2015 内蒙古数学 联赛试题
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
2
，
1 tan tan
tan tan
tan .
2 tan 1 3tan 2
2 1 3tan tan
3 ， u 的最大值为 . 6 3
4.在单调递增数列 an 中，已知 a1 2 ， a2 4 ，且 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成 解：因为 an 单调递增， a1 0 ，所以 an 0 .因为 a2 n 1 ， a2 n ， a2 n 1 成等差数列， a2 n ， a2 n 1 ， a2 n 2 成等 比数列，所以 所以 a2 n 所以 a2 n 等比数列， n 1, 2,3, .那么， a100 _________.
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2015年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
，0） ，求证：|NC|+|ND|＝2
21． （12 分）已知函数 f（x）＝loga（x+b） ，g（x）＝kx（k∈R 且 k≠0） ，若 y＝f（x）在点 （1，f（1） ）处的切线方程为 x﹣y﹣1＝0． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 y＝f（x）与 y＝g（x）的图象无公共点，试求实数 k 的取值范围； （Ⅲ）若存在两个实数 x1、x2 且 x1≠x2，满足 f（x1）＝g（x1） ，f（x2）＝g（x2） ，求证：x1x2 ＞e ． [选修 4-1：几何证明选讲] 22． （3 分）如图，已知 PA 与圆 O 相切于点 A，直径 BC⊥OP，线段 OP 与圆 O 交于点 E， 连接 AB 交 PO 于点 D． （Ⅰ）求证：AC•AP＝AD•OC； （Ⅱ）若 OC＝AC＝ ，求 PE 的长．
，若方程 f（x）＝a 有四个不同的解 x1，x2，
x3，x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，则
的取值范围为（
）
A． （﹣1，+∞）
B． （﹣1，1]
C． （﹣∞，1）
D．[﹣1，1）
第 2 页（共 21 页）
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分）二项式 的展开式中 x 的系数为 10，则实数 m 等于
3
m）≥0 恒成立，则实数 m 的
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17． （12 分）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）求 an 及 Sn； （Ⅱ） 令 ，证明：对于任意的 n∈N ，数列{bn}的前 n 项和
*
．
18． （12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 是 CD 的中点，O 是 AE 的中点， 以 AE 为折痕向上折起，使 D 为 D′，且 D′B＝D′C．
2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）若实数 a, b, c 满足 2a 4b 2c , 4a 2b 4c ，求 c 的最小值． 解：将 2a , 2b , 2c 分别记为 x, y, z ，则 x, y, z 0 ． 由条件知， x y2 z, x2 y z2 ，故
因此必有
x1
x2
2
0
，故由方程①及韦达定理知，
4km 2k2 1
( x1
x2
)
2
，即
mk 1 ．
③
2k
由②、③知，
2k
2
1
m2
k
1 2k
2
，化简得
k
2
1 4k
2
，这等价于
k
2 ．
2
2 反之，当 m, k 满足③及 k 2 时，l 必不经过点 F1（否则将导致 m k ，与③矛盾），
而此时 m, k 满足②，故 l 与椭圆有两个不同的交点 A 、 B ，同时也保证了 AF1 、 BF1 的斜率
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
22
4
2
(iii) 9 13 2 ，此时有 13 9 ，得 13 4 ．
依次成等差数列知， y1 x1 1
y2 x2 1
2k
，
又 y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以
(kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ．
2015全国高中数学联赛
王宝
静海一中
2
王程程
天津市实验中学
2
王铎澄
南开中学
2
王飞宇
汉沽一中
2
王涵斌
大港一中
2
王昊天
宝坻一中
2
王昊文
宝坻一中
2
王昊宇
天津一中
2
王浩然
2
裴兆辰
南开中学
2
彭安頔
杨柳青一中
2
彭启洲
天津第一零二中学
2
彭希
新华中学
2
彭晓菡
耀华中学
2
彭正达
南开中学
2
戚宝玥
天津市实验中学
2
齐长悦
天津市实验中学
2
齐涛
静海一中
2
曲鹏桥
开发区第一中学
2
全婧琳
天津一中
2
任晋辉
耀华中学
2
任云飞
南开中学
2
申佳军
大港一中
2
石浤澔
耀华中学
2
石岩
蓟县一中
2
史书毓
杨村一中
2
宋知遇
静海一中
1
赵川喆
天津一中
1
郑宸
天津一中
1
邹尚宏
天津市实验中学
1
安金旭
南开中学
2Hale Waihona Puke 安睿龙天津市实验中学
2
安泰然
南开中学
2
白洋
耀华中学
2
蔡俊禹
耀华中学
2
蔡明睿
天津市实验中学
2
蔡翔宇
塘沽一中
2
曹体睿
南开中学
2
2015年全国高中数学联赛模拟卷二试
ABC P Q ID O 1I 1I 2CPQ II 1 I 22014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分） 在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．二、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：b a d b a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.一．证明：不妨设BC ≥AC ，由~ADC CDB ∆∆且12,I I 分别是其内心，得12I DAC BC I D= 且0121902I DI ADB ACB ∠=∠==∠，所以 12~DI I CAB ∆∆ 则21I I D CAB ∠=∠ ① 设,ADC BCD ∆∆的内切圆半径分别为12,r r ，Rt ABC ∆的三边长为,,a b c ，12,I I 在AB 边上的射影为,E F ，并且,,AD x BD y CD z === ，则121,,222x z b y z a b c ar r AO +-+-+-===， 所以 1121222b c a y z a x z bDO AO AD x r r +-+-+-=-=-=-=-，1122111()I E r r r r DF DO O F ==--=-=， 112122()EO r r r r I F =+-==，因此1112I EO FO I ∆=∆．1112O I O I ⇒=且112112112212I O I I O E I O F O I F I O F πππ∠=-∠-∠=-∠-∠=，②则121,,,D O I I 四点共圆 2121I O F I I D CAB ⇒∠=∠=∠（由①知）所以12//O I AC ， 同理 11//O I BC ，∴11111()21()2b c a AI AO b c aI P BO c a b c a b +-+-===+-+-，又由角平分线性质得CQ BC CQ BC ab CQ QA BA QA CQ BA BC a c =⇒=⇒=+++ 同理ab CQ b c =+，另一方面2222221sin 21sin 2CQO CPO CQ CO ACDS QO b c bO P S a c aCP CO BCD ∆∆⋅∠+===+⋅∠， 又122112()//()AI QO b c a b b c O I CA I P O P c a b a a c +-+⇔=⇔=+-+， 而()()()()a a c b c a b b c c a b ++--++- 2222()()a ab ac a cb c ac b bc ba b c ac bc =+-++--+-++- 22()()0a ab b b ba a =+-+=，所以21//O I CA ， 同理22//O I BC ，所以四边形1122I O I O 为平行四边形，由②知四边形1122I O I O 为正方形．