2019届湖南省长郡中学高三上学期第三次调研考试数学(文)试卷及解析
湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)Word版含答案.docx
长郡中学2019届高三月考试卷(三)数学(文科)(说明：题号上标注“★”的为一轮复习作业中原题)得分：本试卷共8页，时量120分钟，满分150分。
第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U二R,集合A = \x2x B = {x2x<0}则(C c/A))AB =fA.(-1,0)B. (一8, -1)C. (-1,0]D. (一8, 0]★2.若复数z = (3 — 4z)(l + 2i)(i是虚数单位)，贝愎数z的虚部为A.2B. 一2C. 2iD. -2i7T 7T \3.已知命题p:x =—是“sin(x + —)=—”的充分不必要条件；命题q:\/xeR,sinx< 1的3 2 2否定是“ Vxe/?,sinx>1 则下列命题为真的是A. p A qB. p /\q C・p /\ q D. p /\q4.如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为A. 16. 32B. 15. 32 0. 8. 68 D. 7. 68f jv? + 41 兀2 04x-x~ ,x<0,,则a的取值范围是A. (—8, -1) U (2,+oo)B. (-1, 2)C. (-2, 1]D. (—8, -2) U(l,+8)6.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 117. 已知函数/(x) = V2sin(x-^),把函数/(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,TT再向右平移丝个单位，得到函数g(x)的图彖，则函数g(x)的一条对称轴方程为 71 71 71 1171h. x = — B. x = — C. x = — D. x = ---------------------------6 4 3 68. 已知正三棱锥S —ABC44,侧棱SA, SB, SC 两两垂直，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为B. C.D •晅3336★ 9.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP(AB+AC) A.有最大值8 B.是定值2 C. 有最小值2 D.是定值610.在△ ABC 屮，角A, B, C 所对的边分別为 a, b, c,且 cos 2B + -sinB = l , 0<B<-,2 2 若BC+AB 二3,则 母的最小值为acA. —(2-V2)B. —(2 + V2)C. 16(2-72)D. 16(2 +血)3 3I n 4-1 n11 •设,为数列｛色｝的前〃项和，已知色=二丄匕=上+ 2〃，则= 2久+1 仏e x -[+-,x<012. 巳知实数a>l,函数/(x) = I 乙,若关于Xe v_, + —X 2 -(67 + l)J ；4- —,x>02 2的方程/r-(x)l =+巴有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是 2A. (1,2 H —)B. (2,2 H —)C. (1,1 H —)D. (2,2 H —)eeee选择题答题r题号12315678910 11 12答案A. 2-492】00B. 2-D. 2-4951二、填空题:木大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a=(l, 2), b二(2, - 2), c= (1, 2),若c//(2a+b),则2 =______________________ .14.对于，不等式的解集为15 •已知在三棱锥P-ABC中,PA丄平面ABC,且AB二2, AC二2語，o [2ZABC=6^棱锥P-ABC的体积为比，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16.己知实数a, b满足ln0 + l) + a —3b = O,实数c, d满足2d —c —亦=0, 则(a一c)2 + @-d)2的最小值为三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
析系列数学(文)试题金卷10套：湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期开学摸底测试文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A考点：复数概念及运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常因为疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2.已知函数(5),2(),22(),2x f x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1e【答案】B 【解析】试题分析：2x <-时，(2016)(2016)f f -=，2x >时，函数周期为5，()(2016)1f f e ==. 考点：分段函数求值.3.抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ） A ．118 B ．19 C ．16D ．536【答案】B 【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为()()()()1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19. 考点：古典概型.4.设,,a b c 为三角形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 【答案】B考点：1.解三角形；2.对数运算.5.如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MF F P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（ ）A ．10B ．5C ．6D ．3【答案】A 【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有()1255||||||||41022PN QN DF DF +=⋅+=⋅=. 考点：直线与圆锥曲线位置关系.6.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A ．13 B ．13- C ．79D ．79-【答案】A 【解析】 试题分析：212cos ()1cos cos sin 6232663παππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 考点：三角恒等变换.7.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A ．8B ．．4D ．【答案】B考点：三视图.8.定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3【答案】D 【解析】试题分析：()2111f x a a x=+-为增函数，故()f x 与y x =有两个交点，22()1a a x x a x +-=，化简得()22210a x a a x -++=，2111,m n mn a a+=+=，()()2223241n m n m mn a a -=+-=-++，对称轴113a =时，取得最大值，故3a =.考点：函数导数与不等式. 9.已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）【答案】A考点：函数图象与性质.10.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ） A ．1 B ．12- C ．54- D ．138-【答案】C 【解析】试题分析：4,1x y ==，循环，11,2x y ==-，循环，15,24x y =-=-，退出循环，故选C.考点：算法与程序框图.11.已知非零向量,a b 满足||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存有极值，则a 和b 夹角的取值范围是（ ） A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ【答案】B考点：1.向量运算；2.函数导数. 【思路点晴】函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存有极值，转化过来，意思就是函数()f x 的导数在R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到()'2f x x a x a b =++⋅，利用判别式大于零，即有22140,cos 24aa ab a bθ-⋅≥≤=，两个向量所成的角的取值范围是[]0,π，在这个区间上，满足1cos 2θ≤的角的取值范围就是(,]3ππ.