1010导数导学案完整版
导数学案(完整版)精心
选修〔 1-1〕第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；2.理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思虑 ]：阅读开篇语，认识课程目标1.微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题研究一 ]：气球膨胀率吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。
从数学的角度如何描绘这类现象 ? 阅读教材 P72并思虑：〔 1〕问题中波及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2〕“气球的半径增添得愈来愈慢〞的意思是“〞，从数学角度进行描绘就是“适用标准文案当空气容量从 2.5 L增添到 4 L时，气球半径r 增添了，气球的均匀膨胀率为；能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐.〔 4〕思虑：当空气容量从V1增添到 V2时，气球的均匀膨胀率是[问题研究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系)t2t10h t如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？(阅读教材 P73并思虑：h假定用运发动在某段时间t1 , t 2内的均匀速度v 描绘其运动状态，那么：〔 1〕v =；〔 2〕算一算：在 0t0.5 这段时间内， v =ot 在 1t 2 这段时间内， v =t1 t2在 0t65这段时间内， v =49[新知 ]：〞，即气球的均匀膨胀率就是.〔 3〕运用上述数学解说计算一些详细的值当空气容量从0 增添到 1 L时，气球半径r增添了，气球的均匀膨胀设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点x2， x1与 x2的差记为x，即x =率为；或许 x2 =， x 就表示从x1到x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，当空气容量从1L 增添到2 L 时，气球半径 r 增添了，气球的均匀膨胀率即 y =；假如它们的比值y ，那么上式就表示为，此比值就称为均匀变化率 .为；x当空气容量从2L 增添到 L 时，气球半径 r 增添了，均匀变化率： _______________ = ______气球的均匀膨胀率为；反省：所谓均匀变化率也就是的增量与的增量的比值 .出色文档适用标准文案[ 试一试 ]：[研究 ]：计算[问题研究二]运发动在0 t 65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：例：函数2，分别计算 f ( x) 在以下区间上的均匀变化率：49 f ( x) x〔1〕1，〔2〕1，2〔 1〕运发动在这段时间内使静止的吗？〔 3〕1，1x〔 2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？研究过程：[知识回想 ]：什么是函数y f ( x) 的均匀变化率？如何求均匀变化率？[ 思虑 ] ：当x愈来愈小时，函数 f ( x) 在区间1， 1x 上的均匀变化率有如何的变化趋向？[想想 ]：既然用均匀速度不可以精准描绘运发动的运动状态，那该如何求运发动在某一时辰的速度呢？y =回复以下问题：[ 变式 ] ：函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及周边一点 1 x ， 2y ，那么1．什么是刹时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,均匀速度v有什么样的变化趋向？3. 运发动在某一时辰t0的刹时速度如何表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求刹时速度1.函数 f ( x) 的均匀变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，那么在 t2 时辰的刹时速度是2.求函数 f ( x) 的均匀变化率的步骤：〔 1〕求函数值的增量；〔 2〕计算均匀变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的均匀变化率[新知 ]：[再思虑 ]：计算[问题研究二]中运发动在0 t 651. 函数y f (x) 的刹时变化率如何表示？这段时间里的均匀速度，思虑以下问题：49（1〕运发动在这段时间内使静止的吗？（2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？二、导数的观点 2. 什么是函数y f ( x) 在x x0处的导数？如何表示？其实质是什么？出色文档适用标准文案[思虑与研究一]：曲线的切线及切线的斜率如图，当P n(x n, f (x n))( n1,2,3,4)沿着曲线 f (x) 趋近于点P( x0, f (x0))时，割线PP n的变化趋向是什么？[试一试 ]：例 1．〔 1〕用定义求函数y 3x2在x1处的导数.〔 2〕求函数f(x)=x 2x 在x1周边的均匀变化率，并求出在该点处的导数．图当点 P n沿着曲线无穷靠近点P 即x→ 0 时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立地点的直线例 2．阅读教材 P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的刹时变化率PT 称为曲线在点P 处的., 并说明它们的意义 .[想想 ]：〔 1〕割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？〔 2〕切线 PT 的斜率k为多少？[ 学习小结 ]：1．刹时速度、刹时变化率的观点〔 3〕此处切线的定义与从前学过的切线的定义有什么不一样？2．函数y f ( x) 在x x0处的导数及其实质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的观点三、导数的几何意义〔阅读教材P74-75〕[新知 1]：导数的几何意义：出色文档1.函数 y f ( x) 在x x0处的导数等于即 f (x0 )lim f ( x0x) f (x0 )xkx 02.函数 y f ( x) 在x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的根本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x获得曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f (x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的差别与联系？[ 试一试 ]：例 1:〔1〕求曲线y f ( x) x21在点P(1,2)处的切线方程.例 2：在曲线y x 2上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？适用标准文案例 3：〔1〕试描绘函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1 周边的的变化状况.〔 2〕函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大概形状.[练一练 ]：〔 1〕求函数 f ( x) 3x 2在点x1处的切线方程.〔 2〕设曲线 f ( x)x2在点 P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f (x) 在点x0处的导数f ( x0)、导函数 f (x) 、导数之间的差别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的根本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思虑 ]： 1.本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些疑惑？快快去解决 .课题：§ 导数的计算出色文档学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握根本初等函数的求导公式及导数的运算法那么，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时辰的刹时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义自己，给出了求导数的最根本的方法，但因为导数是用极限来定义的，因此求导数老是归纳到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们先来求几个常用的函数的导数．