数学竞赛中的三角函数例题选讲
初中数学竞赛 知识点和真题 第20讲 锐角三角函数
第20讲 锐角三角函数没有精确的数学计算，没有多种测量和几何作图，社会生产就无从进行。
——凯洛夫 知识方法扫描三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。
① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如αααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0º≤α≤90º时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形；④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题；⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题经典例题解析例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。
解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。
+∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++=211cos cos 12=+=++=θθ例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证：1114sin cos sin cos αααα++>。
证明 1114s i n c o s s i n c o sαααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα-+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα---++=21sin 1cos (sin cos )sin cos sin cos αααααααα---++ ∵α为锐角， ∴0<sin α<1, 0<cos α<1 , ∴1-sin α>0, 1-cos α>0,∴ 21sin 1cos (sin cos )sin cos sin cos αααααααα---++>0, 即1114sin cos sin cos αααα++>。
高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题
高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-； （2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=； （4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧 例5.求下列三角函数的值 （1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式： （1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（ ） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。
高中数学竞赛讲义（7）解三角形
高中数学竞赛讲义（七）高中数学竞赛讲义（七）──解三角形──解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos( -A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ， ②因为ADB+ADC=， 所以cos ADB+cosADC=0，所以q ×①×①+p +p +p×②得×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)+pq(p+q)，即，即AD 2=注：在（注：在（11）式中，若p=q p=q，则为中线长公式，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b 2c 2sin 2A=b 2c 2 (1-cos 2A)=b 2c 2[(b+c)-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S △ABC =二、方法与例题 1．面积法。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
高中数学竞赛历年真题三角函数部分及答案
C
）
A 焦点在x轴上的椭圆
B 焦点在x轴上的双曲线
C 焦点在y轴上的椭圆
D 焦点在y轴上的双曲线
12,(2005年)设, , 满足0 2 ，若对于任意的 x R
4
cosx cosx cosx 0，则 = 3 。
提示：令 f x cosx cosx cosx 0 ，则f f f 0 ，可解得：
解：原不等式变形为 cos2 x 1 acos x a2 0 对任意的 x R 恒成立。运用换元法，令t=cosx,则
g1 0
可得到
gt t2 1 at a2
0
对任意的
t 1,1 恒成立。只需要
g1 0
即可，又因为a为负数，
所以 a 2
6,(2003年)若
x
5 12
,
3
，则
2
所以
AA1 cos
A 2
2sin B
A cos 2
A 2
sin
B
sinA
B
sin
B
sin C
同理 BB1 sin A sin C,CC1 sin A sin B ，所以原式=2
11,(2005年 )方程 sin
x2 2 sin
3 cos
y2 2 cos
3 1 表示的曲线是（
y
tan
x
2 3
tan x cos x 6 6
的最大值是（
C
）
A 12 2
5
B
11 2 6
C 11 3
6
D 12 3
5
解：
y
tan x 2 tan x 3
cost sin t cost sin t cost
第71讲 三角问题选讲
《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第1页（共19页） 第十一讲 三角问题选讲三角既是一个数学分支，同时也是一种数学方法．三角函数是沟通形与数的联系的有力工具，在各数学分支中有着广泛的应用．三角方法是指主动地、有意识地实施三角代换，将一些代数、几何问题迁移到三角函数情境中来，利用三角体系完整的公式去简化、解决问题．同时，借助于三角公式，也可将三角问题转化为代数或其他问题进行求解．另外，三角原于测量与解三角形，三角函数理论在解决生产、科研和日常生活中的实际问题中也有着广泛的应用． A 类例题例 1 函数 |cos ||cos 2|(y x x x =+∈R ) 的最小值是 .（2005年江苏省数学竞赛）分析 题中函数含x 与2x 的三角函数，可考虑先用三角公式化为x 的三角函数，再寻求解题方法．解 令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得2y ≤≤； 当0t ≤< 时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得98y ≤≤ 又 y 可取到, 故填． 