一类导数题两种解法的修正与另解
高考数学复习讲义：破解导数问题常用到的4种方法
(－∞，－a－1)，(a，＋∞)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，极大
值为 f(a)＝1.当 a<0 时，f(x)的递增区间是(－∞，a)，(－a－1，
＋∞)，递减区间是(a，－a－1)，f(x)的极小值为 f(－a－1)＝－a2，
极大值为 f(a)＝1.
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[题后悟通] 求导后，若导函数中的二次三项式能因式分解需考虑首 项系数是否含有参数．若首项系数有参数，就按首项系数为 零、为正、为负进行讨论．可归纳为“首项系数含参数，先 证系数零正负”．
函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不
等式f(x)g(x)>0的解集是
()
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
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[解析] 利用构造条件中“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”与待 解不等式中“f(x)g(x)”两个代数式之间的关系，可构造函数 F(x)＝f(x)g(x)，由题意可知，当x<0时，F′(x)>0，所以F(x) 在(－∞，0)上单调递增．又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上 的奇函数和偶函数，所以F(x)是定义在R上的奇函数，从而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增，而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－F(3)，结合图象可知不等式f(x)g(x)>0⇔F(x)>0的 解集为(－3,0)∪(3，＋∞)，故选A.
由
f′(x)＝0⇒x1＝－a－3
a2－3，x2＝－a＋3
a2－3 .
x (－∞，x1) (x1，x2) (x2，＋∞)
导数的应用问题常见类型及解法ppt 通用
故 f (x) 得单调递增区间是 (1,1 k ) 和 (0, ) ，单调递减区间 k
是 (1 k , 0) k
【例 3】（2010·全国卷Ⅰ文）已知函数
f (x) 3ax4 2(3a 1)x2 4x （I）当 a 1 时，求 f (x) 的极值;
当且仅当 3a 1 0 ， 4
解得 a 4 . 3
综上： a 的取值范围为[ 4 , 1] . 36
三、极值（或最值）问题
理论阐释
1．函数的极值：
（1）极值的概念：函数 f (x) 在点 x0 附近有定义，且若对 x0 附近的 所有点都有 f (x) f (x0 ) （或 f (x) f (x0 ) ），则称 f (x0 ) 为函数的 一个极大（小）值，称 x0 为极大（小）值点.
【解析】（I）当 k 2 时， f (x) ln(1 x) x x2 ，
f '(x) 1 1 2x 1 x
由于 f (1) ln 2 ， f '(1) 3 ， 2
所以曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ln 2 3 (x 1) 2
即 3x 2y 2ln 2 3 0
1 x 1
(x 1)(x 7) (x 3)2 (x 1)
，
令 f (x) 0 ，则 x1 1， x2 7 ， 所以当 1 x 1或 x 7 时， f (x) 0 ；当1 x 7 ，且 x 3 时， f (x) 0 ；
所以由以上讨论可知，函数 f (x) 在区间 -1，1，7,上是增函数；在
导数的应用问题常见类型及解法
导数的应用问题主要是利用导数研究函数的问题， 其中函数是载体，导数是工具。该类问题的常见类型 有：切线问题、单调性问题、极值（或最值）问题、 恒成立问题、比较大小及证明不等式问题、零点问题、 以及以上各个问题的综合等，其中渗透并充分利用构 造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的 思想方法，主要考查导数的工具性作用.
利用导数巧解一类常见的三角函数问题
教学实践新课程NEW CURRICULUM在三角函数的教学和练习中,师生常常会碰到一类这样的三角函数问题：问题1：（2013浙江镇海中学阶段性测试）已知3sin α+4cos α=5，求tan α。
问题2：（2014北京石景山5月）已知sin α+cos α=2√，α∈（0，π），求tan α。
师生通常是从三角方面的知识与方程方面的知识相结合出发进行求解，但有时对于像问题1、问题2师生可以将三角方面的知识与导数求极值的知识相结合来巧妙解答。
因为三角函数相关的知识学习是在必修内容中，而导数相关知识在选修内容中，在高中数学的教学过程中，很多学校老师往往是先进行必修内容的教学，再进行选修内容的教学。
选修内容的有些知识与前面必修内容知识联系密切。
比如，导数与函数会放在高三复习时连接起来，但是因为高考对三角函数的考查一般很少与导数联系起来，所以很多师生都会忽略导数与三角函数相结合起来解题。
有时对于像问题1、2这种类似的问题，将导数与三角函数结合起来能巧妙快速准确地解答题目。
作者先给出问题1目前常见的四种解法。
图1思路1图2思路2解法1：3sin α+4cos α=5，等式变形得3sin α=5-4cos α，两边平方得9sin 2α=25-40cos α+16cos 2α得到关于cos α的方程：25cos 2α-40cos α+16=0，（5cos α-4）2=0，求出：cos α=45，sin α=35，从而得到tan α=34解法2：等式两边平方得到：9sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=259sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=25（sin 2α+cos 2α）等式两边同时除以cos 2α得16tan 2α-24tan α+9=0，tan α=34图3思路3图4思路4解法3：设4sin α-3cos α=x ，两式平方相加得到x 2+25=（4sin α-3cos α）2+（3sin α+4cos α）2=25，x =0则tan α=34解法4：∵3sin α+4cos α=5sin （α+φ），其中cos φ=35，sin φ=45∴sin （α+φ）=1，则α+φ=2k π+π2（k ∈Z ）sin α=sin （2k π+π2-φ）=cos φ=35，cos α=cos （2k π+π2-φ）=sins φ=45，故tan α=34现在，重点介绍解法5：利用导数的有关知识来求解。
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。
因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。
好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。
第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。
（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数的导数。
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。
（2）了解微积分基本定理的含义。
总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()的切线是导数的重要应y f x用，为近几年各省市高考命题的热点。
2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
解题技巧：1．导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。
导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法(解析版)
导数专题：导数与曲线切线问题的6种常见考法一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）第一步：设切点为()()00,Q x f x ；第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．二、公切线问题研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
三、切线条数问题求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
四、已知切线求参数问题此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。
