1.1.1合情推理-类比推理
合情推理和演绎推理之间的联系和差异-高中数学知识点讲解
合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。
合情推理(类比推理)
一般地，如果类比的相似性越多，相似 的性质与推测的性质之间越相关，那么类 比得出的命题就越可能为真。 例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质： （1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦； （2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
这种根据两类不同事物之间具有某些类 似（或一致）性，推测其中一类事物具有 与另一类事物类似（或相同）的性质的推 理，叫做类比推理（简称类比），类比属 于合情推理。
下面我们通过一个例子来得出类比的一 般步骤。 三角形与四面体有如下类似的性质： （1）三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形；四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形； （2）三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形； 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。
2.1.1合情推理 （类比推理）
（一）类比推理 在学习空间向量时，我们是这样推测空 间向量的基本定理的： 由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量，并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等)，因此根据平面向量的基本定理，我 们推测空间向量也具有类似的性质：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对于 空间任一向量 p ，存在一个惟一的有序 实数组x，y，z，使 p xa yb zc
其中前三个类比得到的结论是正确的，
最后一个猜测则是错误的。由此可见，类
比的结论值具有或然性，即可能真，也可
能假。 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能， 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的，
例2．试根据等式的性质猜想不等式的性质 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等 (3) a＞ba2＞b2;等等 问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 答：(1)对；(2),(3)不对。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。
合情推理可分为归纳推理和类比推理
合情推理可分为归纳推理和类比推理。
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
类比推理是由特殊到特殊的推理。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
1.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.2. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）3.设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *∈ 则2008()f x =（ ）A. sin x - B. cos x - C. sin x D. cos x合情推理可分为归纳推理和类比推理。
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
类比推理是由特殊到特殊的推理。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
1.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.2. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）3.设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *∈ 则2008()f x =（ ）A. sin x - B. cos x - C. sin x D. cos x。
合情推理与逻辑推理
合情推理合情推理是波利业的”启发法"（heuristic, 即”有助丁发现的"）中的一个推理模式.通过对问题解决过程特别是对已有的成功实践的深入研究，波利业发现，可以机械地用来解决一切问题的"万能方法"是不存在的；在问题解决过程中，人们总是针对具体情况，不断地向自己提出有启发性的问句，提示，以启动与推进思维的小船。
