计算流体力学电子教案

接下来处理源项，源项可能为常数，也可能为场变量的函数， 对其进行线性化处理，得：
SV Su SPP
将以上三式代入积分后的控制方程（即下式）中
d d (A ) e (A ) w S V 0 dx dx
P W E P e Ae ( ) w Aw ( ) ( Su S P P ) 0 xPE xWP
（ 14） 2
k A , aP aW aE S P 式中 aW 0 , aE x 2k 2k SP A，S u A TA x x
同理可对右边界控制体进行处理，得
aPTP aW TW aETE Su
（ 14） 2
k A , aP aW aE S P 式中 aE 0 , aW x 2k 2k SP A，S u A TB x x
(2 21)
由于
V Ax
dT dT (k ) (k ) qx 0 e w dx dx
有
由 得控制体2、3、4、 1、5的离散方程为
e
Ae , aP aW aE S P
方法二：也可通过对控制方程的积分推导出离散方程， 同例2.1的过程，以下用方法求离散方程。
d d ( ) S 0 dx dx
(2 1)
本题： (k
d dx
dT ) q 0 dx
d d dV V dx ( dx ) V SdV 0 d d d V dx ( dx )dV V SdV n( dx )dA A
A
(a x dydz a y dxdz a z dxdy)
A
写出一维条件下的奥氏公式
通用变量方程
( ) div ( u) div ( grad ) S t
非定常项 对流项 扩散项 源项
(1 35)
瞬态扩散方程
稳态扩散方程
瞬态对流扩散方程 稳态对流扩散方程 压力速度耦合方程
得离散方程：aP P
aW W aE E Su
（2 8）
对于每一个节点（控制体）都可建立一个离散方程， 所有节点的离散方程构成一个方程组。
第三步：解方程组
aPP aWW aEE Su
由上式形成的方程组是三元一次的线性方程组，该方 程的特点是具有三条对角线，故称为三对角线性方程。 目前可暂用matlab中A\b语句求解（高斯消元法）。
TE TP TP TA kA ( ) kA ( )0 x x / 2
将（2-12）式按节点温度整理得：
(2 12 )
k 2k k 2k ( A A ) P 0 TW ( A ) E ( A ) A T T T x x x x
将上式与（2-8）式对照
div( grad ) S 0 ( ) div ( u) div ( grad ) S
t
( ) div ( grad ) S t
div( u) div( grad ) S ( ) p div ( v) div ( grad ) S
d d d V dx ( dx )dV V SdV n( dx )dA V SdV A d d (A ) e (A ) w S V 0 dx dx
式中，控制体的体积为ΔV， 全部表面积为A，源项在控 制体中的平均值为S
上式有明确的物理意义：场变量的净增扩 散量（即自西侧界面流入的扩散流量减去 东侧界面流出的扩散流量）等于源项产生 的扩散流量。
对于2号控制体 对于3号控制体 对于4号控制体
200T2 100T1 100T3 200T3 100T2 100T4 200T4 100T3 100T5
5个未知数，3个方程。可见不引入边界条件 是没法求解的
对求解域中的边界节点1、5的离散方程需作特殊处理。 方法仍然是对微分方程在边界控制体内积分。微分方程 为： d dT
同理，有：
P E e 2
d E P dx e x e xPE d dx
w
x
w
P W xWP
于是，通过界面的扩散流量为
d E P (A ) e e Ae ( ) dx xPE (A
W d ) w w Aw ( P ) dx xWP
200T2 100T1 100T3 200T3 100T2 100T4 200T4 100T3 100T5
3T1 2T2 2T3 2T 4 3T5
T2 2TA T1 T3 T2 T 4 T3 T5 T4 2TB
相关的尺寸定义
（约定：大写字母代表节点，小写字母 代表边界。）
第二步：由控制方程(积分形式)形成离散方程组 一维稳态扩散控制方程为：
d d ( )S 0 dx dx
将此控制方程在某控制体上积分:
(2 1)
d d V dx ( dx )dV V SdV 0
则由奥氏公式或高斯散度定理有：
t n
2-1 一维稳态扩散问题的FVM计算格式
2-1-1一维稳态扩散方程
由通用变量方程得稳态扩散方程为：
