空间向量与平行关系
空间向量与平行关系课件
(3)空间直线的向量表达式的两点作用: ①定位置:点A和向量a可以确定直线的_位__置__; ②定点:可以具体表示出l上的任意_一__点__. 3.向量a为平面α的法向量应满足的两个条件 (1)向量a表示直线l的_方__向__向__量__; (2)直线l_⊥__平面α.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α,β的法向量分别为u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3),则有如下结论
则
m
AN
0，
m NM 0，
所以
a 2
x1
0
y1
az1
0，
a 2
x1
a 2
y1
0
z1
0，
所以y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理由
n n
DB DF
可00，，得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
2.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表 示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1=(a1,b1,c1),平面β的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α//β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R).
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
空间向量与平行关系 课件
[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，则可求得
图5
M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)，
x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
[点评] 求平面法向量的方法与步骤： (1)选向量 求平面的法向量时，要选取两 相交向量A→C、A→B. (2)设坐标 设平面法向量的坐标为 n＝ (x，y，z)．
图 11
解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
法三：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12D→A－12D→1D
＝12(D→B＋B→A)－12(D→1A1＋A→1D)
＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D
＝12D→B＋12D→A1＋12(B→A－D→A)
＝12D→B＋12D→A1＋12B→D
＝12D→A1
＋
→ 0DB.
即M→N 可用D→A1 与D→B线性表示 ， 故M→N 与D→A1 、D→B是共面向量 ． 又 MN⊄平面 A1BD， DA1，DB⊂平面 A1BD，且 DA1∩DB＝D， ∴MN∥平面 A1BD.
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
空间向量的垂直和平行关系
空间向量的垂直和平行关系空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，它们之间存在着不同的关系。
其中最常见的关系是垂直和平行关系。
本文将深入探讨空间向量的垂直和平行关系，并分析其特点和性质。
一、垂直关系当两个向量的数量积等于零时，它们被称为垂直向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:A⋅A=AAA cos A=0其中，A⋅A表示向量A和A的数量积，AAA表示向量A和A的叉积，A表示两个向量之间的夹角。
当A为90度时，cos A=0，表明向量A和A 垂直。
垂直向量的特点和性质如下：1. 垂直向量的数量积为零，即两个向量之间的夹角为90度。
2. 向量的数量积等于零并不意味着它们一定是垂直的，还需考虑向量的长度和方向。
3. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
4. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
5. 若一个向量与另一个非零向量垂直，则它与另一个向量平行。
二、平行关系当两个向量的叉积为零时，它们被称为平行向量。
具体地说，对于空间中的向量A和A来说:AAA=AAA sin A=0其中，AAA表示向量A和A的代数长度，sin A表示两个向量之间的夹角的正弦值。
当sin A等于零时，表明向量A和A平行。
平行向量的特点和性质如下：1. 平行向量的叉积为零，即两个向量之间的夹角的正弦值为零。
2. 平行向量之间的数量积可能为非零常数，也可能为零。
3. 若两个向量平行，则它们的数量积为非零常数。
4. 若两个向量垂直，则它们的叉积为非零向量。
5. 若一个向量与另一个非零向量平行，则它与另一个向量垂直。
通过对空间向量的垂直和平行关系进行分析，我们可以得出以下结论：1. 垂直和平行是空间向量最基本的关系，它们之间存在着一定的对应性。
2. 垂直和平行关系可以通过向量的数量积和叉积进行判断。
3. 垂直和平行向量在解决实际问题中具有重要的应用价值，如物理力学中的受力分析和几何学中的平面垂直关系。
在实际问题中，我们常常需要确定向量之间的关系，特别是垂直和平行关系。
空间向量垂直平行公式
空间向量垂直平行公式以空间向量垂直平行公式为标题，我们来探讨一下空间向量的性质和相互关系。
在三维空间中，向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
空间向量的运算包括加法、减法、数量乘法等。
而空间向量垂直和平行的概念是空间向量之间的重要关系。
我们来了解一下空间向量的垂直关系。
两个向量a和b垂直的条件是它们的数量积为零。
数量积又称为点积或内积，可以表示为a·b=0。
这个公式告诉我们，当两个向量的数量积为零时，它们垂直于彼此。
例如，向量a=(1, 2, 3)和向量b=(-2, 1, 0)，它们的数量积为1*(-2)+2*1+3*0=0，因此a和b垂直。
接下来，我们来讨论空间向量的平行关系。
两个向量a和b平行的条件是它们的叉积为零。
叉积又称为矢量积或外积，可以表示为a×b=0。
这个公式告诉我们，当两个向量的叉积为零时，它们平行于彼此。
例如，向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 4, 6)，它们的叉积为(2*3-4*2, 4*1-6*1, 6*2-2*4)=(0, 0, 0)，因此a和b平行。