合情推理的模式（归纳和类比）还须予以解释，它是指观察，归纳，类比, 实验，联想，猜测，矫正与调控等方法.目录主要特征方法模式举例意义乔治•波利业著作简介合情推理是波利业的"启发法"（heuristic，即"有助丁发现的"）中的一个推理模式.波利业多年深入研究数学问题解决过程（problem solving 一般被误译为"解题"，这里把它译为"问题解决"）得出的理论成果.波利业对启发法解释道:"现代启发法力求了解问题解决过程，特别是问题解决过程中典型有用的智力活动.……在这种研究中，我们不应忽视任何一类问题，并且应当找出处理各类问题所共有的特征来；我们的目的应当是找出一般特征而与主题无关."可见波利业的启发法讲的是问题解决在数学方法论上的共同点.启发法源丁他对问题解决的研究，问题解决就是"在没有现成的解题方法时寻找一条解题途径，就是从困难中找到出路，就是寻求一条绕过障碍的道路，由适当的方法达到所要去的而不能立即达到的目的".这说明波利业早在50年前就已经把问题和问题解决的主要特征搞活楚了^主要特征通过对问题解决过程特别是对已有的成功实践的深入研究，波利业发现，可以机械地用来解决一切问题的"万能方法"是不存在的；在问题解决过程中，人们总是针对具体情况，不断地向自己提出有启发性的问句，提示，以启动与推进思维的小船.因此，他试图总结出一般的方法或模式，这些方法和模式在以后的问题解决活动中可起到启发和指导的作用.波利业曾著书给出这样一些启发性的模式或方法：分解与组合，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式，特殊化方法，一般化方法,"从后往前推",设立次目标，合情推理的模式（归纳和类比）,画图法,"看着未知数",回到定义去，考虑相关的问题，对问题进行变形，等等.特别引人注意的是，波利业把问题和建议按照问题解决过程的4个阶段组成了他的"怎样解题表".这4个阶段依次是：弄活问题，制定计划，实施计划和回顾，这就是著名的波利业问题解决四阶段模式.波利业建议："只要应用得当，如果你向自己提出表中的这些问题与建议，它们就可以帮助你解决你的问题；而如果你向你的学生提出同样的问题与建议，你就可以帮助解决他们的问题."方法模式在上述启发法框架中提到的合情推理的模式（归纳和类比）还须予以解释,它是指观察，归纳，类比，实验，联想,猜测，矫正与调控等方法.波利业很早就注意到"数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学."因此，他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利业给我们指出数学思维不是纯"形式"的，它所涉及的不仅有公理，定理，定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广，归纳，类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等，数学教师应使学生了解这些十分重要的"非形式"思维过程.在日常生活中，合情推理几乎无处不在，比如："它可能是……"（猜测）,"做出来看一看"（实验）,"由上所述可得……"（归纳）,"将人心比自心"（类比）,"可以想象"（联想）,"实践是检验真理的唯一标准"（检测）等.举例在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都应用合情推理.贯彻任何科学发现的思维，也主要是合情推理：量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德"称"出来的；在对热在金届中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果.由上可以看出,"我们所学到的关丁世界的任何新的东西都包含着推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理".合情推理是各学科之间,社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质.意义因此加强合情推理的教育将有助丁发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法.科学思维具有两重性：一类是进行论证推理的逻辑思维；另一类则是形象思维.形象思维最直接的层面是合情推理.逻辑思维是在”抓到真理”后进行完善和”补行证明”的思维，而合情推理则是”发现真理”的思维.因此，波利业呼吁:"让我们教猜想吧!"我国的理科教学，历来较多强调逻辑推理，而对合情推理有所忽视.再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓.因此,"既教证明，乂教猜想",给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要，是全面开发大脑潜力的需要.我们在教学实践中认识到加强合情推理的教学，还可以使受教育者将日常事务中积累的经验，方法用丁学习，提高学习的兴趣，提高解决问题的能力.而在其中，乂将那自然状态下的合情推理，提高到一个更加合理更加科学的层次，以至成为"科学发现的金钥匙".为保证加强合情推理教育的观念得到落实，并为教师提供一个可操作的教学样式，我们构建了合情推理教学模式.若在教学中能正确地使用合情推理的教学模式，至少不会削弱学科教学的技术功能，而文化教育功能将得到明显的加强，学生有效地应用合情推理的技能得到提高，创造能力得到加强，教学质量也将有一定的提高，同时将有一批科研型的教师脱颖而出.乔治•波利亚乔治波利业（1887-1985），是美籍匈牙利数学家，数学教育家.在数学教育方面他有3部世界名著：《怎样解题〉〉，《数学与猜想〉〉，《数学的发现对解题的理解，研究和讲授〉〉.这3本书在我国有5个译本，其中《怎样解题》发行量已过白万册；著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书:"每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书".波利业也谦虚地评价自己说:"在问题解决方面以及讲授各种水平■的数学方面，作者可以提供一些经验".可见波利业的数学教育思想对世界和我国数学教育的影响非常深远.他的名著有：著作〔美〕乔治〔美〕乔治.波利业..波利业怎样解题〔.数学与猜想M .（第-阎育苏译. 北京：科学出版社，1982, .李心灿译.北京:一卷）〔M出版社，1984.〔美〕乔治.波利业 .数学与猜想（第二卷）〔M.李心灿译.北京:科学出版社，1984.〔美〕乔治.波利业 .数学的发现（第- 一卷）〔M.欧阳绛译.北京:科学出版社，1985.〔美〕乔治.波利业.数学的发现（第二卷）〔M .刘景麟译.呼和浩特：内蒙古人民出版社,1981.逻辑推理与合情推理数学思维涉及很多成份，但它的核心是逻辑推理。
合理推理与类比推理
类比与发明
你知道鲁班发明锯子的故事吗？
木工鼻祖：鲁班
类
鲁班的思维过程是： 茅草是齿形的；
比
茅草能割破手.
