2020年秋人教版八年级数学上册 15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 【名校学案word版】
最新人教版八年级数学上册《15.3 分式方程(第1课时)》优质教学课件
一般步骤：
（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的
解，所以需要检验．
巩固练习
指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得
到的整式方程.
1
2
①
2x
x 3
2
4
2
②
x 1
x 1
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
；
=
+1
2x
x+ 3 x - 5
x - 25
x+1 3 x+3
与上面的方程有什么共同特征？
分母中都含有未知数．
．
探究新知
分式方程的概念：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的特征：分母中含有未知数.
追问2：你能再写出几个分式方程吗？
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们
的未知数不在分母中．
−
A）
D．x=–3
= 解为x=4，则常数a的值为
（ D ）
A．a=1
B．a=2
C．a=4
D．a=10
课堂检测
基础巩固题
1.若关于x的分式方程
（B
A．5
C．3
−
−
= 的解为x=2，则m的值为
）
B．4
D．2
课堂检测
2.方程
A．x=–1
C．x=
=
+
的解为（ D ）
解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
人教版初中八年级上册数学《分式方程及其解法》精品教案
而
x
1
5
10 x2 25
②
方程的解呢？
去分母后所得整式方程的解却不是原分式
我们再来观察去分母的过程:
90 60
两边同乘(30+x)(30-x) ①
30+x 30 x 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与 分式方程的解相同.
90 60 . 30+x 30 x
讲授新课
一 分式方程
90 60 ① 30+x 30 x
定义： 此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 (72) 1 3
xy
x2 x
(4)
x(x 1) x
1(3)
3
x
x（6）2x 2
x 1 5
10
（5）x 1 2 x
2x 1 3x 1 x
整式方程 分式方程
你能试着解这个分式方程吗？
90 60 ① 30+x 30 x
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个 分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
2.师生共同总结反思学习情况。
课堂小结
1.同桌之间相互交流本课学习收获。 2.老师引导学生总结归纳本课学习知识点，并 总结交流本课学习心得
教学研讨：
说课与反思
1.上课教师说课。 2.上课教师做教学反思。
第15章 15.3 第1课时 分式方程及其解法
第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-20-
解：(1)x1＝c，x2＝mc .将 x1＝c 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得 c＋mc ＝c＋mc ， 显然 x1＝c 是原分式方程的根．将 x2＝mc 代入方程 x＋mx ＝c＋mc 得mc ＋c＝c ＋mc ，显然 x2＝mc 是原分式的根．
教必材备知感识知
课堂检测
-7-
8．解方程： (1)x＋x 2＝1－2x3＋x 4； (2)xx＋ －11－x2－4 1＝1.
教必材备知感识知
课堂检测
-8-
解：(1)原方程可化为x＋x 2＝1－2(x3＋x 2)，去分母，得 2x＝2(x＋2)－3x， 移项，合并同类项得 x＝43，经检验：x＝43是原方程的解． (2)方程两边同 乘(x2－1)，得(x＋1)2－4＝x2－1，整理得 2x＝2，∴x＝1，经检验当 x＝1 时，x2－1＝0，∴x＝1 不是原方程的解，原方程无解．
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3(1－x)
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
教必材备知感识知
课堂检测
-4-
4．关于 x 的方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1无解，则 m 的值为( A )
A．－5
B．－8
C．－2
D．5
教必材备知感识知
课堂检测
-5-
5．关于 x 的分式方程5x＝x－a 2有解，则字母 a 的取值范围是( D )
第十六章
夯实训练
整合方法
综学合科素探养究
-21-
(2)通过上面方程的观察、比较、理解验证，你能解出关于 x 的方程 x
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。
在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。
（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。
从下一节起将开始分式方程的应用。
因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
4 教学方法[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。
同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。
15.3_分式方程(1)
方程两边同乘以（20+v）（20-v） ，得
100(20 v) 60 20 v）, （
解得 分式方程的解. v=5. 检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方
法：转化的数学思想（化归思想）.
