥1时，
在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
解 由 3x-1≥0，
二次根式
湘教版八年级上册数学 第五章第一节
二次根式
４.１ 二次根式和它的化简
——4.1.1 二次根式
本章内容
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，那么这块正方形画布的边长应取多少？
25
5分米
因为52=25， 所以5是25的算术平方根
性质1： （a≥0）_____0，具有 .
>
=
双重非负性
≥
二次根式的性质
2、 =______； =______； =_____； =_____；
3、 = =
计 算
(2)
解 (1)
若 为实数，且 ，求 的值
解 ：由题意得：
解得
∴
且
说一说
你收获了什么？
１、二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式
5
2
0
0.3
5
2
0.3
-a
a
二次根式的性质
湘教版数学初二上册《5.1二次根式》 课件
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
76、一人生日生命无贵太书相过，知短百，暂事何，荒用今废金天。与放钱弃20。了.7.明2104天.270.不1.74一.210定4.27能0.1.得74.21到04.。7.1824时0。22028年0分2780月时年12748月日分1星144期日-J二星ul二期-2〇二07二.14〇.2年二02七〇0月年十七四月日十四日
(其中是 R 地球半径).现有两座高 分别为 h1 = 400m, h2 = 450m 的电视
塔,请聪明的你计算它们的传播径分别 为 r1, r2 .
因为r 2Rh,400m 0.4km,450m 0.45km
所以 r1 = r2
2Rh1 = 2Rh2
aa
用它进行简单的二次根式的除法运算 。
多想想， 大胆说！
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
h1 = h2
0.4 = 0.45
40 2 10 2 2
=
=
45 3 5 3
•
结论你能总结以上例题的解(小题组规交流律三吗分？钟）
76、一人生日生命无贵太书相过，知短百，暂事何，荒用今废金天。与放钱弃20。了.7.明2104天.270.不1.74一.210定4.27能0.1.得74.21到04.。7.1824时0。22028年0分2780月时年12748月日分1星144期日-J二星ul二期-2〇二07二.14〇.2年二02七〇0月年十七四月日十四日
(其中是 R 地球半径).现有两座高 分别为 h1 = 400m, h2 = 450m 的电视
塔,请聪明的你计算它们的传播径分别 为 r1, r2 .
因为r 2Rh,400m 0.4km,450m 0.45km
所以 r1 = r2
2Rh1 = 2Rh2
aa
用它进行简单的二次根式的除法运算 。
多想想， 大胆说！
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
h1 = h2
0.4 = 0.45
40 2 10 2 2
=
=
45 3 5 3
•
结论你能总结以上例题的解(小题组规交流律三吗分？钟）
初中数学八年级上5.1二次根式 课件
2x
x4
x4
4、化简： a 1
a
作业 教材P159 A组 1、 2、3
谢 谢！
化简后的结果为__1_1___a__
2、计算 A、-2 C、2
的结果是 （ D ）
B、-24 D、24
二次根式的定义：
形如 a 的式子叫作二次根式。
二次根式 有意义的条件是：
二次根式的性质：
双重非负性：
a 0 (a 0)
性 质 2： ( a )2 a (a 0)
性 质 3：
a ( a ≥0)
聪明的同学们，你们都猜出来了他们是谁了吧？
合作学习探究新知
5 、 3 、 x (x 0)
观察：上述各式有何共同特点？
二次根式的定义：
a
火眼金睛：
陈老师在每个水果上贴了特殊的标签，现在陈老师 想将这些水果分类，把贴有二次根式标签的苹果放入果盘 内，你能帮帮我吗？
1
x2 1
5
方法归纳：
二次根式有意义的条件是：
被开方数大于或等于零
例题精讲
❖ 例1 当x 是怎样的实数时，二次根式 在 实数范围内有意义？
解：由x-1 ≥0，解得
x≥ 1 因此，当x≥ 1时，
在实数范围内有意义。
【例1变式】
当x取什么值时，下列各式有意义？
x(x(x1x111)12)21 x
【例1变式】
当x取什么值时，下列各式有意义？
1
（1）
a ( a≥0)
a 2 =|a | =
a( a<0)
02 0
例题精讲
例3：计算
（1）
（2）
（3）
（4）
解： （1） ( 5)2 5
秋湘教版八年级数学上册课件：5.1 二次根式 (共30张PPT)
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的数
叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当 被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
例1 当x是怎样的实数时，二次根式 x - 1 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0， 解得 x ≥ 1. 因此，当x≥1时， x - 1 在实数范围内有意义.
化简二次根式时， 最后结果要求被开方 数不含分母.
结论
从例4、 例5可以看出，这些式子的最后结果， 具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作 最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式.
练习
1 . 化简下列二次根式．
(1) 24； (3) 32；
(2) 28； (4) 54．
解 ( 1 )2 4 = 4 6 = 2 6 .