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就能够解决.12.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1[1,]3- C ．11[,]33- D ．1[1,]3-- 【答案】C 【解析】试题分析：函数在(,)-∞+∞单调递增()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，1cos 1x -≤≤，所以435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩. 考点：导数与单调区间.【思路点晴】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存有与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞ 【解析】 试题分析：依题意1,12m n m n ==+=，()y m n x x =+=，()'1,10,1x x f x e a e a a =-=-=->>.考点：1.向量运算；2.切线方程. 14.已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .【答案】4π考点：三角函数图象与性质.15.设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 . 【答案】4-考点：线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形. M N -的最小值即min max M N -，我们只需求出M 的最小值，减去N 的最大值即可.在图象中画出基准的4y x =-，向下平移到点()1,2-取得最小值为2-，而对于N ，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是[]1,3-，故N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.16.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为2p y =-，代入双曲线得x =，焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，故=p =考点：圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k ==解得p =.此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性. 【答案】（1）1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，单调递增数列.试题解析：（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列， ∴1*531()n n a n N -=⨯-∈.考点：数列.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当a =S ABC -的体积； （2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .【答案】（1；（2）83a =.（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =， ∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥， 要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .考点：立体几何证明垂直与求体积. 19.（本小题满分12分）国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间很多于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别相关？”参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（1）1.5；（2）①4000；②列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别相关.【解析】（2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人；②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别相关” 考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（20y -=0y +=，圆E 的方程为22331(2)100x y -+=.试题解析：（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a ∙=，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意，直线l 的斜率k 存有，设l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21.（本小题满分12分） 已知函数ln ()kx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，即'1(1)0kf e-==，解得1k =；（2）先求得21ln 1()()(1ln )xx x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，设()1ln h x x x x =--，利用导数求得()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+.设()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数求得()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，所以101x x e +<<.所以21()()1xx g x h x e e-+=<+.考点：函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，由此建立方程可求出1k =.本题第二问，利用综合法来分析，要证21()()1x x g x h x e e-+=<+，即是证2()1h x e -<+，且101x x e+<<.我们构造两个函数，一个是()1ln h x x x x =--，一个是()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数作为工具来证明即可.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10BC DB ==. （1）求AB 的长； （2）求CFDE.【答案】（1）AB =（2）1.（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（*） 由ABC ∆∽DBA ∆，得AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，由（*）得1CFDE=. 考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 【答案】（1）(2,0),(0,2)；（2）6.解得：1120x y =⎧⎨=⎩，2202x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A中的最大数，且h =，求h 的范围. 【答案】（1）1ab a b +>+；（2）(2,)h ∈+∞.（2）∵h≥，h≥h≥∴2234()4()428a b a b abhab ab ab++⨯≥>≥=∴(2,)h∈+∞.考点：不等式选讲.。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(文科)试题+Word版含解析
