2019-2020学年湖北省黄冈市罗田县高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省黄冈市罗田县高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，且集合{}1,2,4B =，集合{}2,3A =，则()U B A =ð（ ） A ．{}1,4 B ．{}1C ．{}4D ．∅【答案】A【解析】先求出U A ð,再由交集的定义求解即可 【详解】由题,可得{}0,1,4U A =ð,则{}()1,4U B A ⋂=ð 故选：A 【点睛】本题考查补集、交集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题 2．下列各命题中，真命题是（ ） A ．2,10x R x ∀∈-< B ．2x N,x 1∀∈≥ C ．3,1x x ∃∈<Z D ．2,2x Q x ∃∈=【答案】C【解析】分别对选项中的等式或不等式求解,依次判断是否正确即可 【详解】对于选项A,210x -<,即1x >或1x <-,故A 不正确； 对于选项B,当0x =时,201x =<,故B 不正确；对于选项D,x =,故D 不正确； 对于选项C,当0x =时,301x =<,故C 为真命题, 故选：C 【点睛】本题考查不等式的求解,考查命题真假的判断,考查全称量词、存在性量词的应用 3．若不等式20(,)x ax b a b R ++<∈的解集为{}|25x x <<，则,a b 的值为（ ）A ．7,10a b =-=B ．7,10a b ==-C ．7,10a b =-=-D ．7,10a b ==【答案】A【解析】由题,可得2x =和5x =为方程20x ax b ++=的根,根据方程的根与系数的关系建立等式即可求解 【详解】由题可得, 2x =和5x =为方程20x ax b ++=的根,所以由韦达定理可得12122525x x a x x b +=+=-⎧⎨⋅=⨯=⎩,即710a b =-⎧⎨=⎩故选：A 【点睛】本题考查由不等式的解求参数问题,考查转换思想,考查方程的根与系数的关系 4．“0k >”是“一次函数y kx b =+ (,k b 是常数)是增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据一次函数的性质可知当0k >时,y kx b =+是增函数,即可作出判断 【详解】当0k >时,一次函数y kx b =+是增函数,故“0k >”是“一次函数y kx b =+ (,k b 是常数)是增函数”的充要条件, 故选：C 【点睛】本题考查一次函数的单调性,考查充要条件的判断5．若集合{}230|A x x x =-<，21{|}B x x ≥= ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|0x x >B ．{|01}x x <≤C ．3|}1{x x ≤<D ．{|01x x <<或3}x ≥【答案】C【解析】分别化简集合可得{}|03A x x =<<,{|1B x x =≥或}1x ≤-,阴影部分为A B ,由交集定义解出即可【详解】由题,可得{}|03A x x =<<,{|1B x x =≥或}1x ≤-, 由图可得阴影部分为{}|13A B x x ⋂=≤< 故选：C 【点睛】本题考查图示法表示集合的关系,考查交集的定义,考查解不等式,考查运算能力 6．若不等式210x ax -+-…对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2{|}2a a -剟B ．{2|a a -…或2}a …C ．{}2|2a a -<<D ．{2|a a <-或2}a >【答案】A【解析】由题可分析,0∆≤,解出a 范围即可 【详解】由题,若不等式210x ax -+-≤对一切x ∈R 恒成立, 则()()2241140a a ∆=-⨯-⨯-=-≤,即22a -≤≤,故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查转换思想,考查解不等式7．如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(,4]-∞]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．9a ≥ B ．3a ≤－C ．5a ≥D ．7a ≤－【答案】A【解析】因为二次函数开口向上，对称轴为12a x -=，所以其减区间为1(,]2a --∞，又函数在(,4]-∞上是减函数，故1(,4](,]2a --∞⊆-∞，所以142a -≤，解得9a ≥，故选A.8．设集合13{|}A x x =-<…，集合{|02}B x x =<…，则“a A ∈”是“a B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可得B A ⊆,进而可判断“a A ∈”与“a B ∈”的关系 【详解】由题可得,B A ⊆,则“a A ∈”是“a B ∈”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查集合之间的关系,考查必要不充分条件的判断 9．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．