高中数学人教a版选修2-2第三章3.1.2复数的几何意义【练习】(学生版)
人教a版数学【选修2-2】练习：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(含答案)
选修2-2 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( ) A ．23－2i B ．－23－2i C ．±23－2i D ．23±2i[答案] C[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4[答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.5．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.6．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8i D ．1＋4i[答案] C[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ， 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C. 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________. [答案] 5[解析] |AB →|对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，所以|AB →|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为________________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0， 于是P A →·P B →＝－54，而|P A →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，∴z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.∴点Z 位于复平面内的第一象限．故应选A.12．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0.∴a ＝3.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ． [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]．二、填空题14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________． [答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则|(a －1)＋b i|＝|(a ＋1)＋b i|. ∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2， 即a ＝0，∴z ＝b i ，b ∈R ，∴|z －1|m i n ＝|b i －1|m i n ＝(－1)2＋b 2， 故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x 、y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.*17.已知关于t 的方程t 2＋2t ＋2xy ＋(t ＋x －y )i ＝0(x 、y ∈R )，求使该方程有实根的点(x ，y )的轨迹方程．[解析] 设原方程的一个实根为t ＝t 0，则有(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0， ①t 0＋x －y ＝0， ② 把②代入①中消去t 0，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.[点评] 因为t 0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x ，y )的轨迹方程，故应用代入消元法将t 0消去整理即可．。
高中数学人教A版选修2-2学业测评3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．(·青岛高二检测)在复平面内，复数＝＋对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵>，<，∴复数对应的点( ，)在第四象限．故选.【答案】．已知复数＝(－)＋(－－)对应的点在虚轴上，则( )．≠或≠．≠，且≠．＝．＝或＝【解析】由题意，得－＝，得＝或＝.故选.【答案】．在复平面内，为原点，向量对应的复数为－＋，若点关于直线＝－的对称点为点，则向量对应的复数为( )．－－．－＋．＋．－＋【解析】因为复数－＋对应的点为(－)，点关于直线＝－的对称点为(－)，所以对应的复数为－＋.【答案】．已知复数满足－－＝，则复数对应点的轨迹是( )．个圆．线段．个点．个圆【解析】由题意知(－)(＋)＝，即＝或＝－，∵≥，∴＝，∴复数对应点的轨迹是个圆．【答案】．实部为－，虚部为的复数所对应的点位于复平面的( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】由题意可得复数＝－＋，故在复平面内对应的点为(－)，在第二象限，故选.【答案】二、填空题．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若＝－，则＝.【解析】复数＝－对应的点为(，－)，则对应的点为(－)，所以＝－＋.【答案】－＋．已知在△中，，对应的复数分别为－＋，－－，则对应的复数为．【解析】因为，对应的复数分别为－＋，－－，所以＝(－)，＝(－，－)，又＝－＝(－，－)－(－)＝(－，－)，所以对应的复数为－－.【答案】－－．已知－＝＋(，∈)，则－，－，＋的大小关系为. 【导学号：】【解析】由－＝＋(，∈)，得＝，＝－.而－＝＝，－＝＋＝＝，＋＝－＋＝＝，∵<<，∴＋<－<－.【答案】＋<－<－三、解答题．如果复数＝(＋－)＋(－＋)(∈)对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【解】∵复数对应的点在第一象限．。
人教a版数学【选修2-2】练习：3.1.2复数的几何意义(含答案)
选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2| [答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i [答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| [答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. *18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ， |z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。
高中数学人教A版选修2-2第三章3-1-2复数的几何意义素
3.1.2 复数的几何意义说课稿一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
三、教学难点:根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
四、教学过程：（一）复习引入：1．复习复数的定义、代数形式、相等和分类。
2. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---。
3．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？4. 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值。