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，全集为U＝R，则为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设复数的共轭复数为，且满足，复数对应点在直线上，则复数（i为虚数单位）所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意可得，从而得到，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi（a，b∈R）则 a-bi∴,,∴∴∴复数（i为虚数单位）所在的象限为第三象限故选：C【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知下列两个命题p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是A. q1，q4B. q2，q3C. q1，q3D. q2，q4【答案】A【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】命题：当a=1时，在R上为偶函数，故命题为真命题；命题：，显然是函数的零点，故命题为假命题，∴为假命题，为真命题，∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题．4.已知点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），若，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率．【详解】∵点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），∴表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界），∵，∴y≥x，如图所示：由几何概型的公式得到故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5.已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.【详解】设等比数列的公比为，∵等比数列满足，∴，∴，又成等差数列∴，即，∴，∴，∴∴.故选：B【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.6.已知x∈R，y∈R，且x，y满足，若的最大值为a，最小值为b，则的值为A. 1B. 3C. 5D. 8【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=x+，由图可知，当直线y=x+过（-2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=x+过（1，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．∴a=7，b=﹣2，则a+b=5．故选：C．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：，解得∴椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8﹣，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知，，，，∴当时，，，排除A，D；当时，，，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知函数，若的图象与的图象有n个不同的交点，则（x1＋x2＋x3＋…＋x n）＋（y1＋y2＋y3＋…＋y n）＝A. nB. 2nC. n+2D.【答案】A【解析】【分析】通过可知y=f（x）关于点（1，0）对称，y=g（x）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵∴即，∴函数的图象关于点中心对称，的图象也关于点中心对称，∴x1＋x2＋x3＋…＋x n=n，y1＋y2＋y3＋…＋y n=0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12.设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【分析】设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），联立方程：解得∴解得：故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在中，，其中D为BC的中点，E为AC的中点，则____．【答案】【解析】由题意可知•=﹣2，又，从而得到结果.【详解】∵在中，，∴•=2×2×（﹣）=﹣2,.故答案为：【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14.各条棱长均为的四面体的体积为____．【答案】【解析】【分析】分别求出四面体的底面积和高即可得到结果.【详解】在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，AH==，S△BCD=×BD×BC×=××=，V A﹣BCD=××=，故答案为：【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15.已知首项为2的正项数列{}的前n 项和为，且当n ≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m 的取值范围为_______________．【答案】【解析】 【分析】由与的关系，利用作差法，求得的通项公式，进而求得，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m 的范围.【详解】由题意可得：，两式相减可得：，因式分解可得：，由与数列为正项数列，所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m .由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n 较大时，函数值越来越小，n 较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.【点睛】本题考查数列的通项以及前n 项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16.已知定义在R 上的函数满足， ，设与图象的交点坐标为，若，则的最小值为____．【答案】2 【解析】 【分析】由已知可得f （x ）和h （x ）的图象均关于（a ，b ）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a ，纵坐标和为2b，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f（2a﹣x）=2b﹣f（x），可知f（x）的图象关于（a，b）对称，又∵h（x+a）==b+•设g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，∴y=h（x）的图象关于（a，b）对称，∴对于每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，∴（x i+y i）=2am+2bm=4m，∴a+b=2，故a2+b2=a2+（2﹣a）2=2a2﹣4a+4=2（a﹣1）2+2≥2当且仅当a=b=1时，a2+b2取最小值2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题. 三、解答题（共70分。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学(文)试题Word版含答案
湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( ) A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（ ） A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒ D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为E 的焦距的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C．)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为 ．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,51x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin C ==， 又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD = 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影， 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =，得1122BCD S ∆===， 在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 602OCD S ∆=︒=， 所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即112133d =，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为2619.