二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立因为如果上式成立, 则原式的左边不小于不失一般性, 可以在的假设下证明上述不等式. 如果, 只要将不等式两边同除, 令于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件的正数证明此不等式证明如下：三．证明：注意到k n n n nA A n 21)1(2)2(+=-++ kn n n A n A n 212)1()1(=--+-得1212112)1(2)1()1)(2(++-+++=--++k k n n n n nA n A n n 反复运用上式，得)1()(2+=n n n S A n ，其中tt t n n S +++= 21)(，12+=k t得∑∑==+-+++-=n i t t ni tti i n i i n n S 1])1[(])[()(2，从而可知)(2|)1(n S n n +，因此)1(≥n A n 是整数.（1）当)4(m od 21或≡n 时，由)(n S 有奇数个奇数项知)(n S 为奇数，所以n A 为奇数. （2）当)4(mod 0≡n 时，)4(mod 0)2(≡tn ，故)4(mod 0)2(])[()(2≡-+-=∑=t n i tt n i i n n S ，所以n A 为偶数 （3）当)4(mod 3≡n 时，)4(mod 0)21(≡+tn ，故)4(mod 0)21(])1[()(211≡+-+-+=∑+=tn i t t n i i n n S ，所以n A 为偶数 综上所述，命题成立，证毕.四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n ≥.再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a ，称如下10个数所构成的集合:{10,101,109}a A a a a =++为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。
2015-2016学年内蒙古高中学业水平考试数学试题
2015-2016学年内蒙古中学业水平数学试卷（解析版）一、选择题本大题共20小题，其中第1～15题每小题2分，第16～20题每小题2分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2分）（2010•福建）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}【分析】结合数轴直接求解．【解答】解：如图，故选A．【点评】本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号．2．（2分）（2015•内蒙古）已知i是虚数单位，则i（2﹣i）的共轭复数为（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i，∴i（2﹣i）的共轭复数为1﹣2i．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．（2分）（2015•内蒙古）已知角α的终边经过点P（﹣1，1），则cosα的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣1，1），则x=﹣1，y=1，r=|OP|=，∴cosα===﹣，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（2分）（2015•内蒙古）函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）【分析】利用对数函数要求真数大于0，分式函数要求分母不大于0，来求解．【解答】解：要使函数有意义，则有，即，所以x＞1且x≠2．所以函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）．故选D．【点评】本题考查函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数和分式函数对变量取值的要求．5．（2分）（2015•内蒙古）设x为实数，命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0，则命题p的否定是（）A．￢p：∃x∈R，x2+2x+1＜0 B．￢p：∃x∈R，x2+2x+1≤0C．￢p：∀x∈R，x2+2x+1＜0 D．￢p：∀x∈R，x2+2x+1≤0【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0的否定：∃x∈R，x2+2x+1＜0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．6．（2分）（2015•内蒙古）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体时，输出A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出A=3，S=3，满足继续循环的条件，则A=5，第三次执行循环体时，输出A=5，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（2分）（2015•内蒙古）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【分析】根据面面平行的定义，判断在两个平行平面中的两条直线的位置关系．【解答】解：∵α∥β，∴α、β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴直线a与直线b没有公共点，∴a、b的位置关系是：平行或异面．故选D．【点评】本题考查面面平行的定义，考查了空间直线与直线的位置关系，属于基础题．8．（2分）（2015•内蒙古）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程即可求出m的值．【解答】解：∵平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，∴2m﹣3×1=0，解得m=．故选：D．【点评】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目．9．（2分）（2015•内蒙古）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台【分析】由题目中的三视图中，正视图和侧视图为三角形，可知几何体为锥体，进而根据俯视图的形状，得到答案．【解答】解：∵正视图和侧视图为三角形，可知几何体为锥体，又∵俯视图为四边形，故该几何体为四棱锥，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，根据三视图中有两个矩形，该几何体为棱柱，有两个三角形，该几何体为棱锥，有两个梯形，该几何体为棱台，是解答本题的关键．10．（2分）（2015•内蒙古）若函数f（x）=（x﹣2）（x+a）是偶函数，则实数a的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．±2【分析】运用函数的奇偶性的定义，将x换成﹣x，注意变形，运用恒等知识得到对应项系数相等．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（x+a）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x﹣2）（﹣x+a）=（x﹣2）（x+a），即x2+（2﹣a）x﹣2a=x2+（a﹣2）x﹣2a，∴a﹣2=2﹣a，∴a=2，故选：A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和运用，注意灵活运用定义是解决此类问题的常用方法．11．（2分）（2015•内蒙古）已知函数f（x）=3x+2x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】依次代入区间的端点值，求其函数值，由零点判定定理判断．【解答】解：∵f（﹣2）=3﹣2+2×（﹣2）=﹣4＜0，f（﹣1）=3﹣1+2×（﹣1）=﹣2＜0，f（0）=1＞0，f（1）=3+2＞0，f（2）=9+4＞0，∴f（﹣1）f（0）＜0，故选B．【点评】本题考查了函数零点的判断，属于基础题．12．（2分）（2015•内蒙古）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6【分析】所有的数字共有10个，其中数据落在区间[20，30）内的有5个，由此求得数据落在区间[20，30）内的概率．