除了垂直和平行关系，空间向量还具有一些其他的性质。
例如，向量的模可以表示为|a|=√(a1^2+a2^2+a3^2)，其中a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z轴上的分量。
模表示向量的大小，可以用于计算两个向量之间的夹角。
两个向量a和b的夹角可以表示为cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)，其中θ表示夹角。
夹角的范围是0到180度，如果夹角为90度，则表示两个向量垂直；如果夹角为0度或180度，则表示两个向量平行。
空间向量还可以进行向量投影。
向量投影是将一个向量投影到另一个向量上的过程，可以用来计算两个向量之间的距离。
向量a在向量b上的投影可以表示为projb a=(a·b)/|b|*(b/|b|)，其中projb a 表示向量a在向量b上的投影，b/|b|表示向量b的单位向量。
空间向量与平行关系(公开课)
A1
z
B1
C1
F
D
E
B
C
y
x
A
利用向量解决立体几何问题的三步曲：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面. （化为向量问题） ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关 系以及它们之间的距离和夹角的问题. （进行向量运算） ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
b ( a 2 , b 2 , c 2 ). n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 ③建立方程组 a x b y c z 0 n b 0 2 2 2
④解方程组，利用赋值法，给 x, y, z 中的一个变量 赋一特值.
量为 n (2 ,0 ,3 ).
(4)直线 l 的方向向量为 a (3, 2,1), 为 n (1, 2, 1).
平面 的法向量
例2：如图，已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
E , F分别是 BB1 , DD1的中点.
证明： FC1∥平面 ADE.
探究：
直线可以用方向向量进行描述，平面呢？
问题1：经过定点A且与向量 n 平行的平面有几个？ 问题2：经过定点A且与向量 n 垂直的平面有几个？
定义：
直线 l , 取直线 l 的方向向量 n , 则向量 n 叫作 平面 的法向量. l
思考：平面的法向量有什么特点？ ①非零 ②有无数条且互相平行
练习：如图所示，正方体的棱长为1. （1）平面 ABCD 的一个法向量为 （2）平面 CDD1C1 的一个法向量为 （3）平面 AB1D1 的一个法向量为
利用空间向量证明平行
利用空间向量证明平行平行是向量的重要性质之一，通过利用空间向量可以证明向量之间的平行关系。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点和线，向量的方向和长度性质可以用来描述空间中的各种几何关系，包括平行。
首先，让我们定义两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的起点都在原点$O$。
假设这两个向量平行，我们可以利用以下空间向量的性质进行证明。
根据向量的叉乘公式，我们可以得到以下等式：$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}=0$由于向量$\vec{i}$，$\vec{j}$，$\vec{k}$是线性无关的，所以上述等式成立的充分必要条件是：$a_2b_3-a_3b_2=0$$a_3b_1-a_1b_3=0$$a_1b_2-a_2b_1=0$以上等式即为判断向量$\vec{a}$和$\vec{b}$平行的条件式。
如果这三个条件式都成立，那么我们可以断定$\vec{a}$和$\vec{b}$平行。
在利用空间向量证明平行时，还需要注意以下几点：1.向量的起点需要相同，因为平行关系是两个向量共线的特殊情况，共享起点是判断平行性的前提条件。
2.以上证明的方法适用于三维空间，对于二维空间中的向量，只需要考虑平面内的坐标，即去掉$z$轴的分量即可。
证明的方法和步骤类似。
3.利用向量的坐标分量进行证明时，要注意考虑向量的方向。
如果两个向量的方向相反，那么它们的叉积为零，同样能够证明它们是平行的。
总之，通过利用空间向量的共线性和叉乘公式，我们可以证明两个向量是否平行。
这是一种简单但有效的方法，在几何学和向量分析中得到了广泛应用。
空间向量与平行关系
《空间向量与平行关系》教学目标：知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法.过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握.情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律，学会总结，慢慢理解加深对数学的认识.教育目标：数学课到底教什么？一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。
如三角形（类），其内角和为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）.二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。
三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题.教学难点：线，面平行传统方法的回顾处理办法：在学案进行复习巩固教学重点：用向量解决线，面平行问题处理办法：通过例题循序渐进教学设计一.（复习回顾）2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量.法向量：垂直于平面的向量（非零向量）向量垂直：0=⋅⇔⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？二.新知引入：向量法1.设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则：Rb a b a m l ∈=⇔⇔→→→→λλ,∥∥0=⋅⇔⊥⇔→→→→u a u a l α∥Rv u v u ∈=⇔⇔→→→→λλβα,∥∥1.