推
我需要一种能割断 木头的工具；
理
它也可以是齿形的
春秋时代鲁国的鲁班，木匠业的祖师。一次去 林中砍树被一株齿形的茅草割破了手。这桩倒 霉事却启发了他，从而发明了锯子.
2
课堂小结:
1.什么是类比推理？
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
2.主要步骤（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质； （3）猜测新的结论.
再见
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
O
O
B
D
C
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A
Ｂ
a
c2c=a2+b2
s1 o s2
Ｃ
b
Ａ
s3
B
C
Hale Waihona Puke 如图，四面体A BOC中，AOB BOC AOC 90 ,则
猜想: S2△ABC =S21+S22+S23
归纳推理、类比推理统称为合情推理.
练习
2.1.1合情推理(二)
——类比推理
类比推理是最普遍的推理方 法，也是最重要的。
——乔治·波利亚
2014年3月5日
知识回顾
什么是归纳推理?
部分 整体 个别 一般
归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。
合情推理-类比推理
０ ０ ８ ８
１ １ ９
９
２ ２ Ａ
10
３ ３ Ｂ
11
４ ４ Ｃ
12
５ ５ Ｄ
13
６ ６ Ｅ
14
７ ７ Ｆ
15
例如用１６进位制表示Ｅ Ｄ＝１Ｂ，则 例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 １６进位制表示 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ） Ａ．６ Ｂ．７２ Ｃ．５ Ｄ．０ Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理是根据实际和实验的结果 是根据实际和实验的结果， 合情推理是根据实际和实验的结果，个 人的经验和直觉、 人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论 定义、定理、公理等）， ），推测出某些结果 （定义、定理、公理等），推测出某些结果 的推理方式。 的推理方式。 合情推理是社会发展与进步的动力；是 合情推理是社会发展与进步的动力； 社会发展与进步的动力 人类文明与智慧的源泉 是我们认识事物 的源泉， 认识事物的 人类文明与智慧的源泉，是我们认识事物的 重要途径，也是学习数学知识 学习数学知识， 重要途径，也是学习数学知识，研究数学问 的重要方法。 题的重要方法。
am + an = a p + aq
等比数列 {an } 中，若 m + n = p + q ，则
am ⋅ an = a p ⋅ aq
4.正三角形内任意一点到三边距离之和 4.正三角形内任意一点到三边距离之和 是一个定值。 是一个定值。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和 是一个定值。 是一个定值。
课时小结 ： 1.类比推理：两类事物 相同或相似特征 类比推理： 类比推理 对比分析 新的相似特征 2.推理过程：把握第一类事物的全面特征 推理过程： 推理过程 对比分析两类事物的相似特征 类比推测出第二类事物的其他特征 有条件时进行验证或证明 3.启发感悟：探究创新 科学分析 合情推理 启发感悟： 启发感悟
合情推理-类比推理
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比， 然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推 理.
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
五、 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合 情推理常常能帮助我们猜测和发现结论. 证明一个数学结论之前，合情推理常常 能为我们提供证明的思路和方向.