说明 三角函数的问题有时也可通过变量代换的方法将其转化为代数问题进行求解，实施转化的前提是熟练掌握和深刻理解三角的公式，如本题抓住二倍角的余弦可表示为单角余弦的二次式这一特征，从而作出相应的变量代换．例2求方程xy 的实数解．分析 这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第2页（共19页） 号，化有三角方程求解，由于根号里面为x -1与y -1，故联想公式sec 2α-1=tan 2α，可进行如下变换：x =sec 2α，y =sec 2β．解 由题意知x >1，y >1，可设x =sec 2α，y =sec 2β，其中0,2παβ<<，从而x -1= sec 2α-1=tan 2α，y -1= sec 2β-1=tan 2β，原方程可化为：sec 2α·tan β+ sec 2β·tan α=sec 2α·sec 2β， 即2222sin sin 1cos cos cos cos cos cos βααββααβ+=， 因此有sin β·cos β+sin α·cos α=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin2β=1，sin2α=1，4παβ==，因此x =y =2，经检验，x =2，y =2是原方程的解． 说明 施行适当的三角代换，将代数式或方程转化为三角式或方程求解，这是三角代换应用的一个重要方面，充分体现了三角与代数之间的内在联系．例3 已知正三角形ABC 内有一条动线段，长为a ，它在△ABC 三边AB 、BC 、AC 上的射影长分别为l 、m 、n ．求证：222232l m n a ++=． 分析 动线段在三角形各边上的射影可由动线段的长a 和动线段与各边所成角表示出来，因此问题的关键是如何表示出动线段与各边所成角．解 设动线段为PQ ，长为a ，设PQ 与BC 所成角为θ（0°≤θ≤90°），则PQ 与AC 所成角为60°-θ，PQ 与AB 所成角为60°+θ，于是有l =a cos(60°+θ)，m =a cos θ，n =a cos(60°-θ)，因此有l 2+m 2+n 2=a 2[cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ)]，而cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ) =1cos(1202)1cos21cos(1202)222θθθ+︒+++︒-++《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第3页（共19页） =313(cos120cos2cos2cos120cos2)222θθθ+︒++︒=，∴222232l m n a ++=． 说明 本题也可以利用向量知识求解，读者不妨一试．情景再现1．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是A ． [2, 2]-B ． [1, 1]-C ．[3] D ．[]（2005年浙江省数学竞赛）2．求所有的实数x ∈[0,2π],使(2sin 2)sin()14x x π-+=,并证明你的结论．3．△ABC 的三条边长分别为a 、b 、c ． 求证：222222||||||a b b c c a c a b---+≥．（2005年江西省数学竞赛） B 类例题例4 △ABC 的内角满足222cos sin 1,cos sin 1,cos sin 1a A b A a B b B a C b C +=+=+=试判断△ABC 的形状．分析 所给三式结构相同，可将222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 视为1ax by +=的三组解，而1ax by +=又可看作直线方程，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 又可看作曲线21x y +=上的三个点，因此本题可考虑用解析几何的方法去求《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第4页（共19页） 解．证明 由题意，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 为方程1ax by +=的三组解，因此以其为坐标的三点M 、N 、P 都在直线1ax by +=上，又222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 都满足方程21x y +=，因此三点M 、N 、P 又都在曲线21x y +=上，所以三点M 、N 、P 都为曲线21x y +=与直线1ax by +=的交点，而直线与抛物线至多有两个交点，因此M 、N 、P 至少有两个点重合，不妨设M 与N 重合，则由22cos cos ,sin sin A B A B ==得A =B ，故三角形ABC 是等腰三角形．例5已知三个锐角,,αβγ满足222c o s c o s c o s 2αβγ++=．求t a n t a n t a n αβγ的最大值．分析 注意到条件222cos cos cos 2αβγ++=，联想长方体的性质，构造长方体来求解．解 构造长方体，使,,αβγ分别为对角线与三个面所成角，则222cos cos cos 2αβγ++=，设长方体长、宽、高、对角线分别为a 、b 、c 、l ，则cos α=cos β=cos γ=tan α=tan β=，tan γ=，从而tan tan tan αβγ=≤，《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第5页（共19页） 当且仅当a b c ==时取等号，因此tan tan tan αβγ． 说明 构造几何模型，使三角关系形象化、具体化，构造法是用几何方法解决三角问题的常用方法．例6 给定正整数n 和正数M ，对于满足条件a 12+a n +12≤M 的所有等差数列{a n }，求S =a n +1+ a n +2+…+ a 2n +1的最大值．（1999年全国联赛一试）分析 本题有多种解法，由条件a 12+a n +12≤M ，也可考虑作三角代换，利用三角函数的有界性求解．解设11cos ,sin (01,02)n a a r θθθπ+<≤≤<，则12111111111()(2)(3)222n n n n n n n n S a a a a a a a ++++++++=+=+-=-(3sin cos )θθ=-因此最大值例7 设△ABC 内有一点P ，满足∠P AB =∠PBC =∠PCA =θ．求证：cot θ=cot A +cot B +cot C. 分析 设三边为a 、b 、c ，P A 、PB 、PC分别为x 、y 、z ，可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，进而证明本题．