【解答】解：所有的数字共有10个，其中数据落在区间[20，30）内的有5个，故数据落在区间[20，30）内的概率为=0.5，故选：C．【点评】本题主要考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．13．（2分）（2015•内蒙古）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9【分析】据体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9．故选C．【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，考查计算能力，常考题．14．（2分）（2015•内蒙古）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=log54，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】先将数a、b化为同底数幂，利用单调性进行比较，把b、c与数1比较即可区分大小．【解答】解：∵=20.2＜21.2，∴b＜a，而20.2＞20=1，log54＜log55=1，∴c＜b，∴c＜b＜a，故选A．【点评】本题考查指数幂值和对数值的大小比较，充分利用指数函数和对数函数的单调性是解决此问题的依据，在比较大小时，常与1进行比较．15．（2分）（2015•内蒙古）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．f（x）=x3+x B．f（x）=|x|+1 C．f（x）=﹣x2+1 D．f（x）=2x﹣1【分析】逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（﹣∞，0）上的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于f（x）=x3+x，有f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，故A不正确；由于f（x）=|x|+1是偶函数，在区间（﹣∞，0）上是减函数，故B正确；由于函数f（x）=﹣x2+1是偶函数，且满足在（﹣∞，0）上是单调递增函数，故C不满足条件；由于f（x）=2x﹣1不满足f（﹣x）=f（x），不是偶函数，故排除D．故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．16．（3分）（2015•内蒙古）函数y=sin（x﹣）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z【分析】利用正弦函数的增区间，求得函数y=sin（x﹣）的单调递增区间．【解答】解：对于函数y=sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．17．（3分）（2015•内蒙古）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k 的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．18．（3分）（2015•内蒙古）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4 C．（x+1）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4 【分析】设出圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由点到直线的距离公式列式求得a值，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意得，，解得a=2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程，考查了点到直线距离公式的应用，是基础题．19．（3分）（2015•内蒙古）函数f（x）=，若f（a）+f（2）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】利用分段函数，列出方程，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（a）+f（2）=0，可得a﹣1+22=0．解得a=﹣3．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．20．（3分）（2015•内蒙古）若函数f（x）=ax2+ax﹣1对∀x∈R都有f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a≤0 B．a＜﹣4 C．﹣4＜a＜0 D．a≤0【分析】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解：当a=0时，﹣1＜0恒成立，故满足条件；当a≠0时，对于任意实数x，不等式ax2+ax﹣1＜0恒成立，则，解得﹣4＜a＜0，综上所述，﹣4＜a≤0．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.21．（3分）（2015•内蒙古）双曲线9x2﹣4y2=36的离心率为．【分析】双曲线方程化为标准方程，可得a=2，b=3，c=，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线9x2﹣4y2=36可化为=1，所以a=2，b=3，c=，所以离心率e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键．22．（3分）（2015•内蒙古）计算1﹣2sin2= ．【分析】直接利用二倍角的余弦公式可得=cos（2×），从而得到它的值．【解答】解：直接利用二倍角的余弦公式可得=cos（2×）=cos=．故答案为：．【点评】本题主要考查应用二倍角的余弦公式化简三角函数式，属于基础题．23．（3分）（2015•内蒙古）函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣2，4）．【分析】根据函数y=a x，（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（0，1），利用平移可得答案．【解答】解：∵函数y=a x，（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是（0，1），∴函数y=a x的图象经过向左平移2个单位，向上平移3 个单位，∴函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过（﹣2，4），故答案为：（﹣2，4），【点评】本题考查了函数的性质，平移问题，属于中档题．24．（3分）（2015•内蒙古）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+3y的最大值为7 ．【分析】作出可行域，将目标函数化为y=﹣，根据函数图象判断直线取得最大截距时的位置，得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=x+3y得y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，截距最大，解方程组得x=1，y=2，即A（1，2）．∴z的最大值为1+3×2=7．故答案为7．【点评】本题考查了简单线性规划，属于中档题．25．（3分）（2015•内蒙古）已知实数m+n=1，则3m+3n的最小值为2．【分析】先判断3m＞0，3n＞0，利用基本不等式建立关系，结合m+n=1，可求出3m+3n 的最小值．【解答】解：∵3m＞0，3n＞0，m+n=1，∴3m+3n≥2=2，当且仅当m=n=取等号，故3m+3n的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题．基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26．（8分）（2015•内蒙古）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为，且b+c=5，求b和c的值．【分析】（1）由b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，即可得出．（2）S △ABC=sin=，化为：bc=4，又b+c=5，联立解出b，c．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（2）S △ABC=sin=，化为bc=4，又b+c=5，解得b=4，c=1或b=1，c=4．