1 10 解分式方程： 2 . x 5 x 25
∴x=-1
当x=-1时，x-1≠0. 答案：-1
5.（菏泽·中考）解方程：x 1 x 1 .
2x 3
【解析】原方程两边同乘以 6x， 得 3(x+1)=2x·(x+1), 整理得2x2-x-3=0,
解得 x 1 或 x 3 ,
经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为 x 1 或 x 3.
式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验.
【例题】
解分式方程的思路：
去分母
分式方程
整式方程
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则 整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解，必须舍去. 4.写出原方程的解.
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得： x+5=10 解得 x=5
检验：
将x=5代入x-5，x2-25得其值都为0，相应的分式 无意义.所以x=5不是原分式方程的解. ∴原分式方程无解. 为什么会产 生无解？
为什么方程会产生无解？
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根
是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分
15.3.1分式方程及其解法
求a的取值范围． 【思路点拨】解关于 x 的分式方程→根据解是正数 (即大于零)列出关于字母a的不等式→解不等式,确定 a的(x－2),得2x＋a＝2－x,
2a ． 解得 x＝ 3 2a 2a ＞0，且 2． 由题意,得 3 3 2a 2a ＞0， 由 解得a＜2；由 得a≠－4． 2， 3 3
解得:x=50经检验x=50是原方程的解
则甲工程队每天能完成绿化的面积是
50×2=100(m2) 答:甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2,50m2.
过程展示
解:(2)设至少应安排甲队工作x天,根据题意得:
1800 100x 0.4x+ ∙0.25≤8, 50
解得:x≥10 答:至少应安排甲队工作10天．
× √
√) (×)
知识运用
一.分式方程的定义及解法 例1.(2013·资阳中考)解方程: 【教你解题】
x 2 1 ＋ ＝ . 2 x －4 x 2 x－2
解:
去分母
方程两边都乘以(x+2)(x-2), 得:x+2(x-2)=x+2. 解这个方程,得:x=3. 经检验,x=3是原方程的解
解整式方程
方法提示
分式方程无解的“两种情况”: 分式方程无解时分式方程化为整式方程后有 以下两种情况: (1)整式方程有解但这个解不是原分式方程的解； (2)分式方程化为整式方程后整式方程无解.
中考链接
(2014年∙广东汕尾)某校为美化校园,计划对面积为 1800m2的区域进行绿化,安排甲,乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿 化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的 绿化时,甲队比乙队少用4天. (1)求甲,乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多 少 m2 ？ (2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队 为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少 应安排甲队工作多少天？
八年级数学上册 15.3 分式方程说课稿1
《分式方程》说课稿（一）教材分析：《分式方程》第一课时本节内容是在学生把握了一元一次方程的解法和分式四那么运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题→列分式方程→探讨解分式方程的进程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步进展学生分析问题和解决问题的能力，培育应用意识，渗透类比转化思想。
（二）、教学目标：知识技术：了解分式方程概念，明白得解分式方程的一样解法和分式方程可能产生增根的缘故，把握解分式方程验根的方式。
进程方式：通过经历实际问题→列分式方程→探讨解分式方程的进程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进展学生分析问题解决问题的能力，培育应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同窗之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成绩感，树立学好数学的自信心。
（三）教学重点：解分式方程的大体思路和解法。
（四）教学难点：明白得分式方程可能产生增根的缘故。
（五）学情分析：《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与一起进展的进程。
”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化进程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动进程是教师和学生之间互动的进程，是师生一起进展的进程，即要增进学生进展，也要增进教师成长。
教师作为教学主导，学生是主体作用咱们这学生基础知识较扎实，学生喜爱上数学课，学习数学的爱好较浓，具有必然探讨解决问题的能力，采纳的学习方式：１、类比学习的方式。
通过与分数的乘除法运算类比取得分式方程的解法。
２、探讨合作学习。
学生合作下进行学习。
（六）教学方式：教学方式是咱们实现教学目标的催化剂，好的教学方式常常使咱们事半功倍。
新课程改革中，教师应成为学生学习的引导者、合作者、增进者，踊跃探讨新的教学方式，引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。
人教版初中八年级上册数学《分式方程及其解法》精品教案
因此， x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
练习4 解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a
∴ x ab 2a b1
检验：当 x ab 2a 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， b1
将方程①化成整式方程 的关键步骤是什么？
归纳
解分式方程①的基本思路是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边 乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程
1 10 x 5 x2 25
②
在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5) ，
得 解得
x+5=10 x=5
4.解方程：
(x
1 1)( x
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1 1 3x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1
3
x
1
8x1111 1 3x 3 24
得
1 3
x
1
1
x
1
11
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
再见！
思考
人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程
设计教师
工作单位
学科
数学
课型
新授课
所教内容
新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时
课程标准
讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.
