清华大学微积分高等数学课件第15讲不定积分三
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高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
高等数学微积分
极限的计算涉及到各种技巧和方 法，如因式分解、等价无穷小替 换、洛必达法则等。
极限的运算
求极限的方法
求极限的方法有很多，包括直接求法、利用重要极限、利用洛必达法则等。
极限的应用
极限在很多领域都有应用，如物理、工程、经济学等。例如，在物理学中，极限被广泛应用于连续介质力学和量 子力学等领域。
02 导数与微分
极限与连续性的关系
连续函数的极限值等于函数值。
多元函数的导数与微分
导数
描述函数在某点处的变化率。
微分
函数在某点处的局部近似值。
导数与微分的应用
近似计算、优化问题等。
二元函数的极值与最值
极值
函数在某点处的局部最大或最小值。
最值
函数在整个区间上的全局最大或最小 值。
极值与最值的判定方法
导数法、二阶导数法、凹凸分析法等 。
微分方程的基本概念
微分方程是包含未知函数及其导数的等式，用来描述现实世界中的各种变化规律。
微分方程的分类
根据方程的形式和复杂程度，微分方程可以分为线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微 分方程等。
一阶微分方程的解法
定义和例子
一阶微分方程是最简单的微分方程，如 y'=2x, xy'=1 等。
面积和体积计算
定积分在计算平面图形面积和旋转体体积等 方面有广泛应用。
物理应用
定积分在物理中有广泛应用，如计算变力做 功、引力等。
经济应用
定积分在经济中有广泛应用，如计算成本、 收益、利润等。
04 多元微积分
多元函数的极限与连续性
连续性
函数在某点处可平滑过渡，无间断。
极限
描述函数在某点处的变化趋势，是函数值的 界限。
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
2010考研数学基础班讲义-微积分第15讲_第二类曲线积分与第一类曲面积分
基础班微积分辅导第15章第二类曲线积分2与第一类曲面积分1. 平面曲线积分与路径无关的条件D ∂定理15.1 (Green 公式) 设为平面上的有界连通闭区域,记D 为 的有向边界,其正方向的定义为:沿的正方向走, 区域在其左边.若平面二元向量值函数是类函数(即在有一阶连续偏导数),则D D ∂D )1(C D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F ),(),,(y x Y y x X ∫∫∫∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+D D dxdy x X x Y Ydy Xdx 【证】定理15.2 在单连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，线积分与路径无关（任意闭路积分为零） ⇔yXx Y ∂∂=∂∂。
【证】定理15.3 在单连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，则存在中的可微函数满足D y XxY ∂∂=∂∂⇔),(y x u Ydy Xdx Y x u +=),( 。
【证】定理15.4 在复连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，且满足yXx Y ∂∂=∂∂，则 （1）当中有唯一奇点时，则环绕的任意闭路积分恒为一个常数。
0P 0P D （1）当中有有限个奇点点时，则在任意环绕在内的闭路积分恒为一个常数：n P P P ,,,21L n P P P ,,,21L D C ni L Li≡=∑∫∫=1。
【证】→→2,2(ππB )2,2(ππ−C 2,2(ππ−A L 例15.1设有向折线为的两段线段构成，计算。
xdy dx y L22sin cos −∫【解】（方法1）∫∫∫−+−=−BCABLxdy ydx xdy ydx xdy dx y 222222sin cos sin cos sin cos πππππππ−=−−=∫∫−−22222cos 2sin22dx dy 。
《不定积分概念》课件
《不定积分概念》PPT课 件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
清华大学微积分(高等数学)课件第15讲_不定积分(三)
2018/8/30
2 x2 1 ln C 3 x 1 x 2
11
[例2] 求积分 I
x x 1 dx 5 4 3 2 x x 2x 2x x 1
3
[解] (1)将分母分解因式
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1 ( x 1)( x 2 1)2
2
一、有理函数的积分
（一）代数有理函数的积分
Pn ( x ) R( x ) Qm ( x )
其中
Pn ( x ) a0 x a1 x
n m
n 1
a n 1 x a n bm 1 x bm
Qm ( x ) b0 x b1 x
m 1
当n m时, 真分式; 当n m时, 假分式
1 Bp 2C dx 2 B ln x px q 2 2 2 x px q
1 Bp 2C dx 2 B ln x px q ( x p )2 (q 2 2 2
2018/8/30 5
p2 4
)
1 1 B ( 2 x p ) Bx C 2 2 Bp C (4) 2 dx dx n 2 n ( x px q ) ( x px q)
B 1 2 n 1 2(1 n) ( x px q)
Bp 2C dx p 2 2 [( x 2 ) (q
2018/8/30
p2 4
)]n
6
如何将真分式分解为最简分式之和 ？
定理1： 任意一个实系数多项式
Qm ( x ) b0 x b1 x
m k 2 m 1
代数有理函数 多项式 真分式
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分ppt课件
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包权
人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
微积分 不定积分 教案 pptPPT课件
xC .