题型一“在”点求切线问题【例1】函数2()ln 2f x x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为（）A．33y x =-B．3y x =C．31y x =+D．33y x =+【答案】B【解析】因为2()ln 2f x x x x =++，所以()1ln 2f x x x=++'()13f '∴=，又()13f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33(1)y x -=-，即3y x =.故选：B.【变式1-1】已知函数()f x 满足()()3211f x x f x =-'⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程.【答案】（1）()11f '=；（2）8110x y --=【解析】（1）因为()()3211f x x f x =-'⋅+，则()()2321f x x f x ''=-，所以，()()1321f f ''=-，解得()11f '=.（2）由（1）可知()321f x x x =-+，则()232f x x x '=-，则()25f =，()28f '=，因此，()f x 的图象在2x =处的切线方程为()582y x -=-，即8110x y --=.【变式1-2】若曲线2y x ax b =++在点(0,)P b 处的切线方程为10x y -+=，则a ，b 的值分别为（）A．1，1B．1-，1C．1，1-D．1-，1-【答案】A【解析】因为2y x a '=+，所以0|x y a='=曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线10x y -+=的斜率为1，1a ∴=，又切点(0,)b 在切线10x y -+=上，010b ∴-+=1b ∴=．故选：A．【变式1-3】已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=（）A．2-B．1-C．0D．1【答案】B【解析】因为()2ln f x a x x =+，所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，所以()123f a '=+=，解得1a =，则()2ln f x x x =+，所以()11f =，代入切线方程得310b -+=，解得2b =-，故1a b +=-.故选：B.题型二“过”点求切线问题【例2】（多选）已知曲线()()3211f x x =++，则曲线过点()0,3P 的切线方程为（）A．630x y +-=B．630x y -+=C．5260x y -+=D．3260x y -+=【答案】BD【解析】设切点坐标为()()300,211x x ++，()()261f x x '=+，∴切线斜率为()()20061k f x x '==+切线方程为()()()2003012161y x x x x ⎤=+-++⎦-⎡⎣曲线过点()0,3P ，代入得()()()20030362111x x x ⎡⎤++⎣=--⎦+可化简为()()032001113x x x +-+=，即3020023x x -=-，解得00x =或032x =-则曲线过点()0,3P 的切线方程为630x y -+=或3260x y -+=故选：BD【变式2-1】过原点的直线,m n 与分别与曲线()e xf x =，()lng x x =相切，则直线,m n 斜率的乘积为（）A．-1B．1C．eD．1e【答案】B【解析】设()(),f x g x 的切点分别为()()1122,e ,,ln xx x x ，由题意可得()e xf x '=，()1g x x'=，所以()f x 在1x x =处的切线为()111e e x xy x x -=-，()g x 在2x x =处的切线为()2221ln y x x x x -=-，又因为两条切线过原点，所以()()1112220e e 010ln 0x x x x x x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得121e x x =⎧⎨=⎩，所以直线,m n 斜率的乘积为()()1121e 1ef xg x ''=⨯=，故选：B【变式2-2】设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点，直线l 过点P 与曲线相切，则直线l 的倾斜角的取值范围为______.【答案】π0,4⎛⎤⎥⎦⎝【解析】设直线l 的倾斜角为α2e e e e 4(e e e e e e x x x x x x x x x x y y -------''=∴=+++=（）0e e 1x x y -≥∴≤<'+2][]tan (0,1,0,ααπ∴∈∈π0,4α⎛⎤∴∈ ⎥⎦⎝【变式2-3】过点()1,0作曲线e x y =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e x y =，设切点()11,ex x ，则11e ,e x xy k=='，切线()1111:e e x xl y x x -=-过()1,0，()111e e 1x x x ∴-=-，2112,e x k ∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()22,e xx -，22e ,e x x y k --=-=-'，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()1,0，()222e e 1x x x --∴-=--，220,1x k ∴==-，故212e 1k k +=-.故答案为：2e 1-.题型三切线的条数问题【例3】若过点()0,(0)b b >只可以作曲线e xxy =的一条切线，则b 的取值范围是__________.【答案】24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数e x x y =的定义域为R ，则1e x x y -'=，设切点坐标为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率为001e x x k -=，故切线方程为：()000001e e x x x x y x x --=-，又切线过点()0,(0)b b >，则()000200001e e e x x x x x x b x b --=-⇒=，设()2ex x h x =，则()()20e xx x h x -'==得，0x =或2x =，则当(),0x ∈-∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当()0,2x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()()2400,2e h h ==，又x →-∞时，()h x →+∞，x →+∞时，()0h x →，所以02ex x b =有且只有一个根，且0b >，则24e b >，故b 的取值范围是24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【变式3-1】若曲线(2)e x y x a =-有两条过坐标原点的切线，则实a 的取值范围为______.【答案】(,0)(8,)-∞⋃+∞【解析】设切点坐标为：00(,)x y ，(22)e x y x a '=+-，所以切线斜率为00(22)e x k x a =+-，即切线方程为0000(2)e (22)e ()x xy x a x a x x --=+--，又切线过坐标原点，所以00000(2)e (22)e (0)x x x a x a x --=+--，整理得20020x ax a -+=，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个解，所以280a a ∆=->，解得(,0)(8,).a ∈-∞⋃+∞故答案为：(,0)(8,).-∞⋃+∞【变式3-2】已知过点(),0A a 可以作曲线()2e xy x =-的两条切线，则实数a 的取值范围是（）A．()2,+∞B．()(),e 2,∞∞--⋃+C．()(),22,∞∞--⋃+D．()(),12,-∞-+∞【答案】C【解析】设切点是()00,P x y ，0R x ∈，即()0002e x y x =-，而()1exy x '=-故切线斜率()001e x k x =-，切线方程是()()()00002e 1e x xy x x x x --=--，又因为切线经过点(),0A a ，故()()()00002e 1e x xx x a x --=--，显然01x ≠，则()0000021111x a x x x x -=+=-+--，在01x ≠上有两个交点，令01x x =-，设()1,0h x x x x =+≠，则()222111x h x x x-=-='，令()0h x '=得11x =-，21x =，所以当(),1x ∈-∞-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，又()12h -=-，()12h =，且x →-∞时，()h x →-∞，0x -→时，()h x →-∞，0x +→时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，所以()a h x =有两个交点，则2a >或2a <-，故实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+.故选：C.【变式3-3】已知函数()326f x x x =-，若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切，则t 的取值范围是（）A．()5,4--B．()4,3--C．()3,2--D．()2,1--【答案】A【解析】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -，()2312f x x x '=-，()2312f m m m '∴=-，则切线方程为：()()()3226312y m m m m x m --=--，又切线过点()1,P t ，()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-，令()322912g m m m m =-+-，则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点，()()()261812612g m m m m m '=-+-=---，∴当()(),12,m ∈-∞+∞时，()0g m '<；当()1,2m ∈时，()0g m '>；()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减，在()1,2上单调递增，又()15g =-，()24g =-，由此可得()g m 图象如下图所示，由图象可知：当()5,4t ∈--时，y t =与()g m 有三个不同的交点，即当()5,4t ∈--时，过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切.故选：A.题型四两曲线的公切线问题【例4】若直线1:2l y kx b k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与曲线1()e x f x -=和()ln(1)g x x =+均相切，则直线l 的方程为___.