教材分析
《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。
（师总结新的根的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，就不是原分式方程的解。
问：你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
观察分式方程的两种检验方法，你发现了什么？
学生自愿上讲台解题，其他学生在下面独立完成.
学生自愿举手评价板书学生的解题过程.
1、如何把它化成整式方程？
2、如何去分母？
3、在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
4、这样做的依据是什么？
师生共同分析解法，微视频展示系统地分析过程，师按照严格的格式板书详细的解方程过程）
再次展示规范的解题过程：
追问：x=6是原分式方程的解吗？怎样检验？
师总结道：在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（分式方程转化为整式方程----化分为整）。
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
八年级上册数学15.3第1课时分式方程及其解法
方法
如何把它转化为整式方程呢？
去分母
怎样去分母？
把方程的两边乘各分母的最简公分母
在方程两边乘什么样的式子才 能把每一个分母都约去？
(30+v)(30-v)
探索新知
知识点2 分式方程的解法
90 60 30 v 30 v
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v).
一元一次方程：
指只含有一个未知数，未知数的最高次数
为1且两边都为整式的等式.
二元一次方程：
指含有两个未知数，并且含有未知数的项
的次数都是1的整式方程.
两者都是整式方程. 方程里面所有的未知数都出现在分子上，分 母只是常数而没有未知数.
复习导入
练一练
解方程: x 2 2x 3 1.
4
6
解：去分母，得3(x+2)-2(2x-3)=12.
a
x x 1
.
探索新知
判断一个式子是否为分式方程的注意事项 （1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分 母中含有未知数.三者缺一不可. （2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程 x 2 x(m为非0常数）, 分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，
m
所以该方程是整式方程.
课堂练习
1.下列关于x的方程，是分式方程的是（ B ）
4
A．
3
x
x
2
5
x
B．
3
1
x
1Leabharlann 2 xC．πx 1 8
x
D． 2x 1 x 75
2．方程 1 1 x 1去分母后的结果正确的是( C )
人教版八年级数学上册15.3 分式方程及其应用 习题梳理
15.3 分式方程及其应用考点一 分式方程的定义1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例1.下列方程是分式方程的是()A ．1023x -= B ．42x=- C ．213x -=D ．213x x +=答案解析：选B ．A 、1023x -=是一元一次方程， 故A 错误；B 、42x=-是分式方程， 故B 正确；C 、213x -=是一元二次方程， 故C 错误；D 、213x x +=是一元一次方程， 故D 错误．过关检测1. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A ．132x =B ．12x= C ．2354x x++= D ．321x y -= 2. 下列关于x 的方程①153x -=，②141x x =-，③1(1)1x x x-+=，④11x a b =-中， 是分式方程的有( ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个考点二 解分式方程1. 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．例1.解方程：答案解析：最简公分母是2（x-1）,等号两边同时乘最简公分母，去分母得：2x ﹣4x+4=3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．过关检测1. 解分式方程14322x x-=--时， 去分母可得( ) A ．13(2)4x --= B ．13(2)4x --=-C ．13(2)4x ---=-D ．13(2)4x --=2. 解方程 （1）113x x x -=+ （2）241111x x x -+=-+ （3）13211x x-=-- （4）1112x x x ++=- （5）考点三 分式方程的解（一般解、增根、无解）1. 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程解．2. 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．例1.若关于x 的分式方程311m x -=-的解为2x =，则m 的值为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2答案解析：关于x 的分式方程311m x -=-的解为2x =，22x m ∴=-=，解得：4m =．故选：B ．例2.若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数， 则a 的取值范围是________答案解析：原分式方程的解为x=223a-+，0x x ∴≥关于的解释非负数 则2302a-+≥，得1a ≥.故答案为1a ≥.过关检测1. 2x =是分式方程321321x a x a +-=-+的解， 则a 的值是( )A ．1-B ． 0C ． 1D ． 3 2. 分式方程2112x x -=-的解为( ) A ．1x =- B ．12x =C ．1x =D ．2x = 3. 已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解,则实数k 的值为？4. 若关于x 的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数， 则实数m 的取值范围是？