线线平行①设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系：()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ，()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→b ，②已知→1e ，→2e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系：→→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=⋅→→u a ，则()A．l α∥B．l ⊂αC．l ⊥αD．l ⊂α或l α∥②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=⋅→→u a ，则()A．l α∥B．l ⊂αC．l ⊥αD．l ⊂α或l α∥③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内.根据下列条件判断直线m 与平面σ的位置关系：()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→，u 3.面面平行①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线βα，的位置关系()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝()A．2B．－4C．4D．－2在处理空间立体几何类题目的时候，可以考虑用这3种方法⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧）坐标（空间直角坐标系基底向量法传统方法.2.1下面就从这个题目简单的体会一下三种方法处理问题的过程吧.例.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2，F E ,分别是1BB 和1DD 的中点：求证：（1）AE FC ∥1（尝试上面总结的3种方法）（2）∥1FC 平面ADE（3）平面ADE ∥平面FB C 11方法一：（传统方法）证明：（1）过E 点作1CC 的垂线，与1CC 交于点O ，连接DO1111D C B A ABCD -是正方体则有=∥EO BC =∥AD ,即四边形AEOD 为平行四边形.∴DOAE ∥ E 分别是1BB 的中点，即O 为中点1CC 又因为F 为1DD 的中点，即FD =∥1OC ，即四边形1FDOC 为为平行四边形.∴DO FC ∥1，即AEFC ∥1（2）由（1）可知，AEFC ∥1则⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ADE FC ADE AE AEFC 平面平面∥11∥1FC 平面ADE（3）AD C B AD BC BC C B ∥∥∥1111⇒⎭⎬⎫，AED C B AED C B AED AD AD C B 平面∥平面平面∥111111⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂由（2）可知∥1FC 平面ADE ，则AEDB FC AED C F AED C B C C B FC B FC C B B FC FC 平面∥平面平面∥平面∥平面平面1111111111111111⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂1.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2，F E ,分别是1BB 和1DD 的中点：求证：（1）AE FC ∥1（尝试上面总结的3种方法）（2）∥1FC 平面ADE（3）平面ADE ∥平面FB C 11（1）解：法2（用“基底”）法3（用“坐标”）由于（2），（3）用基底不便于处理问题，所以（2）（3）在此处采用“坐标法”（2）解：因为1111D C B A ABCD -是正方体，可以−→−DA ，−→−DC ，−→−1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .（3）。
空间向量线面平行公式
空间向量线面平行公式
空间向量平行是三维坐标系中一个非常重要的概念，它是指两个向量或者一个向量和一个平面所在的直线方向相同。
换句话说，如果两个向量或者一个向量和一个平面所在的直线方向相同，那么它们就是平行的。
在三维空间中，我们可以用向量的方式来表示平行关系。
如果两个向量的方向完全相同，那么它们就是平行的。
当我们需要判断两个向量是否平行时，我们可以利用向量之间的点积（内积）进行计算。
具体地，两个向量a和b平行的条件是：
a·b=|a||b|
其中，a·b表示向量a和b的点积（内积），|a|和|b|表示向量a和b的长度。
如果两个向量的点积等于它们的长度乘积，那么这两个向量就平行。
除了向量之间的平行关系，我们还需要了解向量和平面之间的平行关系。
当一个向量与平面所在的直线方向相同，那么这个向量就是与该平面平行的向量。
我们可以使用平面法向量和向量之间的点积进行计算。
具体地，一个向量a和一个平面的法向量n平行的条件是：a·n=0
其中，a·n表示向量a和平面法向量n的点积（内积）。
如果它们的点积为0，那么这个向量就与该平面平行。
总结来说，空间向量线面平行公式非常重要，它可以帮助我们判断两个向量或者一个向量和平面之间的平行关系。
在进行计算时，需要注意向量之间的点积运算和平面法向量的确定。
熟练掌握平行关系的判断方法，可以帮助我们更好地理解和应用空间向量的相关知识。
空间向量与平行关系
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数学-选修2-1
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1 ⊥A→E，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0， 得zx11＝＝－0，2y1， 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1,2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
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数学-选修2-1
【解析】 A→B＝(1，－2,0)，A→C＝(2，－4,2)，设平面 ABC 的 法向量为 n＝(x，y，z)，
则2x－x－24y＝y＋02，z＝0， 令 y＝1，得 x＝2，z＝0， 故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,0)． 【答案】 (2,1,0)(答案不唯一)
量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
【解析】 A→B＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．
