一类带加法噪声密度卷积的小波估计
小波变换分类 -回复
小波变换分类-回复什么是小波变换？小波变换是一种数学方法，用于处理信号与图像的分析与处理。
它以时间频率双尺度分析为基础，适用于处理非平稳信号，如噪声、震荡等变化频率的信号。
小波变换的理论基础源于数学分析中的波动理论，通过将信号与一组基函数（小波）进行卷积运算得到信号在不同尺度下的时频信息。
为什么需要小波变换？在许多实际应用中，信号往往是非平稳的，其频率成分随着时间变化。
传统的傅里叶变换仅适用于平稳信号，无法准确捕捉非平稳信号的时频特征。
而小波变换可以在不同尺度上对信号进行分解与重构，可以提供信号的时频局部信息，更加适用于复杂信号的分析。
小波变换的基本原理是什么？小波变换的基本原理是将原始信号通过一组小波基函数进行分解与重构。
小波基函数是一组满足正交性与紧支性条件的函数。
小波变换的过程可以分为两步：分解和重构。
在分解过程中，原始信号经过低频通道和高频通道滤波得到不同尺度的近似信号和细节信号。
重构过程则是通过将不同尺度的近似信号和细节信号进行逆滤波和下采样操作，将分解得到的信号重构为原始信号。
小波变换有哪些常用的类型？小波函数有多种类型，常见的有莫尔小波、哈尔小波、Daubachies小波等。
不同类型的小波函数在时频描述能力、变换性质等方面具有不同的特点。
选择合适的小波函数可以更好地适应不同信号的特征。
此外，小波变换还可以根据其变换的特性分类，主要包括连续小波变换和离散小波变换。
连续小波变换适用于连续信号的处理，而离散小波变换则适用于离散信号的处理。
小波变换有哪些应用领域？小波变换广泛应用于信号与图像处理的各个领域。
在信号处理中，小波变换可以用于信号的降噪、压缩、边缘检测等。
在图像处理中，小波变换可以用于纹理特征提取、图像压缩、图像增强等。
此外，小波变换还可以应用于机器学习、语音处理、医学图像等领域。
小波变换有哪些优点和局限性？小波变换具有多尺度分析、时频局部化、适应非平稳信号等优点。
它可以提供更丰富的时频信息，并且可以通过选择不同的小波函数来适应不同类型的信号。
基于小波变换估计噪声方差的轮速信号卡尔曼滤波器
基于小波变换估计噪声方差的轮速信号卡尔曼滤波器在汽车行驶中，轮速信号是非常重要的传感器，它被用于多种系统，如制动系统、牵引力控制和车辆动态稳定性控制等。
轮速信号的准确性非常重要，因为它们直接影响到这些系统的操作。
然而，由于制造和运动过程中的噪声，轮速信号经常被扰动，从而影响了它们的准确性。
因此，通过滤波器来减少噪声是非常必要的。
卡尔曼滤波器通常被用来滤波噪声。
卡尔曼滤波器是一种数据处理方法，它根据测量值和系统模型来预测和纠正噪声。
在轮速信号中，卡尔曼滤波器可以根据方向角速度和车速来估计车轮的速度。
然而，在实际应用中，轮速信号中的噪声可能很难直接观察和测量，因此需要使用其他方法来估计噪声方差。
基于小波变换是一种估计噪声方差的方法。
小波变换可以将信号分解成不同频率的信号，其中噪声通常出现在高频部分。
通过将小波系数为零的高频部分与实际信号的低频部分合并，可以增强信号的准确性，并消除噪声。
因此，在该卡尔曼滤波器中，应用小波变换来估计噪声方差。
首先，使用小波变换对原始轮速信号进行处理，将其分解成不同频率的信号。
然后，通过比较不同频率信号段内的峰值大小，选择合适的信号段，以确定噪声的频率范围。
最后，在该频率范围内用小波系数为零的信号段替换实际信号，以增强信号的准确性。
在进行卡尔曼滤波时，使用估计噪声方差的信息来优化卡尔曼滤波器的参数。
具体来说，通过将估计的噪声方差作为输入，卡尔曼滤波器可以预测噪声的强度，并更准确地滤波噪声。
在实际应用中，该卡尔曼滤波器展现出了非常好的效果。
通过使用小波变换来估计噪声方差，卡尔曼滤波器能够进行更准确的滤波，并显著提高了轮速信号的准确性。
对于需要高精度的制动系统和牵引力控制系统等，这种方法是非常有用的。
综上所述，基于小波变换估计噪声方差的轮速信号卡尔曼滤波器是一种非常有效的滤波方法，可以提高轮速信号的准确性，从而改善多个系统的表现。
它可以广泛应用于汽车行业，并在车辆控制和安全性能方面提供重大的贡献。
小波理论及小波滤波去噪方法
要点二
详细描述
小波硬阈值去噪法是小波阈值去噪法的一种，通过对小波 系数应用硬阈值函数进行处理，能够有效地去除噪声。硬 阈值函数的特点是在阈值处将小波系数分为两部分，保留 大于阈值的系数，置小于阈值的系数为零，具有简单易行 的优点。然而，硬阈值函数在处理过程中存在不连续性， 可能会引入新的噪声或信号失真。
通过软阈值函数处理小波系数，实现去噪的小波去噪方法。
详细描述
小波软阈值去噪法是在小波阈值去噪法的基础上发展而来的，通过对小波系数应用软阈值函数进行处理，能够更 好地保留信号的细节信息，提高去噪效果。软阈值函数的特点是在阈值处平滑过渡，避免了硬阈值函数的不连续 性。
小波硬阈值去噪法
要点一
总结词
通过硬阈值函数处理小波系数，实现去噪的小波去噪方法 。
03
小波滤波去噪的优缺点
优点
多尺度分析
小波变换能够同时提供信号在 时间和频率域的信息，允许在
多个尺度上分析信号。
去噪效果好
小波变换具有很好的局部化特 性，能够有效地将信号和噪声 在不同尺度上分离，从而实现 去噪。
自适应性
小波变换能够根据信号的特性 自适应地选择合适的小波基和 分解尺度，以更好地适应信号 的特性。
小波理论及小波滤波去噪 方法
• 小波理论概述 • 小波滤波去噪方法 • 小波滤波去噪的优缺点 • 小波滤波去噪的改进方法 • 小波滤波去噪的实例分析
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波是一种特殊的函数，具有局部性和波动性， 能够在时间和频率两个维度上进行分析。
小波具有可伸缩性，能够适应不同的频率分析需 求。
实例一：图像去噪
总结词
图像去噪是小波滤波去噪方法的重要应用之一，通过小波变换对图像进行多尺度分析， 有效去除噪声，提高图像质量。
语音信号去噪与语音增强算法的研究与优化
语音信号去噪与语音增强算法的研究与优化引言：近年来，随着语音技术的广泛应用，语音信号的质量问题也变得日益重要。
语音信号常常受到噪声的污染，导致语音识别、语音合成等应用的精度和可靠性下降。
因此，语音信号去噪与语音增强算法的研究与优化就变得至关重要。
一、语音信号去噪算法的研究与应用1. 基于频域方法的去噪算法频域方法是最常用的去噪算法之一。
其中，基于谱减法的算法是最经典的一种方法。
谱减法通过在频谱上逐频段地估计噪声功率，并减去相应的噪声能量，有效地抑制了噪声。
此外，还有基于估计噪声谱的计算信噪比的方法，如MMSE估计算法，通过优化估计噪声谱的准确性进一步提高了去噪的效果。
2. 基于时域方法的去噪算法时域方法也是常用的去噪算法之一。
在时域中，最常用的方法是基于自适应滤波器的算法。
该方法通过将输入信号分解为信号和噪声成分，然后通过滤波器估计和消除噪声成分，从而实现去噪的效果。
此外，还有基于小波变换的去噪算法，它通过选择适当的小波基函数，将信号分解为不同尺度和频率的子带，然后根据各个子带噪声的特性进行处理，以达到去噪的目的。
3. 基于深度学习的去噪算法近年来，深度学习在语音信号去噪领域取得了显著的进展。
深度学习算法具有学习能力强、自适应性好等优点，可以更好地处理复杂的语音噪声问题。
其中，基于卷积神经网络（CNN）的去噪算法广泛应用于语音信号去噪和增强任务中。
另外，递归神经网络（RNN）和变分自编码器（VAE）等方法也被用于改善去噪性能。
二、语音增强算法的研究与应用1. 基于幅度谱的增强算法幅度谱增强算法是最常用的语音增强方法之一。
这种方法通过对输入语音信号的幅度谱进行处理，提高信号在不同频率上的可听度。
常见的方法有最小均方（MMSE）谱估计算法和音频谱缩放算法等。
2. 基于时频域的增强算法时频域增强算法是最新的一类语音增强方法，主要应用于非平稳噪声的处理。
这种方法通过在时频域上对输入语音信号进行分析和处理，提高信号的可听度。
小波理论及小波滤波去噪方法课件
第九章 小波理论及小波滤波去噪方法
9.2.2连续小波变换
§ 9.2.小波变换
第21页，共28页。
*
(2) 缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄
第九章 小波理论及小波滤波去噪方法
9.2.2连续小波变换
§ 9.2.小波变换
第22页，共28页。