y x x =D ．1y x=【答案】C【解析】因为选项A 是非奇非偶函数，不选，选项B ，是奇函数，但是减函数，选项C 中，是奇函数，并且是增函数，选项D ，是奇函数，不是增函数，故选C. 10．已知0.42a =，0.23b = ，0.25c = ，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B【解析】先将0.42a =改写为0.24a =,再利用函数0.2y x =的单调性判断即可【详解】由题,()0.20.420.2224a ===,对于函数0.2y x =可知在()0,∞+单调递增,因为345<<,则0.20.20.2345<<,即b a c << 故选：B 【点睛】本题考查利用幂函数单调性比较大小,考查指数幂的性质11．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a 和()b a b >，其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a v <<B ．b v <<C 2a b v +<<D ．2a bv +=【答案】B【解析】可知22=11abv a b a b=++,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果【详解】 由题,22=11ab v a b a b=++,由于0a b >>,所以11a b <,即1111a b b b+<+,所以111111a b b b>++,故22211112v ba b b b b=>==++,即b v < 因为0a b >>,所以a b +>2=ab v a b <=+故b v <<故选：B 【点睛】本题考查考查不等关系,不等式的性质,考查均值不等式 12．若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A ．52 B ．3C ．72D ．4【答案】B【解析】试题分析：当且仅当时,等号成立;所以,故选B.【考点】基本不等式.二、填空题13．若命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】 22a -<<【解析】先求出当命题为真命题时a 的范围,其补集即为命题为假命题时a 的范围 【详解】由题,当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为真命题时,()223499360a a ∆=--⨯=-≥, 即2a ≥或2a ≤-,则当命题“2,390x R x ax ∃∈-+≤”为假命题时, 22a -<<故答案为： 22a -<< 【点睛】本题考查由命题的真假求参数范围问题,考查转换思想,考查运算能力 14．函数y =_______．【答案】()1,1-【解析】函数若有意义需满足210x ->,求解即可 【详解】由题,210x ->,即11x -<<,故定义域为()1,1- 故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查具体函数求定义域,属于基础题 15．若0,0a b >>，且满足111a b+=，则2a b +的最小值为_____.【答案】3+【解析】令()1122221333a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+⋅+=+++=++≥+=+ ⎪⎝⎭【详解】由题,则()1122221333a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+⋅+=+++=++≥+=+⎪⎝⎭,当且仅当2a b b a =,即1a =+1b =时,等号成立,2a b +的最小值为3+【点睛】本题考查“1”的代换法求最值问题,考查均值不等式的应用,考查运算能力16．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()10f x =，则x =________.【答案】3或5-【解析】由分段函数求值问题，分段讨论20110x x ≥⎧⎨+=⎩ 或0210x x <⎧⎨-=⎩，求解即可得解.【详解】因为()10f x =，所以20110x x ≥⎧⎨+=⎩ 或0210x x <⎧⎨-=⎩，解得3x =或5x =-，故答案为：3或5-. 【点睛】本题考查了分段函数，属基础题.三、解答题17．已知集合04{|}A x x =剟，集合1{}1|B x m x m =+-剟，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围 【答案】1m -…【解析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,得到不等关系,求解即可 【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆,当B =∅时,则11m m +>-,即0m > 当B ≠∅时,则111014m mm m +≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,解得10m -≤≤, 综上可知,1m ≥- . 【点睛】本题考查由并集结果求参数,当B A ⊆,需讨论集合B 是否为空集,是易错点,考查分类讨论思想18．