例3. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是( )A ．0B ．1C ．1-D ．1和1-答案解析：方程两边都乘(1)(1)x x +-，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-，由最简公分母(1)(1)0x x +-=，可知增根可能是1x =或1-．当1x =时，3m =，当1x =-时，得到60=，这是不可能的，所以增根只能是1x =．故选：B ．过关检测1. 关于x 的分式方程7311mx x +=--有增根，则增根为( ) A ．1x = B ．1x =-C ．3x =D ．3x =-2. 若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是( ) A ．3B ．2C ．1D ．1-3.若分式方程231222x a x x x x-+=--有增根，则实数a 的取值是？例4. 关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为( ) A ．5- B ．8- C ．2- D ．5答案解析：去分母得：3222x x m -=++，由分式方程无解，得到10x +=，即1x =-，代入整式方程得：522m -=-++，解得：5m =-，故选：A ．过关检测1. 若关于x 的方程2134416m m x x x ++=-+-无解， 则m 的值为？2． 若关于x 的分式方程3233x a a x x+=--无解，则a 的值为？3． 若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解， 则实数m =？考点四 分式方程的应用1. 行船问题例1.一艘轮船在静水中的最大航速为30/km h ，它以最大航速沿江顺流航行100km 所用时间，与以最大航速逆流航行80km 所用时间相等，设江水的流速为v /km h ，则可列方程为( )A ．100803030v v =+-B ．100803030v v =-+C ．100803030v v=+-D ．100803030v v =-+答案解析：船顺流而下时速度为船速加水速，即v+30,逆流而下时速度为船速减水速，即v-30，根据时间相等，列等量关系式，100803030v v =+- 故答案选A过关检测1. 一艘轮船在静水中的最大航速为35/km h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km 所用时间相等．设江水的流速为v /km h ，则可列方程为( )A ．120903535v v =+- B ．120903535v v =-+C ．120903535v v =-+ D ．120903535v v=+-2. 甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6/km h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为x /km h ，则求两船在静水中的速度可列方程为( )A ．18012066x x =+- B ．18012066x x =-+C ．1801206x x=+ D ．1801206x x =-2. 行程问题例1.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出方程正确的是( )A ．30252x x =+ B ．30252x x =+C ．30252x x =- D ．30252x x=- 答案解析：乙每小时速度为x-2，路程=速度×时间，找到时间为等量关系，有两者时间相等，列关系式为：30252x x =-，故答案选C过关检测1. 甲、乙两地相距600km ，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h ，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为/xkm h ，根据题意可列方程为( ) A ．60060043x x += B ．60060043x x -= C ．60060043x x-= D ．600600423x x-=⨯ 2. 2016年5月15日从呼市到鄂尔多斯市的6767D 次动车首发成功，鄂尔多斯市自此迎来了动车时代，已知两地铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从呼市到鄂尔多斯市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x 千米，则可列方程为( )A ．4504504050x x -=- B ．4504504050x x -=+ C ．4504502503x x -=+ D ．4504502503x x -=-3. 徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢，车的行驶时间比车的行驶时间多，两车的行驶时间分别为多少？4.小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院和，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是，结果小明比小刚提前到达剧院．求两人的速度．5. 班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍从学校出发．苏老师因有事情，从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？80/km h A B 40%1200m 2000m 3:44min 8:008:3090606x x =-3. 工程问题例1. 甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做个零件，所列方程正确的是D ． A ．B ． C. 答案解析：工程总量=工作效率×工作时间，设甲的工作效率为x ，则乙的工作效率为x-6，根据工作时间相等列等量关系式，有：，故答案选A 过关检测1. 西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾， 调用甲车 3 小时只清理了一半垃圾， 为了加快进度， 再调用乙车， 两车合作 1.2 小时清理完另一半垃圾 ． 设乙车单独清理全部垃圾的时间为小时， 根据题意可列出方程为 A ．