28
6.
sin x
x dx 2 sin
xd
x 2cos
xC .
7.
dx x(1 2 ln x)
1
1 2 ln
d(ln x
x)
1 2
1
1 d(1 2ln 2ln x
x)
1 ln1 2
2 ln
x
C
.
8.
tan
x
dx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C ln sec x C .
2
21
例4 运用 d (x2 ) = 2x dx
xdx x4 1
1 2
d (x2 ) x4 1
1 2
d (x2 ) (x2 )2 1
ux2
1 arctan u c
1 arctan(x2 ) c
2
2பைடு நூலகம்
22
“凑微分”的方法有:
(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,
依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
G(u) C G[ ( x)] C . 凑微分
sin2x dx 2 sin x cos x dx 2 sin x d(sin x)
sin2 x C .
18
凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积 函数的中间变量变得与积分变量相同.
19
例1
e3xdx 1 凑微分 e3xd (3x) 1 (e3x c)
(11) csc x cot x dx csc x C;
(12) ex dx e x C; (13) a x dx a x C;
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
第15讲商的不定积分-有理函数积分
第15讲 商的不定积分-有理函数积分一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点 六、教学过程：（二）商函数的不定积分-有理函数的积分上面介绍了积分学中两种典型的积分方法，对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数的有理式等，通过恒等变形，就可应用上述方法进行求解.一、有理函数的不定积分由两个多项式函数的商构成的函数称为有理函数，形如mm m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R ++++++==-- 110110)()()(， 其中n m ，为非负整数，m n b b b a a a ,,,,,,1010 ，都是常数，且0000≠≠b a ，. 若n m >，则称)(x R 为真分式；若n m ≤，则称)(x R 为假分式。
注意，由代数知识可知, 有下面三个结论：① 利用多项式除法总可以将假分式化为一个多项式与一个真分式的和；例如,13112322323424+--+=+--+-++-=+-x x x x x x x x x x x x x x x x x ； ② 任意多项式在实数范围内一定可被分解成一次因式和二次质因式的乘积.③ 若μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ，其中040422<-<-s r q p ，，则， 真分式)()(x Q x P 总可以被分解成如下最简分式（分母为一次因式或二次质因式的真分式）的和：+-++-+-++-++-+-=--)()()()()()()()(121121a x B a x B a x B a x A a x A a x A x Q x P βββααα）（）（）（）（）（）（s rx x S x R s rx x S x R s rx x S x R q px x N x M q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++++++++++++++--2222211212222111μμμλλλλμ其中 μμλλβαS S R R N N M M B B A A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,111111 为待定常数。
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（二）三角有理函数的积分
有理函数
R(sixn, coxs)dx
令tan x t 2
2 dx 1t2 dt
2t sinx 1 t2
万能
1 t2 cosx 1 t2
代换
R1(t)dt
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代数有理函数的积分 17
[例 3]求 积 I分 2c 1oxsdx
I3
dx (2sinx)c oxs
1 32c soxixsn d x1 32c soxixsn dx
3 2cdo xx 1 3 sd(cco x x)o s1 3s d(2 2 ssix ix n )n
2 ls ne x tca x n 1 lc nx o 1 sl2 n sx i n C
唯 一 地 分 解 为 最之简和 ,分 解 式 规
如 下: (1) 一次单因式对应一A项
(xa)
(2) 一次 k重因式k对 项应
(xA 1a)(xA 2a)2 (xA ka)k
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(3)
二
次
单
因
式
对 应 Bx一C项 x2 pxq
(4) 二次k重因式对应k项
B1x C1 (x2 px q)
I4x 1 d x 4x 2 1 d x 2(x 2 1 )2dx
1
1d(x21) 3 dx
4ln x18 x214x21
1 d(x21) 3 dx
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4
(x21)2
2
(x21)213
I1 4ln x11 8d(x x 2 2 1 1 )4 3x2 d1 x
2
19
例2:1sindxxcoxs
dx 2sinxcosx2co2sx
22
2
x
d(1tan) 2
1tanx
ln|1ta nx| c 2
2
例3:
s
dx in2 2x
1 dx 4sin2 xco2sx
1 4ssi2 i2 x n x n c c2 o 2 o x x s s1 4(1s(2te x a xc c n2 s cx o)c d xt)x c
1 4
d (x (x 22 1)12)2 3
dx (x21)2
1lnx11lnx2(1)3arcxtan
4
8
4
1 1 31 x 1 4x212[2x212arcx]ta Cn
即I1[l 4
nx x2 113 xx 2 1 1]C
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2020/3/2 (B CD E )x(A CE )
12
A B 0
C2 ABB1C D 0
B
C
D
E
1
A C E 1
A 1, 4
D 1, 2
B1, 4
E3 2
C 3, 4
1 1 1x 3 1 x 3
AB C xD E x
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1x 1 x 2 1 (x 2 1 )2
( 3 )用 比 较 系 数 法 确 定 常 数