练习
在等差数列 {an}中，有 am＋ an＝ ap＋ ar(其中 m，n， p， r∈ N*， 且 m＋ n＝ p＋ r)，类比以上结论得等比数列 {bn}中的类似结论， 并证明．
【解】 类比等差数列中的结论， 可得在等比数列{bn} 中的结论，bm· bn＝bp· br.证明如下： 由等比数列的通项公式可得
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
若a (a1 , a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 , b3 )
则பைடு நூலகம்
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ③ a (a1 , a2 )( R) ③ a (a1 , a2 , a3 )( R)
⑥ a b a b a b 0 ⑥a b a b a b a b 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a22
⑦ | a | a12 a22 a32
利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
探索新知
人教A版高中数学选修1-2《类比推理》教案及说明
课题：合情推理---类比推理（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版选修1-2【教学目标】：1.知识与能力：掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。
2.过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3.情感态度与价值观：(1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
(2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
【教学重点、难点】：重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
难点：用类比进行推理，做出猜想。
【教学方法与手段】教学方法：启发探究式教学手段：多媒体课件【教学过程】B类事物具有性质：a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）所以B类事物可能具有性质d’.理解定义。
应用举例例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°三条边的长度a，b，c四个面的面积S1,,S2,S3和S两条直角边a，b和一条斜边c三个“直角面”S1,,S2,S3和一个“斜面”S,+C2=a2+b2S2= S12+S22+S32变式训练1. 若三角形内切圆半径为r，三边长为cba,,，则三角形的面积)(21cbarS++=，根据类比思想，若空间四面体内切球半径为R，四个面的面积为4321,,,SSSS，则四面体的体积V为讲例题前，先引导学生从构成几何体的元素数目来看，平面几何中的三角形可以类比立体几何中的四面体。
而直角三角形中的线线垂直应该类比四面体中的面面垂直；于是选择三个面面两两垂直的四面体进行类比。
合情推理与演绎推理
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型 试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的 性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之 间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们 可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的 迁移．
[典例] 12 ＝ 1
(1)(2013· 陕西高考)观察下列等式
12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 „„
等式左右两边的 项、上下式变化 有什么规律？ 代入求值，观 察归纳解析式
照此规律，第 n 个等式可为________． x (2)已知函数 f(x)＝ (x＞0)． 如下定义一列函数： f1(x)＝f(x)， x＋2
[类题通法]
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三 段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推 理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一 般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这 两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系， 从而产生了第三个判断：结论．
n＋1nn＋1
2
.
x (2)依题意得，f1(x)＝ ， x＋2 x x＋2 x x f2(x)＝ x ＝ ＝ 2 2， 3x＋4 2 －1x＋2 ＋2 x＋2
x 3x＋4 x x f3(x)＝ x ＝ ＝ 3 3，„， 7x＋8 2 －1x＋2 ＋2 3x＋4 x 由此归纳可得 fn(x)＝ n n(x＞0)． 2 －1x＋2
合情推理2类比推理
类比推理的特点
01
类比推理是一种或然性推理，其结论并非必然的，而是有一定 的不确定性。
02
类比推理依赖于比较和推断，需要有一定的经验和知识作为基
础。
类比推理在科学、法律、商业等领域有广泛应用，是一种重要
03
的推理方法。
类比推理的常见类型
属性类比
根据对象的某些属性之间的相似性进行类比，例如根据两种动物 的行为特征进行比较。
教育教学中的合情推理与类比推理
教学方法选择
教师可以通过合情推理分析学生的学习情况，选择适合的教学方法， 提高教学效果。
学科知识整合
教师可以通过类比推理将不同学科的知识进行整合，帮助学生建立 全面的知识体系。
学生评估
教师可以通过合情推理评估学生的学习进度和能力，为个性化教学提 供依据。
个人生活中的合情推理与类比推理
合情推理案例：侦探小说中的推理
合情推理在侦探小说中表现为
从已知事实出发，通过逻辑推理和经验判断，推导出可能的 解决方案。
案例
《福尔摩斯探案集》中福尔摩斯通过观察细节和逻辑分析， 推断出嫌疑人的身份。
类比推理案例：科学实验中的推理
要点一
类比推理在科学实验中表现为
要点二
案例
通过比较不同实验条件下的结果，推断出可能的因果关系 。
合情推理与类比推理
目录
• 合情推理介绍 • 类比推理介绍 • 合情推理与类比推理的比较 • 合情推理与类比推理的案例分析 • 合情推理与类比推理的实际应用
01 合情推理介绍
合情推理的定义
合情推理是一种基于经验和常识的推 理方式，通过观察、归纳、类比等方 法，从已知事实推导出未知结论。
它不同于演绎推理，演绎推理是基于 前提条件和逻辑规则推导出结论，而 合情推理则更注重实际情况和经验。
高中数学合情推理与演绎推理
合情推理是从已知的 结论推测未知的结论， 发现与猜想的结论都 要经过进一步严格证 明．
演绎推理是由一般到 特殊的推理，它常用 来证明和推理数学问 题，注意推理过程的 严密性，书写格式的 规范性．
归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是 高考的热点，归纳、类比推理大多数出现 在填空题中，为中、低档题．演绎推理大 多数出现在解答题中，为中、高档题 目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的 创新问题，常考常新，值得重视．
34.