【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．27．（10分）（2015•内蒙古）已知等差数列{a n}，（n∈N*）满足a1=2，a7=14．（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥3n+15，求n的取值范围．【分析】（1）利用等差数列的通项公式计算d，从而得出通项公式；（2）求出S n，解不等式即可．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴a7=a1+6d，即14=2+6d，解得d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）S n=2n+=n2+n，∴n2+n≥3n+15，解得n≤﹣3或n≥5．∵n∈N*，∴n的取值范围是{n∈N*|n≥5}．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．28．（10分）（2015•内蒙古）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．【分析】（1）由勾股定理得出AC⊥BC，又AC⊥CC1得出AC⊥平面BB1C1C，故而AC⊥BC1；（2）V=．【解答】解：（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥CC1，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BB1C1C，又BC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1．（2）∵D是AB的中点，∴S△BCD===3，∵BB1⊥平面ABC，BB1=AA1=4，∴V===4．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．29．（12分）（2015•内蒙古）已知函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9．（1）若a=﹣1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x=﹣3时取得极值，当x∈[﹣4，﹣1]时，求使得f（x）≥m恒成立的实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值，得到m的范围即可；（3）问题转化为a≤﹣（x+）在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣（x+），x∈[1，2]，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2+3x﹣9，f′（x）=3x2﹣2x+3，f′（2）=11，f（2）=1，故切线方程是：y﹣1=11（x﹣2），即11x﹣y﹣21=0；（2）f′（x）=3x2+2ax+3，f′（﹣3）=30﹣6a=0，解得：a=5，∴f（x）=x3+5x2+3x﹣9，f′（x）=（3x+1）（x+3），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜﹣，∴f（x）在[﹣4，﹣3）递增，在（﹣3，﹣1]递减，∴f（x）的最小值是f（﹣4）或f（﹣1），而f（﹣4）=﹣5，f（﹣1）=﹣8，∴m≤﹣8；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f′（x）=3x2+2ax+3≤0在[1，2]恒成立，即a≤﹣（x+）在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣（x+），x∈[1，2]，h′（x）=﹣＜0在[1，2]恒成立，∴h（x）在[1，2]递减，h（x）min=h（2）=﹣，∴a≤﹣．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．2015-2016学年内蒙古高中学业水平数学试卷一、选择题本大题共20小题，其中第1～15题每小题2分，第16～20题每小题2分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2分）（2010•福建）若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}2．（2分）（2015•内蒙古）已知i是虚数单位，则i（2﹣i）的共轭复数为（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i3．（2分）（2015•内蒙古）已知角α的终边经过点P（﹣1，1），则cosα的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．4．（2分）（2015•内蒙古）函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪（2，+∞）5．（2分）（2015•内蒙古）设x为实数，命题p：∀x∈R，x2+2x+1≥0，则命题p的否定是（）A．￢p：∃x∈R，x2+2x+1＜0 B．￢p：∃x∈R，x2+2x+1≤0C．￢p：∀x∈R，x2+2x+1＜0 D．￢p：∀x∈R，x2+2x+1≤06．（2分）（2015•内蒙古）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2分）（2015•内蒙古）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面8．（2分）（2015•内蒙古）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．9．（2分）（2015•内蒙古）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台D．三棱台10．（2分）（2015•内蒙古）若函数f（x）=（x﹣2）（x+a）是偶函数，则实数a的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．±211．（2分）（2015•内蒙古）已知函数f（x）=3x+2x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）12．（2分）（2015•内蒙古）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.613．（2分）（2015•内蒙古）如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：914．（2分）（2015•内蒙古）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=log54，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a15．（2分）（2015•内蒙古）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．f（x）=x3+x B．f（x）=|x|+1 C．f（x）=﹣x2+1 D．f（x）=2x﹣1 16．（3分）（2015•内蒙古）函数y=sin（x﹣）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z17．（3分）（2015•内蒙古）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）18．（3分）（2015•内蒙古）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣2）2+y2=4 C．（x+1）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4 19．（3分）（2015•内蒙古）函数f（x）=，若f（a）+f（2）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣320．（3分）（2015•内蒙古）若函数f（x）=ax2+ax﹣1对∀x∈R都有f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a≤0 B．a＜﹣4 C．﹣4＜a＜0 D．a≤0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.21．（3分）（2015•内蒙古）双曲线9x2﹣4y2=36的离心率为______．22．（3分）（2015•内蒙古）计算1﹣2sin2=______．23．（3分）（2015•内蒙古）函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是______．