理论力学第7版达朗贝尔定理
理论力学达朗贝尔原理
理论力学达朗贝尔原理达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）是理论力学中的一个重要原理，它为研究物体在平衡或运动状态下受力情况提供了重要的理论基础。
达朗贝尔原理的提出，极大地推动了理论力学的发展，对于解决复杂的力学问题具有重要意义。
达朗贝尔原理的核心思想是，在运动坐标系中，对于一个质点系的平衡或运动状态，可以把系统的动力学问题转化为静力学问题来处理。
这就是说，对于一个质点系，可以找到一个虚拟的平衡系统，使得外力在这个虚拟系统中所做的功等于零。
通过这个虚拟系统的构建，我们可以简化动力学问题的求解过程，使得复杂的运动问题变得更加清晰和直观。
达朗贝尔原理的应用范围非常广泛，不仅可以用于刚体的运动问题，还可以用于弹性体、流体等物体的运动问题。
在工程实践中，达朗贝尔原理被广泛应用于各种机械系统的设计与分析中，例如汽车、飞机、船舶等。
通过运用达朗贝尔原理，工程师可以更加准确地分析系统的受力情况，从而设计出更加安全可靠的机械系统。
除此之外，达朗贝尔原理还在理论物理学中有着重要的应用。
在量子力学和相对论物理中，达朗贝尔原理也被广泛地运用于分析粒子的运动规律和相互作用。
通过引入虚拟位移和虚拟功的概念，达朗贝尔原理为理论物理学提供了一种全新的研究方法，为科学家们深入探索微观世界提供了重要的理论工具。
总的来说，达朗贝尔原理作为理论力学中的重要原理，为研究物体的运动和受力问题提供了重要的理论基础。
它的提出和应用，极大地推动了理论力学和工程实践的发展，为科学家们和工程师们提供了重要的研究方法和设计工具。
在今后的研究和实践中，我们应该深入理解达朗贝尔原理的原理和应用，不断拓展其在理论力学和工程领域的应用范围，为人类的科学技术进步做出新的贡献。
理论力学经典课件第七章达朗贝尔原理
cos0.63
7-4-4 动约束力效应及消除方法 题型特点: 非稳定向:复力与加速度变化: 先由支国能定理，求速度和加速度 ，再用 动静法类似法: 习题7-20、7-21、7-31、7-33、7-34
r
m
r
m
r
m
r
2r
2m
r
m
(a)
(b)
静,动
静(c)Biblioteka 静,动mr mrm
(d)
静
7-4-4 动约束力效应及消除方法
1. C 0 Wc=0。
由 TTv W
R
1mvc211m2R22
C
2
23
m g ( 2 R 2 R c o s) + m g R ( 1 c o s) l
而 VC 2R ，
•
又
d
dt
di ωi ωj dt
F1
aC C
F2
rC
Fi
A
M IA y
dj ωj ωi d k 0 x
m aC
dt
dt
故 M IA ( J x α z J y ω z 2 ) i ( J y α z J x ω z 2 ) j J z α k
7-4-3 轴承动约束力
• 设动约束力如图。
z
令 d d F R 2 2 2 8 7 m g 4 8 3 m g c o s θ 4 8 3 m g s in θ 2 1 5 6 m g s in
0
sin 0 或 2 2 8 7m g4 8 3m g c o s 4 8 3 1 1 0 61 1 6 5c o s 0
即 22743 cos43105cos0
2020/3/31
达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年
第7章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的，是分析力学的两个基本原理之一。
该原理揭示，对动力系统加入惯性力后，惯性力与外力构成平衡，因而提供一种用静力平衡方法处理动力学问题的普遍方法——动静法。
§7.1 质点系的达朗贝尔原理7.1.1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理如图7.1所示，质量为m 的质点沿曲线轨道运动，受主动力F 和约束力N F 作用，由牛顿第二定律有N m +=F F a即0N m +-=F Fa 引入惯性力I m =-F a (7-1)则有0N I ++=F F F (7-2)这就是质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的所有主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。
这样，我们完全可以采用静力学的方法和技巧，求解动力学问题。
顺便指出，达朗贝尔原理作为分析力学的基本原理之一是不需要推导证明的。
这里由牛顿第二定律导出，可以说明它与牛顿力学在数学上的等价性。
问题7-1 如图所示，重为G 的小球用细绳悬挂，试求AC 绳断瞬时AB 绳的张力。
答 研究小球，加惯性力I F ，受力如图所示，由质点达朗贝尔原理，有0I T ++=F G F由力三角形有cos T F G =θ可见，加上惯性力，采用静力学中三力平衡的几何法求解决，直观简便。
2、惯性力的概念质点的惯性力I F 可以想象为：当质点加速运动时外部物质世界作用在质点上的一个场图7.1 质点达朗贝尔原理IF 问题7-1图力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。
惯性力与万有引力是完全等效的。
惯性力与参考系相关，如图7.2(a)所示，小球在旋转水平圆台上沿光滑直槽运动。
在地面惯性参考系观察，小球运动的绝对轨迹为螺旋线，见图7.2(b)，在水平面内受滑槽侧壁对它的作用力N F 作用，加速度如图所示；从转动圆台非惯性参考系观察，小球的运动轨迹沿槽直线，在半径方向，受牵连法向惯性力2()nnIe Ie F mr ω=F 作用，小球沿直槽加速向外运动。
理论力学第七章
7-2 惯性力系的简化
