第八分离变数法
数学物理方法第八章
(7 ) ⎧ A0 = 0 ⎪ α1′ ⎪ A1a = − Ea + (8) a ⎪ ′ ⎨ A an = αn (9) n ⎪ n a ⎪ ′ βn n (10) ⎪ Bn a = n a ⎩
Wuhan University
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
【求解】
∂u I ε ∂ρ
∞
∂u II ρ =a = ∂ρ
2 l nπ 2 l nπ An = ∫ ϕ (α ) sin αdα , Bn = ∫0ψ (α ) sin l αdα 0 l l nπa
Wuhan University
习题课
二、齐次问题
1、求解
解：u ( x, t ) =
∑(A
n =1
⎧utt = a 2u xx , 0 < x < π , t > 0 ⎪ ⎪u ( x,0) = 3 sin x ⎫ ⎨ ⎬,0≤ x ≤π ⎭ ⎪ut ( x,0) = 0 ⎪u (0, t ) = u (π , t ) = 0; ∞ ⎩
n =1
′ ′ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ ) ρ − n u
II
∞
ρ →∞
= − Eρ cos ϕ →
n =1
α 0 = 0, β 0 = 0; α n = 0(n ≠ 1), β n = 0; α1 ρ = − Eρ → α1 = − E
′ ′ u ( ρ , ϕ ) = − Eρ cos ϕ + ∑ (α n cos nϕ + β n sin nϕ )ρ − n
(3)
(2)
ρ =a
( 4)
习题课
一、正交曲线坐标系中的分离变量
数学物理方法课件第八章------分离变量法
由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
数学物理方法期末复习
f
(x)
k 0
bk
sin
(k
1 )
2 l
x
bk
2 l
(k 1) x
l
f (x)sin
2 dx
0
l
12
(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l) 0
根据边界条件 f (0) 0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓，然后以4l为周期向整
ak
k 1
cos k x l
a0 ak
1 l
2 l
l
f (x)dx
0 l
f (x) cos
0
k x
l
dx
g(x) g(x)
4l f (0) f (l) 0
g(2l x) g(x)
f
(
x)
k 0
ak
cos
(2k
1)x 2l
ak
2 l
l 0
f (x)cos(2k 1)x dx 2l
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1
z1
z
* 2
z2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2 )
x22
y
Chapt_8__分离变数(傅里叶级数)法4
ρ 2 ( ρ 2 − ρ02 ) cos 2ϕ
3
例2
∇2u = −2,
（0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ）
u |x =0 = 0, u |x =a = 0, u |y =0 = 0, u |y =b = 0,
取 v = − x 2 + c1 x + c2 选择
c1 , c2
使v既满足方程，亦满足x方向边界条件，有： 这样
其中： f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ , 冲量定理法 的基本思想
f ( x, t ) = ∫ f ( x,τ )δ (t − τ )dτ ,
0
t
代入定解问题
u( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ ,
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
第八章分离变数法
9
第四步：解时间部分：
T ''
n2 2a2
l2
T
0
通解为：
T (t) Acos nat B sin nat ;
l
l
因此，方程（8.1.1）且满足边界条件（8.1.2）的 特解为
un
(
x, t)
An
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
sin
nx
l
,
(n 1,2,3)
用分离变数法得到的数学解式特别清 楚地反映了波动的这些基本概念。
2
两端固定弦的自由振动：
泛定方程 utt a2uxx 0, (0 x l)
初始条件 u |x0 0,
u |xl 0,
边界条件 u |t0 ( x), ut |t0 ( x),
(8.1.1) (8.1.2) (8.1.3)
柱外 2u 0
uxx uyy 0
u |x2 y2＝a2 0
用直角坐标，变数无法分离！ 改用极坐标
2u
2
1
u
1
2
2u
2
0
( a)
u |a 0, u(, 2 ) u(, ),
欲分离变数，不仅要求齐次方程、齐次 边界条件，还要选择合适的坐标系！
38
u
|
E0
cos
u0
Q
2
0
ln
2l
x=l边值要求
d sin nx n cosn 0
dx 2l xl 2l
2
n 2k 1, (k 0,1,2, ),
30
u(x,t)
数学物理方法课件：8-分离变数法
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：
分离变数法
2. 性质 1) u1 , u2 分别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u 2 ]=0
则其组合 L[c1u1 c2 u2 ] 0 2) u1 是非齐次方程的解 u2是齐次方程的解 L[u1]=f L[u2]=0
则 u1 u2 是非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f 2 性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。
例2
解
若λ>0，
例3
带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电
场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之
中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷， 圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体 圆 柱怎样改变了匀强静电场。
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。 称固有振动模式
（3） 、节点数 n+1
sin l 0
l 2l (n 1)l ,l 位置 x 0, , , n n n 2l 波长 （4） 相邻节点之间距离等于半波长， 、 即 n n na na ,v （5） 、本征频率 n l 2 2l a , 基频 基波（决定了音调） （6） 、基波，谐波 n=1 时 1 l n a n 1时 n 谐波 谐波（决定了音色）
3) 求解本征值问题
A cos B sin ( ) A B ( 0) Ae Be ( 0)
( 0)
得本征值和本征函数:
m2
m 0,1,2,3...