【答案】y x=【解析】设()f x ，()g x 上的切点分别为()111,ex A x -，()()22,ln 1B x x+，由()1e xf x -'=，()11g x x '=+，可得1121e 1x k x -==+，故()f x 在A 处的切线方程为()()1111111111ee e e 1x x x x y x x y x x -----=-⇒=+-，()g x 在B 处的切线方程为()()()222222211ln 1ln 1111x y x x x y x x x x x -+=-⇒=++-+++，由已知()()()111122121221e 1ln 11e 1ln 11x x x x x x x x x --⎧=⇒-=+⎪+⎪⎨⎪-=+-⎪+⎩,所以()()()22222222221ln 1ln 1ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⇒=+ ⎪++++⎝⎭，故20x =或()2ln 11x +=，而()222111ln 111e 1e 2x x x +=⇒+=⇒=<+，不合题意舍去，故20x =，此时直线l 的方程为y x =.故答案为：y x =.【变式4-1】已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线，则b =________.【答案】2【解析】设该公切线过函数()e xf x =、函数()lng x x b =+的切点分别为()11,ex x ，()22,ln b x x +.因为()e xf x '=，所以该公切线的方程为()1111111e e e e ex x x x x y x x x x =-+=+-同理可得，该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点，所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩，解得1211,e ,2x x b ===.故答案为：2【变式4-2】函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则a b -=（）A．1B．3C．6D．2【答案】C【解析】()bf x ax x =+，则2()b f x a x '=-，则在点(1,3)处的切线的斜率为12(1)1bk f a a b '==-=-，213x y =，则6y x '=，则在点(1,3)处的切线的斜率为26k =，函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线，则12k k =，即6a b -=，故选：C.【变式4-3】若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【解析】令()e x f x a =，()g x ()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，12e a ∴=a ==题型五切线平行、垂直问题【例5】若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．A．12B．1C．32D．2【答案】C 【解析】因为21ln x ay x --'=，所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32a =．故选：C．【变式5-1】已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________．【答案】2250x y -+=【解析】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-，解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n ==，所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为：()125252y x -=-，即2250x y -+=，故答案为：2250x y -+=.【变式5-2】若曲线s n e i =+x y x a 存在两条互相垂直的切线，则a 的取值范围是________．【答案】()(),00,∞-+∞U 【解析】由题知，令()e sin x f x a x =+，则()e cos xf x a x '=+．若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得1x ∃，2x ，()()121f x f x ''⋅=-．当0a =时，()21e 0,xx x f x '=>⇒∀，()()120f x f x ''>，与题目矛盾；当0a ≠时，由()e 0,xy =∈+∞，cos y a x a=≥-可得()f x '的值域是(),a -+∞故12,x x ∃，使得()()1,0f x a '∈-，()210,f x a ⎛⎫'∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()()121f x f x ''⋅=-．故答案为：()(),00,∞-+∞U ．【变式5-3】曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为______．【答案】()1,3或()1,3-【解析】由已知得231y x '=-，令2y '=，则2312x -=，解得1x =或=1x -，所以()1,3P 或()1,3P -．经检验，点()1,3P 与()1,3P -均符合题意．故答案为：()1,3或()1,3-【变式5-4】若曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，则实数a 的最大值为______.【答案】3【解析】()()10f x x a x x=++>，因为曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线，所以15x a x ++=在()0,∞+有解.即15a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+有解.设()15g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，则()1553g x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，即()3g x ≤.所以3a ≤，即a 的最大值为3.故答案为：3题型六与切线有关的最值问题【例6】若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（）A．14B．4C．22D．18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-，∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+，,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴24=.故选：B .【变式6-1】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线24x y =上的一个动点，则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】2【解析】设直线0x y b ++=与214y x =相切，则切线的斜率为1-且12y x '=，令112y x '==-，则2x =-，即切点的横坐标为2-，将2x =-，代入214y x =，可得1y =，即切点坐标为()2,1-，所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离，即2d =，故答案为:【变式6-2】已知P 为直线210x y +-=上的一个动点，Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______.【解析】直线210x y +-=可化为：1122y x =-+.对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时，代入10=不成立，所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++，导数为31142y x x -'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时，两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得：322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当Q ⎝⎭时，PQ当,324Q ⎛-+ ⎝⎭时，PQ =综上所述：线段PQ.【变式6-3】点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的a 的值是__________.【答案】2-【解析】由题设12y x x '=-且0x >，令0'>y ，即22x >；令0'<y ，即202x <<，所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎝⎭上单调递减，在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，且12|ln 022x y ->，如图所示，当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时，距离最近.令1y '=，可得12x =-（舍）或1x =，所以1|1x y ==，则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ，=2a =（舍去）或2-，故答案为：2-.。
高考导数题型分析及解题方法(可编辑修改word版)
在区间 上的最大值是 2高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=y 2 - y 1，三代切点入切线、曲x 2 - x 1线联立方程求解）；※※其它问题（一求导数，二解 f ' (x ) =0 的根—若含字母分类讨论，三列 3 行 n列的表判单调区间和极值。
结合以上所得解题。
