第十二章 平稳随机过程

第十二章 平稳随机过程

§1 基本概念

定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥∀n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与

h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同

的n 维d.f 。即

)

,,,;,,(),,()

,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++

则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。

当t X ∃n 维d.l 时，则有

),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++=

若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是

X X

m

dx x xf t X E μ===

⎰+∞

∞

-),0()(1

即t X 的均值是一个与时间无关的常数。

其方差 ⎰∞

∞

-=-=-=.),0()(][2

22

X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的

常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有

).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧

=-=

所以t X 与τ+t X 之间自相关为

⎰⎰∞∞-∞

∞

-+==

=+).(),;(),(21212

1ττττX t t X R dx dx x x f x

x X X E t t R

它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为

.)(]][[)(2X X X t X t X m R m X m X E C -=--=+τττ 并且 .)0()0(2

222X X t X

X X m X E m R C σ=-=-= 一般来说，实际应用中的s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的

定义2：已给s.p },,{T t X X t T ∈=若,2

∞

1°X t m X E =（常数）（又记X μ）

2°).(][ττX t t R X X E =+ （又记)(ττX t t R X X E =-）

则称T X 是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p 。当T X 取复值时，),(τ+=t t X X X E R 则称复平稳s.p.

定义3：已给两平稳s.p t X t X {=}T t ∈，},{T t Y Y t T ∈=，若满足

)(),(τττY X t t Y X R Y X E t t R ==++则称T T Y X ,是联合平稳的或平稳相关的。

例1~例3见书上，当T 取离散值时，称平稳序列。

例4：已给s.p t X )(0Θ+=ωCOS ,其中0ω为常数，r.v )2,0(~πU Θ，试证t X 是平稳s.p. 事

实

上

，

显

然

⎰⎰Ω

Ω

∞

<=Ω=≤=1)(22P dP dP X X E t t 。

（或1)()()(cos 02

2

=≤

+=⎰⎰∞

∞

-Θ

∞

∞

-Θθθθθθωd f

d f t X E t

）

⎰

⎰

-=

+=

Θ+=π

π

θ

θωθωπ

θθωπ

ω20

20

0000)sin sin cos (cos 21

)cos(21

)cos(d t t d t t E X E t =0.

及 )]cos()[cos(000Θ++Θ+=+τωωωτt t E X X E t t )]22cos(2

1cos 2

1[000Θ+++=t E ωτωτω

Θ+-Θ++=2sin )2sin(2

12cos )2cos(2

1cos 2

100000E t E t ωτωωτωτω

.cos 2

10τω=

故由定义2知t X 是一个平稳s.p.

§2 各态历经性（遍历性）

先令给二阶矩s.p.]},[,{b a T t X X t T =∈=在T 上均方积分定义，考察[a,b] 上一组分划 .210b t t t t a n =<<<=Λ记,,11i i i i i i t t t t t ≤≤-=∆--τ若存在

一个r.v Y 使.0][lim 2

1

max

=-∆∑=→∆n

i i t Y t X E i

i

τ即 )0max (11

2

→∆→∆≤≤=∑i n

i n

i i

t Y t

X i

τ

则称T X 在[a,b]上均方可积，并记⎰=b

a t dt X Y .

理论上已证明：二阶矩s.p T X 在T=[a,b]上均方可积的充分条件是

⎰⎰

∞

b

a

X dsdt t s R .),( 并且 ⎰=b

a

t dt X E Y E .

再引入时间均值与时间相关函数。 时间均值定义为 ⎰

-∞→>=

T

T dt t X T

t X )(21lim

)( ——是r.v

时间相关定义为 ⎰

-+∞→+>=+

T

T dt t X t X T

t X t X )()(21

lim

)()(ττ——是r.v

先看一例

例1见书。 ><=)(t X E X μΘ 定义：设)(t X 是平稳s.p

1°若.)(1))()((X X t X t X E t X P μμ>=⇔<==>=<则称)(t X 的均值具有多

态历经性。

2°若∀实数τ有 )()()(ττX R t X t X >=+< .1))()()()()((==+>=+<τττX R t X t X E t X t X P

则称)(t X 的自相关函数具有多态历经性。若,0=τ称)(t X 得均方值具