[思虑与研究 ]：阅读教材 81-82，利用导数的定义，试试自己推导函数y c 、 y x 、y x 2 、P1 y的导数x[练一练 1] ：利用导数的定义函数y x 3 的导数适用标准文案〔 1〕y x3〔 2〕y x x〔3 〕y 1x2〔 4〕 y 2 sin x cosx〔 5〕 y1 22x例 2：〔 1〕求 y1 在点 (2, 1) 处的切线方程x 2〔 2〕求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程〔 3〕求 y sin x 在点 A(, 1) 处的切线方程 6 2〔 4〕设曲线f ( x)2x 2在点 P 0 处的切线斜率是3，那么点 P 0 的坐标是二、根本初等函数的导数公式及导数运算法那么[记一记 1]：根本初等函数的导数公式( c)〔 5〕在曲线1. _________2. ( x )________〔为有理数〕 ( 1)_________x3. ( ex)_________(a x )_________( a 0,a 1)〔 6〕求过点 4. (ln x) __________(log a x)________( a 0, a 1) 5. (sin x)_________(cos x)_________y x 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？P 2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[练一练 2]例 1：求以下函数的导数[记一记 2]：导数运算法那么： 设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，出色文档1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求以下函数的导数：〔 1〕y1x ；〔 2〕 y log 3x〔 3〕 y 2x5 3 x2 5 x 4 ；〔4〕y练 2. 求以下函数的导数：〔 1〕 y x3log 2 x ；〔 2〕 y x n e x；cf ( x)_____________.2e x；3cos x 4sin x .x31〔 3〕ysin x适用标准文案[提升篇 ]1.〔旭日一模〕函数 f x x 2 a 2 x a ln x，此中a R ，求曲线y f x 在点2, f 2处的切线的斜率为1的值 .〔如改为切线方程〕，求 a2. 〔 2021 北京〕函数f xax2 1 a0 ， g x x3bx .假定曲线y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处拥有公共切线，求a,b 的值.练 3.〔 1〕设曲线y x 1在点 (3, 2) 处的切线与直线 axy 1 0 垂直，那么a的值.x1〔 2〕〔2021 年江西〕假定曲线y x 1 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α的值 .[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要按照先化简，再求导的根来源那么。
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数的应用之导数与函数的单调性(导学案)
导数的简单应用之层数与函数的单调性（导学案）学习目标：（1）能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；（2）能解决含参函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
学习重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
学习难点：探求含参函数的单调性的问题。
复习回顾：导数的概念、几何意义、导数的计算基础梳理：函数的单调性与导数的关系：.（1）函数)(x f y =在某个区间内可导①若0)(/>x f ,则)(x f 在这个区间内 ；②若0)(/<x f ,则)(x f 在这个区间内 ；③如果在某个区间内恒有0)(/=x f ,则)(x f 为 ；（2）求解函数()y f x =单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的 ； ②求导数''()y f x =； ③解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为 ；④解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为 ．质疑探究：在区间(a ，b )内，若f ′(x )＞0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：)(x f 在(a ，b )内单调递增，则 。
结论：f ′(x )＞0是)(x f 在(a ，b )内单调递增的 条件。
基础检测：1、已知函数的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =。
试画出函数()y f x =图像的大致形状．2、判断函数3()3f x x x =+的单调性，并求出单调区间．考点突破：例1、(2012年高考重庆卷)设f(x)=12321ln +++x x x a ，其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值。
2019-2020年高中数学北师大版选修1-1《导数的概念与几何意义》word导学案
2019-2020年高中数学北师大版选修1-1《导数的概念与几何意义》word导学案1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数.2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法.如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是.问题2:导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:=;(3)求极限:y'=.问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)=.相应的切线方程是:.问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.1.下列说法正确的是().A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在2.如果曲线y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么().A.f'(x0)>0B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).导数概念的理解已知f'(x0)=2,求.求切线方程已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.已知f(x)=x3-8x,则= ; = ;= .过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是( ).A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定2.已知y=,则y'的值是( ).A.B.C.2D.3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().A. B.1 C.D.2考题变式(我来改编):第2课时导数的概念与几何意义知识体系梳理问题1:点P n趋近于点P时,割线PP n趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线问题3:= y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)问题4:瞬时变化不止一个基础学习交流1.D当切线平行于y轴时,切线斜率不存在,则f'(x0)不存在.2.B由x+2y-3=0知斜率k=-,∴f'(x0)=-<0.3.(1,0)或(-1,-4)f'(x)===3x2+1,由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f'(x0)=3+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.解:f'(x0)===3.重点难点探究探究一:【解析】由已知得:=2,当h→0,2h→0,-4h→0,==2.[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?[结论]没有,在导数的定义形式中,增量Δx的形式多种多样,但是无论增量Δx选择哪种形式,Δy必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非零常数).于是,正确解答为:=-4=-4=-4f'(x0)=-8.【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念.探究二:【解析】将P(2,-1)代入y=,得t=1,∴y=.∴===.(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2==1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],即x-4y+3=0.【小结】1.因为“在某点处”和“过某点的”切线方程求法不同,所以解答这类问题需判断点是否在曲线上.2.求曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程.(1)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)即为切线的斜率.(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(3)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在,则切线与x轴垂直;若f'(x0)>0,则切线与x轴正向夹角为锐角;若f'(x0)<0,则切线与x轴正向夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与y轴垂直.探究三:【解析】设P点坐标为(x0,y0),y'====(2x+Δx)=2x.∴y'=2x0,又由切线与直线4x-y+2=0平行,∴2x0=4,∴x0=2.∵P(2,y0)在抛物线y=x2上,∴y0=4,∴点P的坐标为(2,4),∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.【小结】1.解决本题应用了方程的思想,这其实是已知切点求切线方程的逆应用过程.2.根据斜率求切点坐标的方法步骤为:(1)先设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.思维拓展应用应用一:44-2f'(x)====(3x2+3x·Δx+Δx2-8)=3x2-8,∴f'(2)=4.=f'(2)=4.==f'(2)=4.=-=-f'(2)=-2.应用二:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3,==(Δx)2+3Δx+3.当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为k1==(0.1)2+3×0.1+3=3.31.曲线在点P处的切线的斜率为k2==3.应用三:(1)将x=1代入y=x3得y=1,∴切点P(1,1),y'====3x2.∴y'|x=1=3,∴点P处的切线方程为y=3x-2.(2)由得(x-1)(x2+x-2)=0,∴x=1或-2.∴公共点为(1,1)或(-2,-8),∴还有其他公共点(-2,-8).基础智能检测1.B f'(x A)与f'(x B)分别表示函数图像在点A, B处的切线斜率,故f'(x A)<f'(x B).2.BΔy=-,=,===’∴y'=.3.2由题意=(aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又3=a×12+b,∴b=2,∴=2.4.解:f'(1)=====(Δx+2)=2,即切线的斜率k=2,所以y=x2在点A(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.全新视角拓展D∵点(1,f(1))在切线x-2y+1=0上,∴f(1)=1,又f'(1)=,∴f(1)+2f'(1)=1+2×=2.。
导数导学案3
新知：当割线PP n 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线 PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线* 割线的斜率是：k n _________________________当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线 PT 的斜率.因此，函数f(x)在X X 0处的导 数就是切线PT 的斜率k ，即k lim 丄^^一X)f(X 0) f /、八X 0 新知：函数y f(x)在x o 处的导数的几何意义 是曲线y即 k =f(x 0) lim f(x x) f(x 0)x 0探典型例题例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数§.1.3导数的几何意义上一学习目标一 _ 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 会运用概念求导数. 理解导数的概念并 心学习过程-、课前准备(预习教材P 11〜P 13，找出疑惑之处) 1:曲线上向上P(X 1,y 1),p(X 1x,y 1 y)的连线称为曲线的割线，斜率 复习 复习 改变 称为函数f (x)在点x 0的瞬时变化率. 记作：当 2：设函数y f(x)在x o 附近有定义当自变量在 x X o 附近改变 x 时， ，如果当x __________ 时，平均变化率趋近于一个常数 函数值也相应地 I ，则数I 时, 二、新课导学 探学习探究探究任务：导数的几何意义问题1:当点 R(X n ,f(X n ))( n 1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P (x 。
，f^))时，割线的变化 f(x)在P(x o ，f(X0))处切线的斜率. 2h(t) 4.9t 6.5t 10的图象.根据图象请描述、比较曲线h(t)在t o,t l,t2附近的变化情况.小结：练1.求双曲线y丄在点(丄,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.x 2练2.求y x2在点x 1处的导数.三、总结提升探学习小结函数y f(x)在X o处的导数的几何意义是曲线y f(x)在P(x o, f (x o))处切线的斜率.即k=f(x o) lim f(x x) f(x o)x o其切线方程为__________________________________探知识拓展导数的物理意义：如果把函数y f (x)看做是物体的运动方程(也叫做位移公式，自变量x表示时间)，那么导数f (X o)表示运动物体在时刻x的速度，而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即，即在X o的瞬时速度.即v xo f (xj lim」to x v(t) lim」称为物体运动时的瞬时加速度.\ 1 t O t__学习评价…一探自我评价你完成本节导学案的情况为(A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量：5分钟满分：1O分)计分：1.已知曲线y 2x2上一点，则点A(2,8)处的切线斜率为(A. 42.曲线yA. yC. yB. 162x21在点4x 14x3. f (x)在x x o可导,h都有关C. 8D. 2P( 1,3)处的切线方程为(B. yD. ylim迪h 0hB.仅与x。
导数导学案
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为
9.若 ，则 等于
课后作业
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※动手试试
练1.求下列函数的导数：
新知：
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
※典型例题
例1假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价 (单位：元)与时间 (单位：年)有如下函数关系 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来观察其关系：
导数全部教案
3.1.1-2变化率问题与导数的概念（1）三维目标1、知识与技能：①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。
2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。
3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。
（4）教学建议：1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。
注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。
2、对于导数定义：在定义()0'x f =xx f x x f x fx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000给出后，可以给出定义的几种变化形式：()x f'=xx x f x f xy x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(limlim 000；以及()x f '=00)()(lim )(lim00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；或()x f '=xx f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；而0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-。
通过比较理解实质。
另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。