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元， 当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元， 当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-， 化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++， 据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+， 于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =， 故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得10x =<，21x =>， 则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意， 综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数， 故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h eλ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ， 综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<， 所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-，∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->， ∴()()()f ab f a f b >-.。
长郡中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
长郡中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 2． 函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞3． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M4． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．725B ．725- C. 725± D ．24255． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 6． 已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．7． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-< 8． 实数x ，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3） C．（，2） D．（，0）9． 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）10．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.11．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．12112．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设,则14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．15．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足AB =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.16．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
【答案】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)答案
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2019届长沙市长郡中学高三上学期第三次调研考试数学(文)试卷及解析
2019届长郡中学高三上学期三调考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，集合，全集为U＝R，则为A． B． C． D．2．设复数的共轭复数为，且满足，复数对应点在直线上，则复数（i为虚数单位）所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知下列两个命题p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是A．q1，q4 B．q2，q3 C．q1，q3 D．q2，q44．已知点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），若，则的概率为A． B． C． D．5．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式A． B． C． D．6．已知x∈R，y∈R，且x，y满足，若的最大值为a，最小值为b，则的值为A．1 B．3 C．5 D．87．沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A． B． C． D．9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为A． B． C． D．10．已知，，，，则A． B． C． D．11．已知函数，若的图象与的图象有n个不同的交点，则（x1＋x2＋x3＋…＋x n）＋（y1＋y2＋y3＋…＋y n）＝A．n B．2n C．n+2 D．12．设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A． B． C． D．二、填空题13．已知在中，，其中D为BC的中点，E为AC 的中点，则____．14．各条棱长均为的四面体的体积为____．15．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3－．若＋≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．16．已知定义在R上的函数满足，，设ℎ与图象的交点坐标为，若，则的最小值为____．三、解答题17．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且．（Ⅰ）若，求的外接圆的半径；（Ⅱ）若，，AD为BC边上的中线，求的周长．18．为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决定对长沙市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在［50，60］内，可以认为该企业治污水平基本达标．（Ⅰ）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（Ⅱ）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在［18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80％的标准分低于18分的化工企业和60％的标准分在［18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量，则％，％，％）19．如图，是以为直径的半圆上异于点、的点，矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，且，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为,①求证：//;②若，求三棱锥E-ADF的体积．20．折纸是一项艺术，可以折出很多数学图形．将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中，圆心B（－1，0），半径为4，圆内一点A为抛物线的焦点．若每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧的一点始终与点A重合，将纸展平，得到一条折痕，设折痕与线段B的交点为P．（Ⅰ）将纸片展平后，求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知过点A的直线l与轨迹C交于R，S两点，当l无论如何变动，在AB所在直线上存在一点T，使得所在直线一定经过原点，求点T的坐标．21．已知函数，又函数的两个极值点为满足；恰为的零点．（Ⅰ）当时，求的单调区间；。
2019年最新湖南省高考数学三模试卷(文科)及答案解析