解 对三个小三有形分别使用余弦定理得：y 2=x 2+c 2-2xc cos θ，z 2=y 2+a 2-2ya cos θ，x 2=z 2+b 2-2zb cos θ，三式相加得：2(ay +bz +cx )cos θ=a 2+b 2+c 2，又由正弦定理知，S △ABC = S △ABP +S △PBC +S △PAC =12(xc +ay +bz )sin θ，两式相除得：222cot 4ABCa b c S θ∆++=，又在△ABC 中，由余弦定理有a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，b 2=c 2+a 2-2ca cos B ，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，相加得，《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第6页（共19页） a 2+b 2+c 2=2ab cos C +2bc cos A +2ac cos B ， 从而2cos 2cos 2cos cot 444ABC ABC ABCab C bc A ca B S S S θ∆∆∆=++， 又4S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B ，分别代入上式右边的三个分母即得：cot θ=cot A +cot B +cot C.说明 合理利用正弦定理、余弦定理可解决平面几何中的一些边角关系式的证明．情景再现4．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去了一个半径为r cm （r ∈（0，20]）的扇形AEF （四分之一个圆），用剩下部分截成一个矩形PMCN ，怎样截可使此矩形面积最大？最大面积为多少？5．求满足下式的锐角x4=6．P 是△ABC 的内心，R 、r 分别为△ABC 外接圆和内切圆的半径．求证：6r ≤PA +PB +PC ≤3R .C 类例题例8 给定曲线族22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，求该曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值．（1995年全国联赛二试）C MF D B A《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第7页（共19页） 分析 显然，该曲线族恒过原点，而直线2y x =也过原点，所以曲线在直线2y x =上所截得的弦长仅取决于曲线族与2y x =的另一交点的坐标．解法一 把2y x =代入曲线族方程得：2(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x x θθθθ-+-++=，又2sin cos 330θθ-+≥>，故x ≠0时，就有8sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+，令22221sin ,cos 11u u u u θθ-==++，则281221u x u u +=++，得2xu 2+2(x -4)u +(x -1)=0，由u ∈R 知，当x ≠0时，△=[2(x -4)]2-8x (x -1) =4(-x 2-6x +16)≥0，从而-8≤x ≤2且x ≠0，因此|x |max =8，由2y x =得，0|x解法二 曲线族与直线2y x =相交于（0，0）及另一点00(,)x y ，且0x 满足000(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，故存在ϕ，使得00(28)sin (1)cos )x x θθθϕ--+=-0|13|x -，解得082x -≤≤0|x ，=．说明 方法一主要是应用万能公式，将三角问题转化成代数问题求解，方法二利用sin cos a x b x +的有界性求解，方法更为巧妙．例9 求证：sin n 2x +(sin n x -cos n x )2≤1，其中n ∈N*.(2000年俄罗斯数学竞赛题)分析：即证2n sin n x cos n x +sin 2n x +cos 2n x -2 sin n x cos n x ≤1，即证《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第8页（共19页） sin 2n x +cos 2n x +(2n -2) sin n x cos n x ≤1，显然可考虑将右边的1代换成(sin 2x +cos 2x )n ，并展开进行证明．证 1=(sin 2x +cos 2x )n =021*******sin sin cos sin cos n n n n n n C x C x x C x x --++ 326612222sin cos sin cos cos n n n n n n n n C x x C x x C x ---++++ ，同理1=( cos 2x +sin 2x )n =021*******cos cos sin cos sin n n n n n n C x C x x C x x --++ 326612222cos sin cos sin sin n n n n n n n n C x x C x x C x ---++++ ，两式对应项相加得：2=022(sin cos )n n n C x x +1222222(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++2244244(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++22(cos sin )n n n n C x x +++ ，保留第一个括号与最后一个括号内的式子不动，由基本不等式得 22sin cos cos sin 2sin cos n k k n k k n n x x x x x x --+≥，其中k 为偶数． 因此其它各个括号内的式子均不小于2sin cos n n x x ，从而有2≥222(sin cos )n n x x ++2sin cos n n x x 121()n n n n C C C -+++ ，即1≥22(sin cos )n n x x ++sin cos (22)n n n x x ⋅-，即有2n sin n x cos n x +sin 2n x +cos 2n x -2 sin n x cos n x ≤1，即sin n 2x +(sin n x -cos n x )2≤1．情景再现7．三棱锥V -ABC 的三条棱VA 、VB 、VC 两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为,,αβγ．求证：222111cos cos cos ()cos cos cos αβγαβγ++≥《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第9页（共19页） 8．设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a ≤b ≤c ，R 和r 分别为△ABC 的外接圆半径和内切圆半径．