教学过程一．新课讲授 （一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =，⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；二．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
导数(1-1)导学案(导数的几何意义)-冯建新
1 1 在点 p 4, 处的 x 2
1 ，则曲线在点 p 处的切线 16
线的斜率是
2
，该切线方程是
7.若曲线 y x 1 的一条切线平行于直线
y 4 x 3 ，则这条切线方程为
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
编者:冯建新
§3.2.1 常数与幂函数的导数 §3.2.2 导数的四则运算法则
总结：2、已知点不在曲线上，求过这点的 切线方程 已知曲线 y f (x) 和曲线外一点 p x1 , y1 求过点 p 的切线方程的步骤。
总结：3、已知曲线上一点，求过这点的切 线方程 已知曲线 y f (x) 及曲线上一点 p x1 , y1 求过点 p 的切线方程的步骤。
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
学习过程
一、课前复习 1、瞬时变化率的概念：
o
导数的几何意义：
曲线 y f (x) 在点 x0 , f x0 处的切线的 2、导数的概念： 斜率等于函数 y f (x) 在该点处的导数
f ( x0 ) ，
二、新课导学
思考问题
问题 1：初中平面几何中圆的切线的定义是 什么？
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
编者:冯建新
§3.1.3 导数的几何意义
学习目标
1、知道曲线的切线定义，理解导数的几何 意义； 2、导数几何意义简单的应用． 教学重点： 导数的几何意义，及其实际应用。 教学难点： 对导数几何意义的理解与掌握。
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
导数(1)导学案
课题：导数的概念及几何意义复习【学习目标】 (1)理解导数的几何意义；熟记常见基本初等函数的导数公式和掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；（2）会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【重点难点】会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【使用说明及学法指导】结合课本使用导学案，复习本节课的知识点，重要的公式法则和题型所对应的解题方法规律；先独立做并记录好疑难点，在课堂上针对性的学习。
【知识链接】1、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
2、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。
注意)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 问题：导数的物理意义是：复习2：常见函数的导数公式： 幂函数：='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e 对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x 复习3[()()]f x g x '±= [()()]f x g x '=()[]()f xg x '=【预习案】1：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y = 2求函数323y x x =-+的导数.3（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=4 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-. 5．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A. 18B. 41C. 21 D. 1 7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数8、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=9、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____10、曲线y ＝x 3－23 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 11、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .12、已知曲线x x y ln 3212-=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 13、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 14、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a15、曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 16、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是 17、在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为【探究案】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．变题：已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. 求a ，b 的值；拓展1已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
高中数学选修导数导学案精编
§1.1.1函数的平均变化率【知识要点】1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商xx f x x f ∆-∆+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：ΔyΔx ＝__________表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题3 平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？ 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率ΔyΔx ＝1212)()(x x x f x f --.【拓展提高】1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆§1.1.2瞬时速度与导数【知识要点】1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率t t s t t s ∆-∆+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝__________________2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝________________4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为【问题探究】探究点一瞬时速度问题1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态？问题2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题3如何描述物体在某一时刻的运动状态？m/.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?例1火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s问题4火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速m/，求常数a的值．度为8s探究点二导数问题1从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？问题2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？问题3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．跟踪训练2已知y＝f(x)＝x＋2，求f′(2)．探究点三导数的实际应用t0时，边长变为10(1＋at)cm，a为例3一正方形铁板在0℃时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀．当温度为C常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原0)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明油的温度(单位：C它们的意义．