）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。
导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。
关注几点：恒成立：（1）定义域任意 x 有 f (x ) >k ,则 f (x )min >常数 k ；（2）定义域任意 x 有 f (x ) <k ,则 f (x )max <常数 k恰成立：（1）对定义域内任意 x 有 f (x ) > g (x ) 恒成立，则【f (x )-g (x )】min > 0,（2）若对定义域内任意 x 有 f (x ) < g (x ) ：恒成立，则【f (x )-g (x )】max < 0能成立：（1）分别定义在[a ,b ]和[c ,d ]上的函数 f (x )和g (x ) ，对任意的 x 1 ∈[a , b ], 存在x 2 ∈[c , d ], 使得 f (x 1 ) < g (x 2 ) ，则 f (x )max < g (x )max（2）分别定义在[a ,b ]和[c ,d ]上的函数 f (x )和g (x ) ，对任意的 x 1 ∈[a , b ], 存在 x 2 ∈[c , d ], 使得 f (x 1 ) > g (x 2 ) ，则 f (x )min > g (x )min一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等 二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
导数常见题型方法总结
导数题型总结例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，假设在区间D上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数〞，实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- 〔1〕假设()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，求m 的取值围；〔2〕假设对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=--2()3g x x mx ∴=-- 〔1〕()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数〞，则 2()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：别离变量法：∵当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x ->=-的最大值〔03x <≤〕恒成立， 而3()h x x x=-〔03x <≤〕是增函数，则max ()(3)2h x h ==2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数〞则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立〔视为关于m 的一次函数最值问题〕30110x >⇒-<<> 例2),10(32R b a b x a ∈<<+-],2+a 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值围. 解：〔Ⅰ〕()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞，a 〕和〔3a ，+∞〕∴当*=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当*=3a 时，)(x f 极大值=b.〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x ag x a≤⎧⎨≥-⎩22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a=01,a <<12a a a a +>+=〔放缩法〕即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
导数常见题型与解题方法总结
导数常见题型与解题方法总结导数题型总结：1.分离变量：在使用分离变量时，需要特别注意是否需要分类讨论（大于0，等于0，小于0）。
2.变更主元：已知谁的范围就把谁作为主元。
3.根分布。
4.判别式法：结合图像分析。
5.二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系；（2）端点处和顶点是最值所在。
基础题型：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：1.令f'(x)=0，得到两个根。
2.画两图或列表。
3.由图表可知。
另外，变更主元（即关于某字母的一次函数）时，已知谁的范围就把谁作为主元。
例1：设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)<___成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”。
已知实数m是常数，f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62.1.若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围。
解法一：从二次函数的区间最值入手，等价于g(x)<0在[0,3]上恒成立，即g(0)<0且g(3)<0.因此，得到不等式组-3<m<2.解法二：分离变量法。
当x=0或x=3时，g(x)=-3<0.因此，对于0≤x≤3，g(x)<___成立。
根据分离变量法，得到不等式组-3<m<2.2.若对满足m≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值。
由f(x)=(-x^4+mx^3+3x^2)/62得到f'(x)=(-4x^3+3mx^2+6x)/62，f''(x)=(-12x^2+6mx+6)/62.因为f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”，所以f''(x)>0在(a,b)___成立。
因此，得到不等式组a≤x≤b和-12a^2+6ma+6>0，即a≤x≤b且m≤2或a≤x≤b且m≥1/2.由于m≤2，所以a≤x≤b且m≤2.根据变更主元法，将F(m)=mx-x^2+3视为关于m的一次函数最值问题，得到不等式组F(-2)>0和F(2)>0，即-2x-x^2+3>0且2x-x^2+3>0.解得-1<x<1.因此，b-a=2.Ⅲ）由题意可得，对任意x∈[1,4]，有f(x)≤g(x)代入g(x)得：x3+(t-6)x2-(t+1)x+3≥x3+(t-6)x2/2化___：x2(t-7/2)-x(t+1/2)+3≥0由于对于任意x∈[1,4]，不等式都成立，所以判别式≤0：t+1/2)2-4×3×(t-7/2)≤0化___：t2-10t+19≤0解得：1≤___≤9综上所述，a=-3，b=1/2，f(x)的值域为[-4,16]，t的取值范围为1≤t≤9.单调增区间为：$(-\infty,-1),(a-1,+\infty)$和$(-1,a-1)$。
(完整版)高中数学高考导数题型分析及解题方法
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
导数压轴题的几种处理方法
导数压轴题的几种处理方法导数压轴题在高等数学中属于比较重要的部分，对于学生来说也是比较难以掌握和解答的问题。
在解决导数压轴题的过程中，有一些常用的处理方法可以帮助我们更好地理解题目、分析问题以及解决问题。
接下来，我将介绍一些常见的导数压轴题处理方法。
1.代数化简法：对于一些复杂的函数表达式，我们可以通过代数化简的方法将它转化为更简单的形式。
在处理导数压轴题时，代数化简法也是一种常用的处理方法。
可以通过分子有理化、公式换元、加减引理等方法对函数进行化简，从而更方便地进行导数运算。
2.函数性质法：当给定函数的性质或公式时，可以通过利用函数的性质和公式进行求导。
对于一些常见函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，有一些基本的求导公式，可以通过直接套用公式进行求导。
3.极限转换法：在求导过程中，有时候我们可以通过将导数的定义转化为极限的形式，然后利用极限的性质来求导。
极限转换法通常适用于一些特殊的函数形式，如分段函数、绝对值函数等。
4.高阶导数法：对于一些特殊的问题，我们还可以通过求取高阶导数来解决。
通过求取函数的一阶、二阶、甚至更高阶导数，可以更全面地了解函数的性质和特点，从而更好地解答问题。
5.导数的几何意义法：导数的几何意义是描述函数变化率的概念，一些导数压轴题可以通过对导数的几何意义进行分析来解决。
例如，利用导数的几何意义可以判断函数的增减性、极值点和拐点等。
6.隐函数求导法：一些函数的表达式难以直接求导，可以通过对方程两边同时求导的方法来解决。
这种方法通常适用于隐函数关系的导数压轴题，可以通过对隐函数关系进行求导然后解方程得到结果。
7.递归求导法：对于一些重复出现的函数表达式，可以通过递归求导法直接求取导数的表达式。
这种方法适用于一些具有规律性的函数，可以通过重复进行相同的导数运算来求取导数。
8.利用导数性质法：导数具有一些特定的性质，如导数的和、差、积、商、复合函数等性质。
在求导过程中，可以通过利用这些性质来简化计算过程，从而更快速地求解导数问题。
导数解题技巧归纳
导数解题技巧归纳
在解题时，我们可以使用以下技巧来求解导数：
1. 基本导数公式：掌握常用函数的导数公式，例如常数函数、幂函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 基本运算法则：了解基本导数运算法则，例如和法则、差法则、积法则、商法则等。
3. 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则来求导数。
链式法则的公式为：如果 y=f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
4. 隐函数求导法则：对于含有隐函数的方程，可以使用隐函数求导法则来求导数。