令f =a +b -2R -2r ，试用C 的大小来判定f 的符号． 习题1．若,,a b c 均是整数（其中090c <<），且使得sin a b c +︒，则a b c+的值是 Ａ．1 Ｂ．12 Ｃ．23 Ｄ．132．设n ∈N ，n sin1>5cos1+1，则n 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 3．求证：|sin ||sin |nx n x ≤，*n N ∈4．设凸四边形ABCD 之对角线交于点P ，∠APB =θ，求证：2222c o s 2A D B C A B C D A C B Dθ+--=⋅（四边形的余弦定理） 5．在直角三角形ABC 中，c 为斜边长，,S r 分别表示该三角形的面积和内切圆的半径，求cr S的取值范围． 6．若x 、y 、z 中的每个数恰好等于其余两数和的余弦．求证：x =y =z ．7．已知集合T 222{(,)|,,(7)}x y x y R x y r =∈+-≤且，集合{(,)|,,,cos2cos 0}S x y x y R R x y θθθ=∈∈++≥且对任何都有，试求最大正数r ，使得集合T 为集合S 的子集．8．已知ABC ∆中，,,x y z 为任意非零实数，求证：2222cos 2cos 2cos x y z xy C yz A zx B ++≥++，其中当且仅当《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第10页（共19页） ::sin :sin :sin x y z A B C =时等号成立．9．求函数y 的值域．10．已知0a b >>，用三角方法证明：22ab a b a b +<<+11．点P 在△ABC 内．求证：a cos A +b cos B +c cos C ≤PA ·sin A +PB ·sin B +PC ·sin C ．12．设0,,2παβγ≤≤，222cos cos cos 1αβγ++=．求证：2242(1cos )sin αα≤+224224(1cos )sin (1cos )sin ββγγ++++222(1cos )(1cos )(1cos )αβγ≤+++本节“情景再现”解答：1．解：设 cos cos x y t +=， ∴ 222cos 2cos cos cos x x y y t ++=． 又由 sin sin 1x y +=，故 22sin 2sin sin sin 1x x y y ++=．因此有 22(cos cos sin sin )1x y x y t +=+，即 22cos()1x y t -=+ 由于1cos()1x y -≤-≤，所以有 23t ≤，即t ≤ ∴选D ．2．解：令sin()4x t π+=，即s i n c o s 2x x +=，于是2sin 221x t =-从而有2(32)1t t -=，即32310t t -+=，注意1t =是上述方程的解，故《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第11页（共19页）2(1)(221)0t t t -+-=，由于02x π≤≤，所以12t ≤≤，于是21221221122t t +-≥⨯+⨯->．从而，方程有唯一解1t = 故原方程有唯一解4x π=．3． 证明：即证：222222222|sin sin ||sin sin ||sin sin |sin sin sin A B B C C A C A B---+≥， 注意到：22sin sin sin()sin()sin sin()A B A B A B C A B -=+-=-， 故只要证|sin()||sin()||sin()|A B B C C A -+-≥-而|sin()||sin[()()]|C A A B B C -=-+-|sin()cos()cos()sin()||sin()||sin()|A B B C A B B C A B B C =--+--≤-+-当且仅当A =B =C 时等号成立．4．解 以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，设∠P AE =θ，则C (20，20)，P (r cos θ，r sin θ)，θ∈[0，2π]．令矩形PMCN 面积为S ，则 S =（20-r cos θ）(20-r sin θ)=400-20r (cos θ+sin θ)+r 2sin θcos θ，令cos θ+sin θ=a ，则sin θcos θ=212a -，a ∈，则S =2220[()1]2002r a r--+，（1）当20r ∈即40,20]r ∈时，若S取得最大值，则4a πθ==，CMFDBA《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第12页（共19页）222max20)1]20040022r r S r =-+=-+． （2）当20r =，即440r =时，若S 取得最大值，则222max1]2002002r S =-+=+． （3）当20)r ∈+∞，即40)r ∈时，若S 取得最大值，则22max 20[(1)1]200400202r S r r=--+=-．5．解：将原式变为余弦定理的形式：4=据此，可作共边的两个三角形△ACD 、△BCD ，（如图），使ACCD，BC =2，∠ACD =x ，∠BCD =2x π-，依题意有AD +BD =4，连AB ，在Rt △ABC 中，AB4，故点D 在AB 上，有面积等式S △ACD +S △BCD =S △ABC，即2sin()2x x π-=，即1cos 12x x +=，即sin()16x π+=，又 x 为锐角，故3x π=． 6．证明：∠APB =()222A B C ππ+-+=，由正弦定理得：2sin 4sin sin 2sin cos cos 222AP AB AB R C C R B C C APB ====∠，于是4sin sin 22B CAP R =，DC B《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第13页（共19页）同理可得4sin sin 22A C BP R =，4sin sin 22A B CP R =， 故PA +PB +PC =4R (sin sin 22B C +sin sin 22A C +sin sin 22A B ) ≤4R (sinsin sin 222A B C ++)2≤4R 2=3R ． 再作PH ⊥AB 于H ，则PH =r ，PA =sin2r A，同理：PB =sin2r B ，PC =sin2r C从而PA +PB +PC =sin2r A +sin 2r B +sin 2r C ≥r36r =． 综上所述，6r ≤PA +PB +PC ≤3R .7．证明：可先证222cos cos cos 1αβγ++=，作V O ⊥平面ABC 于O ，OD ⊥AB 于D ，则∠VDO =α．令VA =a ，VB =b ，VC =c ，则2222222222211cos 1tan 1()a b a b b c c a VDαα===++++，同理可得222222222cos b c a b b c c a β=++，222222222cos c a a b b c c aγ=++，所以222cos cos cos 1αβγ++=222≥8．