(m 0) (m 0)
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲（供物理专业试用）课程编码：140612090学时：64学分：4开课学期：第五学期课程类型：专业必修课先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》教学手段：（板演）一、课程性质、任务1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。
注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、课程基本内容及课时分配第一篇复数函数论第一章复变函数（10）教学内容：§1.1．复数与复数运算。
复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
第81节(齐次方程的分离变量法)
一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件
可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件： 18
ut a2uxx 00 ux |xl 0 u |t0 u0 x / l,
（0 x l)
这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：
u(x,t) X (x)T (t)
X T a2 X T 0
X (0)T (t) 0, X (l)T (t) 0
即： X (0) 0, X (l) 0
对于方程 XT a2 X T 0 化为：
13
T a 2T
X X
两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为
则
T a2T
X X
于是可分解为关于X和T的常微分方程
C1 0
C2 sin l 0
此时如果 sin l 0 仍然可得 C1 C2 0 从而 X (x) 0
应该予以排除！ 只剩下一种可能：C1 0 sin l 0
则 l n (n Z ) 即：
而此时
＝ n
X (x)
2
l2
2
n
C2 s
1,2,3.......
in nx x
l
C2为任意常数
X (x) C1 cos x C2 sin x
积分常数满足：
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
0 故C2＝0 C1 sin l 0 若C1＝0，则无意义！
则 C1 0,sin l 0 可得： l n (n 1,2,3...)
即 n2 2 / l 2 (n 1,2,3...) 相应的本征函数为：
X ＋X 0
X
(0)
0,
X
(l)
分离变数法能求解的方程类型 解释说明
分离变数法能求解的方程类型解释说明1. 引言1.1 概述在数学中，我们经常需要解决各种类型的方程。
分离变数法是一种常用且有效的方法，可用于解决特定类型的方程。
该方法通过将变量分离成两个部分，从而简化了复杂方程的求解过程。
本文将详细介绍分离变数法能够求解的方程类型，以及该方法的应用和优势。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分：引言、分离变数法解方程类型A、分离变数法解方程类型B、分离变数法解方程类型C和结论。
首先，在引言中，我们将概述本文内容并介绍文章结构。
然后，我们将逐步介绍分离变数法在不同类型方程中的应用方法，并提供详细的求解示例。
最后，我们将总结分离变数法在不同情景下的优势，并给出进一步研究或建议。
1.3 目的本文旨在详细说明使用分离变数法可以解决哪些特定类型的方程，并展示该方法在实际问题中的应用价值。
通过阐述不同类型方程中应用该方法时所需注意的事项和步骤，读者可以更好地理解和掌握这种有效的数学求解技巧。
此外，文章还将指出分离变数法在特定类型方程求解中的局限性，并提出进一步研究的方向或建议，以推动这一方法在更广泛领域的应用发展。
2. 分离变数法解方程类型A:2.1 方程类型A介绍:方程类型A是指包含一个未知函数y(x)及其导函数的方程，其中y'(x)表示对x的导数。
这种类型的方程可以通过使用分离变数法来解决。
2.2 分离变数法详解:分离变数法是一种常见的微分方程求解方法，它基于一个简单的观察：如果给定的微分方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)，那么我们可以将该方程拆分为两个可积分项并进行求解。
具体步骤如下：1. 将dy/dx = g(x)h(y)中关于x和y的项分别移到等式两边，得到关于x和y的表达式。
2. 通过除以h(y)并积分来消去y，并且通过乘以dx再积分来消去x。
3. 对上述两个积分项进行求解，并加上任意待定常数C（常称为积化常数）。
4. 最后，根据所给出初始条件或其他约束条件来确定待定常数C。
数学物理方法 第8章 分离变数法
X (0) X (l ) 0
nx n 2 2 X ( x) 1 cos 2 l l n 0,1, 2, n0 T (t ) A0 B0 t nat nat n 1
An cos l Bn sin l
例2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端 温度为零度，另一端温度为 u0 ，杆上温度梯 度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端 跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
四、分离变数法求解定解问题的基本步骤
线性齐次的 分离 偏微分方程 变数 齐次边界条件 初始条件 常微分方程1
解1
本征解 （解1＊解2） 解2 本征值 本征函数
常微分方程2
条件
分离变数
确定叠加系数
定解问题的解
本征值
本征解
五、付里叶级数法
nx 令 u ( x, t ) Tn (t ) sin l n 1
0 xl
——与采用分离变数法所得结果一致。
§8.2直角坐标系中有界空间上 的齐次泛定方程
例1：两端自由的均匀杆的纵振动问题
utt a u xx 0
2
0 xl
t0
ux
x0
ux
xl
0
t0
0 xl
u t 0 ( x) ut
t 0
( x)
解：由边界条件 u x
2 2 2
0 xl
n 2 2 a 2 Tn(t ) Tn (t ) 0 2 l
n 1
nat nat Tn (t ) An cos Bn sin l l
nat nat nx u ( x, t ) [ An cos Bn sin ] sin l l l n 1
变数分离法变数分离法变数分离法变数分离法解微分方程...