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第九章 小波理论及小波滤波去噪方法
§ 9.1 从傅里叶变换到小波分析
第11页，共28页。
第九章 小波理论及小波滤波去噪方法
由此可见，STFT虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有时域局部分析能力的缺陷，但他也存在着自身不可克服的缺陷——其时间频率窗口是固定不变的，一旦窗口函数选定其时频分辨率也就确定了。而时间和频率的最高分辨率受制约，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。 可以说STFT实质上是具有单一分辨率的信号分析方法，若要改变分辨率，则必须重新选择窗口函数g(t)。 因此STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率，即δ要小，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率，ε要小，而STFT不能兼顾二者。
(3) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
9.2.2连续小波变换
§ 9.2.小波变换
第23页，共28页。
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（4）小波变换的步骤: 第一步： 取一个小波与信号的最前面部分比较; 第二步： 计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性 即:C越大,两者越相似;
（1）继承和发展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点。
MATLAB小波函数总结
MATLAB小波函数总结在MATLAB中，小波函数是一种弧形函数，广泛应用于信号处理中的压缩，降噪和特征提取等领域。
小波函数具有局部化特性，能够在时频域上同时分析信号的瞬时特征和频率信息。
本文将总结MATLAB中常用的小波函数及其应用。
一、小波函数的基本概念小波变换是一种时间-频率分析方法，通过将信号与一组基函数进行卷积得到小波系数，从而实现信号的时频分析。
小波函数具有紧致性，能够在时域和频域具有局域性。
MATLAB提供了一系列的小波函数，用于不同的应用场景。
1. Haar小波函数Haar小波函数是最简单的一类小波函数，它是一种基于矩阵变换的正交小波函数。
具体而言，Haar小波函数形式如下：ψ(x)=1(0≤x<1/2)-1(1/2≤x<1)0(其他)Haar小波函数的最大优点是构造简单，仅由两个基本函数构成，且可以有效地表示信号的边缘和跳变。
2. Daubechies小波函数Daubechies小波函数是一类紧支小波函数，能够在时域和频域上实现精确的表示。
MATLAB提供了多个Daubechies小波函数，如db1、db2、db3等，其选择取决于所需的时频分析精度。
3. Symlets小波函数Symlets小波函数是Daubechies小波函数的一种变形，它在保持带通特性的基础上增加了支持系数的数量，提高了时频分析的精度。
MATLAB 提供了多个Symlets小波函数，如sym2、sym3、sym4等。
4. Coiflets小波函数Coiflets小波函数是一种具有对称性和紧支特性的小波函数，可用于信号压缩和降噪等应用。
MATLAB提供了多个Coiflets小波函数，如coif1、coif2、coif3等。
二、小波函数的应用小波函数广泛应用于信号处理中的各个领域，包括信号压缩、降噪、图像处理和模式识别等。
下面将重点介绍小波函数在这些领域的应用。
1.信号压缩小波函数可以通过选择合适的小波基函数和阈值策略来实现信号的压缩。
小波分析在语音信号处理中的应用
小波分析在语音信号处理中的应用作者：张琪程利邝沈卿来源：《数字技术与应用》2012年第02期摘要：本文介绍了小波变换及小波变换在语音信号处理中的应用，效果显著。
这里主要介绍运用小波变换对语音信号的压缩和增强，给出了仿真结果并进行了分析。
关键词：小波去噪压缩基因检测中图分类号：P631 文献标识码：A 文章编号：1007-9416(2012)02-0158-021、引言小波分析是在傅里叶基础上发展起来的一个有效的调和分析工具，傅里叶分析作为最早的调和分析工具，在信号频谱分析中有着非常重要的作用，是调和分析发展的一个重要分支。
但是在当需要对信号的某一时间点，或某一时间段的频率成分进行分析时，传统的傅里叶变换就显得无能为力了，所以在他得基础上发展了短时傅里叶变换，Gabor变换，以致到后来具有革命性意义的小波变换。
小波变换是采用面积固定不变但形状不断变化的分析窗口对信号进行变换，其多分辨分析的特点，很适合于分析非平稳信号。
语音信号是一个典型的非平稳信号，目前，小波变换已经成功运用于语音信号处理。
2、小波变换连续小波变换把一维信号投影到二维的时间一尺度相平面上，其基本思想是用一组函数去表示或逼近一信号或函数，这一组函数称为小波函数系，通过一基本小波的平移和伸缩构成小波变换的定义如下：设 x(t)是平方可积函数，记作x(t)∈L2(R)，Ψ(t)是被称作基本小波或母小波(motherwavelet)的函数则称为x(t)的小波变换。
式中a>0是尺度因子，b反应位移，*表示共轭。
因为一维信号x(t)作小波变换成为二维的WTx(a,b)后其信息是有冗余的，因此在工程应用中常见的是离散的小波变换。
目前通行的办法是对尺度幂级数作离散化，可将尺度因子a和移位因子b离散化。
若对尺度因子a按二进的方式离散化，就得到了二进小波和二进小波变换。
3、语音信号的小波增强对信号进行消噪实际上是抑制信号中的无用部分，增强信号中的有用部分的过程。
基于小波变换的脑电信号去噪方法_论文初稿
本科毕业设计（论文）基于小波变换的脑电信号去噪方法燕山大学毕业设计（论文）任务书：表题黑体小三号字，内容五号字，行距18磅。
（此行文字阅后删除）摘要摘要脑电信号(EEG)是脑神经细胞电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映，其中包含了大量的生理和病理信息,并可以用许多特征量来描述其特征信号。
通过脑电分析来认识脑的活动是一种有效的无创手段。
人体脑电信号非常微弱，为了提高脑电信号的性能和检测效率，必须对脑电信号进行去噪处理。
小波理论的形成是数学家、物理学家和工程师们多学科共同努力的结果，现在小波分析正运用在众多自然科学领域，已经成为当前最强有力的分析工具之一，而且还在继续蓬勃向前发展着。
研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。
在噪声中如何准确地检测到信号一直是信号处理领域所关心的内容，小波变换由于具有良好的时频局部化特性，能够对各种时变信号进行有效的分解，从而较好地将信号与噪声加以分离，获得满意的去噪效果。
本文对小波分析在脑电信号去噪中的应用进行了较为深入研究和讨论。
本文首先介绍了小波基本理论和基于传统小波分析的信号去噪原理以及几种常用的方法。
在几种方法中，因小波闭值去噪法，原理简单易行，效果较好且是本文研究的其他几种小波分析方法去噪处理的基础，所以本文在基于MATLAB实验平台上选取实验效果较好的小波函数，在不同阐值和阐值函数的情况下对这种方法做了较为详细地脑电信号去噪比较研究。
小波变换是一种信号的时间一尺度分析方法，具有多分辨率分析的特点，对信号具有自适应性。
本文提出了一种基于正交小波变换的脑电信号去噪方法。
试验表明，该方法具有很好的有效性。