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于02．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( )A ．at 0B ．－at 0C ．12at 0D ．2at 03．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是 ( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．已知函数f (x )＝1x，则)1(f '＝________【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率Δy Δx ； （3）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx .【拓展提高】1．()()()为则设hf h f f h 233lim,430--='→（ ）A ．－１B ．－2C ．－3D ．12．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为23416441t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末§1.1.3导数的几何意义【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 图1例1 如图1，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为§1．2.1-2.2 常数函数与幂函数的导数&公式表【知识要点】1．几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝___ f (x )＝x f ′(x )＝___ f (x )＝x 2 f ′(x )＝___ f (x )＝1xf ′(x )＝_____ f (x )＝xf ′(x )＝_______2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 y ＝c y ′＝____ y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝______ y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q)y ′＝_______y ＝sin x y ′＝________ y ＝cos x y ′＝________ y ＝a x (a >0，a ≠1) y ′＝________ y ＝e xy ′＝_____ y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝______ y ＝ln xy ′＝______【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1）y ＝c ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x 2；（4）y ＝1x；（5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3；（2）y ＝5x ；（3）y ＝1x3；（4）y ＝4x 3；（5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8；（2）y ＝(12)x ；（3）y ＝x x ；（4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( ) A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为__________§1.2.3导数的四则运算法则(一)【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f (x )和g (x )两个函数的 和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝________________ 两个函数的 差的导数 [f (x )－g (x )]′＝_________________两个函数的 积的导数 []')()(x g x f ＝____________________两个函数的 商的导数'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ＝___________________ 【问题探究】探究点一 导数的运算法则问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝3x－lg x ； （2）y ＝(x 2＋1)(x －1)； （3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【知识要点】复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 ，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作 .复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ . 即y 对x 的导数等于___________________________________.【问题探究】探究点一 复合函数的定义问题1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2求下列函数的导数．（1）y＝ln 1x；（2）y＝e3x；（3）y＝5log2(2x＋1)．探究点三导数的应用例3求曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3曲线y＝e2x cos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为5，求直线l的方程．【当堂检测】1．函数y＝(3x－2)2的导数为()A．2(3x－2) B．6x C．6x(3x－2) D．6(3x－2)2．若函数y＝sin2x，则y′等于 ()A．sin 2x B．2sin x C．sin x cos x D．cos2x3．若y＝f(x2)，则y′等于()A．2xf′(x2) B．2xf′(x) C．4x2f(x) D．f′(x2)4．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 【课堂小结】求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠, 不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________ §1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识要点】一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性 f ′(x )>0单调递___ f ′(x )<0单调递____ f ′(x )＝0 常函数【问题探究】探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2 若函数f (x )在区间(a ，b )内单调递增，那么f ′(x )一定大于零吗？问题3 （1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状．跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln x.跟踪训练2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？ ()跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【当堂检测】1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 2． f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( )A ．⎝⎛⎭⎫0，1aB ．⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞C ．(0，＋∞)D ．(0，a ) 4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________（2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_____________，减区间为_____________【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为（1）确定函数f (x )的定义域；（2）求导数f ′(x )；（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.【拓展提高】1．已知函数53123-++=ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 .