x3x1A (x21)2(Bx C )x (1)x (21)(Dx E )x (1)
(A B )x4(CB )x3(2A B CD )x2
[例 1]:s im nsxin nxdx 1 2[cm o sn)(xcom sn ()x]dx
com s xcons xdx
1 2[cm o sn)(xcom sn ()x]dx
sinmxcons xdx
1
[sim n n ()xsim n(n)x]dx
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例x 如 2 x 3 x1 ： 1x1x2 2 x1
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3
• 真分式 可分解为 四 简类 分最 式 的和
(1) A xa
A (2) ( x a)n
BxC (3) x2 pxq
BxC (4) (x2 pxq)n
四类最简分式的积分
(1)xA adx A ln xac
[解] 令tan x t
2
1
1 1t2
2c
oxs21 1 tt2 2
3t2
2 dx 1t2 dt
1
I 2 3t2dt
2 arctatnC
3
3
2 arctatna(n2x)C
3
3
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三角函数有理式积分的最常用的方法是用
三角恒等式将问题化简
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4
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[例 4]求 积 I分 3s1i2n xdx
[解]
se2cx I 3se2cxta2nxdx
d(tanx) 34tan2 x
3
Hale Waihona Puke 2 arctantanxC
6
3
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21
[例 5]求 积 I分 (2si1xn )coxdsx
[解一]
1 4(si2nxco2xs)
n
)d x cxd
令
axb
n
t
cxd
R1(t)dt
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代数有理函数的积分 26
(4)R(x, a2xb xc)dx
只 要 求 (a0, b24a c0) 经配方
a2u 2du令 uasitn
u 2a2du令 uatatn
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1 du
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[例 2 ]求I 积 x 5 分 x 4 x 2 3 x 3 x 2 1 x 2 x 1 dx
[解] (1)将分母分解因式
x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 x 1 ( x 1 )x 2 ( 1 ) 2
(2)将真分式分解
x 3 x 1
14
[注意] 计算最后一个积分时, 利用了递推公式
dx 1 x 1 dx
(x2a2)n 2a2 x2a22a2 x2a2
1 x1
x
2a2(x2a2
arcta)nC
a
a
(a1, n2)
dx 1 x 1 dx
(x21)2
2
x2
1 2
x21
1x 1
R1(t)dt
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代数有理函数的积分 24
(2 )R (x ,n 1a b x ,n 2a b x , ,n ka b x ) dx
令naxbt
n为n1, n2, , nk 的最小公倍数
R1(t)dt
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代数有理函数的积分
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a xb
(3)R(x,
A
A
(2 )
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(xa)nd x(1n )x (a)n 1 4 c
(3 ) x 2 B p C x x qd x1 2B (2 x x 2 p p ) 1 2 x B q C pdx
1 2B ln x 2p x qB 22 p Cx 2 d p x x q
(x a)k 与(x2 px q)l ( p2 4q 0)
诸 因 式 之:积
Qm(x)b0(xa1)k1(xa2)k2(xas)ks
(x2p1xq1)l1(x2p2xq2)l2
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(x2prxqr)lr
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定理2：设Pn(x) 是一个真,分 则式 它可 Qm(x)
6t2
dx
dt
(t3 1)2
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I 3 t3 1 1 d t t 1 1 d tt2 t t2 1 dt ln t11 2(2 t2 t 1 t) 13dt
B2, C1 3
x 5 21 21 1 x 3 3 x 2 4 3 x 1 3 x 2 (x 2 )2
x5
x33x24dx
2 dx2 dx dx
3x13x2(x2)2
2 x2 1
ln C
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3 x1 x2
B
1
2(1n)(x2pxq)n1
Bp2C
dx
2
[x (2 p)2(qp 42)n ]
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6
如何将真分式分解为最简分式之和 ？
定理1：任 意 一 个 实 系 数 多 项 式
Qm(x) b0xm b1xm1 bm1x bm 都 可 以 分 解 为 一 个与常形数如
3
3
3
2
1 coxs
ln sexctaxn ln C
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3
3 2sixn
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[解二]
I(2scix)o x n cs 2 o xds x (2sd ix ()n s 1 (x )isn 2 ix n )
1 3
1
2
1 6
d (sx )in
2 sixn 1 sixnsix n 1
B2x C2 (x2 px q)2
Bk x Ck (x2 px q)k
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[例1]
将 x3
x5 分 3x2 4
解为
最
简
分式
[解] (1)将分母分解因式
x 3 3 x 2 4 (x 1 )x ( 2 )2
(2)将真分式分解
x3 x3 x5 24xA 1xB 2(x C 2)2