关键词：脑电信号;小波变换;去噪燕山大学本科生毕业设计（论文）AbstractThe Electroencephalograph (EEG) is the total reflenction of brain nerve cells,through the electric signal record electrode from scalp.It contains a great deal of physiology and pathologic information, and we can use many characteristics quantity to describe its specificity. EEG analysis is an effective noninvasive approach for us to understand the mechanism of brain activity.The EEG signal is one of mini-voltage.In order to improve the performance of EEG and increase the measure efficiency,we must eliminate the noise in EEG.The theory of the wavelet originates with mathematicians, physicists and engineers together, and now,the wavelet analysis is very popular in many fields of science as one of the most efficient tool to analysis or deal the problem, furthermore, it will still progress forward in the future. To study the new theory, methods and applications of wavelets is of great theoretical significance and practical value.Estimating the original signals from noise has always been an important part in the field of signal processing. Because of it's fine time-frequency localization characteristic, wavelet transform can effectively discriminate signals from noise and achieves pretty good performance.This paper chiefly studying the application of wavelet analysisin EEG signalde noising.Firstly ,this paper introduce the theory of wavelet and principle of signal denoising based on wavelet, and then studying several denoising methods. Because threshold denoising has simple algorithm and good denoising result, moreover it is the base of other denoising methods discussed in this paper, this paper make a comparison study of EEG signal denoising based on MATLAB platform, using diferent threshold functions and threshold value,but using one wavelet function.Wavelet transform is a kind of analytical tool in time-scale domain.It has the feature of multi-resolution analysis and the adaptaion characteristic for signal.A noise rejection method with positive-join wavelet transform was燕山大学本科生毕业设计（论文）proposed here.Experiments show that the proposed method has good efficiency. Key words：EEG;wavelet transform;noise rejection摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2小波变换的背景 (2)1.3信号处理的背景 (4)1.4脑电信号去噪 (5)第2章小波变换 (6)2.1时频分析方法 (6)2.1.1 短时傅立叶变换(STFT) (6)2.1.2 Wigner-Ville 分布 (8)2.1.3 小波变换的思想 (9)2.2连续小波基函数 (11)2.3小波变换 (12)2.3.1 连续小波变换 (12)2.3.2 离散小波变换 (13)2.3.3 二进小波变换 (14)2.4多分辨率分析与离散小波快速算法 (14)2.4.1 多分辨率分析 (14)2.4.2 离散小波变换的快速算法 (16)2.5M ALLAT 的快速算法 (17)2.6本章小结 (18)第3章基于小波变换去噪方法的研究 (19)3.1经典的滤波去噪方法 (19)3.2基于小波变换模极大值去噪方法的研究 (20)3.2.1 小波变换模极大值的定义 (20)3.2.2 模极大值随着尺度的变化规律 (21)3.2.3 一种新的子波域滤波算法 (24)3.3小波阈值去噪方法的研究 (26)3.3.1 小波阈值去噪处理的方法 (26)3.3.2 软阈值的选择方法 (28)3.3.3 噪声在小波分解下的特性 (29)3.3.4 小波函数的选择 (30)3.4利用小波包进行信号消噪处理 (34)3.4.1 小波包变换的基本原理 (34)3.4.2 小波包的定义 (35)3.4.3 运用小波包消噪 (36)3.5本章小结 (37)第四章脑电信号去噪 (37)4.1脑电信号 (37)4.1.1 脑电信号背景 (37)4.1.2 脑电信号的特征与采集 (38)4.1.3 脑电信号预处理 (41)4.2小波去噪的MATLAB仿真 (44)4.2.1 Matlab的小波分析 (44)4.2.2 Matlab仿真去噪 (45)4.3本章小结 (49)结论 (49)参考文献 (50)致谢 (51)附录1 (51)附录2 (51)第1章绪论第1章绪论1.1引言脑电信号EEG(Electroencephalograph)是人体一种基本生理信号，蕴涵着丰富的生理、心理及病理信息，脑电信号的分析及处理无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗，还是在脑认知科学研究领域都是十分重要的。
小波分析及其在高光谱噪声去除中的应用解读
第29卷,第7期光谱学与光谱分析2009年7月SpectroscopyandSpectralAnalysisVol129,No17,pp194121945July,2009小波分析及其在高光谱噪声去除中的应用周丹1,王钦军1,田庆久2,蔺启忠1,傅文学111中国科学院对地观测与数字地球科学中心,北京10008621南京大学国际地球系统科学研究所,江苏南京210093摘要为了消除高光谱遥感图像中光谱曲线的锯齿型噪声,提高利用光谱曲线进行信息提取研究时的精度,文章使用USGS(unitedstatesgeologicalsurvey)光谱库中的植被光谱进行模拟,添加了信噪比为30的噪声后采用小波阈值法进行噪声去除,并利用信噪比、均方误差和光谱角三项指标以及综合评估系数η来对去噪效果进行评估,寻找出最佳的参数组合。
实验表明,使用db12,db10,sym9,sym6行3～7层分解,采用软阈值函数处理小波变换系数并使用Heursure,然后根据第一性,针对不同噪声水平时需探索更合适的参数组合。
关键词高光谱;光谱曲线;中图分类号:::1013964/j1issn1100020593(2009)0721941205一个含噪光谱可以表示成如下的形式(1)di=f(ti)+σ・zi,i=1,2,…,n式中,f(ti)为真实光谱,ti=i/n,zi为噪声,σ为噪声级别。
对光谱di进行去噪,就是要消除其中的噪声部分zi,获得f(ti)的估计值^f(ti)使其均方误差(MSE,meansquarederror)最小,达到去除噪声的目的[2]。