解：由三角形相关知识有：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，4sin sin sin 222A B C r R =，因此f =2R (sin sin 14sin sin sin )222A B CA B +-- 2[2sincos 12(cos cos )sin ]22222B A B A B A B A CR +-+-=-+-《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第14页（共19页）24cos (cos sin )24sin 2222B A C C CR R R -=--+ 224cos (cos sin )2(cos sin )22222B A C C C CR R -=--- 2(cossin )(2cos cos sin )22222C C B A C C R -=--- ∵A B C ≤≤，∴0B A B C ≤-<≤，又0B A B A ≤-<+，因此coscos ,cos cos sin 22222B AC B A B A C--+>>=，故2co s c o s s i n 222B AC C->+，则()0cos sin 222C C f x C π>⇔>⇔<；()0cos sin 222C C f x C π=⇔=⇔=， ()0cossin 222C C f x C π<⇔<⇔>． “习题”解答：1．解：选B ．98sin 5098sin108sin108sin 50-︒=+︒-︒-︒ 98sin108[sin(3020)sin(3020)]=+︒-︒-︒+︒+︒ 298sin108cos2098sin108(12sin 10)=+︒-︒=+︒--︒ 2216sin 108sin101(4sin101)=︒+︒+=︒+ 所以1,4,10a b c ===，12a b c +=． 2．解：由sin3π>sin1,cos1>cos 3π得，n ·sin 3π>n ·sin1>5cos1+1>1+5cos 3π，因此n4=>，因此n 的最小值是5，选B ． 3．解：这是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法来证明．当1n k=+时，证明如下：|sin(1)||sin cos cos sin||sin cos||cos sin| k x kx x kx x kx x kx x+=+≤+|sin||sin|(1)|sin|kx x k x≤+≤+4．证明：不妨设PA、PB、PC、PD的长分别为a、b、c、d，则有AD2=a2+d2+2ad cosθ，BC2=b2+c2+2bc cosθ，AB2=a2+b2-2ab cosθ，CD2=c2+d2-2cd cosθ，前两式之和减去后两式之和得：AD2+BC2-AB2-CD2=2(ad+bc+ab+cd)cosθ，又凸四边形ABCD中，AC·BD=ad+bc+ab+cd，因此AD2+BC2-AB2-CD2=2 AC·BD cosθ，∴2222cos2AD BC AB CDAC BDθ+--=⋅．5．解：22()(sin cos1)sin cos1sin cos sin cos cr c a b c c A A A AS ab c A A A A+-+-+-===22sin cos1)14A A Aπ==++++，由(0,)2Aπ∈知crS的取值范围是1),1)．6．证明：依题意有x=cos(y+z)，y=cos(z+x)，z=cos(x+y)，则x-y=cos(y+z)-cos(z+x)=22sin sin22x y z x y++-①∵2|||sin|1,|sin|()222x y z x y x yx y++--≤<≠∴当x y≠时，由①式有||2|sin|||2x yx y x y--≤<-，产生矛盾．因此x=y，同理可证y=z，于是x=y=z．7．解法一：S集即为由直线cos cos2y xθθ=--确定的上半平面的交集（θ不同，相对应的上半平面一般也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含这条直线），而半径为r的《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》第15页（共19页）《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第16页（共19页）圆的圆心（0，7）到直线cos cos2y x θθ=--意知，r 应满足rr2==≥cos 1θ=±时，r的最大值为解法二：（二次函数方法）把cos2θ+x cos θ+y ≥0改写为2cos 2θ+x cos θ+y -1≥0，令t =cos θ问题等价转换为2t 2+xt +y -1≥0(-1≤t ≤1)恒成立，求x ,y 的关系．可按对称轴位置分两种情况讨论：①若对称轴t =4x -<-1或t =4x->1（即x >4或x <-4）时，只须t =cos θ=±1时，恒有2t 2+xt +y -1≥0即可，从而可得：10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或； ②若对称轴t =4x-∈[-1，1]，即-4≤x ≤4时，只须判别式△≤0即x 2≤8(y -1),(-4≤x ≤4)．综上可得：S 对应的平面点集为10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或或x 2≤8(y -1),(-4≤x ≤4)，设圆x 2+(y -7)2=r 2与抛物线x 2=8(y -1)相切，消去x 得8(y -1)+(y -7)2-r 2=0，即y 2-6y +41-r 2=0，令△=0得r=x =±4, y =3，而点（0，7）到直线y +x +1=0的距离为r最大值为《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第17页（共19页）8．证：作差，222(2cos 2cos 2cos )x y z xy C yz A zx B ++-++ =222(2cos 2cos )2cos()x y z xy C zx B yz B C ++-+++=222(2cos 2cos )2(cos cos sin sin )x y z xy C zx B yz B C B C ++-++-（配方） =22(cos sin )(sin sin )0x y C z B y C z B --+-≥．等号成立的充要条件是cos cos 0sin sin 0x y C z B y C z B --=⎧⎨-=⎩，易得:sin :sin y z B C =，则y =k sin B ，z =k sin C ，代入得x =k sin(B +C )=k sin A ，∴::sin :sin :sin x y z A B C =．9．解：函数的定义域为[4，5]，可设24sin (0)2x πθθ=+≤≤，则有sin 2sin()3y πθθθ==+，又02πθ≤≤， 因此值域为[1，2]．