（二）推进新课1、讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 分析：根据复数的代数形式和复数相等的定义，可知复数z =a +bi (a 、b ∈R )它是由实部a 和虚部b 同时确定，即由有顺序的两个实数，也就是有序实数对（a ，b ）确定的。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数与平面内的点可以建立一一对应。
如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
例如，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 。
2、复数的一种几何意义复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点Z(a ，b) 例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第3章 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．[基础·初探]教材整理1 复平面与复数的几何意义 阅读教材P 104～P 105的内容，完成下列问题． 1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→平面向量OZ →.在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( ) A ．(1，i) B ．(1，－i) C ．(1,1)D ．(1，－1)【解析】 复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)． 【答案】 D教材整理2 复数的模阅读教材P 105“右侧”，完成下列问题． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ→，则向量OZ →的模叫做复数a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a2＋b2(r ≥0，r ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]当实数m (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解 (2)根据实部小于0，虚部等于0求解． (3)根据虚部大于或等于0求解．【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需 ⎩⎨⎧ m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m<3或m>5，－7<m<4，解得－7<m <3.∴当－7<m <3时复数z 对应的点在第四象限． (2)要使点位于x 轴负半轴上，需 ⎩⎨⎧m2－8m ＋15<0，m2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，得m ＝4.∴当m ＝4时复数z 对应的点在x 轴负半轴上． (3)要使点位于上半平面(含实轴)，需 m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.∴当m ≥4或m ≤－7时，复数z 对应的点在上半平面(含实轴)．解答此类问题的一般思路：(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[再练一题]1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． (1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x2＋x －6＜0，x2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎨⎧x2＋x －6＞0，x2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上.(1)向量OZ1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ→2对应的复数是()A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.【导学号：62952101】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ1→，OZ →2的坐标，再求出OZ →1＋OZ →2的坐标． (2)利用AB →＝OB →－OA →，求出向量AB →的坐标，从而确定AB →表示的复数．【自主解答】 (1)因为向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 (1)C (2)－6－8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．[再练一题]2．上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB →表示的复数．【解】 由上例(2)的解析知AB →＝(－6，－8)， ∴－12AB →＝(3,4)，所以向量－12AB →表示的复数是3＋4i.[探究共研型]探1若复数z 满足|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是什么图形？若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是什么图形．【提示】 若|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆．若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，3为半径的圆及其内部．探究2 若z ＋|z |＝1＋2i ，那么如何求复数z .【提示】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x2＋y2， 从而x ＋y i ＋x2＋y2＝1＋2i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x2＋y2＝1，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝2，∴z ＝－32＋2i.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝错误!＝错误!. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.【导学号：62952102】【解析】 (1)∵|z |＝3，∴错误!＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a2，由已知得32＋a2<4， ∴a 2<7， ∴a ∈(－7，7)．1．复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由－1＜0,2 017＞0得复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝错误!＝错误!. 【答案】 D3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴错误!＝2错误!， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a2＋b2， 代入方程得，a ＋b i ＋a2＋b2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.。
高中数学(人教A版选修2-2)作业3.1.2复数的几何意义