湖南省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．23．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G 是△ABC 的重心，若直线PQ 过点G ，与AC ，BC 分别交于P ，Q ，设=m ，=n，则+= ．14．已知流程图如图所示，输出的y 值，则输入的实数x 值 ．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移y 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为 ．AC BC 直线AB 过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A ，B ，P （x ，y ）为椭圆上异于A ，B 的任意一点，用各类比的方法可得k AP •K BP = ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f （x ）=sinωx +cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f （x ）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．故选C2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为（）A．B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，化简求解即可．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．复数z的模为：．故选：B．3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数【考点】命题的否定．【分析】原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D．4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．5．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A．8 B．2 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可．【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；k=0时，ω=故选C6．已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7，若用S n表示该数列前n项和，则（）A．当n=15时，S n取到最大值B．当n=16时，S n取到最大值C．当n=15时，S n取到最小值D．当n=16，S n取到最小值【考点】等差数列的性质．【分析】由4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，利用等差数列通项公式可得：a n．令a n ≥0，解得n即可得出结论．【解答】解：∵4a n+1=4a n﹣7，变形为：a n+1﹣a n=﹣，∴数列{a n}是等差数列，公差为﹣，首项为25．∴a n=25﹣（n﹣1）=．令a n≥0，解得n≤15．∴当n=15时，S n取到最大值．故选：A．7．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【考点】向量的共线定理．【分析】设，将向量用向量、表示出来，即可找到λ和μ的关系，最终得到答案．【解答】解：设则====（）∴∴故选A．8．一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．【解答】解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D9．在[0，π]上随机取一个数x，则事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：∵2sin cos+cosx≥，即sinx+cosx≥，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，又∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在区间[，]内，满足sin（x+）≥时，x+∈[，]，∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥时，x∈[，]；∴事件“2sin cos+cosx≥”发生的概率为P==．故选：B．10．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．4 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．12．定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中T不属于f（x）的同值变换的是（）A．f（x）=（x﹣1）2，T将函数f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）=2x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称C．f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称D．，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称【考点】函数的图象．【分析】对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，再求出其值域即可进行判断；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，从而得出答案．【解答】解：对于A：T是将函数f（x）的图象关于y轴对称，此变换不改变函数的值域，故T属于f（x）的同值变换；对于B：f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T不属于f（x）的同值变换；对于C：f（x）=2x+3，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=2（﹣2﹣x）+3，即y=2x+3，它们是同一个函数，故T属于f（x）的同值变换；对于D：，T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=，它们的值域都为[﹣1，1]，故T属于f（x）的同值变换；故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知G是△ABC的重心，若直线PQ过点G，与AC，BC分别交于P，Q，设=m，=n，则+= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据P，G，Q三点共线列出方程得出m，n的关系．【解答】解：取AB中点D，连结CD，则，∵G是△ABC的重心，∴=+．∵=m，=n，∴，，∴+．∵P，G，Q三点共线，∴，∴．故答案为：3．14．已知流程图如图所示，输出的y值，则输入的实数x值﹣2 ．【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是求y=的值，分当x ≥0时和当x ＜0时求得输出y=时的x 值即可得解．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x ≥0时，y=（x+2）2=⇒x=﹣（舍去）或﹣（舍去）； 当x ＜0时，y=3x =⇒x=﹣2， 故答案为：﹣2．15．弹簧振子的振动在简谐振动，如表给出的振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移y 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动的函数解析式为 y=﹣20cos（t ） ．【分析】由表格中的数据得到振幅A=20，周期T=12t 0，过点（0，﹣20），从而写出解析式即可．【解答】解：由表格可知， 振幅A=20，周期T=12t 0=，解得：ω=，又函数图象过（0，﹣20），可得：﹣20=20sinφ，解得：φ=2kπ+，k∈Z，故振动函数解析式为：y=20sin（t+2kπ+）=﹣20cos（t），k∈Z．故答案为：y=﹣20cos（t）．16．在圆x2+y2=r2中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k AC•K BC=﹣1，设直线AB过椭圆+=1中心，且和椭圆相交于点A，B，P（x，y）为椭圆上异于A，B的任意一点，用各类比的方法可得k AP•K BP= ﹣．【考点】类比推理．【分析】由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质．