div( grad ) S 0 将上式按张量运算法则展开得：
(x ) (y ) (z ) S 0 x x y y z z 由上式得一维条件下的稳态扩散方程：
2-1一维稳态扩散问题的FVM计算格式 2-2 多维稳态扩散问题的FVM求解
预备知识：高斯公式(奥氏公式）
div(a)dV n adA
V A
a x a y a z )dV 或： ( x y z V (cos a x cos a y cos a z )dA
dx
(k
dx
) 0
上式在左边界控制体上积分，得：
TE TP TP TA kA( ) kA( ) 0 (2 12) x x / 2 T2 T1 T1 TA ) kA( ) 0 即 kA( x x / 2
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A 点和1点的温度线性相关
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
T2 T1 T1 TA ) kA( ) 0 左端控制体 kA( x x / 2 TB T5 T5 T4 ) kA( ) 0 右端控制体 kA( x / 2 x
(T2 T1 ) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
将上式按场变量的节点值进行整理，得：
e w w e ( Ae Aw S P ) P ( Aw )W ( Ae ) E Su xPE xWP xWP xPE w e Aw , aE Ae , aP aW aE S P 令 aW xWP xPE
d d (A ) e (A ) w S V 0 dx dx
积分方程中的下标e、w表示控制体的界面（不 是节点处），意味着我们需要知道扩散系数 ___和场变量 的梯度在控制体东西边界上的值。 这些值可由节点处的值插值得到。若采用线性 插值(近似处理)，对于均匀网格有：
W P w , 2
下面用两个例题说明有限体积法如何求一维稳态扩散 问题。
例2.1用有限体积法求解无热源一维稳态导热问题 图示绝热棒长0.5m，截面积A=10-2m2 ，左右端温度保持 为TA=100º TB=500º 。棒材料导热系数 C， C k=1000W/(m· 。求绝热棒在稳定状态下的温度分布。 K)
解：本问题的控制微分方程为
d d ( )S 0 dx dx 上式中, 为通用变量，可为温度、速度等变量； 为扩散系数或粘性系数，S为源项。
2-1-2 求解一维稳态扩散问题的步骤
第一步 生成离散网格 第二步 由控制方程(积分形式)形成离散方程组 第三步 求解方程组
第一步：生成离散网格
控制体的划分 （先划分控制体后定节点,节点在控制体中心）
因kw
故有： 式中：
ke k ,Ae Aw A,xWP x PE x
aPTP aW TW aETE k aW aE A , aP 2aW x
由此得到 3个方程
aPTP aW TW aETE
k 1000 aW aE A 0.01 100 , aP 2aW 200 x 0.1
d dT (k ) 0 （本问题有解析解） dx dx
可将此式与（2-1）式比较,可采用三步求解方法。
d d ( )S 0 dx dx
(2 1)
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
第二步：构造离散方程 对求解域中的2、3、4节点应用离散方程(2-8)
ke kw kw ke ( Ae Aw S P ) P ( T Aw ) W ( T Ae ) E T x PE xWP xWP x PE
计算流体力学电子教案
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法
• 第四章 差分格式问题
• 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法
• 第七章 非稳态流动问题的有限体积法
• 第八章 边界条件处理
第二章 扩散问题的有限体积法
TA=100º TB=500º C， C
第三步 解线性方程组
T1 T2 T3 T 4 T5
140 220 300 380 460
本问题的解析解为：T=800x+100
例2.2用有限体积法求解有内热源一维稳态导热问题 图示厚度为L=2cm的无限大平板，导热系数 k=0.5W/(m· ，板内有均匀内热源q=1000kW/m3,表面温 K) 度A、B分别保持为TA=100º TB=200º 。求板内x向的 C， C 温度分布。