B ．C ．D ．2. 某社区积极响应正在开展的“创文活动”， 组织甲、 乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造 ． 已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的 2 倍， 并且甲工程队完成 300 平方米的绿化面积比乙工程队完成 300x ()90606x x =-90606x x =+90606x x =+90606x x =-x ()1.2 1.216x += 1.2 1.2162x +=1.2 1.2132x += 1.2 1.213x+=平方米的绿化面积少用 3 小时， 乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？4.经济问题例1.小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了本笔记本，则根据题意可列方程为．．． ．答案解析：销售总价=销售单价×销售数量。
人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计
人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》教学设计一. 教材分析人教版八年级数学上册15.3.1.1《分式方程及其解法(1)》这一节主要介绍了分式方程的定义、性质以及解法。
分式方程是初中数学中的一种重要方程，它涉及到实数的运算、方程的转化和求解，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本节内容为学生提供了分式方程的基本解法，为后续学习更复杂的方程打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的运算、方程的基本概念，具备了一定的数学基础。
但是，对于分式方程这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过具体的例子和练习来逐步理解和掌握。
在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学，提高学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义和性质，理解分式方程的意义。
2.学会分式方程的基本解法，提高解方程的能力。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。
2.分式方程的解法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，通过创设情境、设置问题、引导学生自主探究、小组讨论等方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力、思考能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、案例和练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备与教学内容相关的学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入分式方程的概念，让学生感受分式方程在实际生活中的应用。
例如：某商品打8折后的价格是120元，问原价是多少？2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义、性质和基本解法。
通过PPT展示相关的理论和案例，让学生理解和掌握分式方程的基本概念。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用所学的知识解分式方程。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予鼓励和表扬。
4.巩固（5分钟）挑选几道典型的练习题，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路。
人教版八年级数学上册第15章：分式方程及其解法
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什 么区别？
新课讲解
1 分式方程的概念
观察前面所列方程：
90 60 30+v 30 v
此方程的分母中含有未知数v,像这样分母中含未知数的方 程叫做分式方程.
新课讲解
下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1) x 2 x 23
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解.
新课讲解
★分式方程解的检验——必不可少的步骤
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不
新课讲解
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5),得
x+5=10, 解得x=5.
x=5是原分式 方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,
相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,
但不是原分式方程
x
1
RJ八(上) 教学课件
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标
1.理解分式方程的概念. 1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大 航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等.江水的流速为多少？ 设江水的流速为v千米/时,根据题意可列出怎样的方程？
15.3 第1课时 分式方程(一)
所以，原分式方程的解为x=9
例2
解Байду номын сангаас程
x
x 1
1
(x
3 1)( x
2)
.
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得 x=1
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是 原分式方程的解. 所以，原分式方程无解.