【解答】解：由圆的性质可以类比得到椭圆的类似性质，即k AC•k BC=﹣，证明如下：设点A的坐标为（m，n），则点B的坐标为（﹣m，﹣n），进而可知=1，又设点P的坐标为（x，y），则k AP=，k BP=∴k AP•k BP=，将y2=b2（1﹣），n2=b2（1﹣）代入得k AP•k BP=﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（ωx+），由此根据周期为π求得ω的值．根据五点法，求出对应的五点，即可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∴T==π，解得：ω=2，∴f（x）=sin（2x+），列表：﹣2x+2x+）（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再把所得图象上的点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象．18．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：A，乙小组选出的人记为B．（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P （A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“A所用的时间比B所用时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“A所用时间不小于13天”等价于“甲是A组的第4或第5或第6或第7个人”∴A所用时间不小于13天的概率P（A4∪A5∪A6∪A7）=P（A4）+P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“A所用的时间比B所用时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=19．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM∥平面BDE；（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用向量平行得到线线平行，从而说明线面平行；（2）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量与所成的角的余弦值的绝对值等于，由此可求得P点的坐标．【解答】（1）证明：如图建立空间直角坐标系．设AC∩BD=N，连结NE，则，E（0，0，1）∴又，，∴．∴，且NE与AM不共线，∴NE∥AM，又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．（2）设P（t，t，0），则=，=．又∵与所成的角为60°，∴，解之得或（舍去），故点P为AC的中点时满足题意．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c ＞0）．（Ⅰ）若c=2，且F2关于直线y=x+的对称点在椭圆E上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图所示，若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点，试求这个平行四边形的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得，c=2，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），运用点关于直线的对称条件，解方程可得m，n，代入椭圆方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），与椭圆方程联立，设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c=2，即a2﹣b2=4，设F2关于直线y=x+的对称点为（m，n），可得=﹣，n=•（m+2）+，解得m=﹣2，n=，将（﹣2，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=3，b=，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，此时易得A（c，），B（﹣c，），C（﹣c，﹣），D（c，﹣），所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|CD|=；②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣c），将其代入椭圆方程，整理得（b2+a2k2）x2﹣2ca2k2x+a2c2k2﹣a2b2=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．则x1+x4=，x1x4=．连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积S=2=|F1F2|•|y1﹣y4|=2c|y1﹣y4|，又（y1﹣y4）2=k2（x1﹣x4）2=k2[（x1+x4）2﹣4x1x4]=k2[（）2﹣4•]=•，由a＞b，可得（k2+）2﹣k2（1+k2）=k2+，当a≤b时，（y1﹣y4）2＜，即有S＜；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．综上，当a≤b时，平行四边形的面积取得最大值；当a＞b时，S与k的取值有关，无最值．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（Ⅱ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…因为，令，因为，所以在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即，函数在a∈（0，1）上是减函数，解得．综上可知，所求a的取值范围为．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ2sin2θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直线坐标方程．（2）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），得直线l的直角坐标方程是x+y=1．由此能求出直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）由ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，得ρ（1﹣2sin2θ）+8cosθ﹣ρ=0，所以ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即曲线C的直线坐标方程为y2=4x．（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），所以直线l在y轴上的截距为1，又因为直线l过定点（1，0），由直线方程的截距式，得直线l的直角坐标方程是x+y=1．联立，消去y，得x2﹣6x+1=0，又点（1，0）是抛物线的焦点，由抛物线的定义，得弦长|AB|=x A+x B+2=6+2=8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3a|，（a∈R）（I）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜6成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，原不等式可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，易知函数g （x）=f（x）+x最小值为3a，依题意，解不等式3a＜6即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞5﹣|2x﹣1|可化为|x﹣3|+|2x﹣1|＞5，当时，不等式为3﹣x+1﹣2x＞5，∴，当时，不等式即3﹣x+2x﹣1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，当x＞3时，不等式即x﹣3+2x﹣1＞5，∴x＞3，综上所述不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞3}．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x﹣3a|+x，则g（x）=，所以函数g（x）=f（x）+x最小值为3a，根据题意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范围为（﹣∞，2）．…。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(文科)试题(解析版)