10．证明 引进平均值三角变换，222cos ,2sin ,(045,0)a b λθλθθλ==<<︒>，则2a b λ+=sin 2λθ=，2222sin 2sin 2ab a b λθλθλ==+，=21sin 2sin 2θθ>>>得22ab a ba b +<<+《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第18页（共19页）11．证明：过P 作三边垂线，分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，设AP =x ，BP =y ，CP =z ，∠PAE =α，则cos α=AE x ，cos(A -α)= AFx， 则cos cos cos cos cos()cos AE AFB C B A C x xαα+=+-， 下证cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤，即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤．cos cos cos()cos cos cos()(cos cos sin sin )cos B A C A C A A Cααααα+-=-+++=sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin A C A C A C A C αααα-++ =sin (sin cos cos sin )sin sin()sin A C C A C A ααα+=+≤． ∴cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤， 即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤成立． 同理，cos cos sin BE C BD A y B ⋅+⋅≤，cos cos sin CD A CE B z C ⋅+⋅≤，三式相加即得所证不等式成立．12．证明 设222cos ,cos ,cos a b c αβγ===，则0,,1a b c ≤≤，且1a b c ++=，从而原不等式等价于44422202()1a b c a b c ab bc ca abc ≤++-+++≤+++ ①令 ,ab bc ca u abc v ++==，则22212a b c u ++=-，44422441a b c u u v ++=-++，于是①等价于2024u v u v ≤+≤+2024u v ≤+显然成立，等号当,,αβγ中两个取2π，一个取0时成立． 224u v u v +≤+等价于223u u v -≥，由2222()33a b c a b ca b c ++++++≥=， ∴22222(12)()()u u u u ab bc ca a b c -=-=++++《高考、联赛、冬令营三级跳》高二下《三角问题选讲》 第19页（共19页）()333a b cab bc ca abc v ++≥++≥= 故原不等式成立．。
自主招生竞赛三角函数【讲师版】
三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。
有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。
本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
（注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333απαπααααααπαπαααααπαπαααα-+=--=-+=-=-+=-=教学提示：在这里可以向学生指出，对αn sin 和αn cos 而言，它们分别是αsin 和αcos 的n 次多项式，这一点可以通过数学归纳法结合两角和公式来证明。
三个公式的后半部分有时可以处理一些三角函数的连乘问题。
三角形的一些简单的恒等式1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2sin2sin 2sin 41cos cos cos 2cos2cos 2cos 4sin sin sin 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot1cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A CB AC B A CB AC B A AC C B B A CB AC B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A教学提示：在这里可以向学生指出，如第一，二，三，五，八个恒等式常可以用来做三角代换，即在一些给定条件如xyz z y x =++的代数问题中可以作代换A x tan =，B y tan =，C z tan =进而使用三角函数知识以及条件π=++C B A 解决问题。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。
高中数学竞赛第六章 三角函数【讲义】
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，正割函数se cα=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
高中数学竞赛向量
高中数学竞赛向量高中数学竞赛专题讲座——向量一、三角函数部分1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且C，A sinB都是方程logx=log(4x-4)的根，则△ABC的形状是什么？解：由logb x=logb(4x-4)得：x^2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，因为sinA(1-4sin^2A)=0，又sinA≠0，所以sin^2A=1/4，而sinA>0，∴sinA=1/2.因此A=30°,B=90°,C=60°。
故选B。
2.已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是什么？3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20，则此三角形的形状是什么？4.若a=sinθ+tanθ，b=cosθ+cotθ，则以下诸式中错误的是什么？5.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，∠DCE=45°，则以AD、DE、EB为边长构成的三角形的最大角是什么？6.若sinθ-cosθ≥cosθ-sinθ,0≤θ<2π，则角θ的取值范围是什么？7.在△ABC中，tanA=1/2，cosB=1/√5.若△ABC的最长边为1，则最短边的长为多少？9.若sinx+siny=1，则cosx+cosy的取值范围是什么？解：设cosx+cosy=t，那么XXX。
又由sinx+siny=1，所以XXX。