已知集合{}2|20A x x x =+-=，集合{}230|B x x ax a =+++=，若A B B =，求实数a 的取值集合．【答案】2{|6}a a -<…【解析】先用列举法表示{}2,1A =-,由AB B =得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况即可【详解】由题,{}2,1A =-， 由AB B =得B A ⊆,当B =∅时,()2430a a ∆=-+<,即24120a a --<,26a ∴-<< 当B ≠∅时,由B A ⊆得{}{}{}2,1,2,1B =-- 若{}2B =-,则24(3)04230a a a a ⎧-+=⎨-++=⎩,即2,67a a a =-=⎧⎨=⎩,解集∅,舍去； 若{}1B =,则24(3)0130a a a a ⎧-+=⎨+++=⎩,即2,62a a a =-=⎧⎨=-⎩,2a =-； 若{2,1}B =-,则24(3)0132a a a a ⎧-+>⎪-=-⎨⎪+=-⎩,即2,615a x a a ⎧-⎪=⎨⎪=-⎩,解集∅,舍去； 综上可知,实数a 的取值集合为6{|}2a a -≤< . 【点睛】本题考查由交集结果求参数,当B A ⊆,需讨论集合B 是否为空集,是易错点,考查分类讨论思想19．已知函数()y f x =在定义域[]1,1-上是奇函数，又是减函数，若()()2110f a f a -+-<，求实数a 的范围.【答案】01a <… 【解析】先求得()()211f af a -+-的定义域,再由()y f x =是奇函数可得()()211f a f a -<-,由单调性即可得到a 的范围【详解】由题意得2111111a a ⎧-≤-≤⎨-≤-≤⎩, 解得20202a a ⎧≤≤⎨≤≤⎩,即0a ≤≤由()()2110f af a -+-<,得()()211f a f a-<--,∵函数()y f x =是奇函数, ∴()()2211f af a --=-,∴()()211f a f a -<-,又∵函数()y f x =在定义域[]1,1-上是减函数, ∴211a a ->-,即220a a +-<， 解得21a -<<,由021a a ⎧≤≤⎪⎨-<<⎪⎩,01a ≤< 【点睛】本题考查抽象函数奇偶性的应用,考查抽象函数的定义域,考查单调性的应用 20．要制作一个体积为332m ，高为2m 的长方体纸盒，怎样设计用纸最少？【答案】当长方体纸盒的底面是边长为4m 的正方形时，用纸最少为264m .【解析】由题可得长方体纸盒的底面积为216m ,设长方体纸盒的底面一边长为x m ,则另一边长为16m x ,则长方体纸盒的全面积为32162(216)4()32(0)y x x x x x=++=++>,利用均值不等式求解即可 【详解】由题意得,长方体纸盒的底面积为216m , 设长方体纸盒的底面一边长为x m ,则另一边长为16m x, 长方体纸盒的全面积为2y m ,则由题意得32162(216)4()32(0)y x x x x x=++=++> ∵0x >,∴168x x +≥,当且仅当16x x =,即4x =时,等号成立 ∴当164x x==时,y 的最小值为64答:当长方体纸盒的底面是边长为4m 的正方形时，用纸最少为264m .【点睛】本题考查均值不等式求最值,考查空间几何体的体积与表面积,考查运算能力21．已知二次函数()221f x x ax a =-+-在区间[]0,1上有最小值2-，求实数a 的值.【答案】1a =-或2a =【解析】先得到对称轴是x a =,讨论对称轴与区间[]0,1的位置关系,进而求得a 的值 【详解】二次函数()221f x x ax a =-+-图像的对称轴是x a =,当0a ≤时,()f x 在区间[]0,1上单调递增, ∴()()012min f x f a ==-=-, 解得1a =-；当1a ≥时,()f x 在区间[]0,1上单调递减, ∴()11()212min f x f a a ==-+-=-, 解得2a =；当01a <<时,()()22212min f x f a a a a ==-+-=-,即210a a --=,解得12a =±不合题意,舍去； 综上可得,1a =-或2a = 【点睛】本题考查二次函数由最值求参数问题,考查分类讨论思想 22．已知函数2()f x x x=+. （1）求它的定义域和值域；（2）用单调性的定义证明:()f x 在上单调递减.【答案】（1）{|0}x x ≠，(,)--∞∞∪；（2）证明见解析. 【解析】（1）由分母不为0求定义域,由均值不等式求值域；（2）设120<x <x ,判断()()12f x f x >即可 【详解】（1）解:函数的定义域是{|0}x x ≠,第 11 页 共 11 页 当0x >时,2x x +≥当且仅当2x x=即x =时等号成立, 当0x <时,0x ->,2x x-+-…即2x x+≤-当且仅当2x x-=-,即x = ∴函数()f x的值域是(,)--∞∞∪ （2）证明:设120<x <x ,则()()()()121212121212222x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵120<x <x∴12120,02x x x x -<<<∴1220x x -<∴()()120f x f x ->,即()()12f x f x >∴()f x在上单调递减.【点睛】本题考查函数的定义域和值域,考查定义法证明函数单调性。