n引言小波变换在信号处理中尤其是突变信号的检测、含噪信号的去噪等方面有着广泛的应用[1]。
自从Donoho等创造性提出利用小波阈值法去噪以来[2],引起了国内外学者的广泛关注,并结合各自需求对小波阈值去噪法进行改进[3,4]。
此外,利用小波分析去除光谱噪声也在化学[527]、农业[8,9]、生MSE(^f)=n-1i=1f(t)∑(^i-f(ti))2(2)物学[10]、天文学[11]、材料学[12]等领域得到应用。
一类复杂带乘性噪声广义系统研究
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｏ ｐ ｉａ ｅ ｌ ｓ ｆ ｓｎｇ ａ ｙ ｔ ｍ ｓ ｗｉｈ ｍ ｕｌｉ ｌｃ ｔＶ ｉｅ ｓ ａ ｃ ｎ ａ ｃ ｍ ｌｃ ｔ ｄ ｃ ａ ｓｏ ｉ ｕｌ ｒ ｓ ｓｅ ｔ ｔｐ ｉａ ｉ ｅ ｎｏ ｓ
ＹＵ ＹＵ
（ ｈｎ ｈｐＲ ｓａｃ ｎ ｅｅ ｐ ｎ ｃｄ ｍ ， ｅ ｉｇ １ ０ ９ ， ｈ ａ Ｃ ｉａＳ ｉ ｅｅｒｈａ ｄＤ ｖｌ ｍｅｔ ａ ｅ ｙ Ｂ ｉｎ ０ １２ Ｃ ｉ ） ｏ Ａ ｊ ｎ
增刊
于 宇 ： 一类复 杂 带乘性 噪 声广 义 系统研 究
・ ５・ ７
Ｉ＜ 钆 ｌ
图 １ 带 乘性 噪声 和加 性 噪 声 的海 洋 信 道 模 型
Ｆｉ ．１ Ｍｏ ｌｏ ｃ ａ ｈ ｎ ｌｗｉｈ ｍ ｕ ｔｐｌｃ ｔｖ ｇ ｄｅ ｆ ｏ ｅ ｎ ｃ ａ ｎｅ ｔ ｌｉ ｉ ａ ｉ ｅ
摘 要 ： 研究状态 空间模型描述 的带乘性 噪声广义系统 ， 在加性噪声 同时刻相关情形 下的最优状态滤波 算法
以及 观 测 噪声 最 优 估 计 问题 。在 假 设 系 统 正 则 的情 况 下 ， 对 乘 性 噪 声 为 一 般 随 机 矩 阵 即 各 观 测 通 道 乘 性 噪 声 同 时 针
反 向散 射系 数 ， 即系 统 反 卷 积 ， 可 以实 现 水下 目标 就 的远程 探测 。
设 ｒｎ Ｅ ＝ ｎ ａｋ 。＜ｎ 于是 根 据文 献 ［ ０ 可 知存 在 非 ， １］
奇 异矩 阵 Ｍ 和Ｎ， 使
＝
文献 ［ ９ 将 乘性 噪声 系 统推 广至 广义 系统 中 ， ８— ］
型就 是 一个 带有 干扰 的广义 系统 模 型… 。 带 乘性 噪声 系 统 是 在 传 统 观测 模 型存 在加 性 干
小波变换与深度学习结合的噪声去除算法研究
小波变换与深度学习结合的噪声去除算法研究噪声是影响数字信号处理领域的一个普遍难题。
无论是图像、语音还是视频，都可能存在不同类型的噪声。
噪声的存在会影响信号质量，降低人工智能模型的预测准确度。
因此，噪声去除问题一直是数字信号处理领域中一个重要的研究方向。
传统的噪声去除方法主要是使用滤波器，对于高斯噪声可以使用高斯滤波器。
但是，这种方法通常不能有效去除非高斯噪声，而深度学习模型对于极端的噪声也很难进行有效学习。
为了解决这些问题，近年来，越来越多的研究者将小波变换与深度学习相结合，提出了一些新的噪声去除算法。
一、小波变换的概念与应用小波变换是一种多尺度分析方法，可以把原始信号分解成多个不同频率的子信号，同时保持时间和频率局部性信息。
小波变换可以给出一组描述信号的基函数，分解后的系数可以更好地描述信号的局部特征。
小波变换不仅能够计算出原始信号的傅里叶变换，还可以保留更多的信息，特别是对于非平稳信号，小波变换更加有优势。
小波变换的应用非常广泛，在信号处理、图像处理、音频处理和视频处理都有广泛的应用。
在噪声去除领域中，小波变换具有提取信号特征的能力，可通过去除一些不相关的信号成分来实现噪声去除。
二、深度学习的概念与应用深度学习是一种利用多层神经网络进行大规模学习的机器学习方法。
深度学习主要是利用多个层级的非线性变换，可以对数据进行高阶特征提取与抽象。
当前，深度学习已经在图像识别、自然语言处理、语音识别等领域中取得了巨大的成功。
深度学习在噪声去除中的应用也很广泛，可以通过对噪声数据的学习，期望从受损的数据中恢复出原本的信息。
三、小波变换与深度学习结合的噪声去除算法在小波变换和深度学习结合的噪声去除算法中，通常使用小波变换将原始信号分解成多个不同频率的子信号，然后使用深度学习模型来学习每个子信号的特征，进而恢复原始信号。
根据研究者的不同，算法实现方式也不尽相同，下面介绍其中两种。
1、基于卷积神经网络的小波变换噪声去除算法该算法使用小波变换将原始信号分解为多个子信号，然后将这些子信号输入到卷积神经网络中，进一步提取特征。
基于噪声方差估计的小波阈值降噪研究_曲巍崴
y2,…, yd)T 表示 Y 的一个实例。如果它的概率密度函
数能写成 k 个成分分布的和
k
∑ p( y θ ) = αm p( y θm )
(1)
m =1
式中
p(y
θm )
=
2π−d /2
Σm
−1/ 2
exp
⎡⎢⎣ −
1 2
(
y
−
μm
)T
Σm−1(
y
−
μm )⎤⎥⎦ 服从高斯分布。
M 步：最大化式(4)，得到新的参数值 μm 、 Σm 和αm ，具体计算公式如下
N
∑ Rm,n
α m
=
n=1
N
(5)
N
∑ Rm,n yn
μm
=
n=1
Nα m
(6)
N
∑ Rm,n ( yn − μm )( yn − μm )T
Σm = n=1
Nαm
(7)
30
机械工程学报
第 46 卷第 2 期期
利用式(4)～(7)，迭代收敛后，可以得到样本 n
属于第 m 类的后验概率 Rm,n 。这一结果可应用于数 据分类、图像分割等。
Abstract：Noise of signal not only reduces the quality of signal but also interferes the validity of correlative arithmetic seriously.
Therefore, effective and robust estimation of noise variance is very important for various signal processing. A new method is proposed to estimate noise variance. A Gaussian mixture model (GMM) is used to model the high frequency wavelet coefficients (HFWC). The parameters of the mixture model are obtained with the EM iterative algorithm. The HFWC will be classified as noises class and edges class in the GMM when the parameters meet a certain condition. Based on the correlation among HFWC, GMM is used again to classify the coefficients of the noise as well as to take the noise estimation. Finally, the variance of noise signals is calculated and regarded as the noise variance estimation of original signal. Based on the estimation algorithm, wavelet threshold denoising is applied to reverse engineering. The denoising effect of practical signal is perfect in smoothness and feature preserving. The examination indicates that this estimation method of noise variance has certain adaptability to different noise, moreover, the denoising method of wavelet threshold can be simply achieved and applied in most situations.