隐函数求导法则的公式为：如果F(x,y)=0，则 dy/dx = - F_x / F_y，其中 F_x 表示 F 对 x 求偏导数，F_y 表示 F 对 y 求偏导数。
5. 参数方程求导法则：对于参数方程，可以使用参数方程求导法则来求导数。
参数方程求导法则的公式为：如果 x=f(t)，
y=g(t)，则 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
6. 高阶导数：在一些情况下，需要求高阶导数，即导数的导数。
在求高阶导数时，可以多次应用导数法则和技巧。
7. 极限法求导：有时，可以使用极限法来求导数，即根据导数的定义进行计算。
8. 几何意义：了解导数的几何意义，即导数表示函数曲线在某一点的切线斜率。
根据几何意义，可以判断函数在某一点的导数的正负性以及函数的变化趋势。
综上所述，以上是一些常见的导数解题技巧，通过掌握这些技巧，可以更有效地求解导数。
不同的题目可能需要结合不同的技巧和方法来求解，因此在解题时，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。
一类导数题两种解法的修正与另解
２０ ０ ９生
Ａ ０时 ， ≠ ：
， 。的取 值 范 围 为 一 ≤。 ≤
，
使得
（
（ ） 于三 次 函数 Ｉ ） ３对 厂 的图像上任 意不 同的 ２ （
再来看 解法 ２ 先 证下列命题 ： ． 命题 １ … 三 次 函 数 厂（ ）的 对 称 中 心 为 个点 （ ） ， ） （：
解得
一 ＜ｎ＜ ．
上 述 ２种解 法 简洁 、 懂 ， 易 乍看起 来 ， 似乎 都 很
有 道理 ， 仔细 一想 ， 但 其实不 然 １
２ ２种解 法 的修正
≠ 彳 ・
当ｎ 时， 理 ≠ ：一 同 可得 ≥ ， 此当 因
・
１ ・ ４
中学教研 （ 学） 数
Ｒ）若 函数 Ｙ＝ ） ， 的图像上 任意 不 同 的 ２个 点 连 线 的斜率 都小 于 ２ 求 口的取值 范 围． ，
１ ２种 流行 解 法
） 一
（ ２ ） ４ ｘ 一似２ ２ ０ 一Ⅱ 一 （ ＋ ）＜ ， 即 △ ０对一 切 ∈Ｒ恒成立 ， ＜ 或者 当
（２ 口 ４ Ｘ 一 ＋ ） ｏ 一 ） 一 （； 似２ ２ ＝
时 ， ≠０ ＿
，
二 ±竺 二 ±兰
、
， ，
一 ●
亦 即 △ ０且 ≠ ＝
对一 切 ∈ ：
１ 一 ２
从 而
一
Ｒ恒成立 即可． 修正 如下 ： 现
二 堑
１一
兰二
＜ ２
且 当 △。 ０时 ， ≠ ： ， 得
△ ＝ Ｘ 一 ） 一 （； ｎ２ ２ ＜ ， ｌ （２ ｎ ４ Ｘ 一 ＋ ） ０
即 ３ ２ ｘ 一 ＋ ０ ｘ 一 ａ ２ Ⅱ ８＞ ．
导数解答题的技巧和方法(2)(含解析)
导数解答题的技巧和方法（2）[高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等． 考点一 导数的几何意义及定积分 [核心提炼] 1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．4个易出错的导数公式 (1)(sin x )′＝cos x . (2)(cos x )′＝－sin x .(3)(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)． (4)(log a x )′＝1x ln a(a ＞0，且a ≠1，x ＞0)． [规律方法]曲线y ＝f (x )的切线方程的3种类型及求解方法 (1)已知切点P (x 0，y 0)，求切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率k ，求切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．考点二 利用导数研究函数的单调性 [核心提炼]导数与函数单调性的关系(1)f′(x )＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x )≥0. (2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x )＝0时，f (x )为常数函数，函数不具有单调性． [规律方法]求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集：(1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论．(2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论． [注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制． 考点三 利用导数研究函数的极值(最值) [核心提炼]导数与函数的极值、最值的关系(1)若在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．(2)设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得. [规律方法]利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值． 【题型】一．函数的单调性求参数 二．极值与参数 三．最值与参数 四．极值点偏移五．恒成立问题求参数 【方法规律总结】 一．函数的单调性求参数 例1．已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈. （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当1k >时，讨论函数()f x 的零点的个数.练习1．已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围.练习2．已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+．（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程； （2）若2a -…，证明：当0x …时，()0f x …．练习3．已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.二．极值与参数 例2. 1．已知函数321()3f x x x mx m =+++. （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.练习1．已知函数()3213f x x x a =-+. （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值；（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值.三．最值与参数例3．设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围.练习1．已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R .（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln ≈：）四．极值点偏移例4.．已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值；（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()1,()2f x g x x=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +>.练习1．已知函数()212xf x e x ax =--有两个极值点12,x x .（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：120x x +<； （III ）求证：()()122f x f x +>.练习2．已知函数()ln f x kx x =-.（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >.五．恒成立问题求参数例5.已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =．（1）求函数()()f x yg x =的极小值；（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数；（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值．练习1．已知函数()ln (3)2()f x x x k x k k =+-+-∈Z . （1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若当1x >时，总有()0f x >，求k 的最大值.【方法规律总结】 一．函数的单调性求参数 例1．已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈. （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）当1k >时，讨论函数()f x 的零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x x x-=-=， 令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减，()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）()n 'l ln 1x k x x xf x x kx --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x ， 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点. 显然()22211022kkf eee ---=-<-<，()()1112f x f >=， ∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点. 