24．（3分）（2015•内蒙古）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+3y 的最大值为______．25．（3分）（2015•内蒙古）已知实数m+n=1，则3m+3n的最小值为______．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26．（8分）（2015•内蒙古）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若三角形的面积为，且b+c=5，求b和c的值．27．（10分）（2015•内蒙古）已知等差数列{a n}，（n∈N*）满足a1=2，a7=14．（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥3n+15，求n的取值范围．28．（10分）（2015•内蒙古）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．29．（12分）（2015•内蒙古）已知函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9．（1）若a=﹣1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x=﹣3时取得极值，当x∈[﹣4，﹣1]时，求使得f（x）≥m恒成立的实数m的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．。
2014-2015学年内蒙古七年级上学期数学期末试卷带答案
2014-2015学年内蒙古七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，）1．（3分）的相反数是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a﹣5a=2a B．C．a3﹣a2=a D．2ab﹣3ab=﹣ab3．（3分）如图，点P是线段AB上的点，其中不能说明点P是线段AB中点的是（）A．AB=2AP B．AP=BP C．AP+BP=AB D．BP=AB4．（3分）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a+b＞0 B．|a|＞|b|C．a﹣b＞0 D．a•b＞05．（3分）若x=2是关于x的方程ax+3=5的解，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（3分）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（）A．272+x=（196﹣x） B．（272﹣x）=196﹣xC．（272+x）=196﹣x D．×272+x=196﹣x7．（3分）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（）A．B．C．D．8．（3分）已知一个多项式与2x2+5x的和等于2x2﹣x+2，则这个多项式为（）A．4x2+6x+2 B．﹣4x+2 C．﹣6x+2 D．4x+29．（3分）已知线段AB=5cm，点C为直线AB上一点，且BC=3cm，则线段AC 的长是（）A．2cm B．8cm C．9cm D．2cm或8cm10．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1 B．4 C．7 D．不能确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）610000用科学记数法可表示为．12．（4分）已知单项式3a m+2b4与﹣a5b n﹣1是同类项，则m+n=．13．（4分）小明某天下午5：30到家，这时时针与分针所成的锐角为度．14．（4分）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于度．15．（4分）一个角是25°41′，则它的余角为．16．（4分）某件商品的标价是110元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这件商品每件的进价为元．17．（4分）当x=时，与x+3的值相等．18．（4分）观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：1，﹣，，﹣，，，…三、简答题（共58分）19．（8分）﹣24+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]．20．（16分）解下列方程：（1）5（x+8）﹣5=6（2x﹣7）（2）﹣1=21．（10分）如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．22．（8分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x=﹣2，y=1．23．（6分）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．（1）连接AB，并画出AB的中点P；（2）作射线AD；（3）作直线BC与射线AD交于点E．24．（10分）某校组织七年级学生参加社会实践活动，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位．（1）该校参加社会实践活动有多少人？（2）已知45座客车的日租金为每辆1000元，60座客车的日租金为每辆1200元，该校租用哪种车更合算？2014-2015学年内蒙古七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，）1．（3分）的相反数是（）A．B．C．D．【解答】解：根据相反数的定义，得的相反数是．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3a﹣5a=2a B．C．a3﹣a2=a D．2ab﹣3ab=﹣ab【解答】解：A、3a﹣5a=﹣2a，故选项错误；B、﹣a﹣a=﹣3a，故选项错误；C、原式不能合并，故选项错误；D、2ab﹣3ab=﹣ab，故选项正确．故选：D．3．（3分）如图，点P是线段AB上的点，其中不能说明点P是线段AB中点的是（）A．AB=2AP B．AP=BP C．AP+BP=AB D．BP=AB【解答】解：A、若AB=2AP，则P是线段AB中点；B、若AP=BP，则P是线段AB中点；C、AP+BP=AB，P可是线段AB是任意一点；D、若BP=AB，则P是线段AB中点．故选：C．4．（3分）已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a+b＞0 B．|a|＞|b|C．a﹣b＞0 D．a•b＞0【解答】解：a、b两点在数轴上的位置可知：0＜a＜2，b＜﹣2，∴a+b＜0，|a|＜|b|故A、B错误；∵0＜a＜2，b＜﹣2，∴a﹣b＞0故C正确；∴a•b＜0，D错误．故选：C．5．（3分）若x=2是关于x的方程ax+3=5的解，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：把x=2代入方程得：2a+3=5，解得：a=1．故选：A．6．（3分）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是（）A．272+x=（196﹣x） B．（272﹣x）=196﹣xC．（272+x）=196﹣x D．×272+x=196﹣x【解答】解：设应该从乙队调x人到甲队，196﹣x=（272+x），故选：C．7．（3分）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（）A．B．C．D．【解答】解：由半圆旋转，得球，故选：C．8．（3分）已知一个多项式与2x2+5x的和等于2x2﹣x+2，则这个多项式为（）A．4x2+6x+2 B．﹣4x+2 C．﹣6x+2 D．4x+2【解答】解：根据题意得：（2x2﹣x+2）﹣（2x2+5x）=2x2﹣x+2﹣2x2﹣5x=﹣6x+2．故选：C．9．（3分）已知线段AB=5cm，点C为直线AB上一点，且BC=3cm，则线段AC 的长是（）A．2cm B．8cm C．9cm D．2cm或8cm【解答】解：本题有两种情形：①当点C在线段AB上时，如图1，∵AC=AB﹣BC，又∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC=5﹣3=2cm；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，∵AC=AB+BC，又∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC=5+3=8cm．