小波变换去噪基础知识整理
1.小波变换的概念小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？有几种定义小波(或者小波族)的方法:缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。
在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。
高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。
例如Daubechies和Symlet 小波。
缩放函数:小波由时域中的小波函数(即母小波)和缩放函数(也称为父小波)来定义。
小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。
这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。
缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。
对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。
例如Meyer小波。
小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。
例如墨西哥帽小波。
3.小波变换分类小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。
所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。
4.小波变换的优点从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)另:1) 低熵性变化后的熵很低;2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性3) 去相关性域更利于去噪;4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。
小波变换在语音压缩中的应用1
小波变换在语音压缩中的应用摘要本文介绍了小波变换在语音压缩中两种新技术。
第一种技术是消除了低于某一阈值与能量值小波分解高频系数的零小波变换。
第二种技术是平均零小波变换，它除了履行第一种技术所要达到的目标之外，它平均分解的小波近似系数。
这些系数几乎不变，是较高层次的分解转化。
然后，小波系数在传输前，用Lloyd量化的算法和编码和熵编码技术，在接收端，接收信号进行解码，然后才处理减少量化。
1引言信号压缩在语言交际系统中起着重要的作用。
它产生一个紧凑的数据表示，允许有效的存储和资料传送。
在参考【一】中，据报道，语音信号采样量化的8位/样本，在64千位/秒的水平，即在8kHz被压缩到2.4千比特/有足够的清晰度，但缺乏一些自然性。
在某些应用中，例如音频会议和互联网，语音压缩质量应该比电话质量更好。
本文中提出了两种新的压缩技术。
每一种技术都在后来被证明，不仅产生了一个更高的压缩比，而且实现了在较高信噪比条件段的质量的提高和平均意见得分值测试比率的提高。
本文中所讨论的语音压缩技术是基于离散小波传输。
提出的这种技术比现有的技术更加简单而有效。
语音信号分为成段长度为20毫秒时域，每个部分转化利用离散小波变换。
小波变换系数的能量值低于某一临界值是由零改为水平，从而定义了一个新的小波变换技术，它被称为零小波变换。
利用小波变换在语音信号和分解的策略，得出两种详细而近似的系数。
已经注意到，近似系数的小波分解在高水平下几乎不变。
因此，只需发送此常数的值再加上信号段时间长度。
这建议使用另一种被称为平均零小波变换的技术。
小波变换系数进行量化用劳埃德优化的算法，并利用熵编码后的编码方法。
在接收端，信号压缩重建，将在后面介绍。
重建信号的压缩比和质量指标方面的评估，是为了将两个新的技术和现有如传统的离散余弦变换和离散小波变换的进行比较。
本文在第二节中简要讨论小波变换和压缩技术。
第三节将专门为计算机仿真，它是适用于零小波传输和平均零小波传输的一个阿拉伯文和英文语音数据集。
基于小波变换域的实时估计噪声特性算法研究
总第２７８ 期２０１２ 年第１２ 期计算机与数字工程Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ＆ ＤｉｇｉｔａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＶｏｌ．４０ Ｎｏ．１２１基于小波变换域的实时估计噪声特性算法研究＊李 昂１ 李安２胡柏青１ 罗银波３ 覃方君１（１．海军工程大学导航工程系 武汉 ４３００３３）（２．海军工程大学科研部 武汉 ４３００３３）（３．海军装备部驻九江地区军代室 九江 ３３２０００）摘 要 针对在非标准卡尔曼滤波情况下，解决未知观测噪声统计特性（均值和方差）的实时估计问题，提出了一种基于小波变换域的实时估计噪声特性算法，该算法可以实时跟踪观测噪声的变化，实现了对观测噪声均值和方差的实时估计，解决了在未知观测噪声的条件下 卡尔曼滤波失效问题。
仿真验证了算法的可行性和有效性，对未知观测噪声方差估计较传统估计精度提高约一个数量级。
关键词 滤波；观测噪声；实时估计；小波 中图分类号 ＴＰ２７７ＮｏｉｓｅＰｒｏｐｅｒｔｙＲｅａｌ－ｔｉｍｅＥｓｔｉｍａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄｏｎ ＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍ ＤｏｍａｉｎＬＩＡｎｇ１ ＬＩＡｎ２ ＨＵ Ｂａｉｑｉｎｇ１ ＬＵＯ Ｙｉｎｂｏ３ ＱＩＮ Ｆａｎｇｊｕｎ１（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＮａｖｉｇａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｖａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３） （２．Ｔｒａｉｎｉｎｇ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＮａｖａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３）（３．ＮａｖａｌＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅＯｆｆｉｃｅｉｎＪｉｕｊｉａｎｇＡｒｅａ，Ｊｉｕｊｉａｎｇ ３３２０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｄｄｒｅｓｓｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｅｓｔｉｍａｔｅｕｎｋｎｏｗｎｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｎｏｉｓｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ（ｍｅａｎａｎｄｖａｒｉａｎｃｅ）ｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｎｏｎ－ｓｔａｎｄａｒｄＫａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒ，ｎｏｉｓｅｐｒｏｐｅｒｔｙｒｅａｌ－ｔｉｍｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｄｏｍａｉｎｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｔｒａｃｋｔｈｅｃｈａｎｇｅｓｏｆｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｎｏｉｓｅａｎｄｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｍｅａｎａｎｄｃｏｖａｒｉａｎｃｅｉｎｒｅａｌｔｉｍｅ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｖｅｒｉｆｙｔｈｅｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｉｍｐｒｏｖｅｄａｂｏｕｔａｎｏｒｄｅｒｏｆｍａｇｎｉｔｕｄｅｅｓｔｉｍａｔｅｓｏｆｔｈｅｕｎｋｎｏｗｎｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｎｏｉｓｅｖａｒｉａｎｃｅ．Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｆｉｌｔｅｒ，ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｎｏｉｓｅ，ｒｅａｌ－ｔｉｍｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ｗａｖｅｌｅｔ ＣｌａｓｓＮｕｍｂｅｒ ＴＰ２７７估计观测噪声方差特性 的 卡尔曼滤波算法，文 献 ［１０］针 对 小波变换不满足在线 实 时 处 理 的 要 求，提出一种在线实时处理的小波卡尔曼滤波算法。
小波变换去噪基础知识整理
小波变换去噪基础知识整理简介小波变换是一种数学分析工具，可以将时间序列或信号转换为不同频率的小波子波。
在这个过程中，我们可以去掉一些噪音或非重要部分，从而得到更加准确的数据。
这种方法在信号处理、数据分析以及图像处理中都有广泛的应用。
下文将就小波变换去噪的基础知识进行整理。
一、小波变换基础小波变换是一种通过将原始信号与一些特定的小波函数进行卷积和缩放来分解信号的工具。
这些小波函数与高斯函数类似，也可以根据不同频率来进行垂直和水平的拉伸缩小，进而满足各种类型的信号分解和去噪需求。
1.1 小波函数的特点小波函数的一些基本特点包括：•局部性质：小波函数在时间和频率上都拥有局部性质，能够在一段时间内精确的描述信号的局部特征。
•正交性：小波基函数是正交的，因此不同频率上的基函数可以进行组合。
•存在尺度变换：基函数可以在尺度上（横坐标上）进行缩放。
1.2 小波变换的基本步骤小波变换的基本步骤如下：1.将原始信号进行低通滤波和高通滤波，得到低频部分和高频部分。
2.将低频信号继续进行滤波和下采样，得到更低频的信号。
3.将高频信号进行上采样和插值/filling，得到与低频信号时间长度相同的高频系数。
4.重复2~3步，直到所需要的分解尺度。
二、小波去噪基本原理小波去噪和小波分解密不可分，其基本原理是通过将原始信号分解为数个特定频率的小波子波，进而得到各种频率上对应的子波系数。
对于一个含有噪声的信号，其高频系数往往被噪声所主导，而低频系数往往对应着信号的基本信息。
因此，小波去噪的方法就是在保留低频信号不变的情况下，将高频信号的噪声剔除，并据此通过逆小波变换重建出一个干净的信号。
2.1 小波能量和阈值确定小波去噪中，我们需要确定一个能量阈值，保留大于该能量阈值的小波系数，而剔除小于该阈值的部分。
一个常用的方法是利用软阈值进行阈值处理，公式如下：soft\_threshold(x) = {x-threshold (if x>threshold) x+threshold (if x<-threshold)0 (otherwise)}其中x是小波系数，threshold是能量阈值。
利用小波系数对带噪信号进行参数估计
利用小波系数对带噪信号进行参数估计
岑翼刚;尉宇;孙德宝;吴江洪
【期刊名称】《计算机仿真》
【年(卷),期】2003(020)012
【摘要】在该文中,首先利用小波阈值对带噪信号进行了去噪,然后利用小波系数对信号进行了参数的估计,利用小波分解的频段特性,自适应地对不同载频信号选取不同的小波系数层次来估计参数.与其它方法相比较,该估计参数的方法能在较低的信噪比下比较准确的计算出信号的到达时间等重要参数,由于是用小波系数对参数进行估计,因此在一定的信噪比范围内对参数的估计受噪声影响较小.满足准确性和实时性的要求.