知识要点
解分式方程的步骤 1.方程两边每一项都乘分母的最简公分母； 2.解整式方程； 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最 简公分母不等于0，则此解为原分式方程的解；若 最简公分母为0，则此解不是原分式方程的解，原 分式方程无解
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的 原因.（重点） 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次 方程的分式方程.（重难点） 3.理解分式方程验根的必要性，掌握分式方程 验根的方法.（难点）
讲授新课
x 1 5
10
）x 1方分x 法式2总方结 程，:2判xx主断1要一是3个x看方1分程母是中否是为 否含有未知数(注意：π是数字， 不是未知数)．
分式方程
二 分式方程的解法
典例精析
例1
解方程
2 3. x3 x
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9
解得
x=9
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0
课堂小结
定 义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
分式方程(1) 教学设计-2020年秋人教版八年级数学上册
分式方程（1）15.3分式方程（1）一、内容和内容解析1．内容分式方程的概念和解法．2．内容解析分式方程是分母中含未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升．解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节．的形式，然后对分式利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为x a方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用去分母的方法解分式方程．二、目标和目标解析1．目标（1）了解分式方程的概念．（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想．（3）了解解分式方程需要检验的原因．122．目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道分式方程的特征，能识别分式方程．达成目标（2）的标志是：学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想．达成目标（3）的标志是：学生知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于原分式方程两边同时乘0，使原方程的解发生变化，因此需要检验．三、教学问题诊断分析学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时往往会有一种思维定式，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根时，为什么有些方程“无解”．教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因．本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．四、教学过程设计1．创设情境 引入课题引言 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？分析：如果设江水流速为 v km/h ，则轮船顺流航行 90 km 所用时间为9030v+ h ，逆流航行 60 km 所用时间为v -3060h ,根据所用时间相等，我们得到方程vv -=+30603090．问题1仔细观察方程vv -=+30603090，未知数在方程中的位置有什么特点？3师生活动：学生独立思考并作答．设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性．追问：方程3221+=x x ，2510512-=-x x ，13321++=+x xx x ，与上面的方程有什么共同特征？分母中含有未知数．师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含未知数．师生共同概括出分式方程的概念——分母中含未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．设计意图：让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路（转化为整式方程）和关键步骤（去分母）做好铺垫．分式方程的概念：方程vv -=+30603090的分母中含未知数 v ,像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程． 你能再写出几个分式方程吗？ 师生活动：学生思考并作答．设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识．注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．练习 下列式子中，属于分式方程的是_________， 属于整式方程的是________（只填序号）． （1）1213=-+x x ；（2）21412x x -=-；（3）12312=+x x ；（4）51>x． 师生活动：学生思考并作答．设计意图：用概念作判断，让学生进一步理解分式方程的概念．2．类比探究 获取新知4问题2 你能试着解分式方程vv -=+30603090吗？ 回顾含分母的一元一次方程是怎样解的，从中能否得到一点启发？ 解方程：422121xx -+=-+． 解：去分母（方程两边乘4），得 ()()21482x x +-=+-． 去括号，得22482x x +-=+-．移项，得28224x x +=+-+．合并同类项，得312x =．系数化为1，得4=x ．师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生互相交流．设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程．师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据．思考：（1）如何把分式方程化为整式方程呢？5通过去分母将分式方程化为整式方程． （2）怎样去分母？ 方程两边乘最简公分母．（3）在分式方程vv -=+30603090两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ 分式方程两边乘各分母的最简公分母()()v v -+3030． （4）这样做的依据是什么？利用等式的性质 2 可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母，结果仍相等．师生共同分析解法：解方程vv -=+30603090． 解：方程两边乘()()v v -+3030，得()()v v +=-30603090．解得6=v ．设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母. 通过上面的回顾与反思，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想与转化思想的理解．追问：你得到的解6=v 是此分式方程的解吗？ 检验：将6=v 代入分式方程中，左边==25右边，因此6=v 是原分式方程的解． 由上可知，江水的流速为 6 km/h ． 师生活动：学生回答问题，相互补充．