【答案】 A
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数学-选修2-1
2．(2014·济宁高二质检)已知向量 a＝(2，－3,5)与 b＝(4，x，
y)平行，则 x，y 的值分别为( )
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数学-选修2-1
正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点， 在如图 3-2-2 所示的空间直角坐标系中，求：
图 3-2-2
(1)平面 BDD1B1 的一个法向量； (2)平面 BDEF 的一个法向量．
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3.2.1立体几何中的向量方法---空间向量与平行关系
20110908
例1、已知直线 l 的方向向量为 a=(3,-4, 5) ， 点A、B在直线 l 上，且A(1,
例2、已知A(1, 2, 3)，B(-1, 1, 0)， C(2, 0, 3)， 则平面ABC的一个法向量为 。
空间中平行关系的向量表示：
(1)线线平行：
设直线l, m的方向向量分别为a=(x1, y1, z1), b=(x2, y2, z2)， 且x2, y2, z2≠0，则： a=kb . x1=kx2, y1=ky2, z1=kz a//b . l //m .2
(2)线面平行：
设直线l的方向向量分别为a=(x1, y1, z1),平面α的法向量 u=(x2, y2, z2)，且x2, y2, z2≠0，则： a﹒u=0. x1x2+y1y2+z1z2=0 . a ⊥u . l // α
用空间向量表示点、直线、平面的位置关系：
几何元素 确定条件
取一个定点O 为基点 直线上的一个 定点A及一个 定方向 空间内两条 相交直线
几何图形
P
O
点
直线
向量表示 OP
AP t AB
a
B
P
l A
平面
OP xa yb
a
A
一个定点和平 面的法向量
（2）若点E分PC的 比为2，试问：在棱 PB上是否存在点Q， 使AQ//平面EDB?
D
P
E
C
A
B
(3)面面平行：
设平面α,β的法向量分别为u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2),则： u=kv . u//v . x1=kx2, y1=ky2, z1 α//β .=kz2
空间向量的垂直与平行
空间向量的垂直与平行空间向量是三维空间中的矢量，具有方向和大小。
在进行向量运算时，了解向量之间的垂直与平行关系至关重要。
本文将探讨空间向量的垂直与平行性质，以及它们在几何和物理等领域的应用。
1. 垂直向量两个向量的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。
设有向量A和向量B，若它们的点积等于零，则A与B垂直。
点积的计算公式为：A·B = |A| × |B| × cosθ其中，A·B表示向量A与向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
如果A·B = 0，则cosθ = 0，即θ = 90°，这说明向量A与向量B相互垂直。
利用向量的垂直关系，我们可以解决诸如平面交线、直线垂直性等几何问题。
在物理学中，垂直向量的概念也被广泛应用于力的分解和求和等问题。
2. 平行向量两个向量的平行关系可以通过它们的叉积（外积）来判断。
设有向量A和向量B，若它们的叉积等于零，则A与B平行。
叉积的计算公式为：|A × B| = |A| × |B| × sinθ其中，A × B表示向量A与向量B的叉积，|A × B|表示向量A与向量B叉积结果的模长，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A与向量B之间的夹角。
如果A × B = 0，则sinθ = 0，即θ = 0°或θ = 180°，这说明向量A与向量B相互平行。
平行向量常常涉及到直线的平行性和共面性的问题。
在物理学上，平行向量用于计算力的合成以及判断物体的平衡状态等应用。
3. 垂直向量和平行向量的应用垂直向量和平行向量在几何和物理学中有广泛的应用。
以下是它们的一些具体应用：3.1 几何应用- 判断直线的垂直性或平行性，用于解决平面几何中的交线问题。
- 通过垂直向量和平行向量的性质，求解平面的法线向量和方向向量。
第1课时 空间向量与平行关系(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
取 x＝1，则 y＝－1，z＝1， 故平面 EDB 的一个法向量为 n＝(1，－1,1)．
经典例题
题型一 求平面的法向量
总结
求平面法向量的步骤 1.设法向量 n＝(x，y，z)； 2.在已知平面内找两个不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 3.建立方程组nn··ba＝＝ba11xx＋＋ba22yy＋＋ba33zz＝＝00；， 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量 的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
(2)直线 l 的一个方向向量为 a＝(－1,2,1)，平面 α 的一个法向量为 n＝(－1，－1,1)，
l⊄α，则 l∥α.( √ )
(3)若点 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方程可以为A→P＝
tA→B.( √ )
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两
则n·D→A1＝0， n·D→B＝0，
得xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴M→N⊥n． 又∵MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD．
经典例题
题型三 证明线面、面面平行
总结
1.向量法证明线面平行的思路
自主学习
二．直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的非零向量，一条直线的 方向向量有无数 个． 2.平面的法向量的定义 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
自主学习
解读： （1）法向量不能为零向量； （2）法向量与平面内任一向量垂直； （3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.