（2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______4．设函数f (x )＝x －1x－a ln x . （1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值；（2）若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；§1.3.2利用导数研究函数的极值【知识要点】 1．极值的概念已知函数y ＝f (x )，设x 0是定义域(a ，b )内任一点，如果对x 0附近的所有点x ，都有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y 极大＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个 ．如果都有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y 极小＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个 ．极大值与极小值统称为 ． 极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f (x )的极值的方法（1）求导数f ′(x )；（2）求方程 的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化．①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x0)是极 值．②如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极 值．③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)【问题探究】探究点一 函数的极值与导数的关系问题1 如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．例1 求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．（1）试确定常数a 和b 的值；（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R .（1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【当堂检测】1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数存在极值的是 ( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 33．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >64．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ．（1）求函数)(x f y =的表达式；（2）求函数)(x f y =的单调区间和极值2．若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围§1.3.3利用导数研究函数的最值【知识要点】 1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得．2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：（1）求f (x )在开区间(a ，b )内所有使 的点；（2）计算函数f (x )在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【问题探究】探究点一 求函数的最值问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？例1求下列函数的最值：（1）f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；（2）f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]跟踪训练1求下列函数的最值：（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；（2）f(x)＝e x(3－x2)，x∈[2,5]．探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．（1）若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．探究点三函数最值的应用问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．【当堂检测】1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1 4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______【课堂小结】1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知函数c bx ax x x f +++=23)(,过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y（1）若函数)(x f 在2-=x 处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[]1,3-上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[]1,2-上单调递增，求实数b 的取值范围§1.3.4导数的实际应用【知识要点】 1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，然后再利用导数研究函数的【问题探究】题型一 面积、体积的最值问题例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B 300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．（2）【当堂检测】1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4 B．6 C．4.5 D．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；（2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；（6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课【双基自测】1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上()A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()。
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变化率与导数
【学习目标】：
1、了解导数概念的实际背景；
2、会求函数在某一点附近的平均变化率；
3、会利用导数的定义求函数在某处的导数。
【自主学习】
1、平均变化率：_______________=_______
设y?f(x)，在数轴x上另取一点x2，即?xx1是数轴上的一个定点，x1与x2的差记为?x，者x2?x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为?y，即
?y；如果它们的比值?y，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. ?x 反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
2．导数的概念
从函数y?f(x))在x?x0处的瞬时变化率是:lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y??lim x?0我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即
f?(x0)?lim?x?0f(x??x)?f(x) ?x
3、利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)； ?yf(x0??x)?； ?y第三步：取极限得导数f?(x0)?lim. ?x?0第二步：求平均变化率
【典例剖析】
例1、求函数y=3x2+2在区间?x0,x0+?x?上的平均变化率，并求当x0=2,?x=0.1时平均变化率的值。
例2、已知质点M按规律s?2t2?3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，
(1)当t=2，Δt=0.01时，求
例3、求函数y?2x2+4x在x=3处的导数
?s?s. (2)当t=2，Δt=0.001时，求.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度 ?t?t。