( 2 )2 8 = 4 7 = 2 7 . ( 3 ) 3 2 = 2 1 6 = 2 4 2 = 4 2 . ( 4 ) 5 4 = 9 6 = 3 2 6 = 3 6 .
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每 一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从 根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
例5 化简下列二次根式．
( 1 )1 2；
( 2 ) 5 3.
解
(1)
1 2
=
1222=
1 2
2
2
=
1 2
2
(2)
53=
35 55
=
1 5
2
1
5
=
1 5
15.
叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当 被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
例1 当x是怎样的实数时，二次根式 x - 1 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0， 解得 x ≥ 1. 因此，当x≥1时， x - 1 在实数范围内有意义.
化简二次根式时， 最后结果要求被开方 数不含分母.
结论
从例4、 例5可以看出，这些式子的最后结果， 具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作 最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式.
练习
1 . 化简下列二次根式．
(1) 24； (3) 32；
(2) 28； (4) 54．
解 ( 1 )2 4 = 4 6 = 2 6 .
( 2 )2 8 = 4 7 = 2 7 . ( 3 ) 3 2 = 2 1 6 = 2 4 2 = 4 2 . ( 4 ) 5 4 = 9 6 = 3 2 6 = 3 6 .
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每 一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从 根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
例5 化简下列二次根式．
( 1 )1 2；
( 2 ) 5 3.
解
(1)
1 2
=
1222=
1 2
2
2
=
1 2
2
(2)
53=
35 55
=
1 5
2
1
5
=
1 5
15.
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(6)a的平方根为 _____a_.(a 0)
2、归纳：
(1)每一个正实数 a有且只有两个平方根 ， 其中一个平方根是正实 数， 记作 a. 我们称它为a的算术平方根 ， 另一个
平方根为 a.
(2)0的平方根是 0. (3)负实数没有平方根.
探索新知
1.二次根式的定义 上面所看到的一些数的算术平方根，如：
解： （1） ( 5)2 5
(2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
7. 练习三：计算
（1） ( 0.3)2 (2)
3 5
2
（3）
(3
2)2
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
3 5
（3） (3 2)2 32 ( 2)2 92 18
8. 做一做 ：
由于22 4， 因此 4 2， 即 22 ——2 —
5
7
a2 b2 11
a (a 0)
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式。
二次根号→
a ←被开方数
2.二次根式的特征： （1）从形式上看，带二次根号“ ”； （2）从被开方数来看，a 0.
3、练习一：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 （3） 3 10
（4）由 x 1 0 得， x 1
1
因此，当 x 1 时，二次根式
在实数范围内有意
义。
x 1
6、二次根式的性质：
( 2)2 2 ( a )2 a (a 0)
S=2
边 长
a
?
2
边长a？ 2
二次根式的性质1:
2 a a (a 0).
7. 例2：计算
（1） ( 5)2
(2)(2 2)2
3
（2）由 3 2x 0 得， x
3
2
因此，当x 时，二次根式 32 x 在实数范围
内有意义。 2
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1 (1) x 6 (2) x 7 (3) 4 x (4)
x 1
解：
（1）由 x 6 0得， x 6
因此，当 x 6时，二次根式 x 6 在实数范围内有意义。
(4) (8)2 ；(5)
2
0 ；(6)
2
1.23 .
3
3、 （1）若 a - 5 b 2 0，求a、b的值；
（2）若 2x 3y 5 x 2 y 3 0，求x、y的值.
八年级数学
二次根式
知识回顾
1、回答下列问题：
(1)面积为5的正方形边长为 ___5__.
(2)在直角三角形中两条直 角边分别为a和b,
则它的斜边长为 __a_2___b. 2
(3)7的平方根是 ____7__，11的算术平方根是 __1__1__.
(4)0的平方根是 ___0____.
(5) 6的平方根为 __没__有__.
（4） a2 1
（5） x2 (x为有理数)
解：二次根式有： 4 、 a2 1
不是二次根式的有： 3 、 3 10 、 x2
(x为有理数)
4、例1 当x取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
(1) x 1 (2) 3 2x
解（1）由 x 1 0 得，x 1
因此，当 x 1时，二次根式 x 1在实数范围内有意义。
由于32 9， 因此
9 3， 即
32
3 ———
由于42 16， 因此
16 4， 即
42
4 ———
由于52 25， 因此
25 5， 即
52
5 ———
由于1.52 2.25， 因此 2.25 1.5， 即 1.52 —1—.5—
………………..