技能演练基础强化1．下面四个式子中，正确的是()A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|C．|2－i|>2i4D．i2>－i解析在复数集内，虚数与实数，虚数与虚数没有大小关系，所以A、D不正确．在B中，|2＋3i|＝22＋32＝13，|1－4i|＝12＋(－4)2＝17，∵13<17，∴B不正确．在C中，|2－i|＝5，而2i4＝2，而5>2，∴C正确．答案 C2．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为()A．(0,1) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)答案 A3．复数z＝|z|的充要条件是()A．z为纯虚数B．z为实数C．z是正实数D．z是非负实数答案 D4．复数z＝3＋i2对应点在复平面()A．第一象限内B．第四象限内C．实轴上D．虚轴上答案 C5．两个不相等的复数z1＝a＋b i(a，b∈R)，z2＝c＋d i(c，b∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为()A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d解析z1＝a＋b i的对应点P1(a，b)，z2＝c＋d i的对应点P2(c，d)，∵P1与P2关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.答案 A6．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是()A．一个圆B．两个圆C．两点D．线段解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)(|z|－2)＝0，∴|z|＝1，或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．答案 B7．复数2－3i对应的点在哪条直线上()A．y＝x B．y＝－xC．3x＋2y＝0 D．2x＋3y＝0解析复数2－3i对应点的坐标z(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0，∴点z在直线3x＋2y＝0上．答案 C8．复数z＝3＋4i对应的向量OZ→所在直线的斜率为________．答案43能力提升9．已知复数z＝x－2＋y i的模为22，求点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)．解 由题意可得|z |＝22， 即(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8，故点(x ，y )的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝8.10．当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 对应点满足下列条件？(1)在第三象限； (2)在虚轴上；(3)在直线x －y ＋3＝0上．解 复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2－4m ，m 2－m －6)．(1)点Z 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4m <0，m 2－m －6<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <4，－2<m <3，∴0<m <3.(2)点Z 在虚轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝0，或m ＝4. (3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上， 则(m 2－4m )－(m 2－m －6)＋3＝0， 即－3m ＋9＝0，∴m ＝3.品 味 高 考11．若复数(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析 ∵(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1. 答案 A12．已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)解析 |z |＝a 2＋1，∵0<a <2， ∴1＜a 2＋1＜5，∴1＜a 2＋1＜ 5. 答案 C。
人教版高中数学选修2-2学案：3.1.2复数的几何意义
3.1.2复数的几何意义【学习目标】1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的.2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【新知自学】知识回顾：1.复数的定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，a 叫复数的_______，b 叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示．2.复数a ＋b i （a ，b ∈R ）在满足什么条件下，分别是实数，虚数，纯虚数？3.如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a ＋b i ＝c ＋d i⇔___________________.新知梳理：1.实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数与平面内的点或有序实数对________.2.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为___轴，y 轴为____轴,建立直角坐标系，得到的平面叫复平面； （2）实数都落在____轴上，纯虚数落在____轴上，除原点外，虚轴上的点都表示_______；（3）每一个复数，有复平面内_______的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，所以，复数集C 与复平面内的点所成的集合是一一对应的，即Z a bi=+↔一一对应复数复平面内的点Z(a,b)（4）复平面内每一个点又唯一对应到复平面内的一个向量，即： ↔一一对应复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ结合归纳知：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi=+↔一一对应复数平面向量OZ ，特别地：实数０与_______对应；（5）复数),(R b a bi a z ∈+=的模：向量oz 的模r 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模，记作z 或a bi +，且|z|=r=____________________________.说明：常把复数z a bi =+说成点Z 或是向量oz ， 规定：相等的向量表示同一个复数 y对点练习：1.在复平面内，描出表示下列各复数的点： （1）i 52+ ； （2）i 23+- ； （3）i 42- ； （4）i --3； （5）5 ； （6）i 3- .2．已知复数i +2，i 42+-，i 2-，4，i 423-，在复平面内画出这些复数对应的向量.3.求下列复数的模：（1）3-4i ；（2）-4；（3）-5i ；（4）i 3-1.xo :a bi+4.能说3+4i>2+i 吗？|3+4i|>|2+i|呢？【合作探究】典例精析：例1.（1）若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值.变式练习：例1中，若z 表示的点在复平面的左半平面，试求实数m 的取值范围.例2．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i 2,如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量对应的复数.