【总页数】4页(P41-44)
【作者】岑翼刚;尉宇;孙德宝;吴江洪
【作者单位】华中科技大学控制科学与工程系,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制科学与工程系,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制科学与工程系,湖北,武
汉,430074;船用电子设备研究所军代室,江苏,扬州,225002
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.利用信号相位匹配原理的正弦信号参数估计 [J], 孙轶源;朱维杰;孙进才;李志舜
2.有噪自回归信号参数估计的最小均方算法 [J], 蒯冲;司锡才;付永庆
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4.利用小波变换对1/f信号进行参数估计 [J], 戚兴华;王嘉松
5.利用小波对信号进行去噪及参数估计 [J], 岑翼刚;孙德宝;任毅
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小波图像去噪研究方法概述
小波图像去噪研究方法概述如何消除图像中的噪声是图像处理中古老的课题. 长期以来, 人们根据图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律, 提出和发展了不同的去噪方法[1] . 图像去噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题.用滤波器对非平稳信号处理时不能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分.具有“数字显微镜” 之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性,可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波.利用小波对含噪信号进行处理时,可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息, 得到对原信号的最佳恢复. 目前, 小波图像去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向, 在过去的十多年, 小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注[2].本文阐述小波图像去噪方法的发展历程和小波去噪机理, 概括目前的小波图像去噪的主要方法以及应用, 最后对小波图像去噪方法的发展和应用进行展望.1.小波图像去噪发展小波图像去噪方法大体经过了5个阶段: 第一阶段早在1992年, Mallat提出奇异性检测的理论, 从而可以利用小波变换模极大值的方法结合边缘检测来去除噪声. 第二阶段是小波图像萎缩法: 将含噪信号做正交小波变换,然后对其系数进行阈值操作得到去噪信号. 1992和1995年, Donoho等[ 3 ]提出非线性小波变换阈值去噪法, James S. Walker[ 4 ]提出自适应树小波萎缩法, 去噪效果相当好. 1995年, Coifman &Donoho[5, 6 ]在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法, 它是对阈值法的一种改进. 第三阶段是多小波去噪法. 1994年Geronimo, Ha rdin& Masso pus构造了著名的GHM 多小波, 它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性,又克服了单小波的缺陷. 第四阶段是基于小波系数模型的去噪法:将小波与隐式马尔可夫、多尺度随机过程、上下文、Bayes等模型结合起来, 可获得满意的去噪效果. 第五阶段是最近提出的脊波、曲波去噪法.2.小波去噪的机理噪声去噪问题一般采用模型:()()()e e , 0, 1,, 1,s i f i i i n =+=⋯-其中, f (i) 是期望图像; s( i) 是观测的含噪图像; e (i)是噪声; e 是噪声方差.去噪目的就是从含噪图像 s(i)中恢复原始图像的同时保持图像 s(i) 的特征,优化均方差,即在一组正交基{}() , 0 m B g m N =≤≤下通过分解()()() e s i f i e i =+得到()()() , , , .s i gm f i gm ee i gm =+ 〈〉〈〉〈〉由于小波函数在时频域都具有较好的局域性,其变尺度特性使小波变换对确定信号具有一种 “集中” 的能力, 且能较好地表示信号的局部结构特征. 所以小波变换去噪主要是利用信号和噪声的 Lipschilz 指数在局部结构特征下所表现的奇异性对小波系数进行处理.3. 小波去噪的方法3.1 基于模极大值的图像去噪法1992年, Mallat 提出用奇异点-模极大值法检测信号的奇异点 ,根据有用信号和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性, 采用多分辩率理论, 由粗即精地跟踪各尺度 j 下的小波变换极大值来消除噪声. 其去噪算法是:步骤 1: 对含噪图像进行小波变换.步骤 2: 提取小波分解中第一层的低频图像, 跟踪该尺度下的小波变换极值点. 步骤 3: 令 j = 1, 对第一层低频图像进行小波变换, 提取第二层低频图像信号, 且以步骤 2中的小波变换极值点为参考, 清除幅值减小的极值点, 保留幅值增加的极值点.步骤 4: 令 j= 2, 3, …… , 重复步骤 3.步骤 5: 重构图像, 得到去噪后的图像.模极大值法主要适于图像中混有白噪声且图像中含有较多奇异点的情况,去噪后的图像没有多余振荡, 能获得较高的信噪比, 保持较高的时间分辨率.另外模极大值法要利用复杂的交替投影法来进行重构小波系数, 因而计算速度非常慢且有时不稳定[ 7] .3.2 小波萎缩法3. 2. 1 阈值萎缩法阈值萎缩法去噪的算法为:步骤 1: 选择合适的小波基并确定小波分解的层次 N 对含噪图像进行小波变换, 得到小波分解系数. 步骤 2: 在小波变换域设定阈值对小波系数进行处理, 获得新的小波系数. 硬阈值处理法:(), , h j k n X T w t == , , , j k j k n w w t ≥ ,0, .j k n w t < 软阈值处理法:,k X = T ( w , t ) =S j n ,, , ,j k n j k n w t w t -≥, 0, .j k n w t < 半软阈值处理法:sem i j tn X = T ( w , k ) = , , ,? 2 ,j k j k n w w t > ()()2 , 1 / 2 1 , 1 , 2 ,tn wj k tn tn tn tn wj k tn --<≤0，, 0,?j k n w t ≤ 步骤 3: 通过小波逆变换,重构图像,得到去噪图像.阈值法去噪的应用具体有以下几个方面:( 1) 通用阈值去噪法. 这是应用最广泛的一种小波去噪方法,[8]2 ) ,(T e log M N =⨯ 其中e 是噪声标准方差; M× N 为图像尺寸,实际应用时根据图像的特点选取硬、软、半软阈值处理法.( 2) 自适应阈值去噪法. 阈值过大或过小都不能达到在去噪的同时保留图像细节和边缘信息. 通过对阈值函数进行修改[2] , Maarten Jansen 等[9]提出能提高去噪效率的不同阈值选取法,诸如水平相关阈值去噪法, Mario 等[10]提出基于贝叶斯估计的小波收缩阈值的图像降噪方法, Mario 和胡海平等[10, 11 ]通过最小 Bayes 风险的方法对图像小波变换后的小波系数进行估计, 尚晓清等[12]提出基于子带的自适应阈值, Huang X等[13 ]利用统计学中的毕达哥斯定理选取小波阈值进行图像去噪, Grace Chang S 和Detlev Ma rpe等[14, 15]自适应小波阈值图像去噪法, 同时给出相应阈值优化的公式,通过选取最佳的阈值来达到理想的效果.( 3) 小波包阈值去噪法. 小波包分析能为信号提供一种更精细的分析方法,它将频带进行多层次划分, 对多分辨率没有细分的高频部分进一步分解, 并能根据被分析信号的特征, 自适应地选择相应频带,提高时频分辨率.基于小波包变换的阈值法去除图像斑点噪声效果很好且保持了边缘特征信息[16] . 