【精品】2015年江苏省连云港市东海高中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于．4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是．13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是{0} ．【解答】解：∵x≥0，∴2x≥0，≥0，∴2x+≥0，又2x+≤0，∴2x+=0，当且仅当x=0时成立，∴原不等式的解集为：{0}．故答案为：{0}．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是a＞c ＞b．【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于60°．【解答】解：在△ABC中，若，由正弦定理可得：，即b2+c2﹣bc=a2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得∴cosA=，∴A=60°．故答案为：60°；4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，∴∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，即a≤﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1≤1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n和为S n，公比q=3，S3=，∴=，解得a1=，∴．故答案为：．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，∴3，4是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的实数根，且a＞0．∴3+4=，，解得a=，b=．∴a﹣b=．故答案为：﹣．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：若y=f（x）是奇函数，则设g（x）=|f（x）|，则g（﹣x）=|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|=g（x），则g（x）是偶函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称，即充分性成立，若f（x）=x2，满足y=|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，即必要性不成立，故“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=9．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，∴a1+4d=2（a1+d），解得a1=2d，∵S6=λa2，∴=λ（a 1+d），∴27d=3λd，由d≠0，解得λ=9．故答案为：9．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为[1，4] ．【解答】解：（1）对于命题p，由对数函数的值域知函数ax2+2ax+1的值域为（0，+∞）；a=0时，该函数为变为1，显然值域为{1}，不符合条件；a≠0则：，解得a≥1；（2）对于命题q，不等式ax2+3ax+2a+1≥0的解集为R；若a=0，不等式变成1≥0，解集为R，符合条件；若a≠0，则：，解得0＜a≤4；∴0≤a≤4；若p∧q为真命题，则p，q都为真命题；∴a≥1，且0≤a≤4；∴1≤a≤4；∴实数a的取值集合为[1，4]．故答案为：[1，4]．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．【解答】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x 8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x+t）﹣1＜3∴f（x+t）＜4，∵f（3）=4，∴不等式等价为f（x+t）＜f（3），而f（x）是R上的增函数，∴x+t＜3，即x＜3﹣t，即P={x|x＜3﹣t}，而Q={x|f（x）+1＜﹣4}={x|f（x）＜﹣5}，∵f（﹣1）=﹣5，∴不等式等价为f（x）＜f（﹣1），∵f（x）是R上的增函数，∴x＜﹣1，即Q={x|x＜﹣1}“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，∴P⊊Q，3﹣t＜﹣1，即t＞4，故答案为：（4，+∞）；13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．【解答】解：asin（B+）=a（sinB+cosB）=c，由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，∴sinA=cosA，即tanA=1，由于△ABC为锐角三角形，A=，则：sinBsinC=sinBsin（﹣B）=sinBcosB+sin2B=（sin2B﹣cos2B）+=，∵，，∴，，则sinBsinC的取值范围为；14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=63化简可得3b2+2d2=63．故当d=0时，b有最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．【解答】解：（1）由正弦定理及sin2A=sinBsinC得a2=bc，又由2a=b+c得4a2=b2+2bc+c2，所以b2﹣2bc+c2=0，即（b﹣c）2=0，所以b=c．…（5分）故a2=b2，即a=b，所以△ABC是等边三角形．…（7分）（2）因为2（ab+bc+ca）﹣（a2+b2+c2）=（ab+ca﹣a2）+（ab+bc﹣b2）+（ca+bc ﹣c2）=a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c），…（10分）因为a，b，c为△ABC的三边长，故a＞0，b＞0，c＞0，b+c﹣a＞0，a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，所以a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c）＞0…（13分）故a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．…（14分）16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，不等式在区间[﹣1，1]上恒成立，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则，…（2分）故有对θ∈[0，π]恒成立，所以，因为∵θ∈[0，π]，∴，∴，即时，，此时，故．…（6分）当q为真命题时，不等式ax2﹣x+2a＜0有正实数解，即不等式有正实数解，所以，而当x＞0时，，当且仅当时取“=”．所以．…（9分）由“p或q为真”，“p且q为假”得p与q是一真一假，当p真q假时，有，即．…（11分）当p假q真时，有即．…（13分）综上得，实数a的取值范围是：．…（14分）17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）由于，故，故等差数列的公差d=2，a1=﹣3故数列{a n}的通项公式a n=2n﹣5．…（7分）（2）由于，则两式相减即得：，从而．…（14分）18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．【解答】解：（1）由CD=x，则BD=x﹣0.5，设BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化简得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=①…（4分）记l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y﹣1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5 …（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．…（16分）19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．【解答】解：（1）令，则x2=t2﹣1，f（x）≤0，即，即t2﹣6t+8≤0，（t﹣2）（t﹣4）≤0∴2≤t≤4，所以2≤≤4，所以x，即A=；（2）f（x）≥0恒成立也就是恒成立，即，∵，∴，令，则t∈[2，4]，则y=，∴a≤y恒成立，∴a≤y min，由导数可知，当t=2时，y min=，∴a≤（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴=，由（2）可知a+b≤①，由g（x）=ax2﹣b≤0有解，ax2﹣b≤0有解，即a≤，∵b＞0，∴a≤=，∴3a﹣b≤0 ②①+②可得a所以a的最大值为，此时b=．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．【解答】解：（1）∵a1=b1，a2=b2，∴，∴a=b=0或a=b=2，∵a，b∈N*，∴a=b=2，故．（2）由（1）得：a1=2，a3=6，∴构成以2为首项，3为公比的等比数列，∴．又，故有，∴数列{n k}的通项公式为．（3）由a1＜b1＜a2＜b2＜a3，得a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，由a+b＜ab得：a（b﹣1）＞b；由ab＜a+2b得：a（b﹣1）＜2b．而a，b∈N*，a＜b，即b＞a≥1，从而得：，∴a=2或3，当a=3时，由a3+4=b3得：3+2b+4=9b，即b=1，不合题意，故舍去，∴满足条件的a=2．又由a3+4=b3得：2+2b+4=4b，故b=3．综上得：a=2，b=3．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l 运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。