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，全集为U＝R，则为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设复数的共轭复数为，且满足，复数对应点在直线上，则复数（i为虚数单位）所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】由题意可得，从而得到，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi（a，b∈R）则a-bi∴,,∴∴∴复数（i为虚数单位）所在的象限为第三象限故选：C【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知下列两个命题p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是A. q1，q4B. q2，q3C. q1，q3D. q2，q4【答案】A【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】命题：当a=1时，在R上为偶函数，故命题为真命题；命题：，显然是函数的零点，故命题为假命题，∴为假命题，为真命题，∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题．4.已知点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），若，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【分析】本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率．【详解】∵点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），∴表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界），∵，∴y≥x，如图所示：由几何概型的公式得到故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5.已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式A. B. C. D.【答案】B【分析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.【详解】设等比数列的公比为，∵等比数列满足，∴，∴，又成等差数列∴，即，∴，∴，∴∴.故选：B【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.6.已知x∈R，y∈R，且x，y满足，若的最大值为a，最小值为b，则的值为A. 1B. 3C. 5D. 8【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=x+，由图可知，当直线y=x+过（-2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=x+过（1，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．∴a=7，b=﹣2，则a+b=5．故选：C．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：，解得∴椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8﹣=，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值得求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知，，，，∴当时，，，排除A，D；当时，，，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知函数，若的图象与的图象有n个不同的交点，则（x1＋x2＋x3＋…＋x n）＋（y1＋y2＋y3＋…＋y n）＝A. nB. 2nC. n+2D.【答案】A【分析】通过可知y=f（x）关于点（1，0）对称，y=g（x）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵∴即，∴函数的图象关于点中心对称，的图象也关于点中心对称，∴x1＋x2＋x3＋…＋x n=n，y1＋y2＋y3＋…＋y n=0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12.设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C 和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），联立方程：解得∴解得：故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在中，，其中D为BC的中点，E为AC的中点，则____．【答案】【解析】【分析】由题意可知•=﹣2，又，从而得到结果.【详解】∵在中，，∴•=2×2×（﹣）=﹣2,.故答案为：【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14.各条棱长均为的四面体的体积为____．【答案】 【解析】 【分析】分别求出四面体的底面积和高即可得到结果.【详解】在四面体ABCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于点H ， 则H 为底面正三角形BCD 的重心， AH==，S △BCD =×BM ×DC=××=，V A ﹣BCD =××=，故答案为：【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15.已知首项为2的正项数列{}的前n 项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m 恒成立，则实数m的取值范围为_______________． 【答案】【解析】 【分析】由与的关系，利用作差法，求得的通项公式，进而求得，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m 的范围.【详解】由题意可得：，两式相减可得：，因式分解可得：，由与数列为正项数列，所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.【点睛】本题考查数列的通项以及前n项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16.已知定义在R上的函数满足，，设与图象的交点坐标为，若，则的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】由已知可得f（x）和h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f（2a﹣x）=2b﹣f（x），可知f（x）的图象关于（a，b）对称，又∵h（x+a）==b+•设g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，∴y=h（x）的图象关于（a，b）对称，∴对于每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，∴（x i+y i）=2am+2bm=4m，∴a+b=2，故a2+b2=a2+（2﹣a）2=2a2﹣4a+4=2（a﹣1）2+2≥2当且仅当a=b=1时，a2+b2取最小值2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题.三、解答题（共70分。
湖南省2019-2020学年高三数学上学期第三次调研考试试题文(含解析)
高三第三次调研考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，全集为U＝R，则为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.设复数的共轭复数为，且满足，复数对应点在直线上，则复数（i 为虚数单位）所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意可得，从而得到，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.【详解】设复数z=a+bi（a，b∈R）则 a-bi∴,,∴∴∴复数（i为虚数单位）所在的象限为第三象限故选：C【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.已知下列两个命题p1：存在正数a，使函数在R上为偶函数；p2：函数无零点，则在命题和中，真命题是A. q1，q4B. q2，q3C. q1，q3D. q2，q4【答案】A【解析】【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【详解】命题：当a=1时，在R上为偶函数，故命题为真命题；命题：，显然是函数的零点，故命题为假命题，∴为假命题，为真命题，∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题．4.