变式练习：如果例2中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数 .例3.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z．变式练习：z=3+ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.【课堂小结】【当堂达标】1.已知20<<a ，复数i a z +=（i 是虚数单位），则z 的取值范围是（ ）A.()5,1B.()3,1C.()5,1 D.()3,12设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数3.如果P 是复平面内表示复数),(R b a bi a z ∈+=的点，分别指出在下列条件下点P 的位置： （1）0,0>>b a ； （2）0,0><b a ； （3）0,0≤=b a ； （4）0<b4．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【课时作业】1.如果复数a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >02．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 3.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是 ( )A ．－45<x <2 B ．x <2C ．x >－45D ．x ＝－45或x ＝26.在平面内指出与复数123412,23322z i z i z i z i =+=-+对应的点1234,,,Z Z Z Z ，试判断这4个点是否在同一个圆上？7.设C z ∈，且满足下列条件，在复平面内复数z 对应的点Z 的集合是什么图形? (1)1<z <2； (2)1=-i z赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。
2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章313.1.2复数的几何意义
[课时作业 ][A 组基础稳固]1．关于复平面，以下命题中真命题是()A．虚数集和各个象限内的点的会合是一一对应的B．实、虚部都是负数的虚数的会合与第二象限的点的会合是一一对应的C．实部是负数的复数的会合与第二、三象限的点的会合是一一对应的D．实轴上一侧的点的会合与虚部为正数的复数的会合是一一对应的分析： A 中纯虚数所对应的点不在象限内； B 中的点应在第三象限； C 中若复数z 为负实数，则在x 轴负半轴上，应选D.答案： D2．当 23＜ m＜ 1 时，复数z＝(3m－ 2)＋ (m－ 1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：∵ 2＜m＜ 1，∴ 2＜ 3m＜ 3，－ 1＜ m－ 1＜0，3 3∴0＜ 3m－ 2＜ 1，∴z＝(3m－ 2)＋ (m－ 1)i 在复平面内对应的点在第四象限．答案： D3．以下命题中为假命题的是()A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必需条件D．复数 z1＞z2的充要条件是|z1|＞ |z2|分析： A 中随意复数z＝ a＋ bi(a、b∈ R)的模 |z|＝a2＋ b2≥ 0 总建立，∴ A 正确； B 中由复数为零的条件a＝ 0z＝ 0? ? |z|＝ 0，故 B 正确； C 中若 z1＝ a1＋ b1i ，z2＝a2＋b2i(a1、 b1、 a2、 b2∈R) ，若 z1＝ z2，则有 a1 b＝ 0 ＝a2， b1＝ b2，∴|z1 |＝ |z2|，反之由 |z1 |＝ |z2|，推不出 z1＝ z2，如 z1＝ 1＋ 3i，z2＝1－ 3i 时， |z1|＝ |z2|，故 C 正确； D 中两个复数不可以比较大小，但随意两个复数的模总能比较大小，∴ D 错．答案：D4．已知0<a<2 ，复数z 的实部为a，虚部为1，则 |z|的取值范围是( )A．(1，3) B． (1，5)C． (1,3) D． (1,5)分析：∵ |z|＝a2＋1， a∈ (0,2)，∴|z|∈ (1，5)．应选 B.答案：B5．复数z＝ 1＋cos α＋ isin α( π＜α＜ 2π)的模为( )ααA ． 2cos 2B ．－ 2cos 2α α C ． 2sin 2D ．－ 2sin 2分析： |z|＝1＋ cos α2＋ sin 2α2α＝ 2＋ 2cos α＝ 4cos 2，π α∵ π＜ α＜ 2π，∴ ＜ ＜ π，2 2α∴ cos 2＜0，α∴ |z|＝－ 2cos .2答案： B6．复数 (a － 3)＋ (b －2)i ( a ， b ∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则 a ＋b ＝ ________.分析： 由题意知 a －3＝ 0， b － 2＝ 0，∴ a ＋ b ＝ 5. 答案： 57．已知复数 x 2 －6x ＋ 5＋ (x － 2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是 ________．x 2－ 6x ＋5＜ 0?1＜x ＜ 5分析： 由已知得? 1＜ x ＜ 2.x － 2＜ 0x ＜ 2答案： (1,2)8．已知复数 z ＝ x － 2＋ yi 的模是 2 2，则点 (x ，y)的轨迹方程是 ________． 分析： 由模的计算公式得 x － 2 2＋ y 2＝ 2 2，∴ (x － 2)2＋ y 2＝ 8.答案： (x － 2)2＋ y 2＝ 89．在复平面上，复数i,1,4 ＋ 2i 对应的点分别是 A ， B ， C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数．分析： 由已知得向量 →， OA ＝(0,1)→→OB ＝ (1,0)，OC ＝ (4,2)，→→∴ BA ＝ (－1,1)， BC ＝ (3,2)，→ → →∴ BD ＝BA ＋ BC ＝ (2,3) ，→→ →∴ OD ＝ OB ＋ BD ＝ (3,3)， 即点 D 对应的复数为3＋ 3i.10．已知复数 z ＝ (a 2－ 1)＋ (2a －1)i ，此中 a ∈ R ，当复数 z 在复平面内对应的点知足以下条件时，求a的值 (或取值范围 )． (1) 在实轴上； (2) 在第三象限；(3) 在抛物线 2y ＝ 4x 上．分析： 复数 z ＝(a 2－1) ＋(2a － 1)i 在复平面内对应的点是 (a 2－ 1,2a －1) ．(1) 若 z 对应的点在实轴上，则有1；2a－ 1＝ 0，解得 a＝2(2)若 z 对应的点在第三象限，则有a2－ 1＜ 0，解得－ 1＜ a＜1；2a－ 1＜ 0. 2(3) 若 z 对应的点在抛物线y 2＝ 4x 上，则有(2a－ 1)2＝ 4(a2－ 1)，即 4a2－ 4a＋ 1＝ 4a2－ 4，5解得 a＝ .4[B 组能力提高 ]1．已知复数 z 知足 |z|2－ 2|z|－ 3＝ 0，则复数 z 对应的点的轨迹是 ( )A ．一个圆B．线段C．2 个点D．2个圆分析：设 z＝ x＋ yi(x， y∈ R) ，由 |z|2－ 2|z|－ 3＝ (|z|－ 3)(|z|＋ 1)＝ 0，得 |z|＝ 3，即x2＋ y2＝3，因此x2＋ y2 ＝ 9，故复数 z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，以 3 为半径的圆．答案： A2．已知复数→，把→θ获得一个新向量为→→对z＝ 3＋ 4i 所对应的向量为 O Z O Z 依逆时针旋转OZ1.若 OZ1应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( )A ． 3i B． 4iC． 5i D．－ 5i→→ 2 2＝ 5，因为新向量→对应的点 Z1在虚轴上，则新向量→，即新分析：OZ 1＝|O Z |＝ 3 ＋ 4 O Z 1 O Z 1＝ (0,5) →对应的复数是 5i.向量 OZ1答案：C3．已知实数m 知足不等式 |log2m＋ 4i|≤ 5，则 m 的取值范围为 ________．分析：由题意知 (log 2m)2＋16≤ 25，即 (log 2m)2≤9，－ 3≤log 2m≤ 3，－33 1因此 2≤ m≤ 2，即≤ m≤ 8.答案：18≤ m≤ 84．设 z1＝ 1＋ i ， z2＝－ 1＋i ，复数 z1和 z2在复平面内对应点分别为A， B，O 为原点，则△AOB 的面积为 ________．分析：在复平面内，z1， z2对应的点A(1,1) ，B(－ 1,1)，如图，连结AB 交 y 轴于 C.∵ |z1 |＝ |z2|＝2，∴△ AOB 是等腰三角形．。