A. 變數分離法變數分離法解微分方程式解微分方程式(1)求解243yx dx dy = 解：變數分離後得xdx dy y 432=兩邊積分K x y +=232，K 為常數(2)求解x dxdy e y x 3=+ 解：y x y x e e e =+，將原式變數分離後得dx xe dy e x y −=3兩邊積分得()K x e e x y ++−=−13，其中K 為常數B. 正合微分方程式(3) 求解()0222=++xydy dx y x解：22y x M += xy N 2= y y M 2=∂∂，y xN 2=∂∂，故x N y M ∂∂=∂∂，為正合方程式 原式整理得：()0222=++xydy dx y dx x ⇒()0222=++xdy dx y dx x⇒()022=+xy d dx x等式二邊積分：()K xy d dx x =+∫∫22 ⇒K xy x =+233，其中K 為常數C. 一階線性微分方程式公式：()()x q y x p dx dy =+之通解為()()()+∫⋅∫=∫−K dx e x q e y dx x p dx x p ，K 為常數(4)求解x xy dx dy 4=+ 解：()xx p 1=，()x x q 4= x xdx dx x p ln )(==∫∫，()x e e x dx x p ==∫ln )( ∫∫==⋅∫32344)()(x dx x e x q dx x p ，x e dx x p 1)(=∫− += +=x K x K x x y 2334341D. 常係數微分方程式常係數微分方程式之通解及之通解及之通解及邊界條件邊界條件(5)求04222=−−y dxdy dx y d 之通解 解：特徵方程式為0422=−−λλ5122021+=+=λ，512−=λ ()()x x e c e c y 512511−++=(6)求解0222=−+y dx dy dx y d ，邊界條件為：()40=y ，()50−=dxdy 解：令xe y λ=，得 特徵方程式022=−+λλ()()012=−+λλ，21−=λ，12=λx x e c e c y 221+=−依邊界條件，代入上式可得421=+c c5221−=+−c c解之得31=c ，12=c ∴x x e e y +=−23E. 非齊次微分方程式之特解(7)求微分方程式 x e y dxdy dx y d 222623=++之特解 解：令x p Ae y 2=，A 是未定係數將p y 代入原微分方程式得6264=++A A A ，∴21=A 即22xp e y = (8)求微分方程式324522+=++x y dxdy dx y d 之特解 解：令B Ax y p +=，A 和B 是未定係數對p y 微分，得A dx dy =，及022=dxy d 代入原微分方程式得 ()32450+=+++x B Ax A()32454+=++x B A Ax兩邊比較係數，1x 項：24=A ，21=A 0x 項：345=+B A ，()81453=−=A B 因此，812+=x y pF: 拉普拉氏轉拉普拉氏轉換換( Laplace Transform)(9)已知()4)5(4+=s s F ，求拉氏逆變換之原函數()t f 解：依公式 !)(111n e t a s L at n n −+−=+，()123...1!⋅⋅−⋅=n n n 得5=a ，3=n ，6!3=∴()653te t tf −= (10)已知()9532++=s s s F ，求拉氏逆變換之原函數()t f 解：依公式()bt b s s L cos 221= +− ()bt b s b L sin 221=+− 整理原式，()2222333533+++=s s s s F ，3=b ∴()()()t t t f 3sin 353cos 3+= (11)已知())4)(1(23+++=s s s s F ，求拉氏逆變換之原函數()t f解：依公式at e a s L −−=+)(11 運用部份分式法至原式，()41)4)(1(23+++=+++=s B s A s s s s F ，再求A 和B ()()1423+++=+s B s A s()()B A s B A +++=4比較係數，得3=+B A及24=+B A ∴31031=−=B A ， ()t t tt e e Be Ae t f 4431031−−−−+−=+= (12)已知())2)3)(1(4(4232s s s s s s s F +++++=， 求()0f 和()∞→t f 解：依初值定理()()()s sF s f s ∞→=∞→lim 0，及 終值定理()()0==∞→s s sF t f()())2)3)(1(4(423lim lim 02+++++==∞→∞→s s s s s sF f s s 43)/2)/31)(/11(4(/4/23lim 22=+++++=∞→s s s s s s ； ()()()()()020*******==+++++==∞→s s s s s s s sF t f()()()72144230104400==+++++=(13)迴旋積分定義()()∫−=∗tdz z t g z f t g f 0)()(公式：()[]()s F t f L =，()[]()s G t g L =，()[]()()s G s F g f L =∗，[]a s e L at −=1，()[]22cos as s at L += 求−∫t z dz z t e L 0)cos( 解：[]()[]t L e L dz z t e L t t z cos )cos(0= −∫ )1)(1(11122+−=+⋅−=s s s s s s (14)解微積分方程式0)(650=++∫t dz z y y dxdy ，()10=y 公式：()()0y s sY dx dy L −= ，s s Y dz z y L t )()(0= ∫，−=−a s L e at 11 解：微積分方程式兩邊取拉式變換，並代入()10=y()()()0651=++−s Y ss Y s sY ()3322652+++−=++=s s s s s s Y()()[]++ +−==−−−3322111s L s L s Y L t Y t t e e 3232−−+−=。
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x
(n 1,2, )
这些驻波常称为两端固定弦的本征振动。
x kl / n(k 0,1, )时,un (x,t) 0 这些点是驻波的波节位置，波长为 2l / n
6
第四步: 根据叠加原理求出一般解
u(x,t) un (x,t) n1
( An
n1
cos
n a
l
t
Bn
sin
n a t)sin
R m2R 0
这里，R是t的函数，解为
Cemt Demt C m D m (m 1,2, ) R C Dt C D ln (m 0)
本征解
um u0
( Am cosm Bm sin m)(Cm C0 D0 ln (m 0)
m
Dm
m
)(m
28
0)
叠加，得一般解为
l
t
Bn
sin
na
l
t n
1,2,
本征解为
u0 (x,t) A0 B0t
un
(
x,
t
)
(
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
)
cos
nx
l
12
例3. 一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类齐次 边界条件
细杆导热，初始时刻：一端温度为0度，保持不变，另一端温度 为u0，跟外界绝热，杆上温度梯度均匀。
由限定条件有
C2 0 (C1 sin l C2 cos l 0
本征值 n2 2
本征函数
l2
n
X (x) C1 cos l
x n
1,2,
11
合并＝0，＞0的结果
X (x)
C1
c
os
n
l
x n
0,1,2,
将本征值代入T的方程，得
T0 (t) A0 B0t
T
(t)
An
cos
na
(3) 本征值代入Y的方程，得 a
本征解 (4) 叠加
n y
n y
Y Ae a Be a
n y
vn (x, y) ( Ae a
n
Be a
y
) sin
n
a
x
v(x, y)
n
(Ae a
y
n
Be a
y
) sin
n
x
代入剩余的边界条件 n1
a
21
(An
n1
Bn ) sin
n
a
x0
n b
(Ane a
本征值和 本征函数
n
n
l
2
,
Xn (x)
C
sin
n
l
x
,
n 1, 2,3,L
Tn (t)
An
cos
an
l
t
Bn
sin
an
l
t
n 1, 2,3,L
T(t)的表达 5 式
第三步：得出分离变数形式的本征解
un (x,t)
( An
cos na t
l
Bn
sin
na t) sin
l
n
l
代入泛定方程
1 d ( dR) R d d
得
2R R R 0
0
由于有（自然周期条件）
( 2 ) ()
26
自然周期条件与方程一起构成本征值问题。
Acos B sin ( 0)
A
B (
0)
从自然周期条件得，小A于e 0， 零 解Be ( 0)
第八章 分离变数法
1.齐次方程的分离变数法 2.非齐次振动方程和输运方程 3.非齐次边界条件的处理 4.泊松方程 5.小结(自学)
本课程 重点
1
§ 1.齐次方程的分离变数法
一: 引入
物理问题:
一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫
外力作用下的振动
定解问题:
2u u(tx2 ,
本征函数
m2 (m 0,1, )
Acosm Bsin m(m 0)
即
A ( m 0)
Acosm Bsin m(m 0,1,2, )
27
本征值代入R的方程得
2R R m2R 0
这是欧拉型常微分方程，作代换?