综上可得：AC=2cm或8cm．故选：D．10．（3分）已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是（）A．1 B．4 C．7 D．不能确定【解答】解：∵x+2y=3，∴2x+4y+1=2（x+2y）+1，=2×3+1，=6+1，=7．故选：C．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）610000用科学记数法可表示为 6.1×105．【解答】解：将610000用科学记数法表示为：6.1×105．故答案为：6.1×105．12．（4分）已知单项式3a m+2b4与﹣a5b n﹣1是同类项，则m+n=8．【解答】解：由同类项的定义可知m+2=5，n﹣1=4，解得m=3，n=5，则m+n=8．故答案为：8．13．（4分）小明某天下午5：30到家，这时时针与分针所成的锐角为15度．【解答】解：×30°=15°．故答案为：15．14．（4分）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于135度．【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，∴∠COD=90°（互为补角）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∴∠MOC+∠NOD=（30°+60°）=45°（角平分线定义）∴∠MON=90°+45°=135°．故答案为135．15．（4分）一个角是25°41′，则它的余角为64°19′．【解答】解：根据余角的定义得，25°41′的余角度数是90°﹣25°41′=64°19′．故答案为：64°19′．16．（4分）某件商品的标价是110元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这件商品每件的进价为80元．【解答】解：设这种商品每件的进价为x元，根据题意得：110×80%﹣x=10%x，解得：x=80，则这种商品每件的进价为80元．故答案为：80．17．（4分）当x=4时，与x+3的值相等．【解答】解：根据题意得：x+1=x+3，去分母得：3x+2=2x+6，移项合并得：x=4，故答案为：4．18．（4分）观察下列数据，按某种规律在横线上填上适当的数：1，﹣，，﹣，，﹣，…【解答】解：数列为：1，﹣，，﹣，，﹣，．故答案为：，﹣，．三、简答题（共58分）19．（8分）﹣24+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]．【解答】解：原式=﹣16+16+16=16．20．（16分）解下列方程：（1）5（x+8）﹣5=6（2x﹣7）（2）﹣1=【解答】解：（1）∵5（x+8）﹣5=6（2x﹣7），去括号得：5x+40﹣5=12x﹣42，移项得：5x﹣12x=﹣42﹣40+5，合并同类项得：﹣7x=﹣77，系数化为1得：x=11；（2）∵﹣1=，去分母得：3（3y﹣1）﹣12=2（5y﹣7），去括号得：9y﹣3﹣12=10y﹣14，移项得：9y﹣10y=﹣14+3+12，合并同类项得：﹣y=1，系数化为1得：y=﹣1．21．（10分）如图，M是线段AC中点，点B在线段AC上，且AB=4cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长．【解答】解：∵AB=4cm，BC=2AB，∴BC=8cm，∴AC=AB+BC=4+8=12cm，∵M是线段AC中点，∴MC=AM=AC=6cm，∴BM=AM﹣AB=6﹣4=2cm．22．（8分）先化简，再求值：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x=﹣2，y=1．【解答】解：2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣x）﹣2xy2﹣2y=2x2y+2xy2﹣2x2y+2x﹣2xy2﹣2y=2x﹣2y当x=﹣2，y=1时，原式=2×（﹣2）﹣2×1=﹣623．（6分）如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．（1）连接AB，并画出AB的中点P；（2）作射线AD；（3）作直线BC与射线AD交于点E．【解答】解：如图所示．24．（10分）某校组织七年级学生参加社会实践活动，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，并且剩余15个座位．（1）该校参加社会实践活动有多少人？（2）已知45座客车的日租金为每辆1000元，60座客车的日租金为每辆1200元，该校租用哪种车更合算？【解答】解：（1）设该校参加社会实践活动有x人，根据题意，得﹣=1，解得：x=225．答：该校参加社会实践活动有225人；（2）：由题意，得需45座客车：225÷45=5（辆），需60座客车：225÷60=3.75≈4（辆），租用45座客车需：5×1000=5000（元），租用60座客车需：4×1200=4800（元），∵5000＞4800，∴该校租用60座客车更合算．附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
2015年内蒙古呼伦贝尔市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年内蒙古呼伦贝尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知P＝{﹣1，0，}，Q＝{y|y＝sinθ，θ∈R}，则P∩Q＝（）A．∅B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，} 2．（5分）已知复数，则的虚部为（）A．﹣3B．3C．3i D．﹣3i3．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2＝0平行，则tan2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）＝cos x B．f（x）＝C．f（x）＝lgx D．f（x）＝6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．24C．40D．727．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x﹣y 的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[1，2]8．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），y＝f（x﹣2）关于y轴对称，当x∈（0，2）时，f（x）＝log2x2，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）10．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于x＝对称11．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC＝2AB＝2，现沿EF 将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π12．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5分）某校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图，其中成绩在[40，70]内的学生有120人，则该校高三文科学生共有人．14．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交于抛物线于A，B两点，若AB中点M到抛物线的准线距离为6，则线段AB的长为．15．（5分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2﹣c2＝2b且tan A＝3tan C，则b＝．三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a1+a3+a5＝12．，且a1，a5，a17成等比数列，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使S n＜5a n成立的最大正整数n的值．18．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CC1＝4CF（Ⅰ）求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．