7-2-2 刚体惯性力系的简化 1.平面运动 ①一般情形
FIR maC , M I C dLC dt (LC J xz i J yz j J z k )
②主平面情形(如质量对称面)
LC J C ω , M IC J C α
e
Fi FI i 0
质点系达朗贝尔原理
即作用在质点系的全部外力与惯性力构成平衡力系。
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理
可列6个独立投影方程
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-1-2 质点系的达朗贝尔原理 问题 已知 m,l,θ,ω, AB h, 求A，B处动约束力。 加惯性力，受力如图。 由动平衡
FA
A
M 0,有
ml sin2
2 2
ml sin
l
2
mg
l
2
FA FB
O
h
ml sin
mg
B
FB
考虑斜杆质量时，结果如何?
7-1 质点系的达朗贝尔原理
7-2 惯性力系的简化
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 7-2-2 刚体惯性力系的简化
第七章 达朗贝尔原理
7-2-1 惯性力系的主矢和主矩 1.主矢:
FIR FIi mi ai m aC
与质点系运动形式无关 2.主矩: ①对固定点O
M O FI i M O F
e
且 M F
e O
dLO dt
故 M I O M O FI i
dLO dt
与质点系的分布及运动形式相关 同理 M I C
理论力学——达郎贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
ma = F + FN
将上式改写成
FI m F FN a
F + FN − ma = 0
令
FI = − ma
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F + FN + FI = 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、 约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的
1 3 3 maB = mg 2 16
1 13 FN = mg − maB tan 30 = mg 2 16
三、刚体惯性力系的简化
1. 刚体作平移
M IO = ∑ ri × FIi = ∑ r i × (− mi ai ) = ( − ∑ mi ri ) × aC = − mrC × aC
式中，rC为质心C到简化中心O的 矢径。若选质心C为简化中心， 主矩以MIC表示，则rC＝0，有
1 FI1 rC O C
ω α
M IC = − J C α
三、刚体惯性力系的简化
FI ＝－maC
M IC = − J C α
结论： 有质量对称平面的刚体，平行于此平
面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面 内的一个力和一个力偶。这个力通过质心， 其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶 的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面 的轴的转动惯量与角加速度的乘积, 转向与 角加速度相反。
三、刚体惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面） 工程中，作平面运动的刚体常 常有质量对称平面，且平行于此平 MIC aC 面运动。当刚体作平面运动时，其 C 上各质点的惯性力组成的空间力系， FIR 可简化为在质量对称平面内的平面 力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示, 取质心 C为基点, 设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速 度为 ω，角加速度为 α ，与刚体绕定轴转动相似，此 时惯性力系向质心C简化的主矩为
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学.14
m2 g )l sin ϕ − FI l cos ϕ = 0 2
ω2 =
2m1 + m2 g tan ϕ 2m1 (a + l sin ϕ )
14-5 曲柄滑道机械如图 14-5a 所示，已知圆轮半径为 r，对转轴的转动惯量为 J，轮上 作用 1 不变的力偶 M，ABD 滑槽的质量为 m，不计摩擦。求圆轮的转动微分方程。
∑ M x = 0, M − 2 FI ⋅ l cos ϕ = 0
其中 代入前式得
FI = m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2
209
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
k (ϕ − ϕ 0 ) − 2 ⋅ m ⋅ l sin ϕ ⋅ ω 2 ⋅ l cos ϕ = 0
ω=
k (ϕ − ϕ 0 ) ml 2 sin 2ϕ
y
m2 g 2
FAy
A FI
FAx
x
ϕ
m1 g
(a) 图 14-4
(b)
解
取调速器外壳为研究对象，由对称可知壳与圆盘接触处所受约束力为 FN = m2 g/2
取左圆盘为研究对象，受力如图 14-4b 所示，惯性力为
FI = m1 ⋅ (a + l sin ϕ )ω 2
由动静法
∑ M A = 0, (m1 g +
FI
a
FI
a
FS FN mg
(a) (b) 图 14-1
A FN mg
(c)
FS
解 取圆柱形零件为研究对象，作受力分析，并虚加上零件的惯性力 FI。 （1）零件不滑动时，受力如图 14-1b 所示，它满足以下条件： 摩擦定律