又()222221122nknknk f een k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）， 设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在()1+¥， 单调递增,即()()120h x h e ''≥=->.所以()2xh x e x =-在()1+¥， 单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大的整数时）.于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-.构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e =. ①当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点.②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点.③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点.练习1．已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】（1）由()()()()21221x a x af x x a x x-+=-+-=-'， 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减， 当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或12x =-（负根舍去）， 令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减． 综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减 （2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，当a ＞0时，()2()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤，令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]0,1．练习2．已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+．（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程； （2）若2a -…，证明：当0x …时，()0f x …． 【答案】（1）320ex y e --=；（2）见解析 【解析】当0a =时，2()x f x x e =g ，2()(2)x f x x x e '=+g ，()13f e '=，()1f e =，∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，即320ex y e --=；（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++，2a -Q …，∴当0x …时，22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++厖，即()0g x '…且不恒为零．()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =…，即()0f x '…，()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=…，即()0f x …． 故若2a -…，则当0x …时，()0f x …． 练习3．已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) [)1e ++∞， 【解析】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x ->，022a a ---+<<，()f x ∴在0,2a ⎛- ⎪⎝⎭为增函数，22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。
利用导数解题的常见类型及处理策略
利用导数解题的常见类型及处理策略郭兴甫【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)013【总页数】6页(P18-23)【作者】郭兴甫【作者单位】云南省曲靖市会泽县东陆高级中学校【正文语种】中文导数是高中数学的重要内容,也是高考命题的热点内容,每年的高考试题中一般都会出现一道小题(选择题或填空题)和一道大题(解答题),分值占17分左右,内容主要涉及导数的计算、导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性、求极值(最值)、证明不等式等问题,综合性较强,并且能充分考查数学核心素养.为了帮助同学们更好地掌握这部分内容,本文举例说明利用导数解决问题的常见题型及处理策略,以期对同学们学习这部分内容有所启示.1 考查导数的概念及几何意义例1 已知曲线f(x)=x-2ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=-x2+m相切,则m=( ).因为f(x)=x-2ln x，所以故曲线f(x)=x-2ln x在x=1处的切线的斜率为k=-1,则曲线f(x)=x-2ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.由于切线与曲线y=-x2+m相切,故可设切点(x0,y0),因为y′=-2x,所以k=-2x0=-1,得到再代入切线方程x+y-2=0,则故切点坐标为又知切点满足曲线y=-x2+m,解得故选A.本题考查了利用导数的几何意义求已知曲线的切线、利用直线和曲线的位置关系求参数值,属于中档题,学生在解决此类问题时一定要分清“在某点处的切线”,还是“过某点的切线”;解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标,求出曲线的斜率(导数),进而得到切线方程．例2 已知函数(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.(1) 当a=1时,则所以所求切线的斜率故所求的切线方程为即3x-4y+4=0.(2) f(x)的定义域为(0,+∞), 则当a≥0时,令f′(x)=0，得x=1或x=-a(舍去).故当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当a<0时,令f′(x)=0,得x=-a或x=1.若当-1<a<0时,0<-a<1. 故当x∈(0,-a)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-a,1)时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,-a)和(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减.当a=-1时,f′(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<-1时,-a>1,故当x∈(0,1)∪(-a,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(1,-a)时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)和(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减.本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程,解答的关键是分类讨论导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时，原函数单调递增,当导函数小于0时，原函数单调递减.这类问题是高考中的热点．2 利用导数求函数的单调区间例3 已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)讨论函数φ(x)=aln x-bg(x) (a∈R,b>0)在(1,+∞)上的单调性;(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.(1) 因为φ(x)=aln x-b(9x-1),所以当即a≤9b时,φ′(x)<0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递减;当即a>9b时,令φ′(x)>0,得令φ′(x)<0,得x>所以φ(x)在上单调递增,在上单调递减.(2) f(x)>g(x)，证明如下.设h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,因h′(x)=3ex+2x-9为增函数,故可设h′(x0)=0,因h′(0)=-6<0,h′(1)=3e-7>0,所以x0∈(0,1).当x>x0时,h′(x)>0;当x<x0时,h′(x)<0,所以又3ex0+2x0-9=0,所以3ex0=-2x0+9,所以因为x0∈(0,1),所以(x0-1)(x0-10)>0,所以hmin(x)>0,所以f(x)>g(x).此题主要考查导数在研究函数的单调性、最值以及不等式的证明中的应用,也是常考题.利用导数研究函数单调性的一般步骤如下：1)确定函数的定义域;2)求函数的导数;3)若求单调区间(或证明单调性),只需在函数的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.若已知函数的单调性求参数,只需转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间内恒成立的问题求解,在求解过程中要注意分类讨论.3 利用导数解决函数单调性的应用问题例4 已知(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调减区间;(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.