19．（12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：20．（12分）已知函数，（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求实数a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥2时，存在两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线互相平行，求证x1+x2＞8．21．（12分）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|＝2|ST|．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+＝t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2﹣2x．2015年内蒙古呼伦贝尔市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知P＝{﹣1，0，}，Q＝{y|y＝sinθ，θ∈R}，则P∩Q＝（）A．∅B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，}【解答】解：∵Q＝{y|y＝sin θ，θ∈R}，∴Q＝{y|﹣1≤y≤1}，∵P＝{﹣1，0，}，∴P∩Q＝{﹣1，0}故选：C．2．（5分）已知复数，则的虚部为（）A．﹣3B．3C．3i D．﹣3i【解答】解：由＝，得，∴的虚部为3．故选：B．3．（5分）已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2＝0平行，则tan2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得tanα＝∴tan2α＝＝＝故选：C．4．（5分）甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）＝cos x B．f（x）＝C．f（x）＝lgx D．f（x）＝【解答】解：∵A：f（x）＝cos x、C：f（x）＝lgx，不是奇函数，故不满足条件①f（x）+f （﹣x）＝0，又∵B：f（x）＝的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②f（x）存在零点，而D：f（x）＝既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）＝符合输出的条件．故选：D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．24C．40D．72【解答】解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2＝24，四棱锥的底面积为：3×4＝12，高为6﹣2＝4，故四棱锥的体积为：×12×4＝16，故组合体的体积V＝24+16＝40，故选：C．7．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x﹣y 的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1]D．[1，2]【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z＝F（x，y）＝x﹣y，将直线l：z＝x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值＝F（0，1）＝﹣1，z最大值＝F（2，0）＝2即z＝x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选：A．8．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c＝＝5，可得a2+b2＝25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y＝上，∴＝…②，①②联解，得a＝3且b＝4，可得双曲线的方程故选：C．9．（5分）已知函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），y＝f（x﹣2）关于y轴对称，当x∈（0，2）时，f（x）＝log2x2，则下列结论中正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【解答】解：∵f（x+2）＝f（x﹣2），y＝f（x﹣2）关于y轴对称，∴f（x）是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝2，∵当x∈（0，2）时，f（x）＝log2x2，∴f（x）在区间（0，2）是增函数；∴f（4.5）＝f（0.5），f（7）＝f（3）＝f（2+1）＝f（2﹣1）＝f（1），f（6.5）＝f（2.5）＝f（2+0.5）＝f（2﹣0.5）＝f（1.5），∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函数y＝f（x）在区间[0，2]上是增函数，∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选：A．10．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于x＝对称【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）＝sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）＝sin[2•（﹣）+φ]＝0，即φ﹣＝kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ＝，故f（x）＝sin（2x+），∵当2x+＝+kπ，即x＝+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x＝+，k∈Z当k＝0时，x＝为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D．11．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC＝2AB＝2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π【解答】解：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC 外接球的半径是，所以三棱锥A﹣FEC外接球的体积为；故选：B．12．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣kx+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，+∞）D．【解答】解：当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，所以f（x）＝，由f（x）﹣kx+k＝0得f（x）＝kx﹣k，分别作出y＝f（x）和y＝kx﹣k＝k（x﹣1）的图象，如图：由图象可知当直线y＝kx﹣k经过点A（﹣1，1）时，两曲线有两个交点，又直线y＝k（x﹣1）过定点B（1，0），所以过A，B两点的直线斜率k＝．所以要使方程f（x）﹣kx+k＝0有两个实数根，则≤k＜0．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．（5分）某校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图，其中成绩在[40，70]内的学生有120人，则该校高三文科学生共有400人．【解答】解：根据频率分布直方图，得；成绩在[40，70）内的频率为1﹣（0.04+0.02+0.01）×10＝0.3，∴样本容量（共有高三文科学生数）为＝400（人）．故答案为：400．14．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交于抛物线于A，B两点，若AB中点M到抛物线的准线距离为6，则线段AB的长为12．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），p＝2．设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2＝4x的线准线x＝﹣1，线段AB中点到抛物线的准线方程的距离为6，（x1+x2）＝5，∴x1+x2＝10∴|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝10+2＝12，故答案为：12．