《空间向量与平行关系》
• 解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法 向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间 的位置关系．
• [规范作答] (1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，
－3,1)，
• ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分 • ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)， • ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分 • ③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， • ∴a与b不共线与不垂直．
• [题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法 向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平 面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向 量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几 点：
则 E1，1，12，F0，12，0，D0，0，0， D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，
∴D→A＝D→1A1＝(1,0,0)， D→E＝1，1，12，D→1F＝0，12，－1.
•
已知正方体 ABCD －A1B1C1D1的棱长
为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
• (1)FC1∥平面ADE；
• (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• 由题目可获取以下主要信息：
• ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； • ②E、F分别是BB1、DD1的中点． • 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平
面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
• [题后感悟] 利用向量法证明几何中的平行问 题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法 则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化， 得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角 坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量 进行平行关系的证明．
空间向量平行的公式
空间向量平行的公式空间向量平行是指两个向量在某个座标系中，其方向相同，但大小可能不同。
在数学上，两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)相互平行，其满足以下关系：a1/b1 = a2/b2 = a3/b3其中，a1, a2, a3, b1, b2, b3分别表示两个向量的不同分量，当每个分量之比相等时，则该两个向量就相互平行。
另外，两个空间向量可以用矩阵的形式来表示，比如a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，可以写成：A=[a1 a2 a3] B=[b1 b2 b3]显然，若两个向量是平行的，则其对应的矩阵乘积相等，即：A*B=B*A空间向量平行在数学中具有重要的应用价值，可以用来解决各种类型的几何问题，例如求两个线段的交点、求多边形的面积等，都可以通过空间向量的平行关系来解决。
例如，假设一个空间向量a1=(a1,a2,a3)和b1=(b1,b2,b3)，以及一个空间向量c=(c1,c2,c3)，如果要确定c是否是a1和b1的线段的交点，则只要满足以下关系即可：a1 +(b1-a1) = c其中，λ为一个实数，λ=0时表示c点处在a1处，λ=1时表示c点处在b1处，若0<1，则c点处在两个空间向量a1和b1线段的中间，因此二者是相交的，即c点是a1和b1线段的交点。
空间向量平行关系还可以应用到向量计算中，例如求向量的和、差、积等，例如，两个平行向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)的和可以写成如下形式：a+b=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)显然，求空间向量的和、差等简单计算可以简化为统一形式。
空间向量平行还广泛应用于实际工程中，例如在建筑工程中，需要计算不同物体之间的关系，有时可以通过求解空间向量平行的关系，来进行计算。
同时，空间向量的平行关系也在拓扑学中有着重要的应用，例如求解两个曲线（曲线是空间中的特殊一种向量）的位置间的相对平行关系，以及求解体的体积等。
3-2 空间向量与平行关系
→
→
→
→
→
【变式3】 如图所示，在四棱锥S－ ABCD中，
底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面 ABCD ，E、F分别为AB、SC的中点． 求证：EF∥平面SAD
题型三
利用空间向量证明平行问题
【例3】 (12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、
F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明
如图所示建立空间直角坐标系
D－xyz， 则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，
2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。 a β , b β , a b P, a∥ α, b∥ α 定理的推论 ∥ β α. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行
a
β
c P b
α
d
第1课时 空间向量与平行关系
题型一
【例1】
利用方向向量和法向量判定线面位置关系
根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与
平面、直线与平面的位置关系． (1)直线l1、l2的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
(2)平面α、β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)，μ＝(2，0，3)； (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
提示
实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的
向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．
空间向量与平行、垂直关系
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证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直， 以B为原点,分别以BA，BC，BB1所在直线 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0， 2，0)，C1(0，2，1)，
On the evening of July 24, 2021
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【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)， D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
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变式训练 3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC ，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求 证：平面AEC124, 2021
空间向量与平行、垂直关系
It is applicable to work report, lecture and teaching
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3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
On the evening of July 24, 2021
学习导航 学习目标
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【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E21，1，0，C1(0，1，1)，D(0，0，0)， F0，1，12.(1 分)
空间向量与平行关系
[题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直 线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与 平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点： (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直； (2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系 之间的内在联系； (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α 的位置关系． ①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点， 分别求平面AED与平面A1FD的法向量．
.