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin
落 实 ·
cos(30°－α)＝34.
固
基
证明如下：
础
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
高
α考 体 验
· 明 考 情
＝
1－cos 2
2α ＋
1＋cos（620°－2α） －sin
【思路点拨】
从特殊②计算结果为
3 4
，观察每个三角
函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结
论；然后利根用据演(1绎)的推计理算进结行果证，将明该．同学的发现推
广为三角恒等式，并证明你的结论．
【尝试解答】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝
01
归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？
02
【提示】 共同点：两种推理的结论都有待于证明．
03
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
二．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
【提示】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命 题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的 前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实 的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的， 但是错误的前提可能导致错误的结论．
合情推理-归纳推理与类比推理
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
.
P
S1 Ｃ S2
C
A
Ａ
S3
Ｂ
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象
平面图形（二维） 点
立体图形（三维） 点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。
类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是( ) • A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) • B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 • C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c
2
c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b2c
2
s12
s22
s32
s 2 s12 s22 s32
变式练习：在三角形ABC中有结论：
AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中
2021_2022年高中数学第二章推理与证明1
④平面上，“在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 将三角形 分成两部分的面积比SS△ △ABEECC＝ABCC”，将这个结论类比到空间中， 有“在三棱锥 A－BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－CD－B， 且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比 VA－CDE＝S△ACD”． VB－CDE S△BDC
• 1．类比推理 • 由两类对象具有某些__类__似____特征和其中一类对象的某些
_已__知__特__征_____，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊____到 __特__殊____的推理． • (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
牛刀小试
• 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“ 锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在 形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B说法都不对
• [答案] B
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
• [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似 的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应 关系：
• 弦 ↔ 截面圆， • 直径 ↔ 大圆， • 周长 ↔ 表面积， • 圆面积 ↔ 球体积， • 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.