设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方法──将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解；说明上述解6分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤．归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法．问题3 讨论分式方程2510512-=-x x ． 原分式方程可化为：()()110555x x x =--+． 为去分母，在方程两边乘最简公分母()()55+-x x ，得整式方程105=+x ．解得5=x ．师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解5=x ．有的学生认为5=x 是原分式方程的解，有的学生发现当5=x 时，分式51-x ，5102-x 都没有意义，但不能解释其原因．设计意图：（1）让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；（2）让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．追问：你得到的解5=x 是原分式方程的解吗？该如何验证呢？师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：5=x 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．将5=x 代入原分式方程检验，发现这时分母5-x 和252-x 的值都为0，相应的分式无意义．因此，5=x 虽是整式方程105=+x 的解，但不是原分式方程 2510512-=-x x 的解．实际上,这个分式方程无解．设计意图：让学生发现问题---整式方程的解使原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论---这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想---可能存在一些分式方程，它们无解．7两边乘()()v v -+3030当6=v 时，()()30300v v +-≠两边乘()()55x x -+当5=x 时，()()550x x -+=思考：上面两个分式方程中，为什么v v -=+30603090去分母后所得整式方程()()v v +=-30603090的解6=v 就是分式方程v v -=+30603090的解，而2510512-=-x x 去分母后所得整式方程105=+x 的解5=x 却不是分式方程2510512-=-x x 的解呢？ 观察去分母的过程：v v -=+30603090 ()()v v +=-30603090 分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同．2510512-=-x x 105=+x 分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．师生活动：教师针对上述两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．设计意图：让学生了解分式方程产生增根的原因---当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，就出现了分母为0的情况．8问题4 回顾解分式方程v v -=+30603090与2510512-=-x x 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？基本思路： 解分式方程的一般步骤：(1) 去分母：方程两边乘最简公分母； (2) 解整式方程；(3) 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解；(4)得出结论.简记为：“一化、二解、三检验、最后出结论”． 解分式方程应该注意什么？ 注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．师生活动：学生回答，并相互补充，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”“得出结论”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验.检验的方法有两种，一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0．其中第二种方法更简捷．设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验．3. 学以致用 应用新知转化分式方程整式方程9例1 解方程xx 332=-. 解：方程两边乘()3-x x ，得932-=x x ． 解得 9=x ． 检验：当9=x 时，()03≠-x x ．所以，原分式方程的解为9=x ．例2 解方程()()21311+-=--x x x x ． 解：方程两边乘()()21+-x x ，得 ()()()3212=+--+x x x x ． 解得1x．检验：当1=x 时，()()021=+-x x ，因此1=x 不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解． 师生活动：师生共同分析解答例1，教师板书．学生独立完成例2，然后分组交流．并对错解进行展示，师生共同分析错误原因．设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识． 归纳 解分式方程的一般步骤如下（思维导图）：104. 基础训练 巩固新知 练习1 解下列方程： （1）3221+=x x ； （2）13321++=+x xx x ；（3）14122-=-x x ； （4）01522=--+xx x x ．练习2 解方程33122x x x-+=--． 练习3 解方程221566x x x x +=++． 练习4 解方程31523162x x -=--．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．设计意图：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想．5.小结归纳自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？1112注意：去分母时，原方程的整式部分不要漏乘；约去分母后，分子是多项式时，应该添括号（因分数线有括号的作用）．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心──分式方程的解法．6．布置作业教科书第154页习题15.3的第1（1）（2）（3）（4）题．五、目标检测设计1．下列方程中，是分式方程的是( ) ．A ．1231=+x B ．52-=x x C ． 21=+xx D ．042=-x 设计意图：考查学生对分式方程概念的了解情况．2．将分式方程xx x 12=-化为整式方程时，方程两边可以同时乘( )． A ．2-x B ．x C ．()22-x D ．()2-x x设计意图：考查学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的理解情况．3．解方程：13（1）1533+=-x x ；（2）912322-=-x x ；（3）()21231--=-x x x ． 设计意图：考查学生对分式方程的解法的掌握情况．说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第15章第15.3节的内容，见教科书第149页至第152页．。
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15.3分式方程
第1课时分式方程及其解法
一、新课导入
1.导入课题:
前面我们探讨了分式的有关性质及其运算，在分式的研究中，还有一个重要的内容就是分式方程，今天我们一起走进分式方程.