已知点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），若，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率．【详解】∵点A（1，0），点B（x，y）（x，y∈R），∴表示以（1,0）为圆心，1为半径的圆面（包括边界），∵，∴y≥x，如图所示：由几何概型的公式得到故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.5.已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式A. B. C. D.【答案】B【解析】利用题意可得，再利用累加法即可得到通项公式.【详解】设等比数列的公比为，∵等比数列满足，∴，∴，又成等差数列∴，即，∴，∴，∴∴.故选：B【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.6.已知x∈R，y∈R，且x，y满足，若的最大值为a，最小值为b，则的值为A. 1B. 3C. 5D. 8【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y=x+，由图可知，当直线y=x+过（-2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=x+过（1，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．∴a=7，b=﹣2，则a+b=5．故选：C．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了；同学乙猜测：C不可能答对；同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了；同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．故选：D．【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．8.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数为，由平移变换与伸缩变换得到，然后数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当时，方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同交点，令t，即与有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9.已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF1|+|MB|=2a﹣（|MF2﹣MB|），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得：，解得∴椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a﹣（|MF2﹣MB|）≥2a﹣|BF2|=8﹣，当且仅当M，F2，B共线时取得最小值．故选：D．【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题．10.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】∵知，，，，∴当时，，，排除A，D；当时，，，排除C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知函数，若的图象与的图象有n个不同的交点，则（x1＋x2＋x3＋…＋x n）＋（y1＋y2＋y3＋…＋y n）＝A. nB. 2nC. n+2D.【答案】A【解析】【分析】通过可知y=f（x）关于点（1，0）对称，y=g（x）也关于点（1，0）对称，从而曲线y=f（x）与y=g（x）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即得结论．【详解】∵∴即，∴函数的图象关于点中心对称，的图象也关于点中心对称，∴x1＋x2＋x3＋…＋x n=n，y1＋y2＋y3＋…＋y n=0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题．12.设双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为l1、l2，过F作平行于l1的直线依次交双曲线C和直线l2于点A、B，若，，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程为：，分别求出，又，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线C：的渐近线方程为：，设直线l的方程为：，则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：B（），联立方程：解得∴解得：故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知在中，，其中D为BC的中点，E为AC的中点，则____．【答案】【解析】【分析】由题意可知•=﹣2，又，从而得到结果.【详解】∵在中，，∴•=2×2×（﹣）=﹣2,.故答案为：【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14.各条棱长均为的四面体的体积为____．【答案】【解析】【分析】分别求出四面体的底面积和高即可得到结果.【详解】在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，AH==，S△BCD=×BD×BC×=××=，V A﹣BCD=××=，故答案为：【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 15.已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m 恒成立，则实数m的取值范围为_______________．【答案】【解析】【分析】由与的关系，利用作差法，求得的通项公式，进而求得，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出m的范围.【详解】由题意可得：，两式相减可得：，因式分解可得：，由与数列为正项数列，所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.【点睛】本题考查数列的通项以及前n项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16.已知定义在R上的函数满足，，设与图象的交点坐标为，若，则的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】由已知可得f（x）和h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，进而可得a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．【详解】∵f（2a﹣x）=2b﹣f（x），可知f（x）的图象关于（a，b）对称，又∵h（x+a）==b+•设g（x）=，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，∴y=h（x）的图象关于（a，b）对称，∴对于每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为2b，∴（x i+y i）=2am+2bm=4m，∴a+b=2，故a2+b2=a2+（2﹣a）2=2a2﹣4a+4=2（a﹣1）2+2≥2当且仅当a=b=1时，a2+b2取最小值2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题.三、解答题（共70分。
2019年湖南长郡中学高三文科数学第三次月考高考模拟试卷(附答案)
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2019届长郡中学高三上学期第三次调研考试
数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，集合，全集为U＝R ，则为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.
【详解】∵，
∴
又
∴
故选：D
2.设复数的共轭复数为，且满足
，复数对应点在直线上，则复
数（i为虚数单位）所在的象限为
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意可得，从而得到，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.
【详解】设复数z=a+bi（a，b∈R ）则 a-bi
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