15．（5分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【解答】解：∵＝（2，3），＝（﹣1，2），∴m+＝m（2，3）+（﹣1，2）＝（2m﹣1，3m+2），﹣2＝（2，3）﹣2（﹣1，2）＝（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）＝0，解得：m＝﹣．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2﹣c2＝2b且tan A＝3tan C，则b＝4．【解答】解：∵tan A＝3tan C，∴＝，即＝，∴＝，整理得：b2＝2（a2﹣c2），∵a2﹣c2＝2b，∴b2＝4b，解得：b＝4或b＝0（舍去），则b＝4．故答案为：4三．解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a1+a3+a5＝12．，且a1，a5，a17成等比数列，S n为{a n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使S n＜5a n成立的最大正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3+a5＝12，∴3a3＝12，∴a3＝4．∵a1，a5，a17成等比数列，∴，∴（4+2d）2＝（4﹣2d）（4+14d），∵d≠0，解得d＝1，∴a n＝a3+（n﹣3）d＝4+（n﹣3）＝n+1；∴数列{a n}的通项公式为：∴．（Ⅱ）∵a n＝n+1，∴，∴即n2﹣7n﹣10≤0，即，且n∈N+，∴n＝8，即n的最大值是8．18．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CC1＝4CF（Ⅰ）求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．【解答】解：过E作EN⊥AC于N，连结EF．（I）连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，所以EN⊥侧面A1C，所以NF⊥A1C，在Rt△CNE中，CN＝CE cos60°＝×4×＝1，又∵CC1＝4CF，∴，∴NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥AC1，A1C⊥平面NEF，所以EF⊥A1C；（II）设点C到平面AEF的距离为d，则V三棱锥C﹣AEF＝V三棱锥F﹣AEC，即S△AEF•d＝S△AEC•CF，所以d＝．19．（12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：【解答】解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为A，B，C，则分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{A，B，C}，，，，，，，．共有8种；（2分）其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{A，B，C}，，，，共有4种．（4分）根据古典概型的概率公式，所求的概率为．（6分）（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关，（7分）根据2×2列联表，得到K2的观测值为：k＝．（10分）因为1.79＜2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”．（12分）20．（12分）已知函数，（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求实数a的值及f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥2时，存在两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），使得曲线y＝f（x）在这两点处的切线互相平行，求证x1+x2＞8．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的导数为，x∈（0，+∞），∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则f′（1）＝2﹣a＝0，∴a＝2，∵，可得x＝1或x＝﹣2（舍），∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：依题意：，由于x1＞0，x2＞0，且x1≠x2，则有，∴⇒x1+x2＞8．21．（12分）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|＝2|ST|．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+＝t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程，由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F2（1，0），|CD|＝4．因为，所以．…（2分）又S，T，，又c2＝1＝a2﹣b2，所以．所以椭圆的标准方程．…（5分）（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2）．由消去y，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1，x2是方程（*）的两根，所以△＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，即2k2＜1，①…（7分）且，由，得所以，…（9分）因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以，即＝，再由①，得，所以t∈（﹣2，2）．…（13分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵P A是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP+∠APD＝∠C+∠CPE．∵∠ADE＝∠BAP+∠APD，∠AED＝∠C+∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP＝∠C，∵∠APC＝∠BP A，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C∴∠APC＝∠C＝∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP＝180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠APC+∠C+∠BAP＝180°﹣90°＝90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BP A中∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CP A，∴△APC∽△BP A．∴．∴．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程ρ＝4cosθ，化为ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2﹣4x＝0．把（t是参数）代入方程上述方程可得：＝0，∴t1+t2＝﹣（m﹣2），t1t2＝m2﹣4m．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝，解得m＝1或3．（II）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2＝4，其参数方程为（θ为参数），设M（x，y）为曲线C上任意一点，，∵∈[﹣1，1]，∴x+y的取值范围是．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|＝，又当﹣1＜x＜2时，﹣3＜﹣2x+1＜3，∴﹣3≤f（x）≤3，∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥f max（x），即a≥3，∴a的取值范围是：[3，+∞）；（Ⅱ）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤3，∴x＝﹣1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．。