2.学习目标：
（1）知道分式方程的概念，
（2）会解分式方程.
3.学习重、难点：
重点：分式方程及其解法.
难点：分式方程产生增根的原因.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第149页到第150页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：对照自学提纲，认真阅读课本.重点词句或不理解的地方做上记号.
（4）自学参考提纲：
①什么样的方程叫分式方程？
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
②解分式方程的基本思路是什么？
将分式方程化为整式方程.
③将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
去分母，即方程两边乘最简公分母.
2.自学：请同学们结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否认识分式方程的特点和分式方程的解法.
②差异指导：指导个别学生正确找出最简公分母.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）判断分式方程的方法是：看分母是否含有未知数.
（2）分式方程的关键步骤是去分母，难点是找最简公分母.
（3）下列方程哪些是分式方程？④⑤.
（4）指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
解：①最简公分母2x(x+3),去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1,去分母，得2（x+1）=4；
③最简公分母3x+3，去分母，得3x=2x+3x+3.
第二层次学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第150页“思考”到第151页的内容. （2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：认真阅读课本，思考去分母后化成的整式方程的解，为什么有的是原分式方程的解，有的不是？对照课本中的例子想想理由.归纳解分式方程的基本步骤.
（4）自学参考提纲：
①说说为什么解分式方程一定要检验？
因为得到的解可能会导致最简公分母为0，即分母为0. ②说说解分式方程的检验方法.
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
③解分式方程的一般有哪些步骤？ 去分母，解整式方程，检验.
④某生在解例2时去分母得x(x+2)-1=3，你认为他错在哪里？ 漏乘了最简公分母. ⑤试解方程
235
11
x x =--； 解：去分母，得3(x+1)=5 x=53
-1=23
检验：当x=23
时，(x+1)(x-1)≠0， 所以，原分式方程的解为x=23
.
3
2122
x x x =--- 解：去分母，得2x=3-2(2x-2) 去括号得2x=3-4x+4 移项6x=7 系数化为1，x=76
检验：当x=76
时，2(x-1)≠0. 所以原分式方程的解为x=7
6
2.自学：同学们结合自学指导进行自学.
3.助学： （1）师助生：
①明了学情：观察学生在解分式方程过程中易产生错误的环节或步骤.
②差异指导：对学生出现的错误进行分类指导. （2）生助生：交流提纲④，对⑤互相批改、纠错. 4.强化：
(1)解分式方程的一般步骤. （2）分式方程的验根方法. (3)分式方程无解的条件.
时，4x2-1=0,
检验：当x=1
2
不是原分式方程的解.
因此x=1
2
所以，原分式方程无解.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和学后体验.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生的学习态度、情感、方法、成果及不足进行归纳点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：
（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的必要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.
（3）解分式方程时，如果分母是多项式，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.
另外，对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论.
针对性练习
一、基础巩固（每题10分，共60分）
1.下列式子是分式方程的是（C）
2.把分式方程两边同乘(x－1)，约去分母后，得(D)
3.分式方程的解是（D）
D.无解
A.x=1
B.x =－1
C.x=－1
4
解：（1）去分母，3x-6+4（x+2）=16
去括号，合并同类项7x=14
系数化为1，x=2
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.
（2）去分母得，（x+1）(x+2)=x(x+4)
去括号，合并同类项，得3x+2=4x
移项，x=2
检验：当x=2时，x(2+x)≠0，所以，原分式方程的解为x=2.
二、综合应用（20分）
7.已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx，
整理，得x2+（k-2）x-4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得-4=0，
所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时方程有增根x=1.
三、拓展延伸（20分）
8.解方程：。