得
et t ln dt / d 1/
n0
n0
T0 (0) 0
1 l
l
( )d
0
Tn (0)
n
2 l
l
(
) cos
n
d
0
l
T0(0) 0
1 l
l
( )d
0
Tn (0)
n
2 l
l
( ) cos
n
d
0
l
36
第三步:求出关于T的常微分方程的通解始条件
utt
a2uxx
A c os x
l
sin t
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
第一步:根据初始条件把所求的解展开为傅立叶级数 问题为第二齐次边界条件，故设解为
u(x,t)
n
Tn
(t
)
cos
n
l
x
(1)
34
第二步:分离出关于T的常微分方程并得出初始条件
n
(Tn
n2 2a2
l2
Tn
a2 0)
2u , x2
( x),
ut
l,t) 0,
x (0,l),t 0
x [0,l] t0
2
由力学的知识,两端固定弦的振动会形成驻波:
u(x,t) 2Acos 2 x cos 2 t
u(x,t) X (x)T (t)
二.基本思想：
把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中某 些常 微分方程带有附加条件，从而构成本征值问题。 本章中，只考虑本征函数为三角函数的情况。
n1
n
Bne a
b
) sin
n
a
x U
u0
Cn sin nx / a n1
22
Cn
2 a
a 0
(U
u0 ) sin
nx
a
dx
2(U u0 ) (1 cosn ) n
An
Bn
4(U u0 )
nb （e a
nb
e a )n
(n为奇数)
0 ( n为偶数)
23
2. 极坐标系中的分离变数法
对应的定解问题为
ut a2uxx 0 u |x0 0, ux |xl 0 u |t0 u0 x / l
13
设试探解 代入整理后得
u(x,t) X (x)T (t)
X x 0
X
(0)
0,
X
(l)
0
T a2T 0
求解本征值问题：
0, 0 : 零解，无意义
代入限制条件：
0
n
其中关于X的部分为傅里叶级数的基本函数族，由边界条件决定， 其系数为t的函数.
将此试探解代入非齐次泛定方程，尝试分离出关于t的方程,结合 初值条件,求出关于t的解,最后带入试探解可得方程的解. 这种方法就称为傅立叶级数法
33
2. .傅立叶级数法的步骤
例如求解定解问题
ux (0,t) 0,ux (l,t) 0
ln a 0 Dmam
0
C0 Dm
D0 ln a Cma2m
29
即 u(,) D0 ln( / a)
(Am cosm Bm sin m)( m a2m m )
m1
再考虑趋于无穷时的条件有
故有
a ln / a m , m m
lim
u(
,
)
lim
m1
(
Am
c
os
)
cos
n
l
x Acos x sint
l
比较系数得 Tn 的二阶线性常微分方程:
T1
2a2
l2
T1
A sin
t,
Tn
n2 2a2
l2
Tn
0(n
1)
35
把(1)代入初始条件:
Tn (0) cos
n0
n
l
x
(x)
n
n0
cos
n
l
x
Tn(0) cos
n0
n
l
x
(x)
n0
n
cos
n
l
x
得到关于 Tn (t) 初始条件:
31
§2. 非齐次振动方程和输运方程
傅立叶级数法
直接求解非齐次方程的定解问题
冲量定理法
把非齐次方程的定解问题转化为齐次方程的定解 问题后求解
适用齐次的边界条件下的非齐次振动和输运问题
32
1.引入
一. 傅立叶级数法
由于齐次边界条件,分离变数法得到的解具有傅立叶级数表示形式:
u(x,t) Tn (t) X n (x)
3
三. 分离变数法求解的基本步骤
第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离 形式的常微分方程和附加条件
u(x,t) X (x)T (t)
X(x)：
X (x) X (x) 0
X
(0)
X
(l)
0
本征值问题
T(t)： T (t) a2T (t) 0
4
第二步：求本征值和本征函数 X(x)，以 及 T(t)的表达式
1)2