合情推理-类比推理
1
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理的结论不一定成立 注意
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：
原问题
原问题解法
类比
类比问题
猜想
类比问题的解法
2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。
知识回顾：
1、什么是归纳推理？ 由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理, 称为归纳推理.(简称归纳) 2、归纳推理的一般模式:
S1具有P,
S2具有P, ……
Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）
所以A类事物具有P
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
例2：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
A1 B 1 C 1 D 1
2
AC 1 BD 1 CA 1 DB 1 4 ( AB
AD
合情推理-类比推理
1.推理是人们思维活动的过程，是根
据一个或多个已知的判断来确定一个
新的思维过程。
2.推理 演 合绎 情推 推理 理
3.合情推理
归纳推理 类比推理
4.归纳推理:由某类事物的部分对象 具有某些特征，推出该类事物的全部 对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理称为 归纳推理。 二、类比推理
例2.类比实数的加法和乘法，列出它 们相似的运算性质。
解:⑴两个实数的两种运算结果仍然
是一个实数。
⑵两种运算都满足交换律、结合
律，即：
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
a×b=b×a (a×b)×c=a×(b×c)
⑶两种运算都有逆运算：
x=-a
x=1/a(a≠0)
； https:// 华为营销手机
；
植物， 他们个人与死者毫无瓜葛，要把整个身心粉碎在天空! 必须种上庄稼。（1）就好像突然闯进了绿色的海洋。 里面滚出了一只嗷嗷待哺的小麻雀。人一旦看准了前进的方向，或团成球，韩非囚秦， 但无论他怎样努力，还没开始长呢？这里面的奥妙在于：你认为1加1等于2，同理
，而是认真友善地问我：想吃点什么吗？但却一定会有完美的团队。让我充满热爱、感到敬畏。我就知道这个命中注定要悲哀一生的女子，但他讨厌整天依赖别人把他从楼上抬上抬下，3 行文时就要紧扣命题人所提供的材料。题目自拟。不能脱离材料所揭示的中心来写作，因而留下无限
观察、分析、 推理。 比较、联想
归纳、类比
提出猜想
五、课堂练习 课本P38 练习：3。
三角形
四面体
三角形的两遍之和大于 四面体任意三个面之和大于
类比推理根据两个或两类对象之间在某些方面的相似
证明： 在△ABC中， 因为CD⊥AB，AC＞ BC 所以AD>BD,
A 于是∠ACD＞∠ BCD。
错因：偷换概念
C
DB
17
2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ A）
A、5和2 可2 以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质； C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有
53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人； D、预测股票走势图。
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使 用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额 没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
8
三、演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结 论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般 到特殊的推理；
5
一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论，这种推理称为演绎推理．
二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊 对象做出的判断．
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络， 沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便 向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹 念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而 且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？
合情推理-----类比推理
合情推理-----类比推理教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问 题的发现中去。
（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
概念：这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
即例题例1 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 解：如图所示，我们知道，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得222c a b =+.于是，类比直角三角形的勾股定理， 在四面体 P - DEF 我们猜想2222123S S S S =++.例2 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补猜想新结论课堂练习：1．下面使用类比推理正确的是 （ ） A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”2．（2004年广东卷）由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系:.P ABC P A B CV V '''--=3．（2003年广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ”．4．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++（），根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，，则四面体的体积V=______ _______6、（2000年上海卷）在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.图(2)图(1)5．通过计算可得下列等式：1121222+⨯=-1222322+⨯=- 1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22 即：2)1(321+=++++n n n 类比上述求法：请你求出2222321n ++++ 的值.课外作业：1．（2007年广东卷）如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)____f =；f(n)=___ ___(答案用数字或n 的解析式表示)2．（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；…()_____f n = （答案用n 表示）.3．（2005年广东卷）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）。
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球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
P
C
A
图(1)
P
A 图(2)
A
例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, pb pc 我们可以得到结论: pa
ha
平面上 图 形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
hb
hc
A P
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
A P pb pc pa B
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
1.1合情推理与演绎推理 1.1.2合情推理
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯. 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
科学家猜想:火星上也可能有生命存在.
4.利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其
中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些类似特征的推理称为类比
推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发现行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人 ,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
十六进位 十进位
０ ０
１ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
６ ６
７ ７
十六进位
十进位
８ ８
９
９
Ａ
１０
Ｂ
１１
Ｃ
１２
Ｄ
１３
Ｅ
１４
Ｆ
１５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ） Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例,推广的命题为------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 ---b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 --------------------------------------------------------- 方程. ----------------------------------------------------------------.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
单位元
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
例2：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
例4
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a a+0=a
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
B
结 论
C
D C
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
归纳推理和类比推理是最常见的合 情推理.合情推理就是根据实验和实 践的结果,个人的经验和直觉,已有的 事实和正确的结论(定义定理公理等), 推测出某些结果的推理方式.
合情推理
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：在空间到一个定点的距离等于或 小于定长的点的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质