a 根据上面的结果 ， 当a 0时， 你猜测： a2 ———
（2）由 x 7 0 得，x 7
因此，当 x 7时，二次根式 x 7 在实数范围内有意
义。
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1 (1) x 6 (2) x 7 (3) 4 x (4)
x 1
解（3）由 4 x 0 得， x 4
因此，当 x 4时，二次根式 4 x 在实数范围内有意义。
二次根式的性质 2： a2 a (a 0)
9. 练习四：计算
（1） 72 (2) 132 (3) ( 3)2 (4) 5
解： （1） 72 7
(2) 132 13
(0.01)2 (5) (2)2
(3) ( 3 )2 3 55
(4) (0.01)2 0.01
(5) (2)2 4 2
观察第5小题， 你猜想一下当a 0时, a2 _____
10、知识点概括
1、 二次根式的定义：
形如 a（a 0）的式子叫作二次根式
2、 二次根式的基本性质：
（1） ( a )2 a（a 0） （2） a 2 a (a 0)
11、课堂作业：
1、 课后思考： 你猜想一下当a 0时, a2 _____
2、 计算： (1) 9 2；(2) (0.2)2；(3) (3)2
2、归纳：
(1)每一个正实数 a有且只有两个平方根 ， 其中一个平方根是正实 数， 记作 a. 我们称它为a的算术平方根 ， 另一个
平方根为 a.
(2)0的平方根是 0. (3)负实数没有平方根.
探索新知
1.二次根式的定义 上面所看到的一些数的算术平方根，如：
解： （1） ( 5)2 5
(2)(2 2)2 22 ( 2)2 42 8
7. 练习三：计算
（1） ( 0.3)2 (2)
3 5
2
（3）
(3
2)2
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
3 5
（3） (3 2)2 32 ( 2)2 92 18
8. 做一做 ：
由于22 4， 因此 4 2， 即 22 ——2 —
5
7
a2 b2 11
a (a 0)
我们把形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式。
二次根号→
a ←被开方数
2.二次根式的特征： （1）从形式上看，带二次根号“ ”； （2）从被开方数来看，a 0.
3、练习一：下列哪些式子是二次根式， 哪些不是二次根式？
（1） 4
（2） 3 （3） 3 10
（4）由 x 1 0 得， x 1
1
因此，当 x 1 时，二次根式
在实数范围内有意
义。
x 1
6、二次根式的性质：
( 2)2 2 ( a )2 a (a 0)
S=2
边 长
a
?
2
边长a？ 2
二次根式的性质1:
2 a a (a 0).
7. 例2：计算
（1） ( 5)2
(2)(2 2)2
3
（2）由 3 2x 0 得， x
3
2
因此，当x 时，二次根式 32 x 在实数范围
内有意义。 2
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1 (1) x 6 (2) x 7 (3) 4 x (4)
x 1
解：
（1）由 x 6 0得， x 6
因此，当 x 6时，二次根式 x 6 在实数范围内有意义。
(4) (8)2 ；(5)
2
0 ；(6)
2
1.23 .
3
3、 （1）若 a - 5 b 2 0，求a、b的值；
（2）若 2x 3y 5 x 2 y 3 0，求x、y的值.
八年级数学
二次根式
知识回顾
1、回答下列问题：
(1)面积为5的正方形边长为 ___5__.
(2)在直角三角形中两条直 角边分别为a和b,
则它的斜边长为 __a_2___b. 2
(3)7的平方根是 ____7__，11的算术平方根是 __1__1__.
(4)0的平方根是 ___0____.
(5) 6的平方根为 __没__有__.
（4） a2 1
（5） x2 (x为有理数)
解：二次根式有： 4 、 a2 1
不是二次根式的有： 3 、 3 10 、 x2
(x为有理数)
4、例1 当x取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
(1) x 1 (2) 3 2x
解（1）由 x 1 0 得，x 1
因此，当 x 1时，二次根式 x 1在实数范围内有意义。
由于32 9， 因此
9 3， 即
32
3 ———
由于42 16， 因此
16 4， 即
42
4 ———
由于52 25， 因此
25 5， 即
52
5 ———
由于1.52 2.25， 因此 2.25 1.5， 即 1.52 —1—.5—
………………..
a 根据上面的结果 ， 当a 0时， 你猜测： a2 ———
（2）由 x 7 0 得，x 7
因此，当 x 7时，二次根式 x 7 在实数范围内有意
义。
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1 (1) x 6 (2) x 7 (3) 4 x (4)
x 1
解（3）由 4 x 0 得， x 4
因此，当 x 4时，二次根式 4 x 在实数范围内有意义。
二次根式的性质 2： a2 a (a 0)
9. 练习四：计算
（1） 72 (2) 132 (3) ( 3)2 (4) 5
解： （1） 72 7
(2) 132 13
(0.01)2 (5) (2)2
(3) ( 3 )2 3 55
(4) (0.01)2 0.01
(5) (2)2 4 2
观察第5小题， 你猜想一下当a 0时, a2 _____
10、知识点概括
1、 二次根式的定义：
形如 a（a 0）的式子叫作二次根式
2、 二次根式的基本性质：
（1） ( a )2 a（a 0） （2） a 2 a (a 0)
11、课堂作业：
1、 课后思考： 你猜想一下当a 0时, a2 _____
2、 计算： (1) 9 2；(2) (0.2)2；(3) (3)2