Fs ≤ f s FN
理论力学达朗贝尔原理(动静法)
由
cos
i
xi ri
,
sin i
yi ri
有 MI x mix iz i2 m i y iz i
记 Jyz m i y iz i, Jxz m i x iz i
称对 y、z 轴的惯性积， 对x、z 轴的惯性积。
M Ix J xz J yz 2
已知: P, R, J , a, m.
求：支座A，B受到的附加约束力。
解 ： FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 FIl2 Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得：FA
l1
1
l2
mgl2
Pl3
a
ml2
J R
第十五章 达朗贝尔原理(动静法)
§15-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持其原
有的运动状态，对于施力物体(人手)产生 的反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
FI m a
质点惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方
Fz 0 FBz FRz 0
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0
M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Iy FIxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
由 miar mi ar mar
理论力学PPT课件第7章 达郎贝尔原理
答：
2 aC 3 g
FT
1 3
mg
2021年11月2日
20
思考：
①匀质杆质量m,长L，接触面光滑。
求: 杆AB在图示水平位置静止释放时的角加速度。
解：杆作平面运动,此瞬时的角速度为零。
分别取A，B为基点，则有
2021年11月2日
21
acxacyaBaC B
acyacxaAaC A
aA
acx3L, acyL/2
交点上
2021年11月2日
16
§7.4 达朗贝尔原理的应用
例1 质量为m、长为L的匀质杆
AB在图示位置无初速释放。 求：释放瞬时杆AB的加速度、 柔索A、B内的拉力。
答：
agsin
FAFB
1mgcos
2
扩展性讨论
2021年11月2日
17
④已知滑轮A：m1、R1，R1=2R2，JO; 滑轮B：m2、R2，JC ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
56
FN
mg 29
2021年11月2日
27
例4 求匀质圆盘转动的角加速度和柔索的拉力。
2021年11月2日
答：
2mBg
mA 2mB
R
FT
mAmBg mA 2mB
扩展性讨论
28
例5 已知：两均质杆m, L。 求绳子剪断瞬时两杆的角加速度 1和2 ，
O
O
A
B
A
B
答： 1 0
2
3g 2L
2021年11月2日
2021年11月2日
37
思考:
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形，哪些情况 满足静平衡，哪些情况满足动平衡？
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-达朗贝尔原理(圣才出品)
图 13-4 解：以整体为研究对象，受力分析如图 13-5 所示。
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图 13-5
作出所有主动力、约束力和惯性力。
由平衡方程
可得
解得 当两轮压力相等时，
，解得
13-3 图 13-6 所示均质矩形块质量 m1＝100 kg，置于平台车上，车质量 m2＝50 kg， 此车沿光滑的水平面运动，不计定滑轮质量。车和矩形块在一起由质量为 m3 的物体牵引， 使之作加速运动。设物块与车之间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量 m3 的最大值，以及此时车的加速度大小。
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图 13-3 答：（a）满足动平衡，（b）满足静平衡，（c）、（d）不满足。 二、习题 13-1 图 13-1 所示由相互铰接的水平臂连成的传送带，将圆柱形零件从一高度传送到 另一个高度。设零件与臂之间的摩擦因数 fs＝0.2。求：（1）降落加速度 a 为多大时，零件 不致在水平臂上滑动；（2）在此加速度 a 下，比值 h／d 等于多少时，零件在滑动之前先倾 倒。
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图 13-3
当零件处于倾倒的临界状态时，由 M A = 0 可得
因为
，所以
,即
时零件先倾倒。
13-2 图 13-4 所示汽车总质量为 m，以加速度 a 作水平直线运动。汽车质心 G 离地 面的高度为 h，汽车的前后轴到通过质心垂线的距离分别等于 c 和 b。求其前后轮的正压力； 又，汽车应如何行驶能使前后轮的压力相等?
图 13-9 解：以圆盘 B 为研究对象，受力分析如图 13-10 所示。
理论力学达朗贝尔原理
§10-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的 惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ QmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