在贝叶斯结构中自动估计阈值采用复小波包来去噪,其实验表明, 它比小波包变换具有计算速度快等特点[6 ] .( 4) 平移不变小波去噪法. 它在阈值法的基础上加以改进[5, 6] , 其方法是: 对含噪图像进行n次循环平移, 对平移后的图像进行阈值去噪处理, 再对去噪的结果进行平均. 它不仅能有效的抑制阈值去噪法产生的伪Gibbs现象, 而且能减小原始信号和估计信号之间的M SE和提高SNR. 缺点是是计算复杂度太高. Tien等人则进一步利用平移不变多小波变换进行去噪, Cohen等人将小波包和平移不变法结合起来[1] , 避免了一些特征模糊化的现象.( 5) 迭代小波阈值法. Coifman& Wickerhauser提出迭代去噪算法, R. Ranta等提出固定点的小波阈值迭代算法, 大大提高计算效率. Detlev Ma rpe[15 ]提出通过对基于上下文的自适应阈值进行迭代运算,可取得更准确的重构,图像视觉质量大增, M SE较低.3. 2. 2比例萎缩法它是将每一个带噪系数乘以一个比例系数来对原系数进行估计. 目前最具代表性的比例萎缩法是利用最大似然准则的LAWM L和利用最大后验概率准则的LAWM AP .相对来说,比例萎缩去噪后的重建误差比阈值萎缩法小,但重建的信号没有阈值萎缩那样光滑且不利于信号的压缩. 谢杰成等[8 ]提出一些改进措施.3. 2. 3自适应树小波萎缩法信号在各层相应位置上的小波系数往往具有很强的相关性, 而噪声具有弱相关或不相关的特点, 根据对小波系数树结构及在边缘处呈现的所谓“父子” 相关性[4, 12] ,将小波尺度的相关信息和阈值结合起来, 能较好的将边缘结构从噪声中区分开来, 这样可对图像进行去噪. Walker J S等[4 ]提出一种将小波变换四叉树的统计特性和小波收缩结合起来的图像去噪新方法.3.3多小波去噪法在信号去噪中多小波优于标量波[9]. Jean-LucStarck提出通过合并邻域系数的办法来进行多小波阈值化处理图像噪声, 去噪效果超过了单小波, 优于传统的方法. 多小波去噪算法[23, 24 ]为:步骤1: 运用一个预滤波器将含噪图像转变成多流数据.步骤2: 对预处理后多流数据执行多小波变换,得到多小波系数.步骤3: 对多小波系数阈值化.步骤4: 对阈值化后的多流数据IDMW T.步骤5: 对IDMW T后的数据进行后滤波处理,得到去噪图像.3.4基于小波系数模型的去噪法小波去噪中, 小波系数模型非常重要, 只有在成功的小波系数模型上, 才可能提出成功的去噪方案[8 ] . S. Grace Chang提出基于上下文模型的空间自适应小波去噪法, 结果表明图像质量好. Grouse等提出一种基于小波域隐式马尔可夫模型的统计信号处理结构, Hua Xie和Aleksandra Pizurica[15]运用有关小波系数空间族的先验知识,采用马尔可夫随机场模型进行图像去噪. 利用多尺度随机过程对小波图像系数进行建模,通过阈值判断和邻域判断相结合的方法区分对应边缘处的系数,然后对边缘区和非边缘区的小波系数进行不同的估计, 达到图像去噪的目的. 文献将层内和层外统计模型联合起来去噪, 效果相当好.3.5脊波、曲波去噪法Candes& Donoho应用现代调和分析的概念和方法, 并使用在小波分析和群展开理论中发展的技术,针对具有较多突变边缘的问题,构造特殊结构的小波基, 如ridgelets和curvelets, 以修正小波变换减少在不连续的边缘附近高频系数产生的数量. 为了将脊波变换应用到数字图像中, Do提出一种可逆变换的、正交的、重构性相当好的有限脊波变换, 其实现机制是Radon变换[30 ] . 脊波分析等效于目标函数的Radon变换域的小波分析, 即若令函数的脊波变换为()() ,.=〈〉R f V f hv单尺度脊波是在一个基准尺度s进行脊波变换,对应于单尺度脊波, Candes和Donoho 构造了曲线波或者称为多尺度脊波, 它是在所有可能的尺度s≥ 0进行脊波变换,曲波变换是可逆变换的二维各向同性的小波变换、分割、Radon变换、1D小波变换的结合. 在二维情况, 当图像具有奇异曲线, 并且曲线是二次可微的, 则曲线波可以自适应地“跟踪” 这条奇异曲线, 并且他们构造曲线波的紧的框架, 对于具有光滑奇异性曲线的目标函数, 曲线波提供稳定的、高效的和近于最优的表示.3.6综合法小波图像去噪效果比经典的方法要好,实际应用中将小波和经典的方法结合起来,去噪效果往往会更好, 本人对B超图像做过试验, 去噪效果优于单独的小波去噪或经典方法.小波图像去噪与经典方法的结合主要有以下几种:( 1) 小波变换与维纳滤波器或中值滤波等结合起来[13 ] .( 2) 将小波变换、小波收缩、小波压缩与广义验证法结合起来去噪.( 3) 利用聚类分析和小波变换结合起来进行去噪.( 4) 将小波与PDE结合起来去噪, 在去噪的同时较好的解决了突变边缘的问题. 4展望目前小波去噪方法已成为去噪一个重要分支和主要研究方向, 小波阈值萎缩法的研究仍非常活跃, 小波在高斯噪声的滤除方面收到了很好的效果.由于非高斯噪声还没有找到理想的小波系数模型,故对斑点噪声的去噪效果总是不太理想. 抑制斑点噪声仍然是SAR和医学超声图像的一个研究重点. 近两年来应用多小波去噪也日益成熟[7, 9 ] . 如何建立非高斯噪声的分布模型,根据获得的先验知识和已有先验知识进行准确的建模,对于对非高斯噪声的去除非常重要.寻找理想的小波系数模型已成为目前小波去噪研究的一个方向, 如何使用高斯噪声分布的去噪方法对非高斯噪声进行延拓都是值得进一步探讨的课题.随着脊波和曲波的出现,提高了模型的准确性, 改善了小波的去噪性能, 脊波、曲波、边缘波也会成为当前研究的一大趋势. 实践证明, 根据具体图像选择恰当的结合方法往往比任一单独去噪方法要好. 当前小波去噪方法几乎是针对灰度图像的,对彩色图像的研究不多.随着小波去噪方法的不断完善和发展,对彩色图像去噪的研究是一个很有研究潜力的领域, 它在图像去噪领域将会有更广阔的前景.参考文献[1]谢杰成,张大力,徐文立. 小波图象去噪综述. 中国图象图形学报, 2002, 7( 3A): 209～217.[2]Jea n-Luc Starck, Emma nuel J Candè s, David L Do noho. 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第44卷第2期2018年2月北京工业大学学报JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol.44 No.2Feb. 2018一类带加法噪声密度卷积的小波估计曾晓晨，田星彦，王晋茹(北京工业大学应用数理学院，北京100124)摘要：利用小波方法研究一类带加法噪声密度函数卷积问题，构造密度函数卷积的小波估计器，并给出其在 Besov球（L，M)的"平均收敛阶.当r逸p= 2时，本研究的主要定理可以退回至Chesneau和Navarro (2014)的结论.关键词：密度卷积；小波；加法噪声；Besov空间；"风险中图分类号：O174.2 文献标志码：A文章编号：0254 -0037(2018)02 -0310 -05doi： 10.11936/bjutxb2017040008Wavelet Estimation for Convolution of Densities With Additive NoisesZENG Xiaochen，TIAN Xingyan，WANG Jinru(College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing100124，China) Abstract：The estimation for convolution of densities with additive noises by wavelets was discussed inthis parer.Wavelet estimator of the convolution of densities was constructed and the upper bounds over Lprisk on Besov balls B S q(L，M)were provided.When r逸= Navarro’s (2014) theorem.Key words：convolution of densities;wavelets;additive noises;Besov spaces;Lp risk小波分析的一个重要应用是非参数密度估计. 