高中数学人教a版选修2-2第三章3.1.2复数的几何意义【练习】(教师版).docx
3.1.1数系的扩充和复数的概念一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3【答案】C【解析】由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)，∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i .故选C. 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( )A ．z 1>z 2B ．z 1<z 2C ．|z 1|>|z 2|D ．|z 1|<|z 2| 【答案】D【解析】不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【答案】B【解析】由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称， 则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i .故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i【答案】C【解析】由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2 B ．－2cos α2 C ．2sin α2D ．－2sin α2【答案】B【解析】所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π， ∴cos α2＜0， ∴4cos2α2＝－2cos α2. 6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】 z ＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称， 若z 1＝2－3i ，则z 2＝________. 【答案】－2＋3i【解析】∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i. 8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 【答案】5【解析】复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.10．实数m 分别取____________、____________时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 【答案】m <－3或m >5 m ＝－3－414或m ＝－3＋414【解析】(1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知：m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．。
高二人教A版数学选修2-2限时训练：3.1.2 复数的几何意义
课时跟踪检测（十九） 复数的几何意义层级一 学业水平达标1．已知z ＝m －1＋(m ＋2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)2．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)3．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z 1＝1－2i ，则z 2|z 1|的虚部为( ) A ．－55 B ．－255 C.255 D ．－25 6．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．7．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是________．8．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量与OB ―→，则向量AB ―→表示的复数是 .9．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应的点满足下列条件？(1)在第三象限；(2)在虚轴上；(3)在直线x－y＋3＝0上．层级二应试能力达标1．已知复数z1＝2－a i(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1 C．a＝0 D．a＝2或a＝03．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋y i在复平面内所对应的点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )A．1 B．2 C. 5 D．35．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.6．已知复数z＝x－2＋y i的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．7．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．8．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？。
新人教A版选修2-2：3.1.2复数的几何意义
§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定. 教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OBOA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)b Z(a ，b)a o yx表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B .例2．（2003上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
2019-2020学年高中人教A版数学选修2-2学案：3.1.2 复数的几何意义 含解析
3。