将cos2x+cos2y=1-sin2x-2sinxsiny-sin2y代入得：2cosxcosy=t2+1，即2cos(x-y)=t2+1.由于-1≤cos(x-y)≤1，所以t2≤3，即-3≤t≤3.因此答案是D。
竞赛中的三角函数例题选讲附答案
竞赛中的三角函数例题选讲【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性对任意角，，2．奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx 的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx 的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称 3．单调性 y=sinx 在上单调递增，在上单调递减：y=cosx 在上单调递增，在上单调递减；y=tanx 在上都是单调递增的；y=cotx 在上都是单调递减的。
4．周期性y=sinx 与y=cosx 的最小正周期是2π，y=tanx 与y=cosxr 的最小正周期是π。
【例题分析】例1 已知圆222k y x =+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围。
解 因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222k y x =+也关于原点对称，所以，图222k y x =+只需覆盖的一个最值点即可。
令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即综上可知，所求的K 为满足的一切实数。
例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。
解原方程组可化为因为所以令，则在上是单调递增的，于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（并予以证明）函数解首先，对任意，均有这表明，是函数f(x)的一个周期其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有在上式中，令x=0，则有。
两边平方，可知即sin2T=0，这表明，矛盾。
综上可知，函数的最小正周期为。
例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d证，构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d对上述两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知对任意实数x，均有求证：证首先，f(x)可以写成①其中是常数，且，在①式中，分别令和得②③②+③，得又在①式中分别令，得④⑤由④+⑤，得【能力训练】（A组）1．求函数的单调递增区间2．已知是偶函数，，求3．设，，试比较的大小。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数10道大题(带答案解析)1. 题目：已知sinA = 3/5，且A为锐角，求cosA的值。
答案解析：由sinA = 3/5可知，对边与斜边的比值为3/5。
根据勾股定理，我们可以求出邻边的长度，进而求出cosA的值。
设斜边长度为5，对边长度为3，则邻边长度为4。
因此，cosA = 4/5。
2. 题目：已知tanB = 2/3，且B为钝角，求sinB的值。
答案解析：由tanB = 2/3可知，对边与邻边的比值为2/3。
由于B为钝角，我们可以利用tanB = sinB/cosB的关系，结合勾股定理，求出sinB的值。
设邻边长度为3，对边长度为2（因为B为钝角，对边为负值），则斜边长度为根号13。
因此，sinB = 2/根号13。
3. 题目：已知cosC = 1/2，且C为锐角，求tanC的值。
答案解析：由cosC = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
根据勾股定理，我们可以求出对边的长度，进而求出tanC的值。
设斜边长度为2，邻边长度为1，则对边长度为根号3。
因此，tanC = 根号3/1。
4. 题目：已知sinD = 1/2，且D为钝角，求cosD的值。
答案解析：由sinD = 1/2可知，对边与斜边的比值为1/2。
由于D为钝角，我们可以利用sinD = cos(90° D)的关系，结合勾股定理，求出cosD的值。
设斜边长度为2，对边长度为1（因为D为钝角，对边为负值），则邻边长度为根号3。
因此，cosD = 根号3/2。
5. 题目：已知tanE = 1，且E为锐角，求sinE的值。
答案解析：由tanE = 1可知，对边与邻边的比值为1。
根据勾股定理，我们可以求出斜边的长度，进而求出sinE的值。
设邻边长度为1，对边长度为1，则斜边长度为根号2。
因此，sinE = 1/根号2。
6. 题目：已知cosF = 1/2，且F为钝角，求tanF的值。
答案解析：由cosF = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
竞赛中的三角函数例题选讲
學科：奧數教學內容：競賽中的三角函數例題選講【內容綜述】 一．三角函數的性質 1．正，余弦函數的有界性 對任意角，，2．奇偶性與圖像的對稱性正弦函數，正切函數和餘切函數都是奇函數，它們的圖像關於原點對稱，並且y=sinx 的圖像還關於直線對稱：余弦函數是偶函數，從而y=cosx 的圖像關於y軸對稱，並且其圖像還關於直線對稱 3．單調性 y=sinx 在上單調遞增，在上單調遞減：y=cosx 在上單調遞增，在上單調遞減；y=tanx 在上都是單調遞增的；y=cotx在上都是單調遞減的。
4．週期性y=sinx 與y=cosx 的最小正週期是2π，y=tanx 與y=cosxr 的最小正週期是π。
【例題分析】例1 已知圓222k y x =+至少覆蓋函數的一個最大值點與一個最小值點，求實數k 的取值範圍。
解 因為是一個奇函數，其圖像關於原點對稱，而圓222k y x =+也關於原點對稱，所以，圖222k y x =+只需覆蓋的一個最值點即可。
令，可解得的圖像上距原點最近的一個最大值點，依題意，此點到原點的距離不超過|k|，即綜上可知，所求的K 為滿足的一切實數。
例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。
解原方程組可化為因為所以令，則在上是單調遞增的，於是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（並予以證明）函數解首先，對任意，均有這表明，是函數f(x)的一個週期其次，設，T是f(x)的一個週期，則對任意，均有在上式中，令x=0，則有。
兩邊平方，可知即sin2T=0，這表明，矛盾。
綜上可知，函數的最小正週期為。