(1) a=-1时,所以令f′(x)<0,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递减.(2)因为所以f′(x)≥0,即整理得a(1+x)≥-x(1+x).因为1+x为正数,所以a≥-x,又因为-x<0,所以a≥0.本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求参数的取值范围. 其中利用单调性求参数的取值范围的常见方法如下:1) 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间进行比较，求参数需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;2) 利用导数将问题转化为不等式f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立的问题求解参数范围,即转化为不等式的恒成立问题来求解，即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”.4 利用导数研究函数的极值问题例5 已知函数其中a为实常数.(1)若是f(x)的极大值点,求f(x)的极小值;(2)若不等式对任意恒成立,求b的最小值.(1)因为所以由得所以此时则所以f(x)在上为减函数,在[2,+∞)上为增函数.所以x=2为极小值点,其极小值为(2) 不等式等价于f(x)≤b,所以b≥fmax(x).若1≤x≤2,则当a=0,x=2时取等号;若则ln x<0,且由(1)知在上为减函数.当时,因为故所以求函数f(x)极值的步骤:1)确定函数的定义域;2)求导数f′(x);3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x处取极小值.注意:“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件，导数值为0的点不一定是函数的极值点(如y=x3).5 利用导数求函数的最值问题例6 已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-2和处都取得极值.(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)求f(x)在区间[-3,2]的最大值与最小值.(1) 因为f(x)=x3+ax2+bx,所以f′(x)=3x2+2ax+b,由题意知所以函数的解析式为故令f′(x)>0，则或x<-2；f′(x)<0，则所以f(x)的单调递增区间是单调递减区间是(2)由(1)可列表1.表1x(-3,-2)-2(-2,12)12(12,2)f′(x) +0-0+f(x)递增极大递减极小递增由表1可知，f(x)的极小值为极大值为f(-2)=7,而所以求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:1)求函数在(a,b)内的极值;2)求函数在区间[a,b]端点的函数值f(a),f(b);3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.注意:函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值,如果存在最大或最小值,最大值一般是在端点或极大值点取得,最小值一般是在端点或极小值点取得.极值与最值的区别:“极值”反映函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质;“最值”是个整体概念,是整个区间上的最大值或最小值,具有绝对性.从个数上看,最值若存在,则必定是唯一的,而极值可以同时存在若干个,且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小).求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点函数值的大小.例7 函数f(x)=(mx-1)ex+(1-m)x+1,m∈R.(1)若m=0时,求函数f(x)的最大值;(2)若x>0时,恒有f(x)>0,求m的取值范围.(1)当m=0时, f(x)=-ex+x+1,所以f′(x)=-ex+1,令f′(x)≥0，得x≤0. 故当x∈(-∞,0) 时,f′(x)>0, f(x)单调递增,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)≤f(0)=0.即当m=0时，函数f(x)的最大值为0.(2)由f(x)>0，可得mx(ex-1)>ex-x-1,由x>0，知ex-1>0.所以令所以令所以由x>0知所以故在x∈(0,+∞)单调递减,即在x∈(0,+∞)上单调递减,由洛必达法则知综上所述恒成立,即高考中经常会遇见恒成立的问题,可根据参变分离,将问题转化为不含参数的函数的最值问题.若f(x)>0就可讨论不同参数下函数的单调性、极值以及最值,最终转化为fmin(x)>0；若f(x)<0恒成立,转化为fmax(x)<0.6 利用导数判断函数零点的个数问题例8 已知函数f(x)=x+aex+b (a,b∈R)在x=0处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)的零点个数,并说明理由.(1)因为f′(x)=1+aex,且f(x)在x=0处取得极值，所以f′(0)=0,即1+a=0,解得a=-1.令f′(x)>0,即1-ex>0,解得x<0;令f′(x)<0,即1-ex<0,解得x>0.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).(2)由(1)知f(x)在x=0处取得最大值b-1.故当b-1<0，即b<1时,f(x)<0,所以f(x)无零点；当b-1=0，即b=1时,当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)有1个零点；当b-1>0，即b>1时,fmax(x)=f(0)=b-1>0,因为-b<0,且f(-b)=-b-e-b+b=-e-b<0,又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上有且只有一个零点.因为b>1,且f(b)=b-eb+b=2b-eb,令g(x)=2x-ex,x≥1,则g′(x)=2-ex<0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=2-e<0,所以f(b)<0.又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有1个零点.故当b>1时,f(x)有2个零点.利用导数研究函数零点的方法:1)求函数的单调区间和极值,根据函数的性质作出图象,判断函数零点的个数;2)求函数的单调区间和极值,分类讨论,判断函数零点的个数．例9 设函数(1)当k<1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k≤0时,讨论函数f(x)的零点个数.(1) 函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),所以f′(x)=ex+(x-1)ex-kx=xek-kx=x(ex-k).当k≤0时,令f′(x)>0,解得x>0,故f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).当0<k<1时,令f′(x)>0,解得x<ln k或x>0,所以f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在(ln k,0)上单调递减.(2) 因为f(0)=-1,所以当k<0时,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上只有1个零点；在区间(-∞,0)中,因为取于是又f(x)在(-∞,0)上单调递减,故f(x)在(-∞,0)上也只有1个零点. 所以,函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有2个零点.当k=0时,f(x)=(x-1)ex在单调递增区间[0,+∞)内,只有f(1)=0.在区间(-∞,0)内f(x)<0,即f(x)在此区间内无零点.所以,函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有且仅有1个零点.本题的两问中都用到了分类讨论的思想,分类讨论思想是高中数学里的一种重要思想,要从分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结果四个方面进行研究,大家要理解掌握并灵活运用.7 利用导数证明不等式例10 已知函数f(x)=ln x-x.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)函数有2个零点x1,x2,且x1<x2，求证:x1+x2>1.(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以令f′(x)>0,得0<x<1;令f′(x)<0,得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞).(2)根据题意,因为x1,x2是函数的2个零点,所以两式相减,可得即故则令其中0<t<1,则构造函数则因为0<t<1,所以h′(t)>0恒成立,故h(t)<h(1),即知故x1+x2>1.本题主要考查了利用导数证明不等式的方法、换元思想的应用等知识,旨在考查学生的转化能力和计算求解能力.在证明不等式时,常常需要将问题转化为求函数的最大值或最小值的问题,这是证明不等式的基本思想．例11 函数f(x)=ln x+ax+b, a,b∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=0时，x1,x2为2个不相等的正数,证明:(1) 由题意可得，函数f(x)的定义域为若则f(x)在区间(0,+∞)上为增函数;若a<0,令得则当时,f′(x)>0,f(x)在区间上为增函数;当时,f′(x)<0,f(x)在区间上为减函数.(2)当a=0时,f(x)=ln x+b.