1.2复数的几何意义Q错误!错误!18世纪,瑞士人阿甘达(J.Argand，1768—1822）注意到负数是正数的一个扩充,它是将方向和大小结合起来得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效．高斯不仅将复数a＋b i表示为复平面的一点（a，b),而且阐述了复数的几何加法和乘法,这也和向量运算是一致的．使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的看法，那么复数与什么一一对应呢？X错误!错误!1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义（1）每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定,当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系．（2）若复数z＝a＋b i(a、b∈R），则其对应的点的坐标是(a，b），不是(a，b i)．（3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系．如图，在复平面内，复数z＝a＋b i(a、b∈R）可以用点Z（a，b)或向量O错误!表示．复数z＝a＋b i(a、b∈R）与点Z（a，b)和向量O错误!的一一对应关系如下：3．复数的模复数z＝a＋b i（a、b∈R)对应的向量为O错误!,则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z｜且|z|＝错误!.当b＝0时,z的模就是实数a的绝对值．4．复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋b i所对应的点Z(a,b)到原点（0,0)的距离.Y错误!错误!1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是( B ) A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称[解析] 在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为（a,－b）和（－a，－b）关于y 轴对称．2．复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ C ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］z＝－1－2i对应点Z(－1,－2)，位于第三象限。
人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：3.1.2 复数的几何意义
第三章 3．1.2 复数的几何意义提能达标过关一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z －i ＝x ＋(y －1)i ，|z －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，所以选C.答案：C2．在复平面内，与复数z ＝1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：∵复数z ＝1＋i 对应点的坐标为(1,1)，∴它关于实轴的对称点A 的坐标为(1，－1)，∴点A 对应的复数为1－i ，故选B.答案：B3．(2019·长庆高中高二月考)在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 解析：设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎨⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝325.则z 2＝5＋4i 或15＋325i.故选D.答案：D4．下面四个式子中，正确的个数有( )①3i ＞2i ；②|2＋3i|＝|1－4i|；③|2－i|＞2i 2；④i 2＞i.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：在复数中，除去实数外，是不能比较大小的，∴①④错；∵|2＋3i|＝22＋32＝13，|1－4i|＝12＋(－4)2＝17，∴|2＋3i|＜|1－4i|，∴②错；∵|2－i|＝5，2i 2＝－2，∴|2－i|＞2i 2，∴③正确．答案：B5．若复数z ＝(1＋a )＋(1－a )i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：依题意，⎩⎨⎧ 1＋a <0，1－a >0，解得a <－1，故选B. 答案：B二、填空题6．(2019·阳平中学高二月考)若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.解析：由条件知⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0， ∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.答案：127．复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则D 点对应的复数为________．解析：由题意知A (2,3)，B (3,2)，C (－2，－3)，设D (x ，y )，则AD →＝BC →，即(x －2，y －3)＝(－5，－5)，解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.∴D 点对应的复数为z ＝－3－2i. 答案：－3－2i8．设z ＝(k 2－k )＋(k 2－1)i ，k ∈R ，且z 对应复平面上的点在第三象限，则k 的取值范围是________．解析：复数z 在复平面内对应的点为(k 2－k ，k 2－1)，此点在第三象限，则⎩⎨⎧ k 2－k ＜0，k 2－1＜0.解得0＜k ＜1. 答案：(0,1)三、解答题9．已知复数z ＝a 2＋a i(a ∈R )，若|z |＝2，且z 在复平面内对应的点位于第四象限．求复数z .解：因为|z |＝2，所以a 4＋a 2＝2，所以a 2＝1.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以a ＝－1，即z ＝1－i.10．(2019·辽阳集美高二期中)已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎨⎧ x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎨⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2. ① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4.将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．由Ruize收集整理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )
A ．0
B ．－3
C ．－3i
D ．3
2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( )
A ．z 1>z 2
B ．z 1<z 2
C ．|z 1|>|z 2|
D ．|z 1|<|z 2|
3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB
→对应复数为( )
A ．－2－i
B ．2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i 4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A ．2cos α2
B ．－2cos α2
C ．2sin α2
D ．－2sin α2 6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 二、填空题
7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，
若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.
8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．
9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.
10．实数m 分别取____________、____________时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：
(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．。