5
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
6
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
7
例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
8
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得
agtg
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0
对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
dv dvdv dvgsin dt d dt Rd
v2 2gR(1cos)
F Nm(3 g co s2)
§10-2 质点系的达朗伯原理
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理静力学研究物体在力系的作用下的平衡条件，动力学则研究物体的机械运动与作用力之间的关系，两者研究对象的性质不同，似乎没有什么共同之处。
然而让·勒龙一达朗贝尔在1743年提出了一个研究动力学问题的新的普遍方法，即用静力学研究平衡的方法来研究动力学问题，这就是达朗贝尔原理，也称为动静法。
达朗贝尔原理像一座桥梁一样把静力学和动力学连接起来。
达朗贝尔(Jean le Rond d’Alembert，1717—1783)，诞生于1717年11月17日，是18世纪法国启蒙运动的领袖人物之一，法国数学家、力学家、哲学家。
他出生后即被遗弃在巴黎的一座教堂附近，后被一玻璃匠夫妻收养。
达朗贝尔于1738年获得法学学位，但并未从事法律职业，相反他潜心研究科学并很快在事业上取得了成功。
在力学方面，他于1743年发表了《论动力学》，提出了著名的“达朗贝尔原理”，作为牛顿第二定律的另一种表述形式，把动力学简化为静力学问题。
他运用这种方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中。
在数学和天文学方面，他是偏微分方程论的创始人之一。
提出用极限的概念代替牛顿的“最初和最终比”。
他运用偏微分方程研究弦振动问题，解释了天文学上岁差和章动的原因。
并于1761 1780年间陆续出版了《数学论丛》共8卷。
在哲学方面，他是百科全书派的代表之一。
1746年，他与著名哲学家D．狄德罗一起编撰法国《百科全书》，负责撰写数学与自然科学及部分音乐方面的条目。
1754年，他被选为法兰西学院院士，1772年任学院终身秘书，对法兰西学院的发展有巨大影响。
13．1惯性力·质点的达朗贝尔原理设一质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为FN，如图13—1所示。
由牛顿第二定律，有具有力的量纲，称为质点的惯性力，它的方向与质点加速度的方向相反。
式(13—2)可以解释为：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力组成平衡力系。
理论力学PPT课件第7章达郎贝尔原理
动力学方程的概念
总结词
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学方程，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。
详细描述
动力学方程是描述系统运动状态变化的数学模型，包括牛顿第二定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等。这些 方程描述了系统在不同条件下运动状态的变化规律，是理论力学中的基本方程。通过求解动力学方程，可以预测 系统在不同条件下的运动状态。
冲量
在给定的时间间隔内，力对物体 的积累效应，等于物体动量的增 量。
达郎贝尔原理的重要性
揭示了力的作用效果
达郎贝尔原理揭示了力的作用效果与 冲量之间的关系，为研究动力学问题 提供了重要的理论基础。
简化问题
通过引入冲量，可以将复杂的动力学 问题简化为更易于处理的形式，有助 于理解和分析物体的运动规律。
等效约束反力在任意虚位移上所做的虚功等于原系统在相同 虚位移上所做的内力虚功。
达郎贝尔原理的证明方法
证明方法一
利用虚功原理和牛顿第二定律推 导达郎贝尔原理。
证明方法二
利用拉格朗日方程和约束反力推导 达郎贝尔原理。
证明方法三
利用哈密顿原理和变分法推导达郎 贝尔原理。
04
CATALOGUE
达郎贝尔原理的应用实例
广义达郎贝尔原理的意义
这个原理是经典力学和量子力学中的重要原理，对于理解 物理系统的动力学行为和演化规律具有重要意义。
非惯性系中的达郎贝尔原理
非惯性系中的达郎尔原理
在非惯性系中，由于存在额外的惯性力，达郎贝尔原理的形式会有所不同。此时，系统受 到的外力等于动量的时间变化率。
非惯性系中的达郎贝尔原理推导
理论力学ppt课件第 7章达郎贝尔原理
目 录
• 达郎贝尔原理的概述 • 达郎贝尔原理的基本概念 • 达郎贝尔原理的推导过程 • 达郎贝尔原理的应用实例 • 达郎贝尔原理的扩展与深化
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B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解：对于弹簧作功：
CA D
WBA
由W12
k 2
(12
k 2
(12
22)
22) 0.2（J）
1 2
OB l OA l
0.1 2 0.1（m） 0.1（m）
令：F Fx i Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 F cos ·ds（自然形式）