不妨设x1>x2>0,则原不等式等价于令则原不等式等价于设则故h(t)在区间(1,+∞)上为增函数,h(t)>h(1)=0,即所以本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等式主要方法有两种,一是比较简单的不等式证明,将不等式两边作差，构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合问题把要证的不等式变形,并运用已知结论进行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.8 利用导数解决实际生活中的问题例12 如图1所示，将一个半径为3 dm,圆心角为α (α∈(0,2π))的扇形铁皮焊接成一个容积为V dm3的圆锥形无盖容器(忽略损耗).(1)求V关于α的函数关系式;(2)当α为何值时,V取得最大值;(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5 dm的球?请说明理由.图1(1) 由题意可知，圆锥的母线l=3 dm，设底面半径为r，则所以(2) 令令f′(t)=18t-3t2=0,且因为t∈(0,9),所以t=6,因此t=6时,f(t)取得最大值，于是(3)由(2)知，最大容积的圆锥的底面半径此时高设圆锥轴截面三角的内切圆半径为r0，则所以所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5 dm的球.求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,确定其定义域,再利用求函数最值的方法进行求解.注意：结果应与实际情况相结合.从上面例题中可看出,利用导数解决问题的综合性较强,要灵活运用导数公式、求导法则、导数的几何意义等,同时要具有运算求解能力、化归与转化能力及分析问题、解决问题的能力.从近年全国高考可知,高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的灵活度、深度与广度也在不断加大,在导数部分的要求一般可分为三个层次:1)主要考查求导公式、求导法则与导数的几何意义;2)导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;3)综合考查,如求函数零点、证明不等式、求解恒成立问题、求参数等.同时，包括解决应用问题,解决问题时需将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合.。
导数的几种解法
导数的几种解法摘要：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过熟练掌握这些方法，我们可以计算各种函数的导数，并应用导数来分析函数的性质和解决实际问题。
求导在数学和科学的各个领域都有广泛应用，为我们理解变化规律、优化问题和建模提供了强大的工具。
持续学习和探索微积分的知识，将帮助我们更好地理解和应用求导技术。
为了求解导数，我们可以采用多种不同的方法和技巧，本文将介绍导数的几种常见解法。
关键词：高中数学；导数；常见解法引言：高中数学中，导数是一个重要的概念和计算方法。
对于函数的导数，有多种解法可以应用。
每种解法都有其独特的适用场景和计算方式，能够帮助我们更好地理解和运用导数的概念。
通过熟练掌握和灵活运用这些解法，我们可以更精确地求解函数的导数，进而应用到各种实际问题中，提高数学问题的解决能力。
一、基本求导方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过极限的概念来定义，表示函数在某一点附近的斜率。
几何上，导数可以解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
物理上，导数可以表示物体在某一时刻的速度或加速度。
导数的计算可以采用多种方法，以下是几种基本的求导方法。
一种常见的方法是使用定义法求导。
根据导数的定义，导数可以通过极限的方式来计算。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在某个点x=a处的导数可以通过计算极限lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h 来求得。
这种方法需要对极限的概念和计算方法有一定的了解，并且在具体计算时需要进行一系列的代数运算。
例如，对于函数f(x) = x^2，在x=2处的导数可以通过计算lim(h→0) [(2+h)^2 -2^2] / h来得到。
另一种常用的方法是利用常见的导数规则来求导。
导数规则是一些已知的函数导数的性质和规律，可以帮助我们快速计算复杂函数的导数。
常见的导数规则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
导数的解法
导数的解法一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
在数学中，导数可以通过极限的概念来定义，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的求解可以通过多种解法进行，本文将介绍几种常用的导数解法。
二、导数的定义在介绍导数的解法之前，我们首先来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x 处的导数可以表示为：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，h表示x的增量。
导数表示了函数在该点附近的变化率。
三、导数的解法1. 使用导数定义求导根据导数的定义，我们可以直接使用极限的方法来求导。
具体步骤如下：1.将函数f(x)写成极限的形式，即f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ2.化简表达式，将h代入到函数f(x)中，得到f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ3.计算极限，求得导数的值。
这种方法可以用于求解一些简单的函数的导数，但对于复杂的函数来说，计算过程较为繁琐。
2. 使用导数的性质求导导数具有一些特性，这些特性可以用来简化导数的求解过程。
以下是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0，即ddx(c)=0，其中c为常数。
•幂函数的导数可以通过幂函数的导数公式求解，即ddx(x n)=nx n−1，其中n 为正整数。
•对数函数的导数可以通过对数函数的导数公式求解，即ddx (log a x)=1xlna，其中a为底数。
•指数函数的导数可以通过指数函数的导数公式求解，即ddx(a x)=a x lna，其中a为底数。
利用这些导数性质，我们可以将复杂函数的导数求解简化为对基本函数的导数求解。
3. 使用导数的运算法则求导导数具有一些运算法则，这些法则可以用来求解复杂函数的导数。
以下是一些常见的导数运算法则：•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•积法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•商法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)，其中g(x)不等于0。
高考中导数的常见处理方法(终结版)
高考中导数的常见处理方法导数解答题是历年高考重点考查的知识点,具有思维含量大、运算繁琐的特点很多学生对导数望而却步,有的学生甚至对导数解答题产生了畏惧的心态其实,如果认真分析最近几年的高考导数试题与各省市的模拟试题,我们能从中看出一些命题的趋势,其命题的方向主要集中在以下七个方面:1.导数在研究函数的单调性、极值、最值中的直接应用(主要集中在第I 问).2.导数的运算与其几何意义,特别是切线问题(主要是文科).3.函数的零点与方程的实根分布问题.4.不等式的证明问题(1作差证明不等式:2变形构造函数证明不等式:3.替换构造不等式证明不等式)5.不等式恒成立求参数的取值范围问题(1.最值的直接应用:2.分离常数:3.讨论参数的取值范围).6.导数在处理实际问题的应用(最近几年没有考查,属于考查的“冷”点).7.与其它函数结合的函数问题.结合以上七个方面,高考试题在命题时借助x x x e x sin ,cos ,ln ,等基本初等函数进行命制题目.而对含有这些函数的问题求导时,若直接求导,可能会使代数式变得非常复杂,加大运算难度,使思路受阻。
若能在求导运算前对代数式做一定的改变,有时会变得较为简单。
一：分类讨论。
分类讨论是解答高考压轴题的常用方法，近年来高考数学全国卷的导数压轴题，几乎都需要分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论，为什么要分类讨论以及如何分类等。
1.已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a =，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-． 【解析】试题分析（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．试题解析（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()xx x x f x e ae a e a e a '=--=+-，②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增． ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用（一）函数单调性的讨论运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('x f ，有)('x f 的正负，得出函数)(x f 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(x f 极值或最值．二：分离参数。
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。
答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。