大量文献研究单个随机变量的密度函数，然而在保 险理赔、金融风险策划及其他实际应用中，多个随 机变量和的密度函数备受关注.因为在独立的条件 下，随机变量和的密度函数等于密度函数的卷积, 所以随机变量和的密度估计常称为密度卷积估计.非参数密度卷积估计的数学模型:设随机变量S=移X,(m逸2)的密度函数为g，如何由随机样1=1本^，…,X…估计出g?如前所述，若；服从的概 率密度函数为f x，则g是m个f x的卷积，即g(x) = * 7x(x)式中 *7x(x) = / …/f x(x-u2----um)f X(u2)…J R J R f X(Um)dV_dUm.Saavedra等[1]和Chesneau等[2]利用传统的核 方法研究了均方误差（mean squared error，MSE)和 积分均方差（mean integrated squared error，M ISE).相较于核方法，小波方法可以克服带宽不易选择的 局限，并对待估函数的要求放宽很多.2014年，文 献[3 ]在文献[1]和[2]的基础上讨论了小波估计器 的L2平均收敛阶.在实际应用中，由于测量工具不够精确或其他 某些客观因素，测得的数据通常会被噪声污染.本 文考虑加法噪声模型.设&，…，为实际观测的 随机样本,并满足= X i + 着i，(1= 1，…，n)式中：X,表示真实密度函数f x的随机样本；着，为独收稿日期：2017-04-07基金项目：国家自然科学基金资助项目（11771030);北京市自然科学基金资助项目（1172001)作者简介：曾晓晨（1990—)，男，博士研究生，主要从事小波分析与统计估计方面的研究，E-mail：zengxiaochen@emails.bjut.第2期曾晓晨，等：一类带加法噪声密度卷积的小波估计311立于X i的噪声变量.定义/沂^(R)的F ourier变换为/f，(t) = [f( x)e~，，x dxJR常规的方法可将上述定义推广到l2(r)空间.在本 文中，假定噪声着的密度函数满足\f：(t)!>(1+12)-2 (茁逸0)这样的噪声通常称为适度病态噪声，常见的例 子有Gamma分布、指数分布、字2分布、Laplace分布 等.这里及以后，A茱B表示A臆c B,其中c为独立 于变量A和B的正常数；A茴B指B茱A;用表示A茱B和A茴B同时成立.受Chesneau等[3]工作的启发，本文利用小波 方法在Besov球中研究带加法噪声密度函数卷积的 Lp(1臆户<肄）风险.特别地，当jp=2时，本研究的 结果与文献[3]中的结论吻合，故本文结果可以看 成文献[3]的推广.1小波与Besov空间设Lp(R)(1^p<肄）表示经典的p次Lebesgue 可积空间，其范数定义为1ll/l l p=(乙l/(x)lpd x)p\J R1特别地，当P =2时，平方可积函数空间L2(R)为 H ilb e rt空间，其内积定义为(Z，g)=乙/(x) g(x)d xJ E当p =肄时,L肄（r)表示本性有界的可测函数 空间，其范数定义为I I/I I肄=ess supx!/(x)I.首先给出本文后面常用的一些记号及定义.定义1[4]平方可积函数空间L2(R)中的一个 多分辨分析（multiresolution analysis，M R A)是指一•列线性闭子空间{满足以下条件：1)单调性V.c v+i，V j沂z2)完备性U V.= L2(R)，疑V.= |0)—肄一肄3) 伸缩性/(•)e V。
圳/(2j-) e V.，V j e Z4)基的存在性存在函数准e L2(R)，使得|准（--k))k E Z为V。
的标准正交基，其中准（•）称为M R A对应的尺度函数.利用小波分析中的常用记号h.k(x) = 22h(2x- k)和上述定义可知，固定j'E Z，|准k( •) )kEZ是空间Vj 的标准正交基.进一步，利用尺度函数准（•）可以 定义小波函数鬃（•）.|鬃k( •) )kEZ构成V j在Vj+1中的正交补空间W的标准正交基，即V+1 = V㊉w 且W = spa n|鬃jk( •) }kE z.进而，对固定的j。
沂N，I准〇k( •)，鬃k( •)U〇，kE z构成L2(R)的标准正交基•因此，每个/沂L2(R)在L2(R)意义下都有展开：■/=移琢；。
k准j〇k +移移茁jk鬃jkk沂Z j=j〇k沂Z式中：琢k = (/，准开业;茁k =掖/，鬃业•在本文中，假定尺度函数准满足(兹)条件，即ess sup移 I准(x- k)I< 肄x k e Z此时，准沂[1(»)疑1肄（1〇.—个重要的例子是Daubechies小波D2N，N= 1，2,….其函数本身具有紧支集，且随着N的增大，D2N的光滑性变高但支 集增加.对m e N，若准沂Cm(R)且对任意的1沂N，存 在正常数C,，使得对r =0，1，…，m，I准(r) (x)I臆C,(1 + l x!2)-1,则称尺度函数准是m阶正则的[4].同时，准的m阶正则性蕴含小波鬃的m阶正则性. 正则性可以推出下面的性质：若尺度函数准是m 阶正则的，则I准ft(t)I 臆C准（1 + 111)-m(1)任给m e N，存在足够大的N使得D2N是m正则的.小波基构成LP(R)的无条件基，且可以刻画一 大类函数空间.为引入Besov空间，首先定义整数 阶 Sobolev空间[5]W；(R) = |/I/沂Lp(R)，/n)沂Lp(R))式中 n e N，相应范数为 ||/||wn= l l/l l p+ ll/n)lip.其次，函数/沂Lp(R)的二阶连续模是指棕2(/，t) = sup ||/( .+2h) -2/( -+h) +/( •) ||pIh I臆t定义2[5]设1臆_p，q臆肄且s=n+ o:，其中n e N，a e(0，1]，Besov空间 Bp,q(R)定义为Bp，q(R) = |/沂w：(r)，ii，t)ii **〈肄）其范数 ll/l l s p q = ll/l l w n + I I t—Y C/")，t)I I*，这里I I 着I I丨(乙。
1着⑴1qdtt)q，、ess supt I着（t)I，1臆q <肄q =肄引理1[5]设s> 0，1臆户臆户’臆肄且1臆q臆肄，则1)B P J R)寅B;’，q(R)，其中 S’= S-1々 +1//.312北京工业大学学报2018 年2) B;,q(R)寅 C(R),其中 s>l/r.具体地，A寅B表示A哿B且对V u e A,||u ||5臆c ||u ||A(c>0为常数).2小波估计器及相关引理类似于文献[6-17],线性小波反卷积密度估计器定义为f n(X)=移琢jk准(X)k沂A j其中撰={ k沂Z,supp fx Hsupp 准jk屹0}.22n琢jk=移 $准)(2%-k)(K j准）（y)2仔准f t(t)f：( -2j t)i t ydtR(2)(3)(4)注1若噪声I f着（t)l茴（1+t2)-f(茁逸0),且 准是m(m>yS+2)正则的，则|(K,准）（y)| 茱乙（1+t2)-m(1+(2j t)2)^ d t臆乙（1 +12)-m(22j + (2j t)2)^^d t<2j i3 <肄(5) 这表明由式(2)〜（4)定义的估计器是有意义的.注2由式（5)容易看出，|琢j」茱2j(茁++).进一步，结合尺度函数的（兹)条件知|f n(x) |臆22 移 |c琢k||4(2j.x-k) |茱2j(茁+1)k注3显然，当A与准均具有紧支撑时，集合 A j的基数|撰.|茱2j.易证，f…具有紧支集且支集长 度关于n—致有界.关于线性小波反卷积估计器的研究成果十分丰 富.定义 s’ = s - (1/r-1/p)+ 且 x+ = max{x,0 }，文 献[7]证明了如下结论.引理2[7]设准是^^茁+2)正则的紧支尺度函数，1臆r,q臆肄，i< s < t,则当2j ~ n2s’+2茁+1时，对r任意的1臆户 < 肄，这里及后文中，L,M>0(p = 1时，要求L > 1) 且Br,q(L) ={/沂Br,q(R) |f逸0,乙f(x)d x二1,||/|| s r q臆L}B:,q(L,M) = {/ /沂B:,q(L),supp/哿[-M,M]}引理3若冬由式(3)〜(4)定义，则E琢k = j证明因为X与着相互独立，所以/Y* =々/f t.这与Eei t j l =乙e吻/r(y)d y导出JREei j<=/X*( -2j t)/f( -2j t)(6)进一步，式(6)与Plancherel公式蕴含着琢jk =i n。