M1
力 F 在 M1 ~ M2路程上的功： W12
M2 F ·dr （矢量式）
M1
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fzdz)
（直角坐标式）
3. 常见力的功
1)、重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
A2 F dr
A1
A2 A1
k(r
l0 )er
dr
er
因
er
dr
r r
dr
1 2r
d(r
r)
1 2r
d(r 2 )
dr
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置
即
W12
k 2
(12
22)
的变形有关，与作用 点路径无关。
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
T
1 m
2i
vi2
1 2
vC2
mi
即
T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mivi
2
12mi
2ri 2
1
2
2
miri2 即
T
1 2
J z
2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心：P
T
1 2
J p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
W12
C2 C1
FR drC
2 1
M Cd
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 不考虑。
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点
WAD
k 2
( '12 '22
)
0.2（J）
'1 OA l 0.1（m） '2 OD l 0.1 2 0.（1 m）
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位：J（焦耳）
2、质点系的动能 T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T2 T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束 定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。
1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N) N dr 0 (N dr )
求：轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解： T1 0
T2
1 2
J
2
O1
1 2
m22
2
1 2
J
C
2 2
其中：JO m1R12
JC
1 2
m2
R2
2
1
C
R1
,2
C
R2
W12 M m2gSin ·S
S
R1
由W12 T2 T1
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
时,负功。 2
2
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。 刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F F cos
w F cos ·ds F ds F Rd M zd
从角1转动到角2过程中力 F的功为：
W12
1 2
M
z
d
若 M z 常量
W12 M z (2 1)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~ C2 ，转角由1 ~ 2时，力系的功：
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ，
dt
m d F dr
d(1 m 2 ) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 2
m22
M
m2 g
Sin ·S
C 2
4
(2m1
3m2 )
(a)
C 2
(M m2gR1 Sin )S
R1(2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
1 2 (2m1
3m2 )CaC
M
C
R1
m2 g
Sin ·C
aC
2 (M m2g R1Sin )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W (N) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
Fx Fy 0, Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系:
W 12
m g(z z )
i
i1
i2
由 mzC mi zi
W12 mg(zC1 zC2 )
重力的功只与始、末位置有弹性力：
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12
1 2
m12
W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于
作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
d
(1 2
mii2 )
wi
求和 d (12mii2 ) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。