例3 求證：在區間記憶體在唯一的兩個數，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d證，構造函數f(x)=cos(sinx)-xf(x)在區間內是單調遞減的，由於f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d對上述兩邊取正弦，並令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c顯然，由於y=sinx在是單調遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知對任意實數x，均有求證：證首先，f(x)可以寫成①其中是常數，且，在①式中，分別令和得②③②+③，得又在①式中分別令，得④⑤由④+⑤，得【能力訓練】（A組）1．求函數的單調遞增區間2．已知是偶函數，，求3．設，，試比較的大小。
竞赛辅导三角函数
熟练掌握三角函数的定义、性质、图像和变 换，以及三角恒等式与公式。
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正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx。
三角函数图像变换
平移变换
伸缩变换
反射变换
通过加减常数可以改变 三角函数的相位和垂直
位置。
通过乘以常数可以改变 三角函数的周期和振幅。
通过取反或绝对值等操 作可以改变三角函数的
形状和对称性。
复合变换
通过组合以上变换可以 得到更复杂的三角函数
图像。
03
余弦定理的应用
余弦定理在解三角形中主要用于求解三角形的边或角，特别 是在已知三边或已知两边及夹角的情况下。此外，余弦定理 还可用于判断三角形的形状（如锐角、直角或钝角三角形） 。
面积公式及其应用
面积公式的表述
在任意三角形ABC中，面积$S = frac{1}{2}bcsin A = frac{1}{2}acsin B = frac{1}{2}absin C$。
三角函数求值与化简
同角三角函数关系式
平方关系
01
$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$
商数关系
02
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
互补角关系
03
$sin(90^circ - alpha) = cosalpha$，$cos(90^circ - alpha)
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
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竞赛中的三角函数例题选讲
【内容综述】 一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性
对任意角，
，
2．奇偶性与图象的对称性
正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx 的图象还关于直线
对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx 的图象关于y
轴对称，并且其图象还关于直线
对称 3．单调性 y=sinx 在上单调递增，在
上单调递减：y=cosx 在上单调递增，在
上单调递减；y=tanx 在
上都是单调递增的；y=cotx 在
上都是单调递减的。
4．周期性
y=sinx 与y=cosx 的最小正周期是2π，y=tanx 与y=cosxr 的最小正周期是π。
【例题分析】
例1 已知圆222k y x =+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小
值点，求实数k 的取值范围。
解 因为
是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222k y x =+也关
于原点对称，所以，图222k y x =+只需覆盖的一个最值点即可。
令
，可解得
的图象上距原点最近的一个最大值点
，依题意，
此点到原点的距离不超过|k|，即
综上可知，所求的K 为满足的一切实数。
例2 已知
，且
求 cos(x+2y)的值。
解原方程组可化为
因为所以令，则在
上是单调递增的，于是由
得 f(x)=f(-2y)
得 x=-2y
即 x+2y=0
例3 求出（并予以证明）函数
解首先，对任意，均有
这表明，是函数f(x)的一个周期
其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有
在上式中，令x=0，则有。
两边平方，可知
即sin2T=0，这表明，矛盾。
综上可知，函数的最小正周期为。
例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得
sin(cosc)=c, cos(sind)=d
证，构造函数
f(x)=cos(sinx)-x
f(x)在区间内是单调递减的，由于
f(0)=cos(sin0)-0=1>0.
故存在唯一的，使f(d)=0，即
cos(sind)=d
对上述两边取正弦，并令c=sind，有
sin(cos(sind))=sind
sin(cosc)=c
显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且
例4 已知对任意实数x，均有
求证：
证首先，f(x)可以写成
①
其中是常数，且，
在①式中，分别令和得
②
③
②+③，得
又在①式中分别令，得
④
⑤
由④+⑤，得
【能力训练】
（A组）
1．求函数的单调递增区间
2．已知是偶函数，，求
3．设，，试比较
的大小。
4．证明：对所以实数x,y，均有
5．已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。
（B组）
6．已知，且满足：
（1）；（2）；
（3）。
求f(x)的解析式
7．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式
8．已知当时，不等式
恒成立，求的取值范围。
9．设，，求乘积的最大值和最小值。
参考答案
【能力训练】
A组
1．
2．由偶函数的定义，有
上式对任意成立，故
所以
3．首先，又
，
即
4．只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,n,k,使得
即
矛盾
5．由题设，得
即
由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1<t<4 可知
B组
6．由可得a+2b+4c=1524①
（1）当且b>0时，有
此方程组与①联立后无解
（2）当且b<0 有
此时a=4,b=-40, c=400
（3）当a>0且有
此方程组与①联立后无解。
（4）当a<0且，有
此方程组与①联立后无解，
得上可知，。
7．原不等式等价于
若，则
若
故原不等式成立
8．令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化为
由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即
9．由条件知，于是。