线面 平 行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，vac·1u)，＝平0 面α的
法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔
.
面面 平 行
设α，β的法向量分别为vuu＝∥v(a⇔1，u－b1λ，v c1)，v＝(a2
，b2，c2)，则α∥β⇔α的法向量为b，若a·b＝0，则(
答案： －14 6
4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、 AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD1A1. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下 列条件判断l1，l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)
空间向量与平行关系 课件
【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，1 ，0)，F(1，0，1 )，C 0，1，0 ，
2
3
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF则，CG EF，由于点G在z
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则2, m,1 (1, 1 , 2) 0,
2 2 1 m 2 0标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以 FC1 0，2，1，AD 2，0，0，AE 0，2，1，C1B1 2，0，0,
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1) AB1 1，0，4,AC1 0，2，4,
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则 n AB1且n AC1,
即
x 4z 0, 2y 4z 0,
令z=1，则x=-4,y=-2，
类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
A. 10
B.-6
C.6
D.10
3
3
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 (1, 1 , 2)，则m=_________.
2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向 量,证明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面 平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
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临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案
编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046
3.2.1 空间向量与平行关系
一、学习目标
1.理解直线的方向向量和平面的法向量，
2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。
二、自主学习，合作探究 (一）知识导学
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量
直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 .
3．空间中平行关系的向量表示
1）线线平行
设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ⇔
⇔ ＝ .
2）线面平行
设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α⇔
⇔ ＝0⇔ .
3）面面平行
设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β⇔ ⇔ ⇔ .
4）平面法向量的求法
①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量.
②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量：
设法向量(,,)n x y z =，由0
a n
b n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=⎧⎨++=⎩，
在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量.
★ 特别提醒
平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠
（二）例题解析
题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系
例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。
①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2
υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=-
（3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。
①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =-
（变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。
（1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b =
（2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=--
（3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=
※类型之二：求平面的法向量
例2、如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1
2
，
求平面SCD与平面SBA的法向量. 【分析】由题目可获取以下主要信息：
①所给图形易于建系；
②ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°
③SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1 2
解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量.
※类型之三：利用空间向量证明线面平行问题
例3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【分析】由题目可先获取以下主要信息；
①ABCD—A1B1C1D1为正方体且棱长为2；
②E、F分别是BB1、DD1的中点.
解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行. 三．精讲点拨1.平面法向量的求法
2.例2
四．当堂测验：
（1）若
123
(,,)
a a a a
=，
123
(,,)
b b b b
=是两个非零向量，则a与b平行的充要条件为（）A.3
12
123
a
a a
b b b
== B.
||||
a b
a b
=
C.存在实数K，使0
a kb
+= D.存在非零实数K，使a kb
=
（2）若(2,3,1)
n=-是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（）A.（0，－3，1） B.（2，0，1） C.（－2，－3，1） D. （－2，3，－1）
（3）已知A（1，0，0）B（0，1，0）C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（）A.（1，1，1
） B.
（,
333
-）
C.
（,,
33
3
-） D.
（
333
---（4）在平面ABCD中，(0,1,1)(1,2,1)(1,0,1)
A B C--，若(1,,)
a y z
=-，且a为平同ABC的法向量，则2y等于（） A.2 B.0 C.1 D.无意义
（5）已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，
1
2
，2），则m= （6）已知(1,2,2)
a =-，若||2||
b a
=，且a∥b，则b=
